YUPANA DINAMICA

Por Carlos A. Hernández García

(carlos_alberti@hotmail.com)

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INTRODUCCIONNos encontramos ante un hecho social que reclama la atención del maestro. Ya no es necesario enseñar a los niños algoritmos para realizar las operaciones básicas de la aritmética que antes se aprendían a la fuerza y mecánicamente. En la practica la calculadora evita realizarlas y esta puede ser permitida en la escuela a nivel secundario. Hace falta sin embargo que a nivel primario, el niño entienda el proceso que conduce a los resultados. Sin duda esto se logra si a los niños se les enseña a manejar algún instrumento, como la YUPANA DINAMICA, que tiene sus raíces en la antigua civilización de nuestro continente , donde sean ellos los artífices de todo el proceso y no simples espectadores del resultado que se logra mediante la pulsación de teclas, como sucede a quien maneja la calculadora científica.

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1. DESCRIPCIÓN DE LA INNOVACIÓN

1.1. La YUPANA DINAMICA es una simple calculadora, basada en el antiguo Abaco manejado por los Incas. LA YUPANA. Dio origen al PROYECTO YUPANA. Un proyecto que tenía como finalidad hacer que los futuros maestros recurrieran a juegos para hacer su clase más amena. Se desarrolló con éxito en la Normal Superior La Hacienda, desde 1996 a 2003.

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1. 2 ORIGEN DE LA IDEA.

La idea nació el día que habiendo sido contratado por la Universidad del Norte, como catedrático de didáctica de la Matemática para unas jóvenes futuras maestras de Pre-escolar, hice caso al doble consejo del Doctor Alfonso Freyle encargado del programa: Profesor: me dijo. Léase a Piaget. (Nunca lo había leído). Trate de que estas futuras maestras aprendan a emplear recursos didácticos en el aula.

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Para esto último inmediatamente recordé a un titiritero que, siendo yo, aun muy niño, vi en un parque de Medellín manejando el ábaco. Pensé que este instrumento muy conocido pero que en ese entonces nadie manejaba, podría ser útil en Pre escolar y me propuse investigar sobre él y aprender su manejo. Encontré entonces que existían varias clases de ábaco: El hindú, el chino, el japonés, el ruso…

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Pero encontré este instrumento poco útil para preescolar, a no ser que se empleara únicamente para adquirir habilidad en los dedos, distinguir colores o iniciar en el arte de contar, resolví construir uno diferente. Un ábaco transformable que llamé ABACO DINAMICO.

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1.3 ABACO DINAMICO

Se trataba de un solo mueble donde podía hacer aparecer cualquiera de los ábacos conocidos. Pero la principal característica de éste, era que se podían mostrar las bolas necesarias para un trabajo con el niño, mientras todas las demás permanecían tapadas por una lámina de madera. Por esto lo encontré útil para manejar los preconceptos que corresponden a Preescolar.

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Con la colaboración del Colegio Biffi la Salle, la innovación fue siendo conocida en diferentes colegios de Barranquilla y llegó a ser valorada hasta por la misma Secretaría de Educación, quien en 1984 la postuló para ser presentada con el nombre de ABACO DINAMICO en la primera exposición nacional de Innovaciones Educativas, realizada en Corferias Bogotá en noviembre de 1984.

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Estaba yo Feliz y orgulloso presentando los diferentes ábacos, todos en un solo mueble, cuando uno de los visitantes me preguntó PROFESOR CONOCE UD EL ABACO DE LOS PERUANOS? En ese momento entendí lo que es el desequilibrio conceptual mencionado por Piaget. Todos mis conocimientos y consultas sobre el Abaco, no eran suficientes. Nada sabia de este ábaco. Pero la pregunta bastó para desatar en mi, EL INTERES suficiente para consultar sobre el tema.

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Encontré la respuesta en una separata de la biblioteca del Banco de la República: Wassen Henry, El antiguo ábaco peruano según el manuscrito de Guaman Poma, Gutenberg 1940 Allí encontré algunas explicaciones y la figura que se puede ver a continuación.

