INTRODUCCIÓN.

La física constituye un ejemplo de ciencias básicas. De sus resultados se derivan con frecuencia,

aplicaciones que pueden ser utilizadas al servicio del hombre. Además, tales aplicaciones

tecnológicas han aportado a lo largo de la historia.

Consciente de las nuevas exigencias en la enseñanza moderna, se ha dado principal énfasis en el

análisis y elaboración del presente texto.

Con el propósito de que el alumno refuerce lo visto en clase se ha incluirán tareas para la casa,

que son problemas propuestos que guardan estrecha relación con los problemas resueltos.

Presento mis disculpas por tal vez los errores en la forma y fondo del módulo y haré llegar mi

agradecimiento por hacerme tomar la debida nota para su corrección.

Compilador:

MSC. DAniel Morocho

INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS VECTORIAL

INTRODUCCIÓN

Inicialmente se hará una revisión condensada de los principales conceptos del cálculo vectorial a

modo de repaso de un tema que se supone más o menos conocido.

Definiciones elementales.

Magnitudes escalares y vectoriales.

Cuando el resultado del proceso de medición de una magnitud es expresable por medio de un

número real, dicha magnitud se denomina escalar. Así por ejemplo la masa, la temperatura, la

energía, etc. son escalares. Cuando una magnitud no puede expresarse completamente con sólo

un número real, sino que ha de recurrirse para ello a una matriz de n filas y una columna

(concepto matemático de vector), estamos ante una magnitud vectorial (o simplemente vector en

sentido físico). Así por ejemplo una velocidad no queda completamente determinada dando su

valor numérico en la correspondiente unidad, sino que hay que hay que especificar la dirección

del movimiento y su sentido, lo que en el espacio Euclideo exige representar dicha magnitud por

medio de un vector de 3 componentes.

En la ciencia encontramos frecuentemente cantidades escalares. En contraste, muchas cantidades

físicas interesantes tienen magnitud y, adicionalmente, una dirección asociada. Este segundo

grupo incluye el desplazamiento, la velocidad, la aceleración, la fuerza, el momento. Cantidades

con magnitud y dirección son llamadas cantidades vectoriales. Usualmente, en tratamientos

elementales, un vector es definido como una cantidad que tiene magnitud, dirección y sentido.

Para distinguir vectores de escalares, identificaremos las cantidades vectoriales con una flecha

arriba.

En esta representación la suma vectorial C = A + B (1.1)

consiste en poner la parte posterior del vector B en la punta del vector A. El vector C es el

representado por una flecha dibujada desde la parte posterior de A hasta la punta de B.

Figura: Ley del triángulo para suma de vectores

Este procedimiento, la ley del triángulo para la suma, le asigna un significado a la ecuación

(1.1) y vemos que: C = A + B = B + A , (1.2)

Al completar el paralelogramo, obtenemos que la suma vectorial es conmutativa.

Para la suma de tres vectores

D = A + B + C , tendríamos:

De donde se concluye que la suma de vectores es asociativa.

B + C = F y D= A + F

En términos de la expresión original,

(A + B ) + C = A + (B + C)

Por medio de suma de vectores. Cómo demostraríamos que F1 + F2+ F3 =0.

Notemos que los vectores son tratados como objetos geométricos que son independientes de

cualquier sistema de coordenadas. Realmente, no hemos presentado a un sistema de coordenadas.

OPERACIONES CON VECTORES

Es frecuente y resulta muy intuitivo representar los vectores en forma gráfica, por medio de una

flecha, cuya longitud representa el módulo o valor absoluto de la magnitud, la recta en la que está

contenida la flecha sería la dirección y la cabeza de la flecha indicaría el sentido.

Producto de un escalar por un vector.

Dado un vector v y un escalar m, definimos otro vector v' así:

v' = m v (1.3)

v' es un vector de la misma dirección que v y de módulo mv.

El sentido de v' será el mismo que el de v, si m>0 y el contrario, si m<0.

Suma de vectores.

Dados 2 vectores a y b, se define un vector c, suma de a + b de la forma que vemos en la Fig:

La suma posee evidentemente la propiedad conmutativa:

a + b = b + a (1.4)

y también la propiedad asociativa :

(a + b)+c = a+(b + a) (1.5)

Diferencia:

c = a-b = c+b=a (1.6)

Vector nulo.

Se dice que 0 es un vector nulo cuando su módulo es cero. Dado un vector cualquiera a, se

verifica que a + 0 = a.

Relación lineal entre vectores.

Dados n vectores v1 , v2 , ... ,vn , y n escalares m1, m2, ... , mn, la expresión

m1 v1+m2 v2+........+mi vi = 0 (1.7)

significa que entre los vectores v1 , v2 ,........, vi existe una relación lineal. Si, por ejemplo,

tenemos 3 vectores en un espacio tridimensional y se verifica:

m1 v1+m2 v2+m3v3 = 0 (4.6)

(4.7)

y por lo tanto v1, v2 , v3 están en un plano.

Producto escalar de dos vectores

Dados 2 vectores v y v’ no nulos, el producto escalar se define como un escalar tal que:

Producto vectorial de dos vectores

El producto vectorial no tiene propiedad conmutativa, como puede comprobarse a partir de la

(4.10):

v x v' = - (v' x v) (4.11)

3.8 Propiedad distributiva del producto vectorial respecto de la suma.

El producto vectorial no tiene propiedad asociativa

Sean 3 vectores a, b y c, llamemos P= a x (b x c) y P’ = (a x b) x c.

Multiplicando escalarmente P por a tenemos.

Hagamos lo mismo con P’

Pero los dos vectores que están multiplicados escalarmente en el segundo miembro de (4.22) son

perpendiculares de a, luego son coplanarios, y por otra parte el primero es perpendicular a b y el

segundo a c.

Por lo tanto si b y c no son perpendiculares entre sí, ( en cuyo caso particular seria P’a = 0)

P’ . a ≠ 0 (4.23)

Y de las (4.21) y (4.22) se deduce que a x (b x c) ≠ (a x b) x c, es decir que no se cumple la

propiedad asociativa. c.q.d

SISTEMA DE COORDENADAS ORTOGONALES.

En el espacio Euclídeo tridimensional, que es el que usamos casi siempre, son sistemas en los que

un punto del espacio P queda determinado como intersección de tres superficies que en dicho

punto son perpendiculares (ortogonales) entre sí.

Coordenadas cartesianas.

Para representar en el espacio Euclídeo puntos, líneas. superficies, vectores, .. etc, utilizamos

como referencia tres ejes de coordenadas perpendiculares entre sí tal como vemos en la Fig. 7 (a).

Utilizando como referencia estos ejes se pueden definir varios sistemas de coordenadas, de los

cuales el más frecuentemente usado es el de coordenadas cartesianas (nombre dado en honor del

filósofo y matemático francés René Descartes, 1596-1650). En este sistema un punto P está

determinado por la intersección de 3 superficies (en este caso planos) perpendiculares entre sí

(ortogonales).

Representación analítica de un vector en coordenadas cartesianas.

Utilizando este sistema de coordenadas podemos representar un vector en forma analítica

definiendo 3 vectores unitarios, o sea, de módulo unidad y sin dimensiones, en cada uno de ejes

de coordenadas y dirigidos en el sentido positivo de dichos ejes. Estos vectores los designaremos

siempre por i (en el eje x), j (en el eje y) y k (en el eje z). Un vector genérico se expresará así: F =

Fx i + Fy j + Fz k, siendo Fx, Fy y Fz las tres componentes del vector F. Estas componentes son

escalares y de las mismas dimensiones que F. En la Fig. 8 vemos las proyecciones del vector l,

vector de posición del punto P, sobre los tres ejes de coordenadas, que son por otra parte las 3

componentes de dicho vector. Se pueden expresar en función de los ángulos α,β ,γ así:

donde cos α, cos β y cos γ se denominan cosenos directores de l.

En el ejemplo de la Fig. 7 (b), l =< -2 i + 3 j - 4 k, y su módulo:

.

Operaciones con vectores en coordenadas cartesianas.

Producto de un escalar m por un vector v:

Suma de vectores

Es evidente que la suma de vectores tiene propiedad conmutativa y asociativa.

Vector nulo

Es aquel cuyas componentes son cero.

PRODUCTO ESCALAR O PRODUCTO PUNTO.

Habiendo definido vectores, debemos proceder a combinarlos. Las leyes para combinar vectores

deben ser matemáticamente consistentes. A partir de las posibilidades que existen seleccionamos

dos que son tanto matemática como físicamente interesantes. Una tercera posibilidad es

introducida para formar tensores.

