V. TEORIA ESPECTRALEN ESPACIOSNORMADOS

Damos comienzo en este capıtulo a la llamada teorıa espectralde operadores en espacios normados. Toda la informacion acumu-lada hasta el momento se ira aplicando sucesivamente al estudiode las propiedades espectrales de los operadores lineales y aco-tados. Con la mirada puesta en la situacion finito-dimensional,trataremos de generalizar los conceptos de resolvente y espec-tro y de obtener descomposiciones de los operadores compactosmediante proyecciones sobre ciertos subespacios invariantes.

SECCIONES

1. Introduccion. Definiciones previas.

2. Propiedades espectrales de los operadores lineales acotados. Funcionesde un operador.

3. Operadores compactos.

4. Descomposicion espectral de los operadores compactos.

5. Ecuaciones lineales de operadores compactos. Ecuaciones integrales deFredholm.

6. Ejercicios.

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1. INTRODUCCION. DEFINICIONES PREVIAS.

Mucha informacion sobre el comportamiento de un operador lineal A se pue-de obtener estudiando la familia de operadores A−λI, con λ real o complejo(observese que todo subespacio invariante bajo A es tambien invariante bajoA − λI y que todos los operadores de la forma A − λI conmutan entre sı).Por otra parte, a menudo el inverso de un operador es mas importante que elpropio operador. En particular, la teorıa espectral trata de las propiedadesdel operador (A − λI)−1, donde A ∈ L(X) con X espacio normado y λ unescalar fijado (esto permitira descomponer el operador A en el mayor nume-ro de componentes y, paralelamente, una descomposicion del espacio X ensuma de subespacios invariantes bajo A). En las aplicaciones practicas estopermitira resolver sistemas de ecuaciones lineales, ecuaciones diferenciales yecuaciones integrales.

En el caso de dimension finita la situacion es particularmente simple: dadoun operador lineal A : X → X en un espacio normado de dimension finita,dim X = n, fijado un escalar λ, o existe (A−λI)−1 o no existe; si no existe,en cuyo caso λ recibe el nombre de autovalor de A, se prueba facilmenteque existen como maximo n autovalores y son precisamente las raıces de laecuacion caracterıstica det(A− λI) = 0 (donde identificamos el operador Acon su matriz asociada respecto a cualquier base de X). En particular sededuce que todo tal operador tiene al menos un autovalor. Ademas todaslas matrices que representan al mismo operador A ∈ L(X) con respecto adistintas bases de X tienen los mismos autovalores.

Las cosas no son tan simples en dimension infinita: aparte de que puedehaber infinitos valores de λ para los que (A − λI)−1 no existe, en los casosde existencia debemos precisar los resultados, tanto el que (A − λI)−1 sealineal y acotado como el que el rango de (A− λI) sea denso en X. Nada deesto tiene significado en dimension finita.

El estudio de estas cuestiones nos conduce al analisis espectral y pretendemosobtener los resultados que generalizan los conocidos en el caso de dimensionfinita. Un resultado fundamental en algebra lineal es el siguiente:

Teorema. Si X es un espacio euclıdeo de dimension n y A ∈ L(X) es unoperador autoadjunto, entonces existe una base ortonormal ϕ1, . . . , ϕn deX y unos numeros reales λ1, . . . , λn tales que Aϕi = λiϕi, i = 1, . . . , n.Ademas, si llamamos Ei a la proyeccion ortogonal sobre N(A − λiI), i =1, . . . , n, entonces Ei 6= 0, ∀i, EiEj = 0 si i 6= j,

∑ni=1 Ei = I y se

tiene la descomposicion A =∑n

i=1 λiEi. Como consecuencia, la matrizde A asociada a dicha base es la matriz diagonal (〈Aϕi, ϕj〉)i,j=1,...n =

198

λ1 . . . 0. . .

0 . . . λn

.

Veamos un ejemplo de lo que puede pasar en dimension infinita.

Ejemplo. Sea h una funcion real continua y 2π-periodica. Entonces el ope-rador K : L2[−π, π] → L2[−π, π], definido por (Kf)(t) =

∫ π−π h(t−s)f(s)ds,

es lineal y acotado. Si elegimos la base ortonormal ϕn(t) = 1√2π

eint, n ∈ Z,resulta

(Kϕn)(t) =∫ π

−πh(t−s)

1√2π

einsds =∫ t+π

t−πh(s)

1√2π

ein(t−s)ds =1√2π

eintλn,

donde λn =∫ π−π h(s)e−insds, n ∈ Z, es decir, Kϕn = λnϕn.

La matriz asociada al operador K respecto a la base ϕnn∈Z es la matrizdiagonal doblemente infinita

. . .λ−1 0

λ0

0 λ1

. . .

.

En lo que sigue, mientras no se especifique lo contrario, supondremos queX es un espacio normado complejo no trivial y A : X → X un operadorlineal.

1.1.- Definicion. Diremos que λ ∈ C es un punto regular de A si existeRλ(A) = (A − λI)−1 y es un operador acotado definido en un subconjuntodenso de X. El conjunto resolvente de A es ρ(A) = λ ∈ C : λ es puntoregular de A.

El termino resolvente se refiere a que la ecuacion (A−λI)x = y tiene solucionx = (A−λI)−1y. Ademas el estudio de las propiedades de (A−λI)−1 permiteobtener informacion sobre el propio A.

Llamaremos espectro de A al conjunto σ(A) = C \ ρ(A), es decir al conjuntode puntos no regulares de A, que llamaremos puntos espectrales de A. Enparticular los autovalores de A son puntos espectrales. El siguiente ejemplomuestra que, en general, no todos los puntos espectrales son autovalores (adiferencia de los espacios de dimension finita donde la teorıa espectral seestudia a partir de los autovalores al ser estos los unicos puntos espectra-les).

199

Ejemplo. En el espacio H = L2(R) con la medida de Lebesgue se defineel operador (Mf)(x) = eix · f(x). Como ‖Mf‖ = ‖f‖ y (M−1f)(x) =e−ix · f(x), deducimos que M es unitario. Encontremos los autovalores deM :

Dado λ ∈ C, existe fλ ∈ L2(R) tal que Mfλ = λfλ si y solo si eixfλ(x) =λfλ(x) c.s. Esto implica que fλ(x) = 0 c.s. de modo que ‖fλ‖ = 0 y M notiene autovalores.

Sea ahora ρ ∈ C tal que (M − ρI)f = g, es decir (eix − ρ)f(x) = g(x) c.s. obien f(x) = (eix − ρ)−1g(x) c.s. y se define un operador lineal

[(M − ρI)−1g](x) = (eix − ρ)−1g(x).

El operador (M − ρI)−1 esta acotado si y solo si |ρ| 6= 1; esto quiere decirque σ(M) = ρ ∈ C : |ρ| = 1 = T, lo que prueba que el espectro es no vacıoaunque el operador no posea autovalores.

Clasificaremos el espectro en tres grupos:

- Un punto λ ∈ C es autovalor de A o pertenece al espectro puntual de A,λ ∈ σp(A), si no existe (A−λI)−1. Cada vector x ∈ X tal que (A−λI)x = 0,con λ ∈ σp(A) se llama autovector de A correspondiente a λ y el subespaciode X que contiene al cero y a los autovectores correspondientes a un mismoλ se llama autoespacio correspondiente a λ.

- Un punto λ ∈ C pertenece al espectro continuo de A, λ ∈ σc(A), si R(A−λI)es denso en X y existe (A− λI)−1 pero no esta acotado.

- Un punto λ ∈ C pertenece al espectro residual de A, λ ∈ σr(A), si existe(A− λI)−1 pero esta definido en un subconjunto no denso de X.

De las definiciones anteriores se deduce que

C = ρ(A) ∪ σ(A) = ρ(A) ∪ σp(A) ∪ σc(A) ∪ σr(A)

y que la union es disjunta, obteniendose ası una particion de C.

La siguiente tabla resume las caracterısticas de los distintos conjuntos:

λ (A− λI)−1 (A− λI)−1 R(A− λI)

ρ(A) existe acotada denso en X

σc(A) existe no acotada denso en X

σr(A) existe – no denso en X

σp(A) no existe – –

Una propiedad basica de los autovectores es la siguiente:

200

1.2.- Proposicion. Autovectores x1, . . . , xn correspondientes a autovaloresλ1, . . . , λn distintos de un operador lineal A sobre un espacio normado com-plejo X son linealmente independientes.

Demostracion. Si x1, . . . , xn fueran linealmente dependientes, denotamospor xm el primero de ellos que es combinacion lineal de los anteriores, esdecir xm = α1x1 + · · ·+ αm−1xm−1.

Entonces

0 = (A− λmI)xm =m−1∑j=1

αj(A− λmI)xj =m−1∑j=1

αj(λj − λm)xj

=⇒ αj(λj − λm) = 0, ∀j = 1, . . . ,m− 1=⇒ αj = 0, ∀j = 1, . . . ,m− 1 =⇒ xm = 0,

lo cual es absurdo. ♦

Es sabido que si X tiene dimension finita y existe (A−λI)−1, entonces debeser acotado. Ademas R(A − λI) = X, con lo que se deduce que σc(A) =σr(A) = ∅; de ahı que los puntos del espectro puntual se llamen tambienautovalores de A.

Sin embargo en el caso de dimension infinita tenemos puntos espectrales queno son autovalores, como muestran los siguientes ejemplos.

1.3.- Ejemplos. 1) Sea T : `2 → `2 el operador traslacion a la derecha,definido por T (x1, x2, . . . ) = (0, x1, x2, . . . ). Este operador es acotado y tienenorma uno. El operador inverso T−1 : T (X) → X es la traslacion hacia laizquierda T−1(x1, x2, . . . ) = (x2, x3, . . . ). Como T (X) no es denso en X,el punto λ = 0 es un valor espectral de T pero no es autovalor ya queTx = 0 =⇒ x = 0 y el vector cero no puede ser autovector.

2) Sea X un espacio de Hilbert separable de dimension infinita y xnn∈Nuna base ortonormal de X. Si hacemos para cada x ∈ X, x =

∑n∈N αnxn, y

definimos el operador Ax =∑

n∈N αnλnxn, donde λnn∈N es una sucesionde escalares distintos de uno pero con λn → 1, se prueba que

λn ∈ σp(A), ∀n;1 ∈ σc(A);

Si λ 6= λn, ∀n y λ 6= 1 =⇒ λ ∈ ρ(A);σr(A) = ∅.

3) Bajo las mismas condiciones del ejemplo anterior, definimos el operadordestruccion

Ax =∞∑

n=1

αn

n + 1xn+1, para x =

∞∑n=1

αnxn.

201

Se comprueba aquı que 0 ∈ σr(A) y λ ∈ ρ(A), ∀λ 6= 0.

En el caso de dimension infinita, los operadores cuyo comportamiento es elmas parecido al caso de dimension finita son los operadores completamentecontinuos o compactos pues, como veremos en el apartado 4, el conjunto deautovalores es a lo sumo numerable y el cero es su unico posible punto deacumulacion.

2. PROPIEDADES ESPECTRALES DE LOS OPERADORES LI-NEALES ACOTADOS. FUNCIONES DE UN OPERADOR.

Supondremos en esta seccion que X es un espacio de Banach complejo yno vacıo y T : X → X un operador lineal y estudiaremos las principa-les caracterısticas del espectro y de la resolvente. Utilizaremos la notacionRλ(T ) = (T − λI)−1 para indicar la resolvente de T (cuando no haya con-fusion escribiremos simplemente Rλ).

Nota. Las propiedades que enunciamos en este apartado relativas a L(X)se pueden facilmente extender a cualquier algebra de Banach con identidad;pero el contexto en el que aquı se plantean es el que aplicaremos posterior-mente en la teorıa espectral (puede consultarse en [Ru] para el estudio deestos conceptos).

2.1.- Lema. Sea X de Banach, T : X → X lineal y λ ∈ ρ(T ). Si T es cerra-do o acotado, entonces Rλ(T ) esta definido en todo X y es acotado.

Demostracion. Si T es cerrado, tambien lo es T − λI. Por tanto, tambienlo es (T − λI)−1. Entonces, por el teorema del grafico cerrado, su dominioD(Rλ) es cerrado, de modo que D(Rλ) = D(Rλ) = X, pues λ ∈ ρ(T ).

