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UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN

FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA

FÍSICA DE OSCILACIONES ONDAS Y ÓPTICA

MÓDULO # 6: OSCILACIONES ELECTROMAGNÉTICAS –CONCEPTOS GENERALES- Diego Luis Aristizábal R., Roberto Restrepo A., Tatiana Muñoz H.

Profesores, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín

Temas

Introducción

El condensador de capacitancia C vs el resorte de constante de rigidez k: ley de Hooke

La bobina de inductancia L vs el cuerpo de masa m: ley de Faraday vs segunda ley de Newton

Circuitos LC: Oscilaciones electromagnéticas libres

Circuitos RLC: Oscilaciones electromagnéticas amortiguadas

Oscilaciones electromagnéticas forzadas

Antenas

Introducción

Los circuitos cuando poseen elementos capacitivos (capacitancia C) e inductivos (inductancia L) constituyen

lo que se denomina osciladores electromagnéticos. En estos la carga eléctrica q y por lo tanto la corriente

eléctrica i varían armónicamente, es decir son funciones sinusoidales del tiempo. El estudio de estos

circuitos es la base de las telecomunicaciones entre otras aplicaciones tecnológicas. En la Figura 1 se

ilustra el esquema general de un circuito oscilante en donde se considera que el elemento capacitivo es

simplemente un condensador ideal de capacitancia C y el elemento inductivo es simplemente una bobina

ideal de inductancia L.

Figura 1

Existe una IMPRESIONANTE analogía entre un oscilador mecánico, por ejemplo un sistema masa-resorte y

un oscilador electromagnético, la cual no sólo enriquece el análisis de estos sistemas físicos sino que

también facilita su comprensión. Esta analogía es un ejemplo fehaciente de la denominada “economía de

pensamiento” que caracteriza a la física. El desarrollo de éste módulo será con base en ésta analogía: en la

Figura 2 se ilustra esto.

2

Figura 2

En este módulo se considera que los estudiantes ya han cursado fundamentos de electricidad y

magnetismo.

El condensador de capacitancia C vs el resorte de constante de rigidez k: ley de Hooke

El condensador es un dispositivo que almacena energía en el campo electrostático. Se compone de dos

conductores (llamados armaduras o placas) con un material dieléctrico entre ellos o en su defecto el vacío

como es el caso que por facilidad se asumirá en éste módulo. Para cargar un condensador se desplaza carga,

por ejemplo negativa ( -q ), de una de las placas hacia la otra placa; esto se logra hacer empleando por

ejemplo una batería y la energía cedida por ésta a través de un trabajo eléctrico realizado para desplazar

esa carga quedará almacenado en el campo eléctrico que se genera entre las placas: esta energía es la

denominada energía eléctrica (o mejor en este caso, energía electrostática). Al final la armadura que cede

carga negativa queda cargada con +q y la que acepta la carga queda cargada con -q . Este proceso se

ilustra en la Figura 3, en donde también se ilustra el proceso análogo en mecánica en el cual una persona

deforma el resorte realizando un trabajo sobre éste: la elongación ( y ) en este sistema corresponde a la

carga eléctrica (q ) en el condensador, la energía almacenada en el resorte es la que se denomina energía

potencial elástica que corresponde a la energía eléctrica almacenada en el condensador.

Figura 3

3

Se debe recordar que el resorte cumple la denominada ley de Hooke, que expresa para la magnitud de la

fuerza deformadora,

F = ky [1]

en donde k es la constante de rigidez del resorte.

Algo análogo se cumple en un condensador,

1V = q [2]

C

en donde V es la diferencia de potencial entre las placas una vez cargadas y C la denominada capacitancia

del condensador. Es decir el rol de la constante de rigidez k del resorte lo hace en el condensador 1

C.

Así como la constante de rigidez del resorte depende de su material y de su geometría también sucede lo

mismo con la capacitancia en el condensador: depende del dieléctrico entre las armaduras y de la geometría

(el más simpe de todos es el de armaduras planas, denominado condensador plano). El rol de la fuerza

externa extF en el resorte lo hace la batería Vext: al final queda un valor igual a V cuando las cargas de las

respectivas armaduras son iguales a +q y -q .

Recordar que la unidad en el SI de la diferencia de potencial V es el voltio (V), de la carga eléctrica q es el

coulomb (C) y de la capacitancia del condensador es el Faradio (F).