La proyección de un vector A sobre los ejes coordenados, la cual define su componente

cartesiana en la ecuación y los vectores unitarios coordenados,

Al igual que la proyección es lineal en A, deseamos que el producto escalar de dos vectores sea

lineal en A y B , es decir, obedezca las leyes de distributividad y asociatividad

Donde (y) es un número. Ahora podemos usar la descomposición de B en sus componentes

cartesianas de acuerdo a la ecuación para construir el producto

escalar general o producto punto de los vectores A y B como

(1.26)

Si A = B en la ecuación (1.26), recuperamos la magnitud de A en la ecuación

(1.6) a partir de la ecuación (1.26).

Así, alternativamente y equivalentemente, podemos primero generalizar la ecuación (1.23) a la

proyección AB de un vector A sobre la dirección B≠0, como AB = ϴ ≡A.B, , donde B = B/B es el

vector unitario en la dirección de B y ϴ es el ángulo entre A y B como muestra la figura.

Producto escalar A • B = AB cos ϴ.

Similarmente, proyectamos B sobre A como BA = B cos ϴ ≡ B •A, al hacer está proyección

simétrica en A y B , la cual produce la definición:

Figura: La ley distributiva A • (B + C ) = ABA + ACA = A(B + C)A, ecuación (1.24)

La ley distributiva en la ecuación (1.24) es ilustrada en la figura anterior, en la cual se muestra

que la suma de las proyecciones de B y C, BA + CA, es igual a la proyección de B + C, sobre A,

(B + C )A.

Se sigue a partir de las ecuaciones (1.23), (1.26) y (1.27) que los vectores unitarios coordenados

satisfacen la relación

Mientras

Si la definición de las componentes, ecuación (1.26), es etiquetada como una definición

algebraica, entonces la ecuación (1.27) es una definición geométrica. Una de las máas comunes

aplicaciones del producto escalar en Física es el cálculo del trabajo ejercido por una fuerza

constante = fuerza × desplazamiento × cos ϴ , lo cual es interpretado como el desplazamiento por

la proyección de la fuerza en la dirección del desplazamiento.

Figura: Un vector normal.

Si A • B = 0 y sabemos que A≠ 0 y B ≠ 0, entonces desde la ecuación (1.27), cos ϴ = 0

implica ϴ = Π/2 o ϴ = 3Π/2. Los vectores A y B deben ser perpendiculares. Alternativamente,

podemos decir que son ortogonales. Los vectores unitarios x, y y z son mutuamente ortogonales.

Para desarrollar esta noción de ortogonalidad demos un paso más, supongamos que n es un vector

unitario y r es un vector distinto de cero en el plano xy; esto es:

(figura 1.9). Si

para todas las elecciones posibles de r, entonces n debe ser perpendicular (ortogonal) al plano-xy.

PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZ.

Una segunda forma de multiplicar vectores emplea el seno del ángulo sustentado en vez del

coseno. Por ejemplo, el momento angular (figura)

Definido como momento angular = brazo de palanca × momento lineal

= distancia × momento lineal × sen ϴ .

Por conveniencia en el tratamiento de problemas relacionados con cantidades tales como

momento angular, torque y velocidad angular, definiremos el producto vectorial o producto cruz

como C = A × B ,

Con C = AB sen ϴ. (1.39)

A diferencia del caso anterior del producto escalar, C ahora es un vector, y le asignamos una

dirección perpendicular al plano que contiene a A y B tal que A, B y C forman un sistema diestro.

Con esta elección de dirección tenemos:

A × B = -B × A , anticonmutación. (1.40)

A partir de esta definición de producto cruz tenemos

mientras (1.42)

En el paralelogramo definido por A y B (figura), B senϴ es la altura si A es tomada como la

longitud de la base. Luego | | = AB senϴ es el área del paralelogramo. Como un vector, A ×

B es el área del paralelogramo definido por A y B, con el vector normal al plano del

paralelogramo. Esto sugiere que el área podría ser tratada como una cantidad vectorial.

Figura: Paralelogramo que representa el producto cruz.

Productos escalar triple y vectorial triple.

Producto escalar triple.

En las secciones anteriores cubren los tipos de multiplicación de interés.

