VIBRACIONES

FACULTAD DE ING. CIVIL, SISTEMAS Y ARQUITECTURAUNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERA CIVIL Responsables:5.1 ACEVEDO CIEZA JHAN CRISTHIAN ALEXIS5.2 GUZMN ACUA SHARON GERALDINE5.3 HERRERA ALEJANDRA YAIR ALBERTO 5.4 SANDOBAL FENCO CLAUDIO Grupo de exposicin horario:5 B

Profesora:

ING. IRMA RODRGUEZ LLONTOP

Curso:DINMICA

Lambayeque, 2 de junio del 2015

INTRODUCCIN

INTRODUCCINEn la Ingeniera Civil recae la viabilidad y con ella la estabilidad de una estructura, entonces para lograr un equilibrio estructural tenemos que conocer y entender la Dinmica de los cuerpos y quienes la producen para evitarlas y soportarlas a la vez, y as lograr una estructura estable y a la vez dinmicamente resistente. Por ello una de los ms importantes movimientos que el Ingeniero Civil debe conocer y entender es la de las VIBRACIONES ya que es de esta manera en que la superficie terrestre desencadena su movimiento. El anlisis de vibraciones es un tema muy amplio al cual se han dedicado estudios completos, esta introduccin expone de forma resumida algunos aspectos tericos de las vibraciones de los sistemas elsticos que ayudarn a comprender los mtodos de clculo de la accin de los sismos sobre las estructuras basados en sus efectos dinmicos.El estudio de las vibraciones se refiere a los movimientos de los cuerpos y a las fuerzas asociadas con ellos. Todos los cuerpos que poseen masa y elasticidad, son capaces de vibrar. Una vibracin mecnica es el movimiento de una partcula o cuerpo que oscila alrededor de una posicin de equilibrio. La mayora de las mquinas y estructuras experimentan vibraciones hasta cierto grado por lo que su diseo requiere la consideracin de este efecto dinmico debido a que ocasiona un aumento en los esfuerzos y tensiones.Los tipos de vibraciones que veremos son:

OBJETIVOSEn el presente trabajo de investigacin se hace detallar dos objetivos. Uno es el llamado objetivo principal donde se demostrar la ecuacin del movimiento de masa de una vibracin libre amortiguada; ocurriendo en estas tres casos: sobre amortiguado; crticamente amortiguado, y sub amortiguado; la cual dentro de estos vale recalcar que nos ocuparemos en demostrar la solucin sobre el movimiento vibratorio sub amortiguado siendo este nuestra segundo objetivo, que ha sido llamado objetivo especfico.

RESEA HISTRICA

ORIGEN DE LAS VIBRACIONESEs difcil establecer el origen de la ciencia de las vibraciones mecnicas, ni si quiera adjudicar a una sola persona el ttulo del padre de la ciencia de las vibraciones ya que a travs de la historia grandes cientficos realizaron importantes aportaciones que hicieron hoy en da del fenmeno de las vibraciones toda una ciencia.A continuacin se presenta un breve recorrido de algunos personajes de ciencia que hicieron aportaciones sobre el fenmeno de las vibraciones.

Remontndose en la historia, un personaje celebre de la antigua Grecia sorprenda con grandes e importantes aportaciones filosficas y matemticas

Pitgoras (570 497 a.C.) desarrollo la teora de los nmeros y la teora de la msica y de la armona en donde afirmaba la relacin entre estas dos ciencias.

Por otro lado un importante filsofo e investigador llamado Aristteles (374-355 a.C.). Trabajo con las leyes del movimiento, escribi el primer escrito relacionado con la acstica llamado On Acoustic, introdujo el principio del trabajo virtual

En el presente siglo uno de los personajes de ciencia ms inquietados por este fenmeno es conocido como Galileo Galilei (1564-1642). Galileo encontr la relacin existente entre la longitud de cuerda de un pndulo y su frecuencia de oscilacin, adems encontr la relacin entre la tensin, longitud y frecuencia de vibracin de las cuerdas

En la dcada de los 40 del siglo XVII existi uno de los grandes cientficos de la historia llamado Isaac Newton (1642-1727), matemtico y fsico britnico, considerado uno de los ms grandes cientficos de la historia, que hizo importantes aportaciones en muchos campos de la ciencia.

En 1687 Hooke afirmo que Newton le haba robado la idea central del libro: que los cuerpos se atraen recprocamente con una fuerza que vara inversamente al cuadrado de la distancia entre ellos. Sin embargo, la mayor parte de los historiadores no aceptan los RESEA HISTRICA

cargos de plagio de Hooke. Sin embargo, este cientfico es reconocido por sus investigaciones en el campo de la elasticidad. En 1678, el tambin llamado Leonardo Ingles.

Ya en una poca reciente Daniel Bernoulli (1700-1782), estudio la forma de vibrar de algunos cuerpos usando el principio de superposicin de armnicos. Daniel Bernoulli hizo una estrecha correspondencia con su amigo Euler en la que trataron temas de la mecnica de los medios flexibles y elsticos, en particular los problemas de pequeas oscilaciones de cuerdas y vigas.

Pero en el siglo XVIII el matemtico francs Joseph Fourier (1768-1830) vino a realizar una de las aportaciones ms importantes en el rea de las vibraciones, en 1807 envi un artculo a la Academia de Ciencias en Paris, en el presentaba una descripcin matemtica de problemas relacionados con la conduccin de calor.

VIBRACIONESMARCO TERICO

Una vibracin es el movimiento peridico de un cuerpo o sistema de cuerpos desplazados de una posicin de equilibrio. En general, existen dos tipos de vibracin libre y forzada. La vibracin libre ocurre cuando el movimiento se mantiene por fuerzas gravitacionales o elsticas, como el movimiento oscilatorio de un pndulo o la vibracin de una barra elstica. La vibracin forzada es provocada por una fuerza externa peridica o interminente aplicada al sistema. Ambos tipos de vibracin pueden ser amortiguadas o no amortiguadas. Las vibraciones no amortiguadas pueden continuar por tiempo indefinido porque los efectos de friccin se omiten en el anlisis. Como en realidad tanto las fuerzas de friccin internas como las externas estn presentes, el movimiento de todos los cuerpos vibratorios de hecho es amortiguado.

Se denomina vibracin a la propagacin de ondas elsticas produciendo deformaciones y tensiones sobre un medio continuo. Afecta a materiales slidos, lquidos y gaseosos.La vibracin es la causa de generacin de todo tipo de ondas. Toda fuerza que se aplique sobre un objeto genera perturbacin.

Concepto de una vibracin libreSi en un sistema intervienen las fuerzas inerciales, restauradoras y/o amortiguadoras, entonces se dice que este sistema posee una vibracin libre. Cuando un sistema vibra debido a una excitacin instantnea.sta a su vez se puede dividir en No amortiguada y amortiguada, dependiendo de la presencia o no de la fuerza amortiguadora.Una estructura esta en vibracin libre cuando es perturbada de su posicin esttica de equilibrio y comienza a vibrar sin la excitacin de una fuerza externa alguna. Estas vibraciones se presentan cuando despus de una perturbacin inicial, no existe fuerza externa de excitacin.

Concepto de una vibracion ForzadaSi en un sistema intervienen las fuerzas inerciales, restauradoras, y/o amortiguadoras y peridicas, entonces se dice que este sistema posee un vibracin forzada. Cuando un sistema vibra debida a una excitacin constante.sta a su vez se puede dividir en No amortiguada y amortiguada, dependiendo de la presencia o no de la fuerza amortiguadora.Las vibraciones forzadas como el mismo trmino menciona se refieren a que fuerzas externas son las responsables de las vibraciones que se producen en el sistema. Algunas caractersticas de este tipo de vibraciones son: Compensacin de prdida de energa de la oscilacin amortiguada Fuerzas externas

DIFERENCIA ENTRE OSCILACIN Y VIBRACINSe debe tener en claro la diferencia entre estos dos conceptos.En las oscilaciones hay conversin de energas cintica en potencial gravitatoria y viceversa, mientras que en las vibraciones hay intercambio entre energa cintica y energa potencial elstica. Debido a la pequeez relativa de las deformaciones locales respecto a los desplazamientos del cuerpo, las vibraciones generan movimientos de menor magnitud que las oscilaciones en torno a un punto de equilibrio.Adems las vibraciones al ser de movimientos peridicos (o cuasiperidicos) de mayor frecuencia que las oscilaciones suelen generar ondas sonoras lo cual constituye un proceso disipativo que consume energa. Tambin las vibraciones pueden ocasionar fatiga de materiales.

MARCO TERICO

CON UN SOLO GRADO DE LIBERTAD

CON MS DE UN GRADO DE LIBERTAD

MARCO TERICO

CONCEPTOS BSICOSElongacin:Es el desplazamiento desde la posicin de equilibrio de un sistema.

Amplitud:Es el desplazamiento mximo desde la posicin de equilibrio.

Periodo: Es el intervalo de tiempo necesario para realizar un ciclocompleto.Frecuencia: Es el nmero de ciclos por unidad de tiempo.

TIPOS DE FUERZAS QUE INTERVIENEN EN UN MOVIMIENTO VIBRATORIOMARCO TERICO

Fuerza Inercial (Fi): La fuerza de inercia -Fi- es la que acta sobre la masa cuando un cuerpo est sometido a una aceleracin y slo es detectable por lo que est ligado a ese sistema acelerado.Las Fi slo son observables en sistemas de referencia no inerciales (S.R.no I.), o sea acelerados, y para un observador situado en ellos parecen ser tan reales como las restantes fuerzas (originadas en interacciones: rozamiento neto, traccin, reaccin del suelo, peso, etc.). Un observador situado en un sistema en reposo no las detecta ni precisa de su existencia para aplicar la fsica de Newton a la explicacin del fenmeno.

Las fuerzas originadas en las interacciones surgen de dos en dos, pero la Fi aparece sola y tiene la misma direccin y sentido opuesto a la de la aceleracin a que est sometida la masa.Fuerza Restauradora (Fs): Bsicamente es una fuerza que se opone a que un cuerpo o partcula salga de su reposo y deja de tener accin sobre el cuerpo o partcula hasta que el cuerpo queda enreposo, el caso ms comn es el del resorte,

tu aplicas una fuerza de elongacin para que el resorte se estire, y el resorte aplica una fuerza contraria para regresar a su forma original, esta sera lafuerza restauradora.

Donde k es el coeficiente de deformacin del resorte

Fuerza Amortiguadora (Fd): Es la fuerza que ofrece resistencia al movimiento. La fuerza amortiguadora actuante sobre la masa, debido al rozamiento con el aire. El ms simple de ellos es el que obtenemos a partir de la ley de Stokes, el cual afirma que la fuerza amortiguadora resulta proporcional a la velocidad del cuerpo, pero en sentido opuesto ya que se opone a su movimiento. A mayor velocidad mayor resulta la fuerza amortiguadora (de signo opuesto).

Fuerza Peridica (Ft): Es la fuerza que ocasiona el movimiento del sistema. Un movimiento se dice peridico cuando a intervalos iguales de tiempo, todas las variables del movimiento (velocidad, aceleracin, etc.), toman el mismo valor.

VIBRACIONES LIBRESVIBRACION LIBRE NO AMORTIGUADAEl tipo ms simple de movimiento vibratorio es la vibracin libre no amortiguada representada por el modelo del bloque y resorte que se ilustra en la figura. El movimiento de vibracin ocurre cuando el bloque se suelta desde una posicin desplazada x de modo que el resorte tira del bloque. Este alcanzar una velocidad de modo que dejar su posicin de equilibrio cuando x=0, y siempre que la superficie de soporte est lisa, el bloque oscilar de un lado a otro.

La trayectoria del movimiento dependiente del tiempo del bloque puede determinarse con la ecuacin de movimiento al bloque cuando est en la posicin desplazada x. el diagrama de cuerpo libre se muestra en la figura b. la fuerza de restauracin elstica siempre est dirigida hacia la posicin de equilibrio, mientras que se supone que la aceleracin actue en la direccin del desplazamiento positivo. Como , tenemos ;Observe que la aceleracin es proporcional al desplazamiento del bloque. El movimiento descrito de esta manera se llama movimiento armnico simple. Al reordenar los trminos en una forma estndar obtenemos 1

La constante se llama frecuencia natural del sistema, y en este caso 2

La ecuacin 1 tambin puede obtenerse si consideramos que el bloque est colgado de modo que el desplazamiento y se mide a partir de la posicin de equilibrio del bloque, ver figura. Cuando el bloque est en equilibrio, el resorte ejerce una fuerza dirigida hacia arriba de , ver figura b. Al aplicar la ecuacin de movimiento obtenemos;O bien

La cual es de la misma forma que la ecuacin 1, con es definida por la ecuacin 2.