La energía elástica almacenada en el resorte es,

2

elastica

1U = ky [3]

2

Con base en la analogía mecánica se deduce entonces que la energía eléctrica almacenada en el condensador

(o mejor en su campo eléctrico) es,

2

electrica

1 1U = q [4]

2 C

La naturaleza de ambas energías es de energía potencial.

La bobina de inductancia L vs el cuerpo de masa m: ley de Faraday vs segunda ley de Newton

El inductor, que para éste módulo se considera una bobina solenoide, es un dispositivo que almacena energía

en el campo magnético generado por la corriente que lo atraviesa. En la Figura 4 se ilustra un solenoide

ideal el cual es atravesado por una corriente constante i (podría ser mediante el uso de una batería). Si se

disminuye súbitamente la fem (“fuerza electromotriz”) de la batería, la corriente i comienza de inmediato

a disminuir, y por lo tanto con base en la ley de Lenz debe haber una oposición a esta disminución,

4

apareciendo para ello una fem inducida Lε que proporciona una corriente adicional en la misma dirección

de i .

Figura 4

Si en cambio se aumenta súbitamente la fem de la batería, la corriente i comienza de inmediato a

aumentar, y por lo tanto con base en la ley de Lenz debe haber una oposición a este aumento, apareciendo

para ello una fem inducida Lε que proporciona una corriente adicional en una dirección opuesta a i .

En cada caso, la fem inducida Lε actúa oponiéndose al cambio en la corriente. El valor de Lε , es decir su

magnitud, se obtiene aplicando la ley de Faraday,

L

diε = L [5]

dt

En donde L es la llamada inductancia del inductor, en este caso de la bobina solenoide. Su significado es el

siguiente: una corriente variable en el tiempo que atraviesa el inductor genera una fem Lε a través del

inductor que es proporcional a la rapidez del cambio de la corriente. La inductancia L es como la “medida

de una especie de inercia del circuito”: observar que el análisis del inductor empleando la ley de Lenz llevó a

concluir que hay una oposición al cambio de la corriente. Aquí es donde es interesante hacer otra analogía

mecánica entre la bobina con inductancia L y un cuerpo con masa m; en éste último se aplica la segunda ley

de Newton, Figura 5,

ext

dVF = m [6]

dt

Para facilitar la analogía se supuso el cuerpo en movimiento rectilíneo por lo que se ahorró la notación

vectorial de esta ley. Observar que la segunda ley de Newton en mecánica correspondería en la bobina a la

ley de Faraday: la fuerza externa extF que actúa sobre el cuerpo correspondería a la fuerza electromotriz

Lε , la masa m en el cuerpo correspondería a la inductancia L ,la velocidad del cuerpo dx

V=dt

5

correspondería a la corriente eléctrica dq

i=dt

y la aceleración del cuerpo dV

dt a la variación temporal de

la corriente eléctrica di

dt.

Figura 5

Recordar que la unidad en el SI de V y de Lε es el voltio (V), de la carga q es el coulomb (C), de la

corriente eléctrica i el amperio (A) y de la inductancia L el Henry (H).

Aplicando en el sistema mecánico el teorema de la energía cinética se obtiene que el trabajo total extFW de

las fuerzas que actúan sobre el cuerpo de masa m es igual al cambo en su energía cinética,

extF 2 2

final inicial

1 1W = ΔK = mV mV

2 2

en donde la energía cinética es,

21K= mV

2

siendo V la rapidez del cuerpo.

Con base en la analogía mecánica se concluiría que la energía magnética, es decir, la energía almacenada en

el campo magnético es,

2

magnetica

1U = Li [7]

2

6

La naturaleza de ésta energía es de energía cinética.

Circuitos LC: Oscilaciones electromagnéticas libres

En esta sección se recurrirá de nuevo a la analogía entre el oscilador electromagnético y el sistema masa-

resorte, Figura 2. En la Figura 6 se ilustra estos sistemas fuera de su “posición de equilibrio” (que es

equilibrio estable).