Sin embargo, hay combinaciones de tres vectores, A • (B × C) y A × (B × C), las cuales ocurren

con la suficiente frecuencia para merecer una atención más amplia. La combinación A • (B × C),

es conocida como el producto escalar triple. El producto B × C produce un vector, el cual

producto punto con A, da un escalar. Notemos que (A• B) ×C representa un escalar producto cruz

con un vector, una operación que no está definida. Por lo tanto, si estamos de acuerdo en excluir

estas interpretaciones no definidas, los paréntesis puede ser omitidos y el producto de escalar

triple puede ser escrito como A • B × C.

Usando la ecuación (1.45) para el producto cruz y la ecuación (1.26) para el producto punto,

obtenemos:

y así sucesivamente. (1.55)

Notemos el alto grado de simetría presente en la expansión en componentes. Cada término

contiene los factores Ai, Bj y Ck. Si i, j, k están en un orden cíclico (x, y, z), el signo es positivo.

Si el orden es anticíclico, el signo es negativo. Por lo tanto, el punto y la cruz pueden ser

intercambiados,

A • B × C = A × B • C . (1.56)

Una representación conveniente de la componente de expansión de la ecuación (1.55) está dada

por el determinante:

(1.57)

La regla para intercambiar filas por columnas de un determinante provee una inmediata

verificación de la permutación listada en la ecuación (1.55), mientras la simetría de A, B y C en

la forma determinante sugiere la relación dada en la ecuación (1.56).

El producto triple encontrado en la sección 1.4, en la cual se muestra que A × B era perpendicular

a ambos, A y B , es un caso especial del resultado general (ecuación (1.55)).

Paralelepípedo que representa el producto escalar triple.

El producto escalar triple tiene una interpretación geométrica directa. Los tres vectores A, B, y C

pueden ser interpretados como la definición de un paralelepípedo (figura 1.13).

(1.58)

= área de la base del paralelogramo.

La dirección, por supuesto, es normal a la base. Haciendo el producto punto con A, esto significa

multiplicar el área de la base, por la proyección de A sobre la normal, o la base tantas veces por

la altura. Por lo tanto A • B × C = volumen del paralelepípedo definido por A, B y C.

Producto vectorial triple.

El segundo producto triple de interés es A × (B × C), el cual es un vector.

Aquí los paréntesis deben mantenerse, como puede verse del caso especial ( x × x) × y = 0,

mientras que si evaluamos x × (x × y ) = x × z = -y. El producto vectorial triple es perpendicular a

A y a B × C. El plano definido por B y C es perpendicular a B × C y así el producto triple yace en

este plano A × (B × C ) = x B + y C . (1.63)

Multiplicando (1.63) por A, lo que da cero para el lado izquierdo, tal que xA • B +y A • C = 0.

De aqu´i que x = z A • C e y = -z A • B para un z apropiado. Sustituyendo estos valores en la

ecuación (1.63) da:

A × (B × C) = z (B A • C – C A • B); (1.64)

Figura: Los vectores B y C están en el plano xy. B × C es perpendicular al plano xy y es

mostrado aquí a lo largo del eje z. Entonces A × (B × C) es perpendicular al eje z y por lo tanto

está de regreso en el plano xy.

Deseamos mostrar que z = 1 en la ecuación (1.64), una importante relación algunas veces

conocida como la regla B AC - CAB. Ya que la ecuación (1.64) es lineal en A, B y C, z es

independiente de esas magnitudes. Entonces, sólo necesitamos mostrar que z = 1 para vectores

unitarios A, B, C . Denotemos B • C = cosα, C • A = cos ß, A • B = cos γ , y el cuadrado de la

ecuación (1.64) para obtener:

(1.65)

usando (v × w)2 = v

2w

2 - (v.w)

2 repetidas veces. Consecuentemente, el volumen abarcado por A,

B y C que aparece en la ecuación (1.65) puede ser escrito como

Rotación de los ejes de coordenadas.

Los vectores fueron definidos o representados en dos maneras equivalentes: (1) geométricamente,

especificando la magnitud y la dirección con una flecha y (2) algebraicamente, especificando las

componentes relativas a ejes de coordenadas cartesianos.

Esta segunda definición es adecuada para el análisis vectorial del resto del capítulo. En esta

sección propondremos dos definiciones ambas más sofisticadas y poderosas. Primero, el campo

vectorial está definido en términos del comportamiento de las componentes de los vectores bajo

la rotación de los ejes de coordenadas.

