UNITAT 1: POLINOMIS...UNITAT 1: NOMBRES RACIONALS I IRRACIONALS . ACTIVITAT 1 Nombres racionals i...
119
Pàgina 1 de 119 UNITAT 1: NOMBRES RACIONALS I IRRACIONALS . ACTIVITAT 1 Nombres racionals i nombres irracionals 1) Escull un número qualsevol de tres xifres. Aquest número serà el numerador de les fraccions que formaràs . Pren com a denominadors successius els números 3, 5, 7, 9, 11, 15, 45, 64, 90 i 100. Obtindràs així 10 fraccions diferents, totes amb el mateix numerador. Troba el valor decimal de cadascuna i classifica-les segons la seva expressió decimal sigui: Una expressió decimal exacte. Una expressió decimal periòdica. 3 = 15 = 5 = 45 = 7 = 64 = 9 = 90 = 11 = 100 =
Transcript of UNITAT 1: POLINOMIS...UNITAT 1: NOMBRES RACIONALS I IRRACIONALS . ACTIVITAT 1 Nombres racionals i...
Pàgina 1 de 119
UNITAT 1: NOMBRES RACIONALS I IRRACIONALS
.
ACTIVITAT 1 Nombres racionals i nombres irracionals
1) Escull un número qualsevol de tres xifres. Aquest número serà el
numerador de les fraccions que formaràs . Pren com a denominadors successius els números 3, 5, 7, 9, 11, 15, 45,
64, 90 i 100. Obtindràs així 10 fraccions diferents, totes amb el mateix numerador. Troba el valor decimal de cadascuna i classifica-les segons la seva
expressió decimal sigui:
Una expressió decimal exacte. Una expressió decimal periòdica.
3
= 15
=
5=
45=
7=
64=
9=
90=
11=
100=
Pàgina 2 de 119
Has obtingut alguna expressió decimal periòdica mixta? Quines?
Com ja saps, tota fracció pot expressar-se com un número
decimal exacte o periòdic, i, tot número decimal exacte o periòdic pot
expressar-se com a fracció. Aquesta fracció es diu FRACCIÓ
GENERATRIU.
Pàgina 3 de 119
2) Altres números decimals.
Apart dels nombres decimals finits i els il·limitats periòdics que
corresponen sempre a alguna fracció, n’hi ha d’altres com, per exemple, el
número decimal: 3,01002000300004000005......
a) Sabries perllongar aquesta expressió decimal ? 3,01002000300004000005 b) I aquesta altra? 1,2121121112111121111121... Aquestes expressions decimals són il·limitades, però no són periòdiques.
No obstant es poden escriure tantes xifres decimals com es vulgui.
c) Inventa’t tres expressions decimals que es puguin perllongar també tot el que vulguis.
Hi ha molts altres números decimals il·limitats no periòdics. Per exemple,
el nombre , que ja coneixes, es un número decimal il·limitat. Aquest
número apareix en molts càlculs geomètrics que tenen a veure amb la
circumferència.
Altres números decimals il·limitats són les arrels quadrades no
exactes, 2 , 5 ..., que apareixen quan apliquem per exemple el teorema
de Pitàgores.
Els números decimals no periòdics es diuen IRRACIONALS en oposició
als números racionals que, com hem vist, tenen tots una expressió
decimal periòdica o finita.
Pàgina 4 de 119
ACTIVITAT 2
Expressió aproximada d’un número decimal il·limitat.
3) Acabem de veure que algunes fraccions tenen una expressió decimal
il·limitada on algunes de les xifres es repeteixen indefinidament.
Per exemple : 13
50,384615384615384615.....
En d’altres números, com 3,01002000300004000005.... o el número la
expressió decimal també és il·limitada però no es repeteixen les xifres.
Si volem utilitzar aquests nombres en forma decimal, no podem
prendre totes les seves xifres perquè són infinites; n’haurem d’utilitzar
només unes quantes. Per exemple, 0,38 és una APROXIMACIÓ de 5/13, i
3,0100 és una aproximació de 3,01002000300004..... També 3,1416 és
una aproximació del número i 1,41421 és una aproximació de 2 .
El número de xifres decimals que hem de prendre per aproximar un número decimal il·limitat dependrà de la precisió amb la que estem treballant.
a) Si volem expressar quan mesura la nostra aula, ¿ té sentit agafar com a mesura d’un costat 6,723456 m?
Quants decimals s’haurien de prendre? Escriu una aproximació adequada per aquesta mesura. b) Tres amics han guanyat 100 € a la loteria. Es reparteixen el premi a
parts iguals. Quant li toca a cadascun?
Aproximació per defecte i per excés . Arrodoniment
4) Sabem que hi ha nombres reals amb infinites xifres decimals. Per operar
amb ells amb més facilitat utilitzem aproximacions decimals. Les aproximacions poden ser per defecte, si són menors que el valor exacte , o per excés si són majors.
Exemple: 13
50,384615384615384615.....
Si ens volem quedar amb una aproximació sense decimals, aproximació entera, direm que:
Pàgina 5 de 119
0 és l’aproximació entera per defecte.
0 < 13
5 < 1
1 és l’aproximació entera per excés Si ens volem quedar amb una aproximació amb una xifra decimal, aproximació fins a les dècimes, tindrem: 0,3 és l’aproximació fins a les dècimes per defecte.
0,3 < 13
5 < 0,4
0,4 és l’aproximació fins a les dècimes per excés a) Quina de les dues aproximacions, 0,3 o 0,4, et sembla mes propera al
valor exacte 13
50,3846... ?
A l’aproximació més propera al valor exacte se li diu arrodoniment. Si ens volem quedar amb les quatre primeres xifres decimals tindrem:
0,3846 < 13
5 < 0,3847
b) Quina de les dues aproximacions és l’arrodoniment?
valor exacte
Ordre d’aproximació
Aproximació per defecte
Aproximació per excés
Arrodoniment
0,384615... entera 0 1 0
0,384615... dècimes 0,3 0,4 0,4
0,384615... Deu mil·lèsimes 0,3846 0,3847 0,3846
El nombre de xifres decimals triades en l'aproximació determina el seu
ordre.
Per prendre una aproximació d'un nombre real fins a un
determinat ordre,per arrodoniment:observem la primera xifra que s'ha
de suprimir, si és més petita que 5, les xifres anteriors es deixen igual,
si és més gran o igual que 5, s'augmenta en una unitat la xifra anterior
a la primera que s'ha de suprimir.
Pàgina 6 de 119
Exemple:
Valor exacte Nombre de xifres decimals
de l’aproximació.
Aproximació per
defecte
Aproximació per excés
Arrodoniment
55,2767529... Dues xifres decimals 55,27 55,28
55,276... 55,28
4,32748222... Tres xifres decimals 4,327 0,328
4,3274..... 4,327
5) Obtén amb la calculadora les 7 primeres xifres decimals de 3 i completa
la taula següent:
3 =
Ordre d’aproximació Per defecte Per excés Arrodoniment
Entera (sense xifres decimals)
Fins a les dècimes (una xifra decimal)
Fins a les centèssimes (dues xifres decimals)
Fins a les mil·lèssimes (tres xifres decimals)
Fins a les deumil·lèsimes (quatres xifres decimals)
6) Emplena una taula com l’anterior pel número ,obtenint primer les seves
xifres decimals amb la tecla de la calculadora. =
Ordre d’aproximació Per defecte Per excés Arrodoniment
Entera (sense xifres decimals)
Fins a les dècimes (una xifra decimal)
Fins a les centèssimes (dues xifres decimals)
Fins a les mil·lèssimes (tres xifres decimals)
Fins a les deumil·lèsimes (quatres xifres decimals)
Pàgina 7 de 119
7) Quin tipus d’aproximació es fa, en cada cas, prenent per 7
3 els
nombres:0,4;0,4285;0,43 i 0,42857: a) 0,4 b) 0,4285
c) 0,43 d) 0,42857
En quins cassos aquesta aproximació correspon a un arrodoniment?
ACTIVITAT 3
Les arrels quadrades
8) Quadrats dins de quadrats Per fer aquest exercici, agafa la teva calculadora i no arrodoneixis els resultats que obtinguis amb ella. Observa bé aquesta figura. Dins d’un quadrat hem inscrit un altre quadrat i dins d’aquest un altre unint amb segments els punts mitjos dels costats del quadrat anterior.
a) L’àrea del quadrat gran és 64 cm2. Quant mesura el costat del quadrat?
c) Quina és l’àrea del quadrat 2? Quan mesura el costat del quadrat 2?
d) Quina és l’àrea del quadrat 3?Quan mesura el costat del quadrat 3?
L’arrel quadrada En l’activitat anterior l’àrea del primer quadrat és 64 i per saber el que val el seu costat hem buscat un número que elevat al quadrat doni 64, es a dir
64 i has obtingut 8
82 = 64 864
El segon quadrat ocupa la meitat del primer quadrat , la seva àrea val 32 i per saber el que val el seu costat hem buscat un número que elevat al
quadrat doni 32, és a dir 32 i amb la calculadora hem obtingut:
.......,656854249532
32 és un decimal il·limitat , un altre irracional. Si vols treballar amb el
número que elevat al quadrat dona 32 has d’agafar una aproximació amb una, dues o més xifres decimals igual que has fet en els exemples de les activitats anteriors.
Per no tenir que agafar una aproximació, s’ha inventat la notació
32 . 32 és una forma còmoda d’escriure les infinites xifres decimals del
número que elevat al quadra dóna 32. Es a dir, definim 232 =32
Pàgina 8 de 119
9) Les dues arrels quadrades d’un número
Acabem de veure que 8 és un número que elevat al quadrat és 64.
82 = 64 864
a) Se t’ocorre un altre número que tingui 64 com a quadrat?
b) Quins números donen 9 al elevar-los al quadrat?
c) Quins números tenen 4 com a quadrat?
d) Completa aquesta taula:
a2 64 16 -36
a 3 -3 -2 2 -5 5 3
2 -
3
2 1 -1
9, 16, 25,..... tenen una arrel positiva i una arrel negativa oposada a l’anterior.
Per distingir aquestes dues arrels quadrades, oposades entre sí, s’utilitzen els
signes + i –
52 = 25 + 25 = 5
(-5)2 = 25 – 25 = – 5
25 té dues arrels quadrades + 25 = 5 que s’escriu simplement 25 , i – 25 =–
5
També 3 té dues arrels quadrades, però les dues són números irracionals:
3 = 1,732050808.....
– 3 = –1,732050808.....
e) En els dos cassos: ( 3 )2 = 3 (– 3 )2 = 3. Comprova-ho amb la
calculadora. f) Es pot calcular sempre l’arrel quadrada d’un número? g) Observa la taula anterior. Has pogut trobar un números que elevat al quadrat doni – 36?
Pàgina 9 de 119
h) Escriu a la calculadora un número negatiu i fes la seva arrel quadrada. Què passa? i) Escriu les teves conclusions:
Pàgina 10 de 119
Un problema de cubs 10) Tenim un cub de 27 dm3 de volum. Quina longitud té el costat del cub? Per trobar el costat del cub hem de trobar un número que elevat al cub doni 27,
és a dir 3 27 que és 3:
33 = 27 3 27 =3 Obtén amb la calculadora l’arrel cúbica de 24, l’arrel cúbica de 35, la de – 23 i la de – 52 3 = 3 =
3 = 3 =
Per no tenir que fer una aproximació, s’escriu, com per a les arrels quadrades:
3 24 , 3 35 , 3 23 , 3 52 .
Això simplement és una forma còmoda d’escriure les infinites xifres decimals dels números que elevats al cub donen 24, 35, –23 i – 52 Completa aquesta taula:
a3 64 -
27 27 -1 -8 8
a 3 8 -2 1/2 -5 3/4 0,2 3
2 -
3
2
11) Observa la taula i completa les preguntes:
a)¿Quantes arrels cúbiques té un número? b)¿Pot ser el cub d’un número negatiu? Com és aleshores el número? c) Introdueix números qualsevol a la teva calculadora i calcula la seva arrel cúbica. d) Es pot obtenir l’arrel cúbica de qualsevol número?
Pàgina 11 de 119
e) Aquesta taula conté dades de quatre cubs diferents. Completa les caselles que falten:
Costat Àrea de una cara Volum
7,5 m
100 dm2
3.375 cm3
729 dm3
Pàgina 12 de 119
12) Al completar la taula de l’exercici anterior has obtingut resultats que no són irracionals .
Emplena ara les caselles d’aquesta taula, expressant els costats primer amb la
notació 3 i després utilitzant la calculadora calcula l’arrel cúbica i dóna el
resultat arrodonit amb dues xifres decimals.
Costat Costat amb 3 Aproximació
598 cm3 3 598 cm 8,42 cm
29 dm3
0,234 m3
5,77 cm3
47,8 dm3
98,1 m3
Arrel quadrada d’un producte i producte d’arrels quadrades.
13) Utilitza la calculadora en els cassos que sigui necessari i, sense arrodonir
els resultats de la pantalla, calcula els següents resultats:
a) 169 · 169· 144
b) 100425· 425 ·
c) 8164 · 18458164 .·
d) 16
9 56250
16
9,
e) 2564
25,
4
25=
f) 81
64=
81
64
Pàgina 13 de 119
g) 64025
16,
25
16
14) Utilitzant la tecla arrel quadrada de la teva calculadora i sense arrodonir els resultats de la pantalla obtén i compara els resultats següents:
a) 53
23=
53
23
b) 42
67
42
67
c) 3712· 3712 ·
d) 2614 · 2614·
15) Desprès de comparar els resultats escriu les teves conclusions:
L’arrel quadrada d’un producte de números és igual al producte de les arrels quadrades dels números:
baba ··
L’arrel quadrada d’un quocient de números és igual al quocient de les arrels dels números:
b
a
b
a
Pàgina 14 de 119
16) Aquestes propietats serveixen per fer càlculs amb arrels sense necessitat de fer aproximacions, utilitzant la notació que permet treballar amb infinites xifres decimals. Aplica aquesta propietat per calcular sense calculadora els següents productes i quocients d’arrels:
a) 223
· g) 3664·
b) 4
3 h) 481·
c) 1010 · i) 3600
d) 2500 j) 3
12
e) 28 · k) 123 ·
f) 24
96 l)
3
27
17) Una altra aplicació d’aquestes propietats consisteix en treure a fóra de
l’arrel tots els factors que es pugui, deixant la resta a dintre.
Per exemple: 35353532575 22 ···
Observa:
277249298 2 ·· 222228 23 ·
18) Treu tots els factors que puguis fóra de l’arrel. Per això descompon en
factors primers i utilitza les propietats que acabem de veure:
a) 50 e) 108
b) 468 f) 90
c) 180 g) 32
d) 323· h) 28
Pàgina 15 de 119
Observa:
e) 222224 55555555 ···
f) 32226 77777777 ····
g) 222222222 322267 ·····
19) Completa:
a) 333 1011 · e) 6a
b) 9x f) 14b
c) 18y g) 34 b·a
d) 25 y·x h) 27 d·c
Observa el que passa amb l’exponent d’un factor quan surt fóra de l’arrel quadrada.
Un factor elevat a un exponent surt fóra de l’arrel quadrada elevat a
l’exponent meitat de l’anterior.
20) Quan els números que hi ha dins l’arrel són més complicats, la forma
ràpida de saber quins factors es poden treure fóra de l’arrel quadrada és descomposar el número en factors primers.
Per exemple: 1015525355325322502 2232 ·········.
21) Descompon en factors primer els números de dintre l’arrel i treu tots els
possibles factors.
a) 9693.
b) 0964.
c) 560
Pàgina 16 de 119
22) Alguna vegada ens pot interessar posar factors a dintre d’una arrel quadrada.
Que li passarà a l’exponent d’un factor quan entra dins d’una arrel quadrada? Repassa les operacions que has fet a l’apartat anterior i considera que les fas a l’inrevés. Per exemple:
75325353535 22 ···
23) Escriu les teves conclusions: 24) Introdueix els següents factors dintre de les arrels quadrades:
a) 354 e) 273
b) 321 f) 455
c) b·aa 2 g) 43 aa
d) 23 xx h) a··a· 52
25) Suma d’arrels i arrels de sumes. Utilitzant la tecla de l’arrel quadrada de la teva calculadora en els cassos que faci falta, calcula aquestes operacions. Quan el resultat sigui irracional, arrodoneix el resultat final que aparegui a la pantalla, quedant-te amb dues xifres decimals.
a) 94 94
b) 2516 2516
c) 1681 1681
d) 436 436
e) 499 499
26) Repeteix i utilitzant la calculadora, calcula:
a) 72 72
b) 4951 4951
c) 8317 8317
d) 694 694
Pàgina 17 de 119
Observa que:
La suma de dues arrels quadrades NO és igual a l’arrel quadrada de la suma:
ba ba
Radicals semblants
27) Hem vist que 75 es pot escriure com 35352 · , i 12 com 32322 ·
Es diu que 75 i 12 són radicals semblants perquè els dos són múltiples de
3
Si volem sumar 75 + 12 podem posar: 75 + 12 = 35 + 32
i traient factor comú: 75 + 12 = 35 + 32 = 37325 ·
28) Utilitza el mateix mètode per sumar aquests radicals. Abans has de transformar-los en radicals semblants:
a) 263224728
b) 273275
c) 1506324
d) 2162
115054224
e) 633
1282175
Encara que, en general, no es poden sumar arrels, si es pot fer una suma amb
radicals semblants
Pàgina 18 de 119
Opera amb arrels quadrades.
29) Has anat esbrinant, una a una, les diverses propietats de les operacions
amb arrels quadrades, les arrels quadrades ,,, 235 etc, són números
que compleixen totes les propietats que ja coneixes de les operacions.
Per exemple és fàcil comprovar mentalment que:
1064322292421052322942 ···
Comprova amb la calculadora, utilitzant totes les xifres de la pantalla que:
3252352
Inventa’t un altre exemple i comprova amb la calculadora que aquesta propietat, la propietat distributiva, es sempre certa quan s’opera amb arrels.
30) Aplicant la propietat distributiva calcula, simplificant al màxim i sense utilitzar la calculadora, els següents productes:
a) 323
b) 723722
c) 223
d) 515
e) 355 + 325
f) 3235
g) 72247
h) 2233
i) 543533
Pàgina 19 de 119
j) 22321
k) 2323
l) 2321
m) 2
21
n) 2323
o) 2323
p) 6464
q) 2
23
r) 2
132
Arrel enèsima 31) Hem vist que :
32 = 9 39
33 = 27 3273
Busca un número que elevat a 4 doni 16. Quina és aleshores la arrel quarta de 16?
= 16 3164
4
Pàgina 20 de 119
32) Completa aquesta taula. Per ajudar-te, pots descompondre en factors els números que hi apareixen :
= 16
4 16
= 4.096
6 0964.
= 371.293
5 293371.
= 343
3 343
= – 16.384
7 38416.
= – 243
5 243
33)
En general si bn = a, direm que b és una arrel enèsima d’a i s’escriu:
baab nn
n és el índex i a el radicand
Igual que per les arrels quadrades i cúbiques, escriure n a és una forma
còmoda d’escriure el número que elevat a la potència n dóna el radicand a.
És a dir, n a elevat a la potència n dóna a aan
n
Amb aquesta notació s’escriu:
552 33
33 77
55
34) Introdueix el factor constant en la multiplicació per 3 en la teva calculadora
(3 ) i calcula les quinze primeres potències de 3.
31 = 32 = 33 = 34 = 35 =
36 = 37 = 38 = 39 = 310 =
4
6
5
3
7
5
x x
Pàgina 21 de 119
311 = 312 = 313 = 314 = 315 =
35) Utilitzant els càlculs anteriors completa:
33 55 33 33
33 88 33 1111
33 1614 33 1010
36) Calcula:
8 5516. 12 0964. = 4 625 7 12578. 10 0241.
37) Al completar la taula de l’exercici hem obtingut que el número que
elevat a 5 donava – 243 era – 3, escrivint aleshores que 32435
a) Se t’ocorre un altre número que elevat a 5 doni – 243?
b) També has obtingut un número que elevat a 6 dona 4.096.
c) Se t’ocorre un altre número que elevat a 6 doni 4096?
d) Hi ha algun número que elevat a 4 doni 16?
e) Hi ha algun número que elevat a 4 doni – 16?
38) Contesta ara aquestes preguntes:
Quan el radicand és positiu:
a) Quants valors té n a si n és par?
b) Quants valors té n a si n és impar?
c) Quan el radicand és negatiu:
d) Quants valors té n a si n és par?
e) Quants valors té n a si n és impar?
Pàgina 22 de 119
Recorda les potències
39) Quan et donen una expressió com (24)5 · 2-2 · 2-1 i et diuen que la
simplifiquis, has de recordar les propietats de les potències i escriure-la com una sola base elevada a un sol exponent:
(24)5 · 2-2 · 2-1 = 220 · 2-2 · 2-1 = 220 – 2 – 1 = 217
on has hagut de fer servir successivament dues d’aquestes propietats:
mnmn aa·a
mnmn aa:a
m·nmn aa
nnnb·ab·a
mnna:ab:a
40) Escriu com una sola potència
a) 3423 333 ··
b) 4232 777 ··
c) 362 55 ·
d) 54 22 :
e) 3222
f) 22
77
g) 321
202020 ,·,·,
h)
338
3
1
3
1
3
1··
41) Potències d’exponent fraccionari
Tenim:
1055 aa·a
422 aa·a
422 aa·a
633 aa·a
844 aa·a
Pàgina 23 de 119
Però també:
aa·a
Quin exponent hi ha que posar en perquè es compleixi: a · a = a1
Si el número que elevat a quatre dóna a és 4 a , tenim:
4 a · 4 a · 4 a · 4 a = a
Quin exponent hi ha que posar en perquè es compleixi:
a · a · a · a = a1
Perquè les propietats de les arrels es puguin expressar com les de les
potències s’escriu:
2
1
2 aa 3
1
3 aa i, en general:
índexíndex aa
1
1 nn aa
1
1
índex
onent
índex onent aa
exp
exp n
m
n m aa
Pàgina 24 de 119
42) En aquesta taula relaciona amb fletxes les propietats de les arrels quadrades en forma de potències d’exponent fraccionari amb algunes de les propietats de les potències
Notació amb arrel Notació amb potència
Propietats de les potències
a) aa·a aa·a 2
1
2
1
1. an · am = an+m
2. an : am = an – m
3. m·nmn aa
4. (a · b)n = an · bn
5. (a : b)n = an : bn
b) 10 aa:a 12
1
2
1
oaa:a
c) 33 aa 21
3
3
2
1
aa
d) 24 aa 22
14
2
14 aaa
·
e) b·ab·a 21
2
1
2
1
b·ab·a
f) b·ab·a 2
1
2
1
2
1
b·ab·a
g) b
a
b
a
2
1
2
1
2
1
b
a
b
a
Totes les propietats de les potències d’exponent enter continuen essent certes per a les potències d’exponent fraccionari.
43) Escriu en forma de potències amb exponent fraccionari aquestes arrels i
aplica les propietats de les potències per operar amb elles:
a) 3
4 a
b) 3
43 55·
c)
3
3
32
32
·
·
Pàgina 25 de 119
44) Redueix a una sola potència les expressions següents i presenta al final els resultats en forma d’arrel:
a) 123
24 232323 ·
b)
42
23
52
555 ··
c) 33
21505050 ),(·,,
d)
3
4
38
3
2
3
2
3
2··
e) 34
232
a·a·a
f) 27
23
1 x·x·x
45) El missatge secret. Calcula els següents resultats i desxifra el missatge secret. Tingues em compte que cada resultat correspon a una lletra. Col·loca-la en l’ordre establert i sabràs el que diu.
C O D I
A C E F I L Q S U
36 30 4/3 8/3 64 54 -1/3
500 3/5
1) 3
27
1
2) 4
625
81
3) 4
81
256
4)
2
1
3
81
4=
5) 682734 26 ···
Pàgina 26 de 119
6) 014
3
2
2
1
2 335813
43 ·
7)
632
3 92
1
22
222 ··
8) 3328 2
5
2 ···
9)
2
3
2
1
4 82
5
32
223
·
··
10)
44
31
52
55
·
·
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Pàgina 27 de 119
UNITAT 1: POLINOMIS
L’equip de treballadors de la dissenyadora de moda Sra: Ou fregit va
començar a pensar en el pressupost de capses pels regals (ortoedres) de
80dm d’alçada i d’una llargada igual que l’amplada ( l’amplada encara no tenen
clar quina serà). De moment fan pressupostos amb diferents robes per folrar
les capses i diferents preus d’elaboració.
Activitat 1
Pressupost de folrar les capses:
Comencem amb una roba vermella que costa 0,1€/dm2 i amb 20€ per
l’elaboració de cada capsa.( Recordem que l’amplada encara està per
determinar i que l’alçada és de 80 dm)
a) Quina és l’àrea lateral de la capsa sense tapa? ( en funció de l’amplada
desconeguda: x)
b) Calcula el preu de cost de cada capsa sense cobrar l’elaboració.
c) Quin és el preu total de cada capsa cobrant l’elaboració?
Activitat 2
Pressupost de les capses segons el material
Les capses tindran diferent preu si són de cartró, fusta o metàl·liques.
Suposem que les volem de cartró i que el preu és de 0,01€/dm3
a) Calculeu el volum de la capsa de cartró amb les dimensions de l’activitat
1.
b) Calculeu el preu de la capsa de cartró de les dimensions anteriors.
Pàgina 28 de 119
Activitat 3
a) A l’expressió axn on n és un número natural se l’anomena.......................
I n és el..............................del monomi. Donat un monomi axn anomenem
coeficient a ........ i part literal a .........................
Una suma algebraica de diversos ................................. de
diferents.................. rep el nom de................................
En un polinomi a l’exponent del monomi de major grau
l’anomenem..........del .................................
Donat el polinomi P(x)= anxn + an-1x
n-1 + ...............+ a1x + a0 als elements
ai que són nombres reals els anomenem.........................Al coeficient a0
l’anomenem.....................................
Anomenem termes......................a dos monomis del mateix...................
b) Digues de les següents expressions quines són monomis i quines
polinomis:
- P(x) = 3x3
- Q(x) = -x4+3x2-1
- R(x) = x
- S(x) = x+2
- T(x) = 3x5-2x4+x2-4x+1
c) Reconeix en els polinomis i monomis de l’apartat anterior el grau,els
coeficients i el terme independent.
Activitat 4
a) Per multiplicar un número per un polinomi es ............................el
número per tots els.........................dels polinomi.
b) Resol:
- 4(2x3-8x2+4x-2)=
- 8(x2-7x+6)=
Activitat 5
Determina si són monomi o polinomi les expressions de les activitats 1 i 2.
Activitat 6
Pàgina 29 de 119
a) Si substituïm en un polinomi la x per un.....................i calculem el resultat
obtenim un altre número anomenat....................................................
b) Calcula el valor numèric dels següents polinomis per x=1, x=2 i x=-1
- P(x) = 3x3
- Q(x) = -x4+3x2-1
- R(x) = x
- S(x) = x+2
- T(x) = 3x5-2x4+x2-4x+1
c) Suposem que en el context de les activitats 1 i 2 definim el valor de
l’amplada i és de 2m és a dir 20 dm. Calcula el valor numèric amb x=20
dm de tots els polinomis definits a les activitats 1 i 2.
d) I si l’amplada fos 10m? I 230cm?