La ecuacin 1 es una ecuacin diferencial lineal de segundo grado homognea con coeficientes constantes. Se puede demostrar, por medio de los mtodos de ecuaciones diferenciales, que la solucin general es 3Aqu A y B representan dos constantes de integracin. La velocidad y aceleracin del bloque se determinan por el clculo de derivadas con respecto al tiempo sucesivas, de lo cual resulta 4 5Cuando las ecuaciones 3 y 5 se sustituyen en la ecuacin 1 la ecuacin deferencial se satisface, lo que demuestra que la ecuacin 3 s es la solucin de la ecuacin 1.Las constantes de integracin en la ecuacin 3 en general se determinan a partir de las condiciones iniciales del problema. Por ejemplo, suponga que el bloque de la primera figura a se ha desplazado una distancia a la derecha de su posicin de equilibrio y que eso le imprime una velocidad inicial (positiva) dirigida a la derecha. Al sustituir cuando , en la ecuacin 3 se obtiene . Y como cuando , utilizando la ecuacin 4 obtenemos . Si estos valores se sustituyen en la ecuacin 3, la ecuacin que se describe el movimiento se hace 6

La ecuacin 3 tambin puede expresarse en funcin de un movimiento senoidal simple. Para demostrar esto, sea 7y 8donde y son constantes nuevas que se determinarn en lugar de A y B. al sustituir en la ecuacin 3 obtenemos

Y como , entonces 9Si esta ecuacin se traza sobre un eje x versus , se obtiene la grfica que se muestra en la figura. El desplazamiento mximo del bloque a partir de su posicin de equilibrio se define como la amplitud de vibracin. De acuerdo con la figura o la ecuacin 9 la amplitud es C. El ngulo se llama ngulo de fase puesto que representa la cantidad en la que la curva est desplazada del origen cuanto . Podemos relacionar estas dos constantes con A y B por medio de las ecuaciones 7 y 8. Al elevar al cuadrado y sumar estas dos ecuaciones, la amplitud es 10Si la ecuacin 8 se divide entre la ecuacin 7, el ngulo de fase es por tanto 11Observe que la curva seno, ecuacin 9, completa un ciclo en el tiempo (tau) cuando , 12Este intervalo se llama periodo, figura. Con la ecuacin 2, el periodo tambin puede representarse como

13

Por ltimo la frecuencia f se define como el nmero de ciclos completados por unidad de tiempo, lo cual es el recproco del periodo; es decir, 14 O 15La frecuencia se expresa en ciclos/s. Esta relacin de unidades se llama Hertz (Hz), donde 1 Hz= 1ciclo/s=2 rad/s.Cuando un cuerpo o sistema de cuerpos conectados experimenta un desplazamiento inicial a partir de su posicin de equilibrio y se deja libre, vibrar con una frecuencia natural, . Siempre que el sistema tenga un grado de libertad, es decir, que se requiera slo de una coordenada para especificar por completo la posicin del sistema en cualquier momento, entonces el movimiento vibratorio tendr las mismas caractersticas que el movimiento armnico simple del bloque y resorte que se acaban de presentar. En consecuencia, una ecuacin 1 describe el movimiento, es decir, 16Por consiguiente, si se conoce la frecuencia natural . El periodo de vibracin , la frecuencia natural f y otras caractersticas de vibracin pueden establecerse con las ecuaciones 3 a 15.

PENDULOLa bola tiene una masa m y est atada a una cuerda de longitud l.Diagrama de cuerpo libre. El movimiento del sistema se relacionar con la coordenada de posicin. Cuando la bola se desplaza un pequeo ngulo , la fuerza de restauracin que acta en ella es creada por la componente tangencial de su peso, , adems, acta en la direccin de creciente (o ).Ecuacin de movimiento. Al aplicar la ecuacin de movimiento en la direccin tangencial, ya que implica la fuerza de restauracin, obtenemos;1Cinemtica. . Adems puede relacionarse con por medio de la ecuacin , de modo que . Por consiguiente, la ecuacin 1 se reduce a

La solucin de esta ecuacin implica el uso de una integral elptica. Para desplazamientos pequeos, sin embargo, , en cuyo caso

Al comparar esta ecuacin con la ecuacin , se ve que . Entonces el periodo requerido para que la bola realice una oscilacin completa es por consiguiente

Este interesante resultado, descubierto originalmente por Galileo Galilei mediante experimentos, indica que el periodo depende slo de la longitud de la cuerda y no de la masa de la bola del pndulo o del ngulo .

