UNEXPO
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA ELECTRONICA
SECCION DE INSTRUMENTACION Y CONTROL
CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES
CONTROLABILIDAD Y OBSERVABILIDAD EN
SISTEMAS DE CONTROL
Prof.: Ing. Saturno Sarmiento
REPRESENTACION GRAFICA DE UN ESPACIO DE ESTADO
Control de Procesos Industriales
ESTADOS
x1, x2, , xn Entradas Salidas
PROCESO
Parmetros
p1, p2, , pr
u1, u2, , um y1, y2, , yq
Perturbaciones
w1, w2, . . ., wv
MODELOS DINAMICOS NO LINEALES: Set de Ecuaciones
Diferenciales Ordinarias de 1er Orden, No Lineales, explicitas y de valor
inicial.
Control de Procesos Industriales
x = variable de estado u = entrada del sistema
p = parmetro del sistema
n ecuaciones n estados
m entradas r parmetros
w perturbaciones
x = Vector de estado u = Vector de entrada
p = Vector de parmetros
w = Vector de perturbaciones
1 1 1 1 1 1
2 2 1 1 1 1
1 1 1 1
,..., , ,..., , ,..., , ,...,
,..., , ,..., , ,..., , ,...,
.
.
.
,..., , ,..., , ,..., , ,...,
n m r v
n m r v
n n n m r v
x f x x u u p p w w
x f x x u u p p w w
x f x x u u p p w w
x f x,u,p,w
Ecuacin
de estado
no lineal
y g x,u,p,wEcuacin de salida no lineal
LINEALIZACION DE LAS ECUACIONES NO LINEALES
+Aplicando el Jacobiano se tiene:
Doctorado en Ciencias de la Ingeniera
Matriz de perturbaciones
Matriz de estado
y g x,u,p,w
Matriz de salida
Ecuacin de estado
NO lineal
Ecuacin de salida
NO lineal
Matriz de pre
alimentacin
x f x,u,p,w, ,
, ,
, ,
iij
i x u w
iij
i x u w
iij
i x u w
fA
x
fB
u
fE
w
, ,
, ,
, ,
iij
i x u w
iij
i x u w
iij
i x u w
gC
x
gD
u
gH
w
Matriz de entrada
Matriz de perturbaciones
ECUACION DE ESTADO, ECUACION DE SALIDA, LEY DE CONTROL
+ Ecuacin de estado lineal:
+ Ecuacin de salida lineal:
+ Ley de Control lineal:
Control de Procesos Industriales
( ) ( ) ( ) ( )t t t t x Ax Bu Ew
( ) ( )t t u Kx
( ) ( ) ( ) ( )t t t t y Cx Du Hw
A = Matriz de estados
B = Matriz de entradas
C = Matriz de salidas
D = Matriz de pre alimentacin
E = Matriz de perturbaciones - estado
H = Matriz de perturbaciones - salida
K = Matriz de Ganancias de
realimentacin
VECTORES DE ESTADO, DE ENTRADA, DE SALIDA, DE PERTURBACION Y
DE GANACIA
Control de Procesos Industriales
1
1
.
.
.
n nx
x
x
x
1
1
.
.
.
m mx
u
u
u
Vector de estado Vector de entrada
1
1
.
.
.
q qx
y
y
y
Vector de salida
1 1. . . n xnk kKVector de ganancia de realimentacin
1
1
.
.
.
v vx
w
w
w
Vector de perturbaciones
MATRICES DE ESTADO, DE ENTRADA, DE SALIDA, DE PERTURBACION
Control de Procesos Industriales
11 1
1
n
n nn nxn
a a
a a
A
11 1
1
p
n nm nxm
b b
b b
B
Matriz de estado Matriz de entrada
11 1
1
n
q qn qxn
c c
c c
C
Matriz de salida
11 1
1
m
q qm qxm
d d
d d
D
Matriz de pre alimentacin
11 1
1
v
n nv nxv
e e
e e
E
11 1
1
v
q qv qxv
h h
h h
H
Matrices de perturbacin
CONTROL EN EL ESPACIO DE ESTADO
Control de Procesos Industriales
Controlabilidad
y
Observabilidad
Introducidos por Kalman en 1961
Rol importante en los
aspectos tericos y prcticos del
control moderno
Gobiernan la existencia de una
solucin al problema de control
optimo
Tiene criterios para saber si existe
una solucin al problema de
control optimo antes de iniciar el
diseo propiamente dicho
CONTROLABILIDAD
DEFINICION:
Se dice que un proceso es de Estado Completamente Controlable si cada variable de estado
del proceso puede ser controlada para alcanzar un cierto objetivo en un tiempo finito por
alguna seal de control u(t) no restringida.
La condicin de controlabilidad de un proceso est ntimamente ligada a la existencia de una
solucin de realimentacin de estado, mediante la asignacin de los polos de lazo cerrado del
sistema en forma arbitraria.
La siguiente figura ilustra el concepto de Controlabilidad mediante la realimentacin de estado.
Control de Procesos Industriales
( ) ( )t t u Kx
Control de Procesos Industriales
MATRIZ DE CONTROLABILIDAD
DEFINICION:
Es una matriz no singular (su determinante es diferente de cero), de
una estructura especial, que nos permite medir si un sistema es o no
de Estado Completamente Controlable.
