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VALORACIÓN DE OPCIONES AMERICANAS SOBRE EL VIX MEDIANTE EL MÉTODO

LEAST-SQUARES MONTE CARLO

Alejandro Hu Cao

Trabajo de investigación 018/009

Máster en Banca y Finanzas Cuantitativas

Director/a: Dr. Manuel Moreno Fuentes

Universidad Complutense de Madrid

Universidad del País Vasco

Universidad de Valencia

Universidad de Castilla-La Mancha

www.finanzascuantitativas.com

Valoración de opciones americanassobre el VIX mediante el método

Least-Squares Monte Carlo

Máster en Banca y Finanzas Cuantitativas

AutorAlejandro Hu Cao

DirectorManuel Moreno Fuentes

Universidad de Castilla-La Mancha

Universidad Complutense de Madrid

Universidad del País Vasco/Euskal Herriko Unibertsitatea

Universitat de València

Madrid, Julio de 2018

Resumen

El objetivo de este trabajo es ilustrar la aplicación del método Least-Squares Monte Carlo (LSM) propuesto por Longstaff & Schwartz (2001). Estemétodo es aplicado a la valoración de opciones americanas estándares sobre elVIX, índice de volatilidad del S&P500, para una serie de modelos en tiempocontinuo con volatilidad estocástica que se han presentado en la literatura.Tras calcular las primas de estas opciones, se compararán los resultados obte-nidos mediante los diferentes modelos y se realiza un análisis de sensibilidadconsiderando posibles escenarios para las variables que afectan a dichas pri-mas. Los resultados obtenidos indican que la característica más relevante enla comparación de las primas obtenidas es la reversión a la media.

1

1 INTRODUCCIÓN

1. IntroducciónEste trabajo valora opciones americanas sobre el VIX, el índice de volatilidad

del S&P500, introducido por Whaley (1993). Uno de los factores por los que el VIXy sus derivados tienen tanto éxito es por la fuerte correlación negativa que hay entrelos cambios en el índice y los rendimientos del S&P500. Esta relación se conoce co-mo efecto apalancamiento (leverage effect) y es asimétrica, ya que la correlación esmayor cuando se observan rendimientos negativos del S&P500. En otras palabras,una caída en los rendimientos del S&P500 produce un aumento mayor de la vola-tilidad futura que un aumento de los rendimientos de la misma magnitud. Es decir,la volatilidad suele aumentar después de malas noticias y suele reducirse después debuenas noticias, motivo por el que el VIX es también conocido como “medidor delmiedo”. Whaley (2000) muestra que la correlación entre los cambios en el índice ylos rendimientos del S&P500 es de -0.47 cuando el VIX baja y de -0.71 cuando elVIX aumenta, trabajando con datos semanales. Jiang & Tiang (2005), Carr & Wuy Luo & Zhang (2012) concluyen que la información del VIX sobre la volatilidadfutura es mayor que la obtenida mediante la volatilidad histórica y otras medidasde volatilidad condicional.

Para valorar opciones americanas, Longstaff & Schwartz (2001) proponen unmétodo llamado Least-Squares Monte Carlo (LSM). Es un método basado en la si-mulación de Monte Carlo, donde los valores de continuación (lo que se espera ganarsi no se ejerce la opción en el periodo de ejercicio) se estiman mediante regresiones.En dichas regresiones, la variable dependiente está formada por los flujos de cajasactualizados (de cada una de las trayectorias simuladas) de los periodos posteriores;y las variables explicativas son los polinomios ortonormales (como Laguerre, Le-gendre, Hermite, entre otros). Moreno & Navas (2003) analizan la robustez de estemétodo mediante un estudio computacional y concluyen que las primas obtenidascambian solo a partir del quinto decimal si se utilizan polinomios con grado superiora cinco. Por tanto, en este trabajo se utilizarán polinomios hasta grado cinco paraestimar los coeficientes de las regresiones.

Se analizaron once modelos en tiempo continuo para el VIX: un modelo gene-ral (sin restricciones) y diez casos particulares. Tanto Goard & Mazur (2013) comoMoreno & Pérez-Jiménez (2018) utilizan la técnica del Método Generalizado de Mo-mentos (GMM) propuesto por Hansen (1982), para estimar los parámetros de losmodelos, . Se simularán un número determinado de trayectorias para cada modelo,se aplicará el método LSM para valorar las opciones y, por último, se compararánlos resultados obtenidos.

Este trabajo se estructura del siguiente modo: la sección 2 presenta brevementela literatura previa. La sección 3 decribe el VIX y su cálculo. La sección 4 presen-ta los diferentes modelos que se utilizan para la simulación. La sección 5 describre

2

2 LITERATURA PREVIA

el método Least-Squares Monte Carlo e introduce un ejemplo sencillo para ilustrardicho método. La sección 6 comenta las simulaciones de los distintos modelos devolatilidad estocástica para luego aplicar el método LSM y obtener las valoracionesde las opciones. La sección 7 calcula las griegas de primer orden para la put ame-ricana presentada en la sección 6. Finalmente, la sección 8 resume las conclusionesmás importantes de este trabajo y propone diversas líneas de investigación futuras.

2. Literatura previaEn la literatura previa hay numerosas publicaciones sobre el VIX y el método

de LSM. Dotsis, Psychoyiosa & Skiadopoulos (2006) comparan seis modelos de vo-latilidad estocástica utilizando ocho índices de volatilidad (VIX, VXN, VXO, VXD,VDAX VX1, VX6 y VSTOXX): tres de ellos corresponden con los modelos de Black-Scholes (1973), Vasicek (1977) y Cox et al. (1985), y los otros tres son estos tresmodelos, pero añadiéndoles saltos. El modelo de Black-Scholes (1973) es utlilizadopor Detemple & Osakwe (2000), Hull & White (1987) y Johnson & Shanno (1987);el modelo de Vasicek (1977) es empleado por Detemple & Osakwe (2000), Stein &Stein (1991) y Scott (1992); el modelo de Cox et al. (1985) es utilizado por Detem-ple & Osakwe (2000) y Grünbichler & Longstaff (1996); el modelo de Black-Scholes(1973) con saltos es utilizado por Merton (1976); el modelo de Vasicek (1977) consaltos es aplicado por Das (2002) para modelizar la evolución temporal de los ti-pos de interés, y por último el de Cox et al. (1985) con saltos, es empleado porDuffie et al. (2000), Bakshi & Cao (2004) y Eraker et al. (2003) para modelizarla dinámica de los modelos de volatilidad instantánea. Dotsis et al. (2006) estimanlos parámetros de los seis modelos por máxima verosimilitud, ya que se conocen lasdistribuciones estadísticas de los procesos sin saltos (lognormal, normal y �

2), y des-pués comentan cómo se puede obtener las estimaciones de dichos procesos con saltos.

Goard & Mazur (2013), aparte de los tres modelos sin saltos que proponen Dotsiset al (2006), añaden una serie de modelos más que son utilizados por diversos auto-res, entre ellos Brockhaus & Long (2000), Swishchuk (2004), Howison et al. (2004),Detemple & Osakwe (2000), Wiggins (1987) y Melino & Turnbull (1990), entre otros.Estos autores estiman los modelos mediante el Método Generalizado de Momentos.La ventaja de dicho método es que no hace falta conocer las distribuciones de losprocesos para hacer las estimaciones de los parámetros. Posteriormente, Moreno &Pérez-Jiménez (2018) utilizan la misma técnica y añaden dos modelos más.

Heston (1993) propone un modelo de volatilidad estocástica y obtiene una fór-mula cerrada para valoración de las opciones europeas. Howison et al. (2004) utilizael modelo sobre un movimiento browniano geométrico sin deriva para valorar swapsde varianzas. Estos autores también proporcionan fórmulas cerradas para los mo-

3

3 EL VIX

delos de volatilidad estocástica con saltos. Grünbichler & Longstaff (1996) tambiénpresentan fórmulas cerradas para opciones europeas y opciones sobre futuros devolatilidad. Hull & White (1987) utilizan el modelo de un movimiento brownianogeométrico para valorar opciones sobre acciones con volatilidad estocástica.

La primera aplicación del método de simulación Monte Carlo para valorar opcio-nes europeas es utilizado por Boyle (1977). Más adelante, es empleado por Broadie &Glasserman (1996) para valorar opciones asiáticas. Porteriormente, Longstaff & Sch-wartz (2001) introducen el método Least-Squares Monte Carlo para valorar opcionesamericanas (LSM). Numerosos autores como Moreno & Navas (2003), Rodrigues &Rocha (2006) y Bauer & Ha (2015), entre otros, han aplicado LSM para valorarderivados de tipo americano.

3. El VIXAntes de valorar opciones sobre el VIX, es interesante saber qué es el VIX, y

cómo se calcula. El VIX es el índice de volatilidad del S&P500, introducido porWhaley (1993). Inicialmente, el VIX era el índice de volatilidad del S&P100. Peroen 2003, debido a las nuevas condiciones del mercado, el VIX ha pasado a ser elíndice de volatilidad del S&P500. Entonces el índice de volatilidad del S&P100 hapasado a llamarse VXO.

