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UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN

FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA

FÍSICA MECÁNICA

MÓDULO # 19: DINÁMICA DE LA PARTÍCULA –CANTIDAD DE MOVIMIENTO-

Diego Luis Aristizábal R., Roberto Restrepo A., Tatiana Muñoz H.

Profesores, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín

Temas

Introducción

PARTE I: CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL

Cantidad de Movimiento Lineal para una partícula: Primera y Segunda Ley de Newton

Principio del Impulso y la Cantidad de Movimiento Lineal para una partícula

Una discusión sobre las Fuerzas Impulsivas

Conservación de la Cantidad de Movimiento Lineal en un Sistema de Partículas

Colisiones

Otros ejemplos sobre conservación de la Cantidad de Movimiento Lineal

PARTE II: CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR

Cantidad de Movimiento Angular para una partícula: Primera y Segunda Ley de Newton

Cantidad de Movimiento Angular y Momento de Inercia: partícula y rígido

Conservación de la Cantidad de Movimiento Angular

o Fuerza central

o Cuerpo rígido en eje fijo con torque nulo.

Principio del Impulso y la Cantidad de Movimiento Angular para una partícula

PARTE III: RESUMEN

Las tres magnitudes dinámicas básicas para una partícula

Introducción

Para el estudio de la dinámica de un cuerpo, la física emplea fundamentalmente tres metodologías:

La segunda ley de Newton: a través de la relación fuerza y aceleración.

El principio del trabajo y la energía: a través de la relación fuerza, velocidad y posición (no es

necesario determinar la aceleración). Se fundamenta en la integral fuerza-posición.

El principio del impulso y la cantidad de movimiento: a través de la relación fuerza, velocidad y

tiempo (no es necesario determinar la aceleración). Se fundamenta en la integral fuerza-tiempo.

2

Hasta esta parte del curso se han empleado los dos primeros métodos. En este módulo se empleará el

tercer método.

Este método aplicado a sistemas de partículas facilitará el estudio de situaciones físicas como: sistemas

de masa variable, fluidos en movimiento, eventos donde hay presencia de fuerzas impulsivas (colisiones,

explosiones,…). En éste módulo se analizarán estos últimos.

PARTE I: CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL

Cantidad de Movimiento Lineal para una partícula: Primera y Segunda Ley de Newton

Dada una partícula de masa m y que tiene una velocidad V se define como Cantidad de Movimiento Lineal

P a,

P = mV [1]

También se le denomina simplemente Cantidad de Movimiento. En otros textos se le denomina Momentum

Lineal o simplemente Momentum.

La unidad de la cantidad de movimiento en el SI es, kg.m.s-1 o N.s. Esta magnitud es vectorial y su

dirección es la misma que la de la velocidad: la cantidad de movimiento es tangente a la trayectoria de la

partícula, Figura 1.

Figura 1

La segunda ley de Newton para una partícula se puede reescribir con base en la cantidad de movimiento,

F = ma

dVF = m

dt

3

y como una partícula mantiene su masa constante,

d mVF =

dt

dPF = [2]

dt

Es decir, “la derivada temporal de la cantidad de movimiento de una partícula en un marco de

referencia inercial es igual a la fuerza neta que actúa sobre una partícula”: enunciado de la segunda

ley de Newton basada en el concepto de cantidad de movimiento. Es importante tener en cuenta que esta

relación sólo se cumple para marcos de referencia inerciales.

“Si la fuerza neta sobre la partícula es nula, F = 0 , entonces la partícula se moverá con su

cantidad de movimiento constante, P = constante , es decir se moverá en línea recta con rapidez

constante”: este es el enunciado de la primera ley de Newton basada en el concepto de cantidad de

movimiento.

Principio del Impulso y la Cantidad de Movimiento Lineal para una partícula

La ecuación [2], segunda ley de Newton, se puede reescribir así,

dP = F dt

f

i

t

f i

t

P - P = F dt

f

i

t

f i

t

P - P = F dt

f f f

i i i

t t t

f i 1 2 n

t t t

P - P = F dt + F dt ... F dt [3]

A la integral,

f

i

t

t

J = Fdt [4]

Se le denomina Impulso J producido por la Fuerza F y a la expresión [3] se le conoce con el nombre de

Principio del Impulso y la Cantidad de Movimiento para una partícula. Este principio dice: “Dado un

4

marco de referencia inercial, el cambio en la cantidad de movimiento lineal de una partícula en un

intervalo de tiempo, es igual al impulso total de las fuerzas que actúa sobre ésta en ese intervalo”.

Nuevamente se debe tener en cuenta que para aplicar este principio el marco de referencia debe ser

inercial.

Para tener en cuenta:

Una partícula en movimiento está caracterizada por dos cantidades dinámicas: una escalar, la energía

cinética, 21k = mV

2, y una vectorial, la cantidad de movimiento, P = mV , cuyos cambios están asociados

con la integración, en un caso “espacial” (integral de trabajo) y en otro caso “temporal” (integral de

impulso), de la fuerza neta, es decir estos cambios son consecuencia de la interacción con otras partículas

u objetos:

Trabajo: f

i

t

neta

t

W = F dr (Escalar)

Impulso: f

i

t

neta

t

J = F dt (Vector)

Una discusión sobre las Fuerzas Impulsivas

Estas fuerzas se caracterizan por su acción intensa y breve: colisiones, explosiones, golpes, percusiones,

impactos presentan este tipo de fuerzas. En las situaciones en las que intervienen fuerzas impulsivas,

pueden considerarse, en el intervalo de actuación, nulos los impulsos del resto de las fuerzas que están

actuando tanto internas como externas (es decir los impulsos de las fuerzas no impulsivas): esto permitirá

aplicar en forma aproximada la conservación de la cantidad de movimiento lineal en este tipo de

eventos, tema que se tratará a continuación. Antes de continuar se hará un cálculo que mostrará el enorme

valor de las fuerzas denominadas impulsivas comparadas con las no impulsivas.

Ejemplo:

Suponer una bola lanzada horizontalmente contra una pared vertical, Figura 2. La bola tiene una masa de

100 g e inmediatamente antes de la colisión su rapidez es igual a 10,0 m.s-1; si inmediatamente después de

la colisión su rapidez sigue siendo 10,0 m.s-1 estimar la proporción entre los impulsos de la fuerza de

contacto normal F y el peso durante los 4,00 ms que dura ésta. Como se verá en la sección sobre colisiones,

esta colisión es de tipo PERFECTAMENTE ELÁSTICA ya que la energía cinética de la partícula

inmediatamente antes de la colisión es igual a la energía cinética inmediatamente después de ésta.

Solución:

Se toma como marco de referencia la pared y es inercial, Figura 2. En la misma figura se ilustra los ejes de

coordenadas elegidos. El sistema mecánico es la bola. También se ilustra el diagrama de fuerzas (derecha):

se desprecia la fuerza de rozamiento con la pared.

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Para calcular el valor del impulso de la fuerza impulsiva F será necesario estimar el valor media de ésta,

Figura 3.

Figura 2

Figura 3

media x, mediaF = ma

xx, media

ΔVa =

Δt

f i

m mˆ ˆ ˆΔV = V - V = 1 10,0 i - - 10,0 i = 20,0 i s s

6

-1

media

ˆ20,0 i m.sF = 0,100 kg = 500 N

0,004 s

El peso de la partícula es,

2

mˆ ˆ ˆP = mg j = 0,100 kg 9,80 j = 0,98 j Ns

Es decir F es del orden de 500 veces en magnitud el valor del peso. F es una fuerza que dura muy poco su

actuación (0,004 s) pero es muy grande comparada, en este caso, con el peso que será no impulsiva. Los

impulsos se pueden calcular,

Integral de impulso de F (es en dirección X): mediaF × Δt = 500 N 0,004 s = 2 N.s

Integral de impulso del peso (es en dirección Y): mg × Δt = 0,98 N 0,004 s = 0,004 N.s

El impulso de la fuerza impulsiva F es del orden de 500 veces el impulso de la fuerza de gravedad. Debido a

esto el cambio de velocidad en dirección Y en esos 0,004 s es despreciable frente al cambio de velocidad

en dirección X que es de 20 m.s-1. En dirección Y se puede considerar que la velocidad no cambia en ese

pequeño intervalo de tiempo (0,004 s).

Conservación de la Cantidad de Movimiento Lineal en un Sistema de Partículas

Suponer que dos objetos (partículas) colisionan. Durante la colisión la partícula 1 ejerce una fuerza sobre la

partícula 2 que se denominará 12F . Esta fuerza es IMPULSIVA, suponiendo que el resto de fuerzas

externas que actúan sobre la partícula 2 NO SON impulsivas, por lo que se desprecia su acción durante el

intervalo de la colisión, f iΔt = t - t , es decir se desprecian esos impulsos, y por lo tanto la ecuación [3]

queda para la partícula 2,

2

1

t

12 f2 i2

t

F dt = P - P

Por ley de acción y reacción (tercera ley de Newton), la partícula 2 ejerce sobre la partícula 1 una fuerza