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Llegue a saber lo que era el ábaco de los peruanos, pero no su manejo; porque la explicación que allí encontré de nada me servía para los fines que me proponía. Hacer la matemática mas fácil a los niños. Por eso lo archivé, hasta que en 1986 el gobierno colombiano en asocio con la Misión Alemana, organizó una serie de seminarios sobre Ayudas didácticas en diferentes ciudades del país.

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Me matriculé en el que se desarrolló en la ciudad de Santa Marta, simplemente porque me interesaban las ayudas didácticas. Pero para mi sorpresa, la profesora fue una peruana Martha Villavicencio U y el tema desarrollado durante los ocho días fue la Yupana y el uso que de ella se hacia, en ese momento, en las escuelas del Perú.

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Interesantísimas e importantes dos de las innovaciones introducidas por el equipo investigador peruano. Haber girado la Yupana, es decir la figura que aparece en la imagen anterior en la parte inferior izquierda, 90 grados en sentido positivo y haber encabezado las diferentes columnas con los nombres de Unidad, Decena, Centena, Mil. Con esto la yupana se volvía, algo muy fácil de manejar.

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M C D U

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Pero sucedió que durante el mismo seminario se me ocurrió no admitir por completo las indicaciones de Martha y me fabriqué mi propia Yupana que llamé YUPANA DINAMICA, que es la que se ve a continuación.

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YUPANA DINAMICA

1→

2 →

3 →

5 →

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Con ella he logrado hacer las cuatro operaciones básicas de la aritmética, extraer raíz cuadrada, resolver ecuaciones y trabajar con los números enteros, empleando muy pocas fichas, y respetando el número correspondiente a las perforaciones, en cada cuadro, previstas por los Incas.

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1.4. FUNDAMENTACIÓN: MARCO TEÓRICO, OBJETIVOS GENERALES Y ESPECÍFICOS.

Para el manejo de la Yupana llegué a fundamentarme en los conocimientos que anteriormente había adquirido para manejar los diferentes ábacos y en dos de las transformaciones introducidas por el grupo investigador del Perú, al cuadro que aparece en la explicación de Guaman Poma.

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No admití la supresión de la fila de los unos y supuse que dentro de una avance natural de los antiguos incas en su civilización, fácilmente hubieran aceptado que una ficha colocada en un cuadro cualquiera podía tener el valor correspondiente a las perforaciones que le corresponden sin necesidad de que éstas se hayan realizado.

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La Yupana Dinámica fue evolucionando en el sentido de poder servir no solo a los niños en edad pre-escolar para los cuales idée el juego Guerra Yupanqui sino también a los niños de primaria, en la realización de las cuatro operaciones y a los jóvenes que cursan secundaria en el momento de extraer la raíz cuadrada, de resolver ecuaciones, o de trabajar con números enteros.

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COMENCEMOS

CON SU APLICACIÓN EN

PRE-ESCOLAR

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Para preescolar aconsejo el uso del Abaco. Posiblemente el ábaco llamado abierto se presta para un buen trabajo.

Pero al final del ciclo Pre- escolar debe resultar muy util el juego con la Yupana que aparece a continuación

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GUERRA YUPANQUI

Un juego para niñosde primer grado

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ORIGEN DEL JUEGO.

Se trata de un juego que apareció dentro del Proyecto Yupana liderado en la década del 90 en la Escuela Normal Superior la Hacienda de Barranquilla, gracias a la intervención de mi Nieto, cuando vio emplear la Yupana Dinámica para un trabajo con los números enteros, empleando fichas de dos colores. Abuelito, me dijo Andrés Felipe de 4 años en ese momento, “Yo juego con las rojas y tu con las azules”.

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OBJETIVOS• Familiarizar al niño con la los símbolos que

representan los números naturales y los lugares que le corresponden en la Yupana.

• Iniciar al niño en el concepto de decena.• Desarrollar habilidad en el niño para realizar

adiciones en el circulo de 10.• Entusiasmar al niño por el manejo de la

calculadora para primaria YUPANA DINAMICA.

