Estadística I Aplicada a la Administración, Contaduría, Informática Administrativa, Economía, Negocio y Comercio Internacionales y Finanzas.
Tema IV. Introducción al Análisis de Series de Tiempo y Pronóstico Notas del Dr. Francisco Javier Tapia Moreno. Noviembrede 2013.
Universidad de Sonora Departamento de Matemáticas 1
UNIVERSIDAD DE SONORA
División de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Matemáticas
Estadística Aplicada a las Licenciaturas: Administración, Contaduría e Informática
Administrativa.
Fascículo IV:
Introducción al Análisis de Series de Tiempo y
Pronóstico
Dr. Francisco Javier Tapia Moreno
Estadística I Aplicada a la Administración, Contaduría, Informática Administrativa, Economía, Negocio y Comercio Internacionales y Finanzas.
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Prólogo.
Este es el cuarto folleto correspondiente al Tema IV de Estadística Aplicada a las Licenciaturas: Negocios y
Comercio Internacionales, Administración, Contaduría e Informática Administrativa que se ofrecen en la
Universidad de Sonora. Los temas presentados aquí son congruentes con el programa vigente de la materia de
Estadística I del área económico- administrativo.
En este cuarto tema del programa, denominado Introducción al Análisis de Series de Tiempo y Pronóstico, el
alumno conocerá los componentes de una serie de tiempo, identificará, en los gráficos de las series, las
variaciones estacionales, cíclicas e irregulares, elaborará gráficos de las series con datos reales y pronosticados e
identificará el comportamiento de una serie de tiempo en problemas relacionados a su área.
Este trabajo se sitúa en el marco de un esfuerzo colectivo realizado por el Departamento de Matemáticas por
dotar al alumno del material didáctico necesario para que éste optimice su proceso de
enseñanza/aprendizaje/formación de las matemáticas.
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C O N T E N I D O
Pag.
Tema IV. Introducción al Análisis de Series de Tiempo y Pronóstico 04
4.1. Introducción 04
4.2. Series de tiempo y sus componentes 05
4.3. Análisis de tendencia 07
4.4. Ajuste de la tendencia lineal mediante el método de los mínimos cuadrados 08
4.5. Determinación de una ecuación de segundo grado en una serie temporal 11
4.6. Métodos de suavización y descomposición de una serie de tiempo 13
4.6.1. Promedios móviles 14
4.6.2. Suavización exponencial 16
4.7. Variación estacional 19
4.8. Datos ajustados en forma estacional 25
4.9. Extrapolación 26
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Tema IV
Introducción al análisis de series de tiempo y pronósticos
4.1. Introducción.
Puesto que las condiciones económicas y de los negocios varían con el tiempo, los empresarios deben encontrar
formas de conocer los efectos de esos cambios en sus operaciones particulares. Una técnica que los empresarios
y ejecutivos pueden utilizar como una ayuda en la planeación del nivel de necesidades operativas futuras es la
predicción. Aunque se han diseñado numerosos métodos de predicción, todos ellos tienen un objetivo común,
hacer predicciones de casos futuros, de tal manera que estas predicciones puedan, después, ser incorporadas al
proceso de toma de decisiones. Como por ejemplo, nuestro gobierno debe ser capaz de predecir cuestiones como
el desempleo, inflación anual, producción industrial e ingresos de la Secretaría de Hacienda provenientes de
personas físicas y morales, con el propósito de formular sus políticas; mientras que el departamento de
comercialización de una gran empresa que vende productos al menudeo debe ser capaz de predecir la demanda
de los productos, los ingresos por ventas, las preferencias de los consumidores, el inventario, etc., con el fin de
tomar decisiones oportunas respecto a sus estrategias de publicidad.
Básicamente, existen dos planteamientos para la predicción: cualitativa y cuantitativa. Los métodos de
predicción cualitativa son especialmente importantes cuando no se dispone de datos históricos, como sería el
caso, por ejemplo, si el departamento de comercialización desearía pronosticar la venta de un nuevo producto.
Los métodos de predicción cualitativos se consideran altamente subjetivos y sujetos a juicios de opinión. Entre
éstos se encuentra el método de listado de factor, la opinión experta y el método Delphi. Por otro lado, Los
métodos de predicción cuantitativa hacen uso de los datos históricos. El objetivo es estudiar los casos pasados
con el propósito de tener un mejor entendimiento de la estructura subyacente de los datos y, en consecuencia,
proporcionar los medios necesarios para predecir los sucesos futuros.
Un método que pueden utilizar los directivos de los negocios como ayuda para controlar las operaciones
actuales y en la planeación de futuras necesidades (mediante el pronóstico de acontecimientos probables en
producción, ventas, materia prima, mano de obra, etc.) es un análisis de series de tiempos. Una serie de tiempo
es una serie de datos históricos que se miden en instantes o periodos sucesivos.
Así, los precios diarios al cierre de una emisión particular en la Bolsa de Valores, el valor diario del dólar con
respecto al peso mexicano y la inflación mensual que se da en nuestro país constituyen series de tiempos. Otros
ejemplos de series de tiempo en los negocios son los cambios semanales en el porcentaje en las ventas en los
centros comerciales; la publicación mensual de Indice de Precios al Consumidor y los ingresos totales anuales
por ventas de una empresa determinada.
La suposición básica fundamental de las series de tiempo es que los factores que han influido en el pasado y en
el presente en los patrones de la actividad económica continúan haciéndolo más o menos en la misma forma en
el futuro. Por lo tanto, los objetivos principales del análisis de series de tiempo es la de aislar los factores
influyentes para fines de predicción (Pronósticos) así como para la planeación y control por parte de los
administradores. En el mundo comercial, la habilidad para proyectar eventos futuros y tendencias aumenta
enormemente la probabilidad de éxito. Por lo tanto, no es sorprendente que los negocios gasten buena parte de
tiempo y esfuerzo persiguiendo pronósticos exactos de las tendencias y sus evoluciones futuras.
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Numerosas herramientas cuantitativas pueden utilizarse para desarrollar proyecciones útiles. Este capítulo
analiza las formas en las cuales pueden utilizarse los datos de series de tiempo para realizar pronósticos y, cómo
estos pronósticos pueden servir para tomar decisiones bien documentadas.
4.2. Series de tiempo y sus componentes. El proceso de desarrollar una predicción comienza con la recolección de datos anteriores durante varios
periodos. El conjunto de datos resultantes se llama una serie de tiempo o serie temporal porque contiene
observaciones para alguna variable durante el tiempo. Los periodos de tiempo varían en duración. Pueden ser
anuales, trimestrales, mensuales e incluso diarios. Los periodos de una sola hora pueden usarse para variables
altamente volátiles como el precio del dólar o para las acciones transadas en la bolsa mexicana de valores.
Como se mencionó en la sección anterior, el propósito de las series de tiempo es predecir o proyectar los valores
futuros de la variable a partir de observaciones anteriores. Un método directo es el método intuitivo de
proyección, el cual presume que el mejor predictor del valor de la variable en el siguiente periodo es su valor en
el periodo corriente. En su forma más simple puede expresarse como:
tt YY 1ˆ
en donde 1
^
tY es el estimado del valor de la serie de tiempo en el siguiente periodo t + 1, y tY es el valor real en
el periodo corriente t. Este método se usa con frecuencia con los datos que no presentan tendencia ascendente o
descendente y cambian de dirección súbitamente. Puesto que la aleatoriedad en los cambios de dirección súbitos
no puede predecirse, se utiliza la observación más reciente como predicción para el siguiente valor. Este método
de pronóstico es el más exitoso para los datos que se recopilan para intervalos cortos de tiempo, tales como los
diarios o semanales. Sin embargo, la mayoría de las series de tiempo son más complejas. Todas las series de
tiempo contienen por lo menos uno de los siguientes cuatro componentes: 1) Tendencia secular, 2) Fluctuación
cíclica, 3) Variación temporal o estacional y 4) Variación irregular. La mayoría de las series de tiempo pueden
ser descritas en términos de su tendencia y su estacionalidad.
1. Tendencia secular. En el primer tipo de variación secular, el valor de la variable tiende aumentar o
disminuir en un periodo muy largo. El incremento estable en los costos de vida registrados en el Indice
de Precios al Consumidor es un ejemplo de tendencia secular. De un año a otro, el costo de la vida varía
bastante, pero si examinamos un periodo a largo plazo, nos damos cuenta de que la tendencia es hacia un
aumento estable. Ver figura 4.1(a).
Figura 4.1 (a).
X
Y
Tiempo en años
Tendencia secular
Serie temporal
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2. Fluctuación cíclica. El segundo tipo de variación observado en una serie temporal es la fluctuación
cíclica. El ejemplo más común de fluctuación cíclica es el ciclo de negocios. A través del tiempo, hay
años en que el ciclo de negocios llega a un pico por encima de la línea de tendencia. En otros tiempos, la
actividad de los negocios parece caer, llegando a un punto bajo la línea de tendencia. El tiempo que
ocurre entre picos o puntos bajos es de al menos un año, y puede llegar a durar hasta 15 o 20años. La
Figura 4.1(b) muestra un patrón típico de fluctuación cíclica por encima y por debajo0de la línea de
tendencia secular. Note que los movimientos cíclicos no siguen ningún patrón regular, sino que se
mueven de una forma un tanto impredecible.
Figura 4.1 (b)
3. Variación temporal. El tercer tipo de cambio en los datos de una serie temporal es la variación temporal
o estacional. Como era de esperar, por su nombre, este tipo de variación implica patrones de cambio en
el lapso de un año que tienden a repetirse anualmente. Por ejemplo, un médico puede esperar un
aumento sustantivo del número de casos de gripe cada invierno y de afectados de tifoidea cada verano.
Como se trata de patrones regulares, son útiles en la predicción del futuro. En la figura 4.1(c)
observamos una variación temporal. Note cómo alcanza un pico cada cuatro trimestres del año.
Figura 4.1 (c)
1. Variación irregular. La variación irregular es el cuarto tipo de cambio que se da en el análisis de las
series temporales. En muchas situaciones, el valor de una variable puede ser completamente
impredecible, es decir, cambia de manera aleatoria. Las variaciones irregulares describen tales
movimientos. Un ejemplo de variación irregular es el error de diciembre de 1995 cuando el tipo de
cambio dólar-peso mexicano sufrió una variación súbita a la alza. En la figura 4.1(d) se ilustra la
variación irregular.
X
Y
Tiempo en años
Tendencia secular
Fluctuación cíclica
X
Y
Tiempo en años
Variación temporal
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Figura 4.1 (d)
Cabe mencionar que un análisis cuidadoso de los datos de una serie temporal, ayuda a los administradores a
observar tendencias pasadas y a planear las actividades de una futura demanda de los clientes. El tener
conocimiento sobre los tres componentes analizables: tendencia secular, fluctuación cíclica y variación temporal,
permite a los administradores tener recursos suficientes, como personal e inventario, para cubrir las necesidades
de los clientes. Cuando estos tres componentes se entienden bien, resulta mucho más fácil interpretar un patrón
aparente errático de ventas. Entonces la cuarta componente, la variación irregular, posiblemente pueda ser ligada
a una causa identificable. Se puede observar que la liga entre el desempeño medido y las causas se ajusta bien
con un planteamiento de administración para la calidad total en los negocios.
Ejercicio 4.1. ¿Cuál de las cuatro componentes de una serie temporal se usaría para describir el efecto de las
ventas navideñas en la tienda departamental Liverpool?
Ejercicio 4.2. ¿Qué componente de una serie temporal explica el crecimiento y decaimiento de la industria
automotriz en México?
Ejercicio 4.3. Utilizando los cuatro tipos de variación, describa el comportamiento de la inflación mensual en
México de 1970 hasta 2000.
Hasta ahora, nos hemos referido a las series temporales como algo que presenta una de las cuatro variaciones
descritas. Sin embargo, en la mayoría de los casos una serie temporal contendrá varios de estos componentes.
Por lo tanto, podemos describir la variación total en una sola serie temporal en términos de estas cuatro clases
diferentes de variación. En las secciones siguientes examinaremos los cuatro componentes y las formas en que se
mede cada uno de ellos.
4.3. Análisis de tendencia.
La tendencia secular o simplemente la tendencia, representa en comportamiento a largo plazo de la serie. Refleja
la dirección general de la serie temporal como ascendente o descendente. Una manera de describir la
componente que corresponde a la tendencia es ajustando visualmente una recta a un conjunto de puntos de una
gráfica. Sin embargo, cualquier gráfica dada está sujeta a interpretaciones ligeramente diferentes por parte de
individuos diferentes. Podemos también ajustar una línea de tendencia mediante el método de mínimos
cuadrados. En nuestro análisis, nos concretaremos a este método, ya que el ajuste visual de una recta a una serie
de tiempo no es un proceso completamente seguro.
X
Y
Tiempo en años
Variación irregular
temporal
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Existen tres razones por las cuales es útil estudiar las tendencias seculares:
1) Nos permite describir un patrón histórico.
2) Nos permite proyectar patrones pasados, o tendencias, hacia el futuro.
3) Nos permite eliminar la componente de tendencia de una serie.
Las tendencias pueden ser lineales o curvilíneas. Antes de examinar el método lineal o de línea recta para
describir tendencias, debemos recordar que algunas relaciones no toman esa forma. El aumento de
contaminantes en el ambiente sigue una curva de pendiente creciente parecida a que se muestra en la figura
4.1(a). Otro ejemplo de una relación curvilínea es el ciclo de vida de un nuevo producto comercial, que se ilustra
en la figura 4.1(b). Cuando se introduce en el mercado un nuevo producto, su volumen de ventas es bajo.
Conforme el producto adquiere reconocimiento y éxito, las ventas unitarias aumentan con rapidez cada vez
mayor. Después de que el producto se establece firmemente, sus ventas unitarias crecen con rapidez constante.
Finalmente, conforme el producto alcanza el fin de su ciclo de vida, las ventas unitarias empiezan a disminuir.
4.4. Ajuste de la tendencia lineal mediante el método de mínimos cuadrados.
Así como existen tendencias que pueden describirse mediante una línea curva, existen otras que se describen
mediante una línea recta. A estas tendencias se las conoce como tendencias lineales. La ecuación para una
tendencia lineal es
bXaY^
donde
e.dependient varialela de estimado valor ^
Y
) tendenciade análisis elen ( nteindependie variable tiempoX .
)XYYa 0 cuando de valor (el eje elcon ón intersecci .
. tendenciade línea la de pendiente b
Podemos describir la tendencia general de muchas series temporales utilizando una línea recta. Utilizando el
método de los mínimos cuadrados, mencionado en la sección anterior, se tiene que la recta de mejor ajuste se
obtiene cuando
22 XnX
YXnXYb
XbYa
en las que:
e.dependient variablela de valoresY
nteindependie variablela de valoresX .
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e.dependient variablela de valoreslos de mediaY
nte.independie variablela de valoreslos de mediaX
eje elcon ