YACIMIENTOS III SALLY JANETH RUIZ ROMERO. CODIGO 9532520.
DEMOSTRACIONES
1. ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
Esta ecuación se basa en el principio de conservación de la materia. Su
deducción se obtiene aplicando un balance material a un elemento
diferencial del medio poroso.
M entrada – M salida = M acumulada
M = flujo másico = x Ur x V
Ur = velocidad de flujo
V = volumen
Mentrada = x Ur x 2rz
Msalida = x (Ur + Ur) x 2(r + r)z
Macumulada = [ x Ur x 2rz] – [ x (Ur + Ur) x 2(r + r)z]
= [ x Ur x 2rz] – [ x (rUr + rUr + Urr + Urr) x 2z]
= - 2z (rUr + Urr + Urr)
El volumen del elemento diferencial del medio poroso es:
V = [(r + r)2 – r2]z = (r2 + 2rr + r2 – r2)z = (2rr + r2)z
Para un tiempo t la masa dentro del elemento poroso es: []t (2rr +
r2)z
Para un tiempo (t + t), la masa dentro del elemento poroso es:
z
rr
YACIMIENTOS III SALLY JANETH RUIZ ROMERO. CODIGO 9532520.
=
Igualando las dos expresiones anteriormente obtenidas:
- 2z (rUr + Urr + Urr) =
Si se supone flujo solo en la dirección radial, z = 0:
- 2 (rUr + Urr + Urr) =
2rUr + 2Urr + 2Urr = -
Como Urr, Urr, y r2 representan valores muy pequeños, estos pueden
ser despreciados:
2rUr = -
Simplificando valores semejantes y variando la densidad y el radio en el
término de la izquierda, resulta:
(rUr) = -
Si se agrupan las variables semejantes y se aplican límites infinitesimales,
se obtiene la ecuación de continuidad:
ECUACIÓN COMBINADA DE FLUJO
YACIMIENTOS III SALLY JANETH RUIZ ROMERO. CODIGO 9532520.
Aplicando el principio de conservación de momento al flujo másico en el
elemento poroso diferencial, resulta la ecuación de flujo Darcy expresada
de la siguiente manera:
Como anteriormente se suponía flujo solo en la dirección radial, g sen =
0:
Reemplazando Ur en la ecuación de continuidad, se obtiene la ecuación
combinada de flujo:
que reescribiéndola quedaría:
ECUACIÓN DE DIFUSIÓN
Si se asume que la permeabilidad del medio poroso es constante en
dirección radial en la ecuación combinada de flujo; , entonces, ésta
puede sacarse del diferencial.
Sabiendo que la compresibilidad de fluidos puede definirse como:
Despejando y reemplazando en la ecuación combinada:
YACIMIENTOS III SALLY JANETH RUIZ ROMERO. CODIGO 9532520.
La anterior es la ecuación de difusión.
ECUACIÓN DE DIFUSIVIDAD
Aplicando la ecuación de difusión sólo para fluidos incompresibles,
Simplificando y agrupando términos se obtiene la ecuación de difusividad:
Esta ecuación no es válida para fluidos altamente compresibles (gases) ni
para velocidades de flujo muy altas (flujo turbulento).
2. Variables adimensionales:
3. Tiempo Adimensional
YACIMIENTOS III SALLY JANETH RUIZ ROMERO. CODIGO 9532520.
4. Ecuación de la Difisividad Adimensional:
5. PERMEABILIDAD PROMEDIO:
Calcular la permeabilidad promedio del siguiente pozo:
YACIMIENTOS III SALLY JANETH RUIZ ROMERO. CODIGO 9532520.
Donde: Rw = 0.35ft Re = 3000 ft K1 = 10md
K2 = 100md R1 = 3ft
Aplicando:
6. SOLUCION LINEA FUENTE
Para solucionar la ecuación de difusividad; diferencial de segundo grado
respecto a la presión, y de primer grado respecto al tiempo; se acude al
método de Boltzman.
Ecuación No.1
Asumiendo un valor
YACIMIENTOS III SALLY JANETH RUIZ ROMERO. CODIGO 9532520.
Usando la regla de la cadena:
; ; ;
Estas diferenciales también se pueden expresar como:
Reemplazando en la ecuación de difusividad: Ecuación 1.
Reagrupando términos:
La anterior es la ecuación de difusividad en función de la transformada de
Boltzman. Teniendo que:
YACIMIENTOS III SALLY JANETH RUIZ ROMERO. CODIGO 9532520.
Haciendo y ,
Integrando y transformando la ecuación anterior, resulta:
Ln z= -Ln x -x +C'
Ln z = Ln (1/x) -x +C´
Haciendo : C = ln C’ y -x = Ln e-x
ln z = ln
ln z = ln
z =
Esta es la solución general para la ecuación de difusividad; para
particularizarla se asumen las siguientes condiciones límite para el
yacimiento:
P = Pi para un tiempo t = 0 r
P = Pi para un radio r = r
q w= cte. r
t > 0
Para rw > 0:
(Flujo Darcy para un yacimiento circular homogéneo)
YACIMIENTOS III SALLY JANETH RUIZ ROMERO. CODIGO 9532520.
Reemplazando en la condición de flujo Darcy:
Se puede decir que y
Aplicando límites, se tiene:
Igualando términos:
El valor de la integral exponencial presente en esta ecuación se llama
función Ei(-X), y es igual a: esta ecuación tiene una
serie resultante:
donde r : constante de Euler-Mascheroni = 0.5772
YACIMIENTOS III SALLY JANETH RUIZ ROMERO. CODIGO 9532520.
Aplicando la ecuación de Ei tendremos:
La ecuación en unidades de campo es:
7. DEDUCCION DE LOS VALORES LIMITES QUE DETERMINAN LA
FUNCION E(-X).
límite inferior:
Se conoce que para que no haya imprecisión en la solución de Ei(-X), tDW
debe ser<100, por lo que la expresión para corresponde el limite
inferior de la solución Ei(-X).
YACIMIENTOS III SALLY JANETH RUIZ ROMERO. CODIGO 9532520.
límite superior:
8. Radio de Investigación :
Consideremos un pozo dentro del cual inyectamos instantaneamente un
volumen de líquido. Esta inyección introduce un disturbio en la presión de
la formación; este disturbio tiene radio ri el cual sera máximo en un
tiempo tm después de introducido dicho volumen a la formación.
Miraremos la relación entre ri y tm. De la solución de la ecuación de
difusividad se la línea fuente en un medio infinito:
YACIMIENTOS III SALLY JANETH RUIZ ROMERO. CODIGO 9532520.
9. TIEMPO DE ESTABILIZACION:
Partiendo de la solución logaritmica para yacimientos , para un tiempo de
producción largo:
Para período transitorio:
para periodos de flujo seudo-estable para yacimiento finito:
YACIMIENTOS III SALLY JANETH RUIZ ROMERO. CODIGO 9532520.
El mejor valor de tD para pasar de una a otra ecuación será cuando
las dos tengan la mínima diferencia en el valor de P:
-
Asumiento los terminos de la ecuación constantes excepto tD, tendremos:
D será mímimo cuando entonces ;
sabiendo que
donde rDe=re/rw y =cte entonces:
reemplazando y haciendo : queda:
YACIMIENTOS III SALLY JANETH RUIZ ROMERO. CODIGO 9532520.
entonces .
10. Práctica con el PoolSlim
11. Ejemplo de la Linea Fuente (EJERCICIO 1.1)
Un pozo y yacimiento tienen las siguientes características: El pozo
produce solo aceite; éste produce a una tasa constante de 20 STB/D. Los
datos que describen la formación son:
Viscosidad: 0.72 cpPermeabilidad: 0.1 mdCompresibilidad total: 1.5 x 10-5 psi-1
Presión inicial: 3000 psiRadio exterior: 3000 ftRadio del pozo: 0.5 ftFactor volumétrico: 1.475 RB/STBEspesor productor: 150 ft.Porosidad: 0.23Daño: 0
Calcular la presión de yacimiento en un radio de 1 ft después de 3 horas
de producción; calcular la presión en un radio de 10 y de 100 ft después de
3 horas de producción.