Si T fuera acotado, como D(T ) = X es cerrado, T es cerrado y se aplica elrazonamiento anterior. ♦

2.2.- Teorema. Sean T ∈ L(X) y λ, µ ∈ ρ(T ). Entonces:

(a) (Ecuacion de la resolvente) Rµ −Rλ = (µ− λ)RµRλ.

(b) RλS = SRλ, ∀S ∈ L(X) tal que ST = TS.

(c) RλRµ = RµRλ.

Demostracion. (a) Teniendo en cuenta que Rλ y Rµ estan definidas en todo

202

X, resulta:

Rµ −Rλ = Rµ(T − λI)Rλ −Rµ(T − µI)Rλ

= Rµ(T − λI − T + µI)Rλ = (µ− λ)RµRλ.

(b) Si ST = TS, S(T − λI) = (T − λI)S. Entonces

RλS = RλS(T − λI)Rλ = Rλ(T − λI)SRλ = SRλ.

(c) Como Rλ conmuta con T , Rλ conmuta con Rµ, por (b). ♦

2.3.- Lema. Si T ∈ L(X), σ(T ) = σ(T ∗) y Rλ(T ∗) = Rλ(T )∗ si λ ∈ρ(T ∗) = ρ(T ).

Demostracion. Ver ejercicio 2 al final del capıtulo.

A continuacion enunciamos el teorema de la aplicacion espectral que ge-neraliza el resultado en dimension finita de que si λ es autovalor de unamatriz A, entonces p(λ) = anλn + · · · + a1λ + a0 es autovalor de la matrizp(A) = anAn + · · ·+a1A+a0I. Utilizaremos la notacion p(σ(T )) = µ ∈ C :µ = p(λ), λ ∈ σ(T ) y la notacion analoga p(ρ(T )) para la resolvente.

2.4.- Teorema (aplicacion espectral para polinomios). Si T ∈ L(X) yp(λ) = anλn + · · ·+ a1λ + a0, an 6= 0, entonces p(σ(T )) = σ(p(T )).

Demostracion. Supondremos que σ(T ) 6= ∅ (ver teorema 2.10).

Si n = 0, p(σ(T )) = a0 = σ(p(T )). Sea pues n > 0.

• Llamaremos S = p(T ) y Sµ = p(T ) − µI, µ ∈ C. Veamos que σ(S) ⊂p(σ(T )).

Fijado µ ∈ C, el polinomio Sµ(λ) = p(λ)− µ se factoriza como

Sµ(λ) = αn(λ− γ1) . . . (λ− γn)

lo que corresponde a

Sµ = p(T )− µI = αn(T − γ1I) . . . (T − γnI).

Si cada γj esta en ρ(T ), entonces existe S−1µ = (αn)−1(T − γnI)−1 . . . (T −

γ1I)−1 por lo que µ ∈ ρ(p(T )). Lo anterior prueba tambien que si µ ∈σ(p(T )), entonces γj ∈ σ(T ) para algun j. Por lo tanto, Sµ(γj) = p(γj)−µ =0, de donde µ = p(γj) ∈ p(σ(T )).

• Sea ahora µ ∈ p(σ(T )). Por definicion µ = p(β) para algun β ∈ σ(T ).Aquı se presentan dos posibilidades:

(∗) T − βI no tiene inversa.Como β es un cero del polinomio Sµ(λ) = p(λ)− µ, entonces Sµ(λ) =

203

(λ − β)g(λ) y tambien Sµ = p(T ) − µI = (T − βI)g(T ). Ahora bien,como todos los factores de g(T ) conmutan con T−βI, es cierto tambienque Sµ = g(T )(T − βI).Si Sµ tuviera inversa, podrıamos poner

I = (T − βI)g(T )S−1µ = S−1

µ g(T )(T − βI),

pero esto indica que T − βI tiene inverso, lo cual contradice nuestrosupuesto. Por tanto Sµ no tiene inverso, es decir µ ∈ σ(p(T )).

(∗) T − βI tiene inverso. Esto indica que R(T − βI) 6= X pues, en casocontrario, β ∈ ρ(T ) por el teorema de la aplicacion abierta.Como Sµ = p(T )−µI = (T −βI)g(T ), entonces R(Sµ) 6= X, de dondeµ ∈ σ(p(T )). ♦

El teorema de la aplicacion espectral es tambien cierto en espacios masgenerales que los polinomios. Ası, si definimos el espacio

F (T ) = f : f es funcion analıtica en algun entorno de σ(T ),

entonces se puede demostrar que f(σ(T )) = σ(f(T )), ∀f ∈ F (T ) (ver[DS]).

El lema siguiente es un resultado basico que permitira deducir las propie-dades topologicas del espectro, ası como formulas de representacion para laresolvente.

2.5.- Lema. Sea X un espacio de Banach y T ∈ L(X). Si ‖T‖ < 1, entonces

existe (I − T )−1 ∈ L(X) e (I − T )−1 =∞∑

j=0T j, donde la serie converge en

la norma de L(X).

Demostracion. Como ‖T j‖ ≤ ‖T‖j y la serie geometrica∞∑

j=0‖T‖j converge

para ‖T‖ < 1, la serie∞∑

j=0T j converge absolutamente para ‖T‖ < 1.

Como X es de Banach, tambien lo es L(X) y la convergencia absoluta im-

plica la convergencia de la serie∞∑

j=0T j .

Llamemos S =∑∞

j=0 T j . Como

(I − T )(I + T + · · ·+ Tn) = (I + T + · · ·+ Tn)(I − T ) = I − Tn+1, ∀n,

y Tn+1 → 0 cuando n →∞, pues ‖T‖ < 1, entonces (I−T )S = S(I−T ) = Ide donde S = (I − T )−1. ♦

2.6.- Teorema. El espectro σ(T ) de un operador T ∈ L(X), donde X es deBanach complejo, es un conjunto cerrado.

204

Demostracion. Si ρ(T ) = ∅, es abierto. Sea pues ρ(T ) 6= ∅ y λ0 ∈ ρ(T ).

∀λ ∈ C, T − λI = (T − λ0I) − (λ − λ0)I = (T − λ0I)[I − (λ − λ0)(T −λ0I)−1].

Por el lema 2.1, (T − λ0I)−1 ∈ L(X) y por el lema 2.5, si llamamos V =

(λ−λ0)(T −λ0I)−1, existe (I−V )−1 =∞∑

j=0(λ−λ0)j(T −λ0I)−j , ∀λ tal que

‖V ‖ < 1, es decir cuando

(∗) |λ− λ0| <1

‖(T − λ0I)−1‖.

Esta desigualdad muestra que (T − λI)−1 ∈ L(X); por tanto, si λ verifica(∗), existe (T −λI)−1 = [(T −λ0I)(I−V )]−1 = (I−V )−1(T −λ0I)−1.

Ası pues, la desigualdad (∗) representa un entorno de λ0 formado por puntosregulares de T . Esto quiere decir que ρ(T ) es abierto, de modo que σ(T ) =C \ ρ(T ) es cerrado. ♦

De la demostracion del resultado anterior se obtiene inmediatamente el si-guiente teorema de representacion.

2.7.- Teorema. En las condiciones anteriores, si λ0 ∈ ρ(T ), se tiene larepresentacion para la resolvente

(∗∗) Rλ = (T − λI)−1 =∞∑

j=0

(λ− λ0)jRj+1λ0

,

donde la serie converge absolutamente en la bola |λ−λ0| < ‖(T−λ0I)−1‖−1,la cual esta contenida en ρ(T ).

2.8.- Corolario. Dado T ∈ L(X), la resolvente Rλ(T ), considerada comofuncion de λ con valores en L(X), es localmente holomorfa en ρ(T )1.

Demostracion. Para cualesquiera x ∈ X, f ∈ X ′, definimos h(λ) = f(Rλ(T )x).A partir de (∗∗) obtenemos el desarrollo en serie

h(λ) =∞∑

j=0

cj(λ− λ0)j con cj = f(Rλ0(T )j+1x)

que converge absolutamente en el disco |λ− λ0| < ‖Rλ0‖−1. ♦

Ademas ρ(T ) es el mayor conjunto en el cual Rλ(T ) es localmente holomor-fa por lo que podemos decir que es el dominio natural de analiticidad deRλ(T ).

1Dado un conjunto Ω abierto en C, si S : Ω → L(X) es una funcion que toma valores

operadores en X (donde escribiremos S(λ) = Sλ), decimos que S es localmente holomorfa en Ωsi ∀x ∈ X, f ∈ X ′, la funcion h(λ) = f(Sλx) es holomorfa en Ω.

205

2.9.- Teorema. Si T ∈ L(X), dado λ ∈ ρ(T ), entonces ‖Rλ(T )‖ ≥ 1/δ(λ)siendo δ(λ) = ınfs∈σ(T ) |λ−s| = d(λ, σ(T )). En consecuencia, ‖Rλ(T )‖ → ∞cuando δ(λ) → 0.

Demostracion. Si λ ∈ ρ(T ), entonces µ : |µ − λ| < ‖Rλ‖−1 ⊂ ρ(T ) dedonde d(λ, σ(T )) ≥ 1/‖Rλ‖ si suponemos que σ(T ) 6= ∅. ♦

2.10.- Teorema. Si T ∈ L(X), σ(T ) 6= ∅.

Demostracion. Si T = 0, evidentemente σ(T ) = 0 6= ∅.

Sea pues T 6= 0 y supongamos que σ(T ) = ∅. Entonces, ρ(T ) = C y existe(T − λI)−1 ∈ L(X), ∀λ ∈ C. Por el corolario 2,8, la funcion h(λ) = f(Rλx)es holomorfa en C, ∀x ∈ X, f ∈ X ′.

Probemos a continuacion que h es acotada en todo el plano complejo.

a) En el cırculo |λ| ≤ 2‖T‖, h es continua y por tanto acotada.

b) Si λ > 2‖T‖, la serie

(T − λI)−1 = − 1λ

(I − 1λ

T )−1 = − 1λ

∑n≥0

1λn

Tn

converge absolutamente, pues ‖(1/λ)T‖ < 1.

Ademas

‖(T − λI)−1‖ ≤ 1|λ|

·∑n≥0

1|λ|n

· ‖T‖n =1|λ|

· 11− 1

|λ|‖T‖=

1|λ| − ‖T‖

<1‖T‖

.

Se prueba ası que h esta acotada tambien en esta region pues

|h(λ)| ≤ ‖f‖ · ‖Rλ‖ · ‖x‖ <‖f‖ · ‖x‖‖T‖

.

En definitiva, h es holomorfa y acotada en C y, por el teorema de Liouville, hes constante. Esto implica que Rλ es independiente de λ, ası como tambienlo es R−1

λ = T − λI, lo cual es absurdo. ♦

El teorema anterior puede ser falso si se consideran espacios de Hilbert reales.Ası por ejemplo, si consideramos el operador T : R2 → R2 definido por la

matriz A =(

0 −11 0

), entonces T − λI no es inyectiva si y solo si λ es raız

de la ecuacion det(A − λI) = 0. Como R2 tiene dimension finita sobre R,σ(T ) = ∅.

2.11.- Teorema. El espectro σ(T ) de T ∈ L(X) es compacto y esta conte-nido en la bola cerrada B(0, ‖T‖).

206

Demostracion. Procediendo como en el teorema anterior, se tiene que

(∗ ∗ ∗) Rλ = − 1λ

∑n≥0

1λn

· Tn,

donde la serie converge cuando |λ| > ‖T‖. Esto implica que λ ∈ C : |λ| >‖T‖ esta contenido en ρ(T ), con lo que el espectro σ(T ) debe estar en eldisco B(0, ‖T‖). Como σ(T ) es ademas cerrado, es compacto. ♦

De este teorema se deduce en particular que ρ(T ) 6= ∅. El resultado motivaademas el siguiente concepto:

2.12.- Definicion. Si T ∈ L(X), se llama radio espectral de T a

rσ(T ) = sup|λ| : λ ∈ σ(T ),

es decir al radio del menor disco centrado en el origen que contiene aσ(T ).

Del teorema 2.11 es claro que rσ(T ) ≤ ‖T‖ (la figura adjunta ilustra lodicho). El siguiente resultado permite refinar esta acotacion.

rσ(T )σ(T ) ‖T‖

2.13.- Teorema (formula de Gelfand). Sea T ∈ L(X). Entonces

rσ(T ) = lımn‖Tn‖1/n = ınf

n≥1‖Tn‖1/n.