El VXO se calcula como una combinación de las volatilidades implícitas de ochoopciones ATM (at the money), con dos fechas de vencimiento: en el primer venci-miento se tendrán en cuenta las opciones negociadas con menor de tiempo posible,pero superior a siete días, y en el segundo vencimiento será la siguiente fecha dis-ponible de negociación. Para cada vencimiento, se seleccionan los strikes superior einferior al valor del subyacente. Así, se tienen para cada vencimiento, cuatro opcio-nes (dos calls, strike superior e inferior, y dos puts, superior e inferior), obteniendoun total de ocho opciones. Para calcular las volatilidades implícitas, se utiliza elmodelo de Black-Scholes (1973). Entonces el índice VXO se calcula como:

V XO = �1

⇣N2 � 22

N2 �N1

⌘+ �2

⇣ 22�N1

N2 �N1

⌘

donde, para cada vencimiento i = 1, 2, Ni es el número de días de negociación y las�i son las volatilidades implícitas que se calculan de la siguiente manera:

�i =⇣�(C,Ka,i) + �(P,Ka,i)

2

⌘⇣S �Kb,i

Ka,i �Kb,i

⌘+⇣�(C,Kb,i) + �(P,Kb,i)

2

⌘⇣Ka,i � S

Ka,i �Kb,i

⌘

donde Ka,i y Kb,i son los strikes superior e inferior, respectivamente, al valor actualdel subyacente S, y �(C,Ka,i) es la volatilidad implícita de la opción call, con strike

4

3 EL VIX

Ka,i para el vencimiento Ti.

En 2003, debido a las nuevas condiciones del mercado, el CBOE (Chicago BoardOption Exchange) modifica el cálculo del VIX: se calcula sobre el índice del S&P500,pero, a diferencia del VXO, también se introducen para su cálculo las opciones OTM(out of the money). Esto se debe a que los inversores, para cubrise de las posiblesbajadas de los precios, negocian puts OTM.

El VIX se calcula como combinación lineal de dos varianzas, Vi, i = 1, 2, convencimientos Ti (que han de estar entre 23 y 37 días):

V IX = 100

s⇣T1V1

NT2 �N30

NT2 �NT1

+ T2V2N30 �NT1

NT2 �NT1

⌘N365

N30(1)

donde Ni indica el número de minutos con los vencimientos Ti, i = 1, 2, 30 días y365 días y Vi se calcula como

Vi =2eriTi

Ti

NX

j=1

�Kj,i

K2j,i

M(Kj,i)�1

Ti

hFi

Kf,i� 1

i2(2)

donde 0 < K1,i < ... < Kf,i Fi < Kf+1,i < ... < KN,i indican los strikes

disponibles en el mercado. Kf,i es el primer strike disponible menor a Fi, por lo quef 2 Z

+ : 2 < f < N � 1. Para 1 < j < N , se tiene �Kj,i = (Kj+1,i �Kj�1,i)/2 y enlos extremos se cumplen las relaciones �K1,i = K2,i �K1,i y �KN,i = KN,i �KN1,i.P (Kj,i, Ti) y C(Kj,i, Ti) son las cotizaciones medias bid-ask de las opciones put ycall, M(Kj,i) = mín{C(Kj,i, Ti), P (Kj,i, Ti)}1 es el mínimo entre las primas de lasopciones call y put OTM para el strike Kj,i, y Fi denota el precio forward delsubyacente en Ti, que se obtiene mediante la paridad put-call.2

A continuación, se resume los pasos a seguir para el cálculo del VIX:

1. Se selecciona las opciones sobre el S&P500 que estén OTM y la opción ATMcon strike Kf,i. Para ello, se determina el valor forward del S&P500, Fi, me-diante la paridad put-call y el strike que se va a considerar es el que minimizala diferencia entre las primas de la call y la put. Luego, se determina el strikeKf,i, que es el strike inferior al valor de Fi. Se seleccionan las opciones call yput OTM, es decir, las opciones calls con strike mayor a Kf,i y las opcionesputs con strike menor a Kf,i, excluyendo los opciones cuya cotización sea ceroy aquellas posteriores a dos cotizaciones bid iguales a cero.

2. Se aplica la fórmula (2) para cada vencimiento.1para Kj,i < Fi, M(·) es la prima de una put OTM y, para Kj,i > Fi, la prima de una call

OTM2Para más información del cálculo del VIX, véase VIX White en la página web de CBOE.

5

4 MODELOS DE VOLATILIDAD ESTOCÁSTICA

3. Se aplica la fórmula (1) para calcular el VIX.

En el apéndice de este trabajo se muestra un ejemplo numérico del cálculo delVIX.

4. Modelos de volatilidad estocásticaEn esta sección se presentan los deferentes modelos en tiempo continuo que

se utilizarán en este trabajo. Tanto Goard & Mazur (2013) como Moreno & Pérez-Jiménez (2018) estiman los parámetros de estos modelos por el Método Generalizadode Momentos, propuesto por Hansen (1982). Goard & Mazur (2013) proponen quela dinámica de la volatilidad siga el siguiente proceso de Itô:

dV =⇣c1 +

c2

V+ c3V lnV + c4V + c5V

2⌘dt+ kV

�dZ (3)

donde ci, i = 1, ..., 5 son los parámetros, dV indica el cambio instantáneo en lavolatilidad, (·)dt y (·)dZ son, respectivamente, la deriva y la difusión del procesoestocástico y dZ es un movimiento browniano estándar.

Los diferentes parámetros incluidos en la deriva indican que el cambio instan-táneo esperado en la volatilidad puede ser función inversa, lineal o cuadrática delnivel de dicha volatilidad en función de los valores que tomen, respectivamente, loscoeficientes c2, c4 o c5. Con c4 < 0 los modelos tienen reversión lineal a la media,mientras que con c5 < 0 los modelos tienen reversión no lineal a la media. Tambiénse consideran efectos cruzados entre la volatilidad y su logaritmo, en función de c3.Finalmente, el parámetro k es el coeficiente de difusión y el parámetro � indica lasensibilidad de la varianza de la volatilidad con respecto al nivel de volatilidad.

La ecuación diferencial estocástica (3) es el modelo sin restringir. A partir dedicho modelo, se puede identificar diez casos particulares:

6


Modelo c1 c2 c3 c4 c5 k �

1 Heston (MRSR V2) 0 - 0 - 0 - 0

2 MR - 0 0 - 0 - 13 MRSR - 0 0 - 0 - 0.54 GBM 0 0 0 - 0 - 15 MRG - 0 0 - 0 - 06 GBMWD 0 0 0 0 0 - 17 MRL 0 0 - - 0 - 18 3

2cuadrático 0 0 0 - - - 1.59 3

2 lineal - 0 0 - 0 - 1.510 GBMWDF 0 0 0 - 0 0 0

Tabla 1: Casos particulares del modelo general dado por ecuación (3)

La tabla anterior indica los diferentes parámetros a estimar de los distintos mo-delos de volatilidad estocástica. Además, se espera que las estimaciones de los pará-metros sean distintos de cero. Los nombres de los modelos son los siguientes:

MR : Mean-Reverting

MRSR: Mean-Reverting Square Root

GBM: Geometric Brownian Motion

MRG: Mean-Reverting Gaussian

GBMWD: Geometric Brownian Motion without Drift

MRL: Mean-Reverting Logarithmic

GBMWDF: Geometric Brownian Motion without Diffusion

Estos modelos cuentan con diferentes características para tratar de modelizar lavolatilidad V . Las principales caractísticas de estos modelos son:

El modelo 1 fue propuesto por Heston (1993). Aplicando el lema de Itô a lavariable w = V

2 se obtiene

dw = (2c2 + 2c4w + k2)dt+ 2

pwkdZt

Este modelo presenta tiene reversión a la media y la varianza de los cambiosen la varianza (w) es proporcional al nivel de la varianza.

7


Los modelos 2 a 7 ya han sido descritos y analizados en Chan et al. (1992)para modelizar la evolución temporal de los tipos de interés instantáneos. Elmodelo 2 refleja reversión a la media y establece que la desviación típica delos cambios en la volatilidad es proporcional al nivel de la volatilidad. Estemodelo engloba al modelo 4 que, a su vez, engloba al modelo 6. Howison etal. (2004) utiliza este modelo para valorar derivados sobre volatilidad (swapsde varianzas). El modelo análogo para tipos de interés instantáneos es el pro-puesto en Brennan-Schwartz (1980).

El modelo 3 propone un proceso con reversión a la media y heterocedásticodonde la varianza de los cambios en la volatilidad es proporcional al nivel deésta. Este modelo es utilizado por Detemple & Osakwe (2000) y Grünbichler& Longstaff (1996) para valorar opciones y futuros sobre volatilidad. Al igualque el modelo anterior, el modelo para los tipos de interés es el presentado enCox et al.(1985)

El modelo 4 modeliza la volatilidad mediante un movimiento browniano geo-métrico, utilizado por Detemple & Osakwe (2000) y Hull & White (1987) paravalorar opciones sobre acciones con volatilidad estocástica.

El modelo 5 establece un proceso con reversión a la media y volatilidad cons-tante. La ventaja de este modelo es su tratabilidad analítica fue empleado porStein & Stein (1991), Scott (1992) y Detemple & Osakwe (2000). El análogopara tipos de interés es Vasicek (1977).

El modelo 6 es un caso particular del modelo 4, no tiene deriva y establece quela desviación típica de los cambios en la volatilidad es proporcional al nivel dedicha volatilidad. El análogo es el modelo de Dothan (1978) para los tipos deinterés.

Aplicando el lema de Itô al modelo 7, se obtiene el siguiente proceso para ellogaritmo de la volatilidad:

d ln(V ) = (↵� � ln(V ))dt+ kdZ

donde ↵ = c4 �12k

2 y � = �c3. Este modelo es utilizado por Wiggins (1987),Melino & Turnbull (1990) y Detemple & Osakwe (2000) para la valoración deopciones mediante modelos con volatilidad estocástica.

8


Los modelos 8 y 9 fueron propuestos por Goard et al. (2013). Ambos modelosindican alta sensibilidad de la variabilidad de V con respecto a su nivel y pre-sentan deriva cuadrática y lineal, respectivamente. Analizando el período de1990 a 2009, estos autores ilustran que estos modelos recogen mejor el com-portamiento empírico del VIX debido a la especificación del parámetro � enla difusión del proceso estocástico.

Por último, el modelo 10 es un caso particular del modelo 4, y solo incluye untérmino de deriva y, por tanto, es un modelo de volatilidad determinista.

Moreno & Pérez-Jiménez (2018) utilizan datos del VIX desde Enero de 2009 hastaDiciembre de 2015 para analizar el comportamiento empírico de estos modelos. Trasla estimación de los parámetros con dichos datos por GMM, obtuvieron las siguientesestimaciones, junto con sus t-statistics (entre paréntesis) y el contraste de �

2:

9


Mod

elo

c1

c2

c3

c4

c5

k�

�2

Gen

eral

153.

0839

-4.8

304

741.

5960

769.

0257

-110

7.05

171.

5195

1.17

01(1

.239

8)(-

1.12

19)

(1.3

423)

(1.4

423)

(-1.

4430

)(5

.830

4)(1

0.87

92)

10

0.11

800

-3.6

098

00.

1966

029

.673

6(4

.740

2)(-

3.66

00)

(21.

8575

)(0

.000

0)2

1.11

270

0-5

.617

70

1.12

271

7.00

63(3

.980

5)(-

3.37

24)

(25.

0961

)(0

.135

6)3

1.22

720

0-6

.339

30

-0.4

787

0.5

19.8

940

(4.4

047)

(-3.

8279

)(-

23.5

706)

(0.0

005)

40

00

0.73

200

1.16

511

20.8

594

(1.6

108)

(27.

5483

)(0

.000

9)5

1.28

530

0-6

.783

90

-0.1

959

030

.498

8(4

.617

8)(-

4.10

83)

(-21

.579

9)(0

.000

0)6

00

00

01.

1354

123

.475

4(2

9.17

85)

(0.0

007)

70

0-5

.263

6-8

.179

80

1.12

341

8.63

42(-

3.77

90)

(-3.

3961

)(2

5.10

83)

(0.0

709)

80

00

4.15

39-1

9.33

382.

3426

1.5

19.8

119

(3.3

162)

(-3.

2015

)(2

4.89

06)

(0.0

005)

91.

0380

00

-5.5

341

02.

3275

1.5

16.5

859

(3.6

897)

(-3.

3078

)(2

4.43

04)

(0.0

023)

100

00

-1.3

299

00

018

7.10

28(-

3.12

95)

(0.0

000)

Tabla 2: Estimaciones de los parámetros

10

5 MÉTODO DE VALORACIÓN

Los contrastes �2 indican la bondad del ajuste y sugieren que los modelos 2 y 7

son los únicos que no están mal especificados, ya que no se rechaza la hipótesis nulaa un nivel de confianza del 95%. Ambos modelos presentan reversión a la mediay consideran � = 1, es decir, heterodásticos. Los modelos con un �

2 mayor y, portanto, peor especificados, son los modelos 1 y 5, cuyo punto en común es que ambosconsideran � = 0, es decir, son modelos homocedásticos. El valor del contraste �

2

para el resto de los modelos también es muy alto, por lo que se concluye que lasrestricciones correspondientes realizadas en los parámetros del modelo general noson adecuadas.

Se han obtenido t-statistics, en valor absoluto, mayores que dos en los contrastesde significatividad de los coeficientes estimados. Por tanto, hay evidencia estadísticasuficiente para rechazar la hipótesis nula (ci = 0).

En el modelo general, los t-statistics no superan, en valor absoluto, a dos, por loque no se puede rechazar la hipótesis nula en los contrates de significatividad. Estose debe a que se han estimado los parámetros con poca precisión. El t-statistic es elcociente entre la estimación obtenida y la precisión de dicha estimación. Se observaque las estimaciones de los parámetros son muy altos y los t-statistics son bajos, porlo que la precisión de dichas estimaciones es muy reducida, es decir, la desviacióntípica de los parámetros estimados es muy alta. Todo ello indica que el contraste designificatividad pierde potencia, es decir, la región crítica del contraste se reduce,por lo que es normal que no se rechace la hipótesis nula.

Para realizar simulaciones, es necesario que los modelos estén expresado en tiem-po discreto. Tras aplicar la discretización de Euler, el modelo general (3) queda dela siguiente forma:

Vt+1 = Vt +⇣c1 +

c2

Vt+ c3Vt lnVt + c4Vt + c5V

2t

⌘�t+ kV

�t

p

�tZt (4)

donde Zt ⇠ N(0, 1).

Seguidamente, para simular, se sustituyen los valores de los parámetros estimadoscorrespondientes en cada uno de los modelos.

5. Método de valoraciónSe procede a utilizar el método de valoración para derivados de tipo americano

propuesto por Longstaff & Schwartz (2001). Se quiere valorar en el instante inicial,t = 0, una opción que vence en el instante T . En el intervalo, [0, T ], se define unespacio de probabilidad, (⌦,F, P ), y una medida equivalente martingala, Q. Se de-nota por C(!, s; t, T ), ! 2 ⌦, s 2 (t, T ] la trayectoria de flujos de caja de la opción,suponiendo que la opción se ejerce después de t y que el inversor siempre sigue la

11


estrategia óptima de decisión.

Se supone que la opción americana se puede ejercer en un número finito defechas de ejercicio 0 < t1 < t2 < ... < tN = T . Esto equivale a aproximar laopción americana por su opción bermuda correspondiente. Bajo las condiciones deno-arbitraje, el valor de continuación es igual a la esperanza (riesgo neutral) de losflujos de caja futuros descontados C(!, s; ti, T ):

F (!; ti) = EQ

h NX

j=i+1

exp⇣�

Z tj

ti

r(!, s)ds⌘C(!, tj; ti, T )|Fti

i,

donde r(!, s) es el tipo de interés libre de riesgo y Fti es la información disponiblehasta el instante ti.

El principal supuesto en que se basa el método LSM es que, en cada una de lasposibles fechas de ejercicio, esta esperanza condicional se puede aproximar median-te una regresión de mínimos cuadrados. Así, en el momento tN�1, se supone queF (!; tN�1) puede expresarse como una combinación lineal finita de funciones bási-cas ortonormales pj(X) como, por ejemplo, los polinomios de Laguerre, Legendre,Hermite, Jacobi, Chebyshev o Gegenbauer. Entonces

F (!; tN�1) =1X

j=0

ajpj(X),

se puede aproximar por

FM(!; tN�1) =MX

j=0

ajpj(X), (5)

donde los coeficientes aj son constantes (parámetros a estimar).

Como se comentará a continuación, para estimar los coeficientes aj, se utilizaránlos polinomios de Laguerre hasta de grado cinco. Entonces, se estima el siguientemodelo:

Y = a0p0(X) + a1p1(X) + a2p2(X) + a3p3(X) + a4p4(X) + a5p5(X) + "

donde Y es la variable formada por los pay-offs de t = tN actualizados a t = tN�1 delas trayectorias ITM (in the money), y el argumento de los polinomios ortonormalesX son los precios del subyacente en el periodo de ejercicio (t = tN�1 en este caso)de las trayectorias ITM. Se centran en este tipo de trayectorias ya que de esta ma-nera limita la región sobre la cual se estima la esperanza condicional y se necesitanmuchas menos funciones básicas para obtener una aproximación precisa a la función

12


de esperanza condicional.

Dado que los valores de las funciones básicas son independientes e idénticamentedistribuidos en las trayectorias, ciertos supuestos sobre la existencia de momentospermiten aplicar el teorema 3.5 de White (1984) para demostrar que el valor ajusta-do de esta regresión, F̂M(!; tN�1), converge en media cuadrática y en probabilidada FM(!; tN�1) cuando el número de trayectorias ITM tiende a infinito. Además, elteorema 1.2.1 de Amemiya (1985) implica que F̂M(!; tN�1) es el mejor estimadorlineal insesgado de FM(!; tN�1) respecto de la métrica de media-cuadrática.

Una vez estimada la función de esperanza condicional, se puede determinar si elejercicio anticipado en el momento t = tN�1 es óptimo para las trayectorias ! ITMcomparando el valor del ejercicio inmediato con F̂M(!; tN�1). Una vez identificadala decisión de ejercicio, ya se pueden determinar los flujos de la opción en t = tN�1.Este proceso se repite para t = tN�2, y así sucesivamente hasta llegar al primerinstante de ejercicio, t = t1.

Moreno & Navas (2003) analizan computacionalmente la robustez del métodoLSM. Estos autores trabajan con los polinomios ortonormales y concluyen que, apartir del quinto grado, las primas obtenidas cambian solo a partir del quinto deci-mal. Por lo tanto, en este trabajo se aproximará FM(!; tN�1) hasta M = 5, medianteel conjunto de los polinomios de Laguerre ponderados:

pj =e�X/2

j!Lj(X) (6)

donde Lj(X) son los polinomios de Laguerre sin ponderar:

Lj(X) = eX d

j

dXj(Xj

e�X) (7)

que se obtienen resolviendo la siguiente ecuación diferencial ordinaria:

XL00 + (1�X)L0 + nL = 0

La razón por la que se utilizan los polinomios de Laguerre ponderados (6) y no losde sin ponderar (7) es la necesidad de conseguir polinomios ortonormales, ya que conlos polinomios dados por (7) tan solo se consigue que sean ortogonales. Aplicandoel producto escalar del espacio L

2 a los polinomios dados por (7) se obtiene que

< Li|Lj >=

Z 1

0

Li(X)Lj(X)e�XdX = (i!)2�ij

Pero si se aplica el producto escalar ordinario a los polinomios (6) se llega a

< pi, pj >=

Z 1

0

pi(X)pj(X)dX = �ij

13


es decir, la norma es 1 cuando los grados de los polinomios coinciden, y 0 en otro caso.

Entonces, los polinomios que se van a utilizar son los siguientes:

p0(X) = e�X/2

p1(X) = e�X/2(1�X)

p2(X) = e�X/2(1� 2X +X

2/2)

p3(X) = e�X/2(1� 3X + 3X2

/2�X3/6)

p4(X) = e�X/2(1� 4X + 3X2

�X3/4 +X

4/24)

p5(X) = e�X/2(1� 5X + 5X2

� 5X3/3 + 5X4

/24�X5/120)

A continuación se presenta un ejemplo sencillo e intuitivo para comprender mejorel método LSM.

Ejemplo:

Se quiere valorar una put americana sobre un activo subyacente que no paga di-videndos, con strike K =1.1 y hay tres posibles fechas de ejercicio. El tipo de interéslibre de riesgo compuesto continuamente es 5%. Se simulan ocho trayectorias:3

Trayectoria t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 Pago en t = 31 1 0.83* 1.01* 1.31 02 1 1.12 0.97* 1.03* 0.073 1 0.99* 0.91* 1.19 04 1 0.81* 1.14 0.91* 0.195 1 1.2 0.85* 0.71* 0.396 1 1.13 1.25 1.6 07 1 0.93* 0.65* 0.84* 0.268 1 0.89* 1.02* 0.51* 0.59

Tabla 3: Simulaciones del precio del activo subyacente.

La última columna de esta tabla muestra los pagos finales de una opción europea.Descontando estos pagos al momento inicial y calculando su media, se obtiene quela prima de esta opción es 0.1614.

Para una opción americana, el método LSM maximiza su valor en cada fechade ejercicio a lo largo de las trayectorias ITM. En cada fecha, X denota el preciodel activo subyacente e Y repesenta el flujo de caja (descontado) que se recibirá en

3El símbolo ⇤ indica que las trayectorias están ITM.

14


fechas futuras si se decide esperar.

En t = 2, se tienen 6 trayectorias ITM y los valores de X e Y son los siguientes:

Trayectoria Y X

1 e�0,05

· 0 1.012 e

�0,05·0.07 0.97

3 e�0,05

· 0 0.914 - -5 e

�0,05·0.39 0.85

6 - -7 e

�0,05·0.26 0.65

8 e�0,05

·0.59 1.02

Tabla 4: Valores de X e Y en t = 2.

Para decidir entre ejercer o esperar, se estima el valor de continuación y se com-para con el valor de ejercicio inmediato, 1.1�X. El valor de continuación se estimamediante una regresión de mínimos cuadrados en la que Y es la variable dependientey los parámetros a estimar son la constante y los coeficientes que acompañan a X yX

2. Los resultados de dicha regresión son

E[Y |X] = 2,3646� 5,189X + 3,0417X2

A partir de dicha expresión, la decisión de ejercicio en cada trayectoria será laindicada en esta tabla:

Trayectoria 1.1�X E[Y |X] Decisión1 0.09 0.2265 Esperar2 0.13 0.1931 Esperar3 0.19 0.1614 Ejercer4 - - -5 0.25 0.1516 Ejercer6 - - -7 0.45 0.2769 Ejercer8 0.08 0.2364 Esperar

Tabla 5: Decisiones de ejercicio en t = 2.

En la tabla anterior, se observa que se ejerce en T = 2 cuando 1,1�X > E[Y |X].Por lo tanto, suponiendo que la opción no se ejerce antes de t = 2, los flujos de cajaspara el dueño de la opción son los siguientes:

15


Trayectoria t = 1 t = 2 t = 31 - 0 02 - 0 0.073 - 0.19 04 - 0 05 - 0.25 06 - 0 07 - 0.45 08 - 0 0.59

Tabla 6: Flujos si no se ejerce antes de t = 2.

Se repite este proceso en t = 1, donde, esta vez, hay 5 trayectorias ITM. Acontinuación, para calcular la variable Y , se utiliza los flujos de caja que se hanrecibido en los momentos t = 2 o t = 3 (pero no en ambas fechas) para cadatrayectoria. Los valores de X e Y son:

Trayectoria Y X

1 0 0.832 - -3 e

�0,05·0.19 0.99

4 0 0.815 - -6 - -7 e

�0,05·0.45 0.93

8 e�0,05⇤2

·0.59 0.89

Tabla 7: Valores de X e Y en t = 1.

Estimando otra vez Y sobre una constante y sobre las dos primeras potencias deX, se obtiene

E[Y |X] = �39,15 + 86,873X � 47,619X2

Por tanto, la regla de decisión es la siguiente:

16


Trayectoria 1.1�X E[Y |X] Decisión1 0.27 0.1499 Ejercer2 - - -3 0.11 0.1829 Esperar4 0.29 -0.0257 Ejercer5 - - -6 - - -7 0.17 0.4562 Esperar8 0.21 0.44480 Esperar

Tabla 8: Decisiones de ejercicio en t = 1.

Por tanto, la matriz de decisiones es la siguiente:

Trayectoria t = 1 t = 2 t = 31 1 0 02 0 0 13 0 1 04 1 0 05 0 1 06 0 0 07 0 1 08 0 0 1

Tabla 9: Tabla de decisiones.

Entonces, los flujos de cajas que paga esta opción americana en las tres fechasde ejercicio son los siguientes:

Trayectoria t = 1 t = 2 t = 31 0.27 0 02 0 0 0.073 0 0.19 04 0.29 0 05 0 0.25 06 0 0 07 0 0.45 08 0 0 0.59

Tabla 10: Todos los flujos de ejercicio.

17

6 VALORACIÓN

Por tanto, se puede observar que, en t = 1, la opción se ejerce en las trayectorias1 y 4; en t = 2, en las trayectorias 3, 5 y 7; y por último, al vencimiento, en las tra-yectorias 2 y 8. Se observa que en la trayectoria 6 no se ejerce en ningún momento,pues, en todo momento, la opción siempre ha estado OTM.

Finalmente, descontando estos flujos de caja al momento inicial y calculando lamedia de los valores en todas las trayectorias, se obtiene que la prima para la opciónamericana es 0.2383.

6. ValoraciónTal como se ha comentado anteriormente, primero se simulan los niveles de vo-

latilidades mediante la discretización de Euler del modelo (3). Tras las simulacionesde los modelos presentados en la sección 4, con V0 =14.55 dólares, �t = 1/250 yT = 4 años, cabe comentar las gráficas de las simulaciones del modelo general, delmodelo 5 y del modelo 10:

Figura 1: Simulación del modelo general: c1 =153.0839, c2 = �4.8304, c3 =741.5960,c4 = 769.0257, c5 = �1107.0557, k = 1.5195 y � = 1.1701

18

6 VALORACIÓN

Figura 2: Simulación del modelo 5: c1 =1.2853, c2 = 0, c3 =0, c4 = �6.7839, c5 = 0,k = �0.1959 y � = 0

Figura 3: Simulación del modelo 10: c1 = 0, c2 = 0, c3 = 0, c4 = �1.3299, c5 = 0,k = 0 y � = 0

19

6 VALORACIÓN

En la figura de las simulaciones del modelo sin restringir, se puede apreciar quehay trayectorias que llegan hasta cero. Esto se debe a que el coeficiente c3 es distintode cero (donde está el logaritmo), con un peso importante, por lo que cuando unatrayectoria va bajando hacia cero, en el siguiente periodo de tiempo podría bajar elnivel de volatilidad a negativo, por lo que se toma el máximo entre dicho valor ycero. La idea de seleccionar el máximo valor es similar a la simulación del modelode Cox-Ingersoll-Ross (1985) sobre los tipos de interés, ya que supone que los tiposde interés son positivos, con una distribución �

2. Pero en dicho modelo se encuentrauna raíz cuadrada del tipo de interés del periodo anterior, por lo que también setoma el máximo entre el valor del periodo anterior y cero.

En algunas simulaciones del modelo 5 llegan a cero e incluso negativo, hechono pasará con el VIX ya que siempre es positivo por ser el índice de volatilidad deun activo. Entonces, para resolver este problema, en las simulaciones del modelo 5también se ha seleccionado el máximo valor entre la simulación obtenida y cero.

Además, el modelo 10, al ser un modelo determinista, todas las trayectorias es-tán superpuestas, por lo que aplicar el método Least-Squares Monte Carlo no tienesentido a dicho modelo, entonces tan sólo se van a obtener las valoraciones de los 10modelos restantes.

Una vez obtenido las valoraciones, para poder comparar los resultados, se procedea clasificar los 9 casos particulares en 3 grupos:

Heterocedástico HomocedásticoReversión media 2-3-7-8-9 1-5

No reversión media 4-6 -

Tabla 11: Clasificación de los modelos.

La tabla anterior se ha obtenido según los valores de los parámetros de cada mo-delo. Es decir, para saber si un modelo tiene reversión a la media, se miran los signosde los coeficientes c4 y c5, en donde si son negativos, hay reversión; en caso contrario,no. Para saber si el modelo es homocedástico o heterocedástico, se mira el valor de�; en donde si � = 0, el modelo es homocedástico; en caso contrario, heterocedástico.

Para el modelo general y el modelo 8, los signos de c4 son positivos, por lo queno tienen reversión lineal a la media, pero sí que tienen reversión no lineal a la me-dia, ya que los signos de c5 son negativos. Esto último significa que después de ungran pico de volatilidad, la volatilidad puede disminuir rápidamente, mientras quedespués de un periodo de baja volatilidad puede ser lento para aumentar.

20

6 VALORACIÓN

Se sabe que el VIX no paga dividendos, por lo que las opciones calls americanasvalen lo mismo que las opciones calls europeas, ya que no existe el ejercicio antici-pado en las opciones calls americanas sobre un subyacente que no paga divivendos.Entonces se procede a calcular las primas de las puts europeas, y a través de la pari-dad put-call, se calculan las primas de las calls europeas, y, después, por el métodoLSM se calculan las primas de las puts americanas.

A continuación se valoran opciones con las siguientes características:

Precio del activo subyacente: S0 = 14.66 dólares.

Precio de ejercicio: X = 13 dólares.

Tiempo al vencimiento: T = 4 años.

Tipo de interés libre de riesgo: r = 2.6%.

Además de calcular las tres primas con dichas características, también se vana calcular las primas de las opciones cuando varía una de estas cuatro variables,manteniendo las demás variables constantes. Por tanto, se obtienen 4 tablas, unapara cada variable. La siguiente tabla muestra los cambios de los valores de cadauna de las variables:

SubíndiceVariable 1 2 3

S 12.66 14.66 18.66X 13 15 17r 2.6% 3.6% 4.6%T 4 4.5 5

Tabla 12: Tabla de variaciones

Antes de mostrar los resultados, se espera que las primas de opciones con mo-delos con reversión a media son menores que las primas de opciones con modelossin reversión a la media, ya que los modelos con reversión a la media hacen que elVIX tienda a un cierto valor a largo plazo, cuestión que no sucede en modelos sinrevesión a la media. Por tanto, con reversión a la media, el VIX es menos volátil,por lo que sus primas también serán menores.

Las primas de opciones con modelos heterocedásticos pueden ser más caras o másbaratas que las primas de opciones con modelos homocedásticos, ya que depende dela volatilidad en cada fecha de observadión.

21

6 VALORACIÓN

Prim

aspu

teu

rope

aP

utam

eric

ana

Cal

lam

eric

ana

X=

13,r=

2.6%

,T=

4S1

S2

S3

S1

S2

S3

S1

S2

S3

Mod

elos

:G

ener

al10

.422

810

.280

110

.071

911

.227

511

.034

410

.774

011

.366

813

.224

217

.016

02

0.19

860.

1924

0.18

013.

0179

2.91

072.

8711

1.14

263.

1365

7.12

413

0.26

060.

2588

0.24

593.

8644

3.79

313.

7161

1.20

473.

2029

7.19

007

0.26

980.

2643

0.25

203.

3659

3.28

513.

1670

1.12

393.

2094

7.19

608

0.31

790.

2902

0.27

282.

8236

2.75

662.

7269

1.26

203.

2094

7.21

689

0.13

040.

1285

0.12

422.

1164

2.06

062.

0034

1.06

783.

0726

7.06

831

0.24

160.

2322

0.22

334.

3982

4.30

664.

1828

1.18

573.

1763

7.16

745

0.82

150.

7556

0.74

834.

9268

4.80

384.

7116

2.06

623.

6996

7.99

314

3.82

513.

5339

3.12

935.

3892

5.02

004.

9458

4.76

926.

4780

10.0

734

68.

7770

8.59

148.

1693

9.04

208.

8809

8.41

679.

7211

11.5

355

15.1

134

S=

14.6

6,r=

2.6%

,T=

4X

1X

2X

3X

1X

2X

3X

1X

2X

3

Mod

elos

:G

ener

al10

.280

111

.892

213

.539

911

.034

412

.769

114

.548

913

.224

213

.033

812

.879

12

0.19

240.

5333

1.13

372.

9107

4.66

126.

4855

3.13

651.

6749

0.47

293

0.25

880.

6028

1.17

353.

7931

5.51

227.

3455

3.20

291.

7444

0.51

277

0.26

430.

6266

1.20

843.

2851

4.98

796.

7901

3.20

941.

7682

0.54

768

0.29

020.

7500

1.48

342.

7166

4.42

546.

2288

3.20

941.

8916

0.82

269

0.12

850.

4954

1.20

812.

0606

3.84

115.

7018

3.07

261.

6370

0.54

731

0.23

220.

5526

1.10

324.

3066

6.06

817.

9058

3.17

631.

6942

0.44

245

0.75

561.

1246

1.67

864.

8038

6.45

218.

0591

3.69

962.

2662

1.01

774

3.53

394.

3601

5.22

685.

0200

6.23

267.

4981

6.47

805.

5017

4.56

606

8.59

1410

.164

211

.757

98.

8809

10.5

120

12.1

747

11.5

355

11.3

058

11.0

971

Tabla 13: Resultados variando el precio del subyacente y el strike.

22

6 VALORACIÓN

Prim

aspu

teu

rope

aP

utam

eric

ana

Cal

lam

eric

ana

S=

14.6

6,X

=13,T=

4r1

r2

r3

r1

r2

r3

r1

r2

r3

Mod

elos

:G

ener

al10

.280

19.

8779

9.48

9811

.034

410

.897

110

.762

713

.224

213

.280

513

.334

62

0.19

240.

1849

0.17

762.

9107

2.86

702.

8237

3.13

653.

5884

4.02

243

0.25

880.

2487

0.23

893.

7931

3.73

493.

6773

3.20

293.

6522

4.08

377

0.26

430.

2549

0.24

493.

2851

3.23

403.

1849

3.20

943.

6584

4.08

978

0.29

020.

2789

0.26

792.

7166

2.67

512.

6341

3.20

943.

6824

3.96

359

0.12

850.

1235

0.11

872.

0606

2.02

941.

9993

3.07

263.

5270

3.96

351

0.23

220.

2231

0.21

444.

3066

4.23

964.

1808

3.17

633.

6266

4.05

925

0.75

560.

7259

0.69

754.

8038

4.73

344.

6649

3.69

964.

1294

4.54

234

3.53

393.

3953

3.26

225.

0200

4.94

914.

8857

6.47

806.

7988

7.10

706

8.59

148.

2545

7.93

098.

8809

8.65

658.

4672

11.5

355

11.6

580

11.7

757

S=

14.6

6,X

=13,r=

2.6%

T1

T2

T3

T1

T2

T3

T1

T2

T3

Mod

elos

:G

ener

al10

.280

110

.521

210

.572

911

.034

411

.448

311

.599

613

.224

213

.375

513

.817

72

0.19

240.

1831

0.17

702.

9107

3.05

893.

1345

3.13

653.

2878

3.42

183

0.25

880.

2418

0.23

223.

7931

3.97

374.

0662

3.20

293.

3542

3.47

707

0.26

430.

2684

0.26

833.

2851

3.46

403.

5465

3.20

943.

3607

3.51

318

0.29

020.

3135

0.31

122.

7166

2.86

142.

9302

3.20

943.

3856

3.55

609

0.12

850.

1287

0.12

512.

0606

2.15

632.

2006

3.07

263.

2239

3.36

991

0.23

220.

2432

0.22

034.

3066

4.51

234.

6179

3.17

633.

3276

3.46

515

0.75

560.

7900

0.88

064.

8038

5.06

835.

1833

3.69

964.

0348

4.12

544

3.53

393.

5441

3.56

245.

0200

5.18

745.

2801

6.47

806.

6293

6.80

726

8.59

148.

8913

9.01

748.

8809

9.26

399.

4528

11.5

355

11.6

868

12.2

622

Tabla 14: Resultados variando el tipo de interés libre de riesgo y el tiempo a venci-miento.

23

6 VALORACIÓN

En las tablas anteriores, los modelos están ordenados de la siguiente manera: elmodelo sin restringir, los modelos con reversión a la media y heterocedásticos, losmodelos con reversión a la media y homocedásticos y por último, los modelos sinreversión a la media y heterocedásticos.

Dados estos resultados, se puede observar que las primas de las puts europeassegún el modelo general son mucho más elevadas que las primas obtenidas con elresto de modelos. Pero para las opciones americanas, se puede apreciar que las di-ferencias son menores.

Para las puts europeas, con el modelo general se obtienen precios bastante altosen comparación con el resto de modelos; los siguientes precios más altos despuésdel modelo sin restringir son los de los modelos heterocedásticos sin reversión a lamedia (el modelo 6, seguido del modelo 4). Continuando con las comparaciones, lessiguen los precios obtenidos con el modelo 5 (con reversión a la media y homocedásti-co) y después, los modelos con reversión a la media y heterocedásticos y el modelo 1.

En el caso de las puts americanas, las valoraciones con el modelo general siguensiendo las más altas, pero a diferencia de las puts europeas, la diferencia de primascon el resto de modelos es menor. Al igual que las puts europeas, los primas másaltas que les siguen son las primas con los modelos heterocedásticos sin reversión ala media (el modelo 6 y después el modelo 4). En este caso se puede apreciar mejorla diferencia de primas entre los modelos con reversión a la media heterocedásticosy homocedásticos. Para los homocedásticos, sus primas están entre cuatro y cincodólares, y para los heterocedásticos, sus primas están entre tres y cuatro dólares.

Para las calls americanas, se sigue la misma jerarquía que las puts europeas:en primer lugar están las opciones valoradas con el modelo general, seguido de losmodelos 6 y 4 (heterocedásticos sin reversión a la media), y por último, los modeloscon reversión a la media. También en este caso, los precios obtenidos con el modelo5 son los más altos de los modelos con reversión a la media.

A continuación, se va a comentar cómo han variado las valoraciones de las opcio-nes cuando varían los valores de una variable manteniendo el resto de las variablesconstantes.

24

7 ANÁLISIS DE SENSIBILIDADES (GRIEGAS)

Cambios en el precio del subyacente, Si:Se puede observar que cuando el precio del subyacente aumenta, las primas delas puts disminuyen y las primas de las calls aumentan. Esto es debido a queel valor intrínseco de las puts (X � St) disminuye y el de las calls aumenta(St �X) cuando St aumenta.

Cambios en el precio de ejercicio, Xi:Al aumentar el strike las primas de las puts (europeas y americanas) aumen-tan y las primas de las calls americanas disminuyen. Esto se debe a que elvalor intrínseco de las calls (puts) va disminuyendo (aumentando) conformeva aumentando el strike.

Cambios en el tipo de interés libre de riesgo, ri:Se aprecia que para las opciones puts, sus precios bajan conforme sube el ti-po libre de riesgo, y sube para las calls. Esto tiene sentido ya que cuando eltipo libre de riesgo sube, el valor presente de los flujos de cajas futuros baja,entonces el dueño de la call va a pagar el strike, y, por tanto, el precio de lacall sube. En el caso de la put, el dueño va a recibir el strike, por lo que elprecio de la put baja.

Variando el tiempo al vencimiento, Ti:Se observa que para las opciones americanas, a mayor vencimiento, mayorprecio. Esto se debe a que cuando aumenta el vencimiento, se tendrán másfechas para ejercer, por lo que aumentarán las primas de dichas opciones. Enel caso de las puts europeas, al aumentar el tiempo al vencimiento, dichasprimas pueden aumentar o disminuir.

7. Análisis de sensibilidades (Griegas)En esta sección se calculan las griegas de primer orden (�, Dual � �, ⇢ y ⇥)

para la opción put americana que se ha estudiado previamente (S0 = 14.66, X =13, r = 2.6% y T = 4) mediante la siguiente expresión:

f0(x0) =

f(x0 + h)� f(x0)

h+O(h)

25

7 ANÁLISIS DE SENSIBILIDADES (GRIEGAS)

Delta: mide la sensibilidad de la prima de la opción ante cambios infinitesimalesen el precio del subyacente:

� =@p

@S0=

p(S0 + ", X, r, T )� p(S0, X, r, T )

"+O(")

Dual-Delta: mide la sensibilidad de la prima de la opción ante cambios infini-tesimales en el strike:

Dual �� =@p

@X=

p(S0, X + ", r, T )� p(S0, X, r, T )

"+O(")

Rho: mide la sensibilidad de la prima de la opción ante cambios infinitesimalesen los tipos de interés libre de riesgo:

⇢ =@p

@r=

p(S0, X, r + ", T )� p(S0, X, r, T )

"+O(")

Theta: mide la sensibilidad de la prima de la opción ante cambios infinitesi-males en el tiempo al vencimeinto:

⇥ = �@p

@T= �

p(S0, X, r, T + ")� p(S0, X, r, T )

"+O(")

Tras aplicar dichas diferencias, se ha obtenido la siguiente tabla:

GriegasModelo � Dual �� ⇢ ⇥General -0.8894 0.8237 -13.8466 -0.8161

2 -0.2825 0.8229 -3.8143 -0.29283 -0.4254 0.8765 -4.4362 -0.31767 -0.4223 0.8828 -5.5959 -0.30418 -0.3621 0.7586 -3.9885 -0.19939 -0.2575 0.8530 -3.4811 -0.24991 -0.4625 0.8044 -6.5901 -0.41805 -0.0375 0.8210 -6.8000 -0.27004 -0.8434 0.6987 -2.5302 -0.59986 -0.3547 0.8473 -17.3142 -1.2629

Tabla 15: Griegas de primer orden de la put americana.

Las principales conclusiones de esta tabla son las siguientes:

26

8 CONCLUSIONES

Tras observar los resultados obtenidos, se puede apreciar que los signos de �concuerdan con las valoraciones obtenidas en la sección 6: al aumentar el pre-cio del subyacente, la prima de la put americana disminuye. Se observa que elmodelo general y el modelo 4 proporcionan los valores más negativos, es decir,más sensibles a los cambios en el precio del subyacente. Y el modelo 5 es elmenos sensible a los cambios en el subyacente.

A continuación, respecto a Dual � �, también concuerda el signo que se haobtenido: al subir el strike, la prima de la put americana va aumentando. Enesta griega, no se diferencia mucho los valores obtenidos en los distintos mo-delos de volatilidades.

Seguidamente, el signo de ⇢ es negativo ya que al aumentar el tipo de interéslibre de riesgo, la prima de la put americana disminuye. Se observa que lasmayores sensiblidades se dan en el modelo 6, seguido del modelo general y delmodelo 5.

Finalmente, el signo de ⇥ es el esperado, teniendo en cuenta su definición, alaumentar el vencimiendo, aumenta la prima de la put americana, pero comose ha definido con el signo negativa delante de la derivada, pasan a ser todoslos valores negativos. En esta griega se puede apreciar que el modelo 6 es elmás sensible, seguido del modelo sin restringir y después el modelo 4.

Por tanto, en las griegas �, ⇢ y ⇥ se puede observar que los modelos sin reversión ala media son más sensibles que los modelos con reversión a la media, mientras quese obtienen valores similares para Dual �� en todos los modelos.

8. ConclusionesEl objetivo de este trabajo ha sido ilustrar la aplicación del método Least-Squares

Monte Carlo para valorar opciones americanas sobre el VIX. Para ello, se han si-mulado diversos modelos y luego se ha aplicado LSM para valorar dichas opciones.

Tras introducir el VIX, se han presentado y simulado un modelo en tiempocontinuo general y 10 casos particulares. Se ha presentado las estimaciones de losparámetros de estos modelos tras aplicar GMM que fueron realizadas en Moreno &Pérez-Jiménez (2018). Se ha podido ver la clasificación de los 9 modelos particularesestocásticos, donde los modelos 8 y 9 propuestos por Goard et al. (2003) son los que

27

8 CONCLUSIONES

presentan una mayor sensibilidad a la variabilidad del nivel de los índices de volati-lidad, los modelos 1 y 5 son homocedásticos (y el modelo 10 también) y el resto sonheterocedásticos. Todos los modelos, excepto los modelos 4, 6 y 10, han presentadoreversión a la media. Tras aplicar el lema de Itô al modelo 7, se ha obtenido unproceso similar al modelo 5 para el logaritmo de la volatilidad.

A continuación, se han simulado para cada uno de los modelos estocásticos 10,000simulaciones para valorar las opciones americanas. En dichas simulaciones, la simu-lación del modelo general daba problemas ya que el coeficiente que acompaña allogaritmo (c3) es distinto de cero, por lo que la simulación de dicho modelo se lleva-ba a cabo de la siguiente forma en cada periodo: se seleccionaba el máximo entre elvalor simulado y el cero. El modelo 5 también se ha simulado de la misma maneraque el modelo general al salir niveles del VIX negativos. No se ha aplicado el métodode LSM al modelo 10 ya que se trata de un modelo determinista y no tiene sentidoaplicarlo.

Más adelante, en las tablas de los resultados, se han calculado también las va-riaciones de las primas de las opciones cuando una de las cuatro variables cambiay el resto de las variables se mantienen iguales. Después, se han comentado losresultados según el tipo de opción que se ha valorado (put europea, put americanay call americana) y según a la variación de cada una de las variables (Si, Xi, ri y Ti).

Seguidamente, se han calculado las griegas de la opción put americana estudiadoen la sección 6. Entonces, las griegas �, ⇢ y ⇥ de los modelos con reversión a lamedia salen valores mayores que los modelos sin reversión a la media, mientras quese obtienen valores similares para Dual �� en todos los modelos de volatilidad.

Finalmente, el ranking que se ha obtenido según las comparaciones de los dis-tintos modelos ha sido el siguiente: en primer lugar está el modelo general, despuésle siguen los modelos sin reversión a la media y heterocedásticos, y por último, losmodelos con reversión a la media. La característica de los modelos si son homoce-dásticos o heterocedásticos no es tan relevante como la de reversión a la media, yaque se producen mayores diferencias entre modelos con reversión a la media y sinreversión a la media. Por tanto, a la vista de dicho ranking, se puede concluir quela caracterísca más relevante para valorar opciones americanas según los modelospresentados es la reversión a la media y concuerda con las primas que se esperabanobtener: las primas de opciones con modelos con reversión a la media son menoresque las primas de opciones con modelos sin reversión a la media.

Como futuras lineas de investigación, se puede aplicar los modelos de volatilidadestocástica a otros índices de volatilidades, como VXN, VXO, VXD y VDAX, entreotros. Igualmente, hay otras diversas aplicaciones del método LSM que se puedeilustrar, como, por ejemplo, valoración de las opciones reales (Rodrigues & Rocha

28

8 CONCLUSIONES

(2006)), cálculo de requisitos de capital para instituciones financieras (Bauer & Ha(2015)) y medición de la exposión de crédito de la contrapartida de las opcionesamericanas (Felix, Frank, Mozgin & Reesor (2010)), entre otras.

29

8 CONCLUSIONES

Apéndice. Ejemplo numérico para el cálculo del VIXA continuación se muestra un ejemplo numérico para calcular el VIX a partir de

la información proporcionada por la página web del CBOE. La metodología del VIXestablece específicamente que, para calcular el índice, se utilizan contratos de opcio-nes del S&P500 con más de 23 días y menos de 37 días anteriores al vencimiento.Son elegibles tanto contratos de opciones estándar (vencimiento el tercer viernes decada mes) como contratos semanales (vencimiento cada viernes de cada mes) queestén dentro del rango de 23 y 37 días. De manera semanal, las opciones utilizadaspara calcular el VIX pasan a nuevos vencimientos de contrato. Por ejemplo, en elsegundo martes de octubre, el VIX se calcula utilizando dos conjuntos de opciones:una opción a corto plazo que vence 24 días después y una opción del "periodo si-guiente"que vence 31 días después (a largo plazo). Al día siguiente, las opciones quevencen dentro de 30 días se convertirán en las opciones a corto plazo en el cálculoy las opciones S&P500 que vencen dentro de 37 días se convertirán en las nuevasopciones del periodo siguiente. En este caso, los dos vencimientos que se consideranpara las opciones call y put son los que vencen en 24 días (a corto plazo) y 31 días(a largo plazo). Se calculan las Ti para cada uno de los vencimientos:

T =Mcurrent day +Msettlement day +Mother days

minutos en un año

donde Mcurrent day son los minutos hasta medianoche del día de cálculo, Msettlement dayse refiere a los minutos desde medianoche hasta a) las 8:30 a.m. para las opcionesestándar y b) 3:00 p.m. para las opciones semanales y Mother day indica el número deminutos desde hoy hasta el día de vencimiento.Teniendo en cuenta que se calculan las Ti a las 9:46 a.m.:

T1 =854 + 510 + 34560

525600= 0,0683486

T2 =854 + 900 + 44640

525600= 0,0882686

Los tipos de interés libre de riesgo, r1 y r2, son rendimientos basados en las tasasde la curva de rendimiento del Tesoro de Estados Unidos a los que se aplica un splinecúbico para obtener rendimientos en las fechas de vencimiento de opciones relevantesde S&P500. En este caso, son los siguientes: r1 = 0, 0305% y r2 = 0, 0286%. Latabla 16 muestra las cotizaciones de opciones sobre el S&P500 que se van a utilizaren este ejemplo para calcular el VIX.

30

8 CONCLUSIONES

Primer vencimiento Segundo vencimiento

StrikeCall Put

StrikeCall Put

Bid Ask Bid Ask Bid Ask Bid Ask

1890 63,40 67,20 0,00 0,60 1890 71,10 71,50 0,50 0,951895 59,00 62,70 0,00 0,60 1895 66,80 67,20 1,20 1,651900 54,60 58,20 0,09 0,80 1900 62,40 62,80 1,90 2,351905 51,00 53,50 0,00 1,50 1905 58,20 58,60 2,60 3,051910 41,60 45,10 1,10 2,20 1910 54,00 54,40 3,40 3,851915 39,59 44,80 1,90 3,30 1915 49,80 50,20 4,20 4,651920 35,30 40,60 2,70 4,10 1920 45,70 46,10 5,20 5,651925 31,10 36,20 3,60 4,60 1925 41,70 42,10 6,20 6,651930 27,20 32,30 4,50 6,00 1930 37,80 38,20 7,20 7,651935 26,20 28,40 5,60 6,70 1935 34,60 35,00 8,40 8,851940 24,40 26,50 6,70 7,80 1940 30,80 31,20 9,60 10,051945 20,70 22,70 7,90 9,20 1945 27,20 27,60 11,00 11,451950 17,10 19,10 9,70 10,80 1950 23,70 24,10 12,40 12,851955 13,70 15,50 10,00 20,50 1955 20,30 20,70 13,00 13,301960 13,40 15,10 11,60 22,00 1960 17,00 17,10 14,70 15,001965 10,30 11,80 13,30 24,00 1965 13,80 14,10 16,50 16,801970 9,40 9,70 15,30 25,80 1970 10,80 11,20 18,50 18,801975 8,60 8,90 17,50 28,10 1975 8,00 8,30 20,50 20,801980 6,20 6,50 19,90 30,60 1980 5,50 5,80 23,00 23,301985 3,90 4,20 22,40 33,20 1985 3,10 3,40 25,50 25,801990 1,90 2,20 25,30 36,50 1990 0,90 1,20 28,40 28,701995 1,00 1,30 28,40 39,70 1995 0,00 0,30 31,30 31,602000 0,20 0,50 31,70 43,20 2000 0,10 0,40 34,50 34,802005 0,00 0,30 35,00 47,70 2005 0,00 0,30 38,10 38,402010 0,05 0,35 39,00 51,40 2010 0,05 0,35 41,70 42,002015 0,00 0,30 43,20 56,00 2015 0,00 0,30 45,80 46,102020 0,00 0,30 47,60 60,40 2020 0,00 0,30 49,90 50,202025 0,10 0,40 52,20 65,00 2025 0,06 0,36 54,10 54,402030 0,05 0,35 56,90 69,70 2030 0,02 0,32 58,60 58,902035 0,00 0,30 61,70 74,40 2035 0,00 0,30 63,30 63,60

Tabla 16: Cotizaciones para los dos vencimientos de opciones sobre el S&P500 enfunción de diferentes strikes.

Se seguirán los siguientes pasos:

1. Seleccionar las opciones que serán utilizadas para el cálculo del VIX.Se selecciona las opciones sobre el S&P500 que estén OTM y la opción ATMcon strike Kf,i. Para ello, se determina el valor forward del S&P500, Fi, me-diante la paridad put-call y el strike que se va a considerar es el que minimiza

31

8 CONCLUSIONES

la diferencia entre las primas de la call y la put.La tabla 17 muestra los strikes, primas de las opciones (media entre el bid yel ask, el mid) y la diferencia, en valor absoluto, de las primas de la call y laput.

Primer vencimiento Segundo vencimientoStrike Call Put Diferencia Strike Call Put Diferencia1890 65,30 0,30 65,00 1890 71,30 0,73 70,581895 60,85 0,30 60,55 1895 67,00 1,43 65,581900 56,40 0,45 55,96 1900 62,60 2,13 60,481905 52,25 0,75 51,50 1905 58,40 2,83 55,581910 43,35 1,65 41,70 1910 54,20 3,63 50,581915 42,10 2,60 39,50 1915 50,00 4,43 45,581920 37,95 3,40 34,55 1920 45,90 5,43 40,481925 33,65 4,10 29,55 1925 41,90 6,43 35,481930 29,75 5,25 24,50 1930 38,00 7,43 30,581935 27,30 6,15 21,15 1935 34,80 8,63 26,181940 25,45 7,25 18,20 1940 31,00 9,83 21,181945 21,70 8,55 13,15 1945 27,40 11,23 16,181950 18,10 10,25 7,85 1950 23,90 12,63 11,281955 14,60 15,25 0,65 1955 20,50 13,15 7,351960 14,25 16,80 2,55 1960 17,05 14,85 2,201965 11,05 18,65 7,60 1965 13,95 16,65 2,701970 9,55 20,55 11,00 1970 11,00 18,65 7,651975 8,75 22,80 14,05 1975 8,15 20,65 12,501980 6,35 25,25 18,90 1980 5,65 23,15 17,501985 4,05 27,80 23,75 1985 3,25 25,65 22,401990 2,05 30,90 28,85 1990 1,05 28,55 27,501995 1,15 34,05 32,90 1995 0,15 31,45 31,302000 0,35 37,45 37,10 2000 0,25 34,65 34,402005 0,15 41,35 41,20 2005 0,15 38,25 38,102010 0,20 45,20 45,00 2010 0,20 41,85 41,652015 0,15 49,60 49,45 2015 0,15 45,95 45,802020 0,15 54,00 53,35 2020 0,15 50,05 49,902025 0,25 58,60 58,35 2025 0,21 54,25 54,042030 0,20 63,30 63,10 2030 0,17 58,75 58,582035 0,15 68,05 67,90 2035 0,15 63,45 63,30

Tabla 17: Mid de las opciones sobre el S&P500 para diferentes strikes y la diferen-cia, en valor absoluto, de las primas de la call y put.

Se observa que los strikes que minimizan la diferencia de primas de las opcio-

32

8 CONCLUSIONES

nes son 1955 y 1960 para el primer y segundo vencimiento, respectivamente.Para obtener el forward, se aplica la paridad put-call:

ci + e�riTiXi = pi + Si =) ci � pi = Si � e

�riTiXi =)

eriTi(ci � pi) = Sie

riTi

| {z }Fi

�Xi =) Fi = Xi + eriTi(ci � pi)

Para este ejemplo se tiene

F1 = 1955 + e(0,000305·0,0683486)

· (14, 60� 15, 25) = 1954, 350

F2 = 1960 + e(0,000286·0,0882686)

· (17, 05� 14, 85) = 1962, 200

A continuación, se determina el strike Kf,i, que es el strike inferior al valorde Fi. Por tanto, para el primer y segundo vencimiento se tiene Kf,1 = 1950y Kf,2 = 1960. Se seleccionan las opciones call y put OTM, es decir, lasopciones calls con strike mayor a Kf,i y las opciones puts con strike menora Kf,i, excluyendo los opciones cuya cotización sea cero y aquellas posterioresa dos cotizaciones bid iguales a cero. La tabla 18 ilustra un ejemplo para lasopciones calls del primer vencimiento que se incluyen en el cálculo del VIX.

Call Strike Bid Ask ¿Se incluye?1955 13,70 15,50 Sí1960 13,40 15,10 Sí1965 10,30 11,80 Sí1970 9,40 9,70 Sí1975 8,60 8,90 Sí1980 6,20 6,50 Sí1985 3,90 4,20 Sí1990 1,90 2,20 Sí1995 1,00 1,30 Sí2000 0,20 0,50 Sí2005 0,00 0,30 No2010 0,05 0,35 Sí2015 0,00 0,30 No2020 0,00 0,30 No2025 0,10 0,40 No se consideran las opciones

posteriores a dos cotizacionesbid iguales a cero

2030 0,05 0,352035 0,00 0,30

Tabla 18: Opciones calls incluidas en el cálculo del VIX en función de su cotizaciónbid.