Figura 6

Es sabido con base en los módulos anteriores de este curso que el sistema masa resorte en sus oscilaciones

libres obedece la ecuación del oscilador armónico,

2

2

d y k + y = 0

dt m

es decir oscila armónicamente con frecuencia angular propia,

kω =

m

y frecuencia propia en Hz,

1 kf =

2π m

y que por lo tanto las respectivas elongación y velocidad son,

7

oy = Asen ωt + φ

y oV = ωAcos ωt + φ

La energía total (energía mecánica) de este oscilador mecánico es,

2 21 1E = K + U = mV + kx

2 2

Despreciando las fuerzas disipativas se conserva esta energía: es decir en el oscilador mecánico hay una

permanente conversión de energía cinética en energía potencial y viceversa.

Con base en la analogía mecánica la energía total (energía electromagnética) del oscilador electromagnético

es,

2 2

magnetica electrica

1 1 1E = U + U = Li + q

2 2 C

Esta energía se conserva en ausencia de fuerzas disipativas (recordar que se está despreciando la

resistencia eléctrica). Por lo tanto,

dE 1 di 1 1 dq

= 0 = L 2i + 2qdt 2 dt 2 C dt

2

2

1 d q 1 1L 2i + 2qi 0

2 dt 2 C

2

2

d q 1 + q = 0 [8]

dt LC

que corresponde a la ecuación diferencial del oscilador armónico con frecuencia angular propia,

1ω =

LC

y frecuencia propia en Hz,

1 1f = [9]

2π LC

y que por lo tanto las respectivas carga q y corriente eléctrica i son,

m oq = q sen ωt + φ

8

m o

dqi = = ωq cos ωt + φ

dt

en donde mq es la carga máxima almacenada en el condensador.

A la ecuación [8] se puede llegar aplicando la teoría de circuitos, sin embargo en éste módulo se hizo a

través del concepto de energía por considerarlo más ilustrativo para el propósito de esta lección.

En el oscilador electromagnético hay una constante conversión de energía eléctrica en magnética y

viceversa: la eléctrica se almacena en el campo eléctrico del condensador y la magnética se almacena en el

campo magnético de la bobina: se puede empezar cargando inicialmente el condensador, pasado un cuarto

de periodo se ha descargado el condensador y la energía está completamente almacenada en el campo

magnético de la bobina; pasado medio periodo se vuelve a cargar completamente el condensador y la

energía está almacenada completamente en el campo eléctrico del condensador; en el otro medio ciclo se

repite la misma conversión energética pero con la corriente eléctrica y los campos eléctrico y magnético

cambiando de sentido, Figura 7a. En la Figura 7b se ilustra su analogía mecánica en donde la conversión de

energía se da entre energía cinética y energía potencial.

Figura 7 a: Oscilador electromagnético

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Figura 7b: Oscilador mecánico

Circuitos RLC: Oscilaciones electromagnéticas amortiguadas

En cualquier circuito LC está presente una resistencia eléctrica R (Figura 8) y por lo tanto la energía

electromagnética no permanece constante sino que disminuye al disiparse por el denominado efecto Joule.

Figura 8

10

La energía disipada en la unidad de tiempo (potencia disipada) es,

2

disipada

dE = P = - Ri

dt

y como,

2 2

magnetica electrica

1 1 1E = U + U = Li + q

2 2 C

se obtiene,

2di q dqLi + = - Ri

dt c dt

2

2

d q R dq 1 + + q = 0 [10]

dt L dt LC

que corresponde a la ecuación diferencial del oscilador amortiguado cuya solución para el caso de

subamortiguamiento es,

-γt

m oq = q e sen ω t + φ

En donde γ corresponde a la constante de amortiguamiento y ω a la frecuencia angular de oscilación,

Rγ = [11]

2L

2 2ω = ω - γ

1ω =

LC

ω es la frecuencia propia de la oscilación electromagnética no amortiguada (“libre”). ω es estrictamente

menor que la frecuencia ω , pero en la mayoría de los casos de interés se puede suponer que son iguales con

un error despreciable.

Tarea: se deja al lector que haga una analogía entre los osciladores electromagnético y mecánico

amortiguados.

Oscilaciones electromagnéticas forzadas

En la Figura 9 se ilustra los osciladores electromagnético y mecánico forzados. Para realizar el análisis se

empleará la analogía mecánica.

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Figura 9

La ecuación diferencial en el caso mecánico es,

22 o

f2

Fd x dx + 2γ + ω x = sen ω t

dt dt m

con solución estacionaria,

p p fx = x = A sen ω t - δ

en donde,

o

p2

2 2 2 2

f f

FA =

m ω - ω + 4γ ω

f

2 2

f

2 γ ωtanδ =

ω ω

Por lo tanto en el caso del oscilador electromagnético la ecuación diferencial es,

22 o

f2

εd q dq + 2γ + ω q = sen ω t [12]

dt dt L

La solución estacionaria,

m fq = q sen ω t - δ [13]

y por lo tanto la corriente eléctrica,

12

f m f

dqi = = ω q cos ω t - δ

dt

m f

dqi = = i cos ω t - δ [14]

dt

con, m f mi = ω q la máxima corriente, es decir la amplitud de corriente, en donde,

o

m2

2 2 2 2

f f

εq =

L ω - ω + 4γ ω

y por lo tanto,

f om

22

2 2 2

f f

ω εi =

RL ω - ω + 4 ω

2L

om

2

2

f

f

εi = [15]

1 ω L - + R

ω C

f

2 2

f

2 γ ωtanδ =

ω ω

f

f

1ω L -

ω Ctanδ = [16]

R

y la resonancia se da en,

f

1ω ω =

LC

El factor de calidad Q del oscilador mecánico es,

f f

ω f ωQ= =

Δω Δf 2γ

por lo que Q para el circuito oscilante es,

13

f f

ω f ω ωLQ= = = [17]

Δω Δf 2γ R

En la Figura 10 se ilustra la curva de la potencia P vs la frecuencia externa wf. Recordar que el ancho de

banda wf se toma a la mitad de la potencia.

Figura 10

En el oscilador mecánico en resonancia,

la amplitud del oscilador es máxima,

la energía absorbida por el oscilador es máxima,

π

δ = 2

,

la velocidad está en fase con la fuerza impulsora como se observa al operar, es decir, el oscilador

está moviendo en el sentido en que actúa la fuerza impulsora, por lo que se consigue el máximo

aporte de energía.

Por lo tanto en el oscilador electromagnético en resonancia,

la amplitud de corriente mi es máxima,

la energía absorbida por el oscilador electromagnético es máxima,

π

δ = 2

,

la corriente i está en fase con la fem ε .

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Antenas

Una antena es un dispositivo diseñado para transmitir o recibir energía electromagnética. Una antena se

puede reducir a un circuito serie RLC: está construida de alambre, tubos o placas y por lo tanto tendrá

inductancia y una resistencia; una antena tiene capacitancia debido a la cercanía con el suelo y los objetos

que la rodean.

Resonancia en antenas

La máxima cantidad de energía radiada por un oscilador electromagnético (circuito oscilante) está a

la “frecuencia de resonancia”. Por lo tanto es importante hacer que una antena esté en resonancia a la

frecuencia en la que se desea transmitir: téngase en cuenta que el mismo dispositivo se puede utilizar para

transmitir o recibir.

En el módulo # 8 de éste curso se analizará el tamaño estimado de las antenas para que funcionen

correctamente. De todas formas éstas son siempre algo más cortas que las calculadas debido a la

capacitancia añadida en los extremos de la antena (“efecto de puntas”): la antena deberá acortarse (bajar

la inductancia) para lograr que entre en resonancia en la frecuencia del diseño. En el módulo # 19 se

profundizará en la teoría electromagnética de la radiación de un antena.

En el oscilador mecánico, la potencia media recibida en estado estacionario es,

2 2

o frecibida 2

2 2 2 2

f f

F γωP =

ω - ω + 4γ ωm

por lo tanto en el oscilador electromagnético, en este caso la antena, la potencia media radiada o recibida

es,

2 2

o f

22

2 2 2 2

f f

ε RωP=

R2L ω - ω + 4 ω

2L

2 2

o frecibida 2

2 2 2 2 2

f f

ε RωP = [17]

2 L ω - ω + R ω

Los circuitos resonantes se utilizan en los receptores de radio, en donde se varía la frecuencia de

resonancia del circuito variando la capacidad. Se produce la resonancia cuando la frecuencia natural del

circuito se iguala a una de las frecuencias de las ondas de radio recogidas por la antena. En la resonancia,

aparece una corriente relativamente grande en el circuito de la antena. Si el factor Q del circuito es

suficientemente alto, las corrientes debidas a las frecuencias de otras estaciones que no están en

resonancia serán despreciables en comparación con la correspondiente a la frecuencia de la estación a que

se ha sintonizado el circuito.

FIN