Segundo, la definición de componentes de la sección anterior será refinada y generalizada de

acuerdo a los conceptos matemáticos de espacio vectorial. Este acercamiento nos llevará a los

espacios vectoriales de funciones incluyendo el espacio de Hilbert.

La definición de vector como una cantidad con magnitud y dirección se quiebra en trabajos

avanzados. Por otra parte, encontramos cantidades, tales como constantes elásticas e índices de

refracción en cristales anisotrópicos, que tienen magnitud y dirección pero no son vectores.

Por otro lado, nuestra aproximación ingenua es inconveniente para generalizar y extenderla a

cantidades más complejas.

Hay una importante base física para el desarrollo de una nueva definición. Describimos nuestro

mundo físico por matemáticas, pero él y cualquier predicción Física que podamos hacer debe ser

independiente de nuestro análisis matemático. Algunos comparan el sistema físico a un edificio y

el análisis matemático al andamiaje usado para construir el edificio. Al final el andamiaje es

sacado y el edificio se levanta.

En nuestro caso específico suponemos que el espacio es isotrópico; esto es, no hay direcciones

privilegiadas o, dicho de otra manera, todas las direcciones son equivalentes. Luego, cualquier

sistema físico que está siendo analizado o más bien las leyes físicas que son enunciadas no

pueden ni deben depender de nuestra elección u orientación de los ejes coordenados.

Ahora, volveremos al concepto del vector r como un objeto geométrico independiente del

sistema de coordenadas. Veamos un r en dos sistemas diferentes, uno rotado respecto al otro.

Por simplicidad consideremos primero el caso en dos dimensiones. Si las coordenadas x e y son

rotadas en el sentido contrario a los punteros del reloj en un ángulo φ , manteniendo r fijo

(figura) obtenemos las siguientes relaciones entre las componentes resueltas en el sistema

original (sin primas) y aquellas resueltas en el nuevo sistema rotado (con primas):

(1.8)

Vimos, en la sección anterior, que un vector podría ser representado por las coordenadas de un

punto; esto es, las coordenadas eran proporcionales a los componentes del vector. En

consecuencia las componentes de un vector deberían transformar bajo rotaciones como las

coordenadas de un punto (tal como r ). Por lo tanto cualquier par de cantidades Ax (x, y) y Ay (x,

y) en el sistema de coordenadas xy son transformadas en (A`x , A`y) por esta rotación del sistema

de coordenadas con

(1.9)

Figura: Rotación de los ejes coordenados cartesianos respecto del eje z.

definimos Ax y Ay como las componentes de un vector A. Nuestro vector está ahora en términos

de la transformación de sus componentes bajo rotación del sistema de coordenadas. Si Ax y Ay

transforman de la misma manera como x e y, las componentes del vector de desplazamiento

bidimensional, ellas son entonces las componentes del vector A.

Si Ax y Ay no muestran esta forma invariante cuando las coordenadas son rotadas, ellas no

forman un vector.

Las componentes del campo vectorial Ax y Ay que satisfacen las ecuaciones de definición (1.9),

están asociadas a una magnitud A y a una dirección en el espacio. La magnitud es una cantidad

escalar, invariante a la rotación del sistema de coordenadas. La dirección (relativa al sistema sin

primas) es asimismo invariante ante la rotación del sistema de coordenadas.

El resultado de todo esto es que las componentes de un vector pueden variar de acuerdo a la

rotación del sistema de coordenadas con primas. Esto es lo que dicen las ecuaciones (1.9).

Pero la variación con el ángulo es tal que las componentes en el sistema de coordenadas que el

vector rotado A’x y A’y definen un vector con la misma magnitud y la misma dirección definido

por las componentes Ax y Ay relativas al eje de coordenadas xy. Las componentes de A en un

sistema de coordenadas particular constituye la representación de A en el sistema de

coordenadas. Las ecuaciones (1.9), que corresponden a las relaciones de transformación, son una

garantía de que la identidad A es preservada de la rotación del sistema de coordenadas.

Para ir a tres y, luego, a cuatro dimensiones, encontramos conveniente usar una notación más

compacta. Sea

(1.10) (1.11)

Las ecuaciones (1.8) transforman como

.(1.12)

Los coeficientes aij pueden ser interpretados como los cosenos directores, es decir, el coseno

del ángulo entre xi y xj; esto es,

(1.13)

La ventaja de la nueva notación es que nos permite usar el símbolo suma y reescribir las

ecuaciones (1.12) como:

(1.14)

Note que i permanece como un parámetro que da origen a una ecuación cuando este conjunto es

igual a 1 y a una segunda ecuación cuando este conjunto es igual a 2. El índice j, por supuesto, es

un índice de suma, es un índice mudo, como una variable de integración, j puede ser reemplazada

por cualquier otro símbolo.