Activitat 7
Anem a sumar polinomis de la manera següent:
Agrupem els monomis que tinguin el mateix grau i després sumem. Observa el
següent exemple:
P(x)=2x3+3x2+4x-3 Q(x)=5x3-2x2+1
P(x)+Q(x)=2x3+5x3+3x2-2x2+4x-3+1=7x3+x2+4x-2
Per restar 2 polinomis sumem al primer l’oposat del segon.
a) Donats els polinomis següent:
A(x)=2x3-3x2+2 ; B(x)=-3x3-4x2+2 ; C(x)=5x2+7
Calcula:
- A(x)+B(x)
- A(x)-B(x)
- A(x)+B(x)+C(x)
- A(x)-B(x)-C(x)
- A(x)-(A(x)+C(x))
Activitat 8
Pàgina 30 de 119
Pressupost de folrar altres capses:
Roba verda: que costa 0,1€/dm2 i 20€ per l’elaboració de cada capsa.
L’amplada, la llargada i l’alçada són desconegudes i tenen el mateix valor.
Roba groga: que costa 0,1€/dm2 i 20€ per l’elaboració de cada capsa.
L’amplada i la llargada són desconegudes i tenen el mateix valor i l’alçada és
de 100 dm.
a) Quin és el preu total de les capses verdes cobrant l’elaboració?
b) Quin és el preu total de les capses grogues cobrant l’elaboració?
c) Si fem 10 capses verdes i 15 grogues quin és el preu total cobrant
l’elaboració?
d) Suposem que ens hem equivocat i que només en volem 5 de grogues?
Quin és el preu total?
Activitat 9
Anem a multiplicar monomis de la manera següent:
(axn)·(bxm) = abxn+m
Multiplica:
a) (2x5)·(-4x3)=
b) (-4x2)·(x5)=
Activitat 10
Anem a multiplicar polinomis de la manera següent:
Multipliquem cada monomi del primer polinomi per tots els monomis del segon
polinomi i després sumem els termes semblants.
Donats els següents polinomis:
A(x)=2x3-3x2+2 ; B(x)=-3x3-4x2+2 ; C(x)=5x2+7
Multiplica:
a) A(x).B(x)
b) A(x).C(x)
c) B(x).C(x)
Activitat 11
Pàgina 31 de 119
El col·laborador de la dissenyadora Sra “Ou fregit” va demanar pressupost per
folrar panells de fusta amb tela daurada. L’esquema és el que em fet.
El preu de la roba és de 0.2 € /dm2.
a) Calcula l’àrea de cada panell per una amplada desconeguda (x)
b) Calcula el preu de cada panell.
c) Feu el pressupost total.
Activitat 12
El preu del plafó de fusta suport del pòster és: 6€/m2
El preu del pòster: 4000€
Preu d’elaboració dels tècnics: 200€
X+1
x
X+2 X+3
Pàgina 32 de 119
Les mides del plafó no les tenim determinades però volem que l’alçada sigui un
metre més que l’amplada i que l’amplada estigui compresa entre 3 i 4 metres.
Calcula el preu total.
Activitat 13
Anem a dividir un polinomi entre un monomi seguint l’exemple següent:
8x4 -3x3 +5x2 -2 2x3
-8x4 4x-(3/2) Quocient
0 -3x3 +5x2 -2
+3x3
0 +5x2 -2 Residu
Divideix els següents polinomis:
a) (3x4-x3+3) : (x2)
b) (x3+2x2-x+1) : (2x)
Activitat 14
Anem a dividir dos polinomis seguint l’exemple següent:
8x4 -3x3 +5x2 -2 x2-x+1
-8x4 +8x3 -8x2 8x2+5x+2
0 5x3 -3x2 -2
-5x3 +5x2 -5x
0 +2x2 -5x -2
-2x2 +2x -2
0 -3x -4
Divideix els següents polinomis:
a) (-6x3+28x2-40x+25) : (3x2-5x+4)
b) (4x4-9x2+6x-1) : (2x2-3x-1)
Pàgina 33 de 119
Activitat 15
La galeria d’art “L’Ou Estrellat” vol comprar el Poster un cop acabada la
cavalcada i vendre’l en trossos d’un metre quadrat ( petits pòsters). Després de
moltes negociacions el compren pel doble de seu valor.
a) Calcula el preu de compra.
b) Quants m2 té el mural?
c) Quin és el preu per m2?
d) (Ampliació)Finalment estableixen que l’amplada del Poster sigui de 3m.
Calcula el preu de cada tros. Observa la importància que té el residu en un
quocient de polinomis.
Activitat 16
Anem a dividir un polinomi qualsevol pel binomi x-a per la regla de Ruffini
seguint l’exemple següent: (2x3-5x2+4x+2) : (x-3)
2 -5 4 2
3 3.2=6 3.1=3 3.7=21
2 1 7 23
Quocient: 2x2+x+7 Residu:23
Divideix per Ruffini els següents polinomis:
a) (2x3-5x2+3) : (x-2)
b) (x3-3x2+2x+4) : (x+1)
c) (2x4+x3-5x-3) : (x-2)
d) (x3-1) : (x+1)
Pàgina 34 de 119
ACTIVITATS D’AMPLIACIÓ
Activitat 1
Teorema del Residu ( El valor numèric d’un polinomi per a x = a és igual al
residu que obtenim al dividir aquest polinomi per (x-a) )
Calcula el residu de la divisió sense fer-la.
a) (2x3-5x2+3) : (x-2)
b) (x3-3x2+2x+4) : (x+1)
c) (x2-3x+2) : (x-3)
d) (2x4+x3-5x-3) : (x-2)
e) (x3-1) : (x+1)
Activitat 2
Arrels d’un polinomi són els valors que hem de donar a la x perquè el valor
numèric del polinomi sigui 0, és a dir si a és l’arrel d’un polinomi, la divisió per
(x-a) és exacta ( residu=0).
a) Determina si x=1 és arrel del següent polinomi:
x3+3x2-x-3.
b) Determina si x=-3 és arrel del següent polinomi:
x3+3x2-x-3.
c) Determina si x=2 és arrel del següent polinomi:
x3+3x2-x-3.
Activitat 3
Anem a descompondre polinomis, es a dir expressar-los com a producte de
polinomis de grau més petit a ser possible de grau 1.
a) Descompon el següents polinomis:
- A(x)=x2+2x+1
- B(x)=2x2-4x+2
- C(x)=x2-4
- P(x)=x2-7x+12
- Q(x)=x3-2x2-3x
- R(x)=x4-8x3+5x2-7x
- T(x)=x3-6x2+11x-6
Pàgina 35 de 119
Activitat 4
Anem a calcular el mcd i mcm de 2 o més polinomis.
a) Calcula el mcd i el mcm de: p(x) = x2-1 i q(x) = x4-1
b) Calcula el mcd i el mcm de: p(x) = x2+4x+3 i q(x) = x3+3x2-x-3
Activitat 5
Anem a simplificar fraccions algebraiques.
a) Simplifica les fraccions següents:
23
2
xx
xx
;
4x4x
4x2
2
:
3x4x
1x2
Activitat 6
Anem a fer operacions amb fraccions algebraiques:
a) Fes les operacions següents:
4
2x·
2x
1x
;
3
2x·
4x
1x2
:
2x
7:
2x
1x
2x
x
2x
4
;
2x
x
2x
4
;
2x
2
x2x
x12
Pàgina 36 de 119
ACTIVITATS DE REFORÇ
Activitat 1
Digues de les següents expressions quines són monomis i quines polinomis.
Reconeix també el grau, els coeficients i el terme independent.
- P(x) = 2x
- Q(x) = 3x-1
- R(x) = x2-4x+5
- S(x) = -3x3
- T(x) = 2x5+2x4+x2-4x+1
Activitat 2
Fes les següents operacions:
a) 2(x3-3x2+4x-1)
b) -3(x2-5x+5)
c) 5(2x2-3x+3)
d) -8(x3-2x2-6x+3)
Activitat 3
Calcula el valor numèric dels següents polinomis per x=1, x=2 , x=-1 i x=-2
- P(x) = -2x4+x2-1
- Q(x) = -2x3-x2+3
- R(x) = x+5
- S(x) = x2-2
- T(x) = -4x5+2x4-x2+x-8
Activitat 4
Fes les següents operacions tenint en compte el polinomis de l’activitat 3.
a) P(x)+Q(x)
b) R(x)+T(x)
c) Q(x)-S(x)
d) P(x)+Q(x)+R(x)+S(x)+T(x)
e) T(x)-P(x)-Q(x)
Pàgina 37 de 119
UNITAT 2:EQUACIONS DE SEGON GRAU
La conilla Cassilonga va anar a la floristeria “El girasol” i va demanar preus de la gespa. L’encarregada li va dir que la gespa es venia per quadres d’un metre quadrat, que en aquell moment només en disposava de 4 m2 i que trigaria uns 15 dies a rebre’n més. La Cassilonga va pensar que ja en tenia suficient, doncs el lloc on volia posar-ho no donava per gran cosa més. Ara la Cassilonga havia de pensar en el disseny. Com ho faria? Quadrat?, Rectangular? Activitat 1 Si ho fa en forma de quadrat i l’àrea és de 4 m2, quant cal que valgui el costat? Activitat 2 La Cassilonga també va pensar en fer-ho de forma rectangular i a més va pensar fer el costat curt 1m més petit que el costat llarg.
a) Escriu la fórmula que ens dóna l’àrea d’aquest rectangle? b) Si l’àrea és de 4 m2 quant mesura cada costat?
x
x-1
x
Pàgina 38 de 119
Activitat 3 A veure si saps resoldre aquestes equacions?
a) x2 = 9 b) 2x2 = 32 c) 5x2 – 20 = 0 d) 7x2 – 63 = 0 e) 10x2 – 400 = 90 f) 3x2-6 = 2x2 – 2 g) x(x-1) = 0 h) x2 + 3x = 0 i) 5x2 – x = 0
j) 092
x2
k) 0x42
x2
l) (x-1)(x-3)=0 m) (x+5)2=0
Activitat 4 Resol les següents equacions de segon grau incompletes seguint els següents exemples:
Exemple1: 2x2-8 = 0 ; 2x2 = 8 ; x2 =2
8 ; x2 = 4 ; x = 4 ; x = 2
Exemple2: 2x2-8x = 0 ; x(2x-8) = 0 ; x = 0 i 2x-8 = 0 ; x = 0 i 2x = 8 ; x = 0 i
x =2
8 ; x = 0 i x = 4
a) 3x2-75 = 0 ; 7x2-40 = 0 ; 2x2+10 = 0 b) 4x2-8x = 0 ; 3x2 + 5x = 0 Activitat 5 Amb la fórmula de resolució d’equacions de segon grau resol les equacions
següents. (Si tenim l’equació: ax2+bx+c=0 aleshores x=a2
ac4b±b 2 -)
a) x2 - 6x + 5 = 0 ; 2x2 - 10x + 12 = 0 ; -6x2 + 5x - 1 = 0
b x2 - 3
x2 -
3
5 = 0 ; 2
2
x+x2=4
1+x8
Activitat 6 Tradueix a llenguatge algebraic els següents enunciats:
a) La suma dels quadrats de dos números consecutius és 221. b) El producte de dos números parells consecutius és 2024. c) El producte d’un número per la seva tercera part és 27. d) Un número i la seva arrel quadrada sumen 42.
Pàgina 39 de 119
Activitat 7 Aquí tens un seguit de problemes, sabries resoldre’ls?
a) Calcula un número que sumat amb el doble de la seva arrel quadrada ens dóna 24. b) La Maria i en Lluís han rebut una quantitat de diners. El noi ha cobrat 12€ més que la noia i la suma dels quadrats de les dues quantitats és 464€. Quants diners ha rebut cadascú? c) Una habitació rectangular té una àrea de 28 m2 i el seu perímetre és de 22 m. Calcula les dimensions de l’habitació. d) La diagonal d’un rectangle és de 26 cm i el perímetre del rectangle és de 68 cm, determina els costats del rectangle.
Pàgina 40 de 119
ACTIVITATS D’AMPLIACIÓ Activitat 1 Resol les següents equacions biquadrades ( Fent el canvi de variable x4=y2 i x2=y):
a) 4x4 – 37x2 – 9 = 0 b) 6x4 – 11x2 + 3 = 0 c) x2( 3x2+2 ) = 4(x2 – 3) +13
Activitat 2 Resol les següents equacions irracionals( deixem l’arrel en un dels membres de l’equació i elevem els dos membres al quadrat. Alerta que quan elevem una equació al quadrat guanyem solucions per tant sempre s’han de comprovar les solucions en l’equació inicial)
a) 025x
b) 22xx 2
c) 2xx
d) 74x
e) 1x25x 2
Activitat 3 Resol els següents sistemes per substitució intentant no aïllar les incògnites que estan elevades al quadrat):
a)
2yx
0yx2
b)
9yx6
0yx2
c)
7yx
25yx 22
d)
12y.x
25yx 22
Pàgina 41 de 119
ACTIVITATS DE REFORÇ Activitat 1 Resol les següents equacions de segon grau: a) x2-9 = 0 ; x2-1 = 0 ; x2-6 = 10 b) x2-x = 0 ; x2 + 9x = 0 ; x2-11x = 0 Activitat 2 Amb la fórmula de resolució d’equacions de segon grau resol les equacions següents: a) x2 – 7x - 18 = 0 ; x2 – 4x + 7 = 0 ; 3x2 + 15x + 18 = 0 b) x2 + 2x + 1 = 0 ; x2 + 12x – 64 = 0 ; x2 – 13x +36 = 0 Activitat 3 Tradueix a llenguatge algebraic els següents enunciats:
a) La suma d’un nombre i el seu quadrat b) La suma dels quadrats dels dos nombres és 10 c) La diferència dels quadrats de dos nombres és 10 d) El producte d’un nombre per la seva tercera part és 27
Activitat 4 Aquí tens un seguit de problemes, sabries resoldre’ls?
a) La suma dels quadrats de dos nombres consecutius és 213. b) La diferència entre els quadrats de dos nombres consecutius és 41. c) El producte d’un nombre per la seva tercera part és 27. d) El producte de dos nombres consecutius és 72. e) El producte de dos nombres parells consecutius és 2024.
Pàgina 42 de 119
Pàgina 43 de 119
UNITAT 3: INEQUACIONS
En Miquel decideix fer lots de cactus de 10€ ( 2 cactus) i de 20€ (5 cactus) Vol fer el doble de lots de 10€ que de 20€, però entre tots els lots en faria com a màxim 90 lots pensant en els cactus que té en stock. Lots de 20€ = x Lots de 10€ = 2x Aleshores x + 2x 90 ; 3x 90 és a dir: x 30 Per tant en Miquel podrà fer com a màxim 30 lots de 20€ i 60 lots de 10€. Activitat 1 Una inequació és una ................................ en la qual apareix alguna incògnita (variable) en un o en els dos ........................ de la desigualtat. Resoldre una inequació és trobar els ..................... de x que fan ................... la desigualtat. Dues inequacions són equivalents quan totes dues tenen les ......................... solucions. Si als dos membres d’una inequació els sumem o restem un mateix número o una mateixa expressió algebraica, s’obté una inequació ........................... a la primera. Si els dos membres d’una inequació es multipliquen o divideixen per un número més gran que zero, s’obté una altra inequació .......................... a la primera. Si els dos membres d’una inequació es multipliquen o divideixen per un número més petit que zero, s’obté una altra inequació .......................... a la primera amb el ......................... de la desigualtat canviat. Activitat 2 Resol les següents inequacions algebraicament:
a) 3x + 1 > 2x + 5 b) 2x + 1 x + 3 c) 4 – 5x < 3( -2 - x ) -6 d) 6(x - 2) – ( 4 – 3x ) > x – 5
Pàgina 44 de 119
e) 3 – ( 5x - 2 ) 7 - 2(x + 3)
f)
3
3x
2
x 1
g) 3
x43
6
x26
2
x54
h) 02x7
1x
2
x
Activitat 3 Representa gràficament sobre la recta real i expressa en forma d’interval les solucions de les inequacions de l’activitat 2. Activitat 4 Representa gràficament els valors que verifiquen les inequacions dobles següents:
a) -2 < x < 0 b) 0 < x < 5 c) 0 x-1 3 d) 2 < x < 6 e) -2 < x-1 < 4
Activitat 5 Resol els següents problemes d’inequacions:
a) Una fàbrica de Reus paga als seus viatjants 0,50€ per article venut més una quantitat fixa de 400€. Una altra fàbrica de la competència paga 0,70€ per article i una quantitat fixa de 300€. Quants articles ha de vendre el viatjant de la competència per guanyar més diners que el primer?
b) Quins són els números el triple dels quals excedeix el seu doble en més de 20.
c) La suma de la tercera i la quarta part d’un número és més petita que el triple d’aquest número. Quins valors pot prendre el número?
d) L’edat de la meva mare i la de la meva germana sumen 75 anys. Quina pot ser l’edat de la meva mare si té més anys que el doble dels que té la meva germana?
e) Calcula la longitud del costat d’un triangle equilàter perquè el seu perímetre sigui més gran que el d’un quadrat de 3,9cm de costat.
f) La quota mensual que dóna dret a practicar els esports d’una instal·lació poliesportiva del barri és de 24,50€. Aquesta quantitat permet la pràctica esportiva sense límit d’hores. En cas que es vulgui gaudir de la instal·lació sense ser-ne abonat, cal pagar 3,50€ cada hora. Quantes hores mensuals cal anar al poliesportiu perquè resulti més econòmic abonar-s’hi?
g) L’altura d’un rectangle mesura 6,4 cm. Quina ha de ser la longitud de la base perquè l’àrea del rectangle no superi els 26,24 cm2?
Pàgina 45 de 119
Activitat 6 Resol algebraicament els sistemes d’inequacions següents:
a)
93
1x
2
x51)4x(35x
b)
)3x(35x2
3x2
1x
c)
5
1
3
1x2
x5x4
Activitat 7 Representa gràficament sobre la recta real i expressa en forma d’interval o intervals les solucions dels sistemes d’inequacions de l’activitat 6.
Pàgina 46 de 119
ACTIVITATS D’AMPLIACIÓ
Activitat 1
Resol algebraicament les inequacions següents estudiant el signe de cada
factor:
a) (x-1)(x+3)>0
b) x(x-4)<0
c) (x-5)(x+2) 0
d) (x+1)(3-x) 0
Activitat 2
Representa gràficament sobre la recta real i expressa en forma d’interval les solucions de les inequacions de l’activitat 1.
Activitat 3
Resol les inequacions següents i dóna les solucions en forma d’interval:
a) 0x3
x
b) 03x
1x
c) 01x
x2
d) 07x
1x
Pàgina 47 de 119
ACTIVITATS DE REFORÇ
Activitat 1
Resol algebraicament les següents inequacions:
a) 3x+2<2x+5
b) 3x-7<5
c) x+2<2x+4
d) 2-x>3
e) 78x-5
f) 3x+10<2x-8
g) 1-5x -8
h) x23
)2x(2
i) 1x2
1x
j) 8
4x1
4
4x
k) 3
xx1
Activitat 2
Representa gràficament sobre la recta real i expressa en forma d’interval les solucions de les inequacions de l’activitat 1.
Pàgina 48 de 119
UNITAT 4: SEMBLANÇA DE TRIANGLES
La Dora, la mestressa de la merceria “Les boletes”, vol provar d’elaborar collarets amb peces cóniques que ha vist en un nou catàleg. Decideix elaborar 10 collarets llargs i 10 curts. Vol saber quantes peces necessitarà per a fer els collarets.
Els cons tenien un forat cilíndric des de el vèrtex del con fins el centre de la base (tota l’alçada) El representant va mesurar la generatriu del con (2 cm) i el radi de la base ( 1 cm). Després de fer uns quants càlculs va dir: - Ja ho tinc ! L’alçada fa 1.73 cm - Com ho has fet? - Fàcil! He utilitzat el teorema de Pitàgores. Qualsevol alumne de l’ESO ho sabria fer!!
Pàgina 49 de 119
- Ah!, si! Un filòsof i matemàtic grec. M’equivoco? Teorema de Pitàgores: Donat un triangle rectangle la suma dels quadrats dels catets és igual al quadrat de la hipotenusa. Activitat 1 Busca més informació sobre Pitàgores. Activitat 2 A partir d’aquesta representació demostra el teorema de Pitàgores.
Activitat 3
a) Aplica el teorema de Pitàgores per calcular l’alçada dels cons de la Dora: 2cm de generatriu del con i 1cm de radi de la base.
b) Calcula també quants cons necessita aproximadament per als collarets llargs i per als curts. Collarets curts: 50cm llarg ( els cons omplen tot el fil). Collarets llargs: 1m llarg ( els cons omplen tot el fil).
c) Si vol fer 10 collarets de cada. Quants cons necessita en total aproximadament?
Pàgina 50 de 119
Activitat 4
Activitat 5 Resol els problemes següents:
a) La hipotenusa d’un triangle rectangle és igual a 12cm i un catet fa 8cm. Quant mesura l’altra catet?
b) Quant mesuren els catets d’un triangle rectangle isòsceles sabent que la hipotenusa fa 10cm?
c) Calcula l’alçada d’un triangle equilàter de 2cm de costat. d) Un hexàgon regular té 10cm de costat. Determina’n l’àrea. ( Indicació:
descompon en triangles equilàters) Activitat 6 Les dades següents corresponen a la mida dels costats d’uns triangles. Quins són rectangles.
a) a=3 b=4 c=5 b) a=8 b=3 c=6 c) a=10 b=6 c=8 d) a=20 b=12 c=16 e) a=30 b=12 c=20
La Dora decideix penjar un cartell publicitari dalt d’un arbre situat al costat de la merceria. Però necessita saber l’alçada de l’arbre per anar a buscar una escala suficientment llarga. En Casimir l’ajudant de la Dora, que era molt afeccionat a
Quina és aquesta alçada?
0.5m
2m
Pàgina 51 de 119
les matemàtiques li va dir que amb l’ajut del sol i un bastó li podria dir l’alçada de l’arbre. Com que aquell dia feia un sol magnífic, en Casimir va clavar un bastó a terra i va mesurar la llargada de l’ombra del bastó, després va mesurar la llargada de l’ombra de l’arbre i va dir: -Ja ho tinc!. Ara aplicant el teorema de Thales us diré l’alçada de l’arbre. Thales va utilitzar aquest mètode per calcular l’alçada de la piràmide de Keops. Thales va ser un gran savi grec que va viure entre el 630 i el 546 a.C. Teorema de Thales:
Els segments determinats per rectes paral·leles sobre dues rectes secants són proporcionals:
'C'B
'B'A
BC
AB o bé
'C'B
BC
'B'A
AB
També es compleix que: 'OC
'CC
'OB
'BB
'OA
'AA
Activitat 7 Troba informació sobre Thales. Activitat 8 Troba els valors de les incògnites en els triangles següents:
Pàgina 52 de 119
Activitat 9
Aprofitant un dia de sol calcula les alçades d’aquests tres arbres sabent que el pal d’escombra de 1,5m projecta una ombra de 2m.
a) L’ombra de l’arbre petit és de 3,3m b) L’ombra de l’arbre mitjà és de 4,6m c) L’ombra de l’arbre gran és de 7m
Pàgina 53 de 119
Activitat 10 Amb els criteris de semblança que hem après, digués quines de les següents parelles de triangles són semblants:
Quan la Dora va tenir penjat el cartell publicitari dalt de l’arbre li va agradar tant que va voler fer fotografies per immortalitzar el moment. Les fotografies reprodueixen la realitat, ho veiem tot igual, la mateixa forma, però més petit. Això és una propietat matemàtica. Activitat 11 Quina propietat matemàtica hi ha darrera la fotografia?
Pàgina 54 de 119
Activitat 12 Dues figures són .....................quan tenen la mateixa forma i tamany diferent. En dues figures semblants, els angles corresponents són tots.......................... En dues figures semblants els segments corresponents són............................. Anomenem raó de semblança a la raó de........................................................ Activitat 13 a)La figura A’B’C’D’E’ és semblant a la figura ABCDE. Troba la raó de semblança.
b)Comprova que els 3 polígons són semblants i troba la raó de semblança.
Mentre la Dora feia fototografies se li va apropar un japonès amb pinta de turista amb un plànol a la mà i li va fer una consulta . La Dora va veure que el plànol posava: escala 1:1000 i va pensar que també era una reducció de la realitat.
Pàgina 55 de 119
Activitat 14 a) Sabries dir un cm del plànol quina distància és a la realitat? b) Sabries dir 1km de la realitat quants cm són en el plànol? c) Quina és la raó de semblança entre aquest plànol i la realitat?
Activitat 15
a) Agafa el plànol del Prat de Llobregat i calcula quina és la distància de casa teva a l’institut si segueixes els carrers per on passes habitualment. c) En el mateix plànol marca un circuit que a la realitat sigui de 3km.
Activitat 16 Fes el plànol de la classe a escala 1:50. Planta i quatre parets. Utilitza paper mi·llimetrat. Activitat 17 a) Dibuixa un rectangle de 3 cm de llarg per 2 cm d’ample. Fes una ampliació amb raó de semblança k=3. Utilitza paper mil·limetrat. b) Calcula el perímetre dels dos rectangles. Quina proporció hi ha entre ells? c) Calcula les àrees dels dos rectangles. Quina proporció hi ha entre elles? Activitat 18 a) Dibuixa un ortoedre de 3cm de llarg per 4 d’ample i per 5 d’alçada. Fes una ampliació de l’anterior amb raó de semblança k=2. Utilitza paper mil·limetrat. b) Calcula el volum dels dos ortoedres. Quina proporció hi ha entre els dos volums? Activitat 19 Dibuixa dos angles de 30º, fes segments de 2cm i 3cm sobre els costats del primer, amb un extrem situat al vèrtex, i segments de 6cm i 9cm sobre els costats del segon. Forma dos triangles unint els extrems d’aquests segments. Comprova que els tercers costats dels triangles són proporcionals i que els altres dos angles són iguals. Activitat 20 Tenim dos triangles semblants. Els costats del primer mesuren 8cm, 11cm i 14cm. El costat que en el segon triangle correspon al d’11cm té una longitud de 33cm. Calcula els altres costats del segon triangle. És possible calcular el perímetre del segon triangle sense calcular la longitud de cadascun dels seus costats? Activitat 21 El perímetre d’un triangle és de 105cm. Calcula’n la longitud dels costats si saps que és semblant a un triangle de 9cm, 11cm i 15cm de costat.
Pàgina 56 de 119
ACTIVITAT D’AMPLIACIÓ Eratóstenes de Cirene, un grec del segle III a. de C., va calcular per primera vegada el radi de la Terra amb una exactitud extraordinària pels mètodes de què disposava. Va arribar al resultat de que el radi de la Terra era de 7372km bastant aproximat als 6378km que ens han donat les mesures actuals. Fes un treball d’investigació de com Eratóstenes de Cirene va arribar a aquest resultat ACTIVITAT DE REFORÇ Fes el plànol a escala 1:50 en paper mil·limetrat de la teva habitació, posant tots els mobles.
Pàgina 57 de 119
UNITAT 5: TRIGONOMETRIA
La Montse va entrar a prendre un refresc en una cafeteria de les Rambles, ja que tal com plovia no es podia passejar. Va veure com uns tècnics de l’ajuntament a pesar de la pluja continuaven treballant, un d’ells va entrar a la cafeteria i la Montse li va preguntar: - Què és aquell aparell? - Un teodolit, un aparell que consta com a mínim d’un goniòmetre vertical, per mesurar angles verticals, i d’un goniòmetre horitzontal, per a mesurar angles horitzontals. És a dir, serveix per a mesurar angles. I, un cop coneixem els angles d’observació podem calcular les alçades dels edificis i dels arbres sense problemes. - Doncs a mi m’havien ensenyat una manera de mesurar l’alçada dels arbres que no ens calia conèixer cap angle. - Però, a que calia que fes sol? - Ah, si!!! - Doncs amb el teodolit pots calcular les alçades sense necessitat de que faci sol!! Activitat 1 Anem a parlar de mesures d’angles.
a) Quants graus mesura una circumferència? b) Quants graus mesura un angle recte? c) Quants graus mesura mitja circumferència? d) Quants minuts conté un grau? e) Quants segons conté un minut?