Demostracion. a) Probaremos en primer lugar que lımn→∞

‖Tn‖1/n = ınfn≥1

‖Tn‖1/n.

Fijado un entero positivo m, ∀n ∈ N, n = m · qn + rn con 0 ≤ rn < m. Estoimplica que

‖Tn‖1/n = ‖Tm·qn+rn‖1/n ≤ ‖Tm‖qn/n · ‖T‖rn/n.

Como qn/n → 1/m y rn/n → 0 cuando n →∞, resulta que

lım supn→∞

‖Tn‖1/n ≤ ‖Tm‖1/m,

de donde

lım supn→∞

‖Tn‖1/n ≤ ınfm≥1

‖Tm‖1/m ≤ lım infn→∞

‖Tn‖1/n.

207

b) Por el teorema de la aplicacion espectral, σ(Tn) = [σ(T )]n; es evidenteentonces que rσ(Tn) = [rσ(T )]n. Ahora bien, como rσ(Tn) ≤ ‖Tn‖, enton-ces

rσ(T ) = [rσ(Tn)]1/n ≤ ‖Tn‖1/n, ∀n.

Por tanto, rσ(T ) ≤ lımn→∞ ‖Tn‖1/n y la demostracion estara concluida silımn→∞ ‖Tn‖1/n = rσ(T ).

Recordando de nuevo la formula (∗ ∗ ∗), tenemos que Rλ = −κ∑

n≥0 κnTn,donde llamamos κ = 1/λ.

Por la formula de Hadamard, la serie anterior converge absolutamente cuan-do |κ| < r, donde 1/r = lımn→∞ ‖Tn‖1/n.

Como Rλ es localmente holomorfa en el conjunto resolvente ρ(T ), si llama-mos M al conjunto del plano que corresponde a ρ(T ) por la transformacionκ = 1/λ, sabemos que el radio de convergencia r es el radio del mayor discoabierto alrededor de κ = 0 que esta incluido completamente en M . Por tanto,1/r es el radio del menor cırculo alrededor de λ = 0 cuyo exterior esta com-pletamente incluido en ρ(T ). Como esta es precisamente la definicion de ra-dio espectral de T , resulta en definitiva que rσ(T ) = 1/r = lımn→∞ ‖Tn‖1/n,lo que prueba el enunciado. ♦

3. OPERADORES COMPACTOS.

Los operadores compactos son aquellos cuyas propiedades mas se asemejana las de los operadores lineales en espacios de dimension finita de modoque su teorıa espectral sera una extension directa de aquellos y una formasencilla de introducirse en este estudio. Ademas muchos de los operadoresque aparecen en el estudio de ecuaciones integrales son compactos. Ası, unaaplicacion de dicha teorıa espectral conduce a la teorıa de Fredholm paraecuaciones integrales.

Es sabido que un operador acotado transforma conjuntos acotados en con-juntos acotados. Si ademas dicho operador tiene rango finito, es decir laimagen tiene dimension finita, transforma conjuntos acotados en relativa-mente compactos. Esta propiedad nos lleva a introducir la siguiente clase deoperadores.

3.1.- Definicion. Sean X e Y espacios normados. Un operador T : X → Yes compacto o completamente continuo si es lineal y la imagen de todo sub-conjunto acotado en X es relativamente compacto (es decir, tiene clausura

208

compacta).

De la definicion se deduce que un operador lineal T : X → Y es compacto siy solo si T (B1) es compacto, siendo B1 = x ∈ X : ‖x‖ ≤ 1 la bola unidaden X.

3.2.- Ejemplo. Una clase importante de operadores compactos la formanciertos operadores integrales. Ası, si X = L2([0, 1], dt), el operador T : X →X definido por (Tf)(s) =

∫ 10 k(s, t)f(t)dt, donde k ∈ C([0, 1] × [0, 1]), es

compacto. Para comprobarlo, veamos que T (B1) es compacto.

Es claro que si f ∈ B1, Tf ∈ C[0, 1] y

‖Tf‖∞ ≤ ‖k‖∞∫ 1

0|f(t)|dt ≤ ‖k‖∞ · ‖f‖2 ≤ ‖k‖∞

de modo que T (B1) es un conjunto acotado de (C[0, 1], ‖·‖∞). Ademas T (B1)es un conjunto equicontinuo. En efecto, dado ε > 0, por ser k uniformementecontinuo en [0, 1]× [0, 1], existe δ > 0 tal que

|k(s1, t)− k(s2, t)| < ε, ∀t ∈ [0, 1], |s1 − s2| < δ.

Por tanto, para todo f ∈ B1,

|(Tf)(s1)−(Tf)(s2)| ≤∫ 1

0|k(s1, t)−k(s2, t)|·|f(t)|dt < ε

∫ 1

0|f(t)|dt ≤ ε‖f‖2 ≤ ε.

Por el teorema de Arzela-Ascoli, T (B1) es compacto en (C[0, 1], ‖ · ‖∞).Entonces, si (fn)n∈N ⊂ B1, existe una subsucesion (fnk

)k∈N y una funcionf ∈ C[0, 1] tales que ‖Tfnk

− f‖∞ → 0, de donde ‖Tfnk− f‖2 → 0 lo que

prueba la compacidad de T .

Incluso si k ∈ L2([0, 1]× [0, 1], dsdt), el operador integral arriba definido escompacto (ver los ejercicios al final del capıtulo). Tales operadores se llamanoperadores de Hilbert-Schmidt y juegan un papel importante en el estudio deecuaciones diferenciales e integrales. Ası por ejemplo, el operador T originala ecuacion integral (T − λI)x(s) = y(s), donde λ ∈ C, es un parametro,y, k son funciones dadas y x es la funcion incognita. Hilbert probo que lasolubilidad de la ecuacion no depende de la existencia de la representacionintegral de T sino de que T es un operador compacto.

Es facil verificar que todo operador lineal acotado aplica conjuntos relati-vamente compactos en conjuntos relativamente compactos, de modo que lapropiedad de compacidad es mas fuerte que la de continuidad. El terminode operador completamente continuo viene sugerido por el siguiente resul-tado, en donde se prueba ademas que no todo operador acotado es compac-to.

209

3.3.- Lema. a) Todo operador compacto T : X → Y es acotado y, por tanto,continuo.

b) Si dim X = ∞, el operador identidad I : X → X no es compacto.

Demostracion. a) Como S = x ∈ X : ‖x‖ = 1 es acotado, T (S) escompacto y por tanto acotado. Ası pues sup

‖x‖=1‖Tx‖ < ∞, de donde T es

acotado.

b) La bola unitaria cerrada B = x ∈ X : ‖x‖ ≤ 1 es acotada. Si dim X =∞, B no puede ser compacto (teorema 5.3, capıtulo II). De ahı que I(B) =B = B no sea relativamente compacto. ♦

Las siguientes caracterizaciones son a veces usadas como definicion de ope-rador compacto.

3.4.- Teorema. Sea T : X → Y lineal. Son equivalentes:

i) T es compacto.

ii) Dada cualquier sucesion xnn∈N acotada en X, su imagen Txnn∈Ntiene alguna sub-sucesion convergente.

iii) Dada cualquier sucesion xnn∈N ⊂ B(0, 1), Txnn∈N tiene alguna sub-sucesion convergente.

Demostracion. i) =⇒ ii): Si T es compacto y xnn∈N es acotada, la clau-sura del conjunto Txnn∈N es compacto. De aquı se deduce que Txnn∈Ncontiene alguna subsucesion convergente.

ii) =⇒ iii): es trivial.

iii) =⇒ i): Sea M ⊂ X un conjunto acotado e ynn∈N una sucesion arbitrariaen T (M). Entonces existe una sucesion xnn∈N en M tal que Txn = yn, ∀n.Como xnn∈N esta acotada, existe r > 0 tal que ‖xn‖ < r, ∀n. Por hipote-sis, la sucesion T (r−1xn)n∈N tiene una subsucesion convergente, digamosT (r−1xnk

)k∈N. Como Txnk= rT (r−1xnk

), la sucesion Txnk = ynk

tambien converge, lo que quiere decir que T (M) es compacto. ♦

Un operador T : X → Y se dice de rango finito cuando dim T (X) < ∞.El siguiente resultado prueba que todo operador acotado de rango finito escompacto. (En particular los operadores de Cn en Cn, objeto del AlgebraLineal, son siempre compactos.)

3.5.- Teorema. Sea T : X → Y lineal. Entonces

a) Si T es acotado y de rango finito, entonces T es compacto.

b) Si dim X < ∞, T es compacto.

210

Demostracion. a) Sea xnn∈N una sucesion acotada en X. De la desigualdad‖Txn‖ ≤ ‖T‖·‖xn‖, se deduce que Txnn∈N es acotada. Como dim T (X) <∞, Txnn∈N es relativamente compacto, de modo que tiene una subsucesionconvergente.

El apartado b) es consecuencia de a), pues T es acotado si dim X < ∞, ydim T (X) ≤ dim X < ∞. ♦

Observacion. Todo operador compacto se puede descomponer en suma dedos operadores donde uno tiene rango finito y el otro tiene norma menorque cualquier numero positivo (ver [LS]). Por eso, aunque el recıproco de3.5(a) no es cierto, los operadores compactos son casi de rango finito.

3.6.- Teorema. El conjunto T : X → X : T lineal y compacto es subes-pacio de L(X).

Demostracion. Dados S, T compactos y α, β ∈ E, consideramos una su-cesion xnn∈N acotada en X. Por hipotesis, Txnn∈N tiene una subsu-cesion, que llamaremos Txnk

k∈N, convergente. Aplicando ahora S, tam-bien existe una subsucesion de Sxnk

k∈N, Sxnkjj∈N, convergente. Como

ambas sucesiones, Txnkjj∈N y Sxnk

k∈N, son convergentes, es claro queαTxnkj

+ βSxnkjj∈N es convergente. ♦

3.7.- Teorema. Sean T : X → X un operador compacto y S : X → X unoperador lineal acotado. Entonces TS y ST son compactos.

Demostracion. Sea B ⊂ X acotado; entonces S(B) es acotado y T (S(B)) =TS(B) es relativamente compacto. Esto implica que TS es compacto.

Sea ahora xnn∈N una sucesion acotada en X; entonces Txnn∈N tieneuna subsucesion convergente Txnk

k∈N y, por ser S continuo, STxnkk∈N

tambien converge. Esto prueba que ST es compacto. ♦

Los dos ultimos teoremas prueban que la clase de operadores compactos esun ideal bilatero del anillo L(X).

Como consecuencia de lo anterior y del lema 3.3(b) se prueba que, en unespacio de dimension infinita, un operador compacto no admite inverso aco-tado.

El siguiente resultado prueba que la clase de los operadores compactos formaun subconjunto cerrado de L(X, Y ).

3.8.- Teorema. Sea Tnn∈N una sucesion de operadores lineales y compac-tos de X en Y , donde Y es de Banach. Si Tnn∈N converge uniformemente,es decir, ∃T : ‖Tn − T‖ → 0, entonces T es compacto.

Demostracion. Usaremos el llamado metodo diagonal, para lo cual sea xmm∈Nuna sucesion acotada en X. Como T1 es compacto, existe una subsucesion

211

x1m tal que T1x1m es de Cauchy. A su vez existe x2m subsucesion dex1m tal que T2x2m es de Cauchy. En general, existe una sub-sucesionxnm tal que Tnxnm es de Cauchy.

Si elegimos ahora la sub-sucesion diagonal ymm∈N con ym = xmm, ∀m,entonces Tnymm∈N es de Cauchy para cada n fijo. Como ymm∈N es tam-bien acotada, ∃c > 0 : ‖ym‖ ≤ c, ∀m. De la convergencia uniforme de lasucesion Tnn∈N se deduce que

∀ε > 0, ∃n0 : ‖T − Tp‖ < ε/3c, ∀p ≥ n0,

y, como Tpymm∈N es de Cauchy,

∃n1 : ‖Tpyj − Tpyk‖ < ε/3, ∀j, k ≥ n1.

Entonces

‖Tyj − Tyk‖ ≤ ‖Tyj − Tpyj‖+ ‖Tpyj − Tpyk‖+ ‖Tpyk − Tyk‖≤ ‖T − Tp‖ · ‖yj‖+ ε/3 + ‖Tp − T‖ · ‖yk‖< (ε/3c) · c + ε/3 + (ε/3c) · c = ε.