METODOS DE ENERGAEl movimiento armnico simple de un cuerpo, estudiado en la seccin anterior, se debe slo a fuerzas de restauracin gravitacional y elsticas que actan en el cuerpo. Como estas fuerzas son conservadoras, tambin es posible utilizar la ecuacin de conservacin de la energa para obtener la frecuencia natural de oscilacin o periodo de vibracin del cuerpo. Para demostrar cmo se hace esto, considere de nueva cuenta el modelo de bloque y resorte.

Cuando el bloque se desplaza una distancia de la posicin de equilibrio, la energa cintica es y la energa potencial es . Como la energa se conserva, es necesario que

1

La ecuacin diferencial que describe el movimiento acelerado del bloque se obtiene por diferenciacin de esta ecuacin con respecto al tiempo, es decir,

Como la velocidad no siempre es cero en un sistema sometido a vibracin,Si la ecuacin de conservacin de la energa se escribe para un sistema de cuerpos conectados, la frecuencia natural o la ecuacin de movimiento tambin se determina mediante diferenciacin con respecto al tiempo. No es necesario desmembrar el sistema para mostrar las fuerzas internas porque no realizan trabajo.

VIBRACION LIBRE AMORTIGUADAEl anlisis de vibracin considerado hasta ahora no ha incluido los efectos de friccin o amortiguacin en el sistema y, en consecuencia, las soluciones obtenidas no corresponden del todo al movimiento real. Como todas las vibraciones cesan con el tiempo, en el anlisis debern incluirse las fuerzas de amortiguacin.En muchos casos la amortiguacin se atribuye a la resistencia creada por la sustancia, agua, aceite o aire, en la cual vibre el sistema. Siempre que el cuerpo se mueva lentamente a travs de esta sustancia, la resistencia al movimiento es directamente proporcional a la rapidez del cuerpo. El tipo de fuerza desarrollada en estas condiciones se llama fuerza de amortiguacin viscosa. La magnitud de esta fuerza se expresa por medio de una ecuacin de la forma 17Donde la constante c se llama coeficiente de amortiguacin viscosa y sus unidades son N.s/m o lb.s/pie.El movimiento vibratorio de un cuerpo o sistema que tiene amortiguacin se puede caracterizar por el bloque y el resorte que se ilustran en la segunda figura a. el efecto de amortiguacin lo proporciona el amortiguador conectado al bloque del lado derecho. La amortiguacin ocurre cuando el pistn P se mueve a la derecha o izquierda dentro del cilindro cerrado. El cilindro contiene un fluido y el movimiento del pistn se retarda puesto que el lquido debe fluir alrededor de, o a travs de un pequeo orificio en el pistn. Se supone que el amortiguador tiene un coeficiente de amortiguacin viscosa c. si el bloque se desplaza una distancia x de su posicin de equilibrio, el diagrama de cuerpo libre resultante se muestra en la primera figura b. tanto la fuerza del resorte como la fuerza de amortiguacin se oponen al movimiento de avance del bloque, de modo que al aplicar la ecuacin de movimiento se obtiene ; 1 2Dividiendo la ecuacin entre tenemos 3Luego definimos , realizamos cambio de variable en 3

4La solucin de esta ecuacin diferencial homognea lineal de segundo grado tiene la forma

Donde es la base del logaritmo natural y (gamma) es una constante.El valor de se obtiene al sustituir esta solucin y sus derivadas con respecto al tiempo en la ecuacin 4, lo cual da

O Como nunca puede ser cero, una solucin es posible siempre que

Por consiguiente, segn la frmula cuadrtica, los dos valores de son 5

La solucin general de la ecuacin 4 es por consiguiente una combinacin de exponenciales que implica estas dos races. Existen tres posibles combinaciones de y , las cuales se deben considerar.Antes de analizar estas combinaciones, sin embargo, primero definiremos el coeficiente de amortiguacin crtica como el valor de que hace que el radical de las presentes ecuaciones 5 sea igual a cero, como ya sabemos que y podemos decir

O bien SISTEMA SOBREAMORTIGUADOCuando las races y son reales. Entonces la solucin general de la ecuacin 4 puede escribirse como O 6

El movimiento correspondiente a esta solucin es no vibratoria. El efecto de amortiguacin es tan fuerte que cuando el bloque se desplaza, y queda libre, simplemente regresa a su posicin original sin oscilar. Se dice que el sistema est sobreamortiguado.SISTEMA CRITICAMENTE AMORTIGUADOSi entonces . Esta situacin se conoce como amortiguacin crtica, puesto que representa una condicin en la que tiene el valor mnimo necesario para hacer que el sistema sea no vibratorio. Con los mtodos de ecuaciones diferenciales puede demostrarse que la solucin de la ecuacin 4 con amortiguacin crtica es