Activitat 2 L’arc que mesura la mateixa longitud que el radi de la circumferència, determina un angle anomenat............................Per tant una circumferència mesura............................radiants.
Pàgina 58 de 119
Activitat 3 a) Passa de graus a radiants: 360º 120º 270º 45º 130º 145º 180º 30º b) Passa de radiants a graus:
2
π
5
π2
3
π
2
π3
6
π
5
π
4
π3
2
π5
El tècnic va continuar explicant matemàtiques a la Montse.
- Ara et parlaré de raons trigonomètriques. - Raons trigonomètriques? - Sí. El sinus, el cosinus i la tangent.
Activitat 4
a) El sinus d’un angle agut d’un triangle rectangle és la raó entre la longitud del....................................... i de ........................................
b) El cosinus d’un angle agut d’un triangle rectangle és la raó entre la longitud del....................................... i de ........................................
c) La tangent d’un angle agut d’un triangle rectangle és la raó entre la longitud del....................................... i de ........................................
Pàgina 59 de 119
Activitat 5 Pel teorema de Thales esta justificat que les raons trigonomètriques de qualsevol angle són úniques. Donats els següents triangles rectangles en posició de Thales, calcula les raons trigonomètriques de l’angle a partir de tots els triangles rectangles de
la figura i comprova que el resultat és el mateix. Mesura amb el transportador l’angle α i troba les seves raons trigonomètriques
amb la calculadora.
Activitat 6 Troba amb la calculadora el sinus, cosinus i tangent dels angles següents: 50º, 65º, 80º, 10º, 75º i 100º.
Pàgina 60 de 119
Activitat 7 Calcula les alçades dels arbres següents:
a) x = 12m a = 28º b) x = 8,6m a = 36º c) x = 27m a = 15º Activitat 8 Agafa un full de paper mil·limetrat, un compàs, un regle i un transportador d’angles i construeix el que t’indica la figura. Calcula el sinus i el cosinus de 10º, 20º, 30º, 40º, 50º, 60º, 70º i 80º i la tangent dels que puguis.
Pàgina 61 de 119
Activitat 9 Construïm un Goniòmetre i fem mesures.
Anem a fer una activitat experimental molt interessant!. Podreu comprovar que
amb la Trigonometria que heu après i un objecte que s’anomena goniòmetre es
poden trobar mesures d’alçàries d’edificis, arbres etc.
Existeixen goniòmetres molt precisos. Són eina usual per estudiar i mesurar el
terreny i quan s’han de fer obres públiques segurament has vist algun
goniòmetre al carrer.
En aquesta activitat el goniòmetre el construireu vosaltres mateixos. No serà
massa sofisticat i això segurament restarà precisió a la mesura, però cal
valorar que fins i tot amb un objecte tant rudimentari s’aconsegueixen resultats
bastant acceptables.
Heu de fer el treball en parelles. Seguiu les indicacions següents:
CONSTRUCCIÓ DEL GONIÒMETRE.
Material:
Tub de cartró (Interior del paper de cuina, per exemple).
Paper transparent per dibuixar punts de mira.
Tros de fil gruixut.
Plomada. Serveix qualsevol objecte petit que pesi una mica.
Transportador d’angles.
Cinta mètrica per mesurar el terra.
a) Amb aquest material heu de construir un objecte similar al de la figura:
'
Necessitem però el goniòmetre ens donà el complementari.
Pàgina 62 de 119
b) Escolliu un edifici del que vulgueu mesurar l’alçaria. Situats una mica
allunyats del edifici, seguiu el procés que s’indica a continuació.
PROCÉS PER EFECTUAR LA MESURA:
Des del punt A i amb ajut del goniòmetre obtenim ' => = 90 - '
A una distància d’uns 15 a 20 metres ( = d ) en direcció a l’objecte a mesurar,
repetim el procés en el punt B i obtenim = 90 - '.
Amb aquestes dades plantegem:
AJUT AMB IMATGES
Per si encara tens algun dubte sobre la feina a fer, aquí tens una mostra
d’alumnes que van realitzar la mateixa pràctica:
Imatge del Goniòmetre que van construir
d
h
Alçària de l’observador
Pàgina 63 de 119
Ella observa i ell mesura l’angle. Tots dos mesurant el terra.
Comentaris: Les dos mesures, des de A i B hauran de ser realitzades pel mateix alumne/a o bé ambdues persones han de tenir la mateixa alçària (cosa bastant improbable).
És clar que amb una cinta mètrica (1 metre) no n’hi ha prou per mesurar tota la distancia d aconsellada. Utilitzeu l’enginy !!.
PAUTES PER LLIURAR EL TREBALL:
Heu de presentar un petit dossier on hi constin aquests quatre apartats:
1a part: Descripció de la construcció del goniòmetre.
2a part: Indicar el objecte u objectes a mesurar i el procés per
obtenir-ho.
3a part: Dibuix i planteig matemàtic. Resultat.
4a part: Comentari personal sobre que t’ha semblat aquest
treball. Dificultats?. Sorpreses?.
Pàgina 64 de 119
Activitat 10 Resol els problemes següents:
a) En un triangle rectangle la hipotenusa mesura 8m i un dels angles aguts és de 48º. Troba el catet oposat.
b) En un triangle rectangle, la hipotenusa mesura 12m i un dels angles aguts és de 55º. Troba el catet contigu.
c) Un estel està subjectat a terra per un cordill de 50m de llarg. El cordill forma amb l’horitzontal, es a dir, amb el terra, un angle de 50º. A quina altura es troba l’estel?
d) Una rampa d’acrobàcies per a monopatinadors té una inclinació de 25º i ocupa una longitud horitzontal de 12m. Quina llargada té? Des de quina alçada salta el monopatinador?
e) En un triangle rectangle, un angle mesura 85º i el catet contigu 20cm. Quant mesura l’altre catet?
f) Calcula la longitud de l’ombra que fa un pal vertical de 3m quan el sol es troba a una altura de 45º sobre l’horitzó.
g) Des d’un vaixell s’observa el punt més alt d’un far sota un angle de 36º. Se sap que el far té una alçada de 30m. A quina distància es troba el vaixell de la costa?
Activitat 11 Anem a calcular les raons trigonomètriques de 30º, 45º i 60º:
a) En un quadrat de costat la unitat, dibuixa-hi la diagonal i calcula’n la longitud. Tenint en compta el resultat anterior, determina el sinus, cosinus i tangent de 45º.
b) En un triangle equilàter de costat 1, dibuixa-hi una de les alçades i calcula’n la longitud. Tenint en compte el resultat calcula el sinus, cosinus i tangent de 30º i després el sinus cosinus i tangent de 60º.
c) Completa la taula:
sin cos tg
45º
30º
60º
Activitat 12 Anem a demostrar les relacions fonamentals de la trigonometria:
a) Dibuixa un triangle rectangle i a partir del teorema de Pitàgores demostra que es compleix: sin2x + cos2x = 1
b) Demostra la identitat següent: ( indicació: divideix la identitat anterior pel
cos2x): xcos
11xtg
2
2
Pàgina 65 de 119
Activitat 13 Sigui un angle més petit de 90º. Calcula les altres raons trigonomètriques sabent que:
a) cosx = 5
4
b) sinx = 5
3
c) tgx = 4
d) sinx = 2
1
e) cosx = 3
1
Si observem la pantalla d’un radar veurem una semirecta que escombra la pantalla en sentit contrari al de les agulles del rellotge; la presència d’un obstacle en la direcció de la semirecta queda assenyalada en encendre’s un punt lluminós. L’obstacle queda determinat per dos números:
- La distància des del centre del radar al punt ( distància OA = r ) - L’angle α que ha descrit la semirecta a partir de la posició inicial.
S’anomenen coordenades POLARS A(r,α )
A(2,30º) A(1,45º) B(3,90º) B(1,120º) C(1,120º) C(1,180º) D(2,300º) D(1,225º)
Pàgina 66 de 119
Activitat 14 Anem a treballar amb angles més grans de 90º. Prenem una circumferència de radi 1 ( circumferència goniomètrica). Un cop fixat l’origen d’angles OX, el segon costat OP de l’angle determina sobre la circumferència el punt P de coordenades (x,y) Definim: cosα = x i sinα = y
Si observem les figures veiem que hem dibuixat 4 angles, un de cada quadrant.
Troba la relació que hi ha entre:
a) sin(180º-α ) i sinα ; cos(180º-α ) i cosα ; tg(180º-α ) i tgα
b) sin(180º+α ) i sinα ; cos(180º+α ) i cosα ; tg(180º+α ) i tgα
c) sin(360º-α ) i sinα ; cos(360º-α ) i cosα ; tg(360º-α ) i tgα Activitat 15 Calcula les raons trigonomètriques dels següents angles:
a) 135º b) 180º c) 90º d) 360º e) 270º f) 225º g) 315º h) 210º i) 240º j) 330º k) 300º l) 120º
Pàgina 67 de 119
m) 150º ACTIVITATS D’AMPLIACIÓ
Activitat 1 Per mesurar arbres o edificis que estan força lluny o de peu inaccessible caldrà fer dues obsevacions, seguint l’esquema anterior.
a) Calcula l’alçada de l’arbre si a=15º b=28º i x=13,5m b) Calcula l’alçada de l’arbre si a=28º b=60º i x=4,2m c) Calcula l’alçada de l’arbre si a=33º b=43º i x=3,8m d) Calcula l’alçada de l’arbre si a=36º b=58º i x=4,3m e) Calcula l’alçada de l’arbre si a=30º b=38º i x=4,5m
Activitat 2 Amb el teodolit que t’has construït i una cinta mètrica calcula l’açada d’edificis del teu poble ( l’església, l’ajuntament, etc.) de peu inaccessible. Elabora un dossier del teu treball.
Pàgina 68 de 119
ACTIVITATS DE REFORÇ Activitat 1 Dibuixa triangles rectangles a partir de les dades que et donem:
a) La tangent d’un dels angles aguts és 2
3
b) La tangent d’un dels angles aguts és 4
c) El sinus d’un dels angles aguts és 2
1
d) El sinus d’un dels angles aguts és 4
3
e) El cosinus d’un dels angles aguts és 5
3
f) El cosinus d’un dels angles aguts és 0,6
Activitat 2 Dibuixa tots els polígons regulars de 3, 4, 5, 6 i 8 costats, calcula el valor de tots els angles interiors i expressa’ls en radiants. Troba també les raons trigonomètriques d’aquests angles.
Pàgina 69 de 119
UNITAT 6:GEOMETRIA ANALÍTICA
En Pol parla a la seva tieta de translacions però darrera del concepte de
translació hi ha el de vector. Ara parlarem de vectors. Activitat 1
a) Un vector fix AB és un segment orientat que té l’origen en el punt...... i l’extrem en el punt ......
b) El módul d’un vector AB és la ......................del segment AB . Es
representa per AB
c) La direcció d’un vector AB és la ................... de la recta que passa per A i per B.
d) El sentit d’un vector AB és el recorregut de la recta quan anem d’................ o de ...................Per tant per cada direcció hi ha ...............sentits. Es representa per la punta de la .......................
Activitat 2
a) Representa el vector que té l’origen en el punt (1,1) i l’extrem en el punt (2,4)
b) Troba el mòdul del vector anterior. c) Marca la direcció i el sentit del vector anterior.
Pàgina 70 de 119
Activitat 3 Representa els vectors fixos següents. Origen: (1,2) Extrem: (-4,8) Origen: (-3,8) Extrem: (3,-5) Origen: (-1,3) Extrem: (3,-2) Origen: (3,3) Extrem: (-2,-2) Origen: (0,1) Extrem: (0,4) Origen: (2,0) Extrem: (-1,0)
Activitat 4 Calcula els móduls dels vectors de l’activitat 3. Activitat 5 a)Tots els vectors fixos que tenen la mateixa longitud ( módul), la mateixa direcció i el mateix sentit s’anomenen........................... b) Tots els vectors......................... entre si representen el mateix vector que anomenem vector........................ c) El vector fixe representant de qualsevol vector lliure amb origen al punt (0,0) s’anomena vector.............................. Activitat 6
Representa un vector equipol·lent al vector AB ( A=(1,0) i B=(3,4)) que
tingui l’origen en el punt M= (4,-2), i un altre vector equipol·lent al vector CD ( C=(2,0) i D=(-1,-4)) que tingui l’origen en el punt N=(5,1)
Pàgina 71 de 119
Activitat 7 a) Dibuixa aquests dos vectors i comprova que són equipolents:
AB on A=(1,1) i B=(-2,7) i CD on C= (6,0) i D=(3,6). Els dos vectors
representen el mateix vector lliure v = (-3,6)
Es a dir: v = ( -2-1,7-1)=(3-6,6-0) b) Si A=(3,-1) , B=(4,6) i C=(0,0), troba les coordenades del punt D perquè
els vectors AB i CD siguin equipol·lents. Quines components té el vector lliure corresponent?
Activitat 8 a) Representa els vectors fixos següents. Origen: (1,2) Extrem: (1,5) Origen: (4,-1) Extrem: (1,-3) Origen: (-3,5) Extrem: (-3,2) Origen: (-9,2) Extrem: (-7,4) Origen: (14,-3) Extrem: (11,-5) Origen: (7,-3) Extrem: (9,-1) Origen: (14,5) Extrem: (14,2) Origen: (4,3) Extrem: (9,3) Origen: (-8,-3) Extrem: (-3,-3)
b) Troba les components dels vectors lliures representants de cada conjunt de vectors equipol·lents.
