Unidad I Análisis Vectorial

Elaborado por:

María Naar- Ing. Electronica

Teoría Electromagnética- Doc. Emilio Escalante

1. Analizar el concepto de Vectores, y de 2 (dos) ejemplos.

Un vector es un agente que transporte algo de un lugar a otro. Su significado, de todas formas, varía de acuerdo al contexto.

Un vector puede utilizarse para representar una magnitud física, quedando definido por un módulo y una dirección u orientación. Su expresión geométrica consiste en segmentos de recta dirigidos hacia un cierto lado, asemejándose a una flecha. La velocidad y la fuerza son dos ejemplos de magnitudes vectoriales.

2. Analizar y dar 2 (dos) ejemplo de Suma, resta, multiplicación por escalares de los vectores. .

Suma de Vectores

Para sumar dos vectores libres y se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo de uno coincida con el origen del otro vector.

Método del paralelogramo

Se toman como representantes dos vectores con el origen en común, se trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores.

Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.

Método del polígono

Cuando vamos a sumar más de dos vectores podemos utilizar el método del triángulo, luego el vector resultante sumarlo con otro vector también resultante del método del triángulo, otra forma de hacer esta suma es por el método del polígono, que consiste simplemente en la extensión del método del triángulo, es decir se van colocando cada vector con continuidad encima del otro.

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Ejemplo

a) A ⃗  = (4, 3) , B ⃗  = (2, 5)A+B→ = (4+2, 3+5) = (6, 8)A ⃗  = (-1, 4) , B ⃗  = (3, 6) , C ⃗  = (-2, -3) y D⃗  = (5, 5):A+B+C+D→ = (-1+3-2+5, 4+6-3+5) = (5, 12)

b) (-3, 4) + (5, -2)(-3 + 5, 4-2)(2, 2)

Resta de Vectores

Para restar dos vectores libres y se suma con el opuesto de .Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los vectores.

Método del triángulo

Es análogo a la adición, no obstante el vector resultante se traza desde la punta del vector sustraendo al vector minuendo

Ejemplos

a) u ⃗ =[3,−5,4]v⃗ =[2,1,−3]w ⃗ =[3,−5,4]–[2,1,−3]w ⃗ =[3−2,−5−1,4−(−3)]

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w ⃗ =[1,−6,7]b) (-3, 4) – (5, -2) (-3-5, 4+2) (-8, 6)

Como se puede apreciar, a -3 le sumamos el opuesto de 5 (es decir, -5), mientras que a 4 le sumamos el opuesto de -2 (o sea, 2). Así, el resultado de esta resta de vectores es (-8, 6)

Multiplicación de vectores

La multiplicación de un número k por un vector es otro vector.

Producto escalar

Es una cantidad escalar igual al producto de las magnitudes de dos vectores y el coseno del ángulo encerrados por ellos

Algebraicamente, el producto vectorial esta dado por:

Algunas propiedades del producto vectorial son:

Propiedad conmutativa: A.B = B.A(11) Propiedad distributiva: A.(B + C) = A.B + A.C

Ejemplos

a)

b) u = {-6 i; -1 j; -3 k}

v = {-1 i; -5 j; -4 k}

u ⃗ ×v⃗ =(u2v3−v2u3)i−(u1v3−v1u3)j+(u1v2−v1u2)k

u ⃗ ×v⃗ =(−1(−4)-(−5)(−3))i−(−6(−4)−(−1)(−3))j+(−6(−5)−(−1)(−1))ku ⃗ ×v⃗ =(4−15)i−(24−3)j+(30−1)k

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u ⃗ ×v⃗ =−11i−21j+29k3. Analizar y ejemplifique con 2 (dos) ejemplos, que son los

Sistemas de Coordenadas rectangulares.

Llamado también Sistema Cartesiano, es aquel sistema de referencia formado por el corte perpendicular de dos rectas numéricas en un punto denominado origen del sistema. El sistema de coordenadas cartesianas, es simplemente una representación grafica de un mapa en el cual podemos ubicar un punto en un espacio y orientarlo.

4. Analizar que son Vectores Unitarios y dé 2 (dos) ejemplos.

Los vectores unitarios, son aquellos vectores cuya magnitud es la unidad y están según la parte positiva de los ejes X, Y.

Y es aquél que tiene módulo 1. Un vector unitario puede emplearse para

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definir el sentido positivo de cualquier eje. Así, para los ejes cartesianos x,y,z se emplean los vectores i, j y k.Ejemplo

a)

b) El módulo vale:

Si divido a las coordenadas (5,4) por  obtendré un nuevo vector

cuyas coordenadas serán el cociente de 5 y 4 entre , es decir,

Comprobamos si el módulo del vector vale 1:

 Efectivamente el vector es unitario y tiene la misma dirección y sentido

que el vector .

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5. Explicar que es campo vectorial y de 2 (dos) ejemplos.

Físicamente un campo vectorial representa la distribución espacial de una magnitud vectorial.

Matemáticamente se define un campo vectorial como una función vectorial de las coordenadas o como un caso especial de una transformación no necesariamente lineal. , en donde representa el espacio vectorial que hace las veces de dominio y el espacio vectorial que actúa como rango.

Ejemplo

a)

b)

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6. Explique que es el Producto Punto y de 2 (dos) Ejemplos.

El producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.

El Producto punto de dos vectores será un numero escalar y se hará de la siguiente manera:

Teniendo los vectores U = (X1,Y1,Z1) y V = (X2,Y2,Z2)

El producto punto es U.V y sería igual a = X1.X2 + Y1.Y2 + Z1.Z2 = K

K es el escalar resultante a la multiplicación de los vectores.

Es decir el producto punto es la suma de las mediciones multiplicadas por sus respectivas de los vectores.

Ejemplo

a)

b)

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7. Explique que es Producto Vectorial Cruz y de 2 (dos) Ejemplos.

El producto cruz no se puede para todo, para que se pueda sacar el

producto cruz a los vectores debe de ser para aquellos vectores en

tercera dimensión (3D). El Producto cruz es el determinante de la matriz

que se genera por los dos vectores con la primer linea de i, j y k. Es decir

como resultado tendremos un vector  cuya dirección es perpendicular a

los dos vectores y su sentido sería igual al avance de un sacacorchos al

girar de u a v. y para poder calcularlo hay que hacer el uso de

determinantes. Su módulo es igual a:

El producto vectorial se puede expresar mediante un determinante:

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Ejemplos

a) Calculo del producto vectorial de vectores = (1, 2, 3) y = (−1, 1, 2)

Dados los vectores y , hallar el producto vectorial de dichos vectores. Comprobar que el vector hallado es

ortogonal a y .

El producto vectorial de es ortogonal a los vectores y

b) Calculo del producto cruz de los siguientes vectores:

U = 2i +3j + k

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V = i + j + 2kUxV = Det [i j k]   i j

[2 3 1] 2 3[1 1 2] 1 1

Multiplicando y sumando las diagonales principales y restando le la multiplicación y suma de las otras diagonales Tenemos:  6i + j + 2k – (3k + i + 4j) = 5i – 3j – kEl producto cruz es 5i – 3j – k

Su magnitud sería: |UXV|=√(5^2 + -3^2 + -1^2)=√35 Su área: √35 u^2

Su dirección: Se saca las magnitudes de los vectores primero.

|U| = √6 |V| = √14

Θ = Sen ^-1 [√35 / √6.√14] = 40.20

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