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MATERIALES NECESARIOS

• Una YUPANA DINAMICA de dos columnas.• Fichas rojas y azules. Pueden ser piedras. 6 de

cada una para representar los números.• Dos series de los números del 1 al 10,

representados en pequeños cuadros, recortados en cartulina, dentro de una bolsa.

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UNA YUPANA DINAMICA DE DOS COLUMNAS.

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FICHAS ROJAS Y AZULES

DOS SERIES DE LOS NÚMEROS DEL 1 AL 10

1 2 3 4 5 76 8 9 10

1 2 3 4 5 76 8 9 10

Los números dentro de una bolsa

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DESARROLLO DEL JUEGO

• El juego esta diseñado para que participen dos niños.

• A cada uno se le asignan fichas de un color, azul o rojo, que tendrán que ir colocando en la Yupana Dinámica para representar los números que por suerte extraigan de la bolsa que las contiene.

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OBSERVACIONES IMPORTANTES

• El niño debe conocer los valores asignados a cada cuadro de la Yupana. Los puede ver en el cuadro que aparece a continuación. Al principio conviene que estos aparezcan indicados en esta forma. Mas adelante se pueden omitir.

• En cada cuadro, para este juego, pueden aparecer colocadas varias fichas.

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5

1

5

3 3

2 2

1Vemos dos columnas: La que se encuentra a la derecha es la de las unidades. El niño llega a descubrir las decenas.

Vemos cuatro filas: En la inferior van los 5, luego los 3, los 2 y finalmente los 1 en la superior.

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DESARROLLO COGNITIVO

• La mente del niño se desarrollará a medida que va haciendo frente a los problemas que se le presentan Cómo colocar por ejemplo 5 unidades. No es difícil coloca 1 ficha en la primera columna, la de la derecha, la de las unidades, pero en la parte de abajo.

• Pero cómo colocar 7 unidades?

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DESCUBRIMIENTO DEL 10

• Cuando el niño haya colocado 5 + 3 + 2 de la columna de las unidades, se le hace caer en cuenta y se le informa que acaba de completar 10; o sea una decena que se representa colocando 1 en la segunda columna.

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ENTRENAMIENTO PRELIMINAR

• Antes de empezar el juego, propiamente dicho, conviene hacer al niño las observaciones anteriormente registradas y asegurarse de que es capaz de representar los diferentes números en la columna de las unidades y además recoger las fichas colocadas en ella cuando su suma sea 10 y reemplazarlas por una decena.

• Cómo proceder si completa otra decena?

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BUSCANDO UN CAMPEON2.Teniendo al frente su grupo de estudiantes, y a

su lado frente a estos, la Yupana Dinámica indicada anteriormente pero de un tamaño visible a todos, el maestro indica los dos niños que deben participar en la primera partida.

3.Comienza el niño que extraiga de la bolsa el mayor número. Si acaso sale para ambos, el mismo número, se repite la extracción.

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1. El niño que ganó la salida, extrae una ficha que es la que debe representar en la yupana. A su turno el otro extrae otro número y lo representa.

2. En la misma forma siguen hasta que uno de los dos jugadores, termine con sus fichas o cuando no pueda anotar, completamente, el número que, por suerte, le correspondió anotar. En este momento el maestro dice:

GUERRA!

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GUERRA. Es lo que realmente sucede entre números

enteros. Cuando dos números son opuestos se anulan mutuamente.

Para los niños será una guerra entre colores. Si en un mismo cuadro hay una ficha de color rojo y otra de azul. El niño que esta de turno, las recoge y las deposita en la bolsa.

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Cuando crea haber terminado esta acción, el otro niño hace los cambios que vea posibles por ejemplo 3+2 se cambia por una de 5. 1+2 se cambia por 3. Y 5 + 3 + 2 por 1 decena. Si no puede seguir, le corresponde al otro niño continuar. Cuando ya no sean posibles mas cambios. Se procede a declarar el:

GANADOR 40

GANADOR

Gana el niño cuya suma de números sea mayor.

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EJEMPLO DE UNA PARTIDA

A continuación aparece el tablero y los jugadores con sus fichas.

Deben comenzar sacando cada uno un número que determina quien empieza.

Supongamos que empieza el rojo

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AZUL

ROJO

43

El Rojo saca un número. Supongamos que sacó 7, que pasa a representar.

AZUL

ROJO

7

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El azul saca un número. Supongamos que sacó 5, que pasa a colocar.

AZUL

ROJO

5

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El rojo saca un número. Supongamos que sacó 4, que pasa a colocar.

AZUL

ROJO

4

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El azul saca un numero. Supongamos que sacó 10, que pasa a colocar.

AZUL

ROJO

10

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El rojo saca un numero. Supongamos que sacó 6, que pasa a colocar.

AZUL

ROJO

6

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El rojo quedó sin fichas, debe avisar al maestro quien dice:

GUERRA.

El azul a quien correspondería jugar, va recogiendo las parejas de fichas roja y azul que se encuentren en un mismo cuadro. Si no encuentra mas, cede el turno

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Supongamos que el azul recogió todas las parejas y suspendió.

El rojo pasaría a hacer los cambios que pueda.

En este caso 2 fichas en 1 las puede reemplazar por una sola ficha en 2.

Estos cambios a veces dan oportunidad de nuevas parejas que se anulan.

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En este caso resultaron 2 puntos rojos. Lo cual indica que el ganador fue el ROJO.

El juego hubiera podido cambiar y de todos modos prolongarse un poco mas, cuando los niños saben emplear la casilla correspondiente a 1 decena. Por ejemplo en lugar de anotar 10 con 5+3+2 lo hubiera podido hacer colocando 1 decena. En lugar de colocar 4 se puede colocar 1 decena y quitar 6.

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Naturalmente que no conviene acosar al niño. Cada nuevo concepto necesita asegurar primero los preconceptos correspondientes.

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LAS OPERACINES DE LA

ARITMETICA

Ciclo Básico Primario

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OBSERVACION IMPORTANTE.

A PARTIR DE AHORA

CADA UNO DEBE ESTAR USANDO SU PROPIA YUPANA.

Para comenzar según el modelo indicado anteriormente

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ADICION

En la YUPANA DINAMICA realizaremos una adición. Anótala en un papel para que sepas lo que estas haciendo.

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32

824

581

9847

7997

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Se comienza colocando 53 y luego se procede a sumarle 32 Para facilitar el entendimiento 53 en blanco +32 en negro.

Para representar 53, basta colocar una ficha en 5 decenas y otra en 3 unidades. Para 32, una en 3 decenas y otra en 2 unidades

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OLVIDAREMOS EN ADELANTE, LOS COLORES. Pudimos leer la respuesta 85. Evidentemente que el

3+2 unidades, se puede reemplazar por 5 unidades; pero esto no es necesario. De todos modos recuerda antes de leer la respuesta final, si es necesario recoger los 10 que aparezcan en cualquier columna y cambiarlos por una unidad del orden superior. Pero esto sucederá, con menos frecuencia, si entendemos que cualquier dígito se puede representar, en cualquier columna, colocando 10 y quitando su complemento y que para colocar diez de un orden basta colocar 1 del orden siguiente.

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A 85, le sumaremos ahora 824. Dónde y cómo coloca 8 centenas. Dónde las 2 decenas y dónde y cómo coloca 4 unidades. ENSAYA HACERLO , antes de continuar.

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COMPARA CON LO QUE APARECE A CONTINUACION - Ensaya Sumarle , ahora, 210

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Posiblemente esto es lo que hicistePero cómo leer la respuesta. Ya te lo dije

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Donde encuentres 10 los recoges y los reemplazas por 1 del orden inmediatamente superior. Recuerda las unidades son el primer orden. Las decenas son el segundo orden. Para el caso recoges las 10 que encuentras en los cientos, tercer orden, y las reemplazas por 1 de mil, cuarto orden. A continuación recoges las 10 que vez en el segundo orden y las cambias por 1 del tercero. Ahora puedes leer la respuesta. ENSAYA

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1119

63

RECUERDA

En adelante optaremos una norma orientada a desarrollar la mente de quien emplea la Yupana.

NO COLOCAR DOS FICHAS EN UN MISMO CUADRO DE LA YUPANA.