SISTEMA SUBAMORTIGUADOCon mucha frecuencia en cuyo caso el sistema se conoce como subamortiguado. En este caso las races y son nmeros complejos, y puede demostrarse que la solucin general de la ecuacin 4 puede escribirse como

6Donde C y son constantes, por lo general determinadas a partir de las condiciones iniciales del problema. La constante se llama frecuencia natural amortiguada del sistema. Su valor es 7 Donde se llama factor de amortiguacin.En la figura se muestra la grfica de la ecuacin 6. El lmite inicial del movimiento D, se reduce con cada ciclo de vibracin, puesto que el movimiento est confinado dentro de los lmites de la curva exponencial. Si utilizamos la frecuencia natural amortiguada , el periodo de vibracin amortiguacin puede escribirse como

Como ecuacin 7, el periodo de vibracin amortiguada, ser mayor que el vibracin libre,

VIBRACIONES FORZADASVIBRACION FORZADA NO AMORTIGUADASe considera que la vibracin forzada no amortiguada es uno de los tipos ms importantes del movimiento vibratorio en el campo de la ingeniera. Sus principios pueden utilizarse para describir el movimiento de muchos tipos de mquinas y estructuras.Fuerza peridica. El bloque y resorte que se muestran en la figura constituyen un modelo conveniente para representar las caractersticas vibratorias de un sistema sometido a una fuerza peridica . Esta fuerza tiene una amplitud de y una frecuencia forzada de . El diagrama de cuerpo libre del bloque desplazado una distancia se muestra en la figura b. Al aplicar la ecuacin de movimiento tenemos

; 1Esta ecuacin es una ecuacin diferencial de segundo grado no homognea. La solucin general consta de una solucin complementaria,, ms una solucin particular, .La solucin complementaria se determina al establecer el termino del lado derecho de la ecuacin 1 igual a cero y resolver la ecuacin homognea resultante. La ecuacin define la solucin, es decir,2Donde es la frecuencia natural, .Como el movimiento es peridico, la solucin particular de la ecuacin 1 puede determinarse si se supone una solucin de la forma 3Donde es una constante. Si calculamos la segunda derivada con respecto al tiempo y sustituimos en la ecuacin 1 obtenemos

Al factorizar y resolver para obtenemos4Sustituimos en la ecuacin 3, y obtenemos la solucin particular5La solucin general es, por consiguiente, la suma de dos funciones seno de frecuncias diferentes.6La solucin complementaria define la vibracin libre, la cual depende de la frecuncia natural y las constantes y. La solucin particular describe la vibracin forzada del bloque provocada por la fuerza aplicada . Como todos los sistemas vibratorios se someten a friccin, la vibracin libre,, se amortiguar al paso

del tiempo. Por eso la vibracin libre se conoce como transitoria y la vibracin forzada se conoce como de estado continuo, puesto que es la nica vibracin que permanece.Segn la ecuacin 4 , la amplitud de la vibracin forzada o de estado continuo depende de la relacin de frecuencia . Si el factor de amplificacin MF se define como la relacin de la amplitud de la vibracin de estado continuo,, a la deflexin esttica , producida por la amplitud de la fuerza peridica , entonces, segn la ecuacin 4MF=7Esta ecuacin se grafica en la figura Observe que si la fuerza o desplazamiento se aplica con una frecuencia natural de sistema, es decir, , la amplitud de vibracin del bloque llega a ser extremadamente grande. Esto ocurre porque la fuerza F se aplica al bloque de modo que siempre siga el movimiento de ste. Esta condicin se llama resonancia; en la prctica, las vibraciones resonantes pueden dar lugar a esfuerzos tremendos y a la rpida falla de las partes.

Desplazamiento peridico del soporteLas vibraciones forzadas tambin pueden ser originadas por la excitacin peridica del soporte de un sistema. El modelo de la figura a representa la vibracin peridica de un bloque provocada por movimiento armnico del soporte. El diagrama de cuerpo libre del bloque en este caso se muestra en la figura b. El desplazamiento del soporte se mide con respecto al punto de desplazamiento cero, es decir, cuando la lnea radial OA coincide con OB. Por consiguiente, la deformacin general del resorte es . Aplicamos la ecuacin de movimiento y obtenemos;O bien Por comparacin, esta ecuacin es idntica a la ecuacin 1, siempre que sea reemplazada por . Si esta sustitucin se hace en las soluciones definidas por las ecuaciones 4 a 6, los resultados son apropiados para describir el movimiento del bloque cuando se somete al desplazamiento del soporte

VIBRACION FORZADA AMORTIGUADAEl caso ms general de movimiento vibratorio de un solo grado de libertad ocurre cuando el sistema incluye los efectos de movimiento forzado y amortiguacin inducida. El anlisis de este tipo particular de vibracin es de valor prctico cuando se aplica a sistemas con caractersticas de amortiguacin significativas.Si se conecta un amortiguador al bloque y el resorte que se muestran en la figura.

