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Outline
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Representacion geometrica en R3
Descomposicion canonica en R3
Operaciones por componentesOperaciones por componentesAngulo entre vectoresProyeccion ortogonalProducto escalarCosenos directoresProblema: Determinar componentes de ~v
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Representacion geometrica en R3
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Representacion geometrica en R3
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Representacion geometrica en R3
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Un punto en el espacio esta determinado por tres coordenadas
P (a, b, c)
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Representacion geometrica en R3
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Plano horizontal z = c
Πz = {(x, y, z) : z = c}
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Representacion geometrica en R3
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Representacion geometrica en R3
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Plano vertical x = a
Πx = {(x, y, z) : x = a}
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Representacion geometrica en R3
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Representacion geometrica en R3
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Plano vertical y = b
Πy = {(x, y, z) : y = b}
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Vectores en R3
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■ En R3 definimos segmento dirigido como lo hicimos en el plano, es unsegmento con un punto inicial y final
■ Cada segmento dirigido−−→AB en R3 esta caracterizado por su modulo
|−−→AB|, su direccion y sentido
■ Dos segmentos dirigidos en R3 son iguales si coinciden en modulo,direccion y sentido
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Vectores en R3
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Como en el plano, un vector en R3 es un segmento dirigido junto con lanocion de igualdad
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Vectores en R3
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Vectores en R3
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■ La suma y la multiplicacion por escalares para vectores en R3 se de-finen como en el caso de vectores en el plano y verifican las mismaspropiedades: suma conmutativa, asociativa, existe elemento neu-tro ~O, existen opuestos, homogeneidad del producto por escalares,propiedades distributivas
■ Vale la propiedad del paralelogramo: Las diagonales representan lasuma y la diferencia de los vectores de sus lados
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Descomposicion canonica en R3
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Base canonica
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Descomposicion canonica en R3
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Todo vector se puede descomponer como
~v = a~i+ b~j+ c~k, a, b, c ∈ R
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Operaciones por componentes
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■ Si~v = a~i+ b~j+ c~k, a, b, c ∈ R
decimos que a, b y c son las componentes de ~v, y escribimos
~v = (a, b, c)
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Operaciones por componentes
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■ Si~v = a~i+ b~j+ c~k, a, b, c ∈ R
decimos que a, b y c son las componentes de ~v, y escribimos
~v = (a, b, c)
■ Ejemplos
~O = (0, 0, 0) ~i = (1, 0, 0) ~j = (0, 1, 0) ~k = (0, 0, 1)
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Operaciones por componentes
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■ Si~v = a~i+ b~j+ c~k, a, b, c ∈ R
decimos que a, b y c son las componentes de ~v, y escribimos
~v = (a, b, c)
■ Ejemplos
~O = (0, 0, 0) ~i = (1, 0, 0) ~j = (0, 1, 0) ~k = (0, 0, 1)
■ Si ~u = (u1, u2, u3), ~v = (v1, v2, v3), α ∈ R, entonces
~u+ ~v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3)
α · ~v = (αu1, α u2, α u3)
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Operaciones por componentes
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Operaciones por componentes
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Si ~v = (a, b, c) entonces
|~v| =√a2 + b2 + c2
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Operaciones por componentes
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Los vectores no nulos ~u = (u1, u2, u3) y ~v = (v1, v2, v3) son paralelossi y solo si
u1
v1=
u2
v2=
u3
v3
(aca entendemos que si alguno de los denominadores es 0, el numeradortambien debe ser 0)
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Angulo entre vectores
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Angulo entre vectores
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Llamamos angulo entre los vectores (no nulos) ~u =−→AC y ~v =
−−→AB
al angulo convexo BAC
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Angulo entre vectores
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Angulo entre vectores
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Angulo entre vectores
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Si ~u y ~v son no nulos, entonces
■ (~u , ~v) = (~v , ~u)
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Angulo entre vectores
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Si ~u y ~v son no nulos, entonces
■ (~u , ~v) = (~v , ~u)■ Si α > 0 entonces (~u , ~α · v) =
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Angulo entre vectores
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Si ~u y ~v son no nulos, entonces
■ (~u , ~v) = (~v , ~u)■ Si α > 0 entonces (~u , ~α · v) =(~u , ~v)■
(~u , ~−v
)=
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Angulo entre vectores
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Si ~u y ~v son no nulos, entonces
■ (~u , ~v) = (~v , ~u)■ Si α > 0 entonces (~u , ~α · v) =(~u , ~v)■
(~u , ~−v
)=π − (~u , ~v)
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Angulo entre vectores
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Si ~u y ~v son no nulos, entonces
■ (~u , ~v) = (~v , ~u)■ Si α > 0 entonces (~u , ~α · v) =(~u , ~v)■
(~u , ~−v
)=π − (~u , ~v)
■ Si α < 0 entonces (~u , ~α · v) =
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Angulo entre vectores
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Si ~u y ~v son no nulos, entonces
■ (~u , ~v) = (~v , ~u)■ Si α > 0 entonces (~u , ~α · v) =(~u , ~v)■
(~u , ~−v
)=π − (~u , ~v)
■ Si α < 0 entonces (~u , ~α · v) =π − (~u , ~v)
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Angulo entre vectores
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Si ~u y ~v son no nulos, entonces
■ (~u , ~v) = (~v , ~u)■ Si α > 0 entonces (~u , ~α · v) =(~u , ~v)■
(~u , ~−v
)=π − (~u , ~v)
■ Si α < 0 entonces (~u , ~α · v) =π − (~u , ~v)■
(~−u , ~−v
)=
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Angulo entre vectores
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Si ~u y ~v son no nulos, entonces
■ (~u , ~v) = (~v , ~u)■ Si α > 0 entonces (~u , ~α · v) =(~u , ~v)■
(~u , ~−v
)=π − (~u , ~v)
■ Si α < 0 entonces (~u , ~α · v) =π − (~u , ~v)■
(~−u , ~−v
)=(~u , ~v)
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Angulo entre vectores
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Si ~u y ~v son no nulos, entonces
■ (~u , ~v) = (~v , ~u)■ Si α > 0 entonces (~u , ~α · v) =(~u , ~v)■
(~u , ~−v
)=π − (~u , ~v)
■ Si α < 0 entonces (~u , ~α · v) =π − (~u , ~v)■
(~−u , ~−v
)=(~u , ~v)
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Proyeccion ortogonal
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Proyeccion ortogonal
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Dados los vectores ~u =−−→OU y ~v =
−−→OV 6= ~O, la proyeccion ortogonal
de ~u sobre ~v es el vector−−→OP , con P siendo el punto de interseccion
entre la recta←→OV y una recta perpendicular a esta que pasa por U .
escribimosproy~v~u =
−−→OP
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Proyeccion ortogonal
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Dados los vectores ~u =−−→OU y ~v =
−−→OV 6= ~O, la proyeccion ortogonal
de ~u sobre ~v es el vector−−→OP , con P siendo el punto de interseccion
entre la recta←→OV y una recta perpendicular a esta que pasa por U .
escribimosproy~v~u =
−−→OP
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Proyeccion ortogonal
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Dados los vectores ~u =−−→OU y ~v =
−−→OV 6= ~O, la proyeccion ortogonal
de ~u sobre ~v es el vector−−→OP , con P siendo el punto de interseccion
entre la recta←→OV y una recta perpendicular a esta que pasa por U .
escribimosproy~v~u =
−−→OP
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Proyeccion ortogonal
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Proyeccion ortogonal
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El numerop = |u| cos (~u,~v)
es la proyeccion escalar de ~u sobre ~v. Usando p podemos escribir
proy ~v~u = p~v0
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Proyeccion ortogonal
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■ Si ~v 6= ~O, entonces proy ~v~u ‖ ~v para todo vector ~u
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Proyeccion ortogonal
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■ Si ~v 6= ~O, entonces proy ~v~u ‖ ~v para todo vector ~u■ ¿Para que vectores ~u, se tiene proy ~v~u = ~O?
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Proyeccion ortogonal
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■ Si ~v 6= ~O, entonces proy ~v~u ‖ ~v para todo vector ~u■ ¿Para que vectores ~u, se tiene proy ~v~u = ~O?■ ¿Como tienen que ser ~u y ~v para que proy ~v~u y ~v tengan el mismo
sentido?
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Proyeccion ortogonal
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■ Si ~v 6= ~O, entonces proy ~v~u ‖ ~v para todo vector ~u■ ¿Para que vectores ~u, se tiene proy ~v~u = ~O?■ ¿Como tienen que ser ~u y ~v para que proy ~v~u y ~v tengan el mismo
sentido?■ ¿Como tienen que ser ~u y ~v para que proy ~v~u y ~v tengan sentidos
opuestos?
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Producto escalar
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Definimos producto escalar de dos vectores ~u y ~v como
~u× ~v =
{0 si ~u = ~O o ~v = ~O
|~u| |~v| cos (~u , ~v) si ~u 6= ~O y ~v 6= ~O
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Producto escalar
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Definimos producto escalar de dos vectores ~u y ~v como
~u× ~v =
{0 si ~u = ~O o ~v = ~O
|~u| |~v| cos (~u , ~v) si ~u 6= ~O y ~v 6= ~O
■ ¿Cuando ~u× ~v > 0? ¿y cuando < 0?■ ¿Cuando es ~u× ~v = 0?
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Producto escalar
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Definimos producto escalar de dos vectores ~u y ~v como
~u× ~v =
{0 si ~u = ~O o ~v = ~O
|~u| |~v| cos (~u , ~v) si ~u 6= ~O y ~v 6= ~O
■ ¿Cuando ~u× ~v > 0? ¿y cuando < 0?■ ¿Cuando es ~u× ~v = 0?
Dos vectores ~u y ~v no nulos son perpendiculares si y solo si
~u× ~v = 0
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Producto escalar
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Definimos producto escalar de dos vectores ~u y ~v como
~u× ~v =
{0 si ~u = ~O o ~v = ~O
|~u| |~v| cos (~u , ~v) si ~u 6= ~O y ~v 6= ~O
■ ¿Cuando ~u× ~v > 0? ¿y cuando < 0?■ ¿Cuando es ~u× ~v = 0?
Dos vectores ~u y ~v no nulos son perpendiculares si y solo si
~u× ~v = 0
■ Dado ~u, ¿que es ~u× ~u? ¿Cuando es ~u× ~u = 0?
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Producto escalar
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Producto escalar
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Ademas
■ Si ~u y ~v no nulos, entonces ~u ⊥ ~v⇐⇒ ~u× ~v = 0■ Si ~v 6= ~O, entonces proy ~v~u = (~u× ~v0)~v0
■ La proyeccion escalar de ~u sobre ~v es p = ~u×~v|~v|
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Producto escalar
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Producto escalar por componentes
Si ~u = (u1, u2, u3) y ~v = (v1, v2, v3), entonces
~u× ~v = u1v1 + u2v2 + u3v3
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Producto escalar
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Producto escalar por componentes
Si ~u = (u1, u2, u3) y ~v = (v1, v2, v3), entonces
~u× ~v = u1v1 + u2v2 + u3v3
Como consecuencia, tambien es posible calcular el angulo entre dos vectorespor componentes, usando la formula
cos (~u , ~v) =~u× ~v
|~u| |~v|
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Cosenos directores
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Angulos directores de ~v = (v1, v2): α =(~v ,~i
), β =
(~v ,~j
)
Notemos que
~v0 =
(v1
|~v|,v2
|~v|
)= (cosα, cosβ)
Decimos que cosα y cosβ son los cosenos directores de ~v
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Cosenos directores
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Angulos directores de ~v = (v1, v2, v3)
α =(~v ,~i
), β =
(~v ,~j
), γ =
(~v , ~k
)
Notemos que
~v0 =
(v1
|~v|,v2
|~v|,v3
|~v|
)= (cosα, cosβ, cos γ)
Decimos que cosα, cosβ y cos γ son los cosenos directores de ~v
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Problema: Determinar
componentes de ~v
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Problema: Determinar
componentes de ~v
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Problema: Determinar
componentes de ~v
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Problema: Determinar
componentes de ~v
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Si ~v =−−→AB, y O es un punto del plano o del espacio, entonces
~v = ~s−~r
con ~r =−→OA y ~s =
−−→OB.