Como Y es completo, Tymm∈N converge, lo que prueba que T es compacto.♦

Observacion. El teorema es falso si sustituimos convergencia uniforme porconvergencia fuerte, como lo muestra el ejemplo de Tn : `2 → `2 definido porTnx = (x1, . . . , xn, 0, . . . ). Como Tn es lineal y acotado y dim Tn(`2) < ∞,es compacto para todo n. Ademas Tnx → x = Ix pero el operador identidadno es compacto pues dim `2 = ∞.

Ejemplo. Para probar que el operador T : `2 → `2 definido por Tx =(xn/n)n≥1 es compacto, definimos Tn : `2 → `2 del siguiente modo:

Tnx =(x1,

x2

2, . . . ,

xn

n, 0, . . .

).

Ası Tn es lineal y acotado y como dim Tn(`2) < ∞, es tambien compacto.Ademas

‖(T − Tn)x‖2 =∞∑

j=n+1

1j2|xj |2 ≤

1(n + 1)2

∞∑j=n+1

|xj |2 ≤‖x‖2

(n + 1)2.

Tomando el supremo sobre todos los x de norma 1, vemos que ‖T − Tn‖ ≤1

n+1 y el teorema anterior prueba que T es compacto.

Probaremos a continuacion que los operadores compactos aplican sucesionesdebilmente convergentes en sucesiones fuertemente convergentes.

212

3.9.- Teorema. Sea T : X → Y un operador compacto. Si xnd→ x en X,

entonces Txnf→ Tx.

Demostracion. Llamamos yn = Txn e y = Tx.

Sea g ∈ Y ′ y definimos f : X → E por f(z) = g(Tz), ∀z ∈ X. Como T esacotado, f ∈ X ′ y

|f(z)| = |g(Tz)| ≤ ‖g‖ · ‖Tz‖ ≤ ‖g‖ · ‖T‖ · ‖z‖.

Por definicion, si xnd→ x, entonces f(xn) → f(x), es decir, g(Txn) → g(Tx),

o bien g(yn) → g(y). Como g es arbitrario, ynd→ y.

Si no fuera cierto que ynf→ y, existirıa ynk

k∈N subsucesion de ynn∈N talque ‖ynk

− y‖ ≥ η, para algun η > 0. Como xnn∈N converge debilmente,esta acotada y tambien lo estara xnk

k∈N. Como T es compacto, Txnkk∈N

tiene una subsucesion convergente, digamos yjj∈N y escribimos yj → y.

Como tambien yjd→ y, entonces y = y. En consecuencia ‖yj − y‖ → 0 pero

||yj − y‖ ≥ η > 0 lo cual es absurdo. ♦

Otra propiedad interesante es que los operadores compactos admiten clau-sura compacta.

3.10.- Teorema. Sean X un espacio normado, Y un espacio de Banachy T : X → Y un operador lineal compacto. Entonces existe T : X → Yextension lineal compacta.

Demostracion. Como T es acotado (lema 3.3.a), tiene una extension linealacotada T : X → Y . Veamos que T es compacto:

Sea xnn∈N una sucesion acotada en X. Por ser X denso en X, existe unasucesion xnn∈N en X tal que xn − xn → 0, ∀n. Evidentemente xnn∈Nesta acotada, de modo que Txnn∈N tiene una sub-sucesion convergente,Txnk

→ y ∈ Y . Como, en particular, xnk− xnk

→ 0, entonces

T xnk− T xnk

= T xnk− Txnk

→ 0,

de donde T xnk→ y, lo que prueba la compacidad de T . ♦

Un hecho fundamental en la resolucion de ecuaciones que involucran opera-dores compactos es el de que el adjunto de un operador compacto es tambiencompacto.

3.11.- Teorema (Schauder). Si T : X → Y es compacto, entonces T ∗ estambien compacto.

Demostracion. Basta ver que la imagen T ∗(B′) de la bola unidad B′ de Y ′

es relativamente compacto.

213

Sea B = B(0, 1) en X. Como T es compacto, T ( B) es relativamente com-pacto. Dado f ∈ B′, para cualquier y ∈ T ( B), tenemos

|f(y)| ≤ ‖f‖ · ‖y‖ = ‖f‖ · ‖Tx‖ ≤ ‖f‖ · ‖T‖ · ‖x‖ ≤ ‖T‖,

pues ‖f‖ < 1 y ‖x‖ ≤ 1. Esto indica que los funcionales de B′ estan uni-formemente acotados sobre T ( B). Por otra parte, dichos funcionales sonequicontinuos sobre T ( B) pues, si y1, y2 ∈ T ( B) y f ∈ B′, |f(y1)−f(y2)| =|f(y1 − y2)| ≤ ‖y1 − y2‖.

Una generalizacion del teorema de Arzela-Ascoli (capıtulo I, teorema 5.12)prueba que B′ es relativamente compacto para la convergencia uniformesobre T ( B).

Sea ahora una sucesion arbitraria (T ∗fn)n∈N ⊂ T ∗(B′). Como B′ es rela-tivamente compacto, existe una subsucesion (fni)i∈N de (fn), que convergeuniformemente sobre T ( B), es decir

supx∈B

|fni(Tx)− fnj (Tx)| = supx∈B

|T ∗(fni − fnj )(x)| = ‖T ∗(fni − fnj )‖ → 0.

Esto implica que la sucesion (T ∗fni)i∈N converge en norma, de modo queT ∗(B′) es relativamente compacto. ♦

4. DESCOMPOSICION ESPECTRAL DE LOS OPERADORESCOMPACTOS.

Obtenemos en esta seccion la descomposicion espectral de los operadorescompactos en espacios normados. Es notable el hecho de que las propie-dades espectrales de los operadores compactos son simples generalizacionesde la teorıa de autovalores de matrices finitas. Se deben a F. Riesz y J.Schauder los resultados fundamentales de la teorıa que desarrollamos a con-tinuacion.

En primer lugar veremos que si un operador compacto tiene infinitos auto-valores, estos pueden disponerse en una sucesion que converge a cero (masadelante se probara que el espectro de un operador compacto, a excepciondel cero, esta formado unicamente por autovalores).

4.1.- Teorema. El conjunto de autovalores de un operador compacto Tsobre un espacio normado X es finito o numerable y su unico posible puntode acumulacion es λ = 0.

214

Demostracion. Basta probar que para todo real k > 0, el conjunto

Ak = λ ∈ σp(T ) : |λ| ≥ k

es finito pues σp(T ) =⋃

k∈N Ak. Supongamos por el contrario que ∃k0 > 0tal que Ak0 es infinito. Existe entonces una sucesion λnn∈N de autovaloresdistintos tal que |λn| ≥ k0. Para cada λn, existe xn 6= 0 tal que Txn = λnxn

y el conjunto x1, . . . , xn es linealmente independiente (proposicion 1.2).Llamamos Mn = 〈x1, . . . , xn〉.

Como los Mn tienen dimension finita, son cerrados; por el lema de Riesz(capıtulo II, lema 5.1), existe una sucesion ynn∈N tal que

yn ∈ Mn, ‖yn‖ = 1, ‖yn − x‖ ≥ 1/2, ∀x ∈ Mn−1.

Podemos pues escribir Tyn−Tym = λnyn− x, donde x = λnyn−Tyn +Tym.Supongamos m < n y probemos que x ∈ Mn−1:

ym ∈ Mm ⊂ Mn−1 = 〈x1, . . . , xn−1〉 =⇒ Tym ∈ Mn−1 pues Txj = λjxj .

Ademas, si yn =∑n

i=1 αixi, entonces

λnyn − Tyn =n∑

i=1

αi(λnxi − Txi) =n−1∑i=1

αi(λn − λi)xi ∈ Mn−1.

Ambos resultados conducen a que x ∈ Mn−1; por tanto, x = λ−1n x ∈ Mn−1

ası que

‖λnyn − x‖ = |λn| · ‖yn − x‖ ≥ 12|λn| ≥

12k0 =⇒ ‖Tyn − Tym‖ ≥

12k0.

Esto implica que Tynn∈N no tiene ninguna subsucesion convergente lo quecontradice la compacidad de T pues ynn∈N es acotado. ♦

Ejemplo. El conjunto de autovalores puede ser tambien vacıo como muestrael operador T : `2 → `2 definido por T (x) = (0, x1, x2/2, x3/3, . . . ).

El siguiente teorema prueba que un operador compacto solo tiene un numerofinito de vectores propios linealmente independientes asociados a un mismoautovalor no nulo, es decir el autoespacio correspondiente a cualquier auto-valor no nulo tiene dimension finita (utilizaremos la notacion Tλ = T − λI,para cualquier λ ∈ C).

4.2.- Teorema. Sea T : X → X un operador compacto. Entonces N(Tλ) escerrado y tiene dimension finita para todo λ 6= 0.

Demostracion. La primera parte es evidente pues T es continuo y N(Tλ) =(T − λI)−1(0) es la imagen inversa de un cerrado.

215

Por otra parte, debido al teorema 5.3 del capıtulo II, la dimension de N(Tλ)es finita si la bola unitaria cerrada M en N(Tλ) es compacta. Para ello seaxnn∈N una sucesion en M . Entonces xnn∈N es acotada y Txnn∈N tieneuna subsucesion convergente Txnk

k∈N. Pero Tλxn = Txn − λxn = 0, demodo que xn = λ−1Txn. Entonces la sucesion xnk

k∈N = λ−1Txnkk∈N

tambien converge y su lımite esta en M . Esto prueba que M es compacto.♦

Observacion. La hipotesis de compacidad es esencial pues, si T es el opera-dor identidad y λ = 1, basta tomar el espacio X de dimension infinita paraque N(Tλ) = N(0) = X no tenga dimension finita.

Por otra parte, en el caso λ = 0 tampoco se puede asegurar nada pues bastatomar T = 0 para que dim N(T0) = dim N(T ) = dim X que puede no serfinita.

4.3.- Corolario. En las condiciones del teorema anterior, dim N(Tnλ ) < ∞,

∀n ∈ N y λ 6= 0.

Demostracion. Del desarrollo

Tnλ = (T −λI)n =

n∑k=0

(n

k

)T k(−λ)n−k = (−λ)nI +T

n∑k=1

(n

k

)T k−1(−λ)n−k,

se deduce que podemos escribir Tnλ = W −µI, donde llamamos µ = −(−λ)n

y W = ST = TS, donde S =n∑

k=1

(nk

)T k−1(−λ)n−k, que es acotado por serlo

T .

Como T es compacto, W tambien es compacto (teorema 3.7) y del teoremaanterior se deduce la tesis. ♦

Sabemos que el rango de un operador acotado no es necesariamente cerrado,pero en el caso de operadores compactos tenemos lo siguiente.

4.4.- Teorema. Si T : X → X es compacto, el rango de Tλ es cerrado,∀λ 6= 0.

Demostracion. Supongamos que Tλ(X) no es cerrado. Entonces existe algunelemento y ∈ Tλ(X), y 6∈ Tλ(X) y una sucesion xnn∈N en X tales queyn = Tλxn → y.

Como y 6= 0, existe N ∈ N tal que yn 6= 0, ∀n > N , con lo que xn 6∈ N(Tλ).Supondremos sin perdida de generalidad que esto es cierto para todo n.Como N(Tλ) es cerrado, δn = ınfz∈N(Tλ) ‖xn − z‖ > 0. Por definicion deınfimo, existe alguna sucesion znn∈N en N(Tλ) tal que an = ‖xn − zn‖ <2δn.

Ahora veamos que an = ‖xn − zn‖ → ∞ por reduccion al absurdo.

216

Si lo anterior no es cierto, xn − znn∈N tiene alguna subsucesion acotada.Como T es compacto, T (xn − zn)n∈N tiene una subsucesion convergente.De la igualdad I = λ−1(T − Tλ) y usando que Tλzn = 0, tenemos

xn − zn = λ−1(T − Tλ)(xn − zn) = λ−1[T (xn − zn)− Tλxn].

Como Tλxnn∈N converge, xn−znn∈N tiene una subsucesion convergente,digamos xnk

− znk→ v. Como T es compacto, es continuo y ası tambien Tλ.

EntoncesTλ(xnk

− znk) = Tλxnk

→ Tλv,

de modo que Tλv = y. Esto contradice el hecho de que y 6∈ Tλ(X).