La ecuacin diferencial que describe el movimiento es1La solucin de esta E.D.H. es:

Ahora reemplazamos el valor de x, obtenemos:

Donde: = ngulos de fase

Para un bloque y resorte que experimenten desplazamiento peridico de sus soportes puede escribirse una ecuacin similar, figura.

La cual incluya los efectos de amortiguacin. En este caso, sin embargo, a Fo la reemplaza K . Como la ecuacin 1 es no homognea, la solucin general es la suma de una solucin complementaria y una solucin particular . La solucin complementaria,, se determina al igualar a cero el lado derecho de la ecuacin 1 y resolver la ecuacin homognea, la cual es equivalente a la ecuacin .

Las ecuaciones , o , por consiguiente, dan la solucin, segn los valores de y . Como todos los sistemas se someten a friccin, en ese caso esta solucin se amortiguar con el tiempo. Solo permanecer la solucin particular que describe la vibracin de estado continuo del sistema. Como la funcin forzadora es armnica, el movimiento de estado continuo tambin ser armnico. Por consiguiente, la solucin particular ser de la forma

Las constantes X y se determinan al calcular la primera y segunda derivadas con respecto al tiempo y sustituirlas en la ecuacin 1, la cual despus de simplificarla resulta

sen()+cos(- )+)=Fo sen

Como esta ecuacin es vlida todo el tiempo, los coeficientes constantes se obtienen con t- =0 y t-= lo que hace la ecuacin anterior se escriba como= Fo Sen -Xm+ XK= Fo cos La amplitud se obtiene al elevar al cuadrado estas ecuaciones, sumar los resultados y utilizar la identidad , lo cual da o

Si dividimos la primera ecuacin entre la segunda obtenemos=Como y entonces las ecuaciones anteriores tambin pueden escribirse como

=El ngulo representa la diferencia de fase entre la fuerza aplicada y la vibracin de estado continuo resultante del sistema amortiguado.El factor de amplificacin MF se defini como la relacin de la amplitud de deflexin provocada por la vibracin forzada a la deflexin provocada por la fuerza esttica Fo. Por tanto,MF==

El MF se traza en la figura 22-17 versus la relacin de frecuencia para varios valores del factor de amortiguacin C/Cc. En esta grfica se ve que la amplificacin de la amplitud se incrementa a medida que se reduce el factor de amortiguacin. Obviamente, ocurre resonancia cuando el factor de amortiguacin es cero y la relacin de frecuencia es igual a 1.

FENMENO DE RESONANCIA Es el fenmeno que sufre un cuerpo capaz de vibrar, cuando su frecuencia interna coincide con la frecuencia de la fuerza externa. Este concepto de resonancia hace alusin a volver a sonar es decir amplificar el movimiento. Cuando frecuencias son iguales se da una amplitud la cual podra destruir al cuerpo.HUNDIMIENTO DEL PUENTE DE TACOMA NARROWSEl puente original de Tacoma Narrows se extenda 1.810 m para salvar un pequeo canal cerca de Tacoma, en el estado de Washington (Estados Unidos). El puente fue abierto al trfico el 1 de julio de 1940. Cuatro meses despus se vino abajo durante un temporal de viento con rachas que alcanzaron los 68 km/h. La catstrofe fue atribuida a la resonancia, un fenmeno fsico en el que una fuerza relativamente pequea aplicada repetidamente aumenta la amplitud de un sistema oscilante. Esta fuerza repetitiva hizo que el puente se elevara y balanceara, hasta que finalmente se rompi y se precipit.

EJERCICIOS DE APLICACIN1. Una charola A est unida a tres resortes como se muestra en la figura. El perodo de vibracin de la charola vaca es de 0,75 s. Despus de que el resorte central C se ha suprimido se observa que el perodo es de 0,9 s. Si se sabe que la constante del resorte central es 100 N/m. Determine la masa m de la charla.