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A 1119 le sumaremos 581. Para colocar quinientos (cinco cientos) no habrá problema. Lo mismo para colocar 80 ( 8 de diez). Para colocar una unidad, el 1, puedes hacerlo en dos formas, colocar dos unidades y quitar una. Pero es preferible colocar una decena, que se logra bajando la ficha que esta en 1 de las decenas, hasta el 2 de las mismas, lo que equivale a colocar 10 unidades; pero como no se iban a colocar 10 sino 1 unidad, se quita el exceso 9 unidades. Esto es lo que se hizo. trata de hacerlo antes de ver la respuesta a continuación.

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Trata de leer la respuesta, antes de pasar al siguiente cuadro donde podrás verla si no puedes.

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1700. Practica sumándole 9847

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Para sumar 9 mil, podrías colocar 10 en la columna de los miles y luego quitar 1 de la misma. Pero es mejor colocar una de diez mil y a continuación quitar 1 de mil.

Para colocar 8 cientos, no lo puedes hacer en forma diferente a colocar 1 de mil y luego quitar 2 de cien.

Para cuarenta usa el 3 y el 1 de las decenas y para 7 unidades el 5 y el 2 de esta columna.

Hazlo antes de ver respuesta a continuación.

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Vemos como respuesta, el numero 11547.

Al cual le debes sumar 7997.• Observación importante.

Si en algún momento, cuando se va a colocar una unidad del siguiente orden, no es posible, usa el orden inmediatamente superior para colocarla y quita 9 del orden en que deseabas colocarla inicialmente. Trata de hacer esto automáticamente.

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La respuesta final debe ser 19544.

Si no obtuviste este resultado, vuelve a empezar

53 + 32 + 824 + 581 + 9847 + 7997

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SUSTRACCION En un cuadro de la Yupana Dinámica, realizaremos la

siguiente sustracción:

840 - 539

No me parece necesaria la siguiente explicación. Pero sin embargo a continuación la doy para quien quiera comparar su trabajo con el mío.

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Se comienza colocando en la Yupana el minuendo es decir 840:

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De este quitaremos 539 o sea el sustraendo. Para esto sencillamente se quitaron las 5 centenas y las 3 decenas que aparecían en los respectivos ordenes

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Para quitar las 9 unidades, como en el minuendo no hay se quitan 10 unidades o sea una decena y como no había que quitar 10 sino 9 se devuelve a este orden el complemento de 10, o sea 1

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MULTIPLICACION

La yupana no exime del conocimiento de las tablas. Se necesita un tablero auxiliar donde se colocan el multiplicando y el multiplicador y la multiplicación se va realizando en la forma usual. La única diferencia está en que los resultados parciales que se van obteniendo, van siendo representados en la yupana mediante la colocación de fichas. Sin necesidad de recordar lo que se lleva, que directamente va quedando registrado.

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Sea por ejemplo multiplicar 647 x 72Se comienza multiplicando por 2 y diciendo 2x7 = 14 que se representa en la yupana. Lo podemos ver.

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Observa que se terminó en las unidades. Ahora debe terminarse en decenas 2 x 4 = 8. El ocho debe caer sobre las decenas.

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Ya te imaginas que debes terminar en centenas. 2 x 6 = 12. El dos debe caer sobre las centenas .Y así es lo puedes ver a continuación.

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Ya haz acabado de multiplicar por la cifra de las unidades del multiplicador. Ahora multiplica por la cifra de las decenas: 7 , que en realidad es 70. Dices 7x7= 49. Debes terminar en las decenas

80

OBSERVA LO QUE SE HIZO Para 4 centenas, colocas 5 centenas y quitas 1

corriendo la que esta en 2 hacia el 1.

Para colocar el 9 en las decenas, tienes que colocar 1 del orden de las centenas; para esto corriste la que estaba en 1 hasta el 2 y luego, quitaste 1 decena ( el exceso por haber colocado 10).

Ahora dices 7x4 = 28 y debes terminar en centenas

81

Debes lograr el resultado que aparece a continuación

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7 x 6 = 42. Al colocar el 42 debes terminar en los miles. Y podrás inmediatamente leer el resultado final de la multiplicación.

