CONTRIBUCIOacuteN A LA ENSENtildeANZA DE LAS CONICAS MEDIANTE EL USO DE LA
ASTRONOMIA
JESUacuteS ALBERTO MURILLO SILVA
Ingeniero Geoacutelogo
Universidad Nacional de Colombia
Maestriacutea en Ciencias exactas y naturales
Medelliacuten Colombia
2012
Tesis presentada como requisito parcial para optar al tiacutetulo de
Magister en ensentildeanza de las ciencias exactas y naturales
Director
Carlos Julio Echavarriacutea Hincapieacute
Matemaacutetico
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de ciencias
Escuela de Matemaacutetica
Medelliacuten Colombia
(INCLUYE ANEXO SOBRE EL NUMERO DE ORO)
2012
III
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
A WAIRA JEROacuteNIMO Y MELINA POR PERMITIRME COMPARTIR UN SUENtildeO
Y UNA ESTRELLA A ESTE LADO DEL CIELO
Institucioacuten educativa Josefina Muntildeoz Gonzaacutelez Antigua Capilla dedicada ahora a Biblioteca Central
IV
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
El Universo lleva impreso el ornamento de las
proporciones armoacutenicas pero hay que acomodar
las armoniacuteas a la experiencia Kepler quedoacute
muy afectado al verse en la necesidad de abandonar
una oacuterbita circular y poner en duda su fe en el
divino geoacutemetra Una vez expulsados del establo de
la astronomiacutea los ciacuterculos y las espiacuterales solo le
quedoacute como dijo eacutel una carretada de estieacutercol un
circulo alargado
Carl Sagan Cosmos
V
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Agradecimientos
A la Universidad Nacional de Colombia la Maestriacutea en Ensentildeanza de las ciencias exactas
y Naturales y a su director el Profesor Arturo Jessie Manuel quien ha luchado
incansablemente por sacar adelante esta Maestriacutea por permitirme adquirir una nueva
formacioacuten acadeacutemica que fortalece y complementa mis conocimientos bridaacutendome
herramientas pedagoacutegicas para mejorar cada diacutea mi labor docente y enriquecer la
cotidianidad con mis estudiantes
A la Institucioacuten Educativa Josefina Muntildeoz Gonzaacutelez especialmente los estudiantes de
10deg3 con quienes se realizoacute el presente trabajo con el apoyo del docente Jack Navarro
A Carlos Julio Echavarriacutea Hincapieacute Matemaacutetico Profesor de Astronomiacutea en la Maestriacutea
y asesor de este trabajo de grado por su dedicacioacuten su gran colaboracioacuten y sus valiosos
y desinteresados aportes que permitieron el desarrollo y culminacioacuten de un suentildeo
A todos los profesores monitores y compantildeeros de la maestriacutea por sus incansables
aportes
A Mario Arenas y Wilmar Floacuterez (Homero) quienes me ofrecieron su oportuna ayuda en
el momento justo
A Diana Espejo y Aida Zapata Mis compantildeeras de estudio quienes intercambiaron
experiencias enriquecedoras de nuestro quehacer docente y compartimos largos y gratos
momentos de nuestro quehacer cotidiano
VI
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Resumen
El bajo rendimiento acadeacutemico en general la apatiacutea y el temor que se manifiesta hacia la
matemaacutetica hace que los docentes desarrollen nuevas estrategias para acercar el
conocimiento a ellos conservando su desarrollo personal y la autonomiacutea escolar
Para los estudiantes de deacutecimo grado el estudio de las leyes fiacutesicas paralelamente con
la trigonometriacutea donde el capiacutetulo de las coacutenicas se ha tomado de uacuteltimo por efectos del
desarrollo del presente trabajo despierta el intereacutes porque se puede ver en estas dos
aacutereas la transversalidad de los conceptos que se han visto en las charlas y videos
relacionados con la matemaacutetica y la astronomiacutea en el proyecto de uso del tiempo libre
El presente trabajo pretende contribuir al acercamiento de las coacutenicas mediante el uso
de las aplicaciones de ellas en la astronomiacutea ademaacutes en la indagacioacuten preliminar se
encuentra que muchos estudiantes de la Institucioacuten educativa josefina Muntildeoz de los
grados deacutecimos evidencian relevante intereacutes por la astronomiacutea y temas afines con la
matemaacutetica gusto desarrollado en los talleres luacutedicos de aprovechamiento del tiempo
libre perteneciente a los proyectos extracurriculares que se desarrollan en las
instituciones educativas y en este caso se aprovecharaacute para potenciar el aprendizaje de
las coacutenicas
Palabras clave Coacutenicas paraacutebola elipse hipeacuterbola circunferencia veacutertice foco eje
focal directriz radio centro asiacutentotas eje conjugados planetas cometas trayectorias y
luna
VII
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Abstract
His poor academic performance in general apathy and fear manifested toward math
makes teachers develop new strategies to bring knowledge to them preserving their
personal development and school autonomy
For sophomores the study of the laws of physics parallel with trigonometry where the
conical section of the latter is taken for the purposes of development of this work it
arouses interest you can see in these two areas the mainstreaming of the concepts that
have been in talks and videos related to mathematics and astronomy in the proposed use
of leisure time
This paper aims to contribute to the rapprochement of conics using these applications in
astronomy and in the preliminary investigation found that many students of the
educational institution Josefina Muntildeoz tenth grade show significant interest in astronomy
and issues related to mathematics developed in workshops like playful use of leisure time
part of extracurricular projects that are developed in educational institutions and in this
case will be used to enhance learning of conics
Keywords Conics parabola ellipse hyperbola circle vertex focus focal axis guideline
radio center asymptotes conjugate axis planets comets trajectories and moon
VIII
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Contenido
Paacuteg
1 CONTRIBUCIOacuteN A LA ENSENtildeANZA DE LAS COacuteNICAS MEDIANTE
EL USO DELA ASTRONOMIA
Resumenhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip XI
AbstracthelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellipXII
IntroduccioacutenhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellipXV
11 Formulacioacuten de la Pregunta de Investigacioacuten 14 12 Propuesta 14 13 DESCRIPCIOacuteN DE LA PROPUESTA 16 14 Objetivos de la Propuesta 17
141 Objetivo General 17 142 Objetivos Especiacuteficos 17
15 Referente Teoacuterico 17 16 Referente Disciplinar 19
161 El inicio de la Astronomiacutea 19 162 La astronomiacutea en la educacioacuten 24
2 COacuteNICAS Y SU HISTORIA 26 21 Importancia de las coacutenicas en astronomiacutea 31 22 La Circunferencia en Astronomiacutea 31 23 Galileo Observando Manchas Solares 34
231 La Elipse En La Astronomiacutea 35 232 La Paraacutebola en la Astronomiacutea 40 233 La Hipeacuterbola en Astronomiacutea 42
24 Propiedades generales de las coacutenicas 43 241 Propiedades de la Hipeacuterbola 44 242 Propiedades de la paraacutebola 44 224 La ecuacioacuten general de una seccioacuten coacutenica 45
3 Metodologiacutea de la Intervencioacuten 47 31 Teacutecnicas 47 32 Aplicacioacuten de instrumentos valorativos 48
4 Anaacutelisis de Resultados 51 41 Resultados del ICFES Para los Antildeos Indicados 51 42 Anaacutelisis de resultados de las pruebas implementadashelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip54
5Conclusiones y recomendacioneshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip56 51 De los estudianteshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip68 52 Del profesorhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip70 ANEXOShelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip74 BIBLIOGRAFIAhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 101
IX
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Lista de Figuras
PAG
11 Angulo de inclinacioacuten de la tierra helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip10
21 Cortes de un cono helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip13
22 Usos de la circunferencia en astronomiacuteahelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip16
23 Fragmento de la maacutequina Antikiterahelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip17
24 Ilustracioacuten de la medida de la circunferencia terrestre por Eratoacutesteneshelliphelliphelliphelliphellip18
25 Manchas solares vistas por Galileohelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 19
26 Ilustracioacuten de la Primera ley de Keplerhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20
27 ilustracioacuten de la segunda ley de Keplerhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 21
28 Cono con cortes mostrando las coacutenicashelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 25
29 La hipeacuterbola en la semiesfera celestehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 26
210 Representacioacuten de una rama de la hipeacuterbolahelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip27
X
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Lista de Tablas
PAG
11 Recuento histoacuterico de las ideas geomeacutetricas del universohelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 7
21 Excentricidad de los planetas del sistema solarhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 24
22 Propiedades de la ecuacioacuten general de las coacutenicashelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 29
23 Propiedades de los elementos de las coacutenicas 29
24 Las coacutenicas y su excentricidad helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip31
41 Comparativo ICFES institucionalhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip36
42 preguntas del primer testhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip37
43 Aplicaciones cotidianas de las coacutenicashelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip38
44Razones para estudiar astronomiacutea helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip39
45 Conocimiento particular de las coacutenicashelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 40
46 Naturaleza de la ecuacioacuten de las coacutenicashelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 41
47 Calificacioacuten de la circunferenciahelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 43
48 Calificacioacuten de la hipeacuterbolahelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip44
49 Calificacioacuten de la Elipsehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip47
410 Desempentildeo estudiantes 10deg 3 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip49
411 Calificacioacuten del Crucigrama de astronomiacuteahelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 50
412 Notas de la evaluacioacuten final sobre las Coacutenicashelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 51
XI
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Anexos
Paacuteg
AAnexo primer test sobre coacutenicas y astronomia helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip53
BAnexo Guia para construir las coacutenicas sis sus elementos constitutivoshelliphelliphelliphelliphellip82
C Anexo Elaboracioacuten de crucigrama con conceptos de astronomiacutea y matemaacuteticahellip60
D Anexo Guia para construir las coacutenicas con regla y compaacuteshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 63
E anexo Evaluacioacuten final de la actividadhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip73
F Anexo fotograacuteficohelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip95
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Introduccioacuten
La astronomiacutea incita al alma a
mirar Hacia las alturas y nos conduce
desde este a otro mundo
Platoacuten
Las secciones coacutenicas son aplicables a la mecaacutenica celeste esto fue descubierto
por Johannes Kepler quien utilizoacute los precisos datos tomados por Ticho Brahe
descubriendo que las oacuterbitas o trayectorias que describen los planetas
corresponden precisamente a las secciones coacutenicas inicialmente Eacutel pudo calcular
dichas oacuterbitas con circunferencias pero encontraba en sus caacutelculos errores que
solamente desapareciacutean si se cambiaba la circunferencia por una elipse Para
Kepler fue difiacutecil este cambio por sus creencias religiosas pero lo aceptoacute y con
base en esa oacuterbita eliacuteptica pudo formular sus tres leyes del movimiento de los
planetas la cual se cumple para todo el sistema solar donde el sol estaacute uno de los
focos de la elipse
Las curvas coacutenicas son importantes ya que cuando dos cuerpos masivos
interactuacutean seguacuten la ley de gravitacioacuten universal enunciada por Newton sus
trayectorias describiraacuten secciones coacutenicas si su centro de masa se considera en
reposo Si estaacuten relativamente proacuteximas describiraacuten elipses si se alejan demasiado
describiraacuten paraacutebolas o en el caso de los cometas que describe una hipeacuterbola
cuando se alejan del sol
Para los estudiantes de deacutecimo grado el estudio de las leyes fiacutesicas paralelamente
con la trigonometriacutea donde el capiacutetulo de las coacutenicas se ha tomado de uacuteltimo por
efectos del presente trabajo se despierta el intereacutes porque se puede ver en estas
dos aacutereas la transversalidad de los conceptos que se han visto en las charlas y
videos relacionados con la matemaacutetica y la astronomiacutea
Una de las aplicaciones maacutes importantes de las coacutenicas en astronomiacutea se da al
planear el despegue de una nave espacial ya que para que esta pueda abandonar
la tierra e ir a alguacuten planeta o sateacutelite (por ejemplo la luna) tiene que encontrarse la
13
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
tierra en alguacuten punto de la excentricidad correspondiente a la oacuterbita eliacuteptica descrita
por la tierra
Otras aplicaciones en la construccioacuten de telescopios paraboacutelicos con mercurio
liacutequido en puentes colgantes las trayectorias de los proyectiles en cuerpos en la
caiacuteda sobre plano inclinado y ahora se estaacute pensando que a nivel atoacutemico los
electrones se comportan siguiendo dichas trayectorias
La experiencia ha permitido que los docentes notemos como las ciencias exactas y
naturales siempre han sido las asignaturas con mayores dificultades tanto para el
aprendizaje de los estudiantes como para la ensentildeanza de los profesores los
primeros porque las ven muy complejas y los segundos porque tienen que pensar
constantemente en nuevas estrategias pedagoacutegicas y didaacutecticas que les permitan
llegar a los estudiantes posibilitando en eacutestos la formacioacuten y adquisicioacuten de nuevos
conceptos en sus estructuras cognitivas de una forma significativa es por ello que
surge la necesidad de retomar diferentes tipos de herramientas y establecer otras
metodologiacuteas que permitan que el estudiante no solo se acerque al conocimiento
propio de estas aacutereas sino que pueda potenciar las competencias baacutesicas
comunicativas hacieacutendolos responsables de su propio aprendizaje y desarrollando
actitudes favorables dentro de su contexto
Para desarrollar la propuesta se disentildearon e implementaron cuatro guiacuteas
didaacutecticas para cada una de las coacutenicas las cuales fueron construidas teniendo en
cuenta no soacutelo los planteamientos propuestos por Pierre Faure para la elaboracioacuten
de guiacuteas sino los contenidos y nuacutecleos temaacuteticos del aacuterea de matemaacuteticas
propuestos para el grado deacutecimo durante el tercer y cuarto periacuteodos del antildeo
acadeacutemico 2012 La propuesta se desarrolloacute en tres fases diagnoacutestico intervencioacuten
y anaacutelisis de los resultados
14
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
1 Contribucioacuten a la Ensentildeanza de las Coacutenicas Mediante el Uso de Astronomiacutea
11 Formulacioacuten de la Pregunta de Investigacioacuten
Si he sido capaz de ver maacutes lejos
se debe a que estaba encaramado en
hombros de gigantes
Isaac Newton
iquestCoacutemo contribuir al mejoramiento del aprendizaje de las coacutenicas mediante el uso de
la astronomiacutea en el grado 100 de la Institucioacuten Educativa Josefina Muntildeoz
Gonzaacutelez del municipio de Rio negro
12 Propuesta
El bajo desempentildeo en matemaacutetica en los toacutepicos relacionados con los elementos
de las coacutenicas en la Institucioacuten Josefina Muntildeoz de Rionegro en el grado 10deg
llevaron al planteamiento de una posible solucioacuten que permitiera superar las
debilidades e incrementar las fortalezas encontradas tratando de aprovechar al
maacuteximo el intereacutes por la astronomiacutea
Conviene sin embargo advertir que existe una estrecha relacioacuten entre la
geometriacutea y astronomiacutea por el simple hecho de que en todo el universo lo
gobiernan las formas geomeacutetricas por ejemplo las orbitas de los planetas entorno al
sol como el sistema solar sateacutelites entorno a un planeta meteoritos al penetrar la
atmoacutesfera y cometas en torno a una estrella Las orbitas son secciones coacutenicas es
decir elipses hipeacuterbolas paraacutebolas y circunferencias
15
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Debemos reconocer que la astronomiacutea ha tomado ciertos elementos de la
geometriacutea para poder tener referenciados ciertos objetos en la boacuteveda por medio
de las coordenadas celestes tan necesarias para los navegantes e inquietos
observadores del cielo Es de anotar que fue Einstein quien mediante la geometriacutea
pudo establecer que la distancia maacutes corta entre dos puntos es un segmento de
curva (geodeacutesica) y no una liacutenea recta como se pensaba en teacuterminos de la
geometriacutea Euclidiana Para concluir maacutes tarde que el universo es curvo
Es asiacute como se propone la astronomiacutea como una alternativa que contribuya al
mejoramiento del aprendizaje significativo de la matemaacutetica en especial los toacutepicos
geomeacutetricos concernientes a las coacutenicas y a sus elementos constitutivos que
permiten a los estudiantes un mejor manejo de conceptos y estrategias para
graficarlas en plano cartesiano y de este modo comprender las relaciones
existentes entre las partes de ellas y sus muacuteltiples aplicaciones cotidianas Esto se
lograraacute con los grupos que han demostrado intereacutes por dicha disciplina lo que se
manifiesta en los conversatorios e indagaciones que se han sostenido con
estudiantes del grado decimo que son los de maacutes bajo rendimiento en matemaacutetica y
los maacutes interesados por los temas de astronoacutemicos ofrecidos en el proyecto de uso
del tiempo libre
Por otra parte la propuesta pretende brindar a los estudiantes las herramientas
necesarias para ampliar los temas vistos en los talleres relacionados con la
temaacutetica del grado deacutecimo que involucran las coacutenicas aplicadas directamente a
los movimientos ocurridos en el cielo dando un lugar privilegiado a las figuras
geomeacutetricas tan importantes en el desarrollo del conocimiento que ha permitido
comprender el universo del cual hacemos parte
La guiacutea se apoya en la teoriacutea del constructivismo ya que en ella aparece como
requisito el de dar a los estudiantes elementos y herramientas tendientes a que
ellos mismos hagan sus propias deducciones que les permita acercarse a la
resolucioacuten de problemas usando unos conocimientos previos los cuales se
transformaraacuten en la medida que el aprendizaje avance en la direccioacuten de seguir
aprendiendo
En el constructivismo la ensentildeanza y el aprendizaje son dinaacutemicos al ser
manipuladas especialmente por el sujeto que aprende Este es el meacutetodo que maacutes
se practica en la ensentildeanza de las matemaacuteticas pues el estudiante ve lo que se
hace y luego replica lo hecho por el maestro es decir que es participativo e
interactivo
16
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
13 DESCRIPCIOacuteN DE LA PROPUESTA
Para el desarrollo de la unidad didaacutectica para la ensentildeanza de los elementos que
conforman las coacutenicas se planearaacuten actividades integradoras con la astronomiacutea
que permitan experimentar directamente mediante el uso de material didaacutectico para
adquirir conceptos geomeacutetricos y astronoacutemicos lo cual se realizara en cinco
etapas
Reconocimiento de conceptos previos Inicialmente se plantean preguntas que
permitan al docente identificar los conceptos previos existentes en los estudiantes
en esta etapa el docente es un agente motivador que permite que sus estudiantes
interactuacuteen con las coacutenicas y su aplicacioacuten a la astronomiacutea como una gran lluvia
de ideas
Elaboracioacuten del material de apoyo consiste en el disentildeo de test que recojan la
mayor informacioacuten posible en cuanto a las coacutenicas y su estrecha relacioacuten con la
astronomiacutea y preparacioacuten de guiacuteas que permitan no solo construir las coacutenicas sino
relacionar sus elementos directamente con la astronomiacutea
Experimentacioacuten En este episodio se trabaja con el material requerido por ejemplo
las guiacuteas para construir las coacutenicas con sus elementos constitutivos o el cono de
donde se originan todas las coacutenicas por cortes con planos determinados y
emparentando experiencias con la astronomiacutea como los equinoccios presentados
este antildeo y sus respectivas mediciones donde el maestro toma nota detallada que
haraacute parte del informe final de observaciones
Evaluacioacuten Aquiacute se tendraacute en cuenta las inquietudes y preguntas que los mismos
estudiantes han formulado las cuales se adecuaran y corregiraacute su ortografiacutea pero
de todas maneras seraacuten las relacionadas con el tema pertinente de astronomiacutea y de
las coacutenicas para que el tema quede bien visto en un alto porcentaje deduciendo de
este modo que tan efectiva ha sido la unidad didaacutectica Los datos obtenidos se
compararan con los resultados de la evaluacioacuten inicial para ldquoevaluarrdquo la efectividad
de la unidad didaacutectica
Socializacioacuten de los resultados obtenidos Parte en la que cada estudiante expone
los resultados obtenidos en la experiencia teniendo en cuenta que se deben
relacionar conceptos geomeacutetricos-astronoacutemicos relacionados y las dificultades
presentadas en la experimentacioacuten El docente debe motivar para que los
estudiantes identifiquen clasifiquen organicen las ideas y comparen con los demaacutes
compantildeeros y expliquen el concepto de la forma maacutes indicada
17
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
14 Objetivos de la Propuesta
141 Objetivo General
Disentildear una propuesta con actividades sobre nociones baacutesicas y conceptos de
Astronomiacutea que permitan motivar el aprendizaje de las coacutenicas de un modo
significativo aprovechando las diferentes interrelaciones entre estas disciplinas
142 Objetivos Especiacuteficos
Identificar los niveles de conocimiento e interpretacioacuten de los estudiantes respecto
de los elementos de las coacutenicas y realizar una revisioacuten teoacuterica de los diferentes
enfoques que utilizan medios de ensentildeanza como recurso didaacutectico en particular el
uso de la astronomiacutea
Hacer de la astronomiacutea un elemento de aproximacioacuten a los conceptos matemaacuteticos
y estructurantes de las coacutenicas
Construir de manera praacutectica las diferentes coacutenicas
Identificar los distintos elementos que constituyen las coacutenicas y localizarlas en cada
una de ellas
Encontrar las coacutenicas en elementos cotidianos
15 Referente Teoacuterico
En pedagogiacutea es importante el concepto de aprendizaje significativo dado que este
facilita el quehacer pedagoacutegico y plantea desde dicho aprendizaje a los estudiantes
aprenden lo que les llama la atencioacuten sea porque es nuevo o por ser novedosa la
metodologiacutea del aprendizaje en la medida que se estaacute modificando su estructura
conceptual
Para Ausubel el aprendizaje significativo es un proceso a traveacutes del cual la
informacioacuten no se toma de manera arbitraria o literal pues se interrelaciona con
una estructura de conocimiento Para Ausubel en la teoriacutea del aprendizaje
significativo aparecen los subsunzores que son como ideas capaces de conectar
unos conceptos con conocimientos ya establecidos ampliando de este modo la
nueva visioacuten de lo aprendido
18
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
El ldquosubsumidosrdquo es por lo tanto un concepto una idea una proposicioacuten ya
existente en la estructura cognitiva capaz de servir de puente para la nueva
informacioacuten de modo que eacutesta adquiera significado para el individuo (ie que tenga
condiciones de atribuir significaos a esa informacioacuten)rdquo1
A medida que el estudiante incorpora nuevos conceptos baacutesicos de astronomiacutea a
su estructura cognitiva y los contrasta con los elementos conocidos de las coacutenicas
en este caso su aprendizaje se realiza por asimilacioacuten al existir conocimientos
previos en el estudiante se posibilita el establecimiento de nuevos conceptos
favoreciendo el aprendizaje significativo
Una vez adquirido el aprendizaje significativo los nuevos conocimientos son
incorporados en la estructura cognitiva y los subsumidores se convierten en
conceptos maacutes generales abstractos e inclusivos por lo tanto el almacenamiento
de la informacioacuten se da jeraacuterquicamente a traveacutes de la experiencia partiendo de
elementos maacutes sencillos hasta otros de mayor complejidad adquirieacutendose de este
modo un real aprendizaje significativo
En pedagogiacutea es muy difiacutecil tener la seguridad que los estudiantes saben lo que
quieren por tanto es maacutes difiacutecil auacuten saber si les interesa el tema que estaacute
impartiendo el maestro en el aula de clase pero si debe haber seguridad en que es
necesario hacer que el tema sea interesante para que el otro aprenda
ldquoEl cambio conceptual en el sentido de adoptar una concepcioacuten cientiacutefica y
abandonar una no cientiacutefica es una tarea compleja y difiacutecil Tanto los estudios
encarados al respecto como las hipoacutetesis emergentes de los mismos constituyen
aportes de indiscutible importancia al campo de la ensentildeanza especiacutefica de las
ciencias y han contribuido a poner en evidencia la necesidad y el valor de ensentildear
astronomiacutea en las escuelasrdquo2
Interpretando el deseo de los estudiantes de las uacuteltimas generaciones se puede
ver que ellos tienen el ldquochiprdquo incluido para todo pero tienen unas carencias
orgaacutenicas e intelectuales que se manifiestan en la falta de la necesidad de saber
y de explorar es decir que carecen conceptos y datos claros y maacutes especiacuteficos
sobre el movimiento del sol la tierra y la luna y en general sobre el sistema solar y
1MOREIRA Marco Porto Alegre Universidad Porto Alegre La teoriacutea del aprendizaje
significativo de David Ausubel 1983) p 31
2TIGNANELLI Horacio Buenos Aires Cultureacute Astronomiacutea en liliput Diapositivas del curso
de Astronomiacutea 2006 p17
19
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
las leyes que lo rigen para que la representacioacuten de las trayectorias es decir las
mismas coacutenicas sean efectivamente correspondientes a lo que sucede allaacute en
cielo3
16 Referente Disciplinar
161 El inicio de la Astronomiacutea
La curiosidad con respecto a la duracioacuten del diacutea y la noche a los eclipses de Sol
y de Luna y las vibraciones de las estrellas llevoacute a los hombres primitivos a la
conclusioacuten de que los cuerpos celestes parecen moverse de un modo regular La
primera utilidad de estas observaciones fue por lo tanto la de definir el tiempo en
periodos y como herramienta de orientacioacuten en especial los navegantes que
usaron las estrellas como una bruacutejula
La astronomiacutea solucionoacute los problemas inmediatos de las primeras civilizaciones la
necesidad de establecer con precisioacuten las eacutepocas adecuadas para sembrar y
recoger las cosechas y para las celebraciones y la de orientarse en los
desplazamientos y largos viajes Para los pueblos primitivos el cielo mostraba un
arreglo sistemaacutetico El Sol que separaba el diacutea de la noche saliacutea todas las mantildeanas
desde una direccioacuten el Este se moviacutea uniformemente durante el diacutea y se poniacutea en
la direccioacuten opuesta el Oeste Por la noche se podiacutean ver miles de estrellas que
seguiacutean una trayectoria definida En las zonas tropicales comprobaron que el diacutea y
la noche no duraban exactamente lo mismo a lo largo de un mismo antildeo En los diacuteas
largos el Sol saliacutea maacutes al Norte y ascendiacutea maacutes alto en el cielo al mediodiacutea En los
diacuteas con noches maacutes largas el Sol saliacutea maacutes al Sur y no se veiacutea tan alto Luego
viene el conocimiento de los movimientos ciacuteclicos del Sol de la Luna y de las
estrellas que mostraron su utilidad para la prediccioacuten de fenoacutemenos como el ciclo
de las estaciones de cuyo conocimiento dependiacutea la supervivencia
Cuando la actividad principal del hombre primitivo era la caza se convertiacutea en
primordial el hecho de poder predecir el momento en el que se produciacutea la
3 GIL Quiacutelez M Joseacute y Martiacutenez Pentildea M Begontildea Espantildea Universidad de Zaragoza El
modelo sol-tierra-luna en el lenguaje iconograacutefico de estudiantes de magisterio Ensentildeanza de las ciencias 2005 pp 153ndash166
20
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
migracioacuten estacional de los animales que les serviacutean de alimento y posteriormente
cuando nacieron las primeras comunidades agriacutecolas era fundamental conocer el
momento oportuno para sembrar y recoger las cosechas ademaacutes de saber con
precisioacuten cuando vendriacutean las lluvias que favoreceriacutea los cultivos y para evitar las
posibles inundaciones en aquellos periodos de crecientes
La alternancia del diacutea y la noche debioacute ser un hecho explicado de manera obvia
desde un principio por la presencia o ausencia del Sol en el cielo y el diacutea pudo ser la
primera unidad de tiempo universalmente utilizada Tambieacuten debioacute de ser de suma
importancia desde un principio el hecho de que la calidad de la luz nocturna
dependiera de las fases de la luna y el ciclo de veintiocho a veintinueve diacuteas
ofreciacutea una manera coacutemoda de medir el tiempo De esta manera los calendarios
primitivos casi siempre se basaban en el ciclo de las fases de la luna
En cuanto a las estrellas para cualquier observador debioacute de ser obvio que ellas
son puntos brillantes que conservan un esquema fijo en la noche
Los primitivos naturalmente creiacutean que las estrellas estaban fijas en una especie
de boacuteveda sobre la Tierra Pero que el Sol y la Luna no deberiacutean estar incluidos en
ella
Se conservan grabados en piedra del megaliacutetico de las figuras de ciertas
constelaciones como la Osa Mayor la Osa Menor y las Pleacuteyades En estos
grabados cada estrella estaacute representada por un alveacuteolo circular excavado en la
piedra Del final del Neoliacutetico se han datado menhires y alineamientos de piedras
la mayor parte de ellos orientados hacia el sol naciente aunque no de manera
exacta sino siempre con una desviacioacuten de algunos grados hacia la derecha Este
hecho hace suponer que suponiacutean fija la Estrella Polar e ignoraban la precesioacuten de
los equinoccios
Con el tiempo se observoacute que el esquema visible de las estrellas realiza un giro
completo en poco maacutes de 365 diacuteas Lo que hace pensar que el sol describe un ciclo
completo contra el fondo de las estrellas en ese intervalo de tiempo Ademaacutes dicho
ciclo de 365 diacuteas del Sol concuerda con el de las estaciones podemos observar que
antes del 2500 aC los egipcios ya usaban un calendario basado en tal ciclo por lo
que cabe suponer que siacute utilizaban la observacioacuten astronoacutemica de manera
sistemaacutetica desde el cuarto milenio
De finales de la eacutepoca egipcia (144 dC) son los llamados papiros de Carlsberg
donde aparece consignado un meacutetodo para determinar las fases de la Luna
procedente de fuentes muy antiguas en los cuales se establece un ciclo de 309
21
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
lunaciones por cada 25 antildeos egipcios de tal forma que estos 9125 diacuteas se disponen
en grupos de meses lunares de 29 y 30 diacuteas El conocimiento de este ciclo permite
a los sacerdotes egipcios situar en el calendario civil las fiestas moacuteviles lunares
La orientacioacuten de templos y piraacutemides es otra prueba del tipo de conocimientos
astronoacutemicos de los egipcios las caras de las piraacutemides estaacuten orientadas hacia los
cuatro puntos cardinales de forma que por ejemplo la desviacioacuten al Norte de las
piraacutemides de Keops y Kefreacuten es de 2acute28 es decir praacutecticamente despreciable dada
la dimensioacuten del monumento Probablemente esta orientacioacuten la efectuaban
sabiendo que la sombra maacutes corta de un objeto es la que apunta al Norte
Un recuento histoacuterico de las ideas geomeacutetricas del universo se aprecia en la
siguiente tabla
Tabla 11 Conceptos geomeacutetricos del universo de algunos astroacutenomos
FECHA aC ASTRONOMO DESCUBRIMIENTO
Hacia 600 TALES El universo es una burbuja de aire hemisfeacuterica en el seno de una infinita maacutes liacutequida La superficie coacutencava de esa burbuja es el cielo La superficie plana es la tierra La tierra flota en las aguas inferiores lo cual explica las perturbaciones del suelo y la atmoacutesfera
Hacia 570 ANAXIMANDRO La tierra es un astro plano aislado en el universo que es esfeacuterico y compuesto de anillos de fuego el cual aparece a traveacutes de orificios
Principios siglo PITAGORAS ( Pitagoacutericos ) La tierra es esfeacuterica (primera afirmacioacuten de este hecho que se encuentra en la antiguumledad)
Hacia 450 ANAXAGORAS DE CLAZOMENE
La Luna la Tierra y los planetas son grandes piedras en movimiento por el espacio Explicacioacuten de los eclipses de Luna por la sombra que produce la Tierra cuando pasa entre el Sol y la Luna
22
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
450-400 FILOLAO(Disciacutepulo de Pitaacutegoras)
Todos los astros son esfeacutericos y la Tierra es un astro como los otros animado tambieacuten de un movimiento de rotacioacuten circular en torno al fuego central La duracioacuten de este movimiento (veinticuatro horas) explica el movimiento diurno de las estrellas (movimiento aparente de las estrellas en la boacuteveda celeste en sentido de este a oeste)
427-347 PLATON En el Timeo Platoacuten situacutea la Tierra en el centro del universo pero subraya su caraacutecter esfeacuterico y el hecho de que hay que atribuir a los planetas un movimiento regular (movimiento que estaacute por descubrir)
408-355 EUDOXO(Disciacutepulo de Platoacuten)
Descripcioacuten del movimiento de la Luna y de los planetas Venus Mercurio Juacutepiter y Saturno por la combinacioacuten de movimientos circulares centrados en la Tierra
384-322 ARISTOTELES En De caelo (hacia el 350) Aristoacuteteles reasume el sistema de Eudoxo pero da una realidad concreta a las esferas que sostienen los movimientos circulares Es dar una medida de la dimensioacuten de la Tierra
siglo IV HERACLIDES DE PONTO
Es el primero en suponer que la Tierra gira sobre siacute misma en veinticuatro horas y que Venus gira alrededor del Sol
hacia 290 ARISTARCO DE SAMOS Es el primero en suponer que la Tierra gira no soacutelo
23
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
sobre siacute misma sino tambieacuten alrededor del Sol Evaluoacute las distancias de Sol y la Luna a la Tierra
hacia 280 APOLONIO Teoriacutea de las exceacutentricas
287-212 ARQUIMEDES Mide la circunferencia de la Tierra y propone una evaluacioacuten de las distancias del Sol y de la Luna a la Tierra
273-192 ERATOSTENES Mide rigurosamente la circunferencia de la Tierra
Hacia 150 SELEUCO Mesopotaacutemico que reasume el sistema de Aristarco
Hacia 140dC HIPARCO Estudioacute con exactitud el movimiento de la Luna y del Sol Descubrioacute la precesioacuten de los equinoccios y establecioacute el primer cataacutelogo de las estrellas Adoptoacute el siguiente orden para el sistema solar Tierra Luna Sol Venus Mercurio Marte Juacutepiter y Saturno Situoacute las estrellas maacutes allaacute del sistema solar
PTOLOMEO Conservoacute la teoriacutea de Hiparco y la completoacute con sus observaciones y las de los astroacutenomos posteriores a Hiparco Su teoriacutea del movimiento de los astros aparece en su libro el Almagesto
1546 - 1601 TICHO BRAHE
1571 - 1630 KEPPLER Formulo tres leyes para el movimiento de los planetas y encontroacute sus relaciones entre aacutereas y tiempo
1564 - 1642 GALILEO Mejoro el telescopio y favorecioacute las observaciones de las fases de la luna
24
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
1879 ndash 1955 EINSTEIN Con la teoriacutea de la relatividad pudo explicar la oacuterbita de mercurio
1942- HAWKING Trata de aunar la teoriacutea de la gravitacioacuten y la teoriacutea de la relatividad en el cosmos
162 La astronomiacutea en la educacioacuten
En algunas propuestas didaacutecticas de forma impliacutecita y diluida en los programas de
ciencias naturales que va desapareciendo del curriacuteculo a medida que se avanza en
los niveles acadeacutemicos retomando en fiacutesica algunos conceptos de gravitacioacuten
universal y las leyes del movimiento planetario
LA Astronomiacutea tiene una estrecha relacioacuten con la geometriacutea pues en la observacioacuten
del cielo la matemaacutetica es la herramienta precisa para describir lo que sucede en
tanto que la informacioacuten es maacutes completa en la medida que involucra un graacutefico
Las coacutenicas aparecen en el estudio de la astronomiacutea despueacutes de Kepler cuando eacutel
se da cuenta que las oacuterbitas de los planetas no son como lo habiacutean concebido los
griegos desde un comienzo sino que la circunferencia podriacutea transformarse en una
elipse dependiendo de las caracteriacutesticas de su achatamiento (excentricidad)
La astronomiacutea se debe ensentildear favoreciendo la observacioacuten dado que los
astroacutenomos no tienen laboratorio sino observatorio para comprender los
fenoacutemenos del cielo tan cotidianos como las fases de la luna y los movimientos de
la tierra alrededor del sol usado para construir el calendario Estos movimientos se
entienden aplicando las curvas coacutenicas y que toman importancia en astronomiacutea
desde los inicios de la observacioacuten por los primeros astroacutenomos del mundo griego
que matematizaron las observaciones daacutendoles la historia un lugar en la memoria
Dos cuerpos masivos que interactuacutean seguacuten la ley de la gravitacioacuten universal sus
trayectorias describen secciones coacutenicas si su centro de masa se considera en
reposo Si estaacuten relativamente proacuteximas describiraacuten elipses si se alejan demasiado
describiraacuten hipeacuterbolas o paraacutebolas
La vinculacioacuten de las coacutenicas a la astronomiacutea es ejemplificada en los distintos
movimientos de los cuerpos celestes o artificiales de modo que se pueden
ejemplificar La paraacutebola es una oacuterbita tiacutepica de un objeto que no estaacute vinculado a
un centro de gravedad y que viaja a una velocidad llamada de fuga que le es
necesaria para librarse del campo gravitacional por ejemplo realizan oacuterbitas
paraboacutelicas las sondas espaciales interplanetarias que tienen que escapar del
25
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
campo gravitacional de la Tierra con el fin de dirigirse hacia los planetas
impulsaacutendose en ellos como sucedioacute con el Pioner que se dirigioacute hacia Marte
La elipse es una curva que forma parte de la familia de las Coacutenicas
Matemaacuteticamente se trata de una curva cerrada que se obtiene al cortar un cono
con un plano inclinado en un aacutengulo menor de 90ordm con respecto a la base sin
cortarla
La elipse tiene la forma de un oacutevalo maacutes o menos achatado y es la oacuterbita tiacutepica de
los objetos que giran alrededor de un centro de gravedad como lo hacen por
ejemplo los planetas con el Sol los planetas del sistema solar tienen oacuterbitas
eliacutepticas con una excentricidad muy pequentildea excepto Plutoacuten
La circunferencia tal vez la coacutenica maacutes estudiada porque el mundo griego concibioacute
lo circular como perfecto y lo relacionoacute con lo divino hasta el punto que cuando
Kepler tuvo la necesidad de rehacer sus caacutelculos sobre las orbitas de los planetas y
se dio cuenta que no eran circular el manifestoacute abiertamente que debioacute cambiar las
orbitas circulares por algo asiacute como unas cosas alargadas elipses
Figura 11 Angulo de inclinacioacuten de la tierra
Se sabe que la tierra tiene un ciclo de 25000 antildeos donde su oacuterbita pasa de circular
a eliacuteptica este ciclo lo descubrioacute Milancovich astrofiacutesico Serbio nacido en Daliacute en
1879 y fallecido en 1958 dedujo que se produciacutean cambios en el aacutengulo del eje de
la tierra asiacute como en su rotacioacuten donde se origina un cono y calculoacute todos esas
variaciones Los cambios que tienen lugar en la inclinacioacuten del eje de la Tierra son
los que hacen que las estaciones sean maacutes o menos severas
La hipeacuterbola es una curva coacutenica es decir de las que pueden obtenerse cortando
un cono con un plano Se trata de una curva abierta formada por dos ramas que se
obtiene al cortar una superficie coacutenica mediante un plano que no pasa por el veacutertice
La hipeacuterbola tiene dos asiacutentotas dos rectas cuyas distancias a la curva tienden a
cero cuando la curva se aleja hacia el infinito Las hipeacuterbolas cuyas asiacutentotas son
perpendiculares se llaman hipeacuterbolas equilaacuteteras
26
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Desde el punto de vista astronoacutemico y astronaacuteutico la hipeacuterbola es una oacuterbita
abierta tiacutepica de un cuerpo que procede a velocidades superiores a las necesidades
para escapar al centro de atraccioacuten por ejemplo al Sol
Las oacuterbitas de algunos cometas son hipeacuterbolas Estos cometas soacutelo se acercan una
vez al Sol que es uno de los focos de su trayectoria Despueacutes se alejaraacuten
perdieacutendose en los confines del Sistema Solar
Todas estas observaciones se traeraacuten al aula de clase mediante ilustraciones
construcciones con los mismos estudiantes y en lo posible se usaran simulaciones
de software disponibles en la red y visitas al planetario municipal
2 COacuteNICAS Y SU HISTORIA
Si la Luna te ama iquestqueacute te importa que las estrellas se eclipsen
Proverbio Aacuterabe
La astronomiacutea y la geometriacutea estaacuten iacutentimamente ligadas desde el comienzo de la
cultura griega pues se ha descubierto en 1900 cerca de la isla de Antikitera lo que
podriacutea denominarse como la primera computadora mecaacutenica del cielo Los
cientiacuteficos modernos han logrado reconstruir esta maravillosa maacutequina que podiacutea
predecir por medio de ciacuterculos conceacutentricos tangentes y entrelazados los eclipses
de luna de sol y los movimientos de algunos planetas Mas no se trata solamente
de esto tambieacuten predeciacutea la hora en que sucederiacutean y podriacutea comprobarse
directamente en la ldquomaacutequina de Antikiterardquo
Probablemente el desarrollo de la teoriacutea de las coacutenicas se debioacute en absoluto a los
griegos pues ya hacia fines del siglo IV a de C existieron dos obras importantes
desaparecidas La primera es de Aristeo( hacia 330 A C) el Libro de los lugares
soacutelidos (lugares planos eran los que daban lugar a rectas y ciacuterculos lugares soacutelidos
aquellos en los que aparecen las coacutenicas por interseccioacuten de cilindros y conos con
planos) La segunda obra de intereacutes tambieacuten perdida fue de Euclides (330 aC -
275 aC) en cuatro libros cuyo contenido debioacute ser en sus liacuteneas fundamentales
27
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
el que se encuentra en los cuatro primeros libros de Las Coacutenicas de Apolonio
aunque menos general y menos sistemaacutetico
Las figuras coacutenicas o simplemente coacutenicas se obtienen en la interseccioacuten de
una superficie coacutenica con un plano Se llama superficie coacutenica de revolucioacuten a la
superficie generada por una liacutenea recta que gira alrededor de un eje manteniendo
un punto fijo sobre dicho eje mientras que denominamos simplemente coacutenica a la
curva obtenida al cortar esa superficie con un plano como si tuvieacutesemos un laacutepiz
tomado por la mitad que produzca giros sobre los dedos genera dos conos
conectados por el punto central Las diferentes posiciones de dichos conos en la
interseccioacuten con un plano genera cuatro graacuteficas diferentes llamadas
circunferencia elipse hipeacuterbola y paraacutebola que dependeraacuten del aacutengulo que dicho
plano forme con el eje transversal ver figura
28
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Figura 21 diferentes cortes de un cono para genrear las coacutenicas
Fue Hipoacutecrates de Chios quien demostroacute que se podriacutea conseguir la duplicacioacuten del
cubo siempre que se pudiera encontrar curvas que cumplieran estas proporciones
de modo tal que ax=xy=y2a y Menecmo (350 AC) Halloacute dichas curvas como
secciones (las secciones en aquellos tiempos soacutelo se consideraban perpendiculares
a la generatriz) de conos circulares rectos (ortotoma) agudos (oxitoma) y obtusos
(amblitoma)
Apolonio de Perga (262-190 AC) descubrioacute que las coacutenicas se podiacutean clasificar
en tres tipos a los que dio el nombre de elipses hipeacuterbolas y paraacutebolas
Las elipses son las curvas que se obtiene cortando una superficie coacutenica con un
plano que no es paralelo a ninguna de sus generatrices
Las hipeacuterbolas son las curvas que se obtiene al cortar una superficie coacutenica con un
plano que si es paralelo a dos de sus generatrices (Base y arista)
Las paraacutebolas son las curvas que se obtienen al cortar una superficie coacutenica con un
plano paralelo a una sola generatriz (Arista)
29
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Apolonio demostroacute que dichas curvas coacutenicas teniacutean muchas propiedades
interesantes Algunas de esas propiedades son las que se utilizan actualmente para
definirlas Quizaacutes las propiedades maacutes interesantes y uacutetiles que descubrioacute Apolonio
de las coacutenicas son las llamadas propiedades de reflexioacuten Si se construyen espejos
con la forma de una curva coacutenica que gira alrededor de su eje se obtienen los
llamados espejos eliacutepticos paraboacutelicos o hiperboacutelicos seguacuten la curva que gira
Apolonio demostroacute que si se coloca una fuente de luz en el foco de un espejo
eliacuteptico entonces la luz reflejada en el espejo se concentra en el otro foco Si se
recibe luz de una fuente lejana con un espejo paraboacutelico de manera que los rayos
incidentes son paralelos al eje del espejo entonces la luz reflejada por el espejo se
concentra en el foco Esta propiedad permite encender un papel si se coloca en el
foco de un espejo paraboacutelico y el eje del espejo se apunta hacia el sol circunstancia
utilizada por Arquiacutemedes (287-212 AC) que seguacuten la leyenda logroacute incendiar las
naves romanas durante la defensa de Siracusa usando las propiedades de los
espejos paraboacutelicos De los escritos de Arquiacutemedes solo sobrevivioacute un texto
referente a soacutelidos de revolucioacuten de coacutenicas
A Pappus de Alejandriacutea (290- 350) se le atribuye la introduccioacuten de los conceptos
de foco y directriz En la actualidad esta propiedad se utiliza para los radares las
antenas de televisioacuten y espejos solares La propiedad anaacuteloga que nos dice que un
rayo que parte del foco se refleja paralelamente al eje sirve para que los faros de los
automoacuteviles concentren el haz en la direccioacuten de la carretera o para estufas En el
caso de los espejos hiperboacutelicos la luz proveniente de uno de los focos se refleja
como si viniera del otro foco esta propiedad se utiliza en los grandes estadios para
conseguir una superficie mayor iluminada
En el siglo XVI el filoacutesofo y matemaacutetico Reneacute Descartes (1596-1650) desarrolloacute un
meacutetodo para relacionar las curvas con ecuaciones Este meacutetodo es la llamada
Geometriacutea Analiacutetica En la Geometriacutea Analiacutetica las curvas coacutenicas se pueden
representar por ecuaciones de segundo grado en las variables x e y
El resultado maacutes sorprendente de la Geometriacutea Analiacutetica es que todas las
ecuaciones de segundo grado en dos variables representan secciones coacutenicas se lo
debemos a Jan de Witt (1629-1672) Sin lugar a dudas las coacutenicas son las curvas
maacutes importantes que la geometriacutea ofrece a la fiacutesica Por ejemplo las propiedades
de reflexioacuten son de gran utilidad en la oacuteptica Pero sin duda lo que las hace maacutes
importantes en la fiacutesica es el hecho de que las oacuterbitas de los planetas alrededor del
sol sean elipses y que maacutes auacuten la trayectoria de cualquier cuerpo sometido a una
fuerza gravitatoria es una curva coacutenica
El astroacutenomo alemaacuten Johannes Kepler (1570-1630) descubrioacute que las oacuterbitas de los
planetas alrededor del sol son elipses que tienen al sol como uno de sus focos en el
caso de la tierra la excentricidad es 0017 y los demaacutes planetas variacutean desde 0004
30
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
de Neptuno a 0250 de Plutoacuten Maacutes tarde el ceacutelebre matemaacutetico y fiacutesico ingleacutes Isaac
Newton (1642-1727) demostroacute que la oacuterbita de un cuerpo alrededor de una fuerza
de tipo gravitatorio es siempre una curva coacutenica Kepler tuvo gran dificultad al
aceptar este importantiacutesimo descubrimiento dado que solo la circunferencia era
perfecta entonces tuvo que cambiar hasta su fe en el divino geoacutemetra por una
carretada de estieacutercol algo asiacute como una circunferencia achatada manifestariacutea
posteriormente4La primera ley de Kepler sobre el movimiento de los planetas que
estos siguen orbitas eliacutepticas en uno de cuyos focos se encuentra el Sol
Newton tal vez no habriacutea podido descubrir la ley de la Gravitacioacuten Universal de no
haber conocido la geometriacutea de las elipses La orbita que sigue un objeto dentro de
un campo gravitacional constante es una paraacutebola Asiacute la liacutenea que describe
cualquier moacutevil que es lanzado con una cierta velocidad inicial que no sea vert9ical
es una paraacutebola
En el Universo el movimiento maacutes frecuente de estrellas planetas sateacutelites etc es
el descrito mediante trayectorias eliacutepticas (la circunferencia es un caso articular de
elipse) Esto es asiacute porque a grandes distancias y para objetos sin carga eleacutectrica
neta importante la fuerza principal que gobierna este movimiento es la Fuerza
Gravitatoria Fue el gran fiacutesico y matemaacutetico Isaac Newton (16421727) quien
formuloacute la Ley de la Gravitacioacuten que explica los movimientos de los planetas y
sateacutelites en el Sistema Solar
Esta ley reuacutene las tres leyes de Kepler en una sola
En donde
F = fuerza de atraccioacuten
G = la constante de gravitacioacuten universal
M y m = las masas del Sol y el planeta y
R = la distancia al foco de la elipse ocupado por el Sol
F =G Mm
R2
4 SAGAN Carl Bogotaacute Planeta 1984 viajes a traveacutes del espacio Cap VIII 1996
31
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Esto no es realmente exacto ya que la gravedad no es constante depende de la
distancia del punto al centro de la Tierra En realidad la curva que describe el moacutevil
es una elipse que tiene uno de sus focos en el centro de la Tierra
El punto y la recta son coacutenicas degeneradas (aunque cause risa la expresioacuten) Son
los casos liacutemites de las coacutenicas por decirlo de alguna manera asiacute que agregando a
lo anterior todo lo que conlleve puntos y rectas tambieacuten estariacutea inmerso en el
mundo de las coacutenicas
21 Importancia de las coacutenicas en astronomiacutea
Las curvas coacutenicas son importantes en astronomiacutea dos cuerpos masivos que
interactuacutean seguacuten la ley de la gravitacioacuten universal sus trayectorias describen
secciones coacutenicas si su centro de masa se considera en reposo Si estaacuten
relativamente proacuteximas describiraacuten elipses si se alejan demasiado describiraacuten
hipeacuterbolas o paraacutebolas
Las oacuterbitas de planetas como la Tierra son eliacutepticas donde uno de los focos
corresponde al Sol tambieacuten los cometas describen elipses muy grandes y de esta
manera se cree que este razonamiento tambieacuten se puede aplicar a las oacuterbitas de
los aacutetomos
Una de las pocas obras conservadas de Apolonio aunque una de sus obras
fundamentales es las Coacutenicas De todas formas soacutelo se conserva en el original
griego la mitad los cuatro primeros de sus ocho libros pero por suerte un
matemaacutetico aacuterabe Thabit ibn Qurra (836 Haraacuten actual Turquiacutea - 901 Bagdad)
tradujo los tres libros siguientes al aacuterabe antes de que despareciera su versioacuten
griega y esta traduccioacuten se ha conservado En 1710 Edmund Halley publicoacute una
traduccioacuten al latiacuten de los siete libros y desde entonces se han publicado muchas
versiones en lenguas modernas
22 La Circunferencia en Astronomiacutea
Eudoxo (408 aC - 355 aC) fue el primero en concebir el universo como un
conjunto de 27 esferas conceacutentricas que rodean la Tierra la cual a su vez tambieacuten
era otra esfera Platoacuten que era uno de sus maacutes adelantados alumnos y Aristoacuteteles
(384 - 322 aC) mantuvieron el sistema ideado por Eudoxo agregaacutendole no menos
de cincuenta y cinco esferas en cuyo centro se encontraba la Tierra inmoacutevil
32
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Figura 22 usos de la circunferencia en astronomiacutea
Ptolomeo (85 - 165 aC) recompiloacute el saber astronoacutemico de su eacutepoca en trece
tomos del laquoAlmagestoraquo Expuso un sistema en donde la Tierra en el centro estaba
rodeada por esferas de cristal de los otros 6 astros conocidos La Tierra no ocupaba
exactamente el centro de las esferas y los planetas teniacutean un epiciclo (sistema
creado por Apolonio de Beacutergamo y perfeccionado por Hiparco) cuyo eje era la liacutenea
de la oacuterbita que giraba alrededor de la Tierra llamada deferente
Figura 23 fragmento de la maacutequina de Antikitera
El epiciclo permitiacutea explicar el movimiento retrogrado observado especialmente el de
Marte como el planeta gira alrededor de su epiciclo se aproxima y se aleja de la
Tierra manifestando un movimiento aparentemente retrogrado visto desde la tierra
Este sistema permitiacutea realizar predicciones de los movimientos planetarios aunque
teniacutea una precisioacuten deficiente pero a pesar de esto fue popularizado y aceptado
maacutes que como modelo verdadero como una ficcioacuten matemaacutetica uacutetil Se calcula que
el universo ptolemaico solo media 80 millones de kiloacutemetros esto porque si fuera
maacutes grande la esfera de las estrellas fijas debiacutea rotar demasiado raacutepido para
cumplir un ciclo en 24 horasFue Eratoacutestenes (Cirene c 284 aJC-Alejandriacutea c
192 aJC) Astroacutenomo geoacutegrafo matemaacutetico y filoacutesofo griego quien por primera
33
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
vez se atreviera a medir la circunferencia de la tierra Se cuenta que en Alejandriacutea
habiacutea un pozo profundo que se veiacutea iluminado hasta el fondo el 21 de junio
Eratoacutestenes entonces realizoacute las mismas observaciones en Alejandriacutea el mismo diacutea
a la misma hora descubriendo que la luz del Sol se veiacutea reflejada en un pozo de
agua el mismo diacutea y a la misma hora EumlL Asumioacute de manera correcta que si como
el Sol se encontraba a gran distancia sus rayos cuando tocaban la tierra deberiacutean
llegar en forma paralela si esta era plana como se creiacutea en aquellas eacutepocas y no se
deberiacutean encontrar diferencias entre las sombras proyectadas por los objetos a la
misma hora del mismo diacutea independientemente de donde se encontraran Sin
embargo al demostrarse que si lo haciacutean (la sombra dejada por la torre de Siena
actual Aswan formaba 7 grados con la vertical) dedujo que la tierra no era plana y
utilizando la distancia conocida entre las dos ciudades y el aacutengulo medido de las
sombras calculoacute la circunferencia de la tierra en aproximadamente 250 estadios (40
000 kiloacutemetros) bastante exacto para la eacutepoca y sus instrumentos rudimentarios
Figura 23 Ilustracioacuten de la mediada de la circunferencia terrestre por Eratoacutestenes
Tambieacuten calculoacute la distancia al Sol en 804 000 000 estadios y la distancia a la Luna
en 780 000 estadios Midioacute casi con precisioacuten la inclinacioacuten de la ecliacuteptica en 23ordm 51
15 Otro trabajo astronoacutemico fue una compilacioacuten en un cataacutelogo de cerca de 675
estrellas
Creoacute uno de los calendarios maacutes avanzados para su eacutepoca y una historia
cronoloacutegica del mundo desde la guerra de Troya Realizoacute investigaciones en
geografiacutea dibujando mapas del mundo conocido grandes extensiones del riacuteo Nilo y
describioacute la regioacuten de Eudaimon (actual Yemen) en Arabia
Eratoacutestenes vivioacute en Atenas hasta que fue llamado a Alejandriacutea (245 aJC) para
educar a los hijos de Tolomeo III y para dirigir la biblioteca de la ciudad Ceacutelebre en
34
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
matemaacuteticas por la criba que lleva su nombre utilizada para hallar los nuacutemeros
primos y por su mesolabio instrumento de caacutelculo usado para resolver la media
proporcional
23 Galileo Observando Manchas Solares
Lo primero que comenta Galileo sobre las manchas solares en la segunda de las
cartas escritas sobre este tema el 14 de agosto de 1612 es su convencimiento de
que las manchas se encuentran sobre la superficie solar o muy cerca de ella pero
no en su lejaniacutea como indicaba Schneider Tambieacuten antildeade que no son cuerpos
consistentes como los planetas y que desaparecen y se generan nuevas siendo su
tiempo de duracioacuten variable desde unos pocos diacuteas a maacutes de un mes de existencia
Galileo percibioacute coacutemo las manchas van variando su forma y tonalidad con el paso de
los diacuteas y coacutemo algunas que aparecen en racimos parecen juntarse en una uacutenica
mancha y como otras provenientes de una sola mancha al disgregarse eacutesta se
forman algunas maacutes pequentildeas Cada mancha parece seguir un curso evolutivo
propio diferente al de las demaacutes pero todas tienen una caracteriacutestica en comuacuten
recorren el disco solar siguiendo liacuteneas paralelas entre siacute A raiacutez de este
movimiento Galileo dedujo que el Sol es completamente esfeacuterico y que gira en
torno a su propio eje central aproximadamente en un mes lunar en direccioacuten de
oriente a occidente Tambieacuten apuntoacute que las manchas se encuentran en una franja
que no declina maacutes de 29 grados al norte o sur respecto de su ciacuterculo maacuteximo de
rotacioacuten
Figura 24 manchas solares dibujadas por Galileo
35
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
231 La Elipse En La Astronomiacutea
Leyes de Kepler
El astroacutenomo alemaacuten Johannes Kepler (1571-1630) formuloacute las tres famosas leyes
que llevan su nombre despueacutes de analizar un gran nuacutemero de observaciones
realizadas por Tycho Brahe (1546-1601) de los movimientos de los planetas sobre
todo de Marte
Kepler haciendo caacutelculos sumamente largos encontroacute que habiacutea discrepancias
entre la trayectoria calculada para Marte y las observaciones de Tycho diferencias
que alcanzaban en ocasiones los 8 minutos de arco (las observaciones de Tycho
poseiacutean una exactitud de alrededor de 2 minutos de arco)
Estas diferencias lo llevaron a descubrir cuaacutel era la verdadera oacuterbita de Marte y los
demaacutes planetas del Sistema Solar
1ra Ley - Oacuterbitas Eliacutepticas
Las oacuterbitas de los planetas son elipses que presentan una pequentildea excentricidad y
en donde el Sol se localiza en uno de sus focos
Figura 24 Elipse con sus focos F1 y F2 desde donde se dirige la distancia
constante
Una elipse es baacutesicamente un ciacuterculo ligeramente aplastado Teacutecnicamente se
denomina elipse a una curva plana y cerrada en donde la suma de la distancia a los
focos (puntos fijos F1 y F2) desde uno cualquiera de los puntos M que la forman es
constante e igual a la longitud del eje mayor de la elipse (segmento AB) El eje
menor de la elipse es el segmento CD es perpendicular al segmento AB y corta a
este por la mitad
36
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
La excentricidad es el grado de aplastamiento de la elipse Una excentricidad igual a
cero representa un ciacuterculo perfecto Cuanto maacutes grande la excentricidad mayor el
aplastamiento de la elipse Oacuterbitas con excentricidades iguales a uno se denominan
paraboacutelicas y mayores a uno hiperboacutelicas
La excentricidad de la elipse puede calcularse de la siguiente manera
e = F1F2 AB Donde e es la excentricidad F1F2 es a distancia entre los focos y
AB es el eje mayor de la elipse Si la distancia entre los focos F1F2 es cero como
en el caso del ciacuterculo la excentricidad da como resultado cero
Las oacuterbitas de los planetas son eliacutepticas presentando una pequentildea excentricidad
En el caso de la Tierra el valor de la excentricidad es de 0017 el planeta de mayor
excentricidad es Plutoacuten con 0248 y le sigue de cerca Mercurio con 0206
2da Ley - Ley de las Aacutereas
Las aacutereas barridas por el radio vector que une a los planetas al centro del Sol son
iguales a tiempos iguales
Figura 26 Ilustracioacuten de la ley de Kepler
37
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
La velocidad orbital de un planeta (velocidad a la que se desplaza por su oacuterbita) es
variable de forma inversa a la distancia al Sol a mayor distancia la velocidad orbital
seraacute menor a distancias menores la velocidad orbital seraacute mayor La velocidad es
maacutexima en el punto maacutes cercano al Sol (perihelio) y miacutenima en su punto maacutes lejano
(afelio)
El radio vector de un planeta es la liacutenea que une los centros del planeta y el Sol en
un instante dado El aacuterea que describen en cierto intervalo de tiempo formado entre
un primer radio vector y un segundo radio vector mientras el planeta se desplaza por
su oacuterbita es igual al aacuterea formada por otro par de radio vectores en igual intervalo de
tiempo orbital
3ra Ley - Ley Armoacutenica
Los cuadrados de los periacuteodos orbitales sideacutereos de los planetas son proporcionales
a los cubos de sus distancias medias al Sol
El periacuteodo sideacutereo se mide desde el planeta y respecto de las estrellas estaacute referido
al tiempo transcurrido entre dos pasajes sucesivos del Sol por el meridiano de una
estrella
Donde T1 y T2 son los periacuteodos orbitales y d1 y d2 las distancias a las cuales
orbitan del cuerpo central La foacutermula es vaacutelida mientras las masas de los objetos
sean despreciables en comparacioacuten con la del cuerpo central al cual orbitan
Para dos cuerpos con masas m1 y m2 y una masa central M puede usarse la
siguiente foacutermula
Esta ley fue publicada en 1614 en la maacutes importante obra de Kepler Harmonici
Mundi solucionando el problema de la determinacioacuten de las distancias de los
planetas al Sol Posteriormente Newton explicariacutea con su ley de gravitacioacuten
universal las causas de esta relacioacuten entre el periacuteodo y la distancia
Ejemplo Supongamos que queremos calcular la distancia entre Sol y Marte
Sabemos que su periacuteodo orbital es de 18809 antildeos Luego necesitamos tener una
referencia conocida la cual puede ser la Tierra (ya que tambieacuten oacuterbita al Sol) con
un periacuteodo orbital de 1 antildeo y a una distancia de 1 UA (Unidad Astronoacutemica
distancia media entre el Sol y la Tierra)
Utilizando la tercera ley de Kepler y sin tomar en cuenta las masas de los cuerpos
involucrados podemos calcular el semieje de la oacuterbita de Marte en UA
38
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Despejando D2 tenemos que
El caacutelculo nos da como resultado 15237 UA De la misma manera puede calcularse
la distancia o el periacuteodo orbital de los demaacutes planetas
Pero la oacuterbita de Marte es una elipse por tanto el caacutelculo nos da el semieje de la
oacuterbita (ver graacutefico de ejemplo excentricidad exagerada para mayor claridad) Para
calcular el perihelio y el afelio debe introducirse la excentricidad en la ecuacioacuten
Perihelio = a (1 - e)
Afelio = a (1 + e)
Donde a es el resultado de nuestro caacutelculo anterior (semieje) y e representa la
excentricidad orbital del planeta 0093 en el caso de Marte Reemplazando y
calculando
Perihelio = 15237 (1 - 0093) = 13819 UA
Afelio = 15237 (1 + 0093) = 16654 UA
El caacutelculo se acerca bastante a los datos reales del planeta (1381 y 1666 para el
perihelio y afelio respectivamente)
Podemos calcular tambieacuten la longitud de los ejes El eje mayor es loacutegicamente la
suma entre la distancia en el perihelio y el afelio unas 30473 UA La longitud del
eje menor puede calcularse de la siguiente manera
Donde b es la longitud del semieje menor (o sea la mitad del eje menor) al semieje
de la oacuterbita y e la excentricidad orbital Calculando con los datos anteriores
tenemos que la longitud del semieje menor es de 15171 UA lo cual parece loacutegico
al pensar que debe ser mayor que la distancia en el perihelio y menor que la
distancia en el afelio La longitud del eje menor es 15171 x 2 = 30342 UA
39
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Debe notarse que al calcular el semieje se estaacute calculando la distancia entre los
centros de ambos cuerpos En el caso de los planetas la diferencia es miacutenima (un
radio planetario maacutes un radio solar) entre el caacutelculo de la distancia entre los centros
y las superficies pero en el caso de un sateacutelite artificial la diferencia entre la
distancia en el perigeo y el radio vector en ese momento es de un radio planetario
(6378 km en el caso de la Tierra) algo bastante significativo en comparacioacuten con la
altitud de la oacuterbita del sateacutelite
Kepler encontroacute sus leyes empiacutericamente pero fue Newton utilizando el Caacutelculo
Diferencial que acababa de inventar y su modelo de gravitacioacuten universal quien
proboacute dichas leyes
En la tabla siguiente aparece la excentricidad de las oacuterbitas planetarias asiacute como la
distancia media del planeta al sol medida en unidades astronoacutemicas (UA) una
unidad astronoacutemica es por definicioacuten la distancia media de la tierra al sol
En la siguiente tabla se muestren a la excentricidad de la orbita de los planetas y la
distancia en unidades astronoacutemicas
Tabla 21 excentricidad de los planetas del sistema solar
Planeta Excentricidad Distancia media (UA)
Mercurio 0206 0387
Venus 0007 0723
Tierra 0017 100
Marte 0093 152
Juacutepiter 0048 520
Saturno 0056 954
Urano 0047 1918
Neptuno 0009 3006
Plutoacuten 025 3944
Si medimos el tiempo que tarda un planeta en dar la vuelta alrededor del sol en
antildeos terrestres la constante de proporcionalidad de la tercera ley de Kepler es 1 es
decir su foacutermula es p2 = a3 donde p es el periacuteodo y a es el radio mayor de la
elipse
Ejemplos Encontrar la diferencia entre el radio mayor y el radio menor de la oacuterbita
de la tierra sabiendo que el radio mayor es aproximadamente de 149600 000 Km
Solucioacuten Como la excentricidad de la oacuterbita terrestre es e = c
a = 0017 y el radio menor es b = (a2-c2) 12
Entonces c = 0017a y b = (a2 ( 1-00172) ) 12 = 0999855 a = 149578308 Km
40
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Asiacute que la diferencia entre el radio mayor y el radio menor es 149600000-
149578308 = 21692 Km
que es menos de dos veces el diaacutemetro de la tierra es decir es insignificante
comparada con el tamantildeo de la oacuterbita
Encontrar el periacuteodo de Urano
Solucioacuten La distancia media de Urano al sol es a = 1918 UA asiacute que su
periacuteodo de acuerdo a la tercera ley de Kepler es p = Ouml 19183 = 84 antildeos
No nada maacutes los planetas satisfacen las leyes de Kepler sino que tambieacuten todos
los cuerpos que giran alrededor de otros por ejemplo los cometas girando
alrededor del sol los sateacutelites girando alrededor de los planetas y auacuten el sistema
solar girando alrededor del centro de la Viacutea Laacutectea La constante de
proporcionalidad de la tercera ley depende baacutesicamente de la masa del cuerpo
central
232 La Paraacutebola en la Astronomiacutea
Figura 27 cono con sus diferentes cortes
Hubo uno en 1677 otro de especial brillo en 1680 y un tercero en 1682 Todos ellos
fueron observados cuidadosamente por los astroacutenomos de la eacutepoca anotando cada
noche sus distancias a estrellas fijas y estableciendo asiacute la direccioacuten relativa en que
se moviacutean respecto a la Tierra Sin embargo ninguna conclusioacuten definitiva se
obtuvo de estas observaciones De acuerdo con la mecaacutenica de Newton si un
cometa entraba en el sistema solar procedente de una regioacuten muy alejada deberiacutea
rodear el Sol seguacuten una oacuterbita paraboacutelica (a pesar de que Kepler juroacute que se
desplazaban en liacutenea recta) y partir hacia el infinito Halley basaacutendose en este
hecho comenzoacute un estudio general de los cometas a partir de antiguas
observaciones y calculando sus oacuterbitas tan exactamente como podiacutea
41
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Al analizar sus resultados con maacutes de dos docenas de cometas encontroacute una serie
de coincidencias en los cometas de 1531 1607 y 1682 Todos ellos teniacutean en
comuacuten un nodo ascendente de unos 200 en Tauro una inclinacioacuten orbital de 180deg
(aacutengulo que forma el plano orbital del cometa con el plano de la ecliacuteptica) un
perihelio proacuteximo a 2 en Acuario y una distancia periheacutelica de 58 millones de
kiloacutemetros
Halley calculoacute estas oacuterbitas como paraacutebolas pero eacutel sabiacutea perfectamente que en la
regioacuten proacutexima al foco una paraacutebola diferiacutea muy poco de una elipse alargada Llegoacute
a la conclusioacuten de que no se trataba de tres cometas distintos sino de tres
apariciones del mismo cometa que se desplazaban en una oacuterbita muy eliacuteptica con