DESARROLLO
Como tengo un tiempo de producción corto (3 horas) puedo suponer que el
yacimiento se comporta como infinito. Esta suposición es correcta si:
< t <
YACIMIENTOS III SALLY JANETH RUIZ ROMERO. CODIGO 9532520.
= 2.35 < 3horas
> 3 horas
Esto indica que efectivamente el yacimiento actúa como infinito. La
ecuación de caída de presión que lo rige es:
Ei (- X) = ln (1.781 x) para X < 0.02. Para valores de X entre 0.02 y 10.9, Ei (-x) lo
determinamos de la tabla 1.1 del libro de Lee. La siguiente tabla muestra los valores de
Ei (-x) y de presión para los diferentes radios dados.
r (ft) X Ei P (psi)
1 0.00784944 -4.26677485 2573
10 0.784944 -0.338395335 2968
100 78.4944 -78.49 3000
YACIMIENTOS III SALLY JANETH RUIZ ROMERO. CODIGO 9532520.
Gráficamente, el comportamiento del pozo se muestra como sigue:
YACIMIENTOS III SALLY JANETH RUIZ ROMERO. CODIGO 9532520.
12. Solución Logarítmica:
Para x<0.01 los dos primeros miembros de la serie (desarrollo de la
función Ei), dan una aproximación aceptable de manera que:
reemplazando
entonces:
YACIMIENTOS III SALLY JANETH RUIZ ROMERO. CODIGO 9532520.
13. ECUACION DE ALMACENAMIENTO:
Balance de masa en el pozo:Vwb = Volumen del pozo = Awb*zAwb = Area del pozo = cte.z = altura del pozo.Pt = Presión de superficie
=
=
Considerando el gradiente de presión dentro del pozo:
Reemplazando en el balance másico:
Definimos el almacenamiento:
Si Pt = 0
Considerando variables adimensionales:
YACIMIENTOS III SALLY JANETH RUIZ ROMERO. CODIGO 9532520.
Este es el almacenamiento adimensional
Podemos relacionar las variables adimensionales con el almacenamiento
adimensional.
Fluido monofásico: balance de masa
; ; Cs = Cwb Vwb
tD = CSD PD
14. DEMOSTRACION ECUACION 1.11 J.LEE
YACIMIENTOS III SALLY JANETH RUIZ ROMERO. CODIGO 9532520.
Partiendo de la ecuación 1.7
y de la ecuación 1.9
Por medio de una combinación de estas ecuaciones hallamos la calidad
total de presión.
Reemplazando el valor de Ps y sacando factor común.
Para r=rw el argumento de la función Ei es suficientemente pequeño después de
periodo corto de tiempo por lo que se puede usar una aproximación logarítmica.
Definimos un factor de daño (s) en terminos de las propiedades de la zona
alterada.
YACIMIENTOS III SALLY JANETH RUIZ ROMERO. CODIGO 9532520.
15. DEMOSTRACION ECUACION 1.20 J.LEE
Cuando ocurre daño o hay estimulación, hay una caída de presión adicional
(Ps). La ec. 1.15, ahora es escribiría así:
+ Ps
Definiendo el daño como:
Reemplazando Ps, se tiene la ec. 1.16:
Aplicando esta definición a la ec. 1.12, resulta la ec. 1.17:
Reemplazando k por una permeabilidad promedio kj que incluya el factor
de daño, e igualándola a la ec. 1.17:
=
YACIMIENTOS III SALLY JANETH RUIZ ROMERO. CODIGO 9532520.
Despejando kj, se obtiene la ec. 1.18:
Si aplicamos a la definición de índice de productividad a la ec. 1.16,
expresada en términos de permeabilidad promedio, se tiene la ec. 1.19:
Definición de IP: ;
La ec. 1.16 es sólo para un pozo localizado en el centro de un yacimiento
circular. El área de drenaje de este pozo es: A = re2
Manipulando la ec. 1.16, ésta se puede expresar en función de su área de
drenaje:
multiplicando y dividiendo 2
YACIMIENTOS III SALLY JANETH RUIZ ROMERO. CODIGO 9532520.