21F tal que,

21 12F = - F

Aplicando el mismo razonamiento a la partícula 1 que se le aplicó a la partícula 2, la ecuación [3] queda para

la partícula 1,

2

1

t

21 f1 i1

t

F dt = P - P

7

Sumando los dos impulsos,

2 2

1 1

t t

12 21 f2 i2 f1 i1

t t

F dt+ F dt = P - P P - P

Pero de la ley de acción y reacción 21 12F = - F ,

2 2 2 2

1 1 1 1

t t t t

12 21 12 12

t t t t

F dt + F dt = F dt F dt 0

Obteniéndose,

i1 i2 f1 f2P + P P + P [5]

Ecuación que expresa la conservación de la cantidad de movimiento lineal total para un sistema de dos

partículas. Este es uno de los resultados más importante que se presenta en éste módulo de aprendizaje y

es la segunda ley de conservación que se ha encontrado en este curso de Física Mecánica, la primera fue la

ley de conservación de la energía mecánica tratada en los módulos de aprendizaje # 17 y # 18.

En el módulo de aprendizaje # 21 se mostrará que ésta ley de conservación es de validez general para

sistemas incluso así contengan más de dos partículas: Dado un marco de referencia inercial si la suma de

las fuerzas externas que actúan sobre un sistema de partículas es cero (o al menos los impulsos de

estas se pueden suponer cero bajo el argumento de la presencia de fuerzas impulsivas en un intervalo

de tiempo t muy pequeño), la cantidad de movimiento total del sistema es constante, es decir, la

cantidad de movimiento antes y después de actuar las interacciones en ese intervalo de tiempo t es

igual,

totalP = constante [6a]

total totalantes después

P = P [6b]

Para aplicar este principio de conservación se recomienda seguir el siguiente protocolo:

Definir inequívocamente cuál es el sistema de partículas que se analiza.

Definir para el sistema cuál es la posición o instante inicial y la posición o instante final.

Indicar cuál es el marco de referencia INERCIAL para expresar las velocidades e impulsos.

Observar cuidadosamente qué fuerzas EXTERNAS actúan sobre el sistema durante el intervalo de

tiempo considerado. Las fuerzas internas no se consideran.

Plantear la ley de conservación de la cantidad de movimiento lineal.

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Colisiones

Sean dos esferas de masas m1 y m2 que colisionan. Si los centros de masa están sobre la línea de choque se

dice que la colisión es CENTRAL. De lo contrario es EXCÉNTRICA. En la Figura 4 se ilustra una colisión

CENTRAL.

En este módulo, por convención se tomará el eje X en la dirección de la línea de choque y denotará con V

las velocidades inmediatamente antes de la colisión y con U las velocidades inmediatamente después de la

misma. Con base en el apartado anterior se concluye que hay conservación de la cantidad de movimiento

lineal en el intervalo de tiempo que dura la colisión (se pueden despreciar los impulsos de las fuerzas

externas frente al impulso de la fuerza impulsiva de colisión en este intervalo de tiempo). Por lo tanto,

total totali f

P = P

1 1 2 2 1 1 2 2m V + m V = m U + m U

Figura 4

De esta ecuación vectorial se obtienen dos ecuaciones escalares,

1 1x 2 2x 1 1x 2 2x

1 1y 2 2y 1 1y 2 2y

m V + m V = m U + m U [7a]

m V + m V = m U + m U [7b]

Los signos de esos términos dependerán de la orientación de las velocidades respecto a los ejes

coordenados elegidos

Coeficiente de restitución:

En una colisión real parte de la energía cinética inicial del sistema se pierde, convirtiéndose en otras

formas de energía como energía vibracional, o energía de ondas sonoras y fundamentalmente

transformándose por fricciones disipativas internas en movimiento interno caótico, es decir en energía

9

térmica. Pero esas pérdidas de energía son difíciles de medir con el debido detalle y es más simple

introducir el denominado coeficiente de restitución e definido como,

1x 2x

1x 2x

U - Ue = - [8]

V - V

Este coeficiente es adimensional y su valor está acotado entre 0 y 1, 0 e 1 :

e=0: colisión perfectamente plástica, las masas quedan pegadas después de la colisión.

e=1: colisión perfectamente elástica, se conserva la energía cinética,

i1 i2 f1 f2K + K = K + K

2 2 2 2

1 1 1 2 1 1 1 2

1 1 1 1m V + m V = m U + m U [9]

2 2 2 2

Adicionalmente en una colisión central las fuerzas impulsivas actúan a lo largo de la línea de choque, y si las

superficies son lisas, no hay fuerza externa en dirección Y actuando sobre las partículas y por lo tanto, se

conserva la cantidad de movimiento lineal en esta dirección para cada una de las partículas,

1y 1 1y 1 1y 1y 1yP constante m V = m U V = U [10]

2y 2 2y 2 2y 2y 2yP constante m V = m U V = U [11]

Estas serían dos ecuaciones adicionales a las ecuaciones [7a] y [8]: esto en el caso de colisión central y

superficies lisas.

Video: Colisión entre el bate y la bola de beisbol

http://www.youtube.com/watch?v=caUnCYHO1qw

Ejemplos de colisiones

Ejemplo 1

Desde una altura h1 se deja caer una bola sobre el piso y al rebotar sube hasta una altura h2, Figura 5.

Encontrar el coeficiente de restitución de la colisión.

10

Figura 5

Solución:

Marco de referencia el piso y es inercial. La línea de choque es el eje X. El sistema de partículas lo

conforman el planeta Tierra y la bola.

La colisión es inelástica. Por conservación de la energía mecánica de la bola desde A hasta B

(inmediatamente antes de la colisión),

otrasW = ΔE

otras

B AW = E - E

B A0 = E - E

A BE = E

A A B BK + U = K + U

Como AK = 0 y BU = 0 se obtiene

2

1 1

1mgh = mV

2

1 1V = 2gh

apuntando hacia abajo, es decir,

1 1ˆV = - 2gh i

Nuevamente por conservación de la energía mecánica de la bola desde B (inmediatamente después de la

colisión) hasta C,

otrasW = ΔE

11

otras

C BW = E - E

C B0 = E - E

B CE = E

B B C CK + U = K + U

Como CK = 0 y BU = 0 se obtiene

2

1 2

1mU = mgh

2

1 2U = 2gh

apuntando hacia arriba, es decir,

1 2ˆU = 2gh i

La colisión se puede interpretar como entre dos cuerpos: uno es la bola y la otra es el planeta Tierra, por lo

tanto,

2V = 0

2U = 0

Por lo tanto el coeficiente de restitución es, ecuación [8],

21x 2x

1x 2x 1

2gh - 0U - Ue = - = -

V - V - 2gh - 0

2

1

he =

h

Este es un método muy efectivo de medir coeficientes de restitución en el laboratorio. Basta con medir las

alturas h1 y h2. Observar que si h2=h1 la colisión sería perfectamente elástica y si h2=0 la colisión sería

perfectamente plástica.

Ejemplo 2

Las dos esferas de la Figura 6 cuyas masas son m1 y m2 realizan una colisión perfectamente plástica.

Inmediatamente antes de la colisión tenían respectivamente velocidades iguales a 1V y 2V . Calcular la

velocidad inmediatamente después de la colisión.

12

Figura 6

Solución:

Marco de referencia el piso y es inercial. La línea de choque es el eje X. El sistema de partículas lo

conforman las dos esferas.

La conservación de la cantidad de movimiento lineal en dirección X exige que,

1 1 2 2 1 2m V + m V = m + m U

1 1 2 2

1 2

m V + m VU =

m +m

Ejemplo 3

Las dos esferas de la Figura 7 cuyas masas son m1 y m2 realizan una colisión perfectamente elástica.

Inmediatamente antes de la colisión tenían respectivamente velocidades iguales a 1V y 2V . Calcular la

velocidad inmediatamente después de cada una de las esferas después de la colisión.

Figura 8

Solución:

Marco de referencia el piso y es inercial. La línea de choque es el eje X. El sistema de partículas lo

conforman las dos esferas.

13

De la conservación de la cantidad de movimiento lineal en dirección X se obtiene,

1 1 2 2 1 1 2 2m V + m V = m U + m U

Como la colisión es perfectamente elástica se conserva la energía cinética del sistema,

2 2 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 1 1m V + m V = m U + m U

2 2 2 2

Combinando estas dos ecuaciones se obtiene,

1 2 21 1 2

1 2 1 2

m - m 2mU = V + V

m + m m + m

1 1 22 1 2

1 2 1 2

2m m - mU = V - V

m + m m + m

Observar que,

a) si 1 2m = m ,

1 2U = V

2 1U = V

Así, si por ejemplo m1 se mueve con velocidad V inmediatamente antes de la colisión y m2 está en reposo

inicialmente, inmediatamente después de la colisión m1 queda en reposo y m2 se moverá con velocidad V.

Figura 9.

Figura 9

Algo muy interesante es la situación planteada en la Figura 10 (las bolas son idénticas).

14

Figura 10

b) si 2 1m m , por ejemplo una bola contra una pared,

1 1U = - V

2U = 0

Es decir, la bola se regresa con la misma rapidez.

Otros ejemplos sobre Conservación de la Cantidad de Movimiento Lineal

Ejemplo 1

Para determinar la velocidad V de una bala de masa m, se dispara esa bala sobre una caja llena de arena de

masa M que está suspendida de cuerdas como se indica en la Figura 11. La bala queda incrustada en la caja

con arena y el conjunto de masa (M+m) se eleva una distancia vertical máxima H. Obtener la velocidad V de

la bala.

Figura 11

Solución:

Marco de referencia el piso y es inercial. La línea de choque es el eje X. El sistema de partículas lo

conforman la bala y la caja de arena.

De la conservación de la cantidad de movimiento en dirección X se tiene,

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mV = m + M U

De la conservación de la energía mecánica del sistema (m+M) desde A hasta B se obtiene,

21m + M U = (m + M)gH

2

U = 2gH

Combinando con la ecuación anterior de momentum lineal,

M + mV = 2gH

m

Ejemplo 2:

Un resorte vertical de constante k=1000 N.m-1 sostiene un plato de m1=2,00 kg de masa, Figura 12. Desde

una altura de h=5,00 m se deja caer un cuerpo de m2=4,00 kg de masa que se adhiere al plato. (a) ¿Cuánto

se deforma el resorte para sostener el plato? (b) ¿Cuánto vale la velocidad del conjunto cuerpo-plato

inmediatamente después del choque? (c) ¿Cuál es la máxima compresión del resorte al adherírsele el

cuerpo?

Figura 12

Solución:

(a) La ley de Hooke expresa que,

F = kx

16

En donde x corresponde a la deformación del resorte. La Fuerza que en primera instancia deforma el

resorte es igual al peso del plato,

1m g = ka

1m ga =

k

Al reemplazar los valores, k=1000 N.m-1, m1=2,00 kg,

a = 0,0196 m

(b) Primero se calcula la velocidad del cuerpo de masa m2 inmediatamente antes de la colisión. Para esto se

aplica la conservación de la energía mecánica desde la posición C hasta la posición B ya que la única

fuerza que actúa es el peso y es conservativa,

C BE = E

C C B BK + U = K + U

Si para la energía potencial gravitacional se toma como nivel de referencia la línea horizontal que pasa por

B se obtiene,

2

B

1mgh = mV

2

BV = 2gh

Reemplazando h=5,00 m se obtiene,

B

mV = 9,90

s

1

mV = V = 9,90

s

Para la colisión se toma como marco de referencia el piso y es inercial. La línea de choque es el eje X. El

sistema de partículas lo conforman la el plato de masa m1 y el cuerpo de masa m2. En la colisión, que es

inelástica, hay conservación de la cantidad de movimiento lineal y por lo tanto,

2 1 2m V = m +m U

2

1 2

mU = V

m +m

Reemplazando los valores de m1, m2 y V,

17

mU = 6,60

s

(c) Para calcular la máxima deformación del resorte después de la colisión se aplica la conservación de la

energía mecánica desde la posición B hasta la posición D,

B DE = E

B B D DK + U = K + U

Si para la energía potencial gravitacional se toma como nivel de referencia la línea horizontal que pasa por

D se obtiene,

2 2 2

1 2 max 1 2 max

1 1 1m + m g x - a + ka + m + m U = kx

2 2 2

Reemplazando los valores se obtiene,

maxx = 0,571 m

Ejemplo 3

¿Cuál es la velocidad de retroceso de una escopeta de 1,50 kg de masa que dispara un proyectil de 10,0 g

de masa con una velocidad de 225 m.s-1?

Figura 13

Solución:

En la Figura 13 se ilustra la escena física. Se toma como marco de referencia el piso y es inercial. En el

pequeño intervalo en que transcurre el disparo hay presencia de una fuerza impulsiva en dirección X. Con

base en esto se argumenta la conservación de la cantidad de movimiento lineal en dirección X. línea de

choque es el eje X. El sistema de partículas lo conforman la escopeta de masa m1 y la bala de masa m2. Por

lo tanto,

1 1 2 20 = - m U + m U

2 22

1

m UU =

m

Reemplazando valores, m2=0,010 kg, m1=1,50 kg, U2=225 m/s.

18

2 21

1

m UU =

m

1

mU = 1,5

s

Vectorialmente,

1

m ˆU = -1,5 is

Ejemplo 4

Una granada se mueve horizontalmente con respecto al suelo a 8 km/s explota dividiéndose en tres

fragmentos iguales. Uno sale en dirección horizontal (la misma que llevaba la granada) a 16 km/s. El

segundo sale hacia arriba formando un ángulo de 45º y el tercer fragmento, hacia abajo formando un

ángulo de 45º: (a) hallar la velocidad del segundo y del tercer fragmento, (b) sabiendo que la granada se

encontraba a 100 m del suelo cuando se produce la explosión, hallar el alcance de cada uno de los

fragmentos.

Figura 14

Solución:

En la Figura 14 se ilustra la escena física. Para resolver el literal (a) se toma como marco de referencia el

piso y es inercial. En el pequeño intervalo en que transcurre la explosión hay presencia de una fuerza

impulsiva. Con base en esto se argumenta la conservación de la cantidad de movimiento lineal. El sistema de

partículas lo conforman la granada y los tres fragmentos. Por lo tanto,

o o

1 2 3

m m mmV = U cos45 + U + U cos45

3 3 3

o o

1 3

m m0 = U sen45 - U sen45

3 3

Reemplazando los valores, V=8 km/s y U2=16 km/s se obtiene,

19

1 3

kmU = U = 5,66

s

Tarea:

Se deja al lector resolver el literal (b).

PARTE II: CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR

Cantidad de Movimiento Angular para una partícula: Primera y Segunda Ley de Newton

Sea una partícula de masa m que se mueve curvilíneamente con velocidad V , Figura 15. Se define como

Cantidad de Movimiento Angular oL de la partícula respecto a un punto O fijo en un determinado marco

de referencia a,

oL = r×P = m r×V [12]

Figura 15

20

en donde P corresponde a la cantidad de movimiento lineal de la partícula. Observar que es un vector que

es perpendicular al plano que contiene a los vectores posición r y velocidad V . Las unidades de oL son

kg.m2.s-1. Es una magnitud vectorial. También se le denomina momentum angular o momentum cinético.

Recordar que la derivada temporal de la cantidad de movimiento lineal medida en un marco de referencia

inercial es igual a la fuerza neta externa que actúa sobre la partícula,

total dPF = [2]

dt

A continuación se procederá a realizar la derivada temporal de la cantidad de movimiento angular para ver

si se llega a una expresión análoga a [2]:

odL d = r×P

dt dt

odL dr dP = ×P + r×

dt dt dt

Pero,

dr

×P = V× mV = 0dt

y total F

o

dPr× = r×F = τ

dt

Y por lo tanto,

F oo

dLτ = [12]

dt

Es decir, “la derivada temporal de la cantidad de movimiento angular de una partícula respecto a un

punto O fijo en un marco de referencia inercial es igual al torque de la fuerza neta que actúa sobre

la partícula, respecto al mismo punto O”: que es el enunciado del equivalente de la segunda ley de Newton

para rotación (en el caso de cuerpo rígido) o giro (en el caso de partícula) basada en el concepto de

cantidad de movimiento angular.

Cantidad de Movimiento Angular y Momento de Inercia: partícula y cuerpo rígido

Sea una partícula de masa m que se mueve circularmente. La cantidad de movimiento angular de la partícula

respecto al centro de la trayectoria circular O, Figura 16, es,

oL = r×P

21

Figura 16

oL = mRV

En donde R es el radio de la trayectoria circular. Ahora si w es su velocidad angular y como,

V = wR

se obtiene,

2

oL = mR w

Se denomina Momento de Inercia de la partícula respecto al punto O, oI

2

oI = mR [13]

Es una cantidad escalar y se mide en el SI en kg.m2. Esta cantidad es análoga a la masa inercial en

traslación: es una medida de la inercia de giro de la partícula respecto a un eje que pasa por O. Con base en

esta definición la magnitud de la cantidad de movimiento angular de la partícula es,

o oL = I w [14]

Observar que es análoga a la expresión P=mV para traslación: “L es a P como Io es a m y como w es a V”

Como se demostrará en el módulo # 22 la ecuación [14] también es válida para el cuerpo rígido cuando rota

sobre un eje fijo.

Conservación de la Cantidad de Movimiento Angular

Fuerza central

22

Una fuerza central es una fuerza dirigida siempre a un punto fijo, Figura 1, que se elegirá como origen O y

cuya magnitud sólo depende de la distancia radial r desde dicho punto O.

Figura 17

Si la única fuerza que actúa sobre una partícula es una fuerza central, Figura 17, como el ángulo formado

entre r y F es cero en cualquier instante, el torque de F respecto a O se anula y así,

odL = r×F = 0

dt

y por tanto la cantidad de movimiento angular oL es constante durante el movimiento de la partícula. Esta

es una primera aplicación de la conservación del momentum angular, que, junto a las conservaciones de la

cantidad de movimiento lineal y de la energía, ocupa lugar eminente en la física: hasta está sección del

curso se han tratado TRES LEYES DE CONSERVACIÓN. El vector cantidad de movimiento angular es

constante tanto en magnitud como en dirección.