Pàgina 72 de 119
Activitat 9
Com ja saps per sumar dos vectors u i v , se’n representa un, u , i , amb
l’origen a l’extrem de u , es representa l’altre vector, v . El vector suma de
tots dos és el que té l’origen de u i l’extrem de v .
a) Suma geomètricament els vectors següents: u = (1,1) i v = (3,-4)
b) Comprova que les coordenades del vector suma coincideixen amb la suma de les coordenades dels dos vectors. Activitat 10
Com ja saps al multiplicar un vector u per un número k obtenim un nou
vector ku que té:
- Mòdul igual al del vector u pel valor absolut del numero k.
- Direcció igual a la del vector u
- Sentit igual que u , si k és positiu, i el contrari que u si k és negatiu.
a) Multiplica geomètricament el vector u = (1,1) per k=3 i el vector v = (3,-4) per k=-2.
b) Comprova que les coordenades dels vectors producte pel número k coincideixen amb el producte del número k per les coordenades dels vectors.
Pàgina 73 de 119
Activitat 11 Suma geomètricament i algebraicament les següents parelles de vectors: Utilitza els vectors posició.
a) u =( 4,1) i v =(4,2)
b) u =(-3,1) i v =(-1,3)
c) u =(2,0 ) i v =(-2,-1)
Activitat 12 Multiplica geomètricament i algebraicament els següents vectors per les constants corresponents:
a) u =(2,1) k=3
b) u =(3,-2) k=-2
c) u =(-1,-2) k=-3
Activitat 13
Donat el segment AB trobarem el seu punt mig M seguint els passos següents:
- Troba el vector AB .
- Multiplica el vector anterior per k=2
1 i anomena’l v .
Pàgina 74 de 119
- Troba l’extrem del representat fix del vector v amb origen en A. Aquestes coordenades que has trobat són les del punt mig del
segment AB , és a dir del punt M.
a) Troba el punt mig del segment AB on A=( 2,1) i B=(4,5)
b) Troba el punt mig del segment AB on A=( -3,2) i B=(5,-2) c) Comprova que els resultats dels apartats a) i b) són els mateixos que
si utilitzessis la fórmula per trobar el punt mig d’un segment :
2
ba,
2
baM 2211
AB
Activitat 14 El punt mig d’un segment és M=(0,-3) i un dels extrems és (7,2). Quin és l’altre extrem? Activitat 15 Ara comprovarem que tres punts A, B i C estan alineats seguint les següents pautes:
- Troba el vector AB i el vector AC i comprova que pots trobar una k
que compleixi que AC =k AB a) Digues si els següents punts estan alineats o no: A=(1,5), B=(-2,-1) i C=(3,9) b) Digues si els següents punts estan alineats o no: A=( 2,3), B=(3,4) i C=(-4,8) c) Comprova els resultats dels apartats anteriors geomètricament.
Activitat 16 Ara trobarem la distància entre dos punts A i B seguint els passos següents:
- Troba el vector AB i calcula el seu mòdul.
a) Troba la distància entre A i B si A=(3,5) i B=(3,-7) b) Troba la distància entre A i B si A=(-8,3) i B=(-6,1) c) Troba la distància entre A i B si A=(0,-3) i B=(-5,1) d) Troba la distància entre A i B si A=(-3,0) i B=(15,0)
Pàgina 75 de 119
Activitat 17 Ara trobarem geomètricament l’equació vectorial d’una recta que passa pel
punt A i té per vector direcció el vector v seguint els passos següents:
- Troba el vector posició OA .Dibuixa’l
- Dibuixa el vector k v amb origen al punt A per diferents valors de k.
- Suma els dos vectors OA+ k v i obtindràs els vectors posició de tots els punts de la recta.
a) Troba geomètricament els punts de la recta que passa pel punt A=(3,2) i té
com a vector director v =(2,-1). Pren k=1,k=2,k=3,k=4,k=5...
b) Expressa algebraicament l’equació vectorial d’aquesta recta de la següent manera:
- Si A=(a,b) i v =(v1,v2) aleshores l’equació vectorial és: (x,y) =(a,b)+k(v1,v2)
c) Expressa algebraicament l’equació paramètrica d’aquesta recta de la següent manera:
- Si A=(a,b) i v =(v1,v2) aleshores l’equació paramètrica és:
kv+b=y
kv+a=x
2
1
d) Expressa algebraicament l’equació contínua de aquesta recta de la següent manera:
- Si A=(a,b) i v =(v1,v2) aleshores l’equació contínua és:
21 v
by=
v
ax --
Pàgina 76 de 119
e) Expressa algebraicament l’equació punt pendent d’aquesta recta de la següent manera:
- Si A=(a,b) i v =(v1,v2) aleshores l’equació punt pendent és:
)ax(v
v=by
1
2--
f) Expressa algebraicament l’equació general d’aquesta recta de la següent manera:
- Si A=(a,b) i v =(v1,v2) aleshores l’equació general és: v1(y-b)=v2(x-a) aleshores -v2x+v1y+(-v1b+v2a)=0
Activitat 18 a)Troba l’equació de la recta que passa pels punts A=(2,3) i B=(1,-4) en totes les formes possibles. b)Troba l’equació de la recta que passa pel punt A=( 5,2) i té com a vector
director v =(1,3) en totes les formes possibles. Activitat 19 Per trobar el punt de tall de dues rectes, expressa-les en forma general i resol el sistema format per les dues equacions.
a) Troba el punt de tall de les rectes següents: 2x-3y+5=0 i x-y+1=0 b) Troba el punt de tall de les rectes següents:
r:
t2y
t23x i s:
t716y
t512x
c) Troba el punt de tall de les rectes següents: x+y-1=0 i 2x+2y-5=0 Què passa amb aquestes dues rectes?
Pàgina 77 de 119
ACTIVITATS D’AMPLIACIÓ Activitat 1 Esbrina que és el baricentre d’un triangle i troba el baricentre dels triangles següents:
a) Triangle de vèrtexs: A(2,-2), B(0,4) i C(4,2) b) Triangle de vèrtexs: A(0,1), B(2,3) i C(3,0) c) Troba el perímetre dels triangles anteriors.
Activitat 2 La Pilar tenia escrits a la llibreta els vèrtexs d’un paral·lelogram, però li ha caigut una taca de tinta i n’hi ha tapat un. Els que té són els següents: A(2,2), B(12,8), C(-,-) i D(6,1).
a) Troba les coordenades de C. b) Troba les equacions de les diagonals. c) Calcula el punt de tall de les diagonals. d) Comprova que les diagonals d’un paral·lelogram es tallen en els seus
punts mitjans respectius. e) Troba el perímetre del paral·lelogram
Pàgina 78 de 119
ACTIVITATS DE REFORÇ Activitat 1 a) Dibuixa sobre els eixos cartesians 5 polígons diferents ( 2 triangles, un
rectangle, un rombe i un paral·lelogram). b) Determina les coordenades dels vectors que formen cada costat. c) Calcula els seus mòduls. d) Quin és el perímetre de cada polígon.
Activitat 2 Tria un polígon dels que has dibuixat en l’activitat 1 i troba les equacions de les rectes que formen els seus costats.
Pàgina 79 de 119
UNITAT 7: FUNCIONS ELEMENTALS I
En Robinson encarregat de la botiga “Robes Tope Guai” decideix posar en oferta unes robes de la temporada passada. Té molts retalls de diferents longituds del mateix tipus de roba i ho anota tot; decideix tabular-ho: Roba vermella: 10€/m
Longitud Preu
2,4 m
1,2 m
0,8 m
5 m
Activitat 1 Ajuda a en Robinson a calcular el preu de cada retall. Activitat 2
a) Saps establir la relació funcional de la situació anterior? Sabries trobar la fórmula?
b) Sabries fer-ne un gràfic? c) Quina és la variable independent? d) Quina és la variable dependent? e) Com creus que és la variable, contínua o discreta?
Pàgina 80 de 119
Activitat 3
La gràfica d’en Robinson Junior expressava el preu de les pomes en funció dels kg comprats.
a) Quines són les variables dependent i independent? b) Fes la taula de la relació funcional anterior. c) Troba la fórmula.
Pàgina 81 de 119
Activitat 4 En Robinson Junior tenia una altra activitat per fer i tu podries ajudar-lo:
a) Si f(x)=3x+5 fes la taula de valors i el gràfic corresponent. b) Sabries inventar un enunciat que correspongués a aquesta fórmula?
Activitat 5 Llegeix el següent enunciat: El lloguer d’un apartament és de 30€ diaris i una quota fixa de 200€ per despeses. Troba la fórmula, fes la taula i el gràfic que descriu l’enunciat anterior.
Pàgina 82 de 119
Activitat 6
x:= metres y = metres Suposem que ens volem desplaçar del punt A al B però només podem desplaçar-nos en vertical i en horitzontal. Per anar de A a B ens movem un metre a la dreta i pugem 2 m.
Ara anirem d’un punt qualsevol de la recta a un altre punt, seguint trajectòries horitzontals i verticals.
a) Si des de A ens movem dos metres a l’esquerra quants metres baixem?. b) Si des de C baixem 3 m, quants m ens desplacem cap a l’esquerra? c) Omple la següent taula:
x ( distància a l’origen en horitzontal) Y ( distància a l’origen en vertical)
-3
-2
-1
0
1
2
3
d) Troba la fórmula que relaciona les x amb les y.
+
+
-
_
_
_
_
_
_-
-
Pàgina 83 de 119
Activitat 7 Sabent que el pendent d’una recta és la variació de y per unitat de x. a) Troba els pendents de les rectes següents:
b) Escriu l’equació de cada recta. Totes les funcions de la forma axy s’anomenem funcions de proporcionalitat
o funcions lineals. Activitat 8 Dibuixa el gràfic de les funcions de proporcionalitat següents:
x2y ; x2
3y ; xy ; x3y
Pàgina 84 de 119
Activitat 9 Amb les dades següents escriu la fórmula de la funció lineal corresponent.
a) Passa per (2.3) b) La imatge de 3 val -1 c) Té pendent 3 d) És la bisectriu del primer quadrant. e) Té pendent 0.
Activitat 10
a) Què tenen en comú les gràfiques de les funcions lineals? b) Què les diferencia?
Activitat 11
x:= metres y = metres Suposem que ens volem desplaçar del punt A al B però només podem desplaçar-nos en vertical i en horitzontal. Per anar de A a B ens movem 3 metres a la dreta i pugem 3 metres.
Ara anirem d’un punt qualsevol de la recta a un altre punt, seguint trajectòries horitzontals i verticals.
a) Si des de A ens movem dos metres a l’esquerra quants metres baixem?. b) Si des de C baixem 1 m, quants m ens desplacem cap a l’esquerra?
+
+
-
_
_
_
_
_
_-
-
Pàgina 85 de 119
c) Omple la següent taula:
x ( distància a l’origen en horitzontal) Y ( distància a l’origen en vertical)
-3
-2
-1
0
1
2
3
d) Troba la fórmula que relaciona les x amb les y.
Activitat 12 Sabent que el pendent d’una recta és la variació de y per unitat de x i que l’ordenada a l’origen és el punt de tall amb l’eix OY.
a) Troba els pendents i les ordenades a l’origen de les rectes següents:
b) Escriu l’equació de cada recta.
Les funcions de la forma baxy s’anomenem funcions afins.
Pàgina 86 de 119
Activitat 13 Dibuixa el gràfic de les funcions afins següents:
3x2y ; 1x2y ; 4xy ; 2x2
1y
Activitat 14 Amb les dades següents escriu la fórmula de la funció afí corresponent.
a) Passa per (-2,0) i (0,3) b) Té pendent -1 i passa per (2,3) c) Passa per (-2,4) i té ordenada a l’origen -3 d) Passa per (-2,5) i té pendent 0
Activitat 15 Hi ha moltes situacions de la vida quotidiana en que dues magnituds es relacionen per una funció de proporcionalitat o una funció afí. Aquí en tens unes quantes. Intenta trobar la fórmula que relaciona les dues magnituds.
a) Un pintor aplica la tarifa següent: 9€ per desplaçament i 18€ per hora treballada. Relaciona el preu que cobra el pintor i les hores treballades.
b) Pel lloguer d’un cotxe cobren 90€ diaris més 0,10€ per km recorregut. Relaciona el preu a pagar en un dia i els km recorreguts en aquest dia.
c) Per pagar la moto, en Marc estalvia cada setmana el 15% del que guanya. Relaciona els diners que estalvia amb els diners que guanya.
d) Un cotxe gasta 6l de benzina per cada 100km. Relaciona els km recorreguts amb la benzina gastada.
Pàgina 87 de 119
Activitat 16 FUNCIONS A TROSSOS
El majordom li presenta les tarifes dels cotxes de lloguer:
- BMW: 100€ diaris. - Mercedes: 50€ diaris i 0,50€ per km recorregut.
En Joan vol saber que es gastarà en un dia segons els km que faci, tant per un cotxe com per l’altre.
a) Fes les taules de valors i els gràfics corresponents preu/km diari. Fes ho tant pel BMW com pel Mercedes si sabem que en un dia no fa més de 130 km.
x: 10 en 10 (km) y: 10 en 10 ( €)
b) Troba les fórmules de les gràfiques anteriors. c) Segons els km recorreguts, quin cotxe surt més rentable?
Pàgina 88 de 119
d) En Joan que és un espavilat decideix llogar el BMW si calcula que farà
menys de 100km diaris i el Mercedes quan n’hagi de fer més 100. Fes la taula i el gràfic que descriu aquesta nova situació.
e) I si va en bicicleta quan el recorregut és més petit que 20km, va amb el Mercedes quan el recorregut està entre 20 i 100km i amb el BMW quan el recorregut és més gran de 100km? Fes la taula i el gràfic que descriu aquesta nova situació.
Pàgina 89 de 119
e) En Joan no va tenir en compte que també havia de contractar un xofer. Li van aconsellar les següents tarifes de preus: Si el xofer treballa menys de 5 hores cobrarà 15€/h. Si treballa entre 5 i 8 hores cobrarà 10€/h i si treballa més de 8h cobrarà un sou fix de 100€ diaris. Fes la taula i el gràfic que descriu aquesta situació.