Solucin En la figura (a) se muestra el DCL de la charola en posicin de equilibrio y en (b) el DCL de la charola A para una posicin fuera del equilibrio.

(B)(A)

Aplicando las ecuaciones de equilibrio a (A), se tiene

(1)

Aplicando las ecuaciones de movimiento a (b) resulta (2)

Remplazando la ecuacin (1) en la ecuacin (2), obtenemos (3)

La ecuacin (c) es la ecuacin diferencial de un M.A.S con frecuencia circular

(4)

El perodo de vibracin ser (5)

Remplazando el valor de kC se tiene (7)

Cuando no existe el resorte C, el perodo es (8)

Dividiendo las ecuaciones (5) y (6) resulta

Remplazando esta ltima expresin en la ecuacin RESPUESTA

2. Una barra de 0,8 m de longitud y 60 N de peso se mantiene en posicin vertical mediante dos muelles idnticos cada uno de los cuales tiene una constante k igual a 50 000 N/m. Qu fuerza vertical P har que la frecuencia natural de la barra alrededor de A se aproxime a un valor nulo para pequeas oscilaciones. -{{

SOLUCION

En la figura (a) se muestra el DCL de la barra en posicin de equilibrio y en (b) el DCL de la barra para una posicin () fuera del equilibrio.

Aplicando la segunda condicin de equilibrio se tiene

Aplicando la segunda ley de newton para el movimiento de rotacin de la varilla

Para ngulos pequeos cos=1 y sen0, entonces la ecuacin (2) se escribe

Remplazando la ecuacin (1) en (2), resulta

Teniendo en cuenta que resulta

Remplazando valores se tiene

La frecuencia circular ser

Para que la frecuencia sea cero se tiene

3. Un bloque de 50 Kg de peso esta sometido por medio de unos resortess segn las disposiones que muestran la figura. La constante K1 es igual a 300 Kg/m y la constante K2 es igual 500 Kg/m. si se mueve el bloque. Determinar a)La ecuacion de movimiento del sisitema.b)El periodo y la frecuencia del movimiento resultante.

a) En la figura observamos que los resortes de 300 Kg/m estn en paralelo r lo cual la constante equivale de dichos resortes ser:

De la figura observamos que si le damos un desplazamiento x al bloque, las fuerzas recuperadoras de los resortes son las que se demuestran en dicha figura y aplicando la ecuacin tenemos

O sea

Dnde:

Luego:

Es la ecuacin de movimiento del sistema

b) de la ecuacin anterior tenemos:

Por lo tanto el periodo es:

La frecuencia ser:

4. Determinar la ecuacin diferencial de movimiento para el sistema vibratorio amortiguado que se muestra. Qu tipo de movimiento ocurre? ConsidereK = 100 N/m, C = 200 N.seg/m m = 25 kg.

Solucin : coef. De amortiguamiento viscoso. K = 100 N/m.

Diagrama del sistema.

Aplicando ecuacin del movimiento de manera que el peso del cuerpo se equilibra con la deflexin esttica del resorte

Reemplazando los datos en (1)

Deduciremos que:

Tambin tenemos que

5. En el sistema que se muestra la masa (m) esta inicialmente en reposo con el resorte sin estirar en t=0 se aplica una fuerza 60sen (10t) si la masa m = 20kg y K=15N/m y c=12Nseg/m determine la ecuacin del movimiento en funcin del tiempo

Solucin:

; ; Remplazando ls valores del. Enunciado obtenemos La siguiente expresin.X=Xsen (t-)x=0.03sen(10t+3.4)

6. En el siguiente sistema considerado q posee una vibracin libre crticamente amortiguada, determinar :a) El valor de la frecuencia natural del sistema y el valor de la constante c de amortiguamiento del oscilador mostradob) La ecuacion de posicion en funcion del tiempoX(t). considerar para t =o,X =0.35 y v =1m/seg

Realizaremos el D.C.L para el sistema

Pero

Para nuestro caso en particular de amortiguamiento crtico, tenemos n=p y remplazando los valores de la Ec. Diferencial homognea:

Luego

a)

Como el sistema posee amortiguamientos crtico, su solucin general es:

X(t)=

Para t=0 y X=0.35m

0.35=

Para t=0 y v=1m/seg

Finalmente la ecuacin de posicin es:

X(t)=

22 ING.IRMA RODRGUEZ LLONTOP. C

C

K

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