Un ejemplo es la fuerza gravitacional que ejerce el Sol sobre los planetas, Figura 18. Esta ley de

conservación de la cantidad de movimiento angular trae como consecuencia la denominada ley de las áreas o

denominada también segunda ley de Kepler. A continuación se analizará esto:

23

Figura 18

Como la fuerza gravitacional es una fuerza central se conservará la cantidad de movimiento angular del

planeta respecto al sol y por lo tanto,

solL = constante

2mr w = constante

21 dθr = constante

2 dt

1

r rdθ2 = constante

dt

dA = constante

dt

Es decir el vector posición r del planeta respecto al Sol barre áreas iguales en tiempos iguales: por lo tanto

entre más cerca estés el planeta con más velocidad se debe mover en su traslación.

Para información se enuncian a continuación las denominadas tres leyes de Kepler del movimiento

planetario:

Primera Ley de Kepler: Todos los planetas se mueven alrededor del Sol siguiendo órbitas elípticas. El

Sol está en uno de los focos de la elipse.

Segunda Ley de Kepler: Los planetas se mueven con rapidez (rata) areolar constante. Es decir,

el vector posición r de cada planeta con respecto al Sol barre áreas iguales en tiempos iguales.

24

Esta es la ley que se demostró como consecuencia de la ley de conservación de la cantidad de

movimiento angular.

Tercera Ley de Kepler: se cumple que para todos los planetas, la razón entre el periodo de revolución

al cuadrado y el radio orbital al cubo se mantiene constante.

Cuerpo rígido en eje fijo con torque nulo

Como se dijo atrás, en el módulo # 22 se mostrará que la ecuación [14] también es válida para el cuerpo

rígido cuando rota sobre un eje fijo.

o oL = I w [14]

Como,

F oo

dLτ =

dt

Si oτ = 0

oL = constante

oI w =constante

w =constante

Es decir, si el torque externo que actúa sobre un cuerpo rígido es nulo, éste si rota, rotará con velocidad

angular constante.

Principio del Impulso y la Cantidad de Movimiento Angular para una partícula

De la ecuación [12] se deduce,

F oo

dLτ = [12]

dt

o odL = τ dt

f f

ii

L t

o o

tL

dL = τ dt

fo ioL - L = H [15]

25

en donde H es la denominada integral del impulso angular. A la expresión [15] se le conoce con el nombre

de Principio del Impulso y la Cantidad de Movimiento Angular para una partícula. Este principio dice:

“Dado un marco de referencia inercial, el cambio en la cantidad de movimiento angular de una

partícula respecto a un punto O en un intervalo de tiempo, es igual al impulso angular total de los

torques respecto al mismo punto O de las fuerzas externas que actúan sobre ésta en ese intervalo”.

Nuevamente se debe tener en cuenta que para aplicar este principio el marco de referencia debe ser

inercial.

Si el impulso H es nulo entonces hay conservación de la cantidad de movimiento angular,

of oiL = L [16]

Ejemplo:

Un cuerpo de pequeñas dimensiones, de 20 g de masa, está unido al extremo de una cuerda que pasa a

través de un orificio practicado en un tablero horizontal liso como el de la Figura 19. Se sujeta el extremo

inferior de la cuerda y se hace que se mueva el cuerpo en trayectoria circular de 40 cm de radio con una

velocidad angular de 2 rad.s-1. (a) Calcular la velocidad lineal del cuerpo, su momento angular y la fuerza F

que se debe hacer para que este movimiento sea posible. (b) A continuación se va aumentando la fuerza F

hasta que el radio de la trayectoria se reduce a 10 cm. Repetir los cálculos realizados en (a). ¿Qué

magnitud física permaneció constante?

Figura 19

Solución:

En la Figura 19 se ilustra la situación física. En la Figura 20 se ilustra el diagrama de fuerzas sobre el

cuerpo. El marco de referencia es la mesa y es inercial.

Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo son la normal N, el peso mg y la fuerza de tensión T que es igual a

F. La normal N y el peso mg se equilibra. La fuerza neta es F y es una fuerza central, por lo tanto se

conserva la cantidad de movimiento angular del cuerpo respecto al centro de la trayectoria circular, es

decir,

26

of oiL = L

of oiL = L

Figura 20

1 1 2 2m r V = m r V

1 1 2 2r V = r V

Tarea:

Resolver los literales (a) y (b) del ejemplo.

PARTE III: RESUMEN

Las tres magnitudes dinámicas básicas para una partícula

Una partícula de masa m que se mueve respecto a un marco inercial de referencia, está caracterizada por

tres cantidades dinámicas fundamentales, cantidad de movimiento lineal, cantidad de movimiento angular y

energía cinética.