Multiplicando y dividiendo por un factor de forma Ca:
El factor de forma determinado empíricamente para un yacimiento
cilíndrico con su pozo ubicado en centro del mismo es: Ca = 31.62
16. DEMOSTRACION ECUACION 1.13 J.LEE
Partimos de la ec. 1.6 del libro de Lee. Para tiempos muy largos (periodo
pseudoestable), tD , entonces: 0
La ecuación queda reducida a:
YACIMIENTOS III SALLY JANETH RUIZ ROMERO. CODIGO 9532520.
Reemplazando tD y reD por sus respectivas ecuaciones, resulta la ecuación
1.12:
Diferenciando respecto al tiempo:
Volumen poroso del yacimiento: Vp = re2h
Despejando re2h, y reemplazando en la ec. anterior, resulta la ec. 1.13:
17. DEMOSTRACION ECUACION 1.15 APARTIR DE LA 1.12 J.LEE
Utilizando la definición de compresibilidad isotérmica, se puede calcular la
caída de presión por hora de producción en pc:
,
donde V = 5.615 qB (t/24) = 0.234 qBt
Reemplazando los valores, queda la ec. 1.14:
YACIMIENTOS III SALLY JANETH RUIZ ROMERO. CODIGO 9532520.
Reemplazando la expresión anterior en la ec. 1.12, resulta la ec. 1.15:
18. DETERMINACION DEL VOLUMEN POROSO EN UNA PRUEBA
EXTENSA Pr
19. EJERCICIO SUPERPOSICION EN EL TIEMPO Y ESPACIO
(EJER.1.3)
Un pozo ha estado produciendo durante 5cinco meses. Las tasas de
producción son mostradas en la tabla Nº 1. Se conocen los siguientes
datos de la formación del poZo:
Espesor productor: 65 piesFactor volumétrico: 1423 RB/STBPresión inicial: 3254 psiPorosidad: 21%Compresibilidad total: 1.8*10-5 psi-1
Viscosidad del aceite: 1.1 cpsRadio del pozo: 0.35 piesPermeabilidad: 14mds
Tiempo Tasa (STB/D)
YACIMIENTOS III SALLY JANETH RUIZ ROMERO. CODIGO 9532520.
(horas)
1 480 150
2 280 220
3 720 85
4 540 160
5 1580 105
Tabla Nº 1
Determinar la presión del pozo fluyendo, a los cinco meses de flujo.
a) Utilizando el principio de superposición
b) Utilizando la aproximación de Horner
c) Utilizando una tasa promedio para este lapso de tiempo
DESARROLLO
a) Usando el principio de superposición:
T = 5 meses = 3600 hrs
El pozo esta produciendo en un yacimiento infinito.
220
16015010585
480 720 1480 2020 3600 T(horas)
q(STB/D)
YACIMIENTOS III SALLY JANETH RUIZ ROMERO. CODIGO 9532520.
t1 = 3600 hrs Xq1 = 9.58*10-9
Ei(-Xq1) = Ln(1.781*9.58*10-9) Ei(-Xq1) = -17.88
q1 = 150 STB/D
t2 = 3600-480 =3120 hrs Xq2= 1.105*10-8
Ei(-Xq2) = Ln (1.781*1.105*10-8)
q2=q2-q1 = 220-150 = 70 (STB/D)
t3=3600-760=2840 hrs Xq3=1.105*10-8
Ei(-Xq3) = Ln (1.781*1.105*10-8) Ei(-Xq3) = -17.64
q3=q3-q2 = 85-220 = -135 (STB/D)
t4=3600-1480=2120 hrs Xq4=1.62*10-8
Ei(-Xq4) = Ln (1.781*1.62*10-8) Ei(-Xq3) = -17.35
q4=q4-q3 = 160-85 = 75 (STB/D)
t5=3600-2220=1580 hrs Xq5=2.18*10-8
Ei(-Xq5) = Ln (1.781*2.18*10-8) Ei(-Xq5) = -17.06
q5=q5-q4= 105-160 = -55 (STB/D)
(q)q = -70.6*(qB/kh)Ei(-x)
(q)q = -70.6*(1.1*1423q/(14*68))Ei(-x)
YACIMIENTOS III SALLY JANETH RUIZ ROMERO. CODIGO 9532520.
(q)q = -0.1214q Ei(-x)
(q)q1 =325.7 psi (q)q2 =150.8 psi (q)q3 =-289.19 psi
(q)q4 =158.02 psi (q)q5 =-113.94 psi
q =231.39
q = pi-pw
Pwf=pi-p
Pwf=3254 – 231.9
Pwf= 3022.61 ps
b) Por aproximación de Horner:
Como se ve en la tabulación la ultima tasa se mantuvo por un tiempo
suficientemente largo lo que indica que se puede aplicar el método de
Horner.
Al comprobar lo anterior se tiene:
Esta relación es mayor que dos, luego se puede aplicar Horner
Hallando el tiempo de seudo producción:
Para hallar la producción acumulada se da la tabla Nº2:
Ti (horas) qi (STB/D) Ni=(ti*qi)/24 (STB)
YACIMIENTOS III SALLY JANETH RUIZ ROMERO. CODIGO 9532520.
480 150 3000
280 220 2566.66
720 85 2550
540 160 3600
1580 105 6912
Np=18629.16 (STB)
Tabla No. 2
Producción acumulada:
Np= 18629.16 (STB/D) qlas = 105 (STB/D)
Haciendo los respectivos reemplazos se tiene:
tp = 4258.09 hrs
Se halla X =(948* Ctr2/kt)
r=rw =0.35 pies tp = 4258.09 hrs X=8.1*10-9
Ei(-X) = Ln (1.781*8.1*10-9) = -18.05
Pi-Pwf =-70.6*(qlast/kh)Ei(-x) = 230.15 psi
Pwf = Pi-230.15
Pwf = 3254-230.15
Pwf = 3023.85 psi
c) Empleando una tasa promedio para este lapso de tiempo
t = 3600 horas
YACIMIENTOS III SALLY JANETH RUIZ ROMERO. CODIGO 9532520.
Para hallar el se halla la tasa promedio por parejas haciendo el recorrido
hacia adelante. Cada tasa promedio que se obtiene se emplea para
promediarla con la tasa siguiente.
t =3600 hrs
X =(948* Ctr2/kt) =9.58*10-9
Ei(-X) = Ln (1.781*9.58*10-9) =-17.88
Pi-Pwf = -70.6*( B/kh)Ei(-x) = 274.13 psi
Pwf = Pi-274.13
Pwf = 3254-274.13
Pwf = 2979.86 psi
20. DEDUCCION ECUACION DE HORNER:
Se tiene el siguiente esquema de una prueba Build-up. Resolver por el
principio de superposición.
tp tp+t
qq1
q2
tp tp+t
P
Pwf
Pws
YACIMIENTOS III SALLY JANETH RUIZ ROMERO. CODIGO 9532520.
Aplicando la ec. 1.51 de Lee para el principio de superposición:
Pi–Pws = P1 + P2=-70.6 -70.6
q’2 = q2 - q1 = 0 – q1 = - q1
Despejando Pws, factorizando y eliminando términos, la ecuación se
reduce a:
Pws = Pi + 70.6
Aplicando reglas de logaritmos, podemos reducir la ecuación a:
Pws = Pi + 70.6
Para un manejo en papel semilog, se debe pasar de logaritmo natural a
logaritmo
base 10: Pws = Pi + 162.6
21. DEDUCCION DE LA ECUACION DE DAÑO (MEDIANTE UNA
PRUEBA DE BUILD-UP
20.
tp tp+t
P Pws
Pws 1h
YACIMIENTOS III SALLY JANETH RUIZ ROMERO. CODIGO 9532520.
En el momento de cierre:
Despejando Pi y reemplazando en la primera ecuación:
Despejando presiones y pendiente:
Despejando el daño:
Aplicando reglas de logaritmos:
Pwf
YACIMIENTOS III SALLY JANETH RUIZ ROMERO. CODIGO 9532520.
Por lo que, en la ecuación de daño, la parte logarítmica quedaría:
Para t = 1h, la expresión es despreciable:
Top Related