Por ultimo, si llamamos wn = a−1n (xn − zn), tenemos ‖wn‖ = 1. Debido a

que an →∞, Tλzn = 0 y Tλxnn∈N converge a y 6= 0, entonces

Tλwn = an−1Tλxn → 0.

Nuevamente, de I = λ−1(T − Tλ), deducimos que wn = λ−1(Twn − Tλwn).Como T es compacto y wnn∈N acotada, Twnn∈N tiene una subsucesionconvergente. Ademas, como hemos visto, Tλwnn∈N converge. Por tantownn∈N tiene una subsucesion convergente, wnk

→ w. Esto implica queTλw = 0, es decir w ∈ N(Tλ). Como tambien zn ∈ N(Tλ), un = zn + anw ∈N(Tλ). Entonces

‖xn − un‖ ≥ δn =⇒ δn ≤ ‖xn − zn − anw‖= ‖anwn − anw‖ = an‖wn − w‖ < 2δn‖wn − w‖

=⇒ 1/2 < ‖wn − w‖,

lo que es absurdo. ♦

4.5.- Corolario. En las condiciones del teorema anterior, el rango de Tnλ

es cerrado, ∀n ∈ N y λ 6= 0.

Demostracion. Basta observar que el operador W definido en la demostra-cion del corolario 4.3 es compacto. ♦

Es evidente comprobar que

N(T 0λ ) ⊂ N(Tλ) ⊂ · · · ⊂ N(Tn

λ ) ⊂ . . .

y T 0λ (X) ⊃ Tλ(X) ⊃ · · · ⊃ Tn

λ (X) ⊃ . . .

En el caso de operadores compactos, estas inclusiones pueden refinarse delsiguiente modo.

4.6.- Lema. Sea T : X → X compacto y λ 6= 0. Entonces existe un enteropositivo r tal que

N(T 0λ ) ⊂ N(Tλ) ⊂ · · · ⊂ N(T r

λ) = N(T r+1λ ) = . . .

217

y las inclusiones son estrictas.

Demostracion. Escribiremos por comodidad Nn = N(Tnλ ).

*) Es evidente que Nm ⊂ Nm+1. Supongamos que no hay ningun m para elque Nm = Nm+1. Como Nn es cerrado para todo n, por el lema de Riesz(capıtulo II, lema 5.1), existe una sucesion ynn∈N tal que

yn ∈ Nn, ‖yn‖ = 1, ‖yn − x‖ ≥ 1/2, ∀x ∈ Nn−1.

De Tλ = T − λI, tenemos que T = Tλ + λI y Tyn − Tym = λyn − x dondex = Tλym + λym − Tλyn.

Si m < n, claramente λym ∈ Nm ⊂ Nn−1. Ademas,

0 = Tmλ ym = Tm−1

λ (Tλym),

de donde Tλym ∈ Nm−1 ⊂ Nn−1.

Analogamente, de yn ∈ Nn obtenemos Tλyn ∈ Nn−1. Lo anterior indica quex ∈ Nn−1 y tambien x = λ−1x ∈ Nn−1. Entonces

‖Tyn − Tym‖ = ‖λyn − x‖ = |λ| · ‖yn − x‖ ≥ |λ|/2

y Tynn∈N no tiene ninguna subsucesion convergente pero T es compacto.Esto quiere decir que existe m tal que Nm = Nm+1.

*) Veamos ahora que Nm = Nm+1 =⇒ Nn = Nn+1, ∀n > m.

Si x ∈ Nn+1, entonces Tn+1λ x = 0. Si llamamos z = Tn−m

λ x, entoncesz ∈ Nm+1. Por hipotesis z ∈ Nm, de modo que x ∈ Nn. ♦

Para los rangos el resultado analogo es el siguiente.

4.7.- Lema. Sea T : X → X compacto y λ 6= 0. Entonces existe un enteropositivo q tal que

T 0λ (X) ⊃ Tλ(X) ⊃ · · · ⊃ T q

λ(X) = T q+1λ (X) = . . .

y las inclusiones son estrictas.

Demostracion. La prueba es paralela a la anterior y escribiremos Rn =Tn

λ (X).

*) Supongamos que para todo s, Rs 6= Rs+1, es decir Rn+1 es subespaciopropio de Rn, para todo n. Por el lema de Riesz, existe una sucesion xnn∈Ntal que

xn ∈ Rn, ‖xn‖ = 1, ‖xn − x‖ ≥ 1/2, ∀x ∈ Rn+1.

Como T = Tλ + λI, Txm − Txn = λxm − (−Tλxm + Tλxn + λxn). Por unlado, λxm ∈ Rm y como xm ∈ Rm, Tλxm ∈ Rm+1.

218

Ademas, si n > m, Tλxn + λxn ∈ Rn ⊂ Rm+1; entonces existe x ∈ Rm+1 talque Txm − Txn = λ(xm − x), de donde

‖Txm − Txn‖ = |λ| · ‖xm − x‖ ≥ |λ|/2 > 0.

Como T es compacto, Txnn∈N debe tener alguna subsucesion convergente,lo que contradice la desigualdad anterior. Esto prueba que existe s ∈ Z+ talque Rs = Rs+1.

*) Ademas Rq+1 = Rq significa que Tλ aplica Rq sobre sı mismo. Sucesivasaplicaciones de Tλ dan lugar a Rn+1 = Rn, ∀n > q. ♦

Combinando los dos lemas anteriores llegamos al siguiente resultado.

4.8.- Teorema. Sea T : X → X un operador compacto y λ 6= 0. Entoncesexiste r ∈ N tal que

N(T 0λ ) ⊂ N(Tλ) ⊂ · · · ⊂ N(T r

λ) = N(T r+1λ ) = . . .

T 0λ (X) ⊃ Tλ(X) ⊃ · · · ⊃ T r

λ(X) = T r+1λ (X) = . . .

y las inclusiones son propias.

Demostracion. Debido a los dos lemas anteriores, solo falta probar que q =r.

a) Probemos que q ≥ r. Por el lema 4.7, Rq+1 = Rq. Ası, si y ∈ Rq,∃x ∈ Rq : y = Tλx.

Veamos en primer lugar que

(∗) Tλx = 0, x ∈ Rq =⇒ x = 0.

Si no fuera cierto, existirıa x1 ∈ Rq, x1 6= 0, tal que Tλx1 = 0.

En esta situacion debe existir x2 ∈ Rq tal que x1 = Tλx2. Sucesivamente,tenemos para todo n

0 6= x1 = Tλx2 = · · · = Tn−1λ xn, pero 0 = Tλx1 = · · · = Tn

λ xn.

Esto implica que xn ∈ Nn \ Nn−1, de donde Nn−1 ⊂ Nn, Nn−1 6= Nn, ∀n,lo que contradice el lema 4.6.

Veamos ahora que Nq+1 = Nq (esto implicara que q ≥ r pues r es el menorentero que da la igualdad). Teniendo en cuenta (∗),

x ∈ Nq+1 =⇒ T q+1λ x = 0 =⇒ Tλ(T q

λx) = 0 =⇒ T qλx = 0 =⇒ x ∈ Nq.

Como siempre Nq ⊂ Nq+1, se deduce la igualdad.

Queda probado entonces que q ≥ r.

219

b) Veamos ahora que q ≤ r. Para ello, basta ver que Nq−1 es subespaciopropio de Nq, pues r es el menor entero n para el que Nn = Nn+1.

Por la definicion de q, la inclusion Rq ⊂ Rq−1 es propia.

Sea y ∈ Rq−1 \Rq. Entonces ∃x ∈ X : y = T q−1λ x. Como Tλy ∈ Rq = Rq+1,

existe z ∈ X : Tλy = T q+1λ z. Veamos que x− Tλz ∈ Nq \Nq−1:

T q−1λ (x− Tλz) = y − T q

λz 6= 0 pues y 6∈ Rq y T qλz ∈ Rq =⇒ x− Tλz 6∈ Nq−1;

T qλ(x− Tλz) = Tλy − Tλy = 0 =⇒ x− Tλz ∈ Nq.

Resulta entonces que Nq−1 es subespacio propio de Nq. ♦

El siguiente teorema, aplicacion del resultado anterior, es analogo al conocidoen el caso de dimension finita y representa la principal herramienta en elestudio de los operadores compactos.

4.9.- Teorema (descomposicion espectral). Sean X, T, λ, r como en los teo-remas previos. Entonces X tiene la descomposicion

X = N(T rλ)⊕ T r

λ(X).

Demostracion. Dado x ∈ X, debemos encontrar una descomposicion x =y + z, con y ∈ N(T r

λ), z ∈ T rλ(X).

Si llamamos z = T rλx, por el teorema 4.8, como z ∈ Rr, z ∈ R2r y existe

x1 ∈ X tal que z = T 2rλ x1.

Llamamos ahora x0 = T rλx1; entonces T r

λx0 = T 2rλ x1 = z = T r

λx, de dondex− x0 ∈ Nr y x = (x− x0) + x0 con x− x0 ∈ Nr, x0 ∈ Rr.

Para comprobar que la descomposicion es unica, llamemos v0 ∈ Nr ∩ Rr.Entonces existe v ∈ X : v0 = T r

λv y ademas T rλv0 = 0, de donde T 2r

λ v =T r

λv0 = 0. Esto quiere decir que v ∈ N2r = Nr. Ası T rλv = v0 = 0. ♦

Ejemplo. Sea T : R2 → R2 el operador definido por T =(

1 −1−1 1

).

Para λ = 2, se obtiene r = 1 y la descomposicion R2 = N(T2) ⊕ T2(R2),donde N(T2) = 〈(1,−1)〉 y T2(R2) = 〈(1, 1)〉.

Para λ 6= 0 y λ 6= 2, la descomposicion es trivial R2 = 0 ⊕ R2.

Probaremos por ultimo las siguientes sencillas propiedades espectrales.

4.10.- Teorema. Si X es un espacio de Banach de dimension infinita yT ∈ L(X) un operador compacto, entonces 0 ∈ σ(T ).

Demostracion. Si 0 ∈ ρ(T ), existirıa T−1 = T−10 ∈ L(X). Como T es com-

pacto, I = T−1T es compacto, lo que no es posible pues dim X = ∞.♦

220

4.11.- Teorema (caracterizacion del espectro). Sea X un espacio de Banachy T : X → X compacto. Todo punto espectral λ 6= 0 de T (si existe) esautovalor.

Nota. El teorema tambien es cierto en espacios normados generales (verejercicio 13).

Demostracion. Si N(Tλ) 6= 0, λ es autovalor de T .

Si N(Tλ) = 0, entonces existe T−1λ : Tλ(X) → X. Como 0 = N(I) =

N(T 0λ ) = N(Tλ), se obtiene el valor r = 0 en el teorema 4.8. Entonces

X = T 0λ (X) = T 1

λ (X) =⇒ Tλ es biyectiva y T−1λ es acotado por el teorema

de la aplicacion abierta, ya que X es completo. En definitiva λ ∈ ρ(T ).♦

5. ECUACIONES LINEALES DE OPERADORES COMPACTOS.ECUACIONES INTEGRALES DE FREDHOLM.

La teorıa espectral de operadores compactos fue desarrollada por Riesz paraestudiar las ecuaciones integrales lineales. Aquı la aplicaremos para probarel teorema de alternativa de Fredholm, que relaciona el comportamientode los operadores compactos con la solubilidad de ciertas ecuaciones. Losresultados que obtendremos extienden los resultados analogos de AlgebraLineal.

Sean X un espacio normado y A : X → X un operador compacto y definimosT = A−I. Damos a continuacion una cadena de proposiciones que muestranla estrecha relacion que existe entre las soluciones de las ecuaciones

Tx = y (1)T ∗f = g (2)

y sus correspondientes ecuaciones homogeneas asociadas.

5.1.- Teorema. Dado y ∈ X, la ecuacion (1) tiene solucion si y solo sif(y) = 0, para todo funcional lineal f solucion de la ecuacion homogeneaT ∗f = 0.

Demostracion. Si Tx = y tiene solucion x0 ∈ X y f es un funcional linealtal que T ∗f = 0, entonces

f(y) = f(Ax0−x0) = f(Ax0)−f(x0) = (A∗f)(x0)−f(x0) = (T ∗f)(x0) = 0.

221

Recıprocamente, supongamos que f(y) = 0, para todo funcional lineal ftal que T ∗f = 0. Si y 6∈ T (X), entonces d(y, T (X)) = d > 0 pues, al serA compacto, T (X) es cerrado. Por el teorema de Hahn-Banach, existe f0

funcional lineal tal que f0(y) = 1 y f0(z) = 0, ∀z ∈ T (X). De esta igualdadse deduce que

0 = f0(Ax− x) = (A∗f0 − f0)(x) = (T ∗f0)(x), ∀x ∈ X =⇒ T ∗f0 = 0.

Por hipotesis f0(y) = 0 lo que contradice la construccion anterior. ♦

5.2.- Corolario. Si la ecuacion homogenea adjunta A∗f − f = 0 solo tienela solucion trivial f = 0, la ecuacion Ax − x = y tiene solucion para todoy ∈ X.

Enunciamos a continuacion un lema auxiliar que utilizaremos en la propo-sicion siguiente (su demostracion se propone en el ejercicio 7 al final delcapıtulo).

5.3.- Lema. Si X es un espacio normado y A : X → X un operador linealcompacto, entonces existe α > 0 tal que, para todo valor de y para el que(1) tiene solucion, al menos una de esas soluciones x satisface la acotacion‖x‖ ≤ α‖y‖.

5.4.- Teorema. Para que la ecuacion (2) con g ∈ X ′ dado tenga solucion, esnecesario y suficiente que g(x) = 0 para todo x ∈ X solucion de la ecuacionhomogenea Tx = 0.

Demostracion. La necesidad se deduce inmediatamente de la igualdad

g(x) = (T ∗f)(x) = f(Tx) = f(0) = 0.

Para la suficiencia, definimos en L = T (X) un funcional f0 como f0(y) =g(x), donde y = Tx. Dicho funcional esta bien definido pues, si Tx = Tu,entonces

A(x− u)− (x− u) = 0 =⇒ g(x− u) = 0 =⇒ g(x) = g(u).

Es facil ver que f0 es lineal; para ver que esta acotado, utilizamos el lemaanterior, es decir que ‖x‖ < α‖y‖ para algun x tal que Tx = y, y algunα > 0. Entonces

|f0(y)| = |g(x)| ≤ ‖g‖ · ‖x‖ ≤ ‖g‖ · α · ‖y‖.

Por el teorema de Hahn-Banach, f0 se puede extender a f definido en X demodo que

f(Tx) = f(y) = f0(y) = g(x) =⇒ (T ∗f)(x) = g(x)

lo que produce una solucion de (2). ♦

222

5.5.- Corolario. Si Tx = 0 solo admite la solucion trivial x = 0, la ecuacionT ∗f = g admite solucion para todo g.

Ademas de lo anterior existe una estrecha relacion entre la solubilidad de laecuacion homogenea y la de la ecuacion no homogenea asociada.

5.6.- Teorema. Si A es un operador compacto en un espacio normado X,la ecuacion (1) tiene solucion para todo y ∈ X si y solo si la ecuacionhomogenea asociada Tx = 0 solo tiene la solucion trivial. En este caso lasolucion de (1) es unica y el operador T = A−I tiene inverso acotado.

Demostracion. a) Por hipotesis, para cada y ∈ X, existe x ∈ X tal queTx = y. Supongamos sin embargo que existe x1 6= 0 tal que Tx1 = 0.

Aplicando la hipotesis a x1, existe x2 ∈ X tal que Tx2 = x1.

Procediendo por recurrencia, obtenemos una sucesion (xn)n∈N ⊂ X tal quexn = Txn+1, ∀n ∈ N. Tenemos ası:

0 6= x1 = Tx2 = · · · = Tn−1xn y 0 = Tx1 = T 2x2 = · · · = Tnxn, ∀n ∈ N.

Esto implica que xn ∈ N(Tn) \N(Tn−1), ∀n ∈ N lo que contradice el lema4.6 (recordemos que T = A− I = A1).

b) Supongamos ahora que x = 0 es la unica solucion de la ecuacion ho-mogenea Tx = 0. Por el corolario 5.5, ∀g ∈ X ′ la ecuacion T ∗f = g tienesolucion.

Como A∗ tambien es compacto, podemos aplicar la implicacion probada ena) para concluir que T ∗f = 0 solo tiene la solucion trivial.

Por el corolario 5.2, la ecuacion Tx = y tiene solucion, ∀y ∈ X.

c) Para ver que la solucion de (1) es unica, supongamos que existen x1, x2 ∈X tales que Tx1 = Tx2 = y. Entonces T (x1 − x2) = 0. Ahora bien, comoTx = 0 solo tiene la solucion trivial, debe ser x1 = x2.

d) Por ultimo, como Tx = y tiene solucion unica, se puede definir T−1y = x,∀y ∈ X. Ademas T−1 esta acotado pues, por el lema 5.3, existe α > 0 talque ‖x‖ = ‖T−1y‖ ≤ α‖y‖. ♦

5.7.- Corolario. La ecuacion T ∗f = g tiene solucion para todo g ∈ X ′ siy solo si f = 0 es la unica solucion de la ecuacion homogenea T ∗f = 0. Eneste caso, la ecuacion T ∗f = g tiene solucion unica.

Nuestro siguiente resultado se basa en el lema que enunciamos a continua-cion, y cuya demostracion puede hacerse por induccion.

5.8.- Lema. Si X es un espacio normado y f1, . . . , fm un conjunto li-nealmente independiente en X ′, existe un conjunto z1, . . . , zm ⊂ X talque fj(zk) = δjk (j, k = 1, . . . m).

223

Un par de conjuntos como los que verifican el lema recibe el nombre desistema biortogonal.

5.9.- Teorema. Las ecuaciones Tx = 0 y T ∗f = 0 tienen el mismo numerode soluciones linealmente independientes.

Demostracion. Debemos probar que dim N(T ) = dim N(T ∗). Al ser A y A∗

compactos, n = dim N(T ) < ∞ y m = dim N(T ∗) < ∞.

a) Si suponemos n = 0, la ecuacion Tx = 0 solo tiene la solucion trivialx = 0. Por el corolario 5.5, la ecuacion T ∗f = g tiene solucion ∀g ∈ X ′.Por el corolario 5.7, f = 0 es la unica solucion de T ∗f = 0, con lo quem = 0.

b) Sean ahora n > 0, m > 0 y consideremos una base de N(T ), x1, . . . , xn.Para cada k ∈ 1, . . . , n, consideramos el subespacio Mk generado por elconjunto x1, . . . , xk−1, xk+1, . . . , xn. Como xk 6∈ Mk, d(xk,Mk) = δk >0.

Por una consecuencia del teorema de Hahn-Banach,

∃gk ∈ X ′ : ‖gk‖ = 1, gk(xk) = 1, gk(xi) = 0 (i 6= k).

Si consideramos tambien una base f1, . . . , fm de N(T ∗), el lema anteriorafirma que existe un conjunto z1, . . . , zm ⊂ X tal que fj(zk) = δjk (j, k =1, . . . ,m).

c) Supongamos que n < m y definamos el operador S : X → X porSx = Ax +

∑nj=1 gj(x)zj . Es facil comprobar que S es lineal y compac-

to. Veamos tambien que la ecuacion homogenea Sx − x = 0 solo tiene lasolucion trivial.

En efecto, si suponemos que Sx0−x0 = 0, entonces fk(Sx0−x0) = fk(0) = 0(k = 1, . . . ,m), de donde

0 = fk(Sx0 − x0) = fk(Tx0 +n∑

j=1

gj(x0)zj) = fk(Tx0) +n∑

j=1

gj(x0)fk(zj)

= fk(Tx0) + gk(x0) = (T ∗fk)(x0) + gk(x0) = gk(x0), k = 1, . . . , n.

Entonces Sx0 − x0 = Tx0 +∑n

j=1 gj(x0)zj = Tx0. Como Sx0 − x0 = 0por hipotesis, resulta que x0 ∈ N(T ); por tanto, x0 =

∑nj=1 αjxj . Enton-

ces

0 = gk(x0) =n∑

j=1

αjgk(xj) = αk, k = 1, . . . , n,

lo que implica que x0 = 0.

224

Aplicando el teorema 5.6, la ecuacion Sx − x = y tiene solucion ∀y ∈ X.En particular, para y = zn+1 (recordamos que n < m), existe x = v tal queSv − v = zn+1. De aquı obtenemos:

1 = fn+1(zn+1) = fn+1(Sv − v) = fn+1

(Tv +

n∑j=1

gj(v)zj

)= fn+1(Tv) +

n∑j=1

gj(v)fn+1(zj) = (T ∗fn+1)(v).

Por otro lado, fn+1 ∈ N(T ∗) lo que lleva a una contradiccion; deducimospues que n < m es imposible.

d) Supongamos ahora que n > m. Definimos analogamente S : X ′ → X ′

por Sf = A∗f +∑m

j=1 f(zj)gj .

Nuevamente, S es lineal y compacto. Ademas f0 = 0 es la unica solucion deSf − f = 0 lo que se prueba de forma analoga al obtenido en c). Aplicandonuevamente el teorema 5.6, deducimos que Sf − f = g tiene solucion paracualquier g ∈ X ′. En particular, para g = gm+1 existe f = h tal que Sh−h =gm+1. Entonces

1 = gm+1(xm+1) = (Sh− h)(xm+1)

= (T ∗h)(xm+1) +m∑

j=1

h(zj)gj(xm+1) = (T ∗h)(xm+1) = h(Txm+1).

Ahora bien, como xm+1 ∈ N(T ), T (xm+1) = 0, de modo que h(Txm+1) = 0lo que es absurdo.

De c) y d) se deduce que n = m. ♦

Observacion. Debido a que la ecuacion

(1′) Ax− λx = y, λ 6= 0

se puede escribir como λ−1Ax−x = λ−1y y a que λ−1A es compacto a la vezque A, los teoremas anteriores son validos para las ecuaciones (1′) y

(2′) A∗f − λf = g, λ 6= 0

en lugar de (1) y (2).

Las relaciones obtenidas en las proposiciones anteriores motivan la adopciondel concepto de alternativa.

5.10.- Definicion. Un operador A ∈ L(X) sobre un espacio normado Xsatisface la alternativa de Fredholm si cumple alguna de las siguientes con-diciones:

225

(I) Las ecuaciones no homogeneas Ax = y, A∗f = g (donde A∗ representael adjunto de A) tienen soluciones x, f para cualesquiera y ∈ X, g ∈ X ′,respectivamente, y dichas soluciones son unicas. En este caso las ecuacioneshomogeneas asociadas solo tienen las soluciones triviales.

(II) Las ecuaciones homogeneas Ax = 0, A∗f = 0, tienen el mismo numerofinito de soluciones linealmente independientes x1, . . . , xn, f1, . . . , fn,n ≥ 1, respectivamente. En particular las ecuaciones no homogeneas Ax = y,A∗f = g tienen soluciones si y solo si fk(y) = 0, g(xk) = 0, k = 1, . . . , n,respectivamente.

Con esta nocion, todo lo anterior se puede agrupar enunciando el siguienteresultado general de alternativa.

5.11.- Teorema (alternativa de Fredholm). Sea A : X → X un operadorlineal compacto sobre un espacio normado X y λ 6= 0. Entonces Aλ =A − λI verifica la alternativa de Fredholm. Las soluciones generales de lasecuaciones (1′) y (2′) son respectivamente de la forma x = x0 +

∑nk=1 αkxk,

f = f0 +∑n

k=1 λkfk, donde x0, f0 son soluciones particulares y αk, λk

constantes arbitrarias.

Este resultado generaliza el obtenido por Fredholm sobre existencia de so-luciones de ecuaciones integrales del tipo

g(s) + µ

∫ b

ak(s, t)f(t)dt = f(s),

donde ahora X = C[a, b], el nucleo k es una funcion continua y g ∈ C[a, b]es dado. La ecuacion anterior puede escribirse como g = (I − µA)f , dondeel operador (Af)(s) =

∫ ba k(s, t)f(t)dt es compacto. Aplicando el teorema de

alternativa, se deduce facilmente el siguiente resultado:

5.12.- Teorema (Fredholm). Sea D = (s, t) : a ≤ s, t ≤ b y k : D → Cuna funcion continua. Si µ es un numero complejo no nulo, una de lassiguientes alternativas es cierta:

a) o bien cada una de las ecuaciones

f(s) = g(s) + µ

∫ b

ak(s, t)f(t)dt, a ≤ s ≤ b, (3) (3)

f(s) = g(s) + µ

∫ b

ak(t, s)f(t)dt, a ≤ s ≤ b, (4) (4)

tiene solucion unica f ∈ C[a, b] para cada g ∈ C[a, b],

226

b) o bien las dos ecuaciones homogeneas

f(s) = µ

∫ b

ak(s, t)f(t)dt, a ≤ s ≤ b, (5) (5)

f(s) = µ

∫ b

ak(t, s)f(t)dt, a ≤ s ≤ b, (6) (6)

tienen soluciones no nulas f ∈ C[a, b].

Si se cumple (b), las ecuaciones (5) y (6) tienen el mismo numero de so-luciones linealmente independientes en C[a, b]; la ecuacion (3) tiene so-luciones f ∈ C[a, b] si y solo si

∫ ba g(s)h(s)ds = 0, ∀h ∈ C[a, b] solu-

cion de (6); y la ecuacion (4) tiene soluciones f ∈ C[a, b] si y solo si∫ ba g(s)h(s)ds = 0, ∀h ∈ C[a, b] solucion de (5).

Por ultimo, el conjunto µ ∈ C : se cumple (b) es numerable y no tienepuntos de acumulacion.

Demostracion. Definimos los operadores integrales K, K ′ : C[a, b] → C[a, b]por

(Kf)(s) =∫ b

ak(s, t)f(t)dt, (K ′f)(s) =

∫ b

ak(t, s)f(t)dt, ∀s ∈ [a, b].

Ası definidos, K y K ′ son compactos. Las ecuaciones (3) a (6) se puedenescribir en la forma

(I − µK)f = g, (I − µK ′)f = g,

(I − µK)f = 0, (I − µK ′)f = 0.

Debido a que K ′ no es el adjunto de K no se puede aplicar el teorema dealternativa 5.11. Sin embargo, veremos que K ′ y K∗ estan estrechamenteligados.

Definimos para cada g ∈ C[a, b] el funcional Jg : C[a, b] → C por

Jg(f) =∫ b

ag(s)f(s)ds.

Es facil comprobar que Jg ∈ C[a, b]′ y que la aplicacion J : C[a, b] → C[a, b]′

definida por Jg = Jg es inyectiva.

Probaremos ahora que K∗ J = J K ′. En efecto, ∀f, g ∈ C[a, b],

(K∗Jg)(f) = Jg(Kf) =∫ b

ag(s)(Kf)(s)ds

=∫ b

ag(s)

(∫ b

ak(s, t)f(t)dt

)ds =

∫ b

af(t)

(∫ b

ak(s, t)g(s)ds

)dt

=∫ b

af(t)(K ′g)(t)dt = JK′g(f).

227

De lo anterior se deduce que (I∗ − µK∗) J = J (I − µK ′) y, como J esinyectiva, J [N(I − µK ′)] = N(I∗ − µK∗) ∩ J(C[a, b]), de donde

dim N(I − µK ′) = dim J [N(I − µK ′)] = dim[N(I∗ − µK∗) ∩ J(C[a, b])]≤ dim N(I∗ − µK∗) = dim N(I − µK).

Como la relacion entre K y K ′ es simetrica, podemos intercambiar K conK ′ y obtener la desigualdad contraria, con lo que

(∗) dim N(I − µK ′) = dim N(I − µK) = dim(I∗ − µK∗).

Como µK y µK ′ son compactos, se obtiene la tesis aplicando el teorema dealternativa de Fredholm. En efecto:

- Supongamos que (I−µK)f = 0 solo tiene la solucion trivial. Debido a (∗),la ecuacion (I −µK ′)f = 0 solo tiene la solucion trivial. Por el teorema 5.6,las ecuaciones (I − µK)f = g, (I − µK ′)f = g tienen soluciones unicas, conlo que queda probado (a).

- Supongamos ahora que (I − µK)f = 0 tiene alguna solucion f0 6= 0. Otravez, por (∗), la ecuacion (I − µK ′)f = 0 tiene alguna solucion no nula, loque prueba el apartado (b).

- La misma condicion (∗) muestra que (5) y (6) tienen el mismo numero desoluciones linealmente independientes.

- Veamos ahora que (I−µK)f = g tiene solucion si y solo si∫ ba g(s)h(s) = 0

para cualquier h solucion de (I − µK ′)h = 0.

Sean pues f y h tales que (I − µK)f = g y (I − µK ′)h = 0. Entonces,como

g(s) = f(s)− µ

∫ b

ak(s, t)f(t)dt,

resulta∫ b

ag(s)h(s)ds =

∫ b

ah(s)f(s)ds− µ

∫ b

a

[∫ b

ak(s, t)f(t)dt

]h(s)ds

=∫ b

ah(s)f(s)ds−µ

∫ b

a

[∫ b

ak(s, t)h(s)ds

]f(t)dt

=∫ b

ah(s)f(s)ds−

∫ b

ah(t)f(t)dt = 0.

Recıprocamente, si h es solucion de (I−µK ′)h = 0, entonces J(I−µK ′)h =0, de donde (I∗−µK∗)(Jh) = 0, es decir Jh es solucion de (I∗−µK∗)f = 0.Como, por hipotesis, (Jh)g = 0, por el teorema 5.1, (I − µK)f = g tienesolucion.

Analogamente se procede con el caso dual. ♦

228

(Ver [BN] y [RN] para desarrollos similares y aplicaciones del mismo te-ma.)

229

EJERCICIOS.

1. Sea T ∈ L(X).

a) Probar que el conjunto ∆ = λ ∈ C : T − λI es biyectiva pero(T − λI)−1 no es continua es vacıo.

b) Probar que σ(T ) \ σp(T ) = λ ∈ C : T − λI es inyectivo pero nosobre.

Resp.: a) Es consecuencia directa del teorema de la aplicacion abierta.

b) Teniendo en cuenta que

σp(T ) = λ ∈ C : T − λI es no inyectiva

resulta que σ(T ) \ σp(T ) = λ ∈ C : T − λI inyectiva no sobre ∪∆ yel resultado es consecuencia del apartado a).

Observacion. Este hecho sugiere la distincion hecha en la teorıa entreespectro puntual y espectro no puntual.

2. Sea T ∈ L(X). Probar que σ(T ) = σ(T ∗) y Rλ(T ∗) = Rλ(T )∗,∀λ ∈ ρ(T ∗) = ρ(T ) (lema 2.3).

Resp.: Utilizaremos las siguientes propiedades:

(T − λI)∗ = T ∗ − λI

∃T−1 ∈ L(X) ⇐⇒ ∃(T ∗)−1 ∈ L(X ′) y (T−1)∗ = (T ∗)−1.

Ası pues,

λ ∈ ρ(T ) ⇐⇒ (T − λI)−1 ∈ L(X) ⇐⇒ ((T − λI)−1)∗ ∈ L(X ′)⇐⇒ (T ∗ − λI) ∈ L(X ′) ⇐⇒ λ ∈ ρ(T ∗).

Como σ(T ) = C \ ρ(T ), se deduce que σ(T ) = σ(T ∗).

Por otra parte, ∀λ ∈ ρ(T ) = ρ(T ∗),

Rλ(T ∗) = (T ∗ − λI)−1 = ((T − λI)∗)−1 = ((T − λI)−1)∗ = (Rλ(T ))∗.

230

3. Sea X normado. Probar que el conjunto de operadores invertibleses abierto en L(X).

Resp.: Sea T ∈ L(X) invertible. Probemos que ∃r > 0 tal que la bolaB(T, r) esta formada por operadores invertibles. Para ello elegimosr = ‖T−1‖−1; si S ∈ B(T, r), entonces ‖S − T‖ < ‖T−1‖−1. Veamosque S es invertible:

‖T−1S − I‖ = ‖T−1(S − T )‖ ≤ ‖T−1‖ · ‖S − T‖ < 1=⇒ ∃(I − (T−1S − I))−1 ∈ L(X)=⇒ ∃(T−1S)−1 ∈ L(X) =⇒ ∃S−1 ∈ L(X).

4. Sea X de Banach y T ∈ L(X). Probar que

lımn→∞

‖Tn‖1/n < 1 =⇒ (I − T )−1 =∑n≥0

Tn

y converge en la norma de L(X).

Resp.: Sea α < 1 tal que lımn→∞ ‖Tn‖1/n < α. Entonces ‖Tn‖ < αn,∀n > N . De este modo, la serie

∑n≥0 ‖Tn‖ es convergente y, por ser

L(X) de Banach, tambien∑

n≥0 Tn converge.

Llamamos S =∑

n≥0 Tn y Sm =∑m

n=0 Tn; entonces S = lımm→∞ Sm

y(I − T )Sn = Sn(I − T ) = I − Tn+1.

Como ‖Tn‖ < αn, lımn→∞ ‖Tn‖ = 0, de donde lımn→∞ Sn = (I −T )−1.

De este resultado se obtiene la formula de Neumann: si T ∈ L(X) yλ ∈ C son tales que |λ|−1 > lımn ‖Tn‖1/n, entonces lımn ‖(λT )n‖1/n <1, de modo que I − λT es invertible y

(I − λT )−1 =∑n≥0

λnTn,

donde la serie converge en la norma de L(X).

231

5. Sea X un espacio de dimension infinita y A : X → X un operadorcompacto. Probar que A−1, si existe, no es acotado.

Resp.: Supongamos que A−1 ∈ L(X). Por ser A compacto y la clasede operadores compactos un ideal bilatero de L(X), se deduce queI = AA−1 es compacto. Pero, como la dimension del espacio es infinita,el operador identidad no puede ser compacto.

6. Sea X un espacio normado, z ∈ X, f ∈ X ′ elementos fijos. Defi-nimos A : X → X por Ax = f(x)z. Probar que A es compacto.

Resp.: Sea xnn∈N una sucesion acotada en X, ‖xn‖ ≤ M , ∀n. Vea-mos que Axnn∈N posee alguna subsucesion convergente.

Como f es acotado, |f(xn)| ≤ ‖f‖ · ‖xn‖ ≤ ‖f‖ ·M , lo que prueba quef(xn)n∈N es una sucesion uniformemente acotada. Por el teorema deBolzano-Weierstrass, tiene una subsucesion, f(xnk

)k∈N, convergente,digamos a λ. Como Axnk

= f(xnk)z, resulta que Axnk

→ λz, lo queprueba el enunciado.

7. Sea T : X → X un operador compacto. Probar que existe unaconstante M > 0 tal que

∀y ∈ R(Tλ), ‖T−1λ y‖ ≤ M‖y‖.

Resp.: Sea y 6= 0 un elemento de R(Tλ) y x0 ∈ X tal que (T −λI)x0 = y. Como dim N(Tλ) < ∞, N(Tλ) es cerrado. Entonces existew ∈ N(Tλ) tal que d(x0, N(Tλ)) = ‖x0 − w‖ > 0. Si llamamos x =x0 − w, entonces Tλx = y y, si probamos que existe M > 0 tal qued(x0, N(Tλ)) ≤ M‖Tλx0‖, entonces

‖x‖ = ‖x0 − w‖ ≤ M‖Tλx0‖ = M‖y‖.

Supongamos por el contrario que no existe tal M , es decir que

(∗) ∀n > 0, ∃yn ∈ R(Tλ) : ‖T−1λ yn‖ > n‖yn‖.

Entonces existe una sucesion (xn)n∈N ⊂ X tal que Tλxn = yn, ∀n y,como yn 6= 0, xn 6∈ N(Tλ), ∀n.

232

Como N(Tλ) es cerrado, si llamamos dn = d(xn, N(Tλ)), entoncesdn > 0, ∀n. Por tanto, ∃wn ∈ N(Tλ) tal que dn ≤ ‖xn−wn‖ < 2dn. Seaahora vn = ‖xn−wn‖−1(xn−wn); ası, ‖vn‖ = 1 y, por ser T compacto,existe una subsucesion (vnk

)k∈N tal que (Tvnk)k∈N es convergente.

Por otra parte, de la igualdad

yn = Tλxn = Tλ(xn − wn) = Tλ(‖xn − wn‖ · vn)

y teniendo en cuenta (∗), se deduce que ‖xn −wn‖ · ‖vn‖ > n‖yn‖, dedonde

‖Tλvn‖ = ‖xn − wn‖−1 · ‖yn‖ < 1/n, ∀n ∈ N.

Esto implica que Tλvn → 0. Como ademas vn = −λ−1(Tλvn − Tvn),deducimos que (vnk

)k∈N tambien converge, en contradiccion con ladefinicion de vn (ver prueba del teorema 4.4).

8. Dado un espacio vectorial X y un subespacio M de X, se llamacodimension de M a codim M = dim X/M , cuando esta cantidades finita.

a) Probar que M tiene codimension finita si y solo si existe Nsubespacio de X con dimension finita tal que X = M ⊕N .

b) Si X es un espacio normado y T : X → X es un opera-dor compacto, probar que R(T − λI) tiene codimension finita ycodim R(T − λI) = dim N(T − λI).

Resp.: a) Supongamos que x1+M, . . . , xn+M es una base de X/M .Es evidente que x1, . . . , xn es linealmente independiente. LlamamosN al espacio generado por dicho conjunto. Ası, ∀x ∈ X, x + M =∑n

k=1 αk(xk + M), es decir x = y + z, con y ∈ M , z ∈ N , y ladescomposicion es unica.

Recıprocamente, si y1, . . . , yn es una base de N , definimos ϕ : N →X/M por ϕ(yk) = yk + M (restriccion a N de la aplicacion canonica).Como, por hipotesis, X = M ⊕ N , ϕ es biyectiva. Esto implica quedim X/M = codim M = n.

b) Por el teorema espectral de operadores compactos,

(∗) X = N(T rλ)⊕R(T r

λ).

Por tanto, debido que que Tλ(R(T rλ)) = R(T r

λ), deducimos que(∗∗)

R(Tλ) = Tλ(X) = Tλ(N(T rλ))⊕ Tλ(R(T r

λ)) = Tλ(N(T rλ))⊕R(T r

λ).

233

Por otra parte, es facil probar que Tλ(N(T rλ)) ⊂ N(T r

λ), lo que permitedefinir S = Tλ|N(T r

λ) : N(T rλ) → N(T r

λ).

Como N(T rλ) tiene dimension finita, dim N(T r

λ) = dim N(S)+dim R(S),de donde dim N(S) = codim R(S).

Por el apartado a), existe N ⊂ N(T rλ) tal que N(T r

λ) = R(S) ⊕ N ,con dim N = codim R(S). Sustituyendo esta descomposicion en (∗) yaplicando (∗∗), resulta:

X = R(S)⊕N ⊕R(T rλ) = N ⊕R(Tλ),

de modo que codim R(Tλ) = dim N = dim N(S) = dim N(Tλ) puesN(Tλ) = N(S).

9. Sea k un nucleo continuo en el cuadrado [0, 1]×[0, 1]. Probar que el

operador integral T : C[0, 1] → C[0, 1], definido por Tx(s) =∫ 1

0k(s, t)x(t)dt,

es compacto.

Resp.: Sea M ⊂ C[0, 1] un conjunto acotado. Probemos que T (M) esrelativamente compacto en la metrica de C[0, 1].

Por hipotesis, existe K > 0 tal que ‖x‖∞ ≤ K, ∀x ∈ M .

• Veamos que Tx es una funcion uniformemente acotada, ∀x ∈ M :

Si λ = max0≤s,t≤1 |k(s, t)|, entonces |Tx(s)| ≤ λ ·K.

• Veamos ademas que Tx es equicontinua, ∀x ∈ M :

Sea para ello ε > 0 arbitrario. Como k es uniformemente continuo,existe δ > 0 tal que

|k(s1, t)− k(s2, t)| < ε/K, si |s1 − s2| < δ, ∀t ∈ [0, 1].

Entonces

|Tx(s1)− Tx(s2)| ≤∫ 1

0|k(s1, t)− k(s2, t)| · |x(t)|dt < ε

si |s1 − s2| < δ.

Aplicando ahora el teorema de Arzela-Ascoli, deducimos que el con-junto T (M) es relativamente compacto.

234

10. Probar que el operador integral T : L2[0, 1] → L2[0, 1] defini-

do por Ax(s) =∫ 1

0k(s, t)x(t)dt, donde

∫ 1

0

∫ 1

0k2(s, t)dsdt < ∞, es

compacto.

Resp.: Supongamos en primer lugar que k es continua en [0, 1]× [0, 1]y llamemos λ = max

0≤s,t≤1|k(s, t)|. Para ver que T es compacto, sea M

un conjunto acotado en L2[0, 1] y ‖x‖2 ≤ K, ∀x ∈ M .

Por la desigualdad de Holder, ∀x ∈ M,

|Tx(s)| ≤∫ 1

0|k(s, t)x(t)|dt ≤

(∫ 1

0|k(s, t)|2dt

)1/2 (∫ 1

0|x(t)|2dt

)1/2

≤ λ·K,

de lo que se deduce que T (M) es uniformemente acotado.

Ademas, T (M) es equicontinua pues, si elegimos ε > 0 arbitrariamen-te, existe δ > 0 tal que

|k(s1, t)− k(s2, t)| < ε/K, si |s1 − s2| < δ, t ∈ [0, 1].

Entonces

|Tx(s1)−Tx(s2)| ≤(∫ 1

0|k(s1, t)− k(s2, t)|2dt

)1/2 (∫ 1

0|x(t)|2dt

)1/2

< ε.

Del teorema de Arzela-Ascoli se deduce que T es compacto.

Supongamos ahora que k es un nucleo arbitrario en L2([0, 1]× [0, 1]).Consideramos una sucesion knn∈N de nucleos continuos convergentea k en L2([0, 1] × [0, 1]). Si definimos Tnx(s) =

∫ 10 kn(s, t)x(t)dt, se

obtiene que

‖Tx− Tnx‖2 =∫ 1

0

∣∣∣∣∫ 1

0[k(s, t)− kn(s, t)]x(t)dt

∣∣∣∣2 ds

≤∫ 1

0

∣∣∣∣( ∫ 1

0|k(s, t)− kn(s, t)|2dt

)·( ∫ 1

0|x(t)|2dt

)∣∣∣∣ ds

= ‖x‖22 ·

∫ 1

0

∫ 1

0|k(s, t)− kn(s, t)|2dtds.

Esto implica que ‖T − Tn‖ ≤(∫ 1

0

∫ 10 |k(s, t)− kn(s, t)|2dsdt

)1/2y, en

consecuencia, que Tn → T . Por el teorema 3.8 se deduce que T escompacto.

235

11. Sea T : `2 → `2 definido por T (x1, x2, . . . ) = (0, x2, 0, x4, . . . ). Cal-cular N(Tn

λ ), ∀n ∈ N. Deducir que T no es compacto.

Resp.: Por definicion, Tλ(x1, x2, . . . , ) = (−λx1, (1− λ)x2,−λx3, (1−λ)x4, . . . ).

Procediendo por recurrencia, obtenemos que

Tnλ (x1, x2, . . . ) = ((−λ)nx1, (1− λ)nx2, (−λ)nx3, (1− λ)nx4, . . . ).

De este modo, x ∈ N(Tnλ ) ⇐⇒ (−λ)nx2k−1 = 0, (1−λ)nx2k = 0, ∀k ∈

N.

En el caso λ = 0, resulta N(Tnλ ) = (x1, 0, x3, 0, . . . ) : xk ∈ C.

Si λ = 1, N(Tnλ ) = 〈(0, x2, 0, x4, 0, . . . ) : xk ∈ C〉. Este espacio tiene

dimension infinita, lo que implica que T no es compacto.

12. En el espacio `2 definimos los operadores compactos

A(x1, x2, . . . ) = (x2, x3/2, x4/3, . . . ),B(x1, x2, . . . ) = (0, x1, x2/2, x3/3, . . . ),C(x1, x2, . . . ) = (x1, x2/2, x3/3, . . . ).

Probar que 0 ∈ σp(A), 0 ∈ σr(B), 0 ∈ σc(C).

Resp.: a) Por definicion, λ ∈ σp(A) ⇐⇒ N(Aλ) 6= 0. Ahora bien,como

Aλ(x1, x2, . . . ) = (x2 − λx1, x3/2− λx2, x4/3− λx3, . . . ),

resulta que

x ∈ N(Aλ) ⇐⇒ xn+1/n− λxn = 0, ∀n ∈ N⇐⇒ xn+1 = nλxn = · · · = n!λnx1, ∀n ∈ N.

En particular, el elemento (1, λ, 2λ2, . . . , n!λn, . . . ) ∈ N(Aλ). Haciendoλ = 0, e1 = (1, 0, 0, . . . ) ∈ N(A0) lo que indica que 0 ∈ σp(A).

b) Por definicion, λ ∈ σr(B) ⇐⇒ (B − λI)−1 esta definido en unconjunto no denso de `2, es decir R(Bλ) 6= `2.

En este caso,

y ∈ R(Bλ) ⇐⇒ ∃x ∈ `2 : −λx1 = y1, xn/n− λxn+1 = yn+1, ∀n ∈ N.

236

Para λ = 0, B0x = y ⇐⇒ 0 = y1, xn/n = yn+1, ∀n ∈ N, de modoque el espacio generado por e1 = (1, 0, . . . ) 6∈ R(B0). Esto implica queR(B0) 6= `2 y 0 ∈ σr(B).

c) Si llamamos (en)n∈N a la base canonica de `2, es evidente que R(C) =`2, pues Cen = (1/n)en, ∀n ∈ N. Ası pues, existe el inverso C−1 yesta definido en todo el espacio; sin embargo, C−1 no esta acotadopues

C−1en = nen =⇒ ‖C−1en‖2 = |n| · ‖en‖2 = |n|.

Por definicion, 0 ∈ σc(C).

13. Sean X un espacio normado y T ∈ L(X) un operador compacto.Probar que todo punto espectral no nulo de T es autovalor.

Resp.: Sea λ ∈ σ(T ), λ 6= 0 y supongamos que existe T−1λ . Probemos

que λ ∈ ρ(T ):

Por hipotesis, la ecuacion homogenea Tλx = 0 solo tiene la soluciontrivial x = 0. Por el teorema 5.6, la ecuacion Tλx = y tiene solucionpara cualquier y ∈ X. El mismo teorema prueba que el operador T−1

λ

esta definido en todo X y esta acotado, lo que significa que λ ∈ ρ(T ).

14. Resolver la ecuacion integral x(s)− µ

∫ 1

0x(t)dt = 1, en el espacio

L2[0, 1].

Resp.: Consideramos en primer lugar la ecuacion homogenea

x(s)− µ

∫ 1

0x(t)dt = 0.

De la igualdad x(s) = µ

∫ 1

0x(t)dt, deducimos que

x(s) = µ

∫ 1

0

[µ

∫ 1

0x(r)dr

]dt = µ2

∫ 1

0x(r)dr = µx(s),

de donde (1 − µ)x(s) = 0. Descomponemos pues el problema en doscasos:

237

a) Si µ 6= 1, la unica solucion de la ecuacion homogenea es la trivial.Ası pues, la ecuacion propuesta tiene solucion unica.Debido a que el operador asociado Tx(s) =

∫ 10 x(t)dt tiene norma

uno, pues

‖Tx‖22 =

∫ 1

0

∣∣∣∣∫ 1

0x(t)dt

∣∣∣∣2 ds = ‖x‖22,

en el caso |µ| < ‖T‖−1 = 1 la solucion puede expresarse mediantela formula de Neumann

x = 1 + µT (1) + µ2T 2(1) + · · · = 11− µ

,

solucion que tambien es valida cuando |µ| > 1.

b) Si µ = 1, cualquier funcion constante es solucion de la ecuacionhomogenea. Sabemos por el teorema 5.12 que la ecuacion dadatiene solucion si y solo si

∫ 10 1 · h(s)ds = 0, para cualquier h

solucion de la homogenea asociada (observar que T = T ∗). Ahorabien, como la ultima igualdad no es cierta para las funcionesconstantes, deducimos que la ecuacion dada no tiene solucion.

TEMAS COMPLEMENTARIOS

1. Propiedades espectrales de las algebras de Banach ([Kr]).

2. Algebras-C∗ ([Ru]).

3. Principio del punto fijo de Schauder y sus aplicaciones ([LS]).

4. Aplicaciones de las ecuaciones integrales a la teorıa del potencial ([RN]).

238