33

8 CONCLUSIONES

Haciendo lo mismo para las puts del primer vencimiento y para las calls y puts

del segundo vencimiento, se obtiene la tabla 19 de las opciones consideradaspara calcular el índice.

Strike primervencimiento Opción Prima Strike segundo

vencimiento Opción Prima

1900 Put 0,45 1890 Put 0,731910 Put 1,65 1895 Put 1,431915 Put 2,60 1900 Put 2,131920 Put 3,40 1905 Put 2,831925 Put 4,10 1910 Put 3,631930 Put 5,25 1915 Put 4,431935 Put 6,15 1920 Put 5,431940 Put 7,25 1925 Put 6,431945 Put 8,55 1930 Put 7,431950 Put/Call 14,18 1935 Put 8,631955 Call 14,60 1940 Put 9,831960 Call 14,25 1945 Put 11,231965 Call 11,05 1950 Put 12,631970 Call 9,55 1955 Put 13,151975 Call 8,75 1960 Put/Call 15,951980 Call 6,35 1965 Call 13,951985 Call 4,05 1970 Call 11,001990 Call 2,05 1975 Call 8,151995 Call 1,15 1980 Call 5,652000 Call 0,35 1985 Call 3,252010 Call 0,20 1990 Call 1,05

2000 Call 0,252010 Call 0,20

Tabla 19: Opciones calls y puts seleccionadas para el cálculo del VIX.

Para el strike Kf,i se promedian las primas de la call y la put. Es decir, elprecio utilizado para el strike Kf,1 = 1950 es (18, 10‘10, 25)/2 = 14, 18.

2. Se aplica la fórmula (2) para cada vencimiento.La �K en el primer vencimiento para la put con strike 1925 es �K1925,1 =(1930� 1920)/2 = 5. Y la contribución de dicha put se calcula de la siguientemanera:

�K1925,1

K21925,1

er1T1M(K1925,1) =

5

19252e0,000305·0,06834864, 10 = 0, 000005532

34

8 CONCLUSIONES

Realizando este cálculo para cada vencimiento, se obtiene:

2

T1

NX

j=1

�Kj,1

K2j,1

er1T1M(Kj,1) = 0, 00488806

2

T2

NX

j=1

�Kj,2

K2j,2

er2T2M(Kj,2) = 0, 00448465

Ahora se calculan el segundo componente de la fórmula (2):

1

T1

hF1

Kf,1� 1

i2=

1

0, 0683486

h1954, 3501950

� 1i2

= 0, 00007281

1

T2

hF2

Kf,2� 1

i2=

1

0, 0882686

h1962, 2001960

� 1i2

= 0, 00001427

Entonces, ya se puede calcular las varianzas:

V1 =2er1T1

T1

NX

j=1

�Kj,1

K2j,1

M(Kj,1)�1

T1

hF1

Kf,1�1

i2= 0, 00488806�0, 00007281 = 0, 00481525

V2 =2er2T2

T2

NX

j=1

�Kj,2

K2j,2

M(Kj,2)�1

T2

hF2

Kf,2�1

i2= 0, 00448465�0, 00001427 = 0, 00447038

3. Se aplica la fórmula (1) para calcular el VIX:

V IX = 100

s⇣T1V1

NT2 �N30

NT2 �NT1

+ T2V2N30 �NT1

NT2 �NT1

⌘N365

N30

donde

NT 1 = minutos para la liquidación de las opciones del primer vencimiento (35924)NT 2 = minutos para la liquidación de las opciones del segundo vencimiento (46394)N30 = minutos en 30 días (30 x 1440 = 43200)N365 = minutos en un año de 365 días (365 x 1440 = 525600)

Sustituyendo en la fórmula del VIX:

V IX = 100

r⇣0, 0683486 · 0, 00481525

46394� 43200

46394� 35924+

r+0, 0882686 · 0, 00447038

43200� 35924

46394� 35924

⌘52560043200

= 6, 7512

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REFERENCIAS REFERENCIAS

Referencias[1] Ameniya,T. (1985): Advanced econometrics. Basil Blackwell, London, UK.

[2] Bakshi, G. & Cao, C. (2004): Risk-Neutral kurtosis, jumps and option pri-cing: evidence from most actively traded firms on the CBOE. Working Paper,University of Maryland.

[3] Bauer, D. & Ha, H. (2015): A Least-Squares Monte Carlo approach to thecalculation of capital requirements.

[4] Black, F. & Scholes, M. (1973): The pricing of options and corporate liabi-blities. Journal of Political Economy, 81, 3, 637-654.

[5] Brockhaus, O. & Long, D. (2000): Volatility swaps nade simple. Risk Ma-nazine January, 92-95.

[6] Carr, P. & Wu, L. (2006): A tale of two indices, Journal of Derivatives, 13,3, 13-29.

[7] Chan, K. C., Karolyi, F. A., Longstaff, F. A., & Sanders A. B. (1992):An empirical comparison of alternative models of the short-term interest rate.Journal of Finance, 47, 3, 1209-1227.

[8] Das,S.R. (2002): The surprise element: jumps in interest rates. Journal of Eco-nometrics, 106, 27-65.

[9] Detemple, J. & Osakwe, C. (2000): The valuation of volatility option. Eu-ropean Finance Review, 4, 1, 21-50.

[10] Dotsis, G., Psychoyios, D. & Skiadopoulos, G. (2006): Implied volatilityprocesses: evidence from the volatility derivates markets.

[11] Duffie, D., Pan, J. & Singleton, K. (2000): Transform analysis and assetpricing for affine jump-diffusions. Econometrica, 68, 1343-1376.

[12] Eraker, B., Johannes, M. & Polson, N (2003): The impact of jumps involatility and returns. Journal of Finance, 53, 1269-1300.

[13] Felix, K.H., Frank, G., Mozgin, V. & Reesor, R.M (2010): Optimi-zed Lest-Squares Monte Carlo for measuring counterparty credit exposure ofamerican-style options. Mathematics-in-Industry Case Studies Journal, Volume2, pp 64-85.

[14] Goard, J. & Mazur, M. (2013): Stochastic volatility models and the pricingof VIX options. Mathematical Finance, 23, 3, 439-458.

36


[15] Grünbichler, A. & Longstaff, F. (1996): Valuing futures and options onvolatility. Journal of Banking and Finance, 20, 6, 985-1001.

[16] Hansen, L. (1982): Large sample properties of generalized method of momentsestimators. Econometrica, 50, 1029-1054.

[17] Heston, S.L. (1993): A closed-form solution for options with stochastic vo-latility with applications to bond and currency options. Review of FinancialStudies, 6, 2, 327-343.

[18] Howison, S., Rafailidis, A. & Rasmussen, H. (2004): On the pricing andhedging of volatility derivatives. Applied Mathematical Finance, 11, 4, 317-346.

[19] Hull, J. & White, A. (1987): The pricing of options on assets with stochasticvolatility. Journal of Finance, 42, 2, 281-300.

[20] Jiang, G.J. & Tian, Y.S. (2005): The model-free implied volatility ans itsinformation content. J. Financial Quantit. Anal. 22,143-151.

[21] Johnson, H. & Shanno, D. (1987): Option pricing when the variance ischanging. Review of Financial Studies, 18, 4, 1305-1342.

[22] Longtaff, F.A. & Schwartz, E.S. (2001): Valuing american options bysimulation: A simple Least-Squares approach. Review of Financial Studies, 14,1, 113-147.

[23] Luo, X. & Zhang, J.E. (2012): The tern structure of VIX. Journal of FuturesMarket, 32, 12, 1092-1123.

[24] Melino, A. & Turnbull, S. (1990): Pricing foreign currency options withstochastic volatility. Journal of Econometrics, 45, 1-2, 239-265.

[25] Moreno, M. & Navas, J.F. (2003): On the robustness of Least-Squares MonteCarlo (LSM) for pricing american derivatives. Review of Derivatives Research,6, 107-128.

[26] Moreno, M. & Pérez-Jiménez, J. (2018): Implied volatility indices: an em-pirical analysis based on stochastic volatility continuous-time models. Presen-tado en el Mathematical and Statistical Methods for Actuarial Sciences and Fi-nance (MAF 2018), Universidad Carlos III de Madrid, Madrid, 4-6, Abril, 2018.

[27] Rodrigues, A. & Rocha, M.J. (2006): The valuation of real options withthe Least-Squares Monte Carlo simulation method. Management Research Unit,University of Minho, Portugal.

[28] Scott, I (1992): Option pricing when the variance changes randomly: theory,estimation and an application. Journal of Financial and Quantitative Analysis,22, 4, 419-438.

37


[29] Stein, E.M. & Stein, J.C. (1991): Stock price distributions with stochasticvolatility: an analytical approach. Review of Financial Studies, 4, 4, 727-752.

[30] Swishchuk, A (2004): Modelling of variance and volatility swaps for financialmarkets with stochastic volatilities. Wilmott Mag. Issue 2, 64-72.

[31] Whaley, R.E. (1993): Derivatives on market volatility: hedging tools longoverdue. Journal of Derivatives, 1, 1, 71-84.

[32] Whaley, R.E. (2000): The inversor fear gauge. Journal of Portfolio Manage-ment, 26, 3, 12-17.

[33] White, H. (1984): Asymptotic theory for econometricians. Academic Press,New York.

[34] Wiggins, J. (1987): Option values under stochastic volatility: theory and em-pirical estimates. Journal of Financial Economics, 19, 2, 351-372.

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