83

LEE LA RESPUESTA.

No olvides antes de leerla, no debes olvidar, nunca cambiar las 10 de un orden por 1 del orden superior si es el caso

Respuesta: 46584

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DIVISION

Al efectuar una división tienes oportunidad de practicar la sustracción. Ya que esta consiste en encontrar el numero de veces que está contenido un numero en otro.

El número de restas no es tan grande como inicialmente te lo imaginas, si logras descubrir la forma de hacer la operación.

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Así al dividir 7862 entre 581. El resultado que vamos a obtener es 13.

Pero será que tenemos que hacer 13 restas?.

NO. Solamente 4 divertidas restas

Observemos el divisor: Se compone de 3 cifras y es menor que el numero compuesto por las tres primeras cifras del dividendo. Se comienza entonces quitando 581 de 786. De lo que quede se restará de nuevo 581 hasta que no se pueda mas.

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De lo anterior se deduce que el cociente tendrá dos cifras o sea que constará de unidades y decenas. Se comienza empleando la columna de las decenas de una yupana auxiliar anotando en ella, de uno en uno, las veces que 581 es restado de 786. Cuando ya no sea posible efectuar nuevas restas, se considera la siguiente cifra del dividendo, el 2, Procediendo a calcular la cifra de las unidades correspondiente al cociente . Veamos el proceso a continuación.

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ATENCION Comienza por representar en la yupana superior 7862 (dividendo). Como el divisor 581 tiene 3 cifras, se consideran las tres primeras cifras del dividendo y como en este caso resulta que cabe en 786 se procede a restarlo una vez, anotando 1 en la yupana inferior, en el orden de las decenas. Trata de hacer la resta y calcular lo que se vera en el siguiente cuadro.

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Después de la resta resultó 205 que es menor que 581. Por consiguiente no cupo sino 1 vez, que ya se anotó. Si cupiera otra vez, habría que hacer una nueva resta y cambiar 1 decena por 2.

Del número completo que se ve en la yupana superior, o sea 2052, se debe restar 581 hasta que no se pueda mas y se van anotando las veces que se efectúa la resta, en la columna de unidades.

TRATA DE LOGRAR EL RESULTADO DE EFECTUAR LA PRIMERA NUEVA RESTA.

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En primer lugar se representa en la yupana inferior 1 unidad.

Luego se prode a restar 5 centenas, restando 1 de mil y aumentando 5 centenas.

Ahora se restan 8 decenas, restando una centena y devolviendo 2 decenas. Por fin se resta 1 unidad

Se observa el residuo 1471. De este numero se puede restar otra ves 581.

Trata de hacerlo antes de ver el siguiente cuadro.

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Se comienza bajando, en la yupana inferior, 1 unidad al puesto de 2 unidades.

Se resta ahora 581 de 1471 que se ve en la yupana superior

TRATA DE HACER ESTA RESTA ANTES DE QUE APAREZCA EL CUADRO SIGUIENTE.

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El resultado es 890

De este numero se puede restar aun 581. Y queda un residuo del cual ya no se podrán realizar nuevas restas.

TRATA DE REGISTRAR LA NUEVA RESTA Y EFECTUARLA EN LA YUPANA SUPERIOR ANTES DE QUE APAREZCA EL CUADRO SIGUIENTE.

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Comienza por aumentar 1 al 2 que se encuentra en la columna de unidades de la yupana auxiliar.

Ahora de 890 que ves en la yupana superior, resta 581.

Has hecho la división.Cuál es el resultado?Cual el residuo?Cuantas restas hubo que realizar.

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OPERACIONES AVANZADAS

CICLO BASICO SECUNDARIO

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RAIZ CUADRADA Emplearemos el método chino que se basa en el

hecho de que sumando los números impares consecutivos siempre se obtiene un cuadrado perfecto.

Se necesitan dos Yupanas dinámicas superpuestas, como aparece en seguida.

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En la superior aparece 72583 número al cual se quiere extraer la raíz cuadrada.

Mediante colores aparece dividido en periodos de dos cifras de derecha a izquierda . El ultimo periodo puede ser de una cifra. En la inferior en la columna de las unidades se van colocando los números impares. Se ha colocado el 1 que debe ser restado del primer periodo

Hazlo antes de continuar.

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En el primer periodo quedó 6. Como de este número es posible restar el siguiente impar, el 3. Se comienza por representarlo en la yupana inferior, después de haber eliminado el 1, colocado anteriormente y luego se procede a restar 3, del primer periodo de la yupana superior.

Hazlo antes de continuar. Y piensa si es posible restar de lo que queda en el primer periodo, el siguiente impar.

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Del primer periodo de izquierda a derecha de la yupana superior se quitaron 3, (quitando 5 y devolviendo 2).

Se observa que de 3, el resto, no se puede restar el siguiente impar que es 5.

Siempre que se presente un caso similar, AUMENTA 1 AL ULTIMO IMPAR ANOTADO Y LUEGO MULTIPLICA POR 10. Para lo cual basta correr todo el impar un lugar hacia la izquierda y se aumenta 1

Haz esto ultimo con 3. 99

Observa que la yupana inferior apareció 4, multiplicado por 10. Es decir 40, al cual se agrega 1, obteniendo así 41, primer impar que debe ser restado del residuo anterior anexado al segundo periodo. (325).

RECUERDA ESTA RUTINA: Aumentar 1 al ultimo impar anotado, multiplicar por 10. Aumentar de nuevo 1. Continuar la resta de impares, hasta que se vuelva a presentar el caso de no poder restar un nuevo impar.

EJECUTA LA PRIMERA RESTA ANTES DE DAR CLIC .

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Resultó un resto de 284 del cual deben restarse el siguiente impar que es 43.

REALIZA TU MISMO, ANTES DE DAR CLIC PARA PASAR AL SIGUIENTE CUADRO

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AQUÍ ESTA EL RESULTADO.

Qué número impar debe ser restado a continuación ?Anótalo y réstalo.Da clic cuando tengas tu resultado y luego sigue hasta no poder restar mas impares

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103

104

105

No se puede quitar 53 que seria el impar que corresponde ahora. Es el momento de seguir la rutina antes indicada

RECUERDALA.

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Aumentar 1 al último impar anotado, multiplicar por 10. Aumentar de nuevo 1 y luego, continuar la resta de impares, hasta que se vuelva a presentar el caso de no poder restar un nuevo impar.

El primer impar que debe ser restado ahora es 521

Ahora comienza a ejecutar las restas de impares a partir de 521.

Cuando empieces das clic para comparar tu respuesta con la del cuadro que aparece a continuación

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111

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El siguiente impar seria 539 que es mayor que 222 (ultimo residuo). Esto quiere decir, que a partir del 537, ultimo impar anotado en la yupana auxiliar se puede calcular la raíz cuadrada.

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RECUERDE LA FORMA DE HACERLO:

Aumentar 1 al último impar restado y luego dividir entre 2.

Para el caso la raíz buscada resulta de:

(537 +1) /2 = 269

y el residuo es 222

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ECUACIONES

Se espera la colaboración de muchos, en este tema apenas iniciado. A petición de un estudiante.

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YUPANA PARA ECUACIONES

DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS

A continuación trato de proponer un problema, de esos

clásicos, que sirva de ejemplo, para resolver una ecuación de primer grado con dos incógnitas:

La edad de Felipe es tres veces la de Andrés mas uno. Dentro de dos años, la edad de Felipe será cuatro veces la de Andrés, menos catorce. Cual es la edad de cada uno.

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Sea X la edad de Felipe y Y la de Andrés. El problema dice en su primera afirmación que: X=3Y+1; y en la segunda dice que: X+2= 4(Y+2)-14. Después de simplificada y ordenada la segunda ecuación, queda para resolver, el sistema,

X-3Y=1

X-4Y=8-14-2,

que aparece representado en las dos ternas de Yupana Dinámica que se mostraran oportunamente

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En la primera terna vemos representada con círculos la ecuación X-3Y=1. Y en la segunda terna, la ecuacion X-4Y=8-14-2 con cuadrados.