La matriz de controlabilidad es funcin del par [A,B] y viene expresada
como:
1, . . . nC nxnM f A B B AB A B
Condicin de controlabilidad:
Un sistema es de estado completamente controlable si la matriz de
controlabilidad es de rango n. Matemticamente se expresa como:
# estados del sistemaCn rank M
OBSERVABILIDAD
DEFINICION:
Se dice que un proceso es de Estado Completamente Observable si cada variable de estado
del proceso puede ser determinada desde la observacin de las salidas sobre un intervalo de
tiempo finito.
La Condicin de Observabilidad de un proceso est ntimamente ligada a la posibilidad que
existe de observar las variables de estado del proceso a partir de las variables de salida que
son generalmente medibles.
El concepto de Observabilidad es muy importante porque, en la prctica, es sumamente difcil
medir directamente todas las variables de estado, y estas son necesarias para construir la
seal de control.
El concepto de Observabilidad es el dual de Controlabilidad: Mientras que Controlabilidad tiene
que ver con el uso de las entradas del sistema para conducir los estados a un punto deseado,
la Observabilidad tiene que ver con estimar los estados del sistema a partir de una salida dada.
Control de Procesos Industriales
Control de Procesos Industriales
2
-1n
nxn
C
CA
CA
Mo .
.
.
CA
MATRIZ DE OBSERVABILIDAD
DEFINICION:
Es una matriz no singular (su determinante es diferente de cero), de
una estructura especial, que nos permite medir si un sistema es o no
de Estado Completamente Observable.
La matriz de Observabilidad es funcin del par [A,C] y viene expresada
como: Condicin de Observabilidad:
Un sistema es de Estado Completamente Observable si la
matriz de Observabilidad es de rango n.
Matemticamente se expresa como:
# estados del sistemaOn rank M
Control de Procesos Industriales
OBSERVADORES O ESTIMADORES DE ESTADO
DEFINICIN:
Es un sub sistema en el sistema de control que lleva a cabo la estimacin de
las variables de estado a partir de las mediciones de la variable de salida y
de la variable de control.
Se debe tener presente que se podr disear un estimador de estado si y
solo si se satisface la condicin de Observabilidad.
La condicin de Observabilidad necesaria y suficiente para la estimacin de
estados es que el sistema sea de Estado Completamente Observable.
Un sistema es de estado completamente Observable si el rango de la matriz
de Observabilidad Mo es igual al orden del sistema.
COMANDOS EN PROGRAM CC
Control de Procesos Industriales
Se parte de una funcin de transferencia conocida para obtener las
matrices A, B, C y D
3 2
25,04 5,008( )
5,03247 25,1026 5,008P
SG s
S S S
P1=ccf(Gp)-------> Se crea un cudruple usando la forma cannica Controlable
P2=ocf(Gp)-------> Se crea un cudruple usando la forma cannica Observable
P3=dcf(Gp)-------> Se crea un cudruple usando la forma cannica Diagonal
P1, P2 y P3 se les llama cudruple porque contienen las matrices A, B, C, D
en sus respectivas formas cannicas. Estas matrices pueden ser mostradas
usando los siguientes comandos: P1.a; P1.b; P1.c; P1.d
Si se tienen directamente las matrices A,
B, C, D entonces el cudruple se consigue
as: P=pack(A,B,C,D)
El siguiente comando da una
descripcin del sistema:
what(P)
COMANDOS EN PROGRAM CC
Control de Procesos Industriales
Mc=conmat(P1)-------> Encuentra la matriz de Controlabilidad
n=rank(Mc)-------> Prueba si el sistema es de Estado Completamente Controlable
El valor de n debe ser igual al orden del sistema o al nmero de estados.
Mo=obsmat(P1)-------> Encuentra la matriz de Observabilidad
n=rank(Mo)-------> Prueba si el sistema es de Estado Completamente Observable
El valor de n debe ser igual al orden del sistema o al nmero de estados.
COMANDOS EN MATLAB
Control de Procesos Industriales
3 2
25,04 5,008( )
5,03247 25,1026 5,008P
SG s
S S S
Otra forma es: Se introduce el numerador y el denominador de la FT
num=[0 0 25.04 5.008]
den=[1 5.03247 25.1026 5.008]
Gp=tf(num,den)
s=tf(s) --------> permite escribir las funciones de transferencia en forma de fracciones
Permite llevar de FT a EE:
[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)
COMANDOS EN MATLAB
Control de Procesos Industriales
Mc=ctrb(A,B)-------> Encuentra la matriz de Controlabilidad
n=rank(Mc)-------> Prueba si el sistema es de Estado Completamente Controlable
El valor de n debe ser igual al orden del sistema o al nmero de estados.
Mo=obsv(A,C)-------> Encuentra la matriz de Observabilidad
n=rank(Mo)-------> Prueba si el sistema es de Estado Completamente Observable
El valor de n debe ser igual al orden del sistema o al nmero de estados.
size(P) --------------> Dimensiones del sistema
Primero se introducen las matrices A, B, C, D y luego se crea el cudruple en
espacio de estado.
P=ss(A,B,C,D) ---------> Crea el cudruple P
Control de Procesos Industriales
ESQUEMA PROTOTIPO A SER DISEADO
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