DERIVACIN

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0-DERIVACINEL PROBLEMA DE LA RECTA TANGENTE. El Clculo se desarroll a la sombra de 4 problemas sobre los que estaban trabajando los matemticos europeos en el siglo XVII.1-El problema de la recta tangente2-El problema de la velocidad y la aceleracin3-El problema de los mximos y mnimos4-El problema del reaCada uno de ellos involucra la nocin de lmite y podra servir como introduccin al Clculo.Veamos una breve introduccin al problema de la recta tangente.Aunque se haban dado soluciones parciales por parte de Pierre de Fermat (1601-1665), Ren Descartes (1596-1650), Christian Huygens (1629-1695) e Isaac Barrow (1630-1727), la 1 solucin general se suele atribuir a Isaac Newton (1646-1727) y Gottfried Leibniz (1646-1716).El trabajo de Isaac Newton en este problema provena de su inters por la refraccin de la luz en ptica.Qu significa decir que una recta es tangente a una curva en un punto?Para un crculo, la recta tangente en un punto P, es la recta perpendicular al radio que pasa por P, como indica la figura 2.1.Para una curva general, sin embargo, el problema es ms difcil. Por ejemplo, cmo podramos definir las rectas tangentes de la figura 2.2? Podramos afirmar que una recta es tangente a una curva en un punto P si toca a la curva en P sin atravesarla.Tal definicin ser correcta para la 1 curva de la figura 2.2, pero no para la 2. Tambin podramos decir que una recta es tangente a una curva en P si la toca o la intersecta slo en el punto P.Pero tampoco es vlida, en general, como sugiere la 3 curva de la figura 2.2.

Recta tangente a un crculo

Recta tangente a una curva en un puntoLA DERIVADA Y EL PROBLEMA DE LA RECTA TANGENTE Figura 2.3La recta secante que pasa por (c, f(c)) y (c+x,f(c+x)

Cuando Q se acerca a P, las rectas secantes se van aproximando a la recta tangente.m=(y2-y1)/(x2-x1)msec=[f(c+x)-f(c)]/[(x+x)-c]:Cambio en y/Cambio en x=[f(x+x)-f(c)]/x:Pendiente de la recta secanteEl miembro de la derecha, en esta ecuacin, es un cociente incremental.El denominador x es el cambio (incremento en x) y el numerador y=f(c+x)-f(c), es el cambio (incremento) en y.La belleza de este procedimiento estriba en que se pueden obtener aproximaciones ms y ms precisas de la pendiente de la recta tangente tomando puntos de la grfica, cada vez ms prximos, al punto P de tangencia, como muestra la figura 2.4.DEFINICIN DE LA RECTA TANGENTE COMO PENDIENTESi f est definida en 1 intervalo abierto que contiene a c, y, adems,existe el lmite limx0[f(c+x)-f(c)]/x=m, entonces, la recta que pa- sa por (c,f(c)), de pendiente m, se llama recta tangente a la grficade f en el punto (c,f(c))

LA DERIVADA

APROXIMACIONES A LA RECTA TANGENTE. La pendiente de la recta tangente a la grfica de f, en el punto (c,f(c)), se llama tambin pendiente de la grfica de f en x=c.EJEMPLO 1. La pendiente de la grfica de una funcin lineal. Halle la pendiente de la grfica de f(x)=2x-3, en el punto (2,1).Para hallar la pendiente de la grfica de f cuando c=2, podemos aplicar la definicin de la pendiente de una recta tangente como sigue:

limx0[f(2+x)-f(2)]/x=limx0{[2(2+x)-3]-[2(2)-3]}/x=limx0[4+2x-3-4+3]/x=limx02x/x=limx0 2=2La pendiente de f en (2,1) es m=2, como muestra la figura 2.5La grfica de una funcin lineal tiene la misma pendiente en todos sus puntos. Esto no es cierto para funciones no lineales, como se ve en el prximo ejemplo.EJEMPLO 2. Rectas tangentes a la grfica de una funcin no lineal. Calcular las pendientes de las rectas tangentes a la grfica de f(x)=x2+1, en los puntos (0,1) y (-1,2), que se ilustran en la figura 2.6.

La pendiente de f en un punto cualquiera (x,f(x)) es m=2x.En el ejemplo 2, ntese que x se mantiene constante en el proceso de lmite (cuando x0).Por tanto, la pendiente en cualquier punto (x,f(x)) de la grfica de f es m=2x.En el punto (0,1), la pendiente es m=2(0)=0, y en (-1,2), es m=2(-1)= -2. La definicin de recta tangente a una curva no cubre la posibilidad de una recta tangente vertical. Para stas, podemos usar la siguiente definicin.Si f es continua en c y limx0[f(c+x)-f(c)]/x=, o bien, limx0[f(c+x)-f(c)]/x=-

La grfica de f tiene recta tangente vertical en (c,f(c)). La recta vertical, x=c, que pasa por (c,f(c)), es una recta tangente vertical a la grfica de f. As, la funcin de la figura 2.7, tiene tangente vertical en (c,f(c))Si el dominio de f es el intervalo cerrado [a,b], se puede extender la definicin de recta tangente vertical de forma que incluya a los puntos terminales, considerando la continuidad y los lmites por la derecha en x=a y, por la izquierda, en x=bLA DERIVADA DE UNA FUNCIN. Hemos llegado a un punto crucial en el estudio del Clculo. El lmite utilizado en la definicin de la pendiente de una recta tangente se usa tambin para definir una de las 2 operaciones fundamentales del Clculo:la derivacin.DEFINICIN DE LA DERIVADA DE UNA FUNCINLa derivada de f en x viene dada por f(x)=limx0[f(x+x)-f(x)]/x, supuesto que exista ese lmite

El proceso de hallar la derivada de una funcin se llama derivacin o diferenciacin.Una funcin es derivable (diferenciable) en x si su derivada en x existe, y derivable en un intervalo abierto (a,b), si es derivable en todos y cada uno de los puntos de ese intervalo.Adems de f(x), que se lee:f prima de x, se usan otras notaciones para la derivada de y=f(x). Las ms comunes son:f(x);dy/dx;y;d/dx[f(x)];Dx[y].La notacin dy/dx se lee derivada de y con respecto a x.Usando notaciones de lmites, podemos escribir dy/dx= limx0[f(x+x)-f(x)]/x=f(x).EJEMPLO 3. Clculo de la derivada por el proceso de lmite. Halle la derivada de f(x)=x3+2x.f(x)=limx0[f(x+x)-f(x)]/x=limx0[(x+x)3+2(x+x)-(x3+2x)]/x=limx0[(x3+3x2x+3x(x)2+(x)3+2(x+x)+2x+2x-x3-2x)]/x=limx0[3x2x+3x(x)2+(x)3+2x)]/x=limx0x[3x2+3xx+(x)2+2)]/x=limx0[3x2+3xx+(x)2+2)]=3x2+2.ADVERTENCIA. Ntese que, en los ejemplos 1,2 y 3, la condicin clave para hallar la derivada de una funcin es reexpresar el cociente incremental, de manera que x no aparezca como factor del denominador. Recordemos que la derivada de una funcin f es ella misma una funcin, que puede ser utilizada para hallar la pendiente de la recta tangente en el punto (x,f(x)) de la grfica de f.USO DE LA DERIVADA PARA CALCULAR LA PENDIENTE EN UN PUNTOEJEMPLO 4. Halle f(x) para f(x)=x. Calcule, a continuacin, la pendiente de la grfica de f en los puntos (1,1) y (4,2). Discutir el comportamiento de f en (0,0).Racionalizando el numerador, como se explic anteriormente.f(x)=limx0[f(x+x)-f(x)]/x=limx0[(x+x)-x]/x=limx0[(x+x)-x)/x][(x+x)+x)]/[(x+x)+x)]=limx0[(x+x)-x]/x[((x+x)+x]=limx0[x]/{x[((x+x)+x]]}=limx01/[((x+x)+x]=1/(2x)

La pendiente de f en (x,f(x)), x>0, es m=1/(2x)En el punto (1,1), la pendiente es f(1)=1/2. En el punto (2,4), la pendiente es f(2)=1/4 (vase la figura 2.8). En el punto (0,0), la pendiente no est definida.Adems, al ser infinito el lmite de f(x) cuando x0, por la derecha, la grfica de f tiene tangente vertical en (0,0).En muchas aplicaciones, conviene usar una variable independiente distinta de x, como ocurre en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 5. Halle la derivada respecto de t de la funcin y=2/t.Considerando y=f(t), obtenemos:dy/dt=limt0[f(t+t)-f(t)]/t Definicin de derivada=limt0[2/(t+t)-2/t]/t f(t+t)=2/(t+t); f(t)=2/t=limt0[2t-2(t+t)/t(t+t)]/tCombinar las fracciones del numerador=limt0 -2t)/[t(t+t)]Cancelar el factor comn t=limt0 -2/[t(t+t)]Simplificar=-2/t2Evaluar el lmite para t0

NOTA. Todas las reglas de derivacin (diferenciacin) se obtienen a partir de la definicin de derivada, como un lmite, y el uso de lgebra.DERIVABILIDAD Y CONTINUIDAD. La siguiente formulacin alternativa como lmite de la derivada es til al investigar la relacin entre derivabilidad y continuidad.La derivada de f en c es:f(c)=limxc [f(x)-f(c)]/(x-c) Frmula alternativa para la derivadasupuesto que ese lmite existe (vase figura 2.10). Obsrvese que la existencia del lmite en esta formulacin alternativa requiere que los lmites unilaterales limxc-[f(x)-f(c)]/(x-c) y limxc+[f(x)-f(c)]/(x-c), existan y sean iguales.Estos lmites se llaman derivadas por la izquierda y por la derecha, respectivamente. Decimos que f es derivable en un intervalo cerrado [a,b], si es derivable en (a,b) y existen, adems, la derivada por la derecha en a y la derivada por la izquierda en b.

Cuando x tiende hacia c, la recta secante se aproxima a la recta tangente.Si una funcin no es continua en x=c, no puede ser derivable en x=c. Por ejemplo, la funcin parte entera f(x)=[x], no es continua en x=0 y, en consecuencia, no es derivable en x=0 (vase figura 2.11). Podemos comprobarlo sin ms que observar que:limx0-[f(x)-f(0)]/(x-0)=limx0- ([x]-0))/x= Derivada por la izquierdalimx0+[f(x)-f(0)]/(x-0)=limx0+([x]-0)/x=0 Derivada por la derechaAunque es cierto que derivable implica continua (como demostraremos en el teorema 2.1), el recproco no es cierto. Esto es, puede ocurrir que una funcin sea continua en x=c, y no sea derivable en x=c. Los ejemplos 6 y 7 ilustran tal posibilidad.

La funcin parte entera no es derivable en x=0, ya que no es continua en x=0.EJEMPLO 6. Una grfica con un punto anguloso. La funcin f(x)= x-2, que se muestra en la figura 2.12, es continua en x=2. Sin embargo, los lmites unilateraleslimx2-[f(x)-f(2)]/(x-2)=limx2-[x-2-0]/(x-2)=-1 Derivada por izquierda limx2+[f(x)-f(2)]/(x-2)=limx2+[x-2-0]/(x-2)=1 Derivada por derechano son iguales. Por consiguiente, f no es derivable en x=2, y la grfica de f no tiene recta tangente en el punto (2,0).

f no es derivable en x=2, porque las derivadas laterales no son iguales.EJEMPLO 7. Una grfica con tangente vertical. La funcin f(x)=x1/3 es continua en x=0, como se ve en la figura 2.13Sin embargo, como el lmite limx0[f(x)-f(0)]/(x-0)=limx0[x1/3-0]/x= limx01/x2/3=, es infinito, podemos concluir que la recta tangente en x=0 es vertical. Por tanto, f no es derivable en x=0

f no es derivable en x=0, porque tiene tangente vertical.De los ejemplos 6 y 7, vemos que una funcin no es derivable en un punto donde su grfica presente un punto anguloso o una tangente vertical.TEOREMA 2.1-DERIVABLE IMPLICA CONTINUASi f es derivable en x=c, entonces f es continua en x=c

Para probar que f es continua en x=c, bastar ver que f(x) tiende a f(c), cuando xc. A tal fin, usaremos la derivabilidad de f en x=c, considerando el siguiente lmite.limxc[f(x)-f(c)]=limxc (x-c){[f(x)-f(c)]/(x-c)}=limxc(x-c){[f(x)-f(c)]/(x-c)}=(0)f(c)=0Puesto que la diferencia f(x)-f(x) tiende a 0, cuando xc, concluimos que:limxc f(x)=f(c). As, pues, f es continua en x=cLa relacin entre derivabilidad y continuidad puede resumirse como sigue:1) Si una funcin es derivable en x=c, entonces es continua en x=c. Es decir, derivable implica continua.2) Es posible que una funcin sea continua en x=c sin ser derivable.ADVERTENCIA. En otras palabras, continua no implica derivable.REGLAS BSICAS DE DERIVACIN Y RITMOS DE CAMBIOLa regla de la constante. La regla de las potencias. La regla del mltiplo constante. Las reglas de suma y diferencia. Derivadas de las funciones Seno y Coseno. Ritmos de cambio.LA REGLA DE LA CONSTANTE. Anteriormente hemos usado la definicin mediante lmites para hallar derivadas. En sta y en las dos prximas secciones presentamos varias reglas de derivacin que permiten calcular derivadas sin el uso directo de la definicin por lmites.TEOREMA 2.2-REGLA DE LA CONSTANTELa derivada de una funcin constante es 0. Es decir, si c es un nmero real, entonces d/dx[c]=0

Si f(x)=c, de la definicin de la derivada deducimos que d/dx[c]=f(x)=limx0 [f(x+x)-f(x)]/x=limx0 [c-c]/x=0

EJEMPLO 1. Aplicacin de la regla de la constante.FuncinDerivada a)y=7dy/dx=0b)f(x)=0f(x)=0c)s(t)=-3s(t)=0d)y=k2, k=cte.y=0Observamos, en la figura 2.14, que la regla de la constante equivale a decir que la pendiente de una recta horizontal es 0. Esto ilustra la relacin entre la derivada y la pendiente.Utilizar la definicin de derivada para hallar la derivada de lassiguientes funciones. Adivina alguna regla general?Observando sus resultados, formule una conjetura acerca de laderivada de f(x)=xna)f(x)=x1 b)f(x)=x2 c)f(x)=x3d)f(x)=x4 e)f(x)=x1/2 f)f(x)=x-1

LA REGLA DE LAS POTENCIAS. Antes de demostrar la prxima regla, vamos a revisar el proceso de desarrollo de un binomio.(x+x)2=x2+2xx+(x)2(x+x)3=x3+3x2x+3x(x)2+(x)3El desarrollo para un entero positivo n arbitrario es:(x+x)n=xn+nxn-1(x)+[n(n-1)xn-2/2](x)2+..+(x)n (x)2 es factor comn en estos trminosEl desarrollo del binomio se va a utilizar para demostrar un caso especial de la regla de las potencias.TEOREMA 2.3-REGLA DE LAS POTENCIASSi n es nmero racional, la funcin f(x)=xn es derivable y d/dx[xn]=nxn-1. Para que f sea derivable en x=0, n ha de ser un nmero tal que xn-1 est definido en un intervalo que contenga a 0.

Si n es un entero >1, del desarrollo del binomio resulta:d/dx[xn]=limx0[(x+x)n-xn]/x=limx0[(xn+nxn-1x+(n(n-1)/2)xn-2(x)2++(x)n-xn]/x=limx0[nxn-1+(n(n-1)/2)xn-2(x)++(x)n-1]=nxn-1+0++0=nxn-1Esto demuestra el teorema para n>1. Dejamos al lector la demostracin del caso 1:n=1.(Ms adelante se extender la regla de las potencias a cualquier valor real de n).En la regla de las potencias, conviene separar el caso n=1, como otra regla distinta de derivacin, a saber, d/dx(x)=1.REGLA DE LAS POTENCIAS (n=1). Esta regla es consistente con el hecho de que la pendiente de la recta y=x es 1. (figura 2.15)

La pendiente de la recta y=x es 1.EJEMPLO 2. Aplicacin de la regla de las potencias.FuncinDerivadaa) f(x)=x3f(x)=3x2b) g(x)=xg(x)=d/dx(x1/3)=(1/3)x -2/3=1/(3x2/3)c) y=1/x2dy/dx=d/dx(x-2)=-2x-3=-2/x3En el ejemplo 2-c, antes de derivar hemos reescrito 1/x2 como x-2.Pues bien, en muchos problemas de derivacin, el primer paso es reescribir la funcin dada.DadaReescribirDerivarSimplificary=1/x2 y=x-2dy/dx=-2x-3 dy/dx=-2/x3EJEMPLO 3. Pendiente de una grfica. Calcular la pendiente de la grfica de f(x)=x4 cuando:a)x=-1b)x=0c)x=1La derivada de f es f(x)=4x3.a) Para x=-1, la pendiente es f(-1)=4(-1)3=-4b) Para x=0, la pendiente es f(0)=4(0)3=0c) Para x=1, la pendiente es f(1)=4(1)3=4Hagamos notar que, en la figura 2.16, la pendiente es negativa en el punto (-1,1), cero en el punto (0,0) y positiva en el punto (1,1)

La pendiente de una grfica en un punto es el valor de la derivada en ese punto.EJEMPLO 4. Ecuacin de una recta tangente. Hallar una ecuacin de la recta tangente a la grfica de f(x)=x2 en x=-2.Para hallar el punto sobre la grfica de f, evaluamos la funcin en x=-2:(-2,f(-2))=(-2,4):Punto de la grfica.Para calcular la pendiente de la grfica en x=-2, evaluamos la derivada, f(x)=2x, en x=-2:m=f(-2)=-4:Pendiente de la grfica en (-2,4).

La recta y=-4x-4, es tangente a la grfica de f(x)=x2 en el punto (-2,4). Ahora, usando la forma punto-pendiente de la ecuacin de una recta, podemos escribir: y-y1=m(x-x1)Forma punto-pendientey-4=-4(x-2)Sustituir y1, m y x1y=-4x-4Simplificar (Vase figura 2.17) LA REGLA DEL MLTIPLO CONSTANTETEOREMA 2.4-REGLA DEL MLTIPLO CONSTANTE Si f es derivable y c un nmero real, entonces cf es tambin derivable y d/dx[cf(x)]=cf(x)

d/dx(cf(c))=limx0[cf(x+x)-cf(x)]/x=limx0c[f(x+x)-f(x)]/x=c{limx0[f(x+x)-f(x)]/x}=cf(x)Esta regla viene a afirmar que las constantes se pueden sacar de la derivada, incluso cuando aparecen en el denominador.d/dx[cf(x)]=cd/dx[f(x)]=cf(x)d/dx[f(x)/c]=d/dx[(1/c)f(x)]=(1/c)f(x)EJEMPLO 5. Usando la regla del mltiplo constante.FuncinDerivadaa) y=2/xdy/dx=d/dx[2x-1]=2d/dx(x-1)=2(-1)x-2=-2/x2b) f(t)=4t2/5f(t)=d/dt[(4/5)t2]=(4/5)d/dt(t2)=(4/5)(2t)=(8/5)tc) y=2xdy/dx=d/dx[2x1/2]=2(1/2)x-1/2=x-1/2=1/xd) y=1/[2x2)dy/dx=d/dx[(1/2)x-2/3]=(1/2)(-2/3)x-5/3=-1/[3x5/3]e) y=-3x/2y=d/dx[(-3/2)x=(-3/2)(1)=-3/2La regla del mltiplo constante y la de las potencias se pueden combinar en una sola como Dx[cxn]=cnxn-1.EJEMPLO 6. Uso de parntesis al derivar.Funcin original ReescribirDerivar Simplificar a) y=5/(2x3) y=(5/2)x-3 y=(5/2)(-3x-4) y=-15/(2x4)b) y=5/(2x)3 y=(5/8)x-3y=(5/8)(-3x-4) y=-15/(8x4c) y=7/(3x-2) y=(7/3)x2 y=(7/3)(2x y=14x/3d) y=7/(3x)-2 y=63x2 y=63(2x) y=126xLAS REGLAS DE SUMA Y DIFERENCIA TEOREMA 2.5-REGLAS DE SUMA Y DIFERENCIALa derivada de la suma (o de la diferencia) de 2 funciones derivables es la suma (o diferencia) de sus derivadas.d/dx[f(x)+g(x)]=f(x)+g(x):Regla de la sumad/dx[f(x)-g(x)]=f(x)-g(x):Regla de la diferencia

Una demostracin de la regla de la suma se sigue del teorema 1.2 (de la diferencia se demuestra de manera anloga).d/dx[f(x)+g(x)]=limx0{[g(x+x)+g(x+x)]-[(f(x)+g(x)]}/x=limx0[f(x+x)+g(x+x)-(f(x)-g(x)]/x=limx0[f(x+x)-f(x)]/x +limx0[g(x+x)-g(x)]/x=f(x)+g(x)Las reglas de suma y diferencia admiten extensin inmediata a cualquier nmero finito de funciones. As, si F(x)=f(x)+g(x)-g(x)-k(x), entonces F(x)=f(x)+g(x)-h(x)-k(x)EJEMPLO 7. Aplicacin de las reglas de suma y diferenciaFuncinDerivadaa) f(x)=x3-4x+5f(x)=3x2-4b) g(x)=-x4/2+3x3-2xg(x)=-2x3+9x2-2DERIVADAS DE LAS FUNCIONES SENO Y COSENO. Hay 2 lmites trigonomtricos muy importantes:lim0Senx/x=1 ylim01-Cosx/x=0 Estos 2 lmites pueden utilizarse para demostrar las reglas de derivacin del Seno y del Coseno (las derivadas de las dems funciones trigonomtricas sern objeto de estudio en la seccin 2.3)TEOREMA 2.6-DERIVADAS DE LAS FUNCIONES SENO Y COSENOd/dx[Senx]=Cosx d/dx[Cosx]=-Senx

d/dx(Senx)=limx0[Sen(x+x)-Senx]/x=limx0[SenxCosx+CosxSenx-Senx]/x=limx0[CosxSenx-Senx(1-Cosx)]/x==Cosx[limx0(Senx)/x]-Senx[limx0(1-Cosx)/x]==Cosx(1)-Senx(0)=Cosx

La derivada de la funcin Seno es la funcin Coseno. Esta regla de derivacin se ilustra en la figura 2.18, en la que vemos que, para cada x, la pendiente de la curva Seno es igual al valor del Coseno. La demostracin de la 2 regla se deja como ejercicio al lector.EJEMPLO 8. Derivadas que contienen Senos y Cosenos.FuncinDerivadaa) y=2Senxy=2Cosxb) y=Senx/2y=(1/2)Cos x=Cosx/2c) y=x+Cosxy=1-Senx

d/dx[aSenx]=aCosxLa figura 2.19 muestra las grficas de y=aSenx para:a=1/2;1;3/2;2 Estimar la pendiente de cada grfica en el punto (0,0). Verificar despus esas estimaciones analticamente, calculandola derivada de cada funcin en x=0.

RITMOS DE CAMBIO. Ya hemos visto que la derivada se puede usar para calcular pendientes. Pues bien, tambin sirve para determinar el ritmo de cambio de una variable con respecto a otra, lo que le confiere utilidad en una amplia variedad de situaciones.Por citar slo algunas, son ejemplos los ritmos de crecimiento de poblaciones, los de flujo de un lquido, la velocidad y la aceleracin.Un uso frecuente de los ritmos de cambio, consiste en describir el movimiento de un objeto que se mueve en lnea recta. En tal cuestiones, suele representarse la recta del movimiento en posicin horizontal o vertical, con un cierto origen marcado en ella. Sobre tales rectas, el movimiento hacia la derecha (o hacia arriba) se considera de direccin positiva y el movimiento hacia la izquierda (o hacia abajo) de direccin negativa.La funcin s que da la posicin (relativa al origen) de un objeto como funcin del tiempo t se llama funcin (de) posicin. Si durante un lapso t, el objeto cambia su posicin en una cantidad s=s(t+t)-s(t), por la frmula conocida:Razn=distancia/tiempo, la velocidad media es:Cambio en distancia/Cambio en tiempo=x/tEJEMPLO 9. Velocidad media de un objeto en su cada. Si se deja caer una bola desde una altura de 100 pies, su altura, en el instante t viene dada por la funcin posicin:s=-16t2+100 (funcin posicin), donde s se mide en pies y t en segundos.Hallar la velocidad media en cada uno de estos intervalos de tiempo:a) [1,2] b)[1,1.5]c)[1,1.1](a) En el intervalo [1,2], el objeto cae desde una altura de s(1)= -16(1)2+100=84 pies hasta una altura de s(2)=-16(2)2+100=36 pies.La velocidad media es s/t=(36-84)/(2-1)=-48/1=-48 pies/s(b) Durante el intervalo [1,1.5], el objeto cae desde una altura de 84 pies hasta una altura de 64 pies. La velocidad media es s/t=(64-84)/(1,5-1)=-20/0,5=-40 pies/s(c) Durante el intervalo [1,1.1], el objeto cae desde una altura de 84 pies hasta una altura de 80,64 piesLa velocidad media es s/t=(80,64-84)/(1,1-1)=-3,36/0,1= -33,6 pies/sNtese que las velocidades medias son negativas, lo que refleja el hecho de que el objeto se mueve hacia abajo.Supongamos que, en el ejemplo anterior, deseramos hallar la velocidad instantnea (o velocidad, sin ms) del objeto cuando t=1.Al igual que la pendiente de la recta tangente puede aproximarse por las pendientes de las rectas secantes, podemos aproximar la velocidad en t=1, por las velocidades medias sobre pequeos intervalos de tiempo [1,1+t] (vase figura 2.20)Tomando el lmite cuando t tiende a 0 (t0), obtenemos dicha velocidad. Intente hacerlo y comprobar que la velocidad cuando t=1 es -32 pies/s.En general, si s=s(t) es la funcin posicin de un objeto en movimiento rectilneo, su velocidad en el instante t es:v(t)=limt0[s(t+t)-s(t)]/t=s(t) Funcin velocidad

La velocidad media entre t1 y t2 es la pendiente de la recta secante.La velocidad instantnea en t1 es la pendiente de la recta tangente. En otras palabras, la funcin velocidad es la derivada de la funcin posicin.(La velocidad puede ser positiva, cero o negativa. La rapidez, entendiendo por tal el valor absoluto de la velocidad, nunca es negativa).La posicin de un objeto en cada libre (despreciando la resistencia del aire), bajo la influencia de la gravedad, viene dada por la ecuacin:s(t)=(1/2)gt2+v0t+s0 (funcin posicin), donde s0 es la altura inicial del objeto, v0 la velocidad inicial y g la aceleracin de gravedad, que, en la superficie terrestre, viene a ser -9,8 m/s2 (-32 pies/s2).EJEMPLO 10. Usando la derivada para calcular la velocidad.

La velocidad es positiva cuando un objeto sube y negativa cuando baja. En la figura 2.21, debe observarse que el saltador sube durante el primer medio segundo, ya que su velocidad es positiva para 0