Activitat 17 Fes les taules i els gràfics de les següents funcions definides a trossos:
a)
0xsix
0xsixy
b)
2xsi1x3
2x1si0
1xsix2
y
c)
3xsi3
3x0si1x2
0xsi1x
y
Pàgina 90 de 119
ACTIVITATS D’AMPLIACIÓ Utilitza paper mil·limetrat en les activitats que hagis de fer representacions gràfiques. Activitat 1 En les trucades interurbanes, el temps que dura el pas del comptador depèn de l’hora de la trucada:
De 8h a 14h ....................................12s De 14h a 20h....................................18s De 20h a 8h de l’endemà.................24s
a) Representa gràficament la funció que dóna la durada del pas del
comptador segons l’hora de la trucada per a un dia complet. b) Cerca l’expressió analítica d’aquesta funció.
Activitat 2 En una botiga rebaixen el 10% en compres inferiors a 50€ i el 20% si són superiors a 50€. Quina és la relació entre el preu marcat (x) i el que paguem(y)? Representa-la gràficament. Activitat 3 Un automòbil que circula a una velocitat mitjana de 100km/h surt d’una ciutat. Una hora més tard surt de la mateixa ciutat un altre automòbil amb la mateixa direcció i sentit a la velocitat mitjana de 120km/h. Quan i a quants km de la ciutat de partida es trobaran? Resol el problema algebraicament i gràficament. Activitat 4 Representa gràficament les funcions següents:
a)
0xsix
0xsixy
b)
2xsi2x
2xsix2y
c) xy
d) 1xy
e) x1y
Pàgina 91 de 119
ACTIVITATS DE REFORÇ Activitat 1 a) Troba la fórmula que relaciona el perímetre dels polígons regular (des de tres fins a 10 costats) en funció de la mesura d’un costat. b) Fes una taula de valors per a cada funció. c) Representa totes les funcions en un mateixos eixos i en paper mil·limetrat. Activitat 2 a) Troba la fórmula que relaciona el perímetre de la circumferència en funció de la mesura del seu radi. b) Fes una taula de valors per radis des de 1cm a 10cm. c) Representa-ho en paper mil·limetrat. Aproxima el número per 3,14.
Activitat 3 a) Representa les rectes següents fent prèviament una taula de valors:
8x2y ; 3xy ; 2x2
1y
b) Indica quin és el pendent de cada una de les rectes anteriors.
Pàgina 92 de 119
UNITAT8: FUNCIONS ELEMENTALS II
PARÀBOLES
Activitat 1 Ajuda a en Pau a decidir-se pels coixins que vol comprar segons el seu pressupost.
a) Fes una taula de valors: costat del quadrat del coixí-preu coixí per cadascun dels tipus de roba.
Roba cotó:
Costat dm
0 1 2 3 4 5 6 7 8
àrea
preu
Roba seda:
Costat dm
0 1 2 3 4 5 6 7 8
àrea
preu
Roba poliester:
Costat dm
0 1 2 3 4 5 6 7 8
àrea
preu
Si diem x al valor del costat i y al preu del coixí establim una relació funcional entre les dues magnituds. La representació gràfica d’aquesta funció és una corba (una branca parabòlica).
Pàgina 93 de 119
Si donem valors negatius a la x ( que en el context d’aquesta situació no té sentit) obtenim una PARÁBOLA a) Fes la representació gràfica de les tres funcions donant a les x valors
positius i negatius ( pensa que les x poden prendre valors intermitjos !!!) b) Quina és la recta que fa coincidir mitja paràbola amb l’altra mitja
paràbola en doblegar el paper per ella? c) De cara en Pau les seves despeses en coixins representen pèrdues de
diners (sortides) i les sortides és representen habitualment amb nombres negatius : Estableix la relació funcional entre el costat del coixí i la sortida de diners d’en Pau per cada tipus de roba.
d) Fes les representacions gràfiques de les funcions de l’apartat c).
Anomenem VÈRTEX a l’únic punt de la paràbola que està sobre l’eix de simetria. e) Quin és el vèrtex de totes les paràboles anteriors ?
Activitat 2
La dependenta comenta a en Pau que si vol els coixins amb cremallera en lloc de velcro el preu dels coixins és 1€ més car independentment del tamany i el tipus de roba.
a) Quines són les funcions que ens defineixen la nova situació per cada
tipus de roba?
Pàgina 94 de 119
b) Fes les taules de valors i les representacions gràfiques corresponents. c) Repeteix l’activitat donant valors negatius a les x encara que no
s’adaptin al context de la situació real. d) Troba el vèrtex i l’eix de simetria de cada gràfic de l’apartat b)
Activitat 3
En Pau creu que si comprés algun coixí rectangular la decoració de casa seva milloraria. Proposa comprar-ne de rectangulars de manera que el costat llarg sigui un decímetre més que el costat curt. Pensa que seria millor de roba de cotó.
a) Troba la funció que relaciona els costats del coixí rectangular i el preu del coixí fet amb roba de cotó.
b) Fes la taula de valors i la representació gràfica de la funció de l’apartat a)
c) Repeteix l’activitat donant valors negatius a les x encara que no s’adaptin al context de la situació real.
d) Troba el vèrtex i l’eix de simetria d’aquesta gràfica.
Pàgina 95 de 119
Activitat 4
I si els coixins de l’activitat 3 els volem amb cremallera ? ( Recorda que valen 1€ més cares)
a) Quina és la funció que defineix la nova situació? b) Fes la taula de valors i la representació gràfica corresponent. c) Repeteix l’activitat donant valors negatius a les x encara que no
s’adaptin al context de la situació real. d) Troba el vèrtex i l’eix de simetria d’aquesta gràfica.
Pàgina 96 de 119
Activitat 5 Representa gràficament les següents paràboles, fent prèviament una taula de valors.
a) y= x2 b) y= 2x2
c) y=2
1x2
d) y=-x2 e) y=-2x2
f) y=2
1x2
Activitat 6
Representa gràficament les següents paràboles fent prèviament una taula de valors.
a) y= x2+2 b) y=-x2+1 c) y=2x2-4
d) y=2
1x2+3
Pàgina 97 de 119
Donada una funció quadràtica la seva representació gràfica sempre és una paràbola.
La fórmula general d’una paràbola és y=ax2+bx+c.
Per representar una paràbola seguirem els passos següents:
a) Vèrtex de la paràbola: x=a2
b
b) Talls amb els eixos de coordenades: -Eix d’abscisses : y=0 ( has de resoldre l’equació de segon grau) -Eix d’ordenades: x=0
c) Dóna altres valors a les x que siguin simètrics respecte al vèrtex. d) Amb tots aquests valors construeix una taula de valors. Activitat 7 Representa gràficament les següents paràboles: Fes-ho en paper mil·limetrat.
a) y= x2-5x+6 b) y= x2-8x+16 c) y= -x2-2x+3 d) y= -x2+4x+5 e) y= x2+4x f) y= x2-x-2 g) y= 3x2+3 h) y= x2-8x+15 i) y= 3x2-3x
j) y= 2
1x2-x-4
Pàgina 98 de 119
Activitat 8 Resol analíticament i gràficament els sistemes d’equacions següents:
a)
5xy
5x6xy 2
b)
2x2y
2xy 2
Pàgina 99 de 119
FUNCIONS EXPONENCIALS
Activitat 1 Ajuda en Jimmy a omplir la taula següent per veure quin serà el capital que tindrà l’empresa d’aquí 6 anys si sabem que perd un 10% anual.
Anys en curs Capital a l’acabar l’any
0 1000000 $
1 1000000$·0.90=
2
3
4
5
6
a) Fes un gràfic que il·lustri aquesta situació:
FORMATGES “LA
CAPSA D’OR
“Empresa formatgera
des-de l’any 1850”
Pàgina 100 de 119
b) Que creus que passaria si donés valors negatius a les x? c) Representa en el gràfic anterior els punts d’abscissa x= -1 i x= -2 Activitat 2
En l’època de l’avi d’en Jimmy els beneficis de l’empresa augmentaven a raó d’un 10% anual. a) Omple la taula per veure quin era el capital de l’empresa des de 1904 al 1910. ( L’any 0 és el 1904)
Anys en curs Capital a l’acabar l’any
0 (1904) 1000$
1 1000$·1,10
2
3
4
5
6
a) Fes un gràfic que il·lustri aquesta situació:
b) Que creus que passaria si donés valors negatius a les x c) Representa en el gràfic anterior els punts d’abscissa x=-1 i x=-2
Pàgina 101 de 119
Activitat 3
Mentre en Jimmy es desesperava pels problemes econòmics de l’empresa no s’adonava que la seva secretària que era molt tafanera ho sabia tot i ho havia anat escampant per tota la ciutat. La Florinda ( secretària ) a l’endemà de saber la notícia ho va dir a dues amigues i un dia més tard cadascuna d’elles ho va explicar a dues amigues més; cadascuna d’aquestes també ho va explicar a dues més ( un dia més tard) i així successivament.
a) Fes la taula i el gràfic que descriu la situació.
b) I si la Florinda ho expliqués a tres amigues i cadascuna d’aquestes a tres més i així successivament. Fes la taula i el gràfic. Activitat 4 A en Jimmy li van parlar d’un producte químic que injectat en els formatges en un moment determinat del procés d’elaboració, millorava el gust i la consistència de manera considerable. Va anar a buscar-lo a un país molt llunyà.
Pàgina 102 de 119
Quan va arribar i el va aconseguir va saber que tenia un inconvenient: Cada hora que passava, la quantitat de producte quedava reduïda a 4/5 parts de la quantitat que tenia.
a) Si sabem que en el moment inicial té un kg d’aquest producte, quant de producte tindrà al cap de 12 hores.
b) Fes la taula i el gràfic que descriu aquesta situació. c) Analitza quina quantitat de producte tenia les hores anteriors al moment
de rebre’l. Dóna els valors x=-1 i x=-2.
d) I si cada hora perd 7/10 parts? Fes el gràfic i la taula.
Activitat 5 Treballem les funcions EXPONENCIALS
Fixa’t en les gràfiques de les funcions dels apartats anteriors. a) Quines són les característiques més destacades? b) Extreu-ne les propietats.
Pàgina 103 de 119
Activitat 6 Fes una taula de valors i representa les funcions següents:
a) y= x2
b) y= x3
c) y=
x
2
1
d) y=
x
3
1
Pàgina 104 de 119
ALTRES TIPUS DE FUNCIONS
Funcions de proporcionalitat inversa
Activitat 1
Representa gràficament la funció y= x
1 seguint els següents passos:
a) Mira si hi ha algun valor de la x que no tingui imatge. ( Recorda que no
es pot dividir entre 0)
b) Fes una taula de valors donant valors simètrics a l’esquerra i a la dreta
del punt que no té imatge.
c) Afegeix també valors de la x que estiguin compresos entre -1 i 1.
d) Mira que passa quan a la x li dones valors molt grans o molt petits
( -1000 o 1000 per exemple)
e) Fes la representació gràfica.
Pàgina 105 de 119
Activitat 2
Seguint els passos de l’activitat 1 representa:
a) x
8y
b) x
2y
c) 2x
8y
d) 3x
2y
Pàgina 106 de 119
Funcions Radicals
Activitat 1
Representa gràficament la funció xy seguint els següents passos:
a) Mira quins valors de la x no tenen imatge.
b) Quin és el valor més petit de la x que té imatge.
c) Fes una taula de valors a partir d’aquest valor mínim possible.
d) Fes la representació gràfica.
Pàgina 107 de 119
Activitat 2
Seguint els passos de l’activitat 1 representa les funcions següents:
a) 1xy
b) x1y
c) 1xy
d) 2xy
Pàgina 108 de 119
ACTIVITATS D’AMPLIACIÓ
Activitat 1 En Pau va trobar per casa seva un serrell que li havia portat la seva amiga Maria quan va tornar de la Xina. Va pensar que un coixí voltat per aquest serrell quedaria preciós. Ajuda’l a confeccionar-lo. En Pau té 2m de serrell ( 20 dm) i vol que el coixí sigui el més gran possible ( la major àrea).
a) Troba la funció que dóna l’àrea del coixí en funció de la longitud dels costats.
b) Fes la taula de valors i la representació gràfica de la funció de l’apartat a)
c) Quines dimensions ha de tenir el coixí per aconseguir l’àrea màxima?
Activitat 2
La física diu que si llencem un objecte verticalment cap amunt en el buït amb una determinada velocitat inicial, l’altura que assoleix respecte del punt de llançament en funció del temps està determinada per l’expressió
2
0 gt2
1tvh
Consulta-ho i cerca informació.
Pàgina 109 de 119
Activitat 3 Distància de seguretat en la conducció de vehicles!! Una de les recomanacions de la DGT és la de guardar sempre la distància de seguretat en relació al cotxe que ens precedeix; és a dir, la distància necessària per frenar el cotxe sense xocar. No existeix cap fórmula exacta que doni aquesta distància ja que depèn de molts factors, com ara la carretera, els pneumàtics, les pastilles de fre...Ara bé, a la pràctica s’acostuma a utilitzar la funció:
2
vD
2
on D és la distància mesurada en metres i v la velocitat del cotxe en el
moment de frenar, mesurada en miriàmetres per hora. a) Estàs d’acord que un cotxe que circuli a 80km/h ha de frenar a 32m? b) Quina és la distancia de seguretat per un cotxe que circuli a 120km/h?. I
a 100km/h? I a 150km/h?
Activitat 4 Representa les funcions següents fent, en cada cas, una taula de valors:
a) y= (0,75)x b) y= (1,5)x c) y= 2x + 1 d) y= 2x - 3
Fes servir paper mil·limetrat.
Activitat 5
El gràfic d’una funció exponencial del tipus y=kax passa pels punts (0,3) i
(1,36).
a) Calcula k i a.
b) És creixent o decreixent.
c) Representa’n la funció.
Utilitza paper mil·limetrat.
Pàgina 110 de 119
ACTIVITATS DE REFORÇ
Activitat 1
Fem paràboles a la cuina de casa!!! Agafem una ampolla de plàstic de 2 litres i li fem 4 o 5 foradets amb una agulla de pit, l’omplim d’aigua fins dalt de tot i veurem com pels foradets va sortint l’aigua en forma de paràboles.
Activitat 2
Fem paràboles amb llum!! Amb una llanterna dins d’una habitació fosca il·luminarem la paret de manera que una generatriu del con de llum hi sigui paral·lela. Prova de fer-ho a casa.
Activitat 3
Mètode del Sastre per la construcció de paràboles. Dibuixa un angle qualsevol, marca divisions iguals a cada un dels dos costats i numera-les (per exemple 10 divisions), començant en tots dos casos pel vèrtex. Després uneix mitjançant un segment un punt de cada costat de manera que la suma doni 10 ( es pot fer amb qualsevol altre nombre).La corba que resulta de les interseccions dels segments és una paràbola. Activitat 4 Fes una taula de valors i representa les següents funcions:
a) x4y
b)
x
4
1y
Fes-ho en paper mil·limetrat.
Pàgina 111 de 119
UNITAT 9: PROBABILITAT
En Lluc es va trobar la senyora Enriqueta carregada de joies. Duia un collar, unes arracades i una diadema de maragdes. En veure-la, en Lluc va exclamar: Caram! Senyora Enriqueta, si que va enjoiada! Quin conjunt més preciós! Mira noi, estic de sort. Per Nadal em va tocar la loteria i fa pocs dies vaig anar al Bingo amb uns amics i també em va tocar un Bingo. A més, fa tres dies que vaig encertar una travessa de 13 encerts. En Lluc, va dir: -I tant que està de sort, senyora Enriqueta!! Perquè tot això que li ha passat és molt poc probable que passi. Jo conec més d’una família que s’ha arruïnat per anar a jugar al Bingo. A casa dels meus pares cada setmana fan la primitiva des de fa molts anys i mai els ha tocat res de res; i uns amics meus també sempre fan travesses i mai he sentit que els toqués res d’important. La probabilitat que et toqui un premi en un qualsevol d’aquests jocs d’atzar és molt petita.
Una experiència és aleatòria si prèviament no se’n pot predir el resultat. En aquest cas es pot dir que en el resultat intervé l’atzar. Cadascun dels resultats possibles d’una experiència aleatòria s’anomena esdeveniment (succés) elemental. Vocabulari: Espai mostral: és el conjunt format per tots els resultats possibles d’un experiment aleatori. Esdeveniment: és qualsevol subconjunt de l’espai mostral. Esdeveniment elemental: és el format per un sol resultat. Esdeveniment segur o cert: és el que està format per tots els resultats possibles de l’experiment. Coincideix amb l’espai mostral i sempre es realitza. Esdeveniment impossible: és el que mai no es produeix.
Activitat 1 Digues si són jocs d’atzar i perquè: la Lotto 6/49, el dòmino, el pòquer, el bingo la ruleta i els escacs.
Pàgina 112 de 119
Activitat 2 Quins són els esdeveniments elementals de l’experiment de treure una carta de la baralla espanyola? Quants n’hi ha? Activitat 3 Escriu els resultats dels esdeveniments següents en l’experiment de tirar un dau:
a) que surti senar b) que surti un número més petit que 5 c) que surti un número múltiple de 3 d) que surti un número senar i més petit que 4
Activitat 4 Escriu els resultats dels esdeveniments següents en l’experiment de treure a l’atzar una carta de la baralla francesa:
a) Que surti una carta de cors b) Que surti un as c) Que surti una figura d) Que surti una carta de trèvols que no sigui una figura
Activitat 5 Què és més fàcil, que surti un 1 en tirar un dau o que surti cara en tirar una moneda? Per què creus que és així? Activitat 6 En tirar dos daus, què és més fàcil, que la suma dels dos daus sigui més petita que 5 o que sigui més gran que 7? Activitat 7 Quins són els esdeveniments elementals de tirar dues monedes? Activitat 8 Quins són els esdeveniments elementals de tirar un dau i una moneda? Activitat 9 Fes el següent experiment: Tots els alumnes de la classe llençarem a l’aire 50 vegades una moneda i un dau i anotarem el resultat: Taula per alumne:
Observacions Freqüència absoluta Freqüència relativa
c
x
Observacions Freqüència absoluta Freqüència relativa
1
2
3
4
5
6
Pàgina 113 de 119
Taula general: Sumen el número de cares i de creus de tots els alumnes de la classe.
Observacions Freqüència absoluta Freqüència relativa
c
x
Sumem el número de 1, 2, 3, 4, 5 i 6 de tots els alumnes de la classe.
Observacions Freqüència absoluta Freqüència relativa
1
2
3
4
5
6
Treu conclusions.
La probabilitat és una mesura numèrica (en tant per cent o en tant per 1) del grau de confiança amb què s’espera que un resultat es produeixi. La freqüència relativa d’un resultat possible en un experiment aleatori tendeix a estabilitzar-se quan augmenta el número de repeticions d’aquesta experiència. Es pren com a probabilitat un valor aproximat del valor al voltant del qual s’estabilitza la freqüència relativa. La probabilitat d’un esdeveniment és un número comprès entre 0 i 1. La probabilitat d’un esdeveniment impossible és 0 i la d’un esdeveniment segur és 1. Dos esdeveniments són equiprobables si tenen la mateixa probabilitat.
Activitat 10 Què és més probable en extreure una carta de la baralla espanyola, que surti un as o que la carta sigui de copes? Activitat 11 Què és més probable en extreure una carta de la baralla espanyola, que surti un rei o que la carta sigui una figura?
Pierre Simon Laplace ( 1749-1827) va publicar al 1812 un llibre titulat Teoria analítica de les probabilitats, en que va donar la primera definició:
Probabilitat d’un esdeveniment = possiblescasosdenúmero
favorablescasosdenúmero
Pàgina 114 de 119
Activitat 12 En l’experiment que consisteix a tirar un dau i anotar el resultat de la cara superior, calcula la probabilitat de:
a) sortir parell b) sortir senar c) sortir múltiple de 3 d) sortir múltiple de 5
Activitat 13 Tinc a la ma sis cartes amb el números 1, 2, 3, 5, 6 i 7. Un amic meu n’agafa una a l’atzar:
a) Quina probabilitat hi ha que obtingui un número més petit que 4. b) Quina probabilitat hi ha que obtingui un número divisible per 2.
Activitat 14 Dos amics juguen a cartes. En Jaume diu que la carta que surti ara serà un rei, mentre que l’Alfred diu que serà una figura. Quin dels dos amics té més probabilitat d’encertar. Activitat 15 Si extreus una carta d’una baralla espanyola, calcula la probabilitat:
a) Que sigui cavall b) Que sigui una copa c) Que sigui el cavall de copes d) Que sigui un cavall o una copa
Activitat 16 Una urna conté 8 boles vermelles, 5 de grogues i 7 de verdes. N’extraiem una a l’atzar. Determina la probabilitat que:
a) Sigui verda b) Sigui groga c) Sigui vermella d) Sigui vermella o verda e) Sigui vermella o groga f) No sigui vermella
Activitat 17 Una bossa conté 100 bitllets d’una rifa numerats de l’1 al 100. S’extreu un bitllet a l’atzar. Quina és la probabilitat dels esdeveniments següents:
a) que el número extret tingui una sola xifra b) que el número extret tingui dues xifres c) que el número extret tingui tres xifres d) que el número extret tingui quatre xifres
Pàgina 115 de 119
Activitat 18 Tenim una bossa amb nou boles numerades de l’1 al 9. Es fa un experiment que consisteix a extreure una bola de la bossa i n’apuntem el número. Calcula les probabilitats d’aquests esdeveniments.
a) obtenir nombre parell b) obtenir nombre primer c) obtenir múltiple de 3
Activitat 19 Tres amics han resolt un problema de probabilitats i obtenen els resultats següents: Joan: probabilitat=0,7 Pere: probabilitat=-0,3 Albert: probabilitat=1,2 El professor, només veient els resultats, diu: “ Almenys dos de vosaltres heu resolt malament el problema”. Per què ho diu?
Dos esdeveniments són incompatibles si no es poden realitzar a la vegada, en cas contrari, els esdeveniments són compatibles. Donat un esdeveniment qualsevol A, anomenem esdeveniment contrari de A, el que no es compleix quan es compleix A, i viceversa.
Activitat 20 En l’experiment que consisteix a extreure una carta d’una baralla espanyola, es consideren aquests esdeveniments:
a) sortir as b) sortir copa c) sortir rei d) sortir figura
Calcula les seves probabilitats i digues quins són compatibles i quins incompatibles. Activitat 21 Dos esdeveniments que són contraris, són compatibles o incompatibles? Posa’n un exemple. Activitat 22 En l’experiment aleatori que consisteix a extreure una bola d’una urna que té 7 boles blanques i 4 de negres, considerem els esdeveniments. A= ”Treure bola blanca”, B= “ Treure bola negra” Troba les probabilitats i digues si són o no equiprobables. Activitat 23 Un test té 5 respostes per a cada pregunta, de les quals només una és correcta. Quina probabilitat hi ha de respondre correctament a l’atzar? Quina probabilitat hi ha de contestar malament?
Pàgina 116 de 119
Donats dos esdeveniments A i B d’un mateix experiment aleatori, s’anomena esdeveniment unió de A i B el que es realitza quan es compleix A o B. Es representa per AUB Donats dos esdeveniments A i B d’un mateix experiment aleatori, s’anomena esdeveniment intersecció de A i B al que es realitza quan es compleix A i B. Es representa per A B
Si A i B són dos esdeveniments incompatibles d’un mateix experiment aleatori es compleix: P(AUB) = P(A) + P(B) Si A i B són dos esdeveniments compatibles d’un mateix experiment aleatori es compleix: P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A B)
La probabilitat de l’esdeveniment contrari de A és igual a la unitat menys la probabilitat de l’esdeveniment A.
P( A ) = 1 – P(A)
Activitat 24 Tenim una baralla espanyola de 40 cartes i en traiem una. Calcula la probabilitat de:
a) Obtenir un cavall. b) Obtenir copes. c) Obtenir el cavall de copes. d) Obtenir un cavall o una copa.
Activitat 25 S’extreu una carta d’una baralla espanyola. Digues quina és la probabilitat que:
a) Sigui rei o as b) Sigui figura i oros c) No sigui espases.
Activitat 26 En una bossa hi ha 100 boles de colors. N’hi ha 41 blanques, 19 negres, 18 verdes i 22 blaves. S’extreu una bola a l’atzar, calcula les probabilitats de:
a) Treure bola blanca b) No treure bola blanca c) Treure bola verda o blava d) No treure ni bola negra ni blava
Activitat 27 En un congrés de científics, hi assisteixen 100 congressistes. D’aquests, 80 parlen francès i 40 anglès. Quina és la probabilitat de que un congressista elegit a l’atzar parli les dues llengües?
Pàgina 117 de 119
Experiències repetides: Observa el següent exemple: Tirar dues monedes i observar els resultats que surten es pot considerar com la repetició de l’experiència de tirar una moneda. Veurem com trobar el conjunt de resultats a partir d’un diagrama en arbre i com calcular les probabilitats dels diferents esdeveniments:
La probabilitat de cada un dels resultats es troba multiplicant les probabilitats de les branques que el defineixen.
P(C,C)= 4
1
2
1·
2
1 , etc.
Activitat 28 Extreu una carta d’una baralla espanyola. Mira-la , torna-la a la pila i fes-ne una altra extracció. Quina és la probabilitat que les dues siguin reis? Activitat 29 Extraiem dues cartes d’una baralla espanyola. Quina és la probabilitat que la primera sigui un rei i la segona sigui un as? Activitat 30 Es llancen dues monedes i un dau. Quina és la probabilitat d’obtenir cara en les dues monedes i un sis en el dau?
Pàgina 118 de 119
ACTIVITATS D’AMPLIACIÓ Activitat 1 Calcula la probabilitat de:
a) Obtenir un cinc en llançar un dau. b) Obtenir almenys un 5 en llançar dos daus. c) Obtenir almenys un 5 en llançar tres daus.
Activitat 2 Traiem quatre cartes d’una baralla espanyola. Calcula la probabilitat de:
a) Extreure’n quatre asos. b) Extreure’n sota, cavall, rei i as en qualsevol ordre. c) Extreure’n quatre figures.
Activitat 3 Per al pròxim examen de certa assignatura entren 10 temes dels quals només en saps 6. A l’examen hauràs de contestar dos temes d’entre els deu que calia estudiar. Calcula la probabilitat que:
a) Sàpigues els dos temes. b) No en sàpigues cap dels dos. c) Sàpigues només un dels dos.
Pàgina 119 de 119
ACTIVITATS DE REFORÇ
Activitat 1 La teva mare et prepara l’entrepà de l’esmorzar de cada dia. Cada dia és d’un aliment diferent. Els aliments habituals són: pernil, formatge, botifarra i xoriço. Calcula la probabilitat que avui l’entrepà sigui de pernil. Quina és la probabilitat que no sigui de formatge. Activitat 2 Una capsa conté 25 boles numerades de l’1 al 25. Se’n treu una bola i se’n mira el nombre. Calcula les probabilitats d’obtenir:
a) Un múltiple de 4 b) Un múltiple de 3 c) Un múltiple de 4 o de 3 d) Un múltiple de 3 i de 4 e) Un nombre que no sigui ni múltiple de tres ni de 4.
Activitat 3 En l’experiment aleatori d’extreure una carta d’una baralla espanyola de 48 cartes, calcula la probabilitat de:
a) No obtenir una carta de copes b) Obtenir una figura c) Obtenir una copa, una espasa o un oro d) No obtenir un cavall
Activitat 4 En Joan té més de 25 anys i menys de 35. Determina la probabilitat que l’edat d’en Joan sigui:
a) Un nombre primer b) Un múltiple de 3 c) Un nombre parell