La generalización para tres, cuatro, o N dimensiones es ahora muy simple. El conjunto de N

cantidades, Vj , se dice que son las componentes de un vector de N dimensiones, V , si y sólo si

sus valores relativos a los ejes coordenados rotados están dados por N

(1.15)

Como antes, aij es el coseno del ángulo entre xi y xj. A menudo el límite superior N y el

correspondiente intervalo de i no será indicado. Se da por descontado que se sabe en que

dimensión se está trabajando.

A partir de la definición de ángulo entre la dirección de aij como el coseno entre la dirección

positiva de x’i y la dirección positiva xj podemos escribir (coordenadas cartesianas)

(1.16)

Usando la rotación inversa ( φ→ -φ ) produce

(1.17)

Notemos que estas son derivadas parciales. Por uso de las ecuaciones (1.16), (1.17) y (1.15)

se convierten en

(1.18)

Los cosenos directores aij satisfacen una condición de ortogonalidad

(1.19)

O equivalentemente

(1.20)

El símbolo δij es la delta de Kronecker definida por

(1.21)

Podemos fácilmente verificar las ecuaciones (1.19) y (1.20) manteniéndose en el caso de dos

dimensiones y sustituyendo los específicos aij desde la ecuación (1.11). El resultado es la bien

conocida identidad sen2 φ + cos

2 φ = 1 para el caso no nulo. Para verificar la ecuación (1.19) en

forma general, podemos usar la forma en derivadas parciales de las ecuaciones (1.16) y (1.17)

para obtener:

(1.22)

El último paso sigue las reglas usuales para las derivadas parciales, suponiendo que xj es una

funcion de x’1, x’2, x’3, etc. El resultado final, δxj / δxk, es igual a δij, ya que xj y xk son

coordenadas lineales (j ≠ k) que se suponen perpendiculares (en dos o tres dimensiones) u

ortogonales (para cualquier número de dimensiones).

Al redefinir un vector en términos de cómo sus componentes transforman bajo rotaciones del

sistema de coordenadas, deberíamos enfatizar dos puntos:

1.- Esta definición se desarrolla porque es útil y apropiada en describir nuestro mundo físico.

Nuestras ecuaciones vectoriales serán independientes de cualquier sistema particular de

coordenadas. (El sistema de coordenadas no necesita ser cartesiano.) La ecuación vectorial

siempre puede ser expresada en algún sistema particular de coordenadas y, para obtener

resultados numéricos, deberíamos finalmente expresarla en algún sistema de coordenadas

especifico.

2.- Esta definición se puede generalizar abriendo la rama de la matemática conocida como

análisis tensorial.

El comportamiento de las componentes vectoriales bajo rotaciones de las coordenadas es usado

para probar que un producto escalar es un escalar, para probar que un producto vectorial es un

vector, y para mostrar que la gradiente de un escalar, ψ , es un vector.

Invariancia del producto escalar bajo rotaciones.

No hemos mostrado aún que la palabra escalar esté justificada o que el producto escalar sea

realmente una cantidad escalar. Para hacer esto, investiguemos el comportamiento de A • B bajo

una rotación del sistema de coordenadas. Usando la ecuación (1.15)

(1.31)

Usando los índices k y l para sumar sobre x,y y z, obtenemos

(1.32)

Y, arreglando términos en el lado derecho, tenemos.

(1.33)

Los dos últimos pasos se siguen de la ecuación (1.19), la condición de ortogonalidad de los

cosenos directores, y de la ecuación (1.21) la cual define la delta de Kronecker. El efecto de la

delta de Kronecker es cancelar todos los términos en la suma sobre uno de sus dos índices

excepto el término en el cual son iguales. En la ecuación (1.33) su efecto es fijar j = i y eliminar

la suma sobre j. Por supuesto, podríamos fijar i = j y eliminar la suma sobre i. la ecuación (1.33)

nos da

(1.34)

la cual es justo nuestra definición de una cantidad escalar, una que permanece invariante ante

rotaciones de los sistemas de coordenadas.

La ley de los cosenos.