un periodo de setenta y cinco a setenta y seis antildeos En ese caso el cometa que eacutel
habiacutea presenciado en Islington en 1682 deberiacutea regresar en 1758 Halley murioacute en
1742 y por tanto no vivioacute lo suficiente para comprobar su prediccioacuten ()
Despueacutes de 11 meses de angustiosa espera el cometa fue visto por vez primera el
diacutea de Navidad de 1758 por un campesino alemaacuten llamado Paacutelizsch y alcanzoacute el
perihelio el 12 de marzo de 1759 El pequentildeo retraso con respecto a las
predicciones de Halley era debido a las perturbaciones producidas por Urano y
Neptuno desconocidos en 1704 y por tanto no tenidos en cuenta en los caacutelculos de
Halley Indirectamente la influencia de estos planetas en el periodo del cometa
Halley constituyoacute uno de los primeros triunfos de la teoriacutea de Newton de la
gravitacioacuten universal Por vez primera en la historia de la humanidad un cometa
habiacutea regresado cuando y donde le esperaban los astroacutenomos Era pues razonable
pensar que los otros cometas tambieacuten eran miembros regulares del sistema solar
Halley no descubrioacute laquosu cometa en el sentido de ser el primero en verle ni siquiera
en estudiarle
Para su descubrimiento necesitoacute apoyarse en las observaciones previas de otros
astroacutenomos como Peter Apiano Longomontanus y Kepler Ninguacuten astroacutenomo pudo
observar dos venidas de un cometa de setenta y seis antildeos y pocas personas
pueden verle dos veces en su vida Sus trabajos sobre los cometas estaacuten
compendiados en la obra Synopsis astronomiae cometicae
Si una oacuterbita tiacutepica de un objeto que no estaacute vinculado a un centro de gravedad y
que viaja a una velocidad llamada de fuga que le es necesaria para librarse del
campo gravitacional Por ejemplo realizan oacuterbitas paraboacutelicas las sondas espaciales
interplanetarias que deben escapar al campo gravitacional de la Tierra con el fin de
dirigirse hacia los planetas
Desde el punto de vista geomeacutetrico (matemaacutetico) la paraacutebola pertenece a la familia
de las Coacutenicas Se trata de una curva plana abierta que se obtiene al cortar una
superficie coacutenica mediante un plano que no pasa por el veacutertice pero corta la base
dejando fuera un aacutengulo menor de 180ordm La paraacutebola se puede definir como el
42
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
lugar geomeacutetrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado
foco y de una recta fija llamada directriz
233 La Hipeacuterbola en Astronomiacutea
Pero es maacutes hay sateacutelites que describen paraacutebolas alrededor de la Tierra y algunas
estrellas describen la mitad de una hipeacuterbola (ya que entera seriacutea imposible porque
las estrellas no se tele trasportan todaviacuteahellip)
Figura 2 8 La hipeacuterbola en la semiesfera
Desde el punto de vista astronoacutemico y astronaacuteutico la hipeacuterbola es una oacuterbita
abierta tiacutepica de un cuerpo que procede a velocidades superiores a las necesidades
para escapar al centro de atraccioacuten por ejemplo al Sol
Una vez al Sol que es uno de los focos de su trayectoria Despueacutes se alejaraacuten
perdieacutendose en los confines del Sistema Solar Las oacuterbitas de algunos cometas son
hipeacuterbolas Estos cometas soacutelo se acercan al sol y luego se pierden en el espacio
El siguiente avance significativo lo hizo Johannes Kepler quien establecioacute la ciencia
fiacutesica moderna como una extensioacuten de estos antiguos descubrimientos griegos tal
como Nicolaacutes de Cusa Luca Pacioli y Leonardo da Vinci los redescubrieron Kepler
citando a Cusa a quien llamo ldquodivinordquo dio una particular importancia a la diferencia
entre la curva (geomeacutetrica) y la recta (aritmeacutetica) Kepler escribioacute en su Mysterium
Cosmographicum ldquoPero despueacutes de todo por que las distinciones entre la curva y
la recta y la nobleza de una curva en la intencioacuten de Dios cuando creo el Universo
Precisamente por queacute Salvo que para el Creador maacutes perfecto fuera
absolutamente necesario crear la maacutes bella obrardquo ldquoComo parte de su investigacioacuten
astronoacutemica Kepler domino Las Coacutenicas de Apolonio que es una compilacioacuten de
los descubrimientos griegos sobre estas curvas superiores
43
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Como resultado de su investigacioacuten sobre la refraccioacuten de la luz Kepler aporto un
concepto nuevo y revolucionario de las secciones coacutenicasrdquo5
Y por primera vez Kepler considero a las secciones coacutenicas como una multiplicidad
proyectiva ldquoentre estas liacuteneas sucede lo siguiente en razoacuten de sus propiedades
pasa de la liacutenea recta a traveacutes de una infinidad de hipeacuterbolas a una paraacutebola y de
ahiacute a traveacutes de una infinidad de elipses al ciacuterculordquo Asiacute por un lado la paraacutebola
tiene dos cosas en naturaleza infinitas la hipeacuterbola y la liacutenea recta la elipse y el
ciacuterculo6
Figura 29 representacioacuten de una hipeacuterbola
La hipeacuterbola la conforma la esquina B del rectaacutengulo OABC En tanto los lados del
rectaacutengulo cambian el aacuterea entendida
24 Propiedades generales de las coacutenicas
Las coacutenicas en general tienen propiedades importantes que son aplicables a
diferentes campos de la ciencia por consiguiente se enunciaraacuten las propiedades
geomeacutetricas maacutes interesantes de las coacutenicas
La suma de los radios vectores de un punto cualquiera de la elipse es igual a
Los radios vectores de los extremos del eje menor son iguales al semieje mayor
5 SAGAN Carl Bogotaacute Planeta 1984 viajes a traveacutes del espacio Cap VIII 1996
6 Ibid
44
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
El semieje mayor a es la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo cuyos catetos son
perpendiculares el semieje menor b y la sami-distancia focal
Los ejes y centro de la elipse son respectivamente ejes de simetriacutea y centro de
simetriacutea de la curva
La tangente a la elipse en un punto de la curva es bisectriz del aacutengulo formado en
dicho punto por un radio vector y la prolongacioacuten del otro La normal de una elipse
biseca al aacutengulo formado por los radios vectores del punto de tangencial
241 Propiedades de la Hipeacuterbola
La diferencia de los radios vectores de un punto cualquiera de la hipeacuterbola es igual a
Los dos semiejes y son los catetos de un triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa es
sami-distancia focal
Una propuesta de ensentildeanza aprendizaje para la construccioacuten y aplicacioacuten de las
coacutenicas
Cuando los dos semiejes a y b son iguales la hipeacuterbola se llama equilaacutetera
Los ejes y el centro de la hipeacuterbola son respectivamente ejes de simetriacutea y centro de
simetriacutea de la curva
La tangente a la hipeacuterbola en un punto de la curva es bisectriz del aacutengulo formado
por los radios vectores correspondientes a dicho punto
La normal de una hipeacuterbola biseca al aacutengulo formado por un radio vector del punto
de tangencia y la prolongacioacuten del otro radio
242 Propiedades de la paraacutebola
El eje de la paraacutebola es el eje de simetriacutea de la curva
La tangente a la paraacutebola en un punto de la curva es bisectriz del aacutengulo formado
por el radio vector correspondiente a dicho punto y la perpendicular a la directriz
trazada por el mismo punto
El foco equidista de los puntos de interseccioacuten de la tangente con la curva y con el
eje
La tangente que pasa por el veacutertice de la paraacutebola es perpendicular al eje de la
paraacutebola y paralela a la directriz
45
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
El lugar geomeacutetrico de las proyecciones del foco sobre las tangentes es la tangente
en el veacutertice
La normal de la paraacutebola es la bisectriz del aacutengulo formado por el radio vector del
punto tangente y la prolongacioacuten de la recta que es perpendicular a la directriz que
pasa por el punto de tangencia
243 La ecuacioacuten general de una seccioacuten coacutenica
El tipo de seccioacuten coacutenica puede ser descubierta por el signo de B2 - 4AC en la
ecuacioacuten
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
Tabla 22 propiedades generales de una coacutenica
Si B2 - 4AC es pues la curva es
lt 0 un elipse un ciacuterculo un punto o ninguna curva
= 0 una paraacutebola 2 liacuteneas paralelas 1 liacutenea o ninguna curva
gt 0 una hipeacuterbola o 2 liacuteneas intersectadas
Las Secciones Coacutenicas Para en cada uno de los abajo mencionados casos lograr
un centro (j k) en vez de (0 0) reponga cada teacutermino x con un (x-j) y cada teacutermino y
con un (y-k)
Tabla 23 propiedades de los elementos de las coacutenicas
Ciacuterculo Elipse Paraacutebola Hipeacuterbola
Ecuacioacuten (veacutertice horizontal)
x2 + y2 = r2 + y2 b2 = 1
4px = y2 x2 a2 - y2 b2 = 1
Ecuaciones de las asiacutentotas
y = plusmn (ba)x
Ecuacioacuten (veacutertice vertical)
x2 + y2 = r2 y2 a2 + x2 b2 = 1
4py = x2 y2 a2 - x2 b2 = 1
Ecuaciones de las asiacutentotas
x = plusmn (ba)y
Variables r = el radio del ciacuterculo
a = el radio mayor (= 12 la longitud del eje mayor)
Variables r = el radio del ciacuterculo
Excentricidad 0 ca ca
El Relacioacuten al Foco
p = 0 a2 - b2 = c2 p = p a2 + b2 = c2
Definicioacuten es la distancia al la suma del la distancia al la diferencia
46
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
el conjunto de todos los puntos que cumple la condicioacuten
origen es constante
las distancias a cada foco es constante
foco = la distancia a la directriz
entre las distancias a cada foco es constante
Toacutepicos Similares
La Seccioacuten Geomeacutetrica sobre Ciacuterculos
Toacutepicos Similares
La Seccioacuten Geomeacutetrica sobre Ciacuterculos
Toacutepicos Similares
x2 a2 + y2 b2 = 1 (elipse cuando a = b circunferencia)
x2 a2 + y2 b2 = -1 (elipse imaginaria)
x2 a2 + y2 b2 = 0 (par de rectas imaginarias que se cortan en un punto real)
x2 a2 - y2 b2 = 1 (hipeacuterbola)
x2 a2 - y2 b2 = 0 (par de rectas reales que se cortan)
x2 - 2py = 0 (paraacutebola)
y2 - 2px = 0 (paraacutebola)
x2 - a2 = 0 (par de rectas reales paralelas)
x2 + a2 = 0 (par de rectas imaginarias paralelas)
x2 = 0 (par de rectas reales coincidentes)
La excentricidad de una circunferencia es cero (ε = 0)
La excentricidad de una elipse es mayor que cero y menor que 1 (0ltε lt 1)
La excentricidad de una paraacutebola es 1 (ε = 1)
La excentricidad de una hipeacuterbola es mayor que 1 (ε gt 1)
Tabla 24 las coacutenicas y su excentricidad
Seccioacuten coacutenica ecuacioacuten cartesiana
excentricidad (ε)
circunferencia X2 + y2 = a2 0
elipse X2a2 + y2b2= 1 radic )
paraacutebola Y2 =4ax 1
hipeacuterbola X2a2 - y2b2= 1 radic )
47
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
3 Metodologiacutea de la Intervencioacuten
ldquoTodos los efectos de la Naturaleza son soacutelo la
consecuencia matemaacutetica de un pequentildeo
Nuacutemero de leyes inmutablesrdquo
Pierre Simoacuten Laplace
Para aplicar las pruebas dentro del aula se llevoacute a cabo un trabajo previo
preparatorio con los estudiantes padres de familia tendiente a facilitar el proceso
para que se pueda incluir en el plan curricular y ademaacutes coincida con el periodo de
desarrollo del trabajo de grado
31 Teacutecnicas
Aplicacioacuten de encuesta diagnostica a los estudiantes del grado 10deg 3 para
determinar las causas de la apatiacutea hacia las matemaacuteticas y establecer una base
sobre los conceptos previos sobre el tema de astronomiacutea dado su intereacutes por el
aacuterea ( 48 encuestas)
Anaacutelisis inicial el cual se basa en el estudio de los resultados de las pruebas
externas e internas se realizara en el primer periodo escolar para las externas del
antildeo 2011 y 2012 y los resultados internos del primer y segundo periodos de 2012
Revisioacuten y articulacioacuten de las mallas curriculares de matemaacuteticas
Realizacioacuten de talleres en equipo lo cual permite la interaccioacuten y el trabajo
cooperativo respetaacutendose asiacute los ritmos de aprendizaje
Implementacioacuten de diferentes estrategias pedagoacutegicas para brindar variedad y hacer
divertido el aprendizaje (charlas magistrales videos visita a la biblioteca de
Empresas Puacuteblicas de Medelliacuten al planetario y talleres con Alianza
Realizacioacuten de pruebas internas con preguntas estructuradas seguacuten estaacutendares
curriculares y modelo nacional para aproximar los estudiantes a los modelos
realizados por el ICFES
Comparacioacuten y anaacutelisis de los resultados internos en el primer segundo y tercer
periodos
Realizar Sensibilizacioacuten y motivacioacuten a los estudiantes docentes y padres de
familia sobre la necesidad de un conocimiento matemaacutetico significativo donde todos
tenemos compromiso por hacer parte de la comunidad educativa
48
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Utilizar diferentes materiales didaacutecticos como dibujos y recursos virtuales juegos
pasatiempos etc para crear alternativas de motivacioacuten entendimiento y aprendizaje
Puesta en escena de videos relacionados con la matemaacutetica y la astronomiacutea
Organizar la informacioacuten obtenida para crear el enlace necesario de los planes de
aacuterea que permitan una verdadera continuidad el proacuteximo antildeo en el proceso
ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas en el grado once
Realizar anaacutelisis de pruebas externas e internas despueacutes de la aplicacioacuten de las
estrategias y comparacioacuten con los anaacutelisis iniacuteciales (uacuteltima semana de clase en
noviembre)
El trabajo disciplinar propiamente dicho que se realizoacute en el aula fue fundamental
ya que a partir de ella se demuestra la calidad de la formacioacuten en los estudiantes y
se obtuvieron las conclusiones las que se haraacuten extensivas al total de la poblacioacuten y
orientaran las futuras intervenciones Para la recoleccioacuten de la informacioacuten inicial
se utilizara una metodologiacutea cuantitativa7 la cual permite obtener datos que
proporcionan mediciones y permiten el anaacutelisis estadiacutestico tambieacuten se empleara
metodologiacutea cualitativa pues se realizaran anaacutelisis de condiciones individuales
Para el diagnoacutestico inicial se analizaron los resultados de las pruebas externas
(Icfes y saber) y los resultados de las pruebas internas (resultados acadeacutemicos 1deg2deg
y 3deg periodos)
32 Aplicacioacuten de instrumentos valorativos
El trabajo realizado en el aula se resume de la siguiente manera
Test inicial
Trabajo de seguimiento
Aplicacioacuten de las guiacuteas de construccioacuten de las coacutenicas con laacutepiz alfileres y curda
Construccioacuten de las coacutenicas mediante el uso detallado utilizando medidas con la
regla compas laacutepiz y escuadra
Realizacioacuten de un crucigrama con palabras tanto de conocimientos de astronomiacutea
como de las coacutenicas una evaluacioacuten o test final de las coacutenicas
En la realizacioacuten del primer test se combinaron los temas tanto de la astronomiacutea
como las coacutenicas porque esa era la finalidad de integrar la astronomiacutea con las
coacutenicas
49
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
El test se preparoacute en una sesioacuten de dos horas donde previamente se habiacutean
resuelto preguntas e inquietudes asiacute mismo se presentoacute previamente un video
sobre los griegos La Armoniacutea de los mundos donde se explica el movimiento
retrogrado de los planetas vistos desde la tierra las formas de sus trayectorias
fotografiadas con caacutemaras de exposicioacuten continua las galaxias y de las teoriacuteas de
Copeacuternico y Kepler asiacute como de sus historias y el vuelco que se dio al mundo
cientiacutefico por sus teoriacuteas y explicaciones maacutes satisfactorias sobre el sistema solar y
el suentildeo de Kepler de su misterio coacutesmico en relacioacuten con los soacutelidos pitagoacutericos
El test se disentildeoacute con 20 preguntas muy generales que permiten tener un
acercamiento a los conocimientos previos sobre la astronomiacutea y propiamente de ella
aplicada a las coacutenicas asiacute como de cultura general
Como actividades intermedias cabe destacar la medicioacuten de la sombra el del
equinoccio de junio 23 para ver la inclinacioacuten del eje terrestre fecha que sirvioacute para
la preparacioacuten del mismo evento en septiembre 21 el cual no se pudo ver por la
lluvia pero dejo en los estudiantes una aguda inquietud sobre el tema sus causas y
el significado en teacuterminos climaacuteticos para las diferentes zonas del planeta
La visita guiada al planetario de Medelliacuten Jesuacutes Emilio Ramiacuterez S J permitioacute ampliar
el tema visto en clase y salpicado por la curiosidad del video de Carl Sagan donde
empiezan a aparecer las coacutenicas como caminos de los astros seguacuten palabras de un
estudiante
Luego de tener identificadas las coacutenicas por lo menos con sus nombres se
presenta la guiacutea de construccioacuten de las cuatro coacutenicas de manera luacutedica y
utilizando una curda unos soportes como alfileres o chinchetas y una escuadra los
estudiantes logran comprender de manera casi inmediata obtener todas las
coacutenicas
Luego de este abrebocas se presenta una guiacutea para construir las coacutenicas pero en
este caso si se presentan los elementos constituyentes y con la facilidad de
identificar cada elemento ubicarlo en el plano cartesiano y deducir sus ecuaciones
Como un material que sirvioacute de apoyo intermedio se presentoacute un crucigrama que
entrelaza teacuterminos relacionados con la astronomiacutea y las coacutenicas
La puesta en escena de esta actividad generoacute momentos gratificantes porque el
estudiante se encuentra con algo praacutectico y alejado del pedestal de la
incompresibilidad del tema porque ya teniacutean elementos suficientes para identificar
todas las coacutenicas con sus respetivos elementos y sobretodo poder plasmarlas en el
tablero en cartulinas inclusive en el mismo piso
Antes de hacer la evaluacioacuten final del tema donde ya se ha presentado suficiente
ilustracioacuten en cuanto a divulgacioacuten y ampliacioacuten del tema por parte de los
50
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
estudiantes que haciacutean lecturas tendientes a complementar las clases y por la
inquietud de ver algunos programas del canal History que los estudiantes del club
de Astronomiacutea proponiacutean como temas centrales
Por uacuteltimo se presentoacute la evaluacioacuten final de las actividades donde se evaluacutean
todas las actividades propias de las coacutenicas donde se identifican rectas y puntos
significativos orientacioacuten de las graacuteficas en los ejes coordenados asiacute como
distancias dirigidas en el plano cartesiano La identificacioacuten de elementos en el
plano de modo analiacutetico aplicacioacuten de sus propiedades deducidas de la ecuacioacuten
general y ejercitacioacuten mediante la aplicacioacuten de cada una de las coacutenicas
51
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
4 Anaacutelisis de Resultados
ldquoEl final de toda exploracioacuten seraacute llegar al punto de partida y conocer el lugar por
primera vez
Thomas S Eliot
Tabla 41 cuadro comparativo del ICFES de la IE Josefina Muntildeoz G
41 Resultados del ICFES Para los Antildeos Indicados
Se inicia el anaacutelisis de datos obtenidos poniendo de manifiesto los resultados de las
pruebas ICFES del colegio donde se evidencia el bajo desempentildeo acadeacutemico
especialmente en matemaacutetica donde los resultados estaacuten muy por debajo de la
media y aunque el colegio ha mejorado de puesto el desempentildeo en matemaacutetica
sigue siendo muy bajo teniendo en cuenta otros factores como la cantidad de
estudiantes que pasan a las universidades puacuteblicas entre 6 y 10 en los uacuteltimos ocho
antildeos
A continuacioacuten se haraacute una descripcioacuten detallada de los datos obtenidos en el
primer test sobre coacutenica y astronomiacutea para los estudiantes de 10deg 3 cuyo objetivo
0
10
20
30
40
50
60
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
52
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
principal era conocer los conceptos previos de las coacutenicas para relacionarlos con la
astronomiacutea
Tabla 42 preguntas del primer Test
El graacutefico muestra que los estudiantes en su gran mayoriacutea en el grupo 10deg 3
conocen sobre el origen del nombre de las coacutenicas y tambieacuten sobre el gusto por la
astronomiacutea ademaacutes de poder identificarlas en un dibujo y sobre todo que conocen
el trabajo de Johannes Kepler en su curso de fiacutesica y lo maacutes importante es el gusto
por el curso cuando planteamos la relacioacuten con la astronomiacutea que aunque solo fue
un capiacutetulo se notoacute desde el comienzo el gran intereacutes de todos los estudiantes que
veiacutean en este tema un capitulo sin tanta matemaacutetica y sobretodo foacutermulas difiacuteciles
de deducir o aplicar en palabras de ellos mismos
Con los estudiantes tanto dentro como fuera del aula pero conectados al tema de
intereacutes surgen cuestionamientos sobre las coacutenicas y en el escrito manifiestan que
conocen muchos elementos con tales formas unos de pronto extrantildeos otros muy
comunes pero estaacuten de acuerdo que las coacutenicas parecen en la cotidianidad de una
u otra forma y lo expresan libremente porque en alguna parte las han visto Se
puede afirmar que la mayoriacutea del grupo tiene conocimiento de esas formas
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
si
No
53
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Tabla 43 aplicaciones cotidianas de las coacutenicas
Tabla 44 razones para estudiar astronomiacutea
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
El hombrebusca
explicarcomo
funciona elunivrso
La cienciabusca
respuestas
El hombrehace
modelos conlo queconoce
El universoes
matemaacutetica
Lanaturalezasigue leyes
Dios esmatemaacutetico
Si
No
No se sabe
54
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Tratando de encontrar una relacioacuten entre la astronomiacutea y la matemaacutetica se formuloacute
la pregunta sobre que pensaban los estudiantes con respecto a la astronomiacutea y su
funcioacuten social a lo que contestaron que la matemaacutetica tiene su aplicacioacuten en todo lo
que el hombre quiere responder sobre el origen del universo y su funcionamiento
haciendo modelos y aplicaciones de cosas que conoce para generalizarlas
mediante el uso de foacutermulas y ecuaciones que describen de manera matemaacutetica los
modelos
Tabla 45 Conocimiento particular de cada una de las coacutenicas
Del graacutefico se puede observar como hay una gran cantidad de estudiantes que
pueden definir las coacutenicas con sus propias palabras teniendo sentido y loacutegica
matemaacutetica de acuerdo a lo establecido en los programas curriculares aunque
muchas veces se nota la dificultad para expresar correctamente algo de lo que un
estudiante estaacute seguro
De las coacutenicas maacutes conocidas y que presentan mayor apropiacioacuten de conceptos
baacutesicos es la circunferencia graacutefica que los mismos estudiantes han catalogado
como la rdquo elipse con dos centrosrdquo pues sus experiencias cotidianas con elementos
de esta forma ayudan a tener conceptos asociados a dicha figura como el
movimiento circular los rines de sus bicicletas tapas de ollas frisbi monedas y en
general objetos cotidianos tanto en sus casas como en el colegio
0
5
10
15
20
25
30
35
40
define con tuspalabras cada
coacutenica
identificar losfocos en las
conicas
localiza elcentro
dibuja el eje desimetria
puedes usas elcompas para
dibjurlas
identificaobjetos conestas formas
parabola
eleipse
hiperbola
circulo
55
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
La elipse es la segunda coacutenica la cual es estudiada con mayor detenimiento en
fiacutesica y en quiacutemica donde se aplica en las leyes de Kepler y para las orbitales de los
electrones alrededor del nuacutecleo
La paraacutebola se estudia el movimiento de proyectiles es el descrito por un cohete
cuando sale hacia un sateacutelite hacia otro planeta Por supuesto que la paraacutebola es
maacutes conocida y aplicada en la vida cotidiana puesto que de esta forma son todas
las antenas que se observan en las azotes de los edificios las repetidoras de
celulares y el gran uso en la astronomiacutea dado que los telescopios son de esta forma
y en especial el de Arecibo en Puerto rico con una gran paraboloide de 305 m de
diaacutemetro Por el contrario la hipeacuterbola es la coacutenica de la que menos conocen es
menos familiar y no manifiestan conoces muchos objetos o representaciones de
dicha coacutenica En astronomiacutea referida a los cuerpos celestes solo se conocen las
trayectorias de los cometas como aplicaciones
Tabla 46 naturaleza de la ecuacioacuten de una coacutenica
Ya adentraacutendose a la estructura de las ecuaciones de las coacutenicas es claro que la
mayoriacutea saben que sus ecuaciones son de tipo cuadraacutetico dado que una ecuacioacuten o
foacutermula que tenga exponentes distintos de uno (1) no pueden ser liacuteneas rectas y
estas graacuteficas representan curvas en el buen sentido del lenguaje
Califica de 2 a 5 cada uno de los iacutetems presentados para tener idea de la valoracioacuten
que se da a cada coacutenica donde cada valor representa un atributo siendo 2 el valor
maacutes bajo o desfavorable y siendo 5 el maacuteximo valor o valor maacutes favorable a cada
calificativo
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Lineal Cuadratica Radical Exponencial
56
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Para la evaluacioacuten de la uacuteltima actividad se realizoacute una prueba con preguntas sobre
el componente de las coacutenicas puesto que ese era el objetivo inicial poner las
coacutenicas en manos de la astronomiacutea los resultados se pueden ver en las graacuteficas
De la circunferencia
pregunta 2 3 4 5
1 La facilidad para la construccioacuten de la graacutefica es
4 2 2 40
2 La loacutegica de la deduccioacuten algebraica de sus ecuacioacuten es
1
6 2 39
3 Conoces aplicaciones de la circunferencia
2
6
20
20
4 los cuerpos celestes se aproximan a formas circulares
1 6 1 40
5 la importancia de la circunferencia es para el desarrollo humano
2 2
2
42
57
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Tabla 47 calificacioacuten de la circunferencia
De la paraacutebola
pregunta 2 3 4 5
6 La complejidad de la deduccioacuten algebraica de sus ecuacioacuten
23
16
1
10
7 Conoces aplicaciones de la paraacutebola
4
6
2
36
8 Identificas claramente todos sus elementos
3
12
3
30
9 La facilidad de construccioacuten de su graacutefica es
28
12
7
1
10 La teoriacutea se contrasta con la praacutectica
2
6
22
18
11 Identificas la trayectoria de una pelota e golf
4
6
21
17
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
1 2 3 4 5
La facilidad para la construccioacutende la graacutefica es
La loacutegica de la deduccioacutenalgebraica de sus ecuacioacuten es
Conoces aplicaciones de lacircunferencia
los cuerpos celestes seaproximan a formas circulares
la importancia de lacircunferencia es para eldesarrollo humano
58
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
como una coacutenica
12 Comprendes la utilidad de la ecuacioacuten de la paraacutebola
1
4
13
30
13 Identificas la paraacutebola con eventos astronoacutemicos
2
15
14
17
Tabla 47 calificacioacuten de la paraacutebola
De la elipse se puede decir
2 3 4 5
14 La facilidad en la construccioacuten de la graacutefica es
2 18 2 26
15 Identificacioacuten de los diversos elementos
9
3
1
35
4 6
2
36
3
12
3
30 28
12
7
1 2
6
22
18
4 6
21
17
1
4
13
30
2
15 14
17
0
5
10
15
20
25
30
35
40
1 2 3 4 5
La complejidad de la deduccioacutenalgebraica de sus ecuacioacuten
Conoces aplicaciones de laparaacutebola
Identificas claramente todos suselementos
La facilidad de construccioacuten desu graacutefica es
La teoriacutea se contrasta con lapraacutectica
Identificas la trayectoria de unapelota e golf como una coacutenica
Comprendes la utilidad de laecuacioacuten de la paraacutebola
Identificas la paraacutebola coneventos astronoacutemicos
59
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
16 Anaacutelisis algebraico se facilita
5 9 4 30
17 Complejidad en construccioacuten de la graacutefica
5 1 2 40
18 La guiacutea permite mayor comprensioacuten del tema
4 6 2 36
19 La definicioacuten de elipse se ajusta o compara con lo que sucede en el sistema solar
1
4
29
14
20 Se logra una comprensioacuten de su ecuacioacuten
4
6 19 1 9
21 Se comprende faacutecilmente la factorizacioacuten para obtener su ecuacioacuten
40 1 7 40
22 Comprendes todas las propiedades de la elipse
0 1 6
41
23 La guiacutea permite una comprensioacuten completa del tema
4
3
1
40
60
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Tabla 48 calificacioacuten de la elipse
2 3 4 5
14 La facilidad en la construccioacuten de la graacutefica es
2 18 2 26
15 Identificacioacuten de los diversos elementos
9
3
1
35
16 Anaacutelisis algebraico se facilita
5 9 4 30
17 Complejidad en construccioacuten de la graacutefica
5 1 2 40
18 La guiacutea permite mayor comprensioacuten del tema
4 6 2 36
19 La definicioacuten de elipse se ajusta o compara con lo que sucede en el sistema solar
1
4
29
14
05
1015202530354045
La f
acili
dad
en
la c
on
stru
ccioacute
nd
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graacute
fica
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Iden
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co
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del
hellip
14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
2
3
4
5
61
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
20 Se logra una comprensioacuten de su ecuacioacuten
4
6 19 1 9
21 Se comprende faacutecilmente la factorizacioacuten para obtener su ecuacioacuten
40 1 7 40
22 Comprendes todas las propiedades de la elipse
0 1 6
41
23 La guiacutea permite una comprensioacuten completa del tema
4
3
1
40
Hipeacuterbola
2 3 4 5
24 La facilidad para la construccioacuten de la hipeacuterbola es
3 3 6 36
25 Se entienden las medidas tomadas como una explicacioacuten de sus propiedades
3 1 12 32
26 Es aplicable en la cotidianidad
7 9 18 16
27 La facilidad en deduccioacuten algebraica de su ecuacioacuten es
6 6 6 30
28 Puedes asociar su graacutefica a eventos astronoacutemicos
13 15 1 22
29 Puedes identificar todos los elementos que la constituyen
2 8 5 33
30 Conoces objetos que tengan su forma
30 2 10 6
62
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Tabla 48 calificacioacuten para la hipeacuterbola
Tabla 49 despentildeo de los estudiantes de 10deg3 en el uacuteltimo periodo
La tabla anterior muestra el desempentildeo de los estudiantes y compara los
resultados tanto del periodo en matemaacutetica como el examen final que llevoacute a ganar
el antildeo finalmente
05
10152025303540
La f
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par
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Co
no
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su
fo
rma
24 25 26 27 28 29 30
2
3
4
5
42
40
45
Estudiantes de la I E Josefina Muntildeoz Gde 10deg 3 que aprobaron
El examen final dematemaacutetica
El 4deg periodo
El antildeo escolar
63
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Tabla 410 resultados de la elaboracioacuten del crucigrama como actividad mediadora
entre la astronomiacutea y las coacutenicas
Se muestra como los estudiantes pudieron resolver el crucigrama ampliando de
este modo su vocabulario e incorporando estos conceptos a las coacutenicas
Tabla 411notas de la evaluacioacuten final
Se muestra como el rendimiento acadeacutemico evaluado en la parte final del periodo
acadeacutemico a pesar de las muacuteltiples actividades del fin de antildeo se obtuvieron buenos
resultados aun sabiendo que el examen estaba largo y resumiacutea todos los toacutepicos de
las coacutenicas
13 4
33 40
10
Palabras del crucigrama sobre Astronomia (total 71)respondidas por los estudiantes de 10deg3 IEJosefina Muntildeoz G
1--14
15-28
29-42
43-56
57-71
4 9
6
54
27
I-E Josefina Muntildeoz G Notas en el examen final matematicas
10deg3
00-10
11-20
21-30
31-40
41-50
64
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Luego de estar listas las preguntas los estudiantes realizan el crucigrama donde se
integral tema de las coacutenicas con las aplicaciones en astronomiacutea
Las actividades complementarias como los videos de astronomiacutea se ofrecieron
dentro de las clases ordinarias y la visita al planetario municipal Jesuacutes Emilio
Ramiacuterez se programoacute un diacutea luacutedico para tal fin al igual que la actividad para
apreciar el equinoccio y medir la sombra donde se pudo ver con mayor ahiacutenco el
gusto por temas de astronomiacutea
65
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
5 Conclusiones y recomendaciones
ldquoEl universo es una esfera infinita cuyo centro estaacute en todas partes y la
circunferencia en ningunardquo
Blas Pascal
51 De los estudiantes
Cuando se factoriza completando cuadrados se introducen en la ecuacioacuten
sus elementos
Las ecuaciones de las coacutenicas son casi iguales solo varia un signo
El meacutetodo luacutedico de ver la astronomiacutea me ha permitido entender las coacutenicas
y sus elementos maacutes importantes
La astronomiacutea y las coacutenicas van de la mano
Las coacutenicas se complementan con la astronomiacutea
Comprender los elementos de las coacutenicas ayuda a entender la factorizacioacuten
Todos los elementos de la astronomiacutea en las coacutenicas se construyen con la
competicioacuten de cuadrados
Si fuera posible encontrariacutea un meacutetodo para dibujar las coacutenicas pero sin
matemaacutetica alguna
Aunque la construccioacuten de las coacutenicas de manera luacutedica es necesario el uso
de la matemaacutetica
Me oriento por el uso del discriminante para saber a queacute coacutenica nos
referimos
Conocer la elipse en astronomiacutea me permite entender las propiedades los
semiejes y su ubicacioacuten
Si uno sabe dibujar las coacutenicas no veo la necesidad de deducir las
ecuaciones
Todas las coacutenicas tienen ecuaciones distintas pero cuando las veo juntas
se me confunden
Entender la astronomiacutea y las coacutenicas es como entender el libro de Baldor
Promover estrategias de este tipo en ciencias naturales con los chicos para
desarrollar el amor por la astronomiacutea a maacutes temprana edad
66
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Implementar las sala de videos con software educativos y faciliten la
ensentildeanza de la astronomiacutea y de los toacutepicos especiales de matemaacutetica
Las coacutenicas tienen tantas ecuaciones como estrellas en el cielo por eso no
las distingo
Es maacutes faacutecil entender el cielo que las ecuaciones de las coacutenicas
Las coacutenicas se aplican a muchos artefactos tecnoloacutegicos como telescopios
El que entiende las trayectorias de los astros ya estaacute leyendo la historia del
universo
La trayectoria de los comenta es una hipeacuterbola
Las coacutenicas se pueden obtener en una botella llena de liacutequido
Es motivante saber que hubo estudiosos que se dedicaron a tratar el tema
Los griegos lo descubrieron todo respecto a la matemaacutetica de las coacutenicas
Ver una moneda de 5 dracmas con la efigie de Soacutecrates hace ver lo actual
de la historia de las matemaacuteticas en Grecia
No tiene sentido hacer una figura sin saber que o quien la produce en el cielo
Todas las coacutenicas tienen sentido menos la hipeacuterbola que es como una figura
partida
Las partiacuteculas que se mueven a nivel subatoacutemico describen alguna coacutenica
Dibujar las coacutenicas me hace recordar sus aplicaciones
Las coacutenicas son derivadas de la sublime circunferencia
La elipse es una circunferencia con ldquodos centrosrdquo que coincides
La elipse es como la silueta de un huevo pero pareja
Las coacutenicas se pueden construir con partes de una circunferencia
La circunferencia le dio a astronomiacutea el camino para descubrir las otras
coacutenicas
Construir las coacutenicas con regla lleva a entender las trayectorias de los
cuerpos celestes
Construir las coacutenicas con sus elementos me ayuda a entender la
factorizacioacuten
Las coacutenicas se aplican no solo en la astronomiacutea sino en objetos y aparatos
cotidianos como las bielas de los carros
67
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Los epiciclos y ecuantes usados por los griegos los llevaron a descubrir las
coacutenicas
52 Del profesor
El disentildeo de cada una de las actividades permitioacute enriquecer los conocimientos teoacutericos y praacutecticos sobre la ensentildeanza de las coacutenicas y la astronomiacutea en particular para los estudiantes de grado deacutecimo 3 demostrando con cada actividad que si se puede llevar la luacutedica al aula de clase para mejores resultados acadeacutemicos
Para lograr identificar y adecuar toacutepicos de Matemaacuteticas en las coacutenicas y relacionarlos con la Astronomiacutea de forma pertinente para adelantar trabajos con estudiantes de grado deacutecimo fue necesario hacer un estudio cuidadoso sobre los Lineamientos Curriculares y Estaacutendares baacutesicos en matemaacuteticas y en fiacutesica Ademaacutes hacer una revisioacuten teoacuterica sobre la ensentildeanza y aprendizaje de las coacutenicas y la astronomiacutea con el fin de proporcionar un mejor disentildeo y fundamento teoacuterico a la propuesta de actividades presentada
La elaboracioacuten y adecuacioacuten de guiacuteas existentes para de este trabajo se constituyoacute en un espacio importante en la formacioacuten como docente ya que aporto de manera significativa hacia un cambio de visioacuten sobre la ensentildeanza y aprendizaje no soacutelo de las matemaacuteticas sino tambieacuten de las ciencias exactas y naturales
La interaccioacuten de los estudiantes con los materiales y los conceptos aprehendidos evidencioacute una alegriacutea desbordante que se manifestaba en el gusto por trabajar en la clase de matemaacutetica por averiguar el proacuteximo tema a tratar en la clase
Para los estudiantes fue agradable trabajar el tema por la interdisciplinariedad representada en la astronomiacutea y por el uso de la matemaacutetica en ella
Se evidencia apatiacutea hacia el tema especialmente cuando era necesario el procedimiento algebraico para dos o tres estudiantes que manifestaban abiertamente que no les gusta la matemaacutetica y las dificultades que se les ha presentado a nivel disciplinario tienen origen en esta apatiacutea aunque finalmente lograron adaptarse y comprender el tema
68
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
El deseo de los estudiantes por implementar esta metodologiacutea en otras materias especialmente aquellas que se les ha tenido en el pedestal del olvido o desprecio por ser disciplinas maacutes difiacuteciles y en las que maacutes bajos resultados presentan
Es importante resaltar que en las clases del uacuteltimo periodo ninguacuten estudiante se salioacute del aula de clase o del saloacuten de video antes de ser la hora de salir por el contrario en varias ocasiones fue necesario recortar la clase siguiente o el descanso para poder terminar la actividad
Se puede inferir que el gusto por la astronomiacutea de los estudiantes es grande dado que actualmente algunos se dedican de lleno a la observacioacuten de las fases de la luna las estrellas y su ubicacioacuten y en general eventos astronoacutemicos como los eclipses recientes
Se pudo evidenciar aprendizaje no mecaacutenico al poder ver medir e identificar cada una de los elementos que conforman las coacutenicas y saber su ubicacioacuten y significado geomeacutetrico de los puntos y liacuteneas particulares en el momento de relacionarlos con la astronomiacutea especialmente en las leyes de Kepler
El trabajo colaborativo que se dio en los talleres para desarrollar tanto la parte praacutectica de construccioacuten como en la adquisicioacuten de conceptos teoacutericos se evidencioacute siempre el deseo de hacer trabajo en equipo para un mayor enriquecimiento de los conceptos que tienen que ver con la astronomiacutea
La IE se deberiacutea comprometer para implementar un observatorio para estudiar el cielo de una manera sencilla al principio pero que pueda tomar fuerza con el tiempo y hacer que los estudiantes tomen maacutes carintildeo a las ciencias para un mejor desempentildeo acadeacutemico en el grado once y tener mejores resultados en las pruebas ICFES y en la universidad
Promover estrategias de este tipo en ciencias naturales con los chicos desde primaria para desarrollar el amor por la astronomiacutea a maacutes temprana edad
Implementar las sala de videos con software educativos que faciliten la ensentildeanza de la astronomiacutea y de los toacutepicos especiales de matemaacutetica
La realizacioacuten de actividades extra clase permitioacute en los estudiantes ver que el aula de clase puede ser cualquier sitio donde se aprende se cuestiona sobre un tema o se contrastan los conceptos previos con observaciones
69
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Algunos estudiantes participan motu-propio en actividades realizadas en el planetario y en el observatorio del Recinto de Quirama en el Carmen de Viboral
Cuando se identifican los elementos de una coacutenica se comprende que la excentricidad es quien domina la astronomiacutea forma de la figura resultante y se aplica ampliamente en
Realizar algunas actividades complementarias a las trazadas en el programa de la materia permitioacute acercar los conceptos aplicados directamente al tema referido en este trabajo
Ver la imagen de Aristoacuteteles en una moneda me hace pensar en ese momento grandioso de la historia que nos dio la cara para empezar a ser sabios
53 Recomendaciones
Implementar una aula taller de matemaacutetica
procurar un meacutetodo luacutedico para la ensentildeanza de las otras aacutereas como este que arroja buenos resultados
procurar un meacutetodo luacutedico para la ensentildeanza de las otras aacutereas como este que arroja buenos resultados
organizar las clases de matemaacutetica y fiacutesica con talleres para tener la oportunidad de aprender haciendo
54 Inquietudes
iquestEl sol estaacute en uno de los focos de la elipse de los planetas pero en el otro
que hay
iquestLa circunferencia es la figura que dio origen a las coacutenicas
Si Kepler contradijo la teoriacutea del sistema solar porque no lo quemaron
iquestSeriacutea posible construir las coacutenicas sin el uso del aacutelgebra
iquestPor queacute la tierra solo tiene una luna
70
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
iquestSi las coacutenicas no se hubiesen descubierto Kepler habriacutea trabajado con la
circunferencia y habriacutea acomodado sus oacuterbitas
iquestCuaacutel es la razoacuten para que el aacutetomo sea un sistema solara en miniatura
71
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
BIBLIOGRAFIA
APOacuteSTOL T M Calculo con funciones de una variable con una introduccioacuten al
aacutelgebra lineal En T M Apoacutestol Calculo con funciones de una variable con una
introduccioacuten al aacutelgebra lineal Espantildea Reverteacute 2001 p 545
GIL Quiacutelez M Joseacute y Martiacutenez Pentildea M Begontildea El modelo sol-tierra-luna en el lenguaje iconograacutefico de estudiantes de magisterio Ensentildeanza de las ciencias Espantildea Universidad de Zaragoza 2005 pp 153ndash166 LEHMANN C H GEOMETRIA ANALITICA Meacutexico Limusa 1989
MENLinC Lineamientos curriculares de Matemaacuteticas 1998 Recuperado de Lineamientos curriculares de Matemaacuteticas httpwwwmineducaciongovcocvn1665articles-89869_archivo_pdf9pdf
Ministerio de Educacioacuten Nacional Lineamientos Curriculares de Matemaacuteticas Bogotaacute Magisterio 2000 MOREIRA Marco La teoriacutea del aprendizaje significativo de David Ausubel Porto Alegre Universidad Porto Alegre 1983 p31
OBANDO Bernardo Alternativas de ensentildeanza de las matemaacuteticas Universidad
Catoacutelica de Manizales 2010
PALACINO RODRIacuteGUEZ F Competencias comunicativas aprendizaje y ensentildeanza de las Ciencias Naturales un enfoque luacutedico En Revista Electroacutenica de Ensentildeanza de las Ciencias 2007 Vol 6 nordm 2 pp 275-298 PALOMINO JL (2008) Proyecto Atlaacutentida Las competencias baacutesicas Recuperado de httpwwwentretizasorgproyecto-atlantida-las
SAGAN Carl 1984 viajes a traveacutes del espacio COSMOS CAP VIII Bogotaacute Planeta 1996
TIGNANELLI Horacio Astronomiacutea en liliput Diapositivas del curso de AstronomiacuteaBuenos Aires Cultureacute 2006 p17
72
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
REFERENCIAS VIRTUALES
httpwwwyoutubecomwatchv=HWJHHcpziN8 Solsticio de verano httpwwwyoutubecomwatchv=CduKL-_f_S0ampfeature=related Movimiento aparente del Sol httpwwwyoutubecomwatchv=0T78mU-m_K0ampfeature=related
httpwwwyoutubecomwatchv=a6moqEAzJbw movimiento paraboacutelico de un
chorro de agua parque explora
httpwwwyoutubecomwatchv=RLPVCJjTNgk
73
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Anexo A primer test para estudiantes de 10deg 3
MAESTRIA EN ENSENtildeANZADE LAS CIENCIAS EXACTAS
Y NATURALES
ACTIVIDAD 1 TEST PARA ESTUDIANTES DE 10deg IE JOSFINA MUNtildeOZ
GONZALEZ
NOMBRE___________________________________________________________
____
iquestConoces sobre el tema de las coacutenicas Si___No___
iquestConoces de donde proviene el nombre de coacutenicas para ciertos lugares
geomeacutetricos Siacute___ No___
Identificas a simple vista las figuras de las coacutenicas Si__No__
iquestCuaacutentas coacutenicas puedes identificar por sus dibujos 0__ 1__2__3__4__
Nombra las coacutenicas que
conoces____________________________________________________________
iquestPuedes dibujar las coacutenicas Si___No___
Las ecuaciones que representan las coacutenicas son
Lineales__Cuadraacuteticas____radicales___exponenciales____
Escribe los elementos de una
Coacutenica__________________________________________________________
iquestConoces la ecuacioacuten Canoacutenica o general delas coacutenicas Si___No__
El lugar geomeacutetrico de todos los puntos que se encuentran a la misma distancia de
una recta fija y un punto fijo llamado foco se denomina Hipeacuterbola ___
Paraacutebola____ Elipse___ Circunferencia___
74
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
iquestCuaacuteles aplicaciones cotidianas conoces de las
Coacutenicas____________________________________________
iquestCual es la razoacuten para que las culturas cultiven la astronomiacutea
___________________________________________________________________
_______________________
iquestPuedes identificar algunas de estas coacutenicas en el cielo
Si__No__Cuales______________________________
___________________________________________________________________
_______________________
iquestTe parece interesante y ameno el estudio de la astronomiacutea Si__No ___
Porqueacute_______________________
___________________________________________________________________
________________________
Cual relacioacuten conoces entre la astronomiacutea y las coacutenicas Las trayectorias ___las
ecuaciones____ambas____Ninguna
Sabiacuteas que Kepler usoacute circunferencias antes de elipses para sus caacutelculos
astronoacutemicos Si___No___
Cuaacuteles son las trayectorias de las naves espaciales
Cuaacutel es la forma geomeacutetrica con se muestra un agujero negro
Puedes graficar la forma de la Galaxia Viacutea laacutectea
Dibuja los anillos que tiene Saturno
75
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Anexo B
MAESTRIA EN ENSENtildeANZADE LAS CIENCIAS EXACTAS
ACTIVIDAD 2 TALLER DE RECONOCIMIENTO Y CONSTRUCCIOacuteN DE LAS
COacuteNICAS SIN IDENTIFICAR SUS ELEMENTOS PRINCIPALES
NOMBRE___________________________________________________________
____
El objetivo de esta actividad es familiarizar al estudiante con las construcciones de
las coacutenicas de una manera amena como si estuvieacuteramos jugando porque surgen
muchas inquietudes sobre todo cuando las relacionan con la astronomiacutea y deducen
de manera intuitiva las relaciones que se tienen entre los elementos de las coacutenicas y
sus aplicaciones respectivas
Fue tan agradable que profesores del aacuterea estuvieron presentes en la elaboracioacuten
de este taller y compartieron con nosotros las dudas e inquietudes sobre todo los
profesores de 7deg y 8deg de la misma institucioacuten asiacute como estudiantes del grado once
ELIPSE
76
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Se fijan dos puntos (que pueden ser dos alfileres en un cartoacuten) F y Facute (La distancia
entre F y Facute la llamaremos 2c) Se toma un hilo de longitud fija 2a y se unen los
extremos con los alfileres el hilo tenso con un laacutepiz se puede dibujar una curva
deslizando un laacutepiz en el hilo sobre el cartoacuten La resultante es una curva cerrada
llamada elipse
CIRCUNFERENCIA
La circunferencia es un caso particular de una elipse donde los dos focos coinciden
En la circunferencia su excentricidad es la unidad
Se toma una cuerda se fija con un alfiler en un extremo de una cuerda de longitud
L luego en el otro extremo se coloca un laacutepiz y se dibuja la circunferencia haciendo
girar el laacutepiz Esta longitud es el radio de dicha circunferencia este proceso tambieacuten
se puede reemplazar por un compaacutes para obtener mayor precisioacuten
PARABOLA
Una paraacutebola es el conjunto de todos los puntos P(x y) en un plano que estaacuten a
una misma distancia de un punto fijo el foco y una recta fija la directriz Para
77
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
dibujar una paraacutebola necesitamos una escuadra y una cuerda que tenga la misma
longitud que uno de sus catetos Fijamos un punto F que llamaremos foco y una
recta d que llamaremos directriz Un extremo de la cuerda lo fijamos en el veacutertice
correspondiente al aacutengulo no recto del cateto cuya longitud coincide con la de la
cuerda y el otro extremo en el foco F El otro cateto de la escuadra se apoya en una
recta fija d Con un lapicero tensamos la cuerda mantenieacutendolo pegado al cateto al
mismo tiempo deslizamos la escuadra a lo largo de la recta fija de esta forma se
dibuja la paraacutebola
HIPERBOLA
Una hipeacuterbola es el conjunto de puntos P(x y) en un plano tal que la diferencia de
las distancias desde Pa puntos fijos F1 y F2 los focos es constante Para su
construccioacuten se fijan dos puntos F y Facute (que llamaremos Focos) y se elige una
regla de longitud L mayor que la distancia FFacuteSe Toma un hilo de longitud H tal
que L-H se menor que FFacute se fija un extremo del hilo en el extremo T de la regla
y el otro extremo del hilo se fija se une a uno de los focos por ejemplo F El extremo
libre de la regla se apoya sobre el otro foco Facute
Se toma un laacutepiz P y tenso el hilo llevamos el laacutepiz junto a la regla Deslizamos el
laacutepiz sobre la regla manteniendo el hilo tenso al desplazar el laacutepiz sobre la regla
esta girara De esta forma se traza una rama de la hipeacuterbola Para trazar la otra
rama se apoya la regla en el otro foco y se hace lo mismo
78
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Anexo C
79
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Horizontales
80
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
16 Instrumento de orientacioacuten geograacutefica
18 es el hecho de que 19 antildeos tropicales
contienen 693960 diacuteas
19 19 de octubre de 1910 ndash 21 de agosto de
1995) fue un fiacutesico astrofiacutesico y matemaacutetico Indio
20 Cono formado por la sombra que produce la
Tierra o la luna en un eclipse
21 Calendario basado en el movimiento del sol
22 Elipse de excentricidad 1
23 es un hecho en el que la luz procedente de un
Cuerpo celeste es bloqueada por otro
24 Cosmogoniacutea kogi
26 Figura resultante de cortar un cono en
diferentes aacutengulos
27 Medio para ir a la luna
29 Utilizoacute espejos paraboacutelicos en la guerra
30 Se denomina equinoccio al momento del antildeo
en que el Sol estaacute
32 Estudioso de las coacutenicas
33 Es el aacutengulo en grados medido hacia el este
desde el norte o hacia el oeste desde el sur
34 es un paraacutemetro que determina el grado de
desviacioacuten de una seccioacuten coacutenica con
respecto a una circunferencia
35 Calculoacute el periacutemetro de la tierra
36 Liacutenea que divide en dos hemisferios la boacuteveda
celeste
37 Ciencia que estudia los astros
81
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
38 cuerpos celestes constituidos por hielo y
rocas que orbitan en el Sol
Verticales
25 Biblioteca donde trabajo Ptolomeo
28 circunferencia maacutexima de la esfera celeste
descrita por el movimiento aparente del Sol en
el curso del antildeo que corta el Ecuador en
aacutengulo de 23 grados
31 Punto del firmamento que corresponde
verticalmente al lugar de la Tierra donde estaacute
situado el observador
82
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
83
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Anexo D
Proyecto Maestriacutea en ensentildeanza de la ciencias exactas y naturales
Materiales Escuadra regla laacutepiz papel marcadores lana chinchetas
Elaboroacute Carlos J Echavarriacutea H Mayo de 2000
GRUPO AacuteBACO
Adaptacioacuten Jesuacutes Alberto Murillo Silva noviembre 2012
Nuacutemero de paginas 7
Bibliografiacutea Dibujo Geomeacutetrico y de Proyeccioacuten BronislaoYurksas Editorial Panamericana
Debes seguir atentamente las instrucciones que a continuacioacuten se te indican
Actividad I construccioacuten de una elipse
Traza una liacutenea (de la longitud que desees) que pase por el centro de la hoja
Sobre el extremo izquierdo de la liacutenea que acabas de trazar ubica un punto D y
traza la perpendicular en D luego a 3 cm de D y a la derecha ubica el punto V a
partir de este punto y desplazaacutendote a 3 cm a la derecha ubica el punto F
Ubica un punto A a la derecha de V y por eacutel traza la perpendicular
Toma el compaacutes con radio AD y con centro en F corta la liacutenea perpendicular en dos
puntos y maacutercalos
Ubica un punto cualquiera B entre V y F traza la perpendicular que pasa por eacutel
Toma el compaacutes con radio BD y con centro en F corta la liacutenea perpendicular en dos
puntos y maacutercalos
Repite los pasos 5 y 6 miacutenimo dos veces maacutes
iquestQueacute curva crees que obtendriacuteas si unieras estos puntos Asiacutegnale un nombre
______________________
Guiacuteas para construir las coacutenicas con compas y
regla
84
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Une F con cada uno de los puntos de corte de las perpendiculares A partir de estos
puntos traza cada una de las perpendiculares a la recta perpendicular que pasa por
D Mira cada una de las distancias y anota tus mediciones
__________________________________________________________
iquestCrees que las otras distancias medidas desde F hasta los puntos de corte de las
perpendiculares y desde estos puntos de corte hasta la perpendicular que pasa por
D tienen el mismo valor ___________________
Si estas distancias tienen la misma medida describe la propiedad que cumplen los
puntos de corte de las perpendiculares
__________________________________________________________
Actividad II deduccioacuten de la ecuacioacuten de la elipse
Escribe las coordenadas cartesianas correspondientes a los puntos F y Q
Completa la siguiente deduccioacuten
d(PF) = d(PQ) d significa distancia por definicioacuten de paraacutebola
22 )0()( YXP =
22 )()( YYPX por definicioacuten de distancia
entre dos puntos
85
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
_____________ = ______________ por propiedad fundamental
de los radicales
4 P2 - 2PX + X2 + Y2 = X2 + ____ + ____ por el desarrollo del
Cuadrado de un binomio
5 P2 - 2PX + X2 +Y2 - X2 - P2 = 2PX _____________________
6 -2PX + Y2 = 2PX por reduccioacuten de teacuterminos
Semejantes
7 Y2 = ______ por transposicioacuten de
Teacuterminos
La ecuacioacuten general de la paraacutebola es entonces ______________________
Actividad lll construccioacuten de la elipse
Debes seguir atentamente las instrucciones que a continuacioacuten se te indican
1 Traza dos segmentos perpendiculares que se corten en su punto medio C
2 Sobre los extremo del segmento horizontal marca los puntos A y Arsquo
3 Igual que en el paso anterior pero esta vez sobre el segmento vertical y con
una distancia menor que la que existe entre A y Arsquo marca los puntos B y Brsquo
4 Toma el compaacutes con centro en B y con radio AC traza dos arcos que corten el
segmento horizontal en F1 y F2
5 Toma un punto D que se localice entre F1 y F2 con radio AD y centro en F2 traza
dos arcos uno a cada lado del segmento horizontal luego con el mismo radio
AD pero con centro en F1 traza nuevamente dos arcos uno a cada lado del
segmento horizontal
6 Toma ahora el radio DArsquo y con centro en F2 traza dos arcos eacutestos deben cortar
uno de los pares de arcos trazados en 5 noacutembralos T y L Con el mismo radio
DArsquo pero esta vez con centro en F1 traza nuevamente dos arcos estos deben
cortar el otro par de arcos trazados en 5 Noacutembralos
86
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
7 Sigue tomando puntos (miacutenimo tres) sucesivamente entre F1 y F2 para cada
uno repite los pasos seguidos en 5 y 6
iquestSi unieras los puntos que acabas de hallar queacute curva obtendriacuteas Asiacutegnale un
nombre
Desde F1 y F2 traza liacuteneas que unan los puntos de la curva Mide cada una de estas
distancias anota tus mediciones
Para el efecto de este taller d significa distancia
d(F1T)=_______d(TF2)=________d(F1B)=________d(BF2)=_________
D(F1T)+d(TF2)=__________
D(F1B)+d(BF2)=__________
iquestQueacute puedes observar en las distancias que acabas de sumar
_________________________________________________________________
Mide la distancia que hay entre A y Arsquo iquestcoacutemo es esta respecto a las otras
distancias
___________________________________________________________________
_________________________________________________________
Actividad IV
P(xy)
Q ( )
O(00) F1(-c0) F2( ) V1(-a0) V2(a0)
Y
X
87
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Deduccioacuten de la ecuacioacuten de una elipse
Escribe las coordenadas cartesianas correspondientes a los puntos F2 y Q
Completa la siguiente deduccioacuten
DEDUCCIOacuteN DE LA ECUACIOacuteN DE LA ELIPSE JUSTIFICACIOacuteN
1 d(PF1)+d(PF2)= 2a 1 Por definicioacuten de elipse
2 aycxycx 22222
2 Por definicioacuten de distancia entre dos
puntos
3 _________________________22
ycx
3 Trasposicioacuten de teacuterminos
4
222222244 ycxycxaaycx
4 iquestPor queacute
5 22222
44 ycxacxacx
5 Por reduccioacuten de teacuterminos semejantes
6
22222 4__________4__ ycxaacx
6 Por el desarrollo del cuadrado de un
binomio
7 __________444 2 aaxc 7 iquestPor queacute
8 22222 ycxaaxc 8 Por factor comuacuten y por la propiedad
fundamental de los radicales
9 ______________2 4222 acxacx 9 iquestPor queacute
10 222222224 yacxxacaa
10 Por reduccioacuten de teacuterminos
semejantes
11 22222222 yaxcacaa 11 iquestPor queacute
12 22
2
2
2
1ca
y
a
x
12 Por trasposicioacuten de teacuterminos
13 2
2
2
2
1b
y
a
x
13 Porque 222 bca (ver elipse)
teorema de Pitaacutegoras
88
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Luego la ecuacioacuten general de la elipse es _______________________
Debes seguir atentamente las instrucciones que a continuacioacuten se te indican
Actividad V
1 Traza un segmento de recta l y sobre ella dos puntos F y Frsquo separados 10Cm
2 Con el compaacutes traza la perpendicular que pase por el punto medio Eacuteste punto
seraacute el origen O
3 Separados unos tres centiacutemetros del origen y sobre l marca los puntos V y Vrsquo
4 Marca un punto S sobre el segmento de recta l y fuera del segmento FFrsquo
5 Con un compaacutes con radio VS y haciendo centro en F traza un arco a cada lado
de la recta horizontal ahora con centro en Frsquo marca nuevamente dos arcos
6 Toma ahora con el compaacutes un radio VrsquoS y haciendo centro en F traza dos arcos
estos deben cortar uno de los pares de arcos ya trazados maacutercalos como M y
N Luego con centro en Frsquo traza nuevamente dos arcos nombra estos puntos
de corte de los arcos
7 Toma por lo menos cinco puntos maacutes fuera del segmento y repite los pasos 5 y
6
iquestQueacute curva crees que obtendriacuteas si unieras estos puntos Uacutenelos Asiacutegnale un
nombre____________________________________________________
Une F con cada uno de los puntos de su curva luego une Frsquo con estos mismos
puntos Mide las distancias de los segmentos que acabas de trazar anota tus
mediciones
89
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Distancia de F al
punto
Distancia de F al punto
F_ Frsquo_
F_ Frsquo_
F_ Frsquo_
F_ Frsquo_
F_ Frsquo_
iquestCoacutemo son estas distancias_____________________________________
Intenta observar lo que pasa con las medidas iquestCoacutemo son las de la columna
derecha con respecto a las de la columna izquierda____________________
Mide ahora la distancia entre V y Vrsquo iquestcoacutemo es con respecto a las anteriores
__________________________________________________________
Observa bien los valores de las distancias consignadas en la tabla de datos resta
una distancia de la otra Realiza el mismo proceso para todos los valores de la
tabla compaacuteralos con la distancia VVrsquo
iquestqueacute puedes observar
__________________________________________________________
Ya sabes que V y Vrsquo estaacuten a la misma distancia de O iquestPor queacute____________
Si denominas como a la distancia entre OVrsquo iquestcuaacutel es la distancia VVrsquo________
Elabora una definicioacuten para la propiedad que cumplen cada uno de los puntos de la
hipeacuterbola Toma en particular un punto P sobre la hipeacuterbola Ten en cuenta los
pasos que seguiste en la construccioacuten con regla y compaacutes Por ejemplo mira lo que
sucede cuando tomas el radio VS y luego el radio VrsquoS mide las distancias y observa
lo que obtienes
Describe las propiedades que cumplen estos puntos
iquestQueacute ocurriraacute si realizo el mismo procedimiento sobre la otra rama de la
hipeacuterbola___________________________________________________
90
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
iquestQueacute ocurre si sumas las distancias FP + FrsquoP
__________________________
iquestCoacutemo es comparada con VVrsquo____________________________________
Argumenta iquestpor queacute la propiedad de lugar geomeacutetrico de los puntos de la
hipeacuterbola se cumple como FP ndash FrsquoP = 2 a y no como FrsquoP +FP = 2 a
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
________________________________________
Actividad V lDEDUCCIOacuteN DE LA ECUACIOacuteN DE LA HIPEacuteRBOLA
JUSTIFICACIOacuteN
1 d(FrsquoP)-d(FP)= 2a 1 Por definicioacuten de hipeacuterbola
2 aycx 2_______________0
22
2 Por definicioacuten de distancia
entre dos puntos
3 _________________________22
ycx
3 Trasposicioacuten de teacuterminos
4
222222244 ycxycxaaycx
4 iquestPor queacute
91
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
5
2222244 ycxacxacx
5 Por reduccioacuten de teacuterminos
semejantes
6
22222 4__________4__ ycxaacx
6 Por el desarrollo del
cuadrado de un binomio
7 __________444 2 aaxc 7 iquestPor queacute
8 22222 ycxaaxc 8 Por factor comuacuten y por la
propiedad fundamental de los
radicales
9 ______________2 4222 acxacx 9 iquestPor queacute
10 222222224 yacxxacaa
10 Por reduccioacuten de teacuterminos
semejantes
11 22222222 yaxcacaa 11 iquestPor queacute
12 22
2
2
2
1ca
y
a
x
12 Por trasposicioacuten de
teacuterminos
13 2
2
2
2
1b
y
a
x
13 Porque 222 bca (ver
hipeacuterbola) teorema de
Pitaacutegoras
Luego la ecuacioacuten general de la hipeacuterbola es _______________________
92
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
ANEXO E EVALUACION FINAL DE PERIODO
MAESTRIA EN ENSENtildeANZADE LAS CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES
TEST FINAL PARA ESTUDIANTES DE 10deg IE JOSFINA MUNtildeOZ GONZALEZ
NOMBRE___________________________________________________________
1 Hallar las coordenadas del centro de los focos y de los veacutertices de la hipeacuterbola
0421223 22 xyxy Dar las ecuaciones de sus asiacutentotas y graficar
2 Una elipse tiene los focos en (0 1) y (2 5) y un semieje focal de longitud 52
a) Hallar su excentricidad y las coordenadas del centro
b) Dar la ecuacioacuten de su eje focal y graficar
c) Hallar su ecuacioacuten
3 Hallar las coordenadas del centro de los focos y de los veacutertices de la hipeacuterbola
0421223 22 xyxy Dar las ecuaciones de sus asiacutentotas y graficar
4 Una elipse tiene los focos en (0 1) y (2 5) y un semieje focal de longitud 52
a) Hallar su excentricidad y las coordenadas del centro
b) Dar la ecuacioacuten de su eje focal y graficar
c) Hallar su ecuacioacuten
5 Indicar la ecuacioacuten de una circunferencia centrada en el punto C(10) y de radio
R=2
6 El lugar geomeacutetrico de todos los punto del plano OXY que equidistan de una recta
fija (directriz) y un punto fijo (foco) que no pertenece al a recta es una
a Elipse b Hipeacuterbola c Paraacutebola d Circunferencia
93
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
7 Indicar la ecuacioacuten de la paraacutebola cuya graacutefica es
8 Indicar cuaacutel es la graacutefica de la paraacutebola cuya ecuacioacuten es (Y-1)2 = 4(X-2)
A B
C
D
9 indicar la ecuacioacuten de la curva cuya graacutefica es
a
ndashy2 =1 b
- y=1 c
+ 1 = d
10 Hallar el eje de simetriacutea de la paraacutebola y=(x-1)2 + 1
a y=1 b x=2 c x=1 d x=0
11 iquestCuaacutel es la ecuacioacuten de la paraacutebola que pasa por el origen de coordenadas y
tiene su veacutertice en el punto V(11)
a x-x2 b2-
c 2x- x2 d 2x+ x2
94
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
a b
c
d
12 sentildeala la graacutefica cuya expresion es x2 + y2 = 1
13 Halla la ecuacioacuten de la hipeacuterbola que tiene por focos los puntos F (ndash3 0) y F (3
0) y que pasa por el punto P(8 5 )
Como los focos de la hipeacuterbola estaacuten sobre el eje OX y el punto (00) es el punto
medio de los dos focos la ecuacioacuten de la hipeacuterbola es
14 Iidentifica la siguiente coacutenica dibuacutejala y halla sus focos y su excentricidad
+
= 1
15Las tres leyes de Kepler se repressentan en una graacutefica que es
a una hiperbola b una parabola
c una circunferencia con excentricidad gt 0
d ninguna de las anteriores
95
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Anexo F Fotografiacuteas de las actividades propias del trabajo
Figura F 1 y F2 realizando una elipse e hipeacuterbola en el patio del colegio
con los estudiantes utilizando los materiales disponibles en el aula de clase
Figura F3 y F4 estudiantes del grupo 10deg 3 viendo videos de astronomiacutea
96
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Figura F5 Evidencia del gusto por la observacioacuten Seccioacuten del arco iris en la
vecindad del Colegio relacionado con un segmento de una paraacutebola
Figura F6 y F7 figuras y objetos cotidianos que nos recuerdan las coacutenicas como
objetos uacutetiles
97
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Figuras F8 F9 y F10 Actividades desarrrolladas en la clase con la orientacioacuten del
profesor y la ejecucioacuten de los estudiantres
Figuras F11 y F12 actividades relacionadas con la astronomia desarrolladas con
los estudiantes Medicioacuten de la sombra producida en el equinoccio del 23 de junio y
realizacioacuten de un reloj de aena
98
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Figura F13 Obtencioacuten de las coacutenicas en el labortario mediante el uso de un Matraz
agua y colorantes para establecer contraste
Figuras F14y F15 De visita por el planetario de Medellin para ver
ldquoEl cielo esta nocherdquo en una funcion didactica
99
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Figura F16 Observacioacuten y registro realizado por un estudiante con Camara
Cannon Eos desde el Recinto de Quirama El carmen de Viboral nov de 2012
Noacutetese esta porcioacuten de luna semejante a una antena paraboacutelica
FiguraSF17F18 y F19 Participacioacuten de los estudiantes en el planetario moacutevil de
ALIANZA y obserbacioacuten de la luna llena luego de salir del taller
100
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Figura F20 material usado para explicar las fases de la luna
en los talleres luacutedicos
Figura F21 Material usado para mostrar las diversas constelacioones de cada
uno de los hemisferios
101
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Figura F22 Invitacioacuten al Recinto de Quirama para ver Las Leoacutenidas en el cierre del
presente trabajo donde asistieron catorce estudiantes de 10deg3 para participar de
las observaciones con los entusiastas al tema de la astronomia
Figura F23 Observatorio Astronoacutemico ubicado en el Recinto de Quirama Via que
de Rionegro conduce a la ceja a 5Km De Rionegro
102
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
103
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
104
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
PRESENCIA DEL NUMERO DE ORO EN EL UNIVERSO
TRABAJO FINAL DE ORIGENES DE LA CIENCIA
POR
JESUS ALBERTO MURILLO SILVA
PROFESOR
M Sc ALONSO SEPULVEDA
MAESTRIA EN ENSENtildeANZA DE LAS CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES
FACULTAD DE CIENCIAS
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
SEDE MEDELLIacuteN
MAYO 2011
105
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
TABLA DE CONTENIDO PAacuteGINA
INTRODUCCION 3
1 DEFINICION Y ORIGEN DEL NUMERO DE ORO Φ 5
2 HISTORIA 9
3 PRESENCIA DEL NUMERO DE ORO EN 19
31 Φ EN LA MATEMATICA 21
32 Φ EN LA GEOMETRIA 26
33 Φ EN LA ARQUITECTURA 36
34 Φ EN LA ESCULTURA 41
35 Φ EN LA PINTURA 42
36 Φ EN LA NATURALEZA 50
361 Φ EN ABEJAS 51
362 Φ EN MAMIFEROS 52
363 Φ EN CARACOLES 54
364 Φ EN PLANTAS 56
365 Φ EN FLORES 63
366 Φ EN FRUTOS 64
367 Φ EN HUEVOS DE LAS AVES 65
368 Φ EN CUERPO HUMANO 65
369 EN LA QUIMICA 71
3610 EN LA MINERALOGIA 73
4 Φ EN EL COMERCIO 75
5 Φ EN LA MUSICA 76
6 Φ EN LA LITERATURA 90
7 Φ EN LA LUTIERIA 91
8Φ EN EL UNIVERSO 96
81Φ EN LAS GALAXIAS 98
106
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
82 Φ EN LAS RELACIONES DE LA TIERRA 100
83 Φ EN EL MUNDO MUSULMAN Y CRISTIANO 101
CONCLUSIONES 103
BIBLIOGRAFIA 105
107
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
INTRODUCCIOacuteN
El presente trabajo recopilatorio sobre el nuacutemero de oro relacioacuten aurea o
nuacutemero de Fidias tiene como objetivo conocer la importancia que presenta
en todas las cosas que nos rodea tanto en el mundo natural asiacute como en el
mundo de la construccioacuten tecnoloacutegica
Este nuacutemero y su origen ha sido estudiado desde el comienzo del
conocimiento matemaacutetico al igual que en un sinnuacutemero de aplicaciones en
diversas ramas del saber humano que desde los presocraacutetico los
platoacutenicos los maacutes modernos en Italia y Alemania como Pacioli Durero y
Kepler que han dado denotaciones de divina proporcioacuten por asociarlo a la
Trinidad a lo inconmensurable de Dios hasta el mismo Galileo habla de
que el Maestro geometriza el universo
Mi inquietud como ingeniero y amante de la muacutesica me han llevado a hacer
esta buacutesqueda en la red y cada vez me sorprendo por un nuevo hallazgo
sobre el fascinante mundo de Phi el cual aparece donde menos se espera
teniendo presente que el hombre es un ser abierto y dispuesto a conocer los
diferentes asuntos que lo circundan y sabiendo que a partir de cosas
pequentildeas o insignificantes para otros se pueden hacer grandes
investigaciones las cuales redundan en el beneficio social mejoramiento de
la calidad de vida pues es una de las razones primordiales del hombre la
buacutesqueda incansable de nuevas y mejores oportunidades entonces teniendo
en cuenta estos antecedentes nace mi intereacutes por el tema del nuacutemero de
oro que tambieacuten se relaciona de una manera sorprendente con la serie de
Fibonacci-
Con el nuacutemero de oro he aprendido algo que se nos predica a los docentes
relacionado con la transversalidad de los temas los cuales debemos verlos
como un todo es decir que la matemaacutetica no es una isla ni la ciencia ni el
108
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
lenguaje Cabe anotar que el nuacutemero de oro se aplica en todas las ramas
del saber humano razoacuten por la cual se hace maacutes eacutenfasis en la muacutesica
Se publica esta recopilacioacuten sobre el nuacutemero de oro como un anexo al
trabajo de Maestriacutea como muestra de agradecimiento a La Universidad
Nacional Autoacutenoma de Meacutexico por haber sido dicho trabajo el que me
dioacute a conocer en la UNAM en Meacutexico DF y luego en otros paiacuteses
109
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
1 DEFINICION Y ORIGEN DEL NUMERO DE ORO
Φ
El nuacutemero de oro o proporcioacuten aurea es una divisioacuten en dos de un
segmento seguacuten proporciones dadas por el nuacutemero aacuteureo La longitud total
a+b es al segmento maacutes largo a como a es al segmento maacutes corto b
Este nuacutemero se puede representar de diferentes maneras como se muestra
a continuacioacuten
Binario 11001111000110111011
Decimal 16180339887498948482
Hexadecimal 19E3779B97F4A7C15F39
Fraccioacuten continua
Algebraico
110
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Se dice que dos nuacutemeros positivos a y b estaacuten en razoacuten aacuteurea si y soacutelo si
Para obtener el valor de a partir de esta razoacuten considere lo siguiente
Que la longitud del segmento maacutes corto b sea 1 y que la de a sea x Para que estos segmentos cumplan con la razoacuten aacuteurea deben cumplir que
Multiplicando ambos lados por x y reordenando
Mediante la foacutermula general de las ecuaciones de segundo grado se obtiene que las dos soluciones de la ecuacioacuten son
La solucioacuten positiva es el valor del nuacutemero aacuteureo Este nuacutemero estaacute presente en la Naturaleza como canon de la armoniacutea el Nuacutemero de Oro ( Fi ) admira e inspira al hombre que encontraacutendolo sintieacutendolo o intuyeacutendolo en eacutel mismo lo emplea para dar en forma voluntaria o intuitiva proporciones a lo maacutes bello de su creacioacuten en todos los campos y formas de su expresioacuten
El Nuacutemero de Oro no soacutelo estaacute en la configuracioacuten de la forma de fenoacutemenos
de diferente tipo y magnitud que existen o se dan en la Naturaleza sino
tambieacuten entre otras en las relaciones espaciales y acuacutesticas que pudieran
existir entre ellos en la plena y permanente manifestacioacuten de la Armoniacutea
Universal
Al emular a la Naturaleza el hombre crea obras excelsas y hace trascender a
eacutestas aunque en diferente forma la armoniacutea que eacutel ha asumido
particularmente en las de las artes mayores de la arquitectura y de la muacutesica
111
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
que tienen entre ellas un patroacuten de analogiacutea que no afecta a la singularidad
de cada una
Esa analogiacutea no se manifiesta soacutelo en esas artes lo hace tambieacuten en el
aacutembito del lenguaje de creadores estudiosos y criacuteticos de las obras
arquitectoacutenicas y musicales En el caso de la muacutesica el lenguaje que
emplean sus inteacuterpretes utiliza expresiones que mantienen los mismos o
parecidos valores y correspondencias
Ademaacutes la semejanza entre dichas artes se ampliacutea a los instrumentos que la
muacutesica emplea debido a que el desarrollo en esos tres campos
(arquitectura muacutesica e instrumentos musicales) se realizan con el empleo de
criterios matemaacuteticos del mismo tipo y que por cierto se manejan con las
mismas facultades del intelecto
Cabe anotar que el tamantildeo y la forma de los instrumentos corresponden con
los valores regulados por Fi de la antropometriacutea de los ejecutantes en un
paradigma del disentildeo ergonoacutemico porque aparte de cumplir los objetivos de
utilidad eficiencia facilidad de uso y valor esteacutetico tiene el adicional de
servir para transmitir belleza
Entre los instrumentos musicales de diversos lugares estaacuten los de cuerda
que tienen caja y maacutestil y cuya configuracioacuten geomeacutetrica permite observar
claramente que por el uso de meacutetodos de disentildeo quizaacutes olvidados o por
aparecer espontaacuteneamente Fi es el canon rector de su forma resultante
acorde con su rol acuacutestico
En cualquier caso si esto es un secreto de la fabricacioacuten de los instrumentos
de cuerda si alguna vez se empleoacute Fi en la de otros y ahora soacutelo se repite
sus dimensiones ignorando su causa o si en la de los demaacutes su presencia
es espontaacutenea se explica claramente la correspondencia entre el
instrumento y su propoacutesito
En consecuencia y para demostrar la analogiacutea entre la arquitectura la
muacutesica y por extensioacuten los instrumentos de cuerda se presenta una amplia
muestra de eacutestos que en la diversidad de su origen geograacutefico y cultural
prueba la presencia del Nuacutemero de Oro en su particular y tantas veces
exquisita lsquoarquitecturarsquo
112
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Noacutetese que pese a las diferentes caracteriacutesticas de todo tipo de los diversos
instrumentos analizados aparte de los pocos casos en los que hay cifras
algo complejas estaacuten presentes con frecuencia las proporciones de Fi y de 1
que asociadas muestran la Seccioacuten Aacuteurea) 1 Fi radic Fi Fi Fi -5 radic5 (=2x
1 Fi) y radic5-
Es sabido que Filolao disciacutepulo de Pitaacutegoras al decir que la armoniacutea es la
unificacioacuten de lo diverso y la disposicioacuten concordante de lo discordante dio
una clave para entender coacutemo y porqueacute se dan las proporciones en lo que
tiene vida y movimiento en la Naturaleza y en lo que el hombre hace al
emularla Dado que en ambos casos la armoniacutea es una expresioacuten de belleza
en la obra humana se la define en general como la conveniente proporcioacuten y
correspondencia de unas cosas con otras y en la muacutesica como la unioacuten y
combinacioacuten de sonidos simultaacuteneos y diferentes pero acordes
Como paradigma de esa armoniacutea en la diversidad de la Naturaleza el
Nuacutemero de Oro ( Fi ) tiene presencia como el coacutedigo universal de lo que tiene
vida movimiento o resulta de ellos en lo minuacutesculo en la doble heacutelice del
ADN y en la figura y disposicioacuten de las partes de los animales en la forma de
las hojas flores y frutos de las plantas y en el patroacuten de crecimiento de eacutestas
en lo inorgaacutenico en la periodicidad de los elementos atoacutemicos en lo inmenso
de la configuracioacuten de las galaxias y en lo minuacutesculo como en la moleacutecula del
Carbono 60 (C60) que es un hexapenta perfecto
En ese amplio aacutembito la analogiacutea entre la arquitectura y la muacutesica fue descrita por Reneacute Puaux que al referirse a edificios griegos dijo el templo era en su conjunto una sinfoniacutea musical en maacutermol (1926) y por Schopenhauer que generalizando sentildealoacute que la arquitectura es muacutesica congelada (1819) Pero auacuten maacutes al ser la analogiacutea la consonancia mediante el Nuacutemero de Oro eacuteste se halla en lo mejor de la obra arquitectoacutenica y de la muacutesica por ejemplo en la llamada escala bien temperada donde la frecuencia correspondiente a cada semitono es
( Fi+(1 Fi 2 ) o de otro modo K12 = = 10594630943592953
Como consecuencia de esa analogiacutea en ambas partes se usa expresiones
equivalentes armoniacutea como ya se sentildealoacute ritmo que significa la grata
combinacioacuten y el orden en la sucesioacuten de componentes de una obra o
periodicidad percibida seguacuten S Coculesco (citado por M C Ghyka) y
113
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
consonancia que en la muacutesica es la cualidad de aquellos sonidos que oiacutedos
simultaacuteneamente producen efecto agradable y que tiene correspondencia
con proporcioacuten que en la arquitectura y en las artes plaacutesticas es la grata
percepcioacuten de la conformidad entre las partes y entre eacutestas y el todo
Las facultades del intelecto dedicadas a las matemaacuteticas como recurso
obvio para la creacioacuten arquitectoacutenica en el caso de la muacutesica fueron aludidas
por Leibniz al referirse a que ella consiste en la percepcioacuten inconsciente de
proporciones armoacutenicas en determinadas manifestaciones sonoras cuando
dijo que es un ejercicio oculto de aritmeacutetica en el cual el espiacuteritu ignora que
calcula y que hace recordar conceptos de esteacutetica que en la antiguumledad
claacutesica de Occidente se refirieron a lo que se expresa con las propiedades
del Nuacutemero de Oro en la amplia variedad de sus manifestaciones
En la misma forma con la que se puede estudiar la composicioacuten
arquitectoacutenica de una determinada obra por la organizacioacuten de su proyeccioacuten
plana con rectaacutengulos de distinto tamantildeo que tengan sus lados con
proporciones relacionadas y reguladas por Fi tambieacuten se puede analizar la
geometriacutea de un instrumento de cuerda del tipo que se ha elegido
mostrando el correspondiente conjunto armoacutenico con el mismo meacutetodo al
sentildealar las proporciones de sus dimensiones lineales asumiendo que
tambieacuten se encontraraacute a Fi en otras posibles proyecciones planas del mismo
instrumento
114
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
2 HISTORIA
Existen varios textos que sugieren que el nuacutemero aacuteureo se encuentra como proporcioacuten en ciertas estelas Babilonias y Asirias de alrededor de 2000 a C Sin embargo no existe documentacioacuten histoacuterica que indique que el nuacutemero aacuteureo fue usado conscientemente por los arquitectos o artistas en la construccioacuten de las estelas Tambieacuten es importante notar que cuando se mide una estructura complicada es faacutecil obtener resultados curiosos si se tienen muchas medidas disponibles Ademaacutes para que se pueda considerar que el nuacutemero aacuteureo estaacute presente las medidas deben tomarse desde puntos relativamente obvios del objeto y este no es el caso de los elaborados teoremas que defienden la presencia del nuacutemero aacuteureo Por todas estas
115
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
razones Mario Livio y Aacutelvaro Valarezo concluyen que es muy improbable que los babilonios hayan descubierto el nuacutemero aacuteureo
El primero en hacer un estudio formal sobre el nuacutemero aacuteureo fue Euclides (c 300-265 a C) quieacuten lo definioacute de la siguiente manera
Se dice que una liacutenea recta estaacute dividida entre el extremo y su proporcional cuando la liacutenea entera es al segmento mayor como el mayor es al menor Euclides en Los Elementos
Euclides demostroacute tambieacuten que este nuacutemero no puede ser descrito como la razoacuten de dos nuacutemeros enteros es decir es irracional
Platoacuten (c 428-347 a C) vivioacute antes de que Euclides estudiara el nuacutemero aacuteureo sin embargo a veces se le atribuye el desarrollo de teoremas relacionados con el nuacutemero aacuteureo debido que el historiador griego Proclo escribioacute
Eudoxo multiplicoacute el nuacutemero de teoremas relativos a la seccioacuten a los que Platoacuten dio origen Proclo en Un comentario sobre el Primer Libro de los Elementos de Euclides
Aquiacute a menudo se interpretoacute la palabra seccioacuten (τομή) como la seccioacuten aacuteurea Sin embargo a partir del siglo XIX esta interpretacioacuten ha sido motivo de gran controversia y muchos investigadores han llegado a la conclusioacuten de que la palabra seccioacuten no tuvo nada que ver con el nuacutemero aacuteureo No obstante Platoacuten consideroacute que los nuacutemeros irracionales descubiertos por los pitagoacutericos eran de particular importancia y la llave a la fiacutesica del cosmos Esta opinioacuten tuvo una gran influencia en muchos filoacutesofos y matemaacuteticos posteriores en particular los neoplatoacutenicos
Posteriormente con Fibonaci descubridor de la serie que lleva su nombre esta asociada al famoso nuacutemero de oro Esta serie empieza en 0 siguiendo con 1 y los teacuterminos posteriores se obtienen sumando los dos anteriores Esta serie tiene la particularidad de que sus cocientes sucesivos dan como resultado Fi (el nuacutemero de oro)
Serie de Fibonacci
Entre las muchas curiosidades de las Fibonacci una de las maacutes extrantildeas propiedades de las mismas es que la razoacuten entre cada par de nuacutemeros consecutivos va oscilando por encima y por debajo de la razoacuten aacuteurea y que a medida que avanzamos en la serie la diferencia de la razoacuten de Fibonacci
116
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
con la razoacuten aacuteurea se va haciendo cada vez menor En teoriacutea cuando llegaacutesemos al uacuteltimo par de nuacutemeros resultariacutea Φ Φ-1 = 161803
que es precisamente la razoacuten aacuteurea La razoacuten aacuteurea es un ceacutelebre nuacutemero irracional (como pi sus cifras decimales no parecen terminar jamaacutes)
La afirmacioacuten anterior se demuestra faacutecilmente En nuestro ejemplo 3 2 = 15
bastante por debajo de la razoacuten aacuteurea Pero 5 3 = 166 algo por encima pero menos que antes Si seguimos veremos que 8 5 = 16 13 8 = 1625 21 13 = 16153 y 34 21 = 161904 y esto lo podemos hacer sucesivamente con cada dos teacuterminos sucesivos de la serie y cada vez aparecen maacutes decimales hacieacutendolo maacutes exacto convergiendo hacia el nuacutemero de oro por esta razoacuten tambieacuten se le conoce como proporcioacuten aurea A continuacioacuten se muestra un graacutefico donde estos cocientes tiende a la recta y = Φ
Coacutemo saber si un nuacutemero pertenece a la sucesioacuten
iquestExiste alguacuten meacutetodo para saber si un nuacutemero cualquiera pertenece a
una sucesioacuten de Fibonacci Es una pregunta ante la que un matemaacutetico
frunciriacutea el centildeo ya que es de apariencia no trivial y ademaacutes en caso de
respuesta afirmativa uno espera encontrarse con una foacutermula de eacutesas que
requieren el uso de grandes ordenadores Sin embargo la respuesta es
afirmativa y el resultado asombrosamente simple hasta el punto de que
para nuacutemeros no excesivamente grandes la comprobacioacuten se puede hacer
con una calculadora de bolsillo
117
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Un nuacutemero N pertenece a una sucesioacuten de Fibonacci si y soacutelo se cumple que
o bien
es un cuadrado perfecto
Tomemos un ejemplo con el nuacutemero 3 Si lo elevamos al cuadrado tenemos
9 que multiplicado por 5 nos da 45 y al sumarle cuatro a este resultado
obtenemos 49 que es un cuadrado perfecto ya que 72 = 49 luego el nuacutemero
3 pertenece a la sucesioacuten de Fibonacci Probemos con un nuacutemero maacutes
grande como el 610
5middot(610)2 ndash 4 = 5middot 372100 ndash 4 = 1860500 ndash 4 = 1860496
que es el cuadrado de 1364 con lo que 610 pertenece a una sucesioacuten de
Fibonacci
Por otra parte no estaacute de maacutes antildeadir que la manera de saber si un nuacutemero
es un cuadrado perfecto es introducirlo en la calculadora y extraer la raiacutez
cuadrada (para ver si da un nuacutemero exacto
Esta sucesioacuten o serie puede representarse en forma de geomeacutetrica como
un dominoacute geomeacutetrico
El dominoacute de Fibonacci
Cuando un matemaacutetico decide ponerse a hacer puzzles hay que echar a
temblar ya que lo que empieza como un simple pasatiempo puede acabar
convirtieacutendose con suerte en un teorema de difiacutecil demostracioacuten y en el
peor de los casos en una conjetura que traiga de cabeza a mucha gente
durante mucho tiempo
Un pasatiempo de estas caracteriacutesticas es por ejemplo el siguiente Se trata
de construir rectaacutengulos con piezas de dominoacute Entendiendo que un
cuadrado es una clase concreta de rectaacutengulo y que una pieza de dominoacute se
caracteriza porque mide el doble de largo que de ancho iquestcuaacutentos
rectaacutengulos diferentes de 2times1 pueden construirse con piezas de dominoacute
Evidentemente uno soacutelo
118
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
iquestY rectaacutengulos de 2times2 Por muchas vueltas que le demos soacutelo se pueden
hacer dos
Rectaacutengulos de 2times3 se pueden hacer exactamente tres y de 2times4 cinco La
cosa pinta bien Lo suficiente para que nos animemos con los de 2times5 y
comprobemos que sale el nuacutemero esperado ocho De manera que nos
encontramos con la sucesioacuten 1 2 3 5 8 hellip
iquestNos permite esto asegurar rotundamente que el nuacutemero de rectaacutengulos 2xN
que se pueden construir con fichas de dominoacute es FN O sea que por
ejemplo habraacute 610 maneras de construir triaacutengulos de 2times15 con fichas de
dominoacute
El matemaacutetico norteamericano David Klarner (1940ndash1999) demostroacute que asiacute
era La demostracioacuten excesivamente compleja para describirla aquiacute incluye
el manejo de ldquopolyominoacutesrdquo una generalizacioacuten de las piezas de dominoacute
que se mueven a caballo entre los puzzles infantiles la combinatoria
moderna la topologiacutea y alguna que otra lindeza matemaacutetica
Los soacutelidos regulares ( con sus caras iguales) se presenta dicha relacioacuten siendo privilegiadas las formas naturales de muchos cristales
119
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
A pesar de lo discutible de su conocimiento sobre el nuacutemero aacuteureo Platoacuten se dio a la tarea de estudiar el origen y la estructura del cosmos cosa que intentoacute usando los cinco soacutelidos platoacutenicos construidos y estudiados por Teeteto En particular combinoacute la idea de Empeacutedocles sobre la existencia de cuatro elementos baacutesicos de la materia con la teoriacutea atoacutemica de Demoacutecrito Para Platoacuten cada uno de los soacutelidos correspondiacutea a una de las partiacuteculas que conformaban cada uno de los elementos la tierra estaba asociada al cubo el fuego al tetraedro el aire al octaedro el agua al icosaedro y finalmente el Universo como un todo estaba asociado con el dodecaedro uno de los cinco soacutelidos pitagoacutericos
Dibujos realizados por davinci
En Geometriacutea los soacutelidos de caras planas reciben el nombre de poliedros
(En griego polys = muacuteltiples y hedra = cara) Los poliedros cuyas caras
son poliacutegonos regulares iguales se llaman poliedros regulares Los poliedros
120
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
regulares son cinco En el cuadro siguiente se presentan sus nombres y
caracteriacutesticas
POLIEDRO REGULAR
HEXAEDRO REGULAR
TETRAEDRO REGULAR
DODECAEDRO REGULAR
ICOSAEDRO REGULAR
OCTAEDRO REGULAR
MODELO
CARAS 6 cuadrados 4 triaacutengulos equilaacuteteros
12 pentaacutegonos regulares
20 triaacutengulos equilaacuteteros
8 triaacutengulos equilaacuteteros
VEacuteRTICES 8 4 20 12 6
ARISTAS 12 6 30 30 12 ARISTAS POR VEumlRTICE
3 3 3 5 4
SENO DEL AacuteNGULO ENTRE CARAS
1
AacuteREA DE LA SUPERFICIE EXTERIOR
VOLUMEN
RADIO DE LA ESFERA CIRCUNSCRIPTA
RADIO DE LA ESFERA INSCRIPTA
En las foacutermulas a = arista
Para mostrar por queacute son cinco mdashy no maacutesmdash se suele razonar del modo
siguiente
Cada veacutertice debe ser comuacuten por lo menos a tres caras para que se forme
un soacutelido (Si fuera comuacuten a dos las caras estariacutean pegadas y no
tendriacuteamos un soacutelido
121
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
La suma de los aacutengulos interiores de las caras que se encuentran en cada
veacutertice debe ser menor que 360deg de manera que la figura se cierre que no
sea plana
Dado que cada aacutengulo interior de un triaacutengulo equilaacutetero mide 60deg tomando
en cuenta lo sentildealado en los enunciados anteriores en un veacutertice podriacutean
concurrir tres cuatro o cinco de ellos Eacutesos son los casos del tetraedro el
octaedro y el icosaedro respectivamente Cada aacutengulo interior de un
cuadrado mide 90deg de modo que soacutelo podemos hacer coincidir tres de ellos
en cada veacutertice Eacutese es el caso del cubo Los aacutengulos interiores del
pentaacutegono regular miden 108deg Poniendo tres de ellos en cada veacutertice se
obtiene un dodecaedro Con los poliacutegonos siguientes ya no es posible formar
poliedros regulares los aacutengulos interiores de una hexaacutegono miden 120deg y no
es posible poner tres juntos sin llegar al liacutemite de 360deg los aacutengulos interiores
de los siguientes son aun mayores
Los poliedros regulares y los griegos antiguos
Los pitagoacutericos mdashque veiacutean en los resultados matemaacuteticos algo parecido a
una verdad religiosamdash consideraban muy importante la observacioacuten de que
habiacutea soacutelo cinco poliedros regulares posibles Muchos creen que fueron ellos
quienes la hicieron por primera vez y por eso llaman soacutelidos pitagoacutericos a
los poliedros regulares (Lo maacutes probable es que la demostracioacuten de esta
afirmacioacuten se deba a los miembros de esa escuela) Sin embargo los
arqueoacutelogos han hallado imaacutegenes en piedra de los poliedros regulares
considerablemente maacutes antiguas
122
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
tierra fuego Universo agua y aire Imaacutegenes recogidas en un yacimiento neoliacutetico de Escocia
Por otra parte en excavaciones realizadas cerca de Paacutedova (Italia) se
halloacute un dodecaedro etrusco que probablemente era usado como juguete
Se cree que fue Empeacutedocles quien primero asocioacute el cubo el tetraedro el
icosaedro y el octaedro con la tierra el fuego el agua y el aire
respectivamente Estas sustancias eran los cuatro elementos de los
griegos antiguos Luego Platoacuten asocioacute el dodecaedro con el Universo
pensando que dado que era tan distinto de los restantes (iquestpor sus caras
pentagonales) debiacutea tener relacioacuten con la sustancia de la cual estaban
hechos los planetas y las estrellas (Por entonces se creiacutea que los cuerpos
celestes debiacutean estar hechos de un elemento distinto del que estaban
hechas las cosas que rodean al hombre en la Tierra) De aquiacute que a los
poliedros regulares se los conozca tambieacuten como soacutelidos platoacutenicos
123
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Los poliedros regulares y Johannes Kepler-
En el siglo XVI los poliedros regulares inspiraron al joven Kepler una teoriacutea
sobre el movimiento de los planetas Eacutel creiacutea que
los radios de las oacuterbitas (circulares) de los planetas
estaban en proporcioacuten con los radios de las
esferas inscriptas en soacutelidos platoacutenicos dispuestos
uno dentro de otro El grabado de la derecha ha
sido tomado de su tratado Mysterium
Cosmographicum (ldquoEl Misterio del Cosmosrdquo)
(Kepler concluyoacute que ese modelo era erroacuteneo y que
los planetas se moviacutean describiendo trayectorias eliacutepticas recieacuten cuando
conocioacute los resultados de las observaciones de Tycho Brahe)
En el cuadro siguiente aparecen reproducciones de otros grabados de la
misma obra de Kepler en donde se observa coacutemo sobreviviacutea en esta eacutepoca
tan tardiacutea la asociacioacuten entre elementos y poliedros establecida por
Empeacutedocles y Platoacuten
Tierra fuego Universo agua aire
124
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Figuras tomadas del tratado Mysterium Cosmographicum de Johannes Kepler
El descubrimiento de Kepler de las leyes del movimiento de los planetas es uno
de los primeros resultados de la aplicacioacuten del meacutetodo cientiacutefico tal como lo
entendemos hoy
6 Triaacutengulo de Kepler
El triaacutengulo de Kepler es un triaacutengulo rectaacutengulo formado por tres
cuadrados con aacutereas en progresioacuten geomeacutetrica de acuerdo al nuacutemero
aacuteureo
El triaacutengulo de Kepler es un triaacutengulo rectaacutengulo con lados en progresioacuten
geomeacutetrica La relacioacuten entre lados de un triaacutengulo de Kepler estaacute vinculada al nuacutemero aacuteureo
125
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
y puede ser escrita o aproximadamente 1 1272 1618 Los cuadrados de los lados de eacuteste triaacutengulo (veacutease fig tk1) estaacuten en progresioacuten geomeacutetrica de acuerdo al nuacutemero aacuteureo
Los triaacutengulos con dicha relacioacuten son llamados triaacutengulos de Kepler dado que el matemaacutetico y astroacutenomo alemaacuten Johannes Kepler (1571ndash1630) fue el primero en demostrar que este triaacutengulo se caracteriza por tener una relacioacuten entre los catetos y la hipotenusa igual a la proporcioacuten aacuteurea4 El triaacutengulo de Kepler combina dos conceptos clave de la matemaacutetica el teorema de Pitaacutegoras y nuacutemero aacuteureo lo cual fascinoacute profundamente a Kepler como quedoacute expresado en su propia cita
La geometriacutea tiene dos grandes tesoros uno es el teorema de Pitaacutegoras el
otro la divisioacuten de un segmento entre el extremo y su proporcional Al
primero lo podemos comparar a un montoacuten de oro al segundo lo podemos
llamar una piedra preciosa
61 Relacioacuten con las medias aritmeacutetica geomeacutetrica y armoacutenica
Para nuacutemeros reales positivos a y b sus media aritmeacutetica media geomeacutetrica y media armoacutenica son las longitudes de los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo si y solo si tal triaacutengulo es un triaacutengulo de Kepler
126
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
62 Como construir un triaacutengulo de Kepler
Meacutetodo para construir un triaacutengulo de Kepler mediante la proporcioacuten aacuteurea
Un triaacutengulo de Kepler puede ser construido usando solo regla y compaacutes creando primero un rectaacutengulo aacuteureo
Construir un simple cuadrado (rojo )
Trazar una liacutenea desde el punto medio de uno de sus lados hasta un veacutertice del lado opuesto
Utilizar la longitud de esa liacutenea como radio para dibujar un arco (gris en la figura) que define la altura de un rectaacutengulo aacuteureo
Completar el dibujo de dicho rectaacutengulo
Uacutesese el lado largo de la derecha del rectaacutengulo para trazar un arco hasta que intercepte al lado opuesto del rectaacutengulo dicha interseccioacuten define las longitudes de la hipotenusa y del cateto mayor del triaacutengulo de Kepler (aacuterea marroacuten)
Kepler lo construiacutea de manera diferente Seguacuten una carta que le escribioacute a su antiguo profesor Michael Maumlstlin
4 Si un segmento se divide entre el extremo y su
proporcional1 y se toma como hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo cuyo aacutengulo
recto se halle sobre el punto que divide a la hipotenusa en dichas partes entonces el
cateto menor tendraacute la misma longitud que la parte maacutes larga del segmento de partida
(ahora hipotenusa)
127
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
63 Curiosidades
Algunas fuentes afirman que se puede reconocer en la gran piraacutemide de Guiza un
triaacutengulo con dimensiones aproximadas a un triaacutengulo de Kepler
128
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Los poliedros regulares y Maurits Cornelis Escher
Los soacutelidos platoacutenicos por su historia perfeccioacuten y belleza continuacutean
siendo hoy inspiradores de matemaacuteticos y artistas El holandeacutes Maurits
Cornelis Escher es uno de los artistas claacutesicos de nuestro tiempo que han
experimentado la fascinacioacuten por estas figuras A continuacioacuten se reproduce
su grabado Estrellas (1948) y una fotografiacutea que lo muestra observando una
de sus obras un conjunto de soacutelidos platoacutenicos superpuestos
129
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Maurits consiguioacute hacer representaciones de otras figuras que nos soacutelidos regulares pero que con su ingenio logra hacer tesalaciones con un sentido geomeacutetrico pero saltaacutendose los caacutenones especiales
En 1509 el matemaacutetico y teoacutelogo Luca Pacioli publica su libro De Divina Proportione (La Proporcioacuten Divina) en el que plantea cinco razones por las que considera apropiado considerar divino al Nuacutemero aacuteureo
La unicidad Pacioli compara el valor uacutenico del nuacutemero aacuteureo con la unicidad de Dios
El hecho de que esteacute definido por tres segmentos de recta Paciolo asocia con la Trinidad
La inconmensurabilidad para Pacioli la inconmensurabilidad del nuacutemero aacuteureo y la inconmensurabilidad de Dios son equivalentes
La Autosimilaridad asociada al nuacutemero aacuteureo Pacioli la compara con la omnipresencia e invariabilidad de Dios
Seguacuten Pacioli de la misma manera en que Dios dio ser al Universo a traveacutes de la quinta esencia representada por el dodecaedro el nuacutemero aacuteureo dio ser al dodecaedro
En 1525 Alberto Durero publica Instruccioacuten sobre la medida con regla y compaacutes de figuras planas y soacutelidas donde describe coacutemo trazar con regla y compaacutes la espiral basada en la seccioacuten aacuteurea que se conoce como ldquoespiral de Durerordquo
El astroacutenomo Johannes Kepler (1571-1630) desarrolloacute un modelo Platoacutenico del Sistema Solar utilizando los soacutelidos platoacutenicos y se refirioacute al nuacutemero aacuteureo en teacuterminos grandiosos
ldquoLa geometriacutea tiene dos grandes tesoros uno es el teorema de Pitaacutegoras el otro la divisioacuten de una liacutenea entre el extremo y su proporcional El primero lo podemos comparar a una medida de oro el segundo lo debemos denominar una joya preciosardquo Johannes Kepler en Mysterium Cosmographicum (El Misterio Coacutesmico)
El primer uso conocido del adjetivo aacuteureo dorado o de oro para referirse a este nuacutemero lo hace el matemaacutetico alemaacuten Martin Ohm hermano del ceacutelebre fiacutesico Georg Simon Ohm en la segunda edicioacuten de 1835 de su libro Die Reine Elementar Matematik (Las Matemaacuteticas Puras Elementales) Ohm escribe en una nota al pie
130
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
A pesar de que la forma de escribir sugiere que el teacutermino ya era de uso comuacuten para la fecha el hecho de que no lo incluyera en su primera edicioacuten sugiere que el teacutermino pudo ganar popularidad alrededor de 1830
En los textos de matemaacuteticas que trataban el tema el siacutembolo habitual para representar el nuacutemero aacuteureo fue τ del griego τομή que significa corte o seccioacuten Sin embargo la moderna denominacioacuten Φ oacute φ la efectuoacute en 1900 el matemaacutetico Mark Barr en honor a Fidias ya que eacutesta era la primera letra de su nombre escrito en griego (Φειδίας) Este honor se le concedioacute a Fidias por el maacuteximo valor esteacutetico atribuido a sus esculturas propiedad que ya por entonces se le atribuiacutea tambieacuten al nuacutemero aacuteureo el cual aplico Fidias a sus hermosas esculturas
131
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Fidias vivioacute entre el 490 AC al 431 AC Sobresalioacute en el mundo claacutesico griego tanto en escultura grabado y repujado Pudieacutendose decir que fue uno de los mejores escultores y arquitectos de todos los tiempos Pero la escultura lo llevoacute a su punto maacuteximo por su perfeccioacuten y armoniacutea destacando a cada momento la belleza humana Algo que lo puso en lo maacutes alto fue el trato que dio a las telas adheridas a los cuerpos mostrando sus pliegues dejando entrever las curvas de los cuerpos la musculatura etc Vivioacute en la eacutepoca de Pericles convirtieacutendose en el protector de Fidias Pericles queriacutea hacer de la Acroacutepolis de Atenas la ciudad maacutes grande majestuosa y hermosa Debido a ello casi toda su obra la realizoacute en Atenas
3 PRESENCIA DEL NUMERO DE ORO
El nuacutemero de oro se encuentra presente e inmerso en muacuteltiples facetas del
mundo natural asiacute como en la intervencioacuten de la creacioacuten humana en un
sinnuacutemero de actividades que permiten pensar que esa relacioacuten aurea o
nuacutemero de oro realmente merece llamarse asiacute A continuacioacuten se mostraraacuten
algunas de esas facetas donde la proporcioacuten divina aparecen
31 Φ EN LA MATEMATICA
631 Foacutermula de la relacioacuten aacuteurea
Para conseguir un nuacutemero cuya relacioacuten con otro sea φ se puede utilizar esta
foacutermula
A condicioacuten siempre de que agtb agt0 y bgt0
Si por ejemplo queremos un valor aacuteureo para 2 y eacuteste es el segmento menor o sea b resulta entonces que
Ordenando
Con la foacutermula cuadraacutetica
132
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Φ es el uacutenico nuacutemero real positivo tal que
La expresioacuten anterior es faacutecil de comprobar
Φ posee ademaacutes las siguientes propiedades
Las potencias del nuacutemero aacuteureo pueden expresarse en funcioacuten de una suma de potencias de grados inferiores del mismo nuacutemero establecida una verdadera sucesioacuten recurrente de potencias
El caso maacutes simple es Φn = Φn minus 1 + Φn minus 2 cualquiera sea n un nuacutemero entero Este caso es una sucesioacuten recurrente de orden k = 2 pues se recurre a dos potencias anteriores
Una ecuacioacuten recurrente de orden k tiene la forma a1un + k minus 1 + a2un + k minus 2 + + akun donde ai es cualquier nuacutemero real o complejo y k es un nuacutemero natural menor o igual a n y mayor o igual a 1 En el caso anterior es k = 2 a1 = 1 y a2 = 1
Pero podemos laquosaltearraquo la potencia inmediatamente anterior y escribir
Φn = Φn minus 2 + 2Φn minus 3 + Φn minus 4 Aquiacute k = 4 a1 = 0 a2 = 1 a3 = 2 y a4 = 1
Si anulamos a las dos potencias inmediatamente anteriores tambieacuten hay una foacutermula recurrente de orden 6
133
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Φn = Φn minus 3 + 3Φn minus 4 + 3Φn minus 5 + Φn minus 6
En general
En resumen cualquier potencia del nuacutemero aacuteureo puede ser considerada como el elemento de una sucesioacuten recurrente de oacuterdenes 2 4 6 8 2k donde k es un nuacutemero natural En la foacutermula recurrente es posible que aparezcan potencias negativas de Φ hecho totalmente correcto Ademaacutes una potencia negativa de Φ corresponde a una potencia positiva de su inverso la seccioacuten aacuteurea
Este curioso conjunto de propiedades y el hecho de que los coeficientes significativos sean los del binomio parecieran indicar que entre el nuacutemero aacuteureo y el nuacutemero e hay un parentesco
El nuacutemero aacuteureo es la unidad fundamental laquoεraquo del cuerpo
y la seccioacuten aacuteurea es su inversa laquo raquo En esta extensioacuten el
laquoemblemaacuteticoraquo nuacutemero irracional cumple las siguientes igualdades
La expresioacuten mediante fracciones continuas es
Esta iteracioacuten es la uacutenica donde sumar es multiplicar y restar es dividir Es tambieacuten la maacutes simple de todas las fracciones continuas y la que tiene la convergencia maacutes lenta Esa propiedad hace que ademaacutes el nuacutemero aacuteureo sea un nuacutemero mal aproximable mediante racionales que de hecho alcanza el peor grado posible de aproximabilidad mediante racionales5
134
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Por ello se dice que φ es el nuacutemero maacutes alejado de lo racional o el nuacutemero maacutes irracional Este es el motivo por el cual aparece en el teorema de Kolmogoacuterov-Arnold-Moser
El nuacutemero aacuteureo y la seccioacuten aacuteurea son soluciones de las siguientes ecuaciones
Eacutestas corresponden al hecho de que el diaacutemetro de un pentaacutegono regular (distancia entre dos veacutertices no consecutivos) es φ veces la longitud de su lado y de otras relaciones similares en el pentagrama
En 1994 se derivaron las siguientes ecuaciones relacionando al nuacutemero aacuteureo con el nuacutemero de la Bestia
Lo que puede combinarse en la expresioacuten
135
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Sin embargo hay que notar que estas ecuaciones dependen de que se elijan los grados sexagesimales como unidad angular ya que las ecuaciones no se mantienen para unidades diferentes
Esta foacutermula como caso particular de una identidad general publicada por Nathan Altshiller-Court de la Universidad de Oklahoma en la revista American
Mathematical Monthly 1917
El teorema general dice
La expresioacuten (donde ai = a) es igual a la mayor de las raiacuteces de la ecuacioacuten xsup2 - x - a = 0 o sea
Relacioacuten del nuacutemero de oro con el triangulo de Pascal
632
136
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Este es el triaacutengulo de Pascal que se forma situando el nuacutemero uno por sus
dos laterales y los demaacutes nuacutemeros se hallan sumando los dos nuacutemeros que
tiene justo encima Sumando los nuacutemeros seguacuten las diagonales obtenemos
la sucesioacuten de Fibonacci
Relacioacuten del nuacutemero de oro con la serie de Fibonacci
Si se denota el eneacutesimo nuacutemero de Fibonacci como Fn y al siguiente nuacutemero de Fibonacci como Fn + 1 descubrimos que a medida que n aumenta esta razoacuten oscila y es alternativamente menor y mayor que la razoacuten aacuteurea Podemos tambieacuten notar que la fraccioacuten continua que describe al nuacutemero aacuteureo produce siempre nuacutemeros de Fibonacci a medida que aumenta el
nuacutemero de unos en la fraccioacuten Por ejemplo y
lo que se acerca considerablemente al nuacutemero aacuteureo Entonces se tiene que
Esta propiedad fue descubierta por el astroacutenomo alemaacuten Johannes Kepler pero pasaron maacutes de cien antildeos antes de que fuera demostrada por el matemaacutetico ingleacutes Robert Simpson
Con posterioridad se encontroacute que cualquier sucesioacuten aditiva recurrente de orden 2 tiende al mismo liacutemite Por ejemplo si tomamos dos nuacutemeros naturales arbitrarios por ejemplo 3 y 7 la sucesioacuten recurrente resulta 3 - 7 - 10 - 17 - 27 - 44 - 71 - 115 - 186 - 301 Los cocientes de teacuterminos sucesivos producen aproximaciones racionales que se acercan asintoacuteticamente por
exceso y por defecto al mismo liacutemite 4427 = 16296296 7144 = 1613636 301186 = 16182795
A mediados del siglo XIX el matemaacutetico franceacutes Jacques Philippe Marie Binet redescubrioacute una foacutermula que aparentemente ya era conocida por Leonhard
Euler y por otro matemaacutetico franceacutes Abraham de Moivre La foacutermula permite encontrar el eneacutesimo nuacutemero de Fibonacci sin la necesidad de producir todos
137
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
los nuacutemeros anteriores La foacutermula de Binet depende exclusivamente del nuacutemero aacuteureo
32 Φ EN LA GEOMETRIA
633
El nuacutemero aacuteureo y la seccioacuten aacuteurea estaacuten presentes en todos los objetos geomeacutetricos regulares o semirregulares en los que haya simetriacutea pentagonal que sean pentaacutegonos o que aparezca de alguna manera la raiacutez cuadrada de cinco
Relaciones entre las partes del pentaacutegono
Relaciones entre las partes del pentaacutegono estrellado pentaacuteculo o pentagrama
Relaciones entre las partes del decaacutegono
Relaciones entre las partes del dodecaedro y del icosaedro
138
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
El rectaacutengulo aacuteureo de Euclides
Una propiedad importante de los rectaacutengulos aacuteureos es que cuando se
colocan dos iguales como indica la figura la diagonal AB pasa por el veacutertice
C
139
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Euclides obtiene el rectaacutengulo aacuteureo AEFD a partir del cuadrado ABCD El
rectaacutengulo BEFC es asimismo aacuteureo
El rectaacutengulo AEFD es aacuteureo porque sus lados AE y AD estaacuten en la proporcioacuten del nuacutemero aacuteureo Euclides en su proposicioacuten 211 de Los
elementos obtiene su construccioacutengt
Con centro en G se obtiene el punto E y por lo tanto
con lo que resulta evidente que
140
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
de donde finalmente
Por otra parte los rectaacutengulos AEFD y BEFC son semejantes de modo que este uacuteltimo es asimismo un rectaacutengulo aacuteureo
Generacioacuten de un rectaacutengulo aacuteureo a partir de otro
En el pentagrama
Pentagrama que ilustra algunas de las razones aacuteureas los segmentos rojo y
azul azul y verde verde y morado
El nuacutemero aacuteureo tiene un papel muy importante en los pentaacutegonos regulares y en los pentagramas Cada interseccioacuten de partes de un segmento interseca a otro segmento en una razoacuten aacuteurea
141
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
El pentagrama incluye diez triaacutengulos isoacutesceles cinco acutaacutengulos y cinco obtusaacutengulos En ambos la razoacuten de lado mayor y el menor es φ Estos triaacutengulos se conocen como los triaacutengulos aacuteureos
Y una aplicacioacuten matemaacutetica la tenemos en la descomposicioacuten de un
rectaacutengulo cualquiera en tres triaacutengulos (en rojo) de igual aacuterea La solucioacuten se obtiene al hallar la parte aacuteurea de sus lados
Teniendo en cuenta la gran simetriacutea de este siacutembolo se observa que dentro del pentaacutegono interior es posible dibujar una nueva
estrella con una recursividad hasta el infinito Del mismo modo es posible dibujar un pentaacutegono por el exterior que seriacutea a su vez el pentaacutegono interior de una estrella maacutes grande Al medir la longitud total de una de las cinco liacuteneas del pentaacuteculo interior resulta igual a la longitud de cualquiera de los brazos de la estrella mayor o sea Φ Por lo tanto el nuacutemero de veces en que aparece el nuacutemero aacuteureo en el pentagrama es infinito al anidar infinitos pentagramas
El teorema de Ptolomeo y el pentaacutegono
Se puede calcular el nuacutemero aacuteureo usando el teorema de Ptolomeo en un
pentaacutegono regular Claudio Ptolomeo desarrolloacute un teorema conocido como el
142
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
teorema de Ptolomeo el cual permite trazar un pentaacutegono regular mediante regla y
compaacutes Aplicando este teorema se forma un cuadrilaacutetero al quitar uno de los
veacutertices del pentaacutegono Si las diagonales y la base mayor miden b y los lados y la
base menor miden a resulta que b2 = a2 + ab lo que implica
Relacioacuten del nuacutemero de oro con los soacutelidos platoacutenicos
El nuacutemero aacuteureo estaacute relacionado con los soacutelidos platoacutenicos en particular con el icosaedro y el dodecaedro cuyas dimensiones estaacuten dadas en teacuterminos del nuacutemero aacuteureo
Los 12 veacutertices de un icosaedro con aristas de longitud 2 pueden darse en coordenadas cartesianas por los siguientes puntos
(0 plusmn1 plusmnφ) (plusmn1 plusmnφ 0) (plusmnφ 0 plusmn1)
Los 20 veacutertices de un dodecaedro con aristas de longitud 2φ=radic5minus1 tambieacuten se pueden dar en teacuterminos similares
(plusmn1 plusmn1 plusmn1) (0 plusmn1φ plusmnφ) (plusmn1φ plusmnφ 0) (plusmnφ 0 plusmn1φ)
Las 12 esquinas de los rectaacutengulos coinciden con los centros de las caras de
un dodecaedro
Para un dodecaedro con aristas de longitud a su volumen y su aacuterea total se pueden expresar tambieacuten en teacuterminos del nuacutemero aacuteureo
143
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Si tres rectaacutengulos aacuteureos se solapan paralelamente en sus centros las 12 esquinas de los rectaacutengulos aacuteureos coinciden exactamente con los veacutertices de un icosaedro y con los centros de las caras de un dodecaedro
El punto que los rectaacutengulos tienen en comuacuten es el centro tanto del dodecaedro como del icosaedro
El nuacutemero estaacute muy ligado al pentaacutegono regular tanto el convexo como el
estrellado El pentaacutegono regular era el distintivo de los pitagoacutericos Los
pitagoacutericos se sentiacutean fascinados por las propiedades de los nuacutemeros e
hicieron importantes descubrimientos en muacutesica al comprobar coacutemo al hacer
vibrar una cuerda y su longitud fuera proporcional a ciertos nuacutemeros enteros
entonces se produciacutean unos sonidos melodiosos es decir existiacutean ciertas
longitudes expresadas en forma de nuacutemeros asociados a la armoniacutea de los
sonidos y por tanto al deleite del espiacuteritu Esa escuela filosoacutefica maacutes bien
una secta religiosa fascinados por las propiedades del nuacutemero de oro y su
representacioacuten graacutefica en el pentaacutegono regular hicieron suyo ese siacutembolo
que siempre ha poseiacutedo unas connotaciones esoteacutericas Para las
invocaciones a los espiacuteritus al diablo se valen de una escenografiacutea donde
siempre aparece el pentaacutegono regular como elemento intermedio como
puerta de acceso entre la realidad y la irracionalidad
para la construccioacuten del pentaacutegono regular partimos de un cuadrado de lado l
construimos el segmento aacuteureo OD tal que
OC
OD por el meacutetodo expuesto anteriormente
con centro en B prolongo el arco BD hasta C
con centro en C trazo el arco OC
el segmento CC es el lado del pentaacutegono regular y el segmento OC es la diagonal del pentaacutegono ambos estaacuten relacionados
diagonal = lado middot
144
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Los aacutengulos interiores de un pentaacutegono miden
ordm1085
)25(middotordm180
n
)2n(middotordm180
El triaacutengulo OCC es isoacutesceles los aacutengulos de los extremos miden
5ordm36
2
ordm108ordm180
De aquiacute deducimos por inspeccioacuten del triaacutengulo OCC que
)5
(cosmiddot2
El triaacutengulo isoacutesceles de aacutengulos 36ordm 72ordm 72ordm es la base del pentaacutegono
regular estrellado Obseacutervese que las diagonales y el lado estaacuten en la
proporcioacuten del nuacutemero de oro
Triaacutengulos aacuteureos
145
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
El triaacutengulo isoacutesceles de aacutengulos 36ordm-72ordm-72ordm nos serviraacute tambieacuten para
obtener el lado del decaacutegono regular Obseacutervese que el decaacutegono podemos descomponerlo en 10 triaacutengulos isoacutesceles de esas caracteriacutesticas y faacutecilmente se ve que el lado del decaacutegono es justamente la parte aacuteurea del radio Por tanto a partir del radio OB (ver figura superior) levantamos el segmento OM de longitud igual a R2 Unimos M con B Trazamos el arco OC con centro en M El segmento AB es la parte aacuteurea del radio y consecuentemente el lado del decaacutegono regular
146
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Llevando ese valor sobre la circunferencia marcamos los 10 puntos Al unirlos de dos en dos dibujamos el pentaacutegono regular al unirlos de tres en tres el decaacutegono regular estrellado y al unirlos de cuatro en cuatro el pentaacutegono regular estrellado Obseacutervese en los poliacutegonos estrellados como se forma interiormente el poliacutegono convexo correspondiente
Una cinta de papel anudada nos proporciona un pentaacutegono regular
147
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Un mosaico tambieacuten muy hermoso disentildeado por el profesor Roger Penrose donde se usan triaacutengulos que involucran las medidas del nuacutemero de oro como se muestra a continuacioacuten del mosaico o tesalacioacuten
Sus elementos tienen como base las figuras Otro ejemplo del disentildeo artiacutestico basado en las esteacuteticas sensaciones
de la razoacuten aacuteurea
148
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
33 Φ EN LA ARQUITECTURA
El nuacutemero aacuteureo ha sido utilizado desde la eacutepoca de los egipcios para la construccioacuten de edificios si bien son los griegos los que lo explotaron al maacuteximo usando en todas las facetas del arte A continuacioacuten se detallan algunos ejemplos de este uso
Piraacutemide de Keops
El primer uso conocido del nuacutemero aacuteureo en la construccioacuten aparece en la piraacutemide de Keops que data del 2600 aC
149
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Esta piraacutemide tiene cada una de sus caras formadas por dos medios triaacutengulos aacuteureos la maacutes aparente aunque no la uacutenica relacioacuten armoacutenica identificable en el anaacutelisis de las proporciones de este monumento funerario en apariencia simple
Se nota en el bosquejo las complejas relaciones de sus medidas para aplicar la proporcion aurea o nuacutemero de oro
150
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
El Partenoacuten
Un ejemplo de rectaacutengulo aacuteureo en el arte es el alzado del Partenoacuten griego
En la figura se puede comprobar que ABCD= Hay maacutes cocientes entre sus medidas que dan el nuacutemero aacuteureo por ejemplo ACAD= y CDCA=
Templo de Ceres
151
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
El Templo de Ceres en Paestum (460 aC) tiene su fachada construida siguiendo un sistema de triaacutengulos aacuteureos al igual que los mayores templos griegos relacionados sobre todo con el orden doacuterico
Tumba Rupestre de Mira
La Tumba Rupestre de Mira en Asia Menor basa su construccioacuten en un pentaacutegono aacuteureo en el que el cociente de la diagonal y el lado de dicho pentaacutegono es el nuacutemero aacuteureo
152
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
la catedral de Notre dame en Paris estaacute construida con las lelaciones del nuacutemero de oro obseacutervese los rectaacutengulos aacuteureos demarcados a la izqierda
153
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
154
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Los ejes de los cuatro pilares forman un cuadrado de 100 m2 que es el lado pequentildeo de un rectaacutengulo aureo Es decir que colocando los dos rectaacutengulos se consigue la altura de la torre Tambieacuten se encuentran en las diferentes partes de la torre lo cual sucede cuando se multiplica 100 X 2 X Fi = 32361 m que es la altura de la torre
Tambieacuten se encuentra en las diferentes partes de la torre como se puede comprobar en el dibujo que estaacute hecho a escala donde el espacio azul a 1 y Fi seriacutea el espacio azul maacutes el dorado
La estatua de la Libertad y el nuacutemero aacuteureo La estatua de la libertad es uno de los monumentos maacutes famosos en el mundo y fue un regalo otorgado por los franceses a Norteameacuterica en conmemoracioacuten a la alianza hecha por las dos naciones durante la
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Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Revolucioacuten Norteamericana La majestuosa estatua fue construida hace maacutes de un siglo y fue el producto de la combinacioacuten del talento artiacutestico del ingeniero Gustave Eiffel y el escultor franceacutes Freacutedeacuteric Auguste Bartholdi Este uacuteltimo se inspiroacute en el trabajo el escultor Cales de Lindos y en su famosa obra El Coloso de Rodas una gigantesca estatua del dios griego Helios erigida en la isla de Rodas Grecia en el siglo III a C
Dado a que el nuacutemero aacuteureo o nuacutemero phi era conocido en la antigua Grecia el arte de esa eacutepoca fue influenciado enormemente por este descubrimiento y es muy probable que Bartholdi al inspirarse en el Coloso de Rodas haya plasmado en su escultura la proporcioacuten divina Esto se comprueba por ejemplo en las dimensiones de largo y ancho de la tabla que sostiene la estatua en su mano izquierda La longitud real es de 719 metros y su ancho es de 414 metros si se determina la razoacuten de ambas medidas se obtiene un valor de 17 metros un valor cercano al nuacutemero de oro La misma situacioacuten ocurre si se relacionan la altura de la cabeza (526 metros) y su ancho (305 metros) La razoacuten aproximada es tambieacuten de 17 metros haciendo evidente nuevamente la proporcioacuten divina
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Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
en su estructura Por otra parte dado a que esta obra artiacutestica es figurativa existen coincidencias con lo que apunta Leonardo da Vinci respecto a las proporciones que exhibe el cuerpo humano y que son cercanas a la razoacuten aacuteurea Por ejemplo se dice que existe una relacioacuten entre la longitud del brazo y la distancia del codo a los dedos Realizando mediciones aproximadas en una fotografiacutea de la estatua de la libertad dado a que no existen datos disponibles la presencia del nuacutemero aacuteureo se comprueba una vez maacutes pues la razoacuten de ambas medidas da un valor muy cercano al nuacutemero de oro (aproximadamente16) Finalmente otro ejemplo claro se puede observar en la base de la estatua pues en esta se encuentra repetidamente el rectaacutengulo de oro
34 Φ EN LA ESCULTURA
Para el escultor griego Fidias el conocimiento del nuacutemero de oro era vital
para plasmar las proporciones perfectas en sus obras la maacutes conocida
Apolo de Belvedere donde su nota su perfecto conocimiento de las
proporciones brindadas por esta relacioacuten matemaacutetica
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Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
634 Le Corbusier y el modulor
Tambieacuten fue importante la figura de Le Corbusier el cual se interesoacute de modo especial en las proporciones del cuerpo humano Queriacutea presentar una medida humana como alternativa al metro -la milloneacutesima parte del cuadrante terrestre- introducido por Napoleoacuten El resultado fue ldquoel modulorrdquo un sistema de disentildeo basado en la medida de 113 cm (la altura del ombligo medida desde el suelo) y en una proporcioacuten la seccioacuten aacuteurea
De esta manera una ventana estaraacute a 113 cm de altura dividieacutendola con la seccioacuten aacuteurea se obtienen 70 y 43 cm las altura de una mesa y de una silla Multiplicaacutendose por dos se obtienen 226 cm la altura de la habitacioacuten como un hombre con el brazo levantado Y asiacute sucesivamente
El modulor consiste en dos escalas diferente que se pintaban de rojo de azul Las dimensiones de la escala azul son el doble de la escala roja y las divisiones de cada escala se basan en la proporcioacuten aacuteurea Por tanto el modulor no es solamente un instrumento de proporcioacuten arquitectoacutenica sino tambieacuten un medio de asegurar la repeticioacuten de formas similares como las diferentes formas que pueden hallarse en un rectaacutengulo gracias a unas liacuteneas transversales horizontales y verticales
El Nuacutemero de Oro se ha encontrado presente desde las impresionantes construcciones de nuestros antepasados hasta las grandes obras de Arte de nuestro tiempo la importancia de la proporcioacuten aacuteurea en la Historia del Arte queda maacutes que demostrada y por tanto vigente en el ser humano como parte de su esencia
La Divina Proporcioacuten y el disentildeo web Se dice que si a una liacutenea recta le agregamos un punto en un lugar que no sea el centro la mayoriacutea de las veces lo agregaremos acercaacutendonos a la proporcioacuten de 62 y 38 Esto nos permite ofrecer composiciones maacutes armoniosas que puedan enfocar la atencioacuten en un punto deseado Una de las formas para trabajar con el nuacutemero aacuteureo es dimensionando el soporte Esto no es otra cosa que utilizar un aacuterea de trabajo que tenga proporciones aacuteureas El rectaacutengulo es un aacuterea de trabajo aacuteurea si esto lo aplicamos al disentildeo web obtenemos que para una interfaz 1024 x 768 con un ancho de 1010 pixeles visibles (le restamos 14 pixeles que es lo que usan las barras de deslizamiento laterales) le corresponderiacutea una altura de 624 pixeles Aquiacute surge un problema ya que en el disentildeo web generalmente podemos saber la anchura de un contenido pero no la altura ya que depende de la cantidad de
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Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
contenido que estaraacute en la paacutegina Pero gracias a esta aacuterea de trabajo podemos crear una retiacutecula proporcionada para ajustar los elementos principales del disentildeo de un sitio web y ajustando los restantes con proporciones aacuteureas
35 Φ EN LA PINTURA
En el cuadro Leda atoacutemica de Salvador Daliacute hecho en colaboracioacuten con el matemaacutetico rumano Matila Ghyka
El nuacutemero aacuteureo aparece en las relaciones entre altura y ancho de los objetos y personas que aparecen en las obras de Miguel Aacutengel Durero y Leonardo Da Vinci entre otros
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Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Las relaciones entre articulaciones en el hombre de Vitruvio y en otras obras de Leonardo da Vinci
El Entierro del Conde de Orgaz y un estudio de sus proporciones basado en el nuacutemero de oro
Si disponemos de una hoja de papel de dimensiones x 1 al eliminar el
cuadrado de lado unidad obtenemos otro rectaacutengulo de dimensiones 1 x (-
1) que es semejante al primero Procediendo sucesivamente tendremos toda
una coleccioacuten de rectaacutengulos aacuteureos de tamantildeo cada vez maacutes pequentildeos
pero todos semejantes entre siacute No soacutelo aparece el nuacutemero de oro en las
obras de arte sino tambieacuten en la Naturaleza
Una construccioacuten similar podemos realizar partiendo de un rectaacutengulo aacuteureo
de dimensiones x 1 dividiendo el rectaacutengulo aacuteureo en un cuadrado de lado
= 1 entonces el rectaacutengulo sobrante tiene dimensiones 1 x (-1) En ese
nuevo rectaacutengulo separamos el cuadrado de lado (-1) quedando un
rectaacutengulo sobrante de dimensiones (-1) x (2-) Siguiendo el proceso
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Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
vamos obteniendo rectaacutengulos de dimensiones (2-) x (5-3) (5-3) x (5-8)
tal como observamos en la figura
Los ejes de sus cuatro pilares forman un cuadrado de 100 metros que seria
el lado pequentildeo de un rectaacutengulo aacuteureo Pues poniendo dos rectaacutengulos
conseguimos la altura de esta torre
100 x Φ x 2 asymp 32361 metros
Tambieacuten se encuentra en las diferentes partes de la torre vea el dibujo
donde el espacio azul seriacutea igual a uno y Phi seria el espacio azul maacutes el
dorado La Gioconda es el cuadro insignia de Leonardo y lo construyo
estrictamente con las configuraciones del numero de oro como se aprecia
Construccioacuten fase por fase del mapa aacuteureo del rostro de Mona Lisa
En el primer cuadro podemos ver como el rostro de la Gioconda se encuadra
perfectamente en un rectaacutengulo aacuteureo
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Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Dentro de ese rectaacutengulo aacuteureo dibujamos un cuadrado en el segundo
cuadro quedando arriba otro rectaacutengulo aacuteureo En el tercer y cuarto cuadro
realizamos la misma operacioacuten que para el segundo Para el quinto cuadro
trasladamos simeacutetricamente seguacuten la liacutenea que pasa justo encima de los ojos
el cuadrado grande de arriba y el uacuteltimo rectaacutengulo aacuteureo obtenido
Se puede ver que la liacutenea que sale exactamente del nacimiento del pelo
(justo en la raya del pelo) pasa por la mitad de la nariz y termina en la mitad
de donde empieza la boca de Mona Lisa
Sucesivamente se realiza la misma operacioacuten para los cuadros finales
observando por uacuteltimo que el uacuteltimo rectaacutengulo parte de la nariz y va hasta el
ojo derecho
Tambieacuten en la composicioacuten en el mundo de la pintura ldquoLa Anunciacioacutenldquo de Da Vinci
El hablar de Leonardo Da Vinci y en especial su obra llamada la ultima Cena va de la mano de muchos otros temas como la divina proporcioacuten numero Phi secuencia Fibonacci los cuales en resumidas cuentas tratan de lo mismo nicamente variado en el enfoque que se quiera dar sea en matemaacuteticas fiacutesica en la ciencia y especialmente en el arte Estas relaciones las utilizoacute para definir todas las proporciones fundamentales en su pintura La uacuteltima cena desde las dimensiones de la mesa hasta la disposicioacuten de Cristo y los disciacutepulos sentados asiacute como las proporciones de
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Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
las paredes y ventanas al fondo Claro estaacute que Da Vinci enfocoacute y plasmoacute esta relacioacuten perfectamente para ensentildear expliacutecitamente el objetivo de su obra
A pesar del tiempo y de todos los dantildeos causados por el mismo asiacute como por la ignorancia de muchos hacia esta gran obra se sigue dando una gran investigacioacuten alrededor de los misterios que encierra y de su magnificencia e imponencia en cuanto los cuidadosos trazos que involucran la maacutes alta armoniacutea esteacutetica que tiene
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Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
La divina proporcioacuten en esta obra nos muestra la importancia y las grandes aplicaciones que se le pueden brindar en la sociedad actual observemos y exploremos las proporciones naturales los patrones repetitivos y las pautas matemaacuteticas de la naturaleza (incluida la vida humana) las formas y los patrones de la armoniacutea los modelos energeacuteticos los cuales hoy donde uno se puede atrever a afirmar que contienen la informacioacuten maacutes pura de todo el proceso del Universo
La espiral de Durero y la serie de Fibonacci
En 1525 tres antildeos antes de morir el genial pintor renacentista y gran
enamorado de las Matemaacuteticas Alberto Durero (1471-1528) publica la obra
titulada Instruccioacuten sobre la medida con regla y compaacutes de figuras planas y
soacutelidas Es un precioso libro en el que pretende ensentildear a los artistas
pintores y matemaacuteticos de la eacutepoca diversos meacutetodos para trazar diversas
figuras geomeacutetricas En esta obra Durero muestra coacutemo trazar con regla y
compaacutes algunos espirales y entre ellos uno que pasaraacute a la historia con su
nombre El Espiral de Durero basado en la seccioacuten aacuteurea sin embargo
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Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
habriacutea que recordar tambieacuten que estuvo precedida tres siglos antes por los
nuacutemeros de la sucesioacuten 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 de
Fibonacci
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Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Por ejemplo Diego de Silva Velaacutezquez (1599-1660) pintor espantildeol maacuteximo
representante de la pintura barroca en su paiacutes Creoacute las obras maestras Las
Meninas (1656) Representa a la infanta Margarita rodeada de dos
meninas o damas de honor de pie junto al pintor quien mira hacia el
espectador desde la parte izquierda del cuadro Velaacutezquez aparece pintando
al rey Felipe IV y a la reina dontildea Mariana cuya presencia soacutelo queda
sugerida por el reflejo de sus efigies en el espejo situado al fondo de la
habitacioacuten
En este caso de composicioacuten el espiral nace en el centro del pecho de la
Infanta Margarita de Austria es decir en su propio esternoacuten Las
propiedades consolidadas del espiral y su crecimiento proporcional sobre la
superficie de Las Meninas es consecuencia de la disponibilidad natural de la
Geometriacutea y algo maacutes que nos remite a un amplio significado
Simboacutelicamente este punto medio y anatoacutemico del cuerpo de la Infanta
Margarita de Austria marca el centro reservado de los elegidos en todos los
casos una imagen o identidad exclusiva de la verdadera semilla de los reyes
del mundo tal y como en la tradicioacuten europea el Emperador se situaba
siempre en el lugar central en las ceremonias
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Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
La composicioacuten de un cuadro tiene muy en cuenta la ordenacioacuten de los
elementos en un todo unitario El concepto de simetriacutea es uno de los
aspectos a valorar En un primer lugar el pintor ordena los elementos en
funcioacuten de un eje y los distribuye de manera ordenada a su derecha e
izquierda Un tipo de composicioacuten es la simetriacutea radial esta se puede utilizar
para crear las composiciones multisimeacutetricas que tienen un centro visual
fuerte del intereacutes y de un alto grado de energiacutea oacuteptica
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Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
36 Φ EN LA NATURALEZA
En la naturaleza hay muchos elementos relacionados con la seccioacuten aacuteurea yo los nuacutemeros de Fibonacci
361 Abejas
La relacioacuten que existe entre la cantidad de abejas macho y hembra en un panal Los machos de una colmena de abejas tienen un aacuterbol genealoacutegico que cumple con esta sucesioacuten El hecho es que los zaacutenganos el macho de la
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Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
abeja no tiene padre (1) pero siacute que tiene una madre (1 1) dos abuelos que son los padres de la reina (1 1 2) tres bisabuelos ya que el padre de la reina no tiene padre (1 1 2 3) cinco tatarabuelos (1 1 2 3 5) ocho tataratatarabuelos (1 1 2 3 5 8) y asiacute sucesivamente cumpliendo con la sucesioacuten de Fibonacci
La medida del abdomen de la abeja dividida por Φ es igual a la medida de
su toacuterax y a su vez la medida del toacuterax dividida por Φ es igual a la medida de
su cabeza
Tambieacuten el nuacutemero de descendientes en cada generacioacuten de
por Φ es igual a la medida de su cabeza
Tambieacuten el nuacutemero de descendientes en cada generacioacuten de una abeja
macho o zaacutengano nos conduce a la sucesioacuten al nuacutemero aacuteureo
La relacioacuten entre la cantidad de abejas macho y abejas hembra en un panal
el nuacutemero de rutas que recorre una abeja cuando se desplaza por las celdillas de un pa-nal son teacuterminos de la sucesioacuten de Fibonacci siendo n el nuacutemero de celdillas El nuacutemero de antepasados de los zaacutenganos son teacuterminos de Fibonacci (noacutetese que los zaacutenganos son pro-
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Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
ducidos a partir de los huevos infertilizados de la abeja reina es decir tienen una madre pero no tienen padre)
362 Φ En Mamiacuteferos
Phi en las temperaturas corporales de los animales
Si suponemos que la distancia desde 0deg (temperatura de hielo del agua)
hasta 100deg (temperatura de ebullicioacuten del agua) es igual a Φ (asymp1618)
Una unidad partiendo desde 0deg seria aproximadamente 62deg que es la
temperatura liacutemite de la vida la temperatura miacutenima necesaria para matar las
bacterias La pasteurizacioacuten se puede realizar a 62deg en media hora
Una unidad partiendo desde 100deg en direccioacuten a 0deg seria 38deg que es la
temperatura aproximada de los mamiacuteferos La temperatura normal del
hombre estaacute alrededor de 37deg pero en cambio para los gatos o los perros
esta alrededor de 39deg La media de los mamiacuteferos estaacute muy cercana a los
38deg
100Φ asymp 618 asymp temperatura liacutemite de la vida
100 - [100Φ] asymp 382 asymp temperatura de los mamiacuteferos
La forma de espiral de Durero o de Fibonacci que presentan la forma de los
cuernos de alces asiacute como el problema de los conejos que describe
perfectamente la serie suponiendo que los conejos procrean una pareja en
un mes aunque es de anotar que la prentildeez dura 32 diacuteas y una pareja de
conejos puede tener una camada de 4 a 6 conejos por parto
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Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
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Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
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Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Supongamos una pareja de conejos los cuales pueden tener descendencia
una vez al mes a partir del segundo mes de vida suponemos asimismo que
los conejos no mueren y que cada hembra produce una nueva pareja
(conejo coneja) cada mes La pregunta es iquestcuaacutentas parejas de conejos
existen en la granja al cabo de n meses Esta respuesta la encontramos en
la serie
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Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
363 Φ En Caracoles y similares
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Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
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Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
364 Φ en plantas
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Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
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Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Todas estas hojas presentan la relacioacuten del nuacutemero fi en sus medidas
Ademaacutes las plantas posicionan sus hojas de acuerdo a los patrones de Fibonacci El crecimiento de las plantas se da en la punta del tallo
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Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
(meristemo apical del tallo) que tiene una forma coacutenica Cuando se ve la planta desde arriba se observa que las hojas que crecieron primero (las que estaacuten maacutes abajo) tienden a estar radialmente maacutes alejadas del tallo Tambieacuten estaacuten giradas con respecto al eje del tallo para no solaparse unas a otras En 1837 los hermanos Bravais (Auguste y Louis) descubrieron que las nuevas hojas avanzan en forma rotatoria aproximadamente el mismo angulo y que este aacutengulo estaacute cerca de 1375Acircordm Este nuacutemero estaacute directamente relacionado con Phi Si se calcula 360ordmPhi se obtiene 2225ordm Y el complemento 360ordm-2225ordm es precisamente 1375ordm tambieacuten llamado el Angulo Aacuteureo
Esto ocurre porque cuando una planta crece la estrategia que utiliza para garantizar su supervivencia consiste en maximizar la distancia entre las ramas y las hojas buscando Aacutengulos que no se solapen y en los que cada una de ellas reciba la mayor cantidad posible de luz agua y nutrientes El resultado es una disposicioacuten en trayectoria ascendente y en forma de heacutelice en la que se repiten los teacuterminos de la sucesioacuten de Fibonacci
Fractales
Los fractales estudiados a profundidad por Benoit Mandenbrot se pueden
ver claramente en las ilustraciones que sus formas son manifestaciones
artiacutesticas naturales del nuacutemero de oro y la serie de Fibonacci
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Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
El matemaacutetico franceacutes Benoit Mandenbrot acuntildeoacute la palabra fractal en la deacutecada de los 70 derivaacutendola del adjetivo latiacuten fractus El correspondiente verbo latino frangere significa romper crear fragmentos irregulares
Los fractales fueron concebidos aproximadamente en 1890 por el franceacutes Henri Poincareacute Sus ideas fueron extendidas maacutes tarde fundamentalmente por dos matemaacuteticos tambieacuten franceses Gastoacuten Julia y Pierre Fatou hacia 1918 Se trabajoacute mucho en este campo durante varios antildeos pero el estudio quedoacute congelado en los antildeos 20
El estudio fue renovado a partir de 1974 en IBM y fue fuertemente impulsado por el desarrollo de la computadora digital El Dr Mandenbrot de la Universidad de Yale con sus experimentos de computadora es considerado como el padre de la geometriacutea fractal En honor a eacutel uno de los conjuntos que eacutel investigoacute fue nombrado en su nombre
El Fractal es matemaacuteticamente una figura geomeacutetrica que es compleja y detallada en estructura a cualquier nivel de magnificacioacuten A menudo los fractales son semejantes a siacute mismos esto es poseen la propiedad de que cada pequentildea porcioacuten del fractal puede ser vizualizada como una reacuteplica a escala reducida del todo Manejan las dimensiones aacuteureas en su autorrepetimiento como en el el triaacutengulo de Sierspinski la curva de Koch el conjunto Mandenbrot los conjuntos Julia y muchas otras
Otra aplicacioacuten de los fractales aparentemente irrelevante es la muacutesica fractal Ciertas muacutesicas incluyendo las de Bach y las de Mozart pueden ser reducidas y todaviacutea retener la esencia del compositor Estaacuten siendo desarrolladas muchas nuevas aplicaciones software para el desarrollo de muacutesica fractal
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Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Como una verificacioacuten de lo expuesto en los libros Presencia del Nuacutemero de
Oro y Gudea Criacuteptico aquiacute se muestra la aplicacioacuten de Phimatrix en
imaacutegenes que forman parte de ellos como tambieacuten en otras figuras de la
Naturaleza y de la obra humana
Homenaje a Becircnoit Mandelbrot (1924-2010) matemaacutetico que desarrolloacute y
difundioacute la geometriacutea fractal
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Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
En las liacuteneas Nazca vistas
desde el aire
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Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
La figura muestra un fractal en una broacutecoli
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Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
La moleacutecula de ADN que contiene el libro de la vida tambieacuten se ajusta a la
proporcioacuten aacuteurea Cada ciclo de su doble heacutelice mide 34 angstroms de largo
por 21 angstroms de ancho dos nuacutemeros de la secuencia de Fibonacci cuyo
razoacuten es por supuesto Phi (Φ)
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Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Φ en las espirales de una pintildea de pino
Lo mismo ocurre con las pintildeas de los pinos tenemos dos nuacutemeros
consecutivos de la sucesioacuten de Fibonacci 8 y 13
Un matemaacutetico de la Universidad de Arizona en Tucson Alan Newell y el estudiante Patrick Shipman han estudiado recientemente los cactus para determinar por queacute este patroacuten numeacuterico es tan universal Estos investigadores analizaron la forma de la planta el grosor de su piel y multitud de otras energiacuteas biomecaacutenicas que dirigen su crecimiento Cuando introdujeron los datos en el ordenador descubrieron
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Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
por sorpresa que las configuraciones maacutes estables seguiacutean las formas basadas en la serie de Fibonacci Logramos descubrir que de esta manera la energiacutea se economiza al maacuteximo afirma Shipman Ellos esperan que secuencias similares puedan darse tambieacuten en la biologiacutea humana Aplicando modelos matemaacuteticos de estructuras de formacioacuten a problemas meacutedicos se podriacutean abrir campos nuevos en la investigacioacuten de procesos tales como la formacioacuten de tumores y el crecimiento de los huesos
365 Φ en las flores
Podemos notar que en algunas flores nos encontramos con ciertos teacuterminos
de la serie de Fibonacci esto es el lirio tiene tres peacutetalos algunos
ranuacutenculos 5 o 8 las margaritas y girasoles pueden llegar a tener 13 21 34
55 y hasta 89 peacutetalos
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Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
en los girasoles las semillas se distribuyen en forma de espirales logariacutetmicas unas en sentido horario y otras en sentido anti horario si contamos el nuacutemero de espirales que hay en un sentido y las que hay en el otro aparecen teacuterminos de Fibonacci consecutivos Igual sucede en las pintildeas de los pinos
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Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
366 Φ en frutos
En la mayoriacutea de los frutos de las coniacuteferas como el abeto los cipreses y
los pinos paacutetulas la disposicioacuten de algunas semillas de flores gigantes como
el girasol las puacuteas de una pi
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Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
367 Φ en Huevos de las aves
La mayoriacutea de los huevos de las aves tienen una relacioacuten entre la longitud
mayor y la menor estimada entre la raiacutez cuadrada del nuacutemero de oro y dicho
nuacutemero
368 Φ En el cuerpo humano
La anatomiacutea de los humanos se basa en una relacioacuten Φ estadiacutestica y aproximada
La relacioacuten entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo
La relacioacuten entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos La relacioacuten entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla
La relacioacuten entre el primer hueso de los dedos (metacarpiano) y la primera falange o entre la primera y la segunda o entre la segunda y la tercera si dividimos todo es Φ
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Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
La relacioacuten entre el diaacutemetro de la boca y el de la nariz Es Φ la relacioacuten entre el diaacutemetro externo de los ojos y la liacutenea inter-pupilar
Cuando la traacutequea se divide en sus bronquios si se mide el diaacutemetro de los bronquios por el de la traacutequea se obtiene Φ o el de la aorta con sus dos ramas terminales (iliacuteacas primitivas
Un detalle curioso conocido por los claacutesicos es que la distancia del ombligo al suelo es justamente la razoacuten aacuteurea de su altura
En resumen el nuacutemero de oro parte de una definicioacuten Al dividir un segmento en dos partes la razoacuten entre el todo y la mayor es igual a la razoacuten entre la mayor y la menor Esta definicioacuten le confiere una serie de propiedades interesantes una sucesioacuten de potencias del nuacutemero de oro participa del crecimiento aritmeacutetico y geomeacutetrico simultaacuteneamente y tambieacuten estaacute vinculado con la sucesioacuten de Fibonacci Debido a las curiosas y
sorprendentes propiedades de existe mucha literatura acientiacutefica que lo usa indebidamente Por
En la mano humana la
distancia entre las
falanges estaacute en la
razoacuten aacuteurea de la
longitud del dedo
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Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
ejemplo los puntos donde se localizan los meridianos en las sesiones de acupuntura se situacutean en zonas prefijadas por la relacioacuten aacuteurea
Para finalizar vamos a mostrar algunas relaciones de la razoacuten aacuteurea con la
figura humana si hemos aplicado este concepto a la arquitectura y a la
Naturaleza es normal que tambieacuten los claacutesicos se hayan interesado por los
caacutenones de belleza aplicados a las proporciones humanas
Este seriacutea a juicio de un artista el rostro maacutes perfecto de mujer El cuerpo humano puede inscribirse en un pentaacutegono regular Una figura humana con esas proporciones estariacutea dentro del canon de la belleza ideal
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Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Leonardo Da Vinci ilustroacute la proporcioacuten divina que habiacutea establecido el
matemaacutetico Luca Pacioli en 1509 Pacioli describe un hombre perfecto de
manera que sus proporciones sean como las de este dibujo
El proceso de madurez del cuerpo humano va buscando las proporciones
aacuteureas
No obstante las ldquodes-proporcionesrdquo de la infancia tienen tambieacuten una funcioacuten
inhibidora de la agresividad y favorecen instintivamente la ternura
Se presenta las relaciones aacuteureas y la serie de fibonacci en las orejas
Donde el punto de inicio es la parte superior donde se empieza a enroscar
como una involuta de violiacuten cumpliendo asiacute con la espiral de aurero
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Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
En las partes de los dientes la parte visible se ajusta a los caacutenones de la
belleza pues los laboratorios dentales donde fabrican ldquoreinas de bellezardquo
esto es lo que hacen para el disentildeo de sonrisa
En las manos todos y cada de los falanges asiacute como los brazos cumplen
con la proporcioacuten que otrora se pensaba que si esta relacioacuten era maacutes
ajustada mejor era la raza a la que perteneciacutea el individuo
Resulta que la relacioacuten entre la altura del hombre y la distancia desde el
ombligo a la mano es el nuacutemero aacuteureo Asi como la relacioacuten entre las
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Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
falanges de los dedos es el nuacutemero aacuteureo la relacioacuten entre la longitud de la
cabeza y su anchura es tambieacuten este nuacutemero
194
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Relaciones de potencias de fi en el cuerpo de una persona con cualquier estatura
195
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
635 Human Age
636 Development Stage
637 Key Attributes
0 Gestation
Conception
1 Newborn
Birth
1 Infant
Walking vocalizing
2 Toddler
Talking expressing imitating
3 Toddler
Self image and control toilet
training
5 Early child
Formal education begins
8 Mid child
Age of reason knowing of right and
wrong
13 Adolescent Thinking puberty sexual
maturation and drive
21 Young adult
Full physical growth adult in
society education complete
beginning career financial
responsibility eligible for voting
34 Mid adult Refinement of adult skills
parenting role
55 Elder adult Fulfillment of adult skills serving
retirement begins with eligibility
196
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
for Medicare Social Security and
AARP
89 Completion
Insight and wisdom into life
The Fibonacci series found in the human age numbers below relate to
369 Φ EN LA QUIMICA Y FISICA
197
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
198
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
La ldquoproporcioacuten aacuteureardquo (tambieacuten conocida como nuacutemero dorado razoacuten aacuteurea
razoacuten dorada media aacuteurea nuacutemero aacuteureo y divina proporcioacuten) equivale
aproximadamente a 1618 y puede ser encontrado en varios aspectos de
nuestras vidas incluyendo la biologiacutea la arquitectura y las artes
Recientemente fue descubierto que esta proporcioacuten especial tambieacuten se
refleja en la escala manomeacutetrica gracias a los investigadores de la
Universidad de Oxford la Universidad de Bristol y el Laboratorio Rutherford-
Appleton en el Reino Unido e investigadores de Helmholtz-Zentrum Berliacuten
(HBZ) para Materiales y Energiacutea en Alemania
La investigacioacuten publicada en la revista Science el ocho de enero examinoacute
cadenas de aacutetomos de cobalto niobato magneacutetico (CoNb2O6) de soacutelo un
aacutetomo de grosor con el objeto de investigar el principio de incertidumbre de
Heisenberg Ellos aplicaron un campo magneacutetico a aacutengulos rectos sobre el
sin alineado de la cadena magneacutetica para introducir maacutes incertidumbre
cuaacutentica Registrando los cambios en la direccioacuten del campo descubrieron
que estos pequentildeos imanes resonaban magneacuteticamente
199
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Los aacutetomos de niobato fueron bombardeados con neutrones para detectar
notas resonantes ldquoEncontramos una serie (escala) de notas resonantes las
dos primeras notas muestran una perfecta relacioacuten entre siacute Sus frecuencias
(tono) estaacuten en la proporcioacuten 1618hellip la proporcioacuten aacuteurea conocida por el
arte y la arquitecturardquo afirmoacute el investigador principal de la Universidad de
Oxford Dr Radu Coldea en un comunicado de prensa ldquoRefleja una
hermosa propiedad del sistema cuaacutentico--una simetriacutea ocultardquo
El Dr Alan Tennant quien dirigioacute al grupo de investigacioacuten en Berliacuten afirma
ldquotales descubrimientos estaacuten conduciendo a los fiacutesicos a especular que el
mundo cuaacutentico atoacutemico podriacutea tener su propio orden subyacente
Sorpresas similares pueden estar esperando a los investigadores en otros
materiales en estados cuaacutenticos criacuteticosrdquo
200
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
El fullereno estaacute formado por 60 aacutetomos de carbono cada aacutetomo forma parte de dos hexaacutegonos y un pentaacutegono lo que da lugar a una estructura cerrada con la simetriacutea de un icosaedro truncado (poliedro formado por 12 pentaacutegonos y 20 hexaacutegonos)
Esta moleacutecula de 20 aacutetomos de Carbono es la maacutes pequentildea de toda una
serie de moleacuteculas esfeacutericas Se puede aislar a partir del holliacuten que se
produce al hacer saltar un arco eleacutectrico entre dos electrodos de grafito (algo
asiacute como un experimento de relaacutempagos a escala
La razoacuten aacuteurea y la serie Fibonacci se puede constatar en los fulerenos Los fullerenos se obtuvieron por primera vez de forma casual al irradiar una superficie de grafito con un laacuteser Cuando el vapor resultante se mezcloacute mediante una corriente de helio se formoacute un residuo cristalizado cuyo estudio reveloacute la existencia de moleacuteculas formadas por sesenta aacutetomos de carbono Como se dedujo en un principio estas moleacuteculas teniacutean una geometriacutea semejante a la de la cuacutepula geodeacutesica disentildeada por el arquitecto Buckminster Fuller con motivo de la exposicioacuten universal de 1967 Por ello se conoce a esta familia de moleacuteculas como fullerenos que en su estructura semejante a los soacutelidos pitagoacuterica manifiesta en su estructura las relaciones aureas Tambieacuten la fiacutesica parece adorar las sucesiones de Fibonacci Si se colocan dos laacuteminas planas de vidrio en contacto y se hace que unos rayos luminosos las atraviesen algunos (dependiendo del aacutengulo de incidencia) las atravesaraacuten sin
201
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
reflejarse pero otros sufriraacuten una reflexioacuten El rayo que no sufre reflexioacuten tiene soacutelo
una trayectoria posible de salida el que sufre una reflexioacuten tiene dos rutas posibles el que sufre dos reflexiones tres trayectorias el que experimenta tres reflexiones cinco y asiacute sucesivamente Tenemos aquiacute nuevamente una serie de Fibonacci
3691 la divina proporcioacuten en los domos hexapenta
202
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
El domo exapenta (o hexapenta)
tiene una forma praacutecticamente
semiesfeacuterica generada por la
presencia armonizadora de
pentaacutegonos en conjuntos de
exaacutegonos (o hexaacutegonos) que
pueden estar respectivamente
reticulados por triaacutengulos isoacutesceles
y equilaacuteteros Esa forma que
responde con relevantes
condiciones esteacuteticas constructivas
y estructurales a la doble exigencia
arquitectoacutenica de encerrar y cubrir
espacios tiene su contraparte en
otras existentes en la Naturaleza
representadas por el paradigma
geomeacutetrico del icosaedro truncado
de la moleacutecula gigante del carbono
60 y por la extraordinaria belleza de
los radiolarios
Convencionalmente se denomina
hexapenta al icosaedro truncado y
a otros poliedros formados por un
mayor nuacutemero de hexaacutegonos y
pentaacutegonos regulares que se
muestran en la Naturaleza y en la
obra humana en sendas extensas
variedades por la diferencia entre el
nuacutemero de esas dos figuras
geomeacutetricas en cada cuerpo Sin
embargo existe un patroacuten comuacuten
en la configuracioacuten de todos esos
poliedros determinada por la
consonancia existente entre
hexaacutegonos y pentaacutegonos que tienen
la misma longitud de sus lados por
ser eacutestos comunes entre ambas
figuras la relacioacuten de sus apotemas
estaacute definida por el Nuacutemero de Oro
203
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
EL NUacuteMERO DE ORO EN LA ARMONIacuteA DE LO CREADO
En un mismo campo fenomeacutenico
dos cosas de la misma especie pero
de diferente magnitud armonizan si
entre ellas se manifiesta el Nuacutemero
de Oro (o su figura emblemaacutetica el
pentaacutegono) moacutedulo de la relacioacuten
de consonancia en ese relativo
desequilibrio caracteriacutestico de lo
que tiene vida la tuvo o tiende a
ella y de lo que ha tenido o tiene
movimiento molecular como en las
estructuras dinaacutemicas en
contraposicioacuten a la predominancia
del hexaacutegono en lo inerte que tiene
el equilibrio cristalino propio del
mundo mineral
Sin embargo en la infinidad de
formas geomeacutetricas existentes en
las obras de la Naturaleza no hay
una polaridad entre aquellas cosas
que muestran la presencia o
traducen las proporciones de
pentaacutegonos y otras que estaacuten
impregnadas por hexaacutegonos o sus
derivaciones hay unas terceras
donde coexisten ambas figuras o
sus proporciones en
manifestaciones de lo vivo y lo
inerte lo dinaacutemico y lo estable lo
orgaacutenico y lo inorgaacutenico lo que
tiene mayor o menor entropiacutea
204
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
ARMONIacuteA EN LA ARQUITECTURA Y EN TODA CREACIOacuteN HUMANA
Entre renombrados arquitectos con
el mismo pensamiento es ejemplar
la figura de Antoni Gaudiacute cuya obra
tuvo como constante su inspiracioacuten
en el gran libro de la Naturaleza
Al establecer eacutel que la calidad
esencial de la obra de arte es la
armoniacutea explica que la
arquitectura crea el organismo y
por eso eacuteste debe tener una ley en
consonancia con las de la
Naturaleza porque eacutestas no son
otras que las de la armoniacutea que el
hombre reconoce y asume para
repetirlas en lo maacutes excelso de su
creacioacuten
En general como producto de
acciones determinadas por la
intuicioacuten o por la reflexioacuten el factor
de coherencia para valorizar una
obra arquitectoacutenica por la armoniacutea
entre sus partes es el Nuacutemero de
Oro que antildeade a su rol esteacutetico
otro que condiciona medidas y
proporciones por ser connatural al
hombre Por eso mismo eacuteste
tambieacuten utiliza patrones de
composicioacuten y proporcioacuten con los
mismos principios fiacutesicos y
geomeacutetricos de la armoniacutea
preestablecida para valorizar su
obra artiacutestica e utilitaria en diferentes campos
205
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
EXAPENTAS EN LA NATURALEZA
Aunque es propio de la quiacutemica
inorgaacutenica el carbono a traveacutes de
sus compuestos genera toda la
quiacutemica orgaacutenica Ademaacutes de esa
excepcional peculiaridad por la
cristalizacioacuten de sus moleacuteculas tiene
otras formas alotroacutepicas aparte de
las del grafito (sistema cuacutebico) y del
diamante (sistema hexagonal) En
ellas se destaca la moleacutecula
gigante hueca y esfeacuterica del
carbono 60 que en un icosaedro
truncado reuacutene con maacutexima
economiacutea pentaacutegona y hexaacutegono
regulares
La moleacutecula del C60 abundante en
el universo pero descubierta recieacuten
en 1985 tiene propiedades uacutenicas
(que no se acaba de descubrir) en
la quiacutemica y en la fiacutesica
destacaacutendose en su forma y
estructura la simetriacutea maacutes alta
existente entre todas las moleacuteculas
conocidas y la belleza de lo
perfecto Junto con su
descubrimiento se hizo el de otras
moleacuteculas similares C240 y C540
Eacutestas no por ser cada vez maacutes
grandes son progresivamente maacutes
esfeacutericas ni tampoco aumentan su
simetriacutea sino que conservan la del
C60
206
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Entre lo mineral y lo que tiene vida
como en un juego de espejos a los
carbonos recieacuten encontrados se les
contraponen los radiolarios
(protozoarios que hacen una de las
maacutes simples aacutereas de lo orgaacutenico)
Son minuacutesculos animales marinos
unicelulares con esqueleto de
siacutelice en su mayoriacutea de forma
esfeacuterica de excepcional belleza por
las combinaciones de pentaacutegonos y
exaacutegonos en la gran variedad de las
formas de sus perforaciones
complementadas con los
seudoacutepodos radiales que
determinan su nombre
Tambieacuten entre los protozoarios
estaacuten los foraminiacuteferos de los
cuales los maacutes difundidos y
abundantes se encuentran en el
geacutenero de las globigerinas que
reciben este nombre por presentar
su concha formada por varias
caacutemaras globulosas constituidas por
carbonato de calcio las cuales
permiten que el animal flote Entre
los varios cientos de especies de
globigerinas que se conoce
actualmente existen unas que
tienen el conjunto de sus caacutemaras
con la armoniosa configuracioacuten de
un hexapenta regular
En los procesos fiacutesico-quiacutemicos de
particioacuten del espacio con el
resultado conocido como espuma
el conjunto de las paredes de los
compartimientos busca la miacutenima
extensioacuten posible de superficie en
una diversidad de soluciones en las
que se debe cumplir condiciones de
forma y relacioacuten Con ese
condicionamiento y la tendencia
adicional de que el conjunto de
burbujas busca la esfericidad hay
espuma formada por poliedros
irregulares que tienen entre sus
lados cuadrados pentaacutegonos y
hexaacutegonos
207
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
GEOMETRIacuteA DEL ICOSAEDRO TRUNCADO
El icosaedro truncado deriva del icosaedro uno de los cinco soacutelidos
fundamentales y conocidos como platoacutenicos el cual estaacute formado por 20
caras que tienen forma de triaacutengulos equilaacuteteros Cortando con un plano
perpendicular a su eje por el tercio superior de su altura cada una de las
piraacutemides que componen el icosaedro se forman las 12 caras pentagonales
y las 20 hexagonales del icosaedro truncado cuya simetriacutea es totalmente
equivalente a la del icosaedro original
ARMONIacuteA DE LA RELACIOacuteN ENTRE PENTAacuteGONOS Y EXAacuteGONOS
Como demostracioacuten de la armoniacutea de su configuracioacuten en el icosaedro
truncado y en los exapenta en general la consonancia entre sus
pentaacutegonos y exaacutegonos componentes (considerando que ambas figuras en
cada caso tienen la misma longitud de sus lados o aristas del poliedro) estaacute
dada en la relacioacuten de sus apotemas mediante el Nuacutemero de Oro Con esa
base al igualar el lado con la unidad para el caso del icosaedro truncado se calculoacute la longitud de su circulo maacuteximo
208
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
EXAPENTAS EN LA OBRA HUMANA
Luca Paccioli (1445-1517) para
su libro De Divina Proportione
(1498) se inspiroacute en las obras de
Arquiacutemedes y de su maestro Piero
Della Francesca (1420-1492)
pintor y matemaacutetico e hizo de
diversos poliedros modelos huecos
de madera que Leonardo da Vinci
(1452-1519) utilizoacute para hacer las
ilustraciones de ese libro Al
haberse encontrado en el siglo XX
manuscritos de la obra de Della
Francesca se comproboacute la
existencia del dibujo maacutes antiguo
conocido del icosaedro truncado
Paccioli importante exponente de
la relacioacuten entre arte y
matemaacuteticas en el Renacimiento
aparte de contribuir al mejor
conocimiento de los poliedros se
refirioacute a la amplia presencia del
Nuacutemero de Oro en la Naturaleza y
por esa razoacuten le adjudicoacute el
nombre de Divina Proporcioacuten
como patroacuten de la armoniacutea en
todo lo creado Aunque eacutel no lo
sentildealoacute como demostracioacuten de esa
armoniacutea y confirmacioacuten de la
designacioacuten que propuso estaacute
tambieacuten el icosaedro truncado que
figura en su libro
209
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Buckminster Fuller quien
relacionoacute la Naturaleza con su
obra pudo haber conocido el
estudio de Ernst Haeckel (Die
Radiolarien 1862) y el de DArcy
Thompson (On Growth and Form
1917) donde se muestra y analiza
la configuracioacuten de los radiolarios
para fundamentar en la deacutecada de
1940 su exitoso impulso a la
utilizacioacuten de lo que eacutel llamoacute el
domo geodeacutesico originalmente
creado por el ingeniero alemaacuten
Walter Bauersfeld en 1922 para
instalar un planetario de la Zeiss
en Jena
En la historia del fuacutetbol ha sido
importante la preocupacioacuten por
contar con una pelota que
combine la mayor y constante
esfericidad con la regularidad de la
distribucioacuten de las costuras que
son necesarias por las
caracteriacutesticas del juego Esa
doble condicioacuten tuvo la respuesta
perfecta en la simetriacutea de la
Telstar de 1970 Aunque se ha
producido una gran evolucioacuten en
el uso de materiales no ha
variado esa forma geomeacutetrica ni
su peso y tamantildeo hasta llegar a
la Fevernova del 2002
3692Geometria de los hexapente
En los domos hexapenta el nuacutemero de 6 pentaacutegonos es constante
cualquiera sea el de los hexaacutegonos En una proyeccioacuten horizontal un
pentaacutegono estaacute en la clave del domo y los otros separados de eacutel por
uno o maacutes anillos formados por triaacutengulos equilaacuteteros Si es un anillo
tiene 75 de eacutestos si dos 120 si tres 175 si cuatro 240 en
un ritmo constante seguacuten el nuacutemero de anillos intermedios sea impar
o par En el caso de ser impar el de los triaacutengulos aumenta en 100 a
partir de los 75 del primero si es par en 120 a partir de los 120 del
segundo
210
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
En la misma proyeccioacuten horizontal ademaacutes de la regularidad en la
presencia de los pentaacutegonos dentro de conjuntos de hexaacutegonos se
forman otras figuras semejantes que son conceacutentricas al pentaacutegono
que se encuentra en la clave del domo
3610 Φ EN CRISTALOGRAFIA Y MINERALOGIA
Observamos en la mayoriacutea de los minerales una cristalizacioacuten caracteriacutestica de cada mineral siendo muchos de ellos pertenecientes a los cinco soacutelidos pitagoacutericos tal es el caso de la halita que se forma como el hexaedro la pirita como el piritoedro (caras pentagonales) el cuarzo en una de sus muacuteltiples cristalizaciones como un octaedro
211
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
El grupo de los silicatos por ser el maacutes abundante en la naturaleza (SiO ) presenta la organizacioacuten geomeacutetrica con tetraedros de silicio para formar todos iso ino tecto silicatos
212
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
213
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
4 Φ EN EL COMERCIO Y PUBLICIDAD
214
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
No es de extrantildear que las tarjetas de creacutedito y muchas obras arquitectoacutenicas modernas adopten esta forma son rectaacutengulos aacuteureos acertadamente elegida su forma para asiacute hacer de oro a quien las emite El documento nacional de identidad espantildeol tambieacuten es un rectaacutengulo aacuteureo
La mayoriacutea de los objetos electroacutenicos tales como ipod iphones y un sinnuacutemero de objetos del hogar y la oficina tienen la seccioacuten aurea involucrada en todas sus medidas como factor de agradabilidad para la vida cotidiana La mayoriacutea de las tesalaciones o embaldosados usan figuras de los soacutelidos regulares o combinaciones para hacer grandes y hermosos tapices que desde la eacutepoca de Estcher se han trabajado maacutes como un ejercicio matemaacutetico y artiacutestico demostrando que se pueden hacer dichas tesalaciones con otros objetos de forma irregular tales como serpientes cocodrilos aves etc
215
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
5 Φ EN LA MUSICA
La contribucioacuten de los pitagoacutericos a la muacutesica es sumamente interesante
Demostraron que los intervalos entre notas musicales pueden ser
presentados mediante razones de nuacutemeros enteros utilizando una especie
de guitarra con una sola cuerda llamada monocordio Este poseiacutea un
puente moacutevil que al desplazarse produciacutea en ciertas posiciones notas que
comparadas con la emitida por la cuerda entera resultaban maacutes armoniosas
que otras
Si el alma es armoniacutea la muacutesica debe ejercer sobre el espiacuteritu un especial
poder la muacutesica puede restablecer la armoniacutea espiritual incluso despueacutes de
haber sido turbada De tal idea se deduce uno de los conceptos maacutes
216
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
importantes de la esteacutetica musical de la Antiguumledad el concepto de catarsis
El viacutenculo de la muacutesica con la medicina es muy antiguo y la creencia en el
poder maacutegico-encantador y con frecuencia curativo de la muacutesica se
remonta a tiempos anteriores a Pitaacutegoras
Pero los pitagoacutericos no solo establecieron una especie de medicina musical
del alma sino que empleaban tambieacuten para ciertas enfermedades los
encantos creyendo que la muacutesica contribuiacutea grandemente a la salud si se
empleaba del modo maacutes conveniente Por tanto se estableciacutea un lazo
indisoluble entre salud y muacutesica puesto que la proporcioacuten y equilibro de las
notas produce armoniacutea y orden tanto en el cuerpo como en el alma
Apelan al razonamiento al rigor loacutegico y la abstraccioacuten extrema La orrespondencia entre la muacutesica y la ciencia se conoce desde hace mucho tiempo Probablemente hacia el siglo VI aC en Mesopotamia ya advirtieran las relaciones numeacutericas entre longitudes de cuerdas Pero fue en la Grecia antigua cuando se trazaron las diferentes escalas armoacutenicas basadas en las proporciones numeacutericas Para los pitagoacutericos el Universo era armoniacutea y nuacutemero las notas musicales se correspondiacutean con los cuerpos celestes los planetas emitiacutean tonos seguacuten las proporciones aritmeacuteticas de sus oacuterbitas alrededor de la Tierra y los sonidos de cada esfera se combinaban produciendo una sincroniacutea sonora la ldquomuacutesica de las esferasrdquo Platoacuten hace referencia a ella y le atribuye valores eacuteticos Las ensentildeanzas en Grecia incluiacutean la aritmeacutetica y la muacutesica de forma conjunta La aritmeacutetica permitiacutea la comprensioacuten del universo fiacutesico en tanto que la muacutesica se dirigiacutea a la armoniacutea universal Maacutes tarde la muacutesica formoacute parte del Quadrivium junto con la astronomiacutea la geometriacutea y la aritmeacutetica La tradicioacuten que consideraba al Universo como un gran instrumento musical se prolongaraacute durante la Edad Media y hasta el siglo XVII cuando aparece la fi gura de Johannes Kepler El astroacutenomo alemaacuten intentoacute comprender las leyes del movimiento planetario y consideroacute que eacutestas debiacutean cumplir las leyes pitagoacutericas de la armoniacutea La tendencia del hombre desde tiempos remotos es describir un sistema que busca unifi car los fenoacutemenos del mundo fiacutesico y del mundo espiritual en teacuterminos de nuacutemeros en particular en teacuterminos de razones y proporciones de enteros Sabemos que el sonido producido al tocar una cuerda depende de la longitud grosor y tensioacuten de la misma Entendemos que cualquiera de estas variables afecta a la frecuencia de vibracioacuten de la cuerda Lo que Pitaacutegoras defendioacute es que al dividir una cuerda en ciertas proporciones era capaz de producir sonidos placenteros al oiacutedo Nuacutemeros y belleza podiacutean ser uno por tanto el mundo emocional y el fiacutesico podriacutean ser descritos con
217
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
nuacutemeros sencillos Situaba los sonidos a determinadas distancias regulares en el monocordio instrumento de una cuerda resultando de ello sonidos consonantes o armoacutenicos y una colocacioacuten que sirvioacute de base para el desarrollo de las escalas musicales que sirven de soporte a nuestra muacutesica occidental El muacutesico desde siempre es un teacutecnico que ejerce y aplica su genio y su inspiracioacuten mediante un enredado y complejo sistema de trascripcioacuten de ideas El sistema musical desde Pitaacutegoras fue desarrollaacutendose como el resto de las ciencias y movimientos artiacutesticos llegando a sofisticados sistemas que nos permiten controlar y dominar el sonido El muacutesico en su quehacer maneja elementos esenciales e imprescindibles No le basta su genio ni depende de su inspiracioacuten Es un conocedor del ritmo la melodiacutea la armoniacutea el timbre de los instrumentos o los elementos formales seguacuten la eacutepoca que le toca vivir Trabaja con estos ingredientes de igual modo que otro artesano con los suyos Mezcla de manera coherente revolucionaria intencionada audible inauditahellip Uno de los factores maacutes decisivos en la muacutesica es la melodiacutea Es la idea principal que sobresale en la mayoriacutea de las composiciones sean una simple cancioacuten o alguna forma compleja y larga en el tiempo Suele ser triste o alegre noble o diaboacutelica juguetona saltarina o relajante Expresa una variedad innumerable de matices y diferencias y apela a nuestro estado de aacutenimo Va unida inevitablemente al ritmo y produce en nosotros un efecto fiacutesico y un efecto emocional que no necesita de palabras ni descripciones Una melodiacutea bella como una pieza entera de muacutesica ha de tener proporciones satisfactorias Debe darnos la impresioacuten de cosa consumada e inevitable Desde un punto de vista teacutecnico todas las melodiacuteas existen dentro de los liacutemites de alguacuten sistema escaliacutestico Una escala no es maacutes que una determinada disposicioacuten de una serie de notas y esa colocacioacuten no ha sido un hecho arbitrario Podemos decir que los constructores de escalas empezando por Pitaacutegoras confiaron en su instinto y maacutes tarde los hombres de ciencia los apoyaron con sus cifras de vibraciones relativas por segundo En nuestro sistema moderno el trecho de la escala estaacute la de Fibonacci es decir asigna un nuacutemero a cada nota que le permitiraacute construir el sujeto de la fuga utilizando esos sonidos Do Re Mib Fa Lab Do 1 2 3 5 8 13 Realiza la fuga en un total de 89 compases En los primeros 55 genera la tensioacuten que debe llevar toda fuga desde la exposicioacuten del tema hasta el punto culminante para concluir 34 compases maacutes tarde En el momento de
218
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
culminacioacuten del estrecho tenemos exactamente el Nuacutemero de Oro Luego Bartok lleva magistralmente la fuga en decadencia hasta el final momento en el que aparece la celesta instrumento de tecla con sonido similar al de un carilloacuten Al margen de un estilo de unas dificultades a la hora de escuchar un lenguaje del siglo XX Bartok nos conduce hacia lugares remotos de belleza magia y misterio El nuacutemero de Oro es un nuacutemero maacutegico la Muacutesica un tesoro a nuestro alcance Beethoven no dijo nada de su intencioacuten secreta en la Quinta Sinfoniacutea Tampoco Debussy ni tantos otros Bartok dejoacute escrito ldquoDejad que mi muacutesica hable por miacute no reclamo los derechos de ninguna explicacioacuten de mis obrasrdquo Lo cierto es que para nuestro gozo todos siguieron las normas de Tomas de Aquino Los sentidos se deleitan en las cosas debidamente proporcionadas
En esta Sinfoniacutea Beethoven distribuye el famoso tema siguiendo la seccioacuten
aacuteurea El cliacutemax de la obra se encuentra al 618 de ella
La famosa apertura ldquomottordquo suena exactamente en el punto dorado 0618()
en el compaacutes 372 de 601 y nuevamente en el compaacutes 228 el cual es el otro
punto dorado (0618034 desde el final de la pieza) por esta razoacuten Beethoven
tuvo que usar 601 compases para conseguir esas figuras Esto lo hizo
ignorando los 20 compases finales que vienen detraacutes de la ocurrencia final
del ldquomottordquo e ignorando a su vez el compaacutes 387
Cuatro primeras notas corto corto corto largo
Caracteriacutesticas de la Sonata Nordm1 para piano de Mozart
El segundo tema armoacutenico de la obra siempre es maacutes extenso que el
primero
Primer movimiento subdividido en 38 y 62 compases y 63 38 = 16315
Segundo movimiento subdividido en 28 y 46 compases y 46 28 = 16428
219
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Otros instrumentos musicales a parte de los violines incluyen la divina
proporcioacuten en sus formas por ejemplo el piano estaacute constituido por siete
octavas ordenadas de forma creciente de graves a agudas De esta manera
los primeros seis nuacutemeros de la Sucesioacuten de Fibonacci figuran en una octava
de piano la cual consiste en 13 teclas 8 teclas blancas y 5 teclas negras (en
grupos de 2 y 3)
La razoacuten de todos los segmentos de un pentagrama equivale a Phi
Es necesario aclarar que cuando se menciona al nuacutemero aacuteureo en una
realizacioacuten artiacutestica de cualquier naturaleza no se estaacute haciendo mencioacuten al
nuacutemero aacuteureo de los matemaacuteticos un irracional con infinitos decimales sino
a una aproximacioacuten racional adecuada a las circunstancias o a un dibujo
hecho con regla no graduada de un solo borde y longitud indefinida y un
compaacutes de abertura fija o variable
Generalmente se utilizan cocientes de nuacutemeros pertenecientes a la sucesioacuten de Fibonacci que dan valores aproximados alternativamente por defecto o por exceso seguacuten la necesidad o la sensibilidad humana y hasta la capacidad de separacioacuten tonal de cada instrumento Un violiacuten por ejemplo puede separar hasta un tercio de tono
El oiacutedo humano sano y entrenado distingue hasta trescientos sonidos por octava Como un ejemplo conocido y no discutido tenemos a la escala atemperada o templada Esta es una escala logariacutetmica Se creoacute muy poco tiempo despueacutes de que los logaritmos pasaran al patrimonio de la
220
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
matemaacutetica La octava atemperada estaacute basada en Este nuacutemero irracional tiene infinitos decimales pero la afinacioacuten se hace redondeando las cifras de las frecuencias a uno o dos decimales De cualquier manera el error tonal total cometido no es superior al doceavo de tono y el oiacutedo humano no lo nota La uniformidad de la separacioacuten de las notas y la coincidencia de bemoles y sostenidos permite comenzar una melodiacutea por cualquier nota sin que se produzcan las desagradables disonancias de la escala diatoacutenica y la escala fiacutesica De la misma manera se actuacutea con la distribucioacuten de tiempos o la altura de los tonos usando el nuacutemero aacuteureo con una aproximacioacuten racional que resulte praacutectica Existen numerosos estudios al respecto principalmente de la Universidad de Cambridge
Autores como Baacutertok Messiaen y Stockhausen entre otros compusieron obras cuyas unidades formales se relacionan (a propoacutesito) con la seccioacuten aurea
Clave bien temperado Johann Sebastian Bach (1685-1750)
Bartoacutek nunca habloacute de su teacutecnica compositiva sino que ha sido el musicoacutelogo huacutengaro Ernouml Lendvai quien dedicoacute gran parte de su vida a descubrir las bases de este sistema Seguacuten Lendvai la muacutesica de Bartoacutek estaacute basada en gran parte en sus investigaciones con el folklore en especial del huacutengaro y podriacutea dividirse en dos grandes bloques distintos en cuanto a
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Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
concepcioacuten pero complementarios entre siacute llegando a alternarse incluso en una misma obra en distintas secciones son el Sistema diatoacutenico basado en la muacutesica folkloacuterica sus modos y ritmos en la escala acuacutestica y en otros procedimientos que no entraremos a valorar y el Sistema cromaacutetico influenciado tambieacuten por el folklore y que se basa por un lado en el Sistema axial y por otro en la Proporcioacuten aacuteurea
El meacutetodo de Bartoacutek en su construccioacuten formal estaacute estrechamente ligado a las leyes del Nuacutemero Aacuteureo Eacuteste constituye un elemento formal que es al menos tan significativo en la muacutesica de Bartoacutek como la cuadratura en el periodo claacutesico
El compositor mexicano Silvestre Revueltas (1899-1945) utilizoacute tambieacuten el nuacutemero aacuteureo en su obra Alcanciacuteas para organizar las partes (unidades formales)
El grupo de rock progresivo norteamericano Tool en su disco Lateralus (2001) hacen muacuteltiples referencias al nuacutemero aacuteureo y a la sucesioacuten de Fibonacci sobre todo en la cancioacuten que da nombre al disco pues los versos
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Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
de la misma estaacuten cantados de forma que el nuacutemero de siacutelabas pronunciadas en cada uno van componiendo dicha secuencia Ademaacutes la voz entra en el minuto 137 que pasado al sistema decimal coincide muy aproximadamente con el nuacutemero aacuteureo
Zeysing notoacute la presencia de los nuacutemeros 3 5 8 y 13 de la Sucesioacuten de Fibonacci en el caacutelculo de los intervalos aferentes a los dos tipos de acordes perfectos Los dos tonos del acorde mayor final mi y do por ejemplo (la sexta menor o tercia mayor invertida en do mayor) estaacuten entre siacute en la razoacuten cinco octavos Los dos tonos del acorde menor final por ejemplo mi bemol y do (sexta mayor o tercia transpuesta en do menor) dan la razoacuten tres quintos
638 El sistema axial
Se trata de la divisioacuten de ciacuterculo de quintas en tres ejes dobles uno de toacutenica otro de dominante y otro de subdominante
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Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Cada funcioacuten tiene dos ejes eje principal y eje secundario A su vez cada eje tiene dos extremos polo y antiacutepoda
Aunque el parentesco entre un polo y su antiacutepoda es menos cercano que con los puntos vecinos cada polo puede ser sustituido por su antiacutepoda realizando la misma funcioacuten Por tanto se mantienen las funciones tradicionales de I IV y V Una sucesioacuten MI-LA-RE-SOL-DO-FA en Bela Bartoacutek puede ser MI-LA-LAb-REb-DO-FA
La divisioacuten aacuteurea puede considerarse que sigue uno o dos cursos posibles seguacuten aparezca primero la seccioacuten maacutes larga o la maacutes corta Llamaremos seccioacuten positiva a la seccioacuten larga la otra posibilidad seraacute la seccioacuten negativa la seccioacuten corta seguida de la larga Un estudio analiacutetico de varias obras de Bartoacutek permite llegar a la conclusioacuten de que la seccioacuten positiva va acompantildeada de intensificacioacuten ascenso dinaacutemico o concentracioacuten de material mientras que la seccioacuten negativa de descenso y apaciguamiento
El estudio de estas proporciones nos conduce inmediatamente a la cuestioacuten del uso que haciacutea Bartoacutek de acordes escalas e intervalos Su sistema cromaacutetico se basa en las leyes de la proporcioacuten aacuteurea y especialmente en la serie numeacuterica de Fibonacci
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Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Calculado en semitonos
1 representa la segunda menor 2 representa la segunda mayor 3 representa la tercera menor 5 representa la cuarta justa 8 representa la sexta menor 13 representa la octava aumentada
Mencionemos ahora un grupo frecuentemente recurrente de escalas del tipo aacuteureo las cuales representan estructuralmente intervalos de 15 13 y 12 La relacioacuten de la proporcioacuten aacuteurea entre estas tres foacutermulas es resultante de la proporcioacuten 532 Cada una de ellas surge de la repeticioacuten perioacutedica de los intervalos 15 13 y 12 Su estructura es por tanto asiacute
Modelo 15 alternando segundas menores y cuartas justas por ejemplo Do-Do-Fa-Sol-Dohellip
Modelo 13 alternando segundas menores y terceras menores Do-Do-Mi-Fa-Sol-La-Dohellip
Modelo 12 alternando segundas menores y mayores Do-Do-Mib-Mi-Fa-Sol-La-Sib-Dohellip
De todas estas escalas la maacutes importante es el Modelo 12 ya que representa realmente el grupo de escalas de los ejes de toacutenica y dominante
64 Obras selectas
en varias sonatas para piano de Mozart la proporcioacuten entre el desarrollo del
tema y su introduccioacuten es la maacutes cercana posible a la razoacuten aurea esto se
presenta en la sonata Ndeg 1 para piano
el segundo tema armoacutenico de la obra siempre es maacutes extenso que el
primero pues el primer movimiento estaacute dividido en 38 y 62 compases y
6238 =16315 el segundo movimiento estaacute dividido en 28 y 46 compases y
4628 = 1642
225
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Aunque no se sabe si Beetoven estaba al tanto de esto pero en su Quinta
sinfoniacutea distribuye el tema siguiendo la seccioacuten aurea El cliacutemax de la obra
se encuentra al 618 de ella
Los muacutesicos de Jazz autodidactas pueden no ser conscientes de la teoriacutea
de las escalas armoniacutea y formas que usan habitualmente pero igual
producen obras armoniosas
Finalmente podemos decir que el piano estaacute constituido por siete octavas
ordenadas en forma creciente de graves a agudas asiacute los primeros nuacutemeros
de la sucesioacuten de Fibonacci figuran en una octava de piano la cual consiste
de 8 teclas 5 teclas negras en grupos de 2 y 3 teclas
Las proporciones musicales en la catedral de Chartres
Una investigacioacuten recientemente realizada en la Universidad de Palermo
Buenos Aires Argentina permitiriacutea inferir que el disentildeo geomeacutetrico de la
catedral de Chartres se basa en las proporciones correspondientes a las
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Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
consonancias perfectas y el intervalo de tono Esta geometriacutea tendriacutea su
fundamento filosoacutefico y teoloacutegico en la cosmologiacutea musical del Timeo de
Platoacuten comentada por Calcidio e interpretada cristianamente por los
pensadores de la escuela de Chartres del siglo XII
La posibilidad de una geometriacutea chartriana basada en las proporciones
musicales ya habiacutea sido propuesta alrededor del antildeo 1956 por el historiador
del arte Otto von Simson Sin embargo hasta el momento no se han notado
estudios geomeacutetricos de la catedral de Chartres que permitan concluir de
manera contundente que su arquitectura se basa en las proporciones de la
escala diatoacutenica Por esta razoacuten la hipoacutetesis de O von Simson ha sido muy
discutida por otros importantes historiadores del arte como R Wittkower La
investigacioacuten que se resentildea a continuacioacuten podriacutea aportar algunos datos
interesantes en favor de la hipoacutetesis de O von Simson Al mismo tiempo
esta investigacioacuten sugiere la posibilidad de que la geometriacutea basada en
relaciones musicales de proporcioacuten se encuentre tambieacuten presente en otras
construcciones cristianas de la eacutepoca puesto que la doctrina cosmoloacutegica
musical del Timeo impregnoacute la esteacutetica del Medioevo cristiano
Antecedentes filosoacuteficos de la cosmologiacutea de la catedral de Chartres
El Timeo es uno de los diaacutelogos platoacutenicos que mayor influencia ha ejercido
sobre la esteacutetica de Occidente En este diaacutelogo se describe la generacioacuten del
universo en teacuterminos aritmeacuteticos y geomeacutetricos Efectivamente seguacuten relata
Platoacuten en este texto el Demiurgo ha generado el universo llevaacutendolo desde
el desorden al orden Es decir que la generacioacuten del universo en el Timeo
es la imposicioacuten del orden sobre el Cuerpo y el Alma del Mundo En
particular al ordenar el Alma del Mundo el Demiurgo instala en ella las
proporciones correspondientes a las consonancias perfectas y el tono
Como es sabido estas proporciones constituyen el fundamento matemaacutetico
sobre el cual se apoyan las relaciones armoacutenicas de la octava musical Es
decir que el orden impuesto al Alma del Mundo en el momento de su
generacioacuten es un orden musical De esta manera al ser ordenada
musicalmente el Alma del Mundo contiene en siacute a la armoniacutea arquetiacutepica ndash
armoniacutea a la que deben tender las almas individuales
La concepcioacuten musical del Alma del Mundo que en el Timeo se encuentra
apenas esbozada fue posteriormente ampliada y desarrollada por los
filoacutesofos neoplatoacutenicos de fines de la Antiguumledad En Occidente el principal
227
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
comentador del Timeo platoacutenico fue Calcidio quien habriacutea escrito sus obras
en la primera mitad del siglo IV dC Tal como era costumbre en la eacutepoca
Calcidio tradujo al latiacuten parte del Timeo acompantildeando esta traduccioacuten con
abundantes explicaciones e interpretaciones personales Los Comentarios al
Timeo de Calcidio fueron praacutecticamente la uacutenica versioacuten del diaacutelogo
platoacutenico conocida por el medioevo latino Esta autor dedicoacute unos cincuenta
capiacutetulos de su obra a explicar los fundamentos matemaacuteticos de la muacutesica
Sus Comentarios conforman por lo tanto un verdadero tratado sobre el
tema cuyos contenidos son similares a los que posteriormente apareceraacuten
en los escritos de Boecio (siglo VI dC) Sin embargo el objetivo principal de
la obra de Calcidio es dilucidar la naturaleza del Alma del Mundo Seguacuten
expresa este filoacutesofo el Alma ha sido ordenada en conformidad con las tres
principales disciplinas la geometriacutea la aritmeacutetica y la muacutesica Explica que la
divinidad ha modulado el Alma como si se tratase de un instrumento musical
de cuerda y afirma expliacutecitamente que existe una relacioacuten armoacutenica entre el
Anima del Mundo y los acordes musicales En siacutentesis puede decirse que
Calcidio interpreta la cosmologiacutea del Timeo acentuando las connotaciones
musicales de la misma
Las proporciones musicales de la catedral de Chartres
Las mediciones realizadas en el transcurso de la investigacioacuten sentildealan que
la geometriacutea que subyace a la arquitectura de la catedral exhibe
concordancias basadas en las consonancias perfectas y el tono Este estudio
se limita a la fachada occidental (figura 1) y a la planta de la catedral (figura
2) Las partes analizadas fueron construidas durante el periacuteodo de auge del
Platonismo en la Escuela de Chartres Por lo tanto la incidencia de
proporciones musicales en estas partes del edificio podriacutea indicar que las
ideas platoacutenicas del obispo Fulberto y de sus seguidores conformaron el
fundamento filosoacutefico y teoloacutegico de la geometriacutea de la catedral
228
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Las mediciones realizadas durante la investigacioacuten muestran que las
diagonales de los rectaacutengulos principales de la fachada occidental estaacuten
relacionadas entre siacute seguacuten los intervalos de cuarta de quinta de octava y
de tono Estas relaciones se verifican por ejemplo entre las diagonales de
los rectaacutengulos que encierran a los tres ventanales romaacutenicos (figura 3)
entre el diaacutemetro del rosetoacuten y el lado del cuadrado que lo encierra (figura 4)
229
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
y entre otras importantes diagonales de la fachada (figura 5) Sin embargo
es en el Portal Real donde se observa la maacutes armoniosa de las trazas (figura
6) En efecto este disentildeo estaacute basado en rectaacutengulos aacuteureos cuyas
diagonales tambieacuten estaacuten proporcionadas entre siacute Las relaciones musicales
tambieacuten se observan entre las diagonales de los rectaacutengulos fundamentales
que definen la planta de la iglesia (figura 8) Maacutes auacuten la nave principal podriacutea
haber sido diagramada como un monocordio Ciertamente si se compara la
longitud total de la nave con una cuerda entonces los puntos maacutes
importantes del recorrido ndashinicio y final del transepto centro del crucero
ubicacioacuten del coro etc- se corresponden con las divisiones que dan lugar a
las notas de la escala diatoacutenica
Hasta en el tiempo aparece esta formidable relacioacuten pues un reloj sin
importar su forma la hora cercana a las 1010 es la maacutes usada para las
publicidades dado que a esta hora las manecillas del reloj estaacuten en los
extremos de un rectaacutengulo aacuteureo
230
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
6 Φ EN EN LA LITERATURA
Rafael Alberti Merello (El Puerto de Santa Mariacutea Caacutediz 16 de diciembre de 1902- ibiacutedem 28 de octubre de 1999) fue un escritor espantildeol especialmente reconocido como poeta miembro de la Generacioacuten del 27 Estaacute considerado uno de los mayores literatos espantildeoles de la llamada Edad de Plata de la literatura espantildeola cuenta en su haber con numerosos premios y reconocimientos Murioacute a los 96 antildeos en 1999 no sin antes dejar escrita una poesiacutea que dedicoacute al nuacutemero de oro llamaacutendola Seccioacuten Aurea
A la seccioacuten aurea
A ti maravillosa disciplina media extrema razoacuten de la hermosura que claramente acata la clausura viva en la malla de tu ley divina A ti caacutercel de la retina auacuterea seccioacuten celeste cuadratura misteriosa fontana de mesura que el Universo armoacutenico origina A ti mar de los suentildeos angulares flor de las cinco formas regulares dodecaedro azul arco sonoro Luces por alas un compaacutes ardiente Tu canto es una esfera transparente A ti divina proporcioacuten de oro
Aurea Mediocritas 1618 ad infinitum Never repeating always intriguing Fibonacci born phi Golden Section behold Creation sequence natures frequence
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Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Mathematical phenomena phi Heavens divine proportion Ancient mystery living history Infinite and eternal phi John Sarber
Inspiration Comes (Fibonacci)
1 I
1 am
2 sitting
3 quieacutetalo
5 listening for the
8 quiet noises in the darkness
13 ghostly images flying between the tall pine trees
21 illusion created by the mind made by shadows the brain playing tricks on itself
34 It sits there the raven black as night looking at me with its dark eyes in the
dark night Inspiration comes Words form in my head Evermore
7 Φ EN LA LUTIERIA
Para la construccioacuten de instrumentos musicales al comienzo se hacia con elementos que solamente permitiacutean una afinacioacuten empiacuterica pero posteriormente cuando se conocioacute el nuacutemero de oro eacuteste se incorporoacute en los talleres de lutieria para perfeccionar sus sonidos y estandarizar las medidas Al principio se creiacutea que solamente el violiacuten deberiacutea cumplir la relacioacuten aurea para su perfecto funcionamiento y que los famosos violines Stradivarius
232
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
teniacutean alguacuten secreto en su fabricacioacuten fue en el violiacuten que por primera vez se revelara su relacioacuten con el nuacutemero de oro en sus distribuciones Se muestra a continuacioacuten una lista selecta de los instrumentos maacutes destacados de algunos paiacuteses que tienen en su fabricacioacuten inmersa la proporcioacuten divina
Antonio Stradivari examinando un instrumento en una impresioacuten romaacutentica del Siglo XIX
233
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
8 Φ EN EL UNIVERSO
234
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Dimensi
on
(km)
Proporti
on
(Earth=1
)
Mathematic
al
Expression
Radius of the Earth 637810 1000 A
Radius of the Moon 173597 0272
Earth Radius + Moon Radius 811407 1272 B
Hypotenuse 103207
7
1618
(Φ) C
Hypotenuse (Earth Radius + Moon
Radius)
1618
(Φ) Asup2+Bsup2=Csup2
El libro de las coincidencias desvela a los joacutevenes las asombrosas coincidencias astronoacutemicas que desde hace siglos desconciertan a los
235
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
cientiacuteficos Por ejemplo las relaciones espacio-temporales entre las oacuterbitas planetarias se ajustan a sencillas proporciones ideacutenticas a las de las notas musicales lo que llevoacute a los antiguos a hablar de ldquomuacutesica de las esferasrdquo El Sol y la Luna vistos desde nuestro planeta tienen el mismo tamantildeo aparente Venus dibuja un pentagrama alrededor de la Tierra cada ocho antildeos
El presente libro constituye una guiacutea inusual del sistema solar pues sugiere la posibilidad de que existan relaciones fundamentales entre el espacio el tiempo y la vida que todaviacutea no hemos comprendido Desde las observaciones de Ptolomeo y Kepler hasta la armoniacutea de las esferas y la estructura oculta del sistema solar el autor revela los exquisitos disentildeos orbitales de los planetas y las relaciones matemaacuteticas que los gobiernan
Encontramos la proporcioacuten aacuteurea en la distancia de los diferentes planetas
del sistema solar al sol
En la tercera columna de la siguiente tabla el resultado es el de dividir la distancia del planeta al sol por la distancia del anterior por ejemplo en Tierra dividimos 1496 por 1082 = 1383
Para Mercurio al no tener planeta anterior le hemos asignado 1
236
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Muchas veces cuando hablamos del sistema solar omitimos el cinturoacuten de asteroides tambieacuten representa una masa considerable en el equilibrio del sistema solar siendo Ceres el asteroide mayor Ceres es tan grande que tiene una forma esfeacuterica (como los otros planetas) y representa un tercio del total de la masa del cinturoacuten de asteroides situado entre Marte y Juacutepiter
Planetas Distancia al sol en
millones de Km
Relacioacuten entre las
distancias de los
sucesivos planetas
Mercurio 579 1
Venus 1082 1869
Tierra 1496 1383
Marte 2279 1523
Ceres 4137 1815
Juacutepiter 7786 1881
Saturno 14335 1841
Urano 28725 2004
Neptuno 44951 1565
Plutoacuten 5870 1306
Total 16187
Media 16187
Numero Phi 16180
237
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
En los anillos de Cassini del planeta Saturno se encuentra la relacioacuten Phi
Si el segmento dorado (maacutes claro) es igual a 1 el segmento azul (maacutes oscuro) es igual a Phi
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Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
81 Φ EN LAS GALAXIAS
Las galaxias tiene sus brazos en forma de la espiral que se forma con la
serie de Fibonacci y por supuesto con el nuacutemero de oro Muchas de las
relaciones entre el tamantildeo y la masa de estrellas neutroacuten antes de
convertirse en agujeros negros encierran la proporcioacuten aurea al igual que
las relaciones entre la velocidad de giro y la velocidad tangencial que se
soporta en dicha relacioacuten
239
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
82 Φ EN LAS RELACIONES DE LA TIERRA EN EL MUNDO
MUSULMAN Y CRISTIANO
La distancia entre La Mecca y el polo norte asiacute como hacia el polo sur esta
proporcioacuten es exactamente 1618 el nuacutemero de oro cuyas distancias son
763168 km y 1234232 Km cuyo cociente es 1618 Ademaacutes la proporcioacuten
entre el polo sur y la ciudad de Meca asiacute como entre los dos polos es otra
vez 1618
Las distancias son 1234832 Km y 199800 donde al efectuar el cociente
aparece nuevamente el nuacutemero de oro Para los musulmanes el milagro no
ha terminado el numero dorado estaacute en Mecca seguacuten el mapa de longitud y
latitud el cual es comuacuten para la humanidad para determinar las
localizaciones La proporcioacuten de elongacioacuten este con la oeste a partir de la
Mecca hasta los extremos del solsticio es de 1618 ademaacutes puede verse en
el mapa de Google-Eart la proporcioacuten de la elongacioacuten desde Meca hasta la
liacutenea del solsticio occidental con el periacutemetro de la tierra a esa misma latitud
es sorprendentemente el nuacutemero de oro
Para los sistemas de mapas auacuten si variacutean algunos kiloacutemetros el nuacutemero
dorado de la tierra estaacute siempre dentro del periacutemetro de la ciudad de la
Meca en la regioacuten sagrada que incluye el Kaaba
240
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
241
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
En el Coraacuten hay un verso que incluye la palabra Mecca y una expresioacuten que
dice que hay claras evidencias en la ciudad que otorga fe a la humanidad
La relacioacuten entre la ciudad Meca y el nuacutemero de oro estaacute gravado en el
capiacutetulo Al-Imran verso 96 El nuacutemero total de letras es 47 calculando el
nuacutemero de estas letras encontramos que la palabra Mecca estaacute mencionada
en 471618 = 29 es decir que hay 29 letras desde el principio del verso
hasta la palabra Meca Si tan solo faltara una letra este cociente nunca
podriacutea haberse construido
En el ojo musulmaacuten tambieacuten se reflejan las proporciones aacuteureas La relacioacuten entre la seccioacuten vertical y la seccioacuten horizontal del ojo dan como resultado el nuacutemero de oro
En la cruz latina (la cristiana) La relacioacuten entre el palo vertical y el horizontal es esta proporcioacuten Ademaacutes el palo horizontal divide la cruz en secciones aacuteureas Hay otros siacutembolos tambieacuten en los que se puede ver las relaciones aacuteureas 65 Un estudio realizado por la SARU (Science and religion united
= ciencia y religioacuten unida
en noviembre del antildeo 2005 analizoacute meticulosamente el Evangelio Prohibido de Judas descubierto a principios del antildeo 2000 (aquel que afirma que en realidad Jesuacutes le pidioacute a Judas que lo traicione) Entre otros hallazgos fue notorio el hecho de que se detallaran las medidas de la cruz en la cual Jesucristo fue crucificado y maacutes sorprendentemente una de sus caracteriacutesticas el trozo de madera maacutes largo de esta mediacutea 323 m
242
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
aproximadamente mientras que el trozo maacutes corto teniacutea una longitud aproximada de 2m Lo curioso fue que notaron que al dividir la longitud del trozo mayor por la del menor se obtiene (usted mismo puede comprobarlo) 1615 que es el valor aproximado de F
Image n a la izquierda Imagen a
colores del Santo Sudario como aparece en su estado natural mostrando el
color rojizo de las manchas de sangre
Otro estudio de la SARU en este caso sobre el Santo Sudario (la tela en que se cree que Jesuacutes fue envuelto en su sepulcro) en el que se presentan marcas y traumas fiacutesicos propios de la crucifixioacuten demuestra que las marcas alrededor del craacuteneo que seguacuten se cree fueron causadas por la corona de espinas se presentan en forma de espiral logariacutetmico y consecuentemente sus espinas siguen la sucesioacuten de Fibonacci Por lo que se cree el sudario fue falsificado por Da Vinci
243
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
La Biblia la palabra de Dios no tiene por queacute ser la excepcioacuten tambieacuten contiene la seccioacuten aacuteurea Seguacuten la Traduccioacuten del Nuevo Mundo de las Santas Escrituras contiene un canon de 66 libros inspirados distribuidos proporcionalmente La seccioacuten aacuteurea es 66 x 06 igual a 39 libros que forman las escrituras Hebreo arameas y su diferencia igual a 27 libros que forman las escrituras Griegas cristianas Ahora si a estos valores se les representa graacuteficamente en un rectaacutengulo el resultado seriacutea una forma aacuteurea o rectaacutengulo de oro Una de las primeras construcciones navales en la historia del hombre desde su creacioacuten es el Arca de Noeacute cuyas dimensiones fueron proporcionadas por Dios mismo al patriarca Noeacute Contiene la seccioacuten aacuteurea o Proporcioacuten Divina en su medidas Por ejemplo Su largo es de 300 codos dividido por (6) equivale a 50 codos para lo ancho y esto multiplicado por la seccioacuten aacuteurea igual a 06 equivale a 30 codos de alto La Proporcioacuten de (6 a 1) es usada en la arquitectura naval moderna Las medidas originales fueron dadas en codos convertidas a metros Largo 134 metros ancho 225 metros y alto 135 metros Un codo es equivalente aproximadamente 445 cm
244
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
82 RAMANUJAN Y EL NUMERO DE ORO
La fraccioacuten continua de RogersndashRamanujan es una fraccioacuten
continua descubierta por Rogers (1894) y maacutes tarde estudiada por Srinivasa
Ramanujan intimamente relacionada con las identidades de Rogers-
Ramanujan que puede ser evaluada expliacutecitamente para determinados
valores de su argumento
La fraccioacuten continua de Ramanujan es
(sucesioacute
n A003823 en OEIS)
donde
(sucesioacuten A003114 en OEIS)
y
(sucesioacuten A003106 en OEIS)
son funciones que aparecen en las identidades de Rogers-
Ramanujan
Aquiacute denota el siacutembolo q-Pochhammer para el caso
infinito
Si q = e2πiτ entonces qminus160G(q) y q1160H(q) y
tambieacuten q15H(q)G(q)) son formas modulares de τ Puesto que
eacutestas tienen coeficientes enteros la teoriacutea de la multiplicacioacuten
245
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
compleja implica que sus valores para τ siendo un nuacutemero
imaginario cuadraacutetico irracional son nuacutemeros algebraicos que
pueden ser evaluados expliacutecitamente En particular la fraccioacuten
continua de Ramanujan se pueden evaluar para estos valores
de τ
651 Ejemplos
donde es el nuacutemero aacuteureo (Aproximadamente 1618)
El inverso multiplicativo de esta expresioacuten es
El inverso multiplicativo de esta expresioacuten es
246
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
9 RESUMEN
7 Treinta datos que no sabiacuteas sobre el nuacutemero maacutes bello
La escalera de Bramante en los Museos Vaticanos
247
Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
Para muchos las matemaacuteticas son poco maacutes que un recuerdo de los diacuteas
escolares y sin embargo como dice la cancioacuten del amor las matemaacuteticas
estaacuten por todas partes Raro es el proceso que no puede ser explicado con
foacutermulas ya sea una explosioacuten de motor o el crecimiento de una flor Por eso
hay conceptos matemaacuteticos que traspasan los tratados cientiacuteficos y se
convierten en ideas comunes que de forma maacutes o menos profunda hasta
los ajenos a la materia conocen y manejan Ese es el caso de phi el
nuacutemero de oro No es nada maacutes que una cifra 161803 seguido por
infinitos decimales Sin embargo se trata de uno de los nuacutemeros que maacutes
fascinacioacuten ha levantado a lo largo de la historia Estudiado hasta la
saciedad conviene distinguir tres componentes distintos en la historia del
nuacutemero aacuteureo
- El nuacutemero de oro phi o nuacutemero aacuteureo como decimos es un nuacutemero
irracional que se expresa con la siguiente foacutermula
- La divina proporcioacuten o proporcioacuten aacuteurea es un concepto geomeacutetrico que se
da cuando al partir un segmento en dos partes desiguales dividiendo el total
por la parte maacutes larga obtenemos el mismo resultado que al dividir la maacutes
larga entre la maacutes corta
- La sucesioacuten de Fibonacci entra el en campo de la aritmeacutetica y
estaacute iacutentimamente relacionada con el nuacutemero de oro Se trata de una serie
infinita de nuacutemeros naturales que empieza con un 0 y un 1 y continuacutea
antildeadiendo nuacutemeros que son la suma de los dos anteriores quedando con la
forma siguiente
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Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584
4181 6765 10946 17711 28657
Uniendo el concepto aritmeacutetico con su representacioacuten geomeacutetrica se obtiene
una de las imaacutegenes maacutes comuacutenmente asociadas al nuacutemero y la razoacuten
aacuteurea la espiral de Fibonacci
La relacioacuten de esta sucesioacuten con el nuacutemero de oro estriba en que al dividir
cada nuacutemero por el anterior de la serie se obtiene una cifra cada vez maacutes
cercana a 161803 quedando el resultado alternativamente por debajo y por
encima del nuacutemero preciso sin llegar nunca a alcanzarlo absolutamente
Con estos tres conceptos diferenciados y aclarados solo queda entrar a
descubrir detalles sorprendentes que desde hace siglos rodean al nuacutemero
aacuteureo
711 La historia del nuacutemero de oro
1 Su descubrimiento se lo debemos como tantas otras cosas a los griegos
Ellos le dieron un tratamiento baacutesicamente geomeacutetrico y fue Euclides en su
obraElementos uno de los primeros que se refirioacute a este concepto
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Contribucioacuten a la ensentildeanza de las coacutenicas mediante el uso de la astronomiacutea
2 La fascinacioacuten por la proporcioacuten aacuteurea ha sido tal a lo largo de la historia
que en 1509 el matemaacutetico y teoacutelogo italiano Luca Pacioli publicoacute un libro
titulado La Divina Proporcioacuten en el que daba cinco razones por los que el
nuacutemero aacuteureo era eso divino
a) La unicidad del nuacutemero que asemeja a la de Dios
b) El hecho de que esteacute definido por tres segmentos de una recta que
asemeja a la Trinidad
c) La inconmensurabilidad del nuacutemero igual que Dios es inconmensurable
d) Dios es omnipresente e invariable igual que lo es este nuacutemero
e) Dios dio ser al universo a traveacutes de la quinta esencia representada por un
dodecaedro y el nuacutemero aacuteureo dio ser al dodecaedro