Universidad Simón Bolívar Departamento de Computación CI5321 Computación Gráfica II Dinámica...

Universidad Simón BolívarDepartamento de ComputaciónCI5321 Computación Gráfica II

DinámicaDinámica

05-38161 Jessica Fariñas

05-38076 Yessica De Ascencao

Agenda

•Introducción

•Sistemas de partículas

•Cuerpos rígidos

•Usos y aplicaciones

Animación computarizadaAnimación computarizada

¿Qué es la animación?

Es un proceso utilizado para dar la sensación de

movimiento a imágenes o dibujos, de acuerdo a una secuencia de acciones.

¿Qué es la simulación?

Es predecir como cambian los objetos a lo largo del tiempo, de acuerdo a las

leyes físicas.

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•Introducción


•Cuerpos rígidos


DinámicaDinámica

• Pasiva

• Activa

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•Introducción


•Cuerpos rígidos


Sistema de partículasSistema de partículas

Los Sistemas de Partículas para computación gráfica constituyen un método de modelado de objetos difusos

como fuego, nubes y agua. Los sistemas departículas modelan un objeto como una nube de

partículas primitivas que definen suvolumen.

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•Introducción


•Cuerpos rígidos


1. Se generan nuevas partículas en el sistema.

Sistema de partículasSistema de partículasWilliam T. Reeves (1983)

2. A cada una de ellas se les asigna sus atributos individuales.

3. Cualquier partícula en el sistema cuyo tiempo de vida haya expirado es eliminada.

4. El resto de las partículas son desplazadas y transformadas de acuerdo a sus atributos dinámicos.

5. Se despliega (render) una imagen de las partículas vivas en el buffer de cuadros de imagen (frame buffer).

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•Introducción


•Cuerpos rígidos


Generación de partículasGeneración de partículas

Un proceso determina el número de partículas que entran al sistema durante cada intervalo de tiempo, esto

es, en un frame dado.

Método 1:

Método 2:

•Rand retorna un numero aleatorio entre –1.0 y +1.0•MediaPart es la media del numero de partículas•VarPart es su varianza

•MediaPart es la media por área de pantalla•VarPart es su varianza •AreaPantalla el área de pantalla del sistema de partículas

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•Introducción


•Cuerpos rígidos



Para controlar la generación de partículas en el sistema, esto es, aumentar o disminuir la cantidad, el diseñador

puede variar en el tiempo la media del número de partículas generadas por frame, utilizando una simple

funcional lineal:

• f es el frame actual • f0 es el primer frame• MediaPartInicial es la media del numero de partículas• DeltaMediaPart es el radio de cambio

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•Introducción


•Cuerpos rígidos



El número de partículas

generadas es importante debido

a su enorme influencia en la densidad del objeto difuso.

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•Introducción


•Cuerpos rígidos


Atributos de las partículasAtributos de las partículas

• Posición Inicial

• Velocidad Inicial (velocidad y dirección)

• Tamaño inicial

• Color Inicial

• Transparencia Inicial

• Forma

• Tiempo de vida

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•Introducción


•Cuerpos rígidos


Posición de la partículasPosición de la partículas

Cada partícula tiene movimiento en el campo de flujo.

•Posición X =

•Velocidad V =

•La función de campo de flujo

determina la velocidad de la

partícula.

1

2

X

X

1

2

,V dX

VV dt

( , )V g X t

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•Introducción


•Cuerpos rígidos


El campo de flujo g(X,t) es un campo vectorial que define un vector de cualquier partícula en la posición X en el instante de tiempo t.

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•Introducción


•Cuerpos rígidos


Ecuaciones diferencialesEcuaciones diferenciales

La ecuación V=g(X,t) es una ecuación diferencial de primer orden:

( , )dX

g X tdt

La posición es computarizada al integrar la ecuación diferencial anterior:

0

0( ) ( ) ( , )t

t

X t X t g X t dt

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•Introducción


•Cuerpos rígidos


Integración numéricaIntegración numérica

Partimos de un punto inicial:

0( )X t

Pasa a lo largo del campo vectorial para calcular la posición en cada instante de tiempo. Esto es conocido como el problema del valor inicial.

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•Introducción


•Cuerpos rígidos


Método de EulerMétodo de Euler

Es una solución simple al problema del valor inicial.

• Comienza en un valor inicial

• Toma pequeños intervalos a lo largo del campo.

( ) ( ) * ( , )X t t X t t g X t

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•Introducción


•Cuerpos rígidos


Método de EulerMétodo de Euler

Ventajas:

• Simplicidad

• Usualmente es suficiente

Desventajas:

• Requiere intervalos muy pequeños

• En algunos casos es inestable

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•Introducción


•Cuerpos rígidos


Otros métodosOtros métodos

• Runge-Kutta (4to y 6to orden)

con constantes propias del esquema numérico.

• Adams

, ,ij i ia b c

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•Introducción


•Cuerpos rígidos



• Midpoint (2do orden Runge-Kutta)

Computar primer intervalo con Euler

Evaluar f en el punto medio, donde f=g(X,t)

Tomar un intervalo y aplicar Midpoint:

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•Introducción


•Cuerpos rígidos



• Intervalo adecuado

Evaluar tomando un intervalo de tamaño h

Evaluar tomando dos intervalos de tamaño h/2

Error =

Ajustar el tamaño del intervalo a donde f=g(X,t)

ap

bpa bp p

1/( / ) fepsilon error

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•Introducción


•Cuerpos rígidos


Movimiento y transformaciones de las Movimiento y transformaciones de las partículaspartículas

Las partículas se mueven de acuerdo a la ley Newton:

La masa m determina las propiedades inerciales de la partícula; las partículas mas robustas se mueven más fácilmente que las livianas.

El campo vectorial en un instante dado t, depende de la velocidad y de la posición.

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•Introducción


•Cuerpos rígidos


Para representar el movimiento de acuerdo a la ley de Newton, usamos ecuaciones diferenciales de segundo orden:

Movimiento y transformaciones de las Movimiento y transformaciones de las partículaspartículas

Sin embrago, para ahorrar cálculos, podemos reutilizar los resultados de la ecuación de 1er orden. Definimos un nuevo vector y, que concatena la posición y la velocidad:

Obtenemos una nueva ecuación diferencial de 1er orden que soluciona la de 2do orden.

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•Introducción


•Cuerpos rígidos


Animación de partículasAnimación de partículas

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•Introducción


•Cuerpos rígidos


Cuerpos RígidosCuerpos Rígidos

¿Qué es un cuerpo rígido?

• Idealización de un cuerpo sólido •Sistema de partículas

•Invariabilidad de la distancia•No se deforma

Mismas ecuaciones de un sistema de partículas

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•Introducción


•Cuerpos rígidos


Dinámica de Cuerpos RígidosDinámica de Cuerpos Rígidos

Diseño de modelos matemáticos y físicos para predecir el movimiento de los cuerpos y las fuerzas presentes entre ellos.

Aplicaciones más importantes: Robótica Videojuegos Ingeniería Diseño de máquinas

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•Introducción


•Cuerpos rígidos


Para empezar a estudiar la dinámicaPara empezar a estudiar la dinámica

• Una sola partícula•Nos interesa su posición y velocidad

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•Introducción


•Cuerpos rígidos


Fuerza NetaFuerza Neta

¿Qué es la fuerza neta?

Existe un cambio en la cantidad de movimiento de un objeto.

Involucrados:

•Cuerpo al que se le aplica la fuerza

•Cuerpo que aplica la fuerza

Matemáticamente:

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•Introducción


•Cuerpos rígidos


Ecuación de Fuerza NetaEcuación de Fuerza Neta

Donde:

• es la fuerza neta que recibe el objeto

• es la cantidad de movimiento del objeto

• es el cambio en la cantidad de movimiento del objeto

• t es el tiempo

• es la variación del tiempo

• es la derivada de la cantidad de movimiento

• es la derivada del tiempo

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•Introducción


•Cuerpos rígidos


Valor de la Fuerza NetaValor de la Fuerza Neta

A) Una sola fuerza sobre un objeto dinámicamente aislado.

Donde:

• es la aceleración del objeto

• es la fuerza neta que recibe el objeto

• Msistema es la masa total del sistema

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•Introducción


•Cuerpos rígidos



B) Dos fuerzas paralelas separadas una cierta distancia

Donde:

• M es el momento del par o torque.

• F es la fuerza aplicada.

• d es la distancia entre las dos fuerzas.

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•Introducción


•Cuerpos rígidos



¿ Por qué una puerta gira?

Al cerrar una puerta, se aplica una fuerza F con cierta dirección y sentido.

Debido al eje determinado por las bisagras, se produce una fuerza F’ la cual, junto con F, producen la rotación.

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•Introducción


•Cuerpos rígidos


TorqueTorque

Involucrados:• Cuerpo al que se le aplica la fuerza• Cuerpo que aplica la fuerza• Eje sobre el cual se realiza movimiento de rotación

¿Qué es el torque de una fuerza?

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•Introducción


•Cuerpos rígidos


Torque NetoTorque Neto

Donde:

• T(t) es el torque ejercido en el cuerpo

• x(t) es el centro de masa del cuerpo

• fi es la fuerza aplicada en el punto i.

• pi es la posición del cuerpo

¿Qué es el torque neto?

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•Introducción


•Cuerpos rígidos


Ecuación de Movimiento para los Ecuación de Movimiento para los

Cuerpos RígidosCuerpos Rígidos

Donde:

• x(t) es el centro de masa del cuerpo

• R(t) es la rotación del cuerpo

• Mv(t) es la momento lineal del cuerpo

• I(t) w (t) momento angular del cuerpo

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•Introducción


•Cuerpos rígidos


Simulaciones con colisionesSimulaciones con colisiones

Para simular movimientos con colisiones en cuerpos rígidos se requiere:

• que las detectemos (detección de colisiones)

• que respondamos a ellas (respuesta de colisiones)

Seguimiento de la

trayectoria

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•Introducción


•Cuerpos rígidos


Enfoque ComputacionalEnfoque Computacional

1) Un cuerpo rígido como una superficie poligonal o superficie NURBS2) Colisionan, no atraviesan3) Para la animación se toman en cuenta: expresiones, restricciones, colisiones, movimientos

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•Introducción


•Cuerpos rígidos


Usos y aplicacionesUsos y aplicaciones

Próxima clase…

Muchas gracias por su atención.

¿Preguntas?

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DinámicaDinámica

Parte IIParte II

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05-38076 Yessica De Ascencao

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•Introducción


•Cuerpos rígidos


Usos y aplicacionesUsos y aplicaciones

Al tomar en cuenta todos los aspectos y características físicas de los objetos a

simular, podemos crear una aproximación muy cercana a lo que es la realidad.

A continuación algunas imágenes y videos que muestran los efectos logrados

al tomar en cuenta la dinámica en el proceso de modelado de figuras y objetos.

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•Introducción


•Cuerpos rígidos


Sistema de partículas para generar una pared Sistema de partículas para generar una pared de fuego y explosionesde fuego y explosiones

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•Introducción


•Cuerpos rígidos


Sistema de partículas para generar fuegos Sistema de partículas para generar fuegos artificialesartificiales

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•Introducción


•Cuerpos rígidos


Sistema de partículas para explosiones de Sistema de partículas para explosiones de línealínea

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•Introducción


•Cuerpos rígidos


Sistema de partículas para generar grama o Sistema de partículas para generar grama o pastopasto

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•Introducción


•Cuerpos rígidos


Sistema de partículas para simular el Sistema de partículas para simular el comportamiento de aves, peces, etc.comportamiento de aves, peces, etc.

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•Introducción


•Cuerpos rígidos


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•Introducción


•Cuerpos rígidos


Simulación de cuerpos rígidos con colisionesSimulación de cuerpos rígidos con colisiones

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•Introducción


•Cuerpos rígidos


Simulación de cuerpos rígidos en SoftimageSimulación de cuerpos rígidos en Softimage

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•Introducción


•Cuerpos rígidos


Simulación de cuerpos rígidos. Simulación de cuerpos rígidos. Articulaciones.Articulaciones.

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•Introducción


•Cuerpos rígidos


Cuerpos rígidos en robóticaCuerpos rígidos en robótica

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•Cuerpos rígidos


Simulación de Cuerpo Rígido para Personaje Simulación de Cuerpo Rígido para Personaje 3D. Animación.3D. Animación.

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•Cuerpos rígidos


Simulación de Cuerpos Rígido.Simulación de Cuerpos Rígido.Aros luego de dejarlos caer.Aros luego de dejarlos caer.

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•Cuerpos rígidos


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