En un acercamiento, similar el cual se aprovecha de este concepto de invarianza, tomamos

C = A + B y hacemos producto punto consigo mismo.

(1.35)

Ya que C • C = C 2 , (1.36)

el cuadrado de la magnitud del vector C y por esto una cantidad invariante, veamos que

es invariante. (1.37)

Ya que la mano derecha de la ecuación (1.37) es invariante –esto es, una cantidad escalar el lado

izquierdo, A • B , también debiera ser invariante bajo una rotación del sistema de coordenadas.

En consecuencia A • B es un escalar.

La ecuación (1.35) es realmente otra forma de escribir el teorema del coseno, el cual es

(1.38)

GRADIENTE

Suponga que φ (x, y, z) es una función de punto escalar, esto es, una función cuyo valor depende

de los valores de las coordenadas (x, y, z). Como un escalar, debería tener el mismo valor en un

punto fijo dado en el espacio, independiente de la rotación de nuestro sistema de coordenadas, o

(1.66)

Diferenciando con respecto a xi obtenemos

(1.67)

por las reglas de diferenciación parcial y las ecuaciones (1.16) y (1.17). Pero la comparación con

la ecuación (1.18), la ley de transformación vectorial, ahora nos muestra que hemos construido un

vector con componentes δφ / δxj . Este vector lo etiquetamos como la gradiente de φ . Un

simbolismo conveniente es:

(1.68)(1.69)

φ (o del φ o grad φ) es nuestro gradiente del campo escalar φ , mientras es por sí mismo un

operador diferencial vectorial (disponible para operar sobre o para diferenciar un campo escalar ).

Todas las relaciones para pueden ser derivadas a partir de la naturaleza híbrida del gradiente,

por un lado la expresión en términos de derivadas parciales y por otra su naturaleza vectorial.

Ejemplo: el gradiente de una función de r.

Calculemos el gradiente de f (r) = f ( √ ).

La dependencia de f (r) sobre x es a través de la dependencia de r sobre x. Por lo tanto

De r como función de x, y, z

Por lo tanto

Permutando las coordenadas obtenemos las otras derivadas, para que finalmente podamos

escribir

Aquí r es un vector unitario r/r en la dirección radial positiva. El gradiente de una función de r es

un vector en la dirección radial.

El gradiente de un campo escalar es de extrema importancia en Física al expresar la relación entre

un campo de fuerza y un campo potencial.

F = - ( energía potencial) . (1.74)

Divergencia.

Diferenciar una función vectorial es una extensión simple de diferenciación de cantidades

escalares. Supongamos que r(t) describe la posición de un satélite en algún tiempo t. Luego,

por diferenciación con respecto al tiempo,

Gráficamente, tenemos la pendiente de la curva, órbita, o trayectoria, como se muestra en la

Figura.

Figura: Diferenciación de un vector. <

Si resolvemos r(t) dentro de las componentes cartesianas, dr/dt siempre se reduce a una suma

vectorial de no más que tres (para el espacio tridimensional) derivadas escalares. En otro sistema

de coordenadas la situación es un poco más complicada, los vectores unitarios no son más

constantes en dirección. La diferenciación con respecto al espacio de coordenadas se maneja de la

misma manera como la diferenciación con respecto al tiempo, como veremos en los siguientes

párrafos.

En la sección anterior fue definido como un operador vectorial. Ahora, poniendo

cuidadosamente atención a ambas: sus propiedades vectoriales y sus propiedades diferenciales,

operemos sobre un vector. Primero, como un vector le hacemos producto punto con un segundo

vector para obtener:

(1.75)

Lo que se conoce como divergencia de V. este es un escalar.

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5. GIANCOLI, D.C, . Física para Ciencias e Ingeniería. México. Pearson Educación Prentice-

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6. Halliday Resnick. Fundamentos de Física, Volumen II. 6ta Edición.(2001)

7. Alvarenga Máximo Física General con experimentos. 4ta edición.(1998)

8. Zemansky. Física para ciencia e ingeniería. Volumen I. 7ma edición.(2005)

9. Giancoli. Física I principios con aplicaciones. 6ta edición.(2009)

10. Hewitt G. Fundamentos de Física Conceptual. 1era edición (2009)

11. Resnick. Física. Volumen I. 4TA Edición.(2002)

12. Tippens Paul E. Física.conceptos y aplicaciones. Editorial McGraw-Hill, 6ta edición

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