Compensacin utilizando
Boode
Mtodos de respuesta en
frecuencia
Compensacin utilizando mtodos de respuesta en frecuencia
1.- Compensacin en adelanto
Compensacin utilizando mtodos de respuesta en frecuencia
Se utiliza el compensador en adelanto siguiente
101
1
1
1)(
s
sK
s
sKsG ccc
1
1)(
j
jKjG cc m
0
m
1
)1(2
1
)1(2
1
1. Compensacin en adelanto
donde es el factor de atenuacin y es la ganancia del
compensador adelanto. El diagrama polar del compensador es
cK
Compensacin utilizando mtodos de respuesta en frecuencia
10
0
10
20
90
01.0 1 10 100
dB
10
El ngulo de fase mximo se observa por la recta tangente a la grfica
polar y que pasa por el origen. Este ngulo mximo depender del
valor de , aumentando si disminuye. La relacin -ngulo
mximo es
1
1msen
El diagrama de Bode del compensador, para es1.0,1
Compensacin utilizando mtodos de respuesta en frecuencia
1log
1log
2
1log m
1m
De la grfica de Bode se observa que el ngulo mximo del
compensador ocurre en la frecuencia media entre polo y cero
Tcnicas de compensacin en adelanto
1. Suponga el compensador en adelanto
1
1
s
sKsG cc
defina cKK
El compensador y la planta en lazo abierto quedan
sKGs
ssGsGc
1
1
Compensacin utilizando mtodos de respuesta en frecuencia
Determine la ganancia que satisfaga el requisito de constante
esttica de error propuesta
K
2.- Dibuje el diagrama de Bode , que es el sistema con la
ganancia ajustada sin compensar.
)(sKG
3.- Determine el ngulo de fase que se necesita agregar al sistema. A
ese valor, agrguele de 5 a 12 ms (por el desplazamiento de la
magnitud).
4.- Con el ngulo deseado, determine el factor de atenuacin
1
1msen
despus determine la frecuencia donde la magnitud del sistema no
compensado sea
1log20
Compensacin utilizando mtodos de respuesta en frecuencia
Esta frecuencia es la nueva frecuencia de cruce de ganancia.
Utilizando esta frecuencia la ecuacin
1m
se obtiene el valor del cero y del polo
1
1
5.- Con y , calcule la constante del compensadorK
KKc
6.- Verifique el margen de ganancia del sistema compensado.
Compensacin utilizando mtodos de respuesta en frecuencia
Compensadores en adelanto
Ejemplo: Disee un compensador en adelanto que haga que el error
en estado estable ante una rampa sea de 0.05, es decir la constante
de error esttico de velocidad sea de . Al mismo tiempo, el
margen de fase sea mayor a 45. En el siguiente sistema:vK
120 seg
)3(
5.7)(
sssG
Solucin:
1) Se supone un compensador en adelanto de la forma
1
1)(
j
jKsG cc
nota: La forma normalizada del compensador, permite ver la
aportacin de ganancia del compensador .)( cK
se define cKK
Compensacin utilizando mtodos de respuesta en frecuencia
2) Se encuentra la ganancia que junto con el sistema cumplan con la
constante de error esttico de velocidad.
205.2)3(
5.7lim)(
1
1lim)()(lim
000
K
ss
KssKG
s
ssGssGK
ssc
sv
8K
3) Se realiza el diagrama de Bode del sistema a compensar con la
ganancia K
K
)3(
60)(
sssKG
)13
1(
20)(
jj
jKG
Diagrama de Bode
Compensacin utilizando mtodos de respuesta en frecuencia
Compensacin utilizando mtodos de respuesta en frecuencia
4) Del diagrama de Bode, observe el margen de fase y determine el
adelanto de fase que se requiere agregar:
9.21fM 45deseadoM f
5ffm MdeseadoM
281.28m
5) De se obtienem
1
1msen
361.0
Compensacin utilizando mtodos de respuesta en frecuencia
6.- Ahora se calcula el cambio de magnitud que se obtiene al agregar
el compensador. Se utiliza )/1log(20
4249.4)361.0/1log(20
se observa en el diagrama de Bode en qu frecuencia se tiene una
magnitud de y se define como la nueva frecuencia de
cruce de ganancia. Del diagrama se observa que esta frecuencia es)/1log(20
./77.9 segradc
Despus se hace que a esta
frecuencia ocurra el mximo
aumento de fase . En otras
palabra es la frecuencia
media entre frecuencia de corte
del cero y del polo.
cm
Compensacin utilizando mtodos de respuesta en frecuencia
cm
1
7.- Se obtiene el cero y el polo del compensador
8701.51
c
2607.161
c
cero polo
8.- Con y se obtiene la ganancia del compensador K
16.22
KKc
y el compensador es
2607.16
8701.516.22)(
s
ssGc
Compensacin utilizando mtodos de respuesta en frecuencia
segrada
M f
/77.9
1.45 GGc
GGc
G
G
cG
cG
Compensacin utilizando mtodos de respuesta en frecuencia
2.- Compensacin en atraso
Compensacin utilizando mtodos de respuesta en frecuencia
2. Compensacin en atraso
Se utiliza el compensador en atraso
11
1
1
1)(
s
sK
s
sKsG ccc
el valor del polo es ms positivo que el del cero .
1
1
El diagrama polar del compensador en retraso es
0
cKcK
Re
Im
Compensacin utilizando mtodos de respuesta en frecuencia
Mientras el diagrama de Bode es el siguiente:
0
10
20
90
0
01.0 1.0 1 10
dB
1011cK
Tanto el diagrama polar como el de Bode muestran el valor ms
negativo de la fase entre las frecuencias de corte del polo y el cero.
Mientras que la magnitud total disminuye en 20 dB. Por lo que se
busca una atenuacin en altas frecuencia para aportar un margen de
fase adecuado al sistema.
Compensacin utilizando mtodos de respuesta en frecuencia
Tcnicas de compensacin en atraso
1. Suponga el compensador en atraso
11
1
1
1)(
s
sK
s
sKsG ccc
se define cKK
y el sistema compensado es
)(1
1)()( sKG
s
ssGsGc
2.- Determine la ganancia que satisfaga el requisito de constante
esttica de error propuesta
K
3.- Dibuje el diagrama de Bode del sistema sin compensar con la
ganancia .K
Compensacin utilizando mtodos de respuesta en frecuencia
4.- Si no cumple con los requisitos de margen de fase deseados.
Entonces encuentre la frecuencia donde el ngulo de la fase es -180
ms el margen de fase requerido, ms unos 5 o 12 grados.
5.- Seleccione esta frecuencia como la nueva frecuencia de cruce de la
ganancia.
6.- Despus seleccione la nueva frecuencia de corte del cero ms
o menos una dcada alejada del nueva frecuencia de cruce de la
ganancia, obtenida en el paso 5. Esto se hace para alejar de la
frecuencia de cruce, los efectos del atraso de fase. La limitante es no
hacer la constante de tiempo del polo muy grande.
1
Compensacin utilizando mtodos de respuesta en frecuencia
7.- Determine la atenuacin necesaria para llevar la curva de
magnitud a cero dB, en la nueva frecuencia de cruce. Con esta
atenuacin se determina el valor de .
log20dB
8.- Con el valor de y el cero, se obtiene la frecuencia de corte del
polo
1
9.- Por ltimo se obtiene la ganancia del compensador:
KKc
Compensacin utilizando mtodos de respuesta en frecuencia
Compensadores en atraso
Ejemplo: Compense el siguiente sistema:
de forma tal que la constante de error esttico de velocidad sea de
. , el margen de fase sea al menos de 40 y el margen de
ganancia al menos de 10dB.
)2)(1(
2)(
ssssG
vK15 seg
Solucin:
1) Se utiliza un compensador en atraso de la forma
1
1)(
s
sKsG cc
se define
cKK
Compensacin utilizando mtodos de respuesta en frecuencia
2) Ajustar la ganancia para que junto al sistema cumpla con las
especificaciones de error esttico de velocidad.K
5)2)(1(
2lim)(
1
1lim
00
ssssKsKG
s
ssK
ssv
5K
3) Se realiza el diagrama de Bode del sistema a compensar con la
ganancia K
)2)(1(
10)(
ssssKG
)15.0)(1(
5)(
jjjjKG
Compensacin utilizando mtodos de respuesta en frecuencia
Diagrama de Bode
3)
Compensacin utilizando mtodos de respuesta en frecuencia
4) Del diagrama de Bode, observe el margen de fase. El sistema tiene
un margen de fase de -13, por lo que es inestable.
Se busca el valor de frecuencia en donde se tiene un ngulo de fase
de -180+ el margen de fase deseado + 12 de compensacin por el
cambio de fase.
128
1240180
Compensacin utilizando mtodos de respuesta en frecuencia
5) Generalmente se coloca el cero para que tenga un frecuencia de
corte una dcada menor que la nueva frecuencia de cruce de ganancia.
En este caso correspondera a , pero por cuestiones de
diseo, no se recomiendan constantes de tiempo muy grandes y se
opta por asignar al cero una frecuencia de corte de
log2020
./.05.0 segrad
./.1.0 segrad
1.01
6) Lo siguiente es hacer que en la nueva frecuencia de cruce
seleccionada ( ) la magnitud pase por 0dB. De la
grfica de Bode se observa que en la frecuencia de cruce
seleccionada, la magnitud es de 19.4. Se considera que hay que
restar 20 dB.
./.469.0 segrad
10
Compensacin utilizando mtodos de respuesta en frecuencia
7) Con el valor de y el valor del cero, se obtiene el polo
100
11
8.- Por ltimo se obtiene la ganancia del compensador:
10
5
KKc
01.0
1.05.0)(
s
ssGc
El compensador en atraso queda:
Compensacin utilizando mtodos de respuesta en frecuencia
segrada
M f
/454.0
6.41
GGc
GGc
G
GcG
cG
Compensacin utilizando mtodos de respuesta en frecuencia
3.- Compensacin en atraso-adelanto
Compensacin utilizando mtodos de respuesta en frecuencia
1,11
11
)(
2
2
1
1
s
s
s
s
KsG cc
3. Suponga el compensador en atraso-.adelanto
1 0
1
Im
Re
Es comn seleccionarPara el compensadores en atraso.
Para el compensadores en adelanto.
La frecuencia es aquella donde el ngulo de fase es cero.
10
1
Fig. 1Diagrama polar .,1 cK
1
Compensacin utilizando mtodos de respuesta en frecuencia
0
10
20
0
1
001.0
dB
90
90
10
1
01.0
1
1.0
1
1
1
10
1
100
Fig.2 Diagrama de Bode del compensador atraso-adelanto.
.10,,1 12 cK
21
1
1
La frecuencia se obtiene de:1
Compensacin utilizando mtodos de respuesta en frecuencia
Compensadores en atraso-adelanto
Ejemplo: Compense el siguiente sistema cuya funcin de transferencia:
se desea que la constante de error esttico de velocidad sea de .
, , el margen de fase sea de 50 y el margen de ganancia al
menos de 10dB. Utilice un compensador atraso adelanto.
)2)(1()(
sss
KsG
vK110 seg
1) Como el sistema tiene ganancia ajustable , se considera .K cK
Del requisito de error de error esttico de velocidad, se obtiene
102)2)(1(
)(lim)()(lim00
K
sss
KssGsGssGK c
sc
sv
20K
Compensacin utilizando mtodos de respuesta en frecuencia
2) Se dibuja el diagrama de Bode del sistema no compensado con 20K
El margen de fase es de -32. El sistema es inestable.
Compensacin utilizando mtodos de respuesta en frecuencia
3) Seleccionar la nueva frecuencia de cruce de ganancia. sta ser la
frecuencia donde . El diagrama de Bode muestra180)( jG
./5.1 segradc
4) Se selecciona la frecuencia de corte del cero del compensador de
la parte atraso, una dcada por debajo de la frecuencia de cruce:
./15.01
2
segrad
Compensacin utilizando mtodos de respuesta en frecuencia
5) Con el mximo adelanto de fase deseado, se obtiene
1
1
msen si 50m 548.7
pero se escoge que corresponde a 10 9.54m
6) Con esto la frecuencia de corte del polo del compensador parte
atraso es
./015.01
2
segrad
Entonces la parte de atraso del compensador queda:
015.0
15.0
s
s
Compensacin utilizando mtodos de respuesta en frecuencia
7) Para la parte de adelanto, se utiliza el valor de magnitud en la
frecuencia de cruce de ganancia (ver Diagrama de Bode). En este
caso es:BjG d13)5.1(
Se selecciona el punto (1.5 rad/seg. , -13 dB ), se traza una lnea recta
de pendiente 20 dB/dcada, donde intersecte la lnea de -20 dB es la
frecuencia de corte del cero de adelanto ( )y donde
intersecte la lnea de 0 dB, es la frecuencia de corte del polo de
adelanto ( ). la parte de adelanto es
./7.0 segrad
./7 segrad
7
7.0
s
s
El compensador atraso-adelanto queda
7
7.0
015.0
15.0)(
s
s
s
ssGc
Compensacin utilizando mtodos de respuesta en frecuencia
)(sGc
)(sGc
)()( sGsGc
)()( sGsGc
)(sG
)(sG