P = mV

oL = m r V

21K = mV

2

27

Ahora, una partícula tiene interacciones con su entorno y las acciones sobre ella se manifiestan como la

fuerza, el torque y el trabajo netos. Las relaciones fundamentales de la dinámica movimiento de una

partícula vinculan esas magnitudes dinámicas que caracterizan su movimiento, con estas magnitudes que

cuantifican las acciones ejercidas sobre ella. Las relaciones siguientes son respecto a un marco de

referencia inercial:

dPF = = ma

dt

oo

dLτ = [*]

dt

W = ΔK

La ecuación [*] si la partícula se mueve circularmente y se toma como O el centro de la trayectoria toma la

siguiente forma,

ooo o

d I wdLτ = = = I α

dt dt

siendo Io su momento de inercia respecto a O y su aceleración angular.

Taller

Parte I: Colisiones y conservación de la cantidad de movimiento lineal

1. Desde un marco de referencia inercial se observa que dos partículas se mueven sobre una mesa lisa

con velocidades constantes. Sus masas y velocidades respectivas son 1m = 1,00 kg , 2m = 2,00 kg ,

-1

1ˆ ˆv = 4,00 i + 4,00 j m.s y

-1

2ˆv = - 2,00 i m.s . En cierto instante las partículas colisionan y

permanecen unidas: (a) calcular la velocidad del sistema de las dos partículas después de la colisión; (b)

hallar el porcentaje de energía cinética perdida durante la colisión.

Rp. (a) -1ˆ1,33 j m.s (b) 86.8 %

2. Una granada que se desplaza horizontalmente a una velocidad de 8 km.s-1 con respecto a la tierra

explota en tres segmentos iguales. Uno de ellos continúa moviéndose horizontalmente a 16 km.s-1, otro

se desplaza hacia arriba haciendo un ángulo de 450 y el tercero se desplaza haciendo un ángulo de 450

bajo la horizontal. Encontrar la magnitud de las velocidades del segundo y tercer fragmentos.

(Tomado de Alonso, M., Finn, E., Física Volumen I, Fondo Educativo Interamericano, S.A., 1976.)

Rp. 5,66 km/s

28

3. Un cuerpo de masa 2m = 2,00 kg y rapidez -1

2v = 5,00 m.s colisiona con otro cuerpo en reposo de

masa 1m = 1,00 kg . Los cuerpos se encuentran sobre una superficie horizontal lisa. Como consecuencia

del choque 1m adquiere una velocidad cuyo módulo es -12,00 m.s y cuya dirección forma un ángulo de

60,0o respecto a la velocidad inicial de 2m , Figura 21. Calcular: (a) la velocidad de 2m , (b) el impulso

que siente 2m y la fuerza promedio que 1m le ejerció durante la colisión, si la misma duró 0,01 s.

Rp. (a) -11 ˆ ˆ9,00 i - 3,00 j m.s2

; 10,89o. (b) -1ˆ ˆ i + 3,00 j m.s ; ˆ ˆ 100 i + 100 3,00 j N .

Figura 21

4. El bloque de la Figura 22 de masa M se encuentra sobre una superficie horizontal lisa y se apoya

contra un resorte de constante elástica k que no está deformado. El otro extremo del resorte está

sujeto a una pared. Se desea medir la rapidez v de un proyectil de masa m . Para ello se dispara el

proyectil a quemarropa contra el bloque. El proyectil se incrusta en el bloque penetrando

completamente antes que el bloque tenga tiempo de moverse apreciablemente. Luego el resorte

comienza a comprimirse siendo x la máxima compresión. Mostrar que:

2

m + Mv = x k

m

Figura 22

5. Un proyectil de masa m incide sobre un bloque de masa M=2m con dirección de 60o por debajo de la

horizontal y rapidez v, ver Figura 23. El proyectil se incrusta en el bloque, el cual se encuentra

inicialmente en reposo sobre una superficie lisa y horizontal. Demostrar que si v’ es la rapidez del

bloque luego de la colisión se debe cumplir que v’/v=1/6.

29

Figura 23

Parte II: Conservación de la cantidad de movimiento angular

6. Un cuerpo de pequeñas dimensiones, de 20 g de masa, está unido al extremo de una cuerda que pasa a

través de un orificio practicado en un tablero horizontal liso como el de la Figura 24. Se sujeta el

extremo inferior de la cuerda y se hace que se mueva el cuerpo en trayectoria circular de 40 cm de

radio con una velocidad angular de 2 rad.s-1. (a) Calcular la velocidad lineal del cuerpo, su momento

angular y la fuerza F que se debe hacer para que este movimiento sea posible. (b) A continuación se va

aumentando la fuerza F hasta que el radio de la trayectoria se reduce a 10 cm. Repetir los cálculos

realizados en (a). ¿Qué magnitud física permaneció constante?

Figura 24

FIN.