La raya negra es para separar posibles decimales. Como se puede observar, un numero negativo se representa mediante una figura rellena. Naturalmente que la operación sugerida en el segundo miembro de la segunda ecuación, se puede realizar antes de representarla; si se ha omitido esta acción, es para tener oportunidad de explicar el proceso en un caso mas complejo.

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OBSERVACION : Se han empleado círculos y cuadrados, únicamente para facilitar la explicación; pero en la practica no es necesaria esta diferencia

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Inmediatamente se ve que en la segunda terna, las fichas de color opuesto en una misma casilla se eliminan. Como 3+-3 = 0 y como 2+1 = 3 se hace el reemplazo correspondiente, tal como aparece sugerido en la figura anterior. Ahora se trata de eliminar una de las incógnitas. Para eliminar la X bastaría cambiarle de signo a todos los términos de una de las ternas y en seguida vaciar una de ellas, por ejemplo la segunda sobre la primera; eliminando en seguida, por parejas, las fichas que encontremos con signo opuesto en una misma casilla.

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Pero para explicar un poco mas, trataremos de eliminar la Y. Para esto multiplicaremos por cuatro, todos los términos de la primera terna y por tres todos los de la segunda terna. Es lo que se puede ver a continuación después de realizado:

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124

Vemos que en las dos ternas anteriores aparece el mismo número para las Y, pero como ambos son negativos, hago que uno de ellos, se convierta en positivo y el otro siga negativo; esto se logra cambiando de signo a todos los términos de la primera terna, o sea volteando las fichas, como aparece a continuación:

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Ahora se procede a vaciar la segunda sobre la primera. Acción que debe ser seguida de la eliminación de números opuestos en una misma casilla, a partir de la respuesta, que vemos en la siguiente grafica.

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Aquí se ve que una X, es igual a lo que resulte, después de realizar en la Yupana destinada a la constante, las conversiones necesarias, para que aparezcan en este sitio, fichas de un solo color. Puede hacerse caso omiso de la forma que se introdujo en algún momento, solo para favorecer la explicación, pero que es innecesaria. La conversión que aquí se impone es 3 decenas = (2+1) decenas. Esta conversión realiza para eliminar números y avanzar hacia la respuesta final.

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A continuación, una nueva conversión, dará la respuesta definitiva. Porque se observa que: Dos veces 4 unidades negativas se reemplazan por 8. Y las fichas opuestas que se encuentran en el puesto de una decena se anulan. La respuesta definitiva aparece en el grafico siguiente: -X = -28 que sabemos que cambiando de signo en ambos miembros de la igualdad es equivalente a X = 28. Esto ultimo se logra volteando todas las fichas.

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Observe el lector que se emplea una sola figura para la respuesta; además todo el tiempo se hubiera podido trabajar con una sola figura. En este momento la segunda terna de la Yupana (La inferior que aparece vacía) puede ser usada para calcular la respuesta con decimales, cuando sea el caso. Pensemos en el caso por ejemplo en que nos hubiera resultado 3 X = 13. Esto exige una división que se puede realizar dividiendo en ambos miembros de la igualdad por 3 y empleando la Yupana inferior.

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En cuanto al valor de la Y puede ser despejada también con la Yupana. Si se realiza un ejercicio en clase, a unos estudiantes se puede indicar calcular la X y a otros la Y.

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MANEJO DE NUMEROS ENTEROS

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Si se permite quebrantar la norma destinada a adquirir gran habilidad mental, de no colocar mas de una ficha en uno de los cuadros de la Yupana Dinámica. Como se hizo en el momento de jugar a la Guerra Yupanqui podemos realizar sumas de números enteros

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En la primera de las Yupanas que aparecen en la Fig. 48, podemos ver representados 253 + 134 – 213, donde las fichas negras corresponden a los números negativos. En la segunda se observa como los números opuestos en un mismo cuadro se han anulado. La respuesta se muestra en la tercera Yupana, donde después de descomponer las 3 decenas positivas que aparecían en la Yupana anterior, por (1+2) decenas, se procedió a anular la decena positiva con la negativa, que ya estaba en este sitio, quedando como respuesta 174.

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FIN

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