Ejercicios ’Ecuaciones Diferenciales’ Enero - Junio 2015
Ejercicios del capıtulo 2
ECUACION DE RICCATILo elegı porque se visualizaba sencillo y practico.
dy
dx= y2 + 4y − 5 (1)
Sol. Particular y1 = −5Hacer la transformacion lineal y su derivada:
y = −5 +1
u(x); y′ = − 1
u2· dudx
(2)
Sustituir ec. 2 en ec 1, separar e integrar:
du
dx= 6u;u = e6x+c (3)
Sustituir ec. 3 en ec. 2 y obtener la solucion general de la ec. 1:
y = −5 +1
e6x+c(4)
ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTASLo elegı porque se visualizaba sencillo y practico.
x2y3dx + x3y2dy = 0 (5)
Verificar si se cumple:∂M(x, y)
∂y=
∂N(x, y)
∂x(6)
De ser ası, su integral es de la forma:∫ x
x0
M(x, y)dx +
∫ y
y0
N(x0, y)dy = C (7)
Para ello suponemos que x0 = 1 y y0 = 0:∫ x
1
x2y3dx +
∫ y
0
y2dy = C1 (8)
La solucion de esta integral, finalmente nos da como resultado la solucion general de la ecuacion diferencial5:
x3y3
3= c1 (9)
Rodrıguez Gonzalez Selma Jannine 12 de febrero del 2015 1
Ejercicios ’Ecuaciones Diferenciales’ Enero - Junio 2015
Ejercicios del capıtulo 2
FACTOR INTEGRANTELo elegı porque se visualizaba sencillo y practico.
(t− y + 1)dt− dy = 0 (1)
Comprobar su exactitud con:∂M(t, y)
∂y=∂N(t, y)
∂t(2)
No se cumple la igualdad porque ∂M(t,y)∂y = −1 y ∂N(t,y)
∂t = 0 , entonces se usa la siguiente ecuacion:
dlnµ
dt=
1
N(t, y)(∂M
∂y− ∂N
∂t) (3)
Sustituyendo valores e integrando se obtiene:µ = et (4)
Multiplicando ec. 1 por ec. 4 se comprueba la exactitud de la ED y se trabaja con ec. 5:
∂f
∂y= N(t, y) = −etyg(t) = et(t− 1) + et (5)
Que finalmente arroja una solucion general igual a:
y = t+c
et(6)
ECUACIONES DIFERENCIALES NO RESUELTAS RESPECTO A LA DERIVADALo elegı porque se visualizaba sencillo y practico.
x[(y′)2 − 1] = 2y′ (7)
Sustituir el parametro siguiente en ec. 7 para obtener:
p =dy
dx⇒ x =
2p
p2 − 1⇒ dx =
−2p2 − 2
(p2 − 1)2(8)
Se hace la sustitucion de dx = dyp en ec. 8:∫
dy =
∫−2p3 − 2p
(p2 − 1)2dp (9)
Para usar fracciones parciales, la integral se acomoda de la siguiente manera:
y =
∫(Ap+B
(p2 − 1)2+Cp+D
p2 − 1)dp (10)
Resolviendo paso a paso la integral por fracciones parciales, obtenemos una solucion general para la ED 7:
y =2
p2 − 1− ln(p2 − 1) + C (11)
Rodrıguez Gonzalez Selma Jannine 12 de febrero del 2015 1
Ejercicios ’Ecuaciones Diferenciales’ Enero - Junio 2015
Ejercicios del capıtulo 2
ECUACIONES DIFERENCIALES DE LAGRANGE Y CLAIRAUTLo elegı porque se visualizaba sencillo y practico.
y = xy′ − (y′)2 (1)
Usar el parametro y sustituirlo en ec. 1:
p =dy
dx⇒ dy = pdx⇒ y − xp + p2 = 0 (2)
Derivar ec. 2 respecto a x:dy − xdp− dx + 2pdp = 0 (3)
Acomodando en la forma estandar:dx
dp− x
p− 1= − 2p
p− 1(4)
Suponer ED homogenea, integrar, encontrar sol. xh = c(p − 1), a partir de esta suponer sol. particularxp = c(p)(p− 1).Derivar xp, sustituir en ec. 4, integrar y obtener c(p) que despues se sustituye en xp, Finalmente sumar xh
y xp para obtener:y = cx− c2 (5)
TRAYECTORIAS ORTOGONALESLo elegı porque se visualizaba sencillo y practico.
x2 − y2 = a2 (6)
Derivar ec. 6 con respecto a x:2xdx− 2ydy = 0 (7)
Separar el diferencial de y:dy
dx=
2x
2y(8)
Reemplazando y′ = − 1y′ en ec. 8:
− 1
y′=
x
y⇒ −dy
dx=
x
y(9)
Integrando ec. 9 se obtiene la solucion o familia de curvas:
xy = c (10)
Rodrıguez Gonzalez Selma Jannine 12 de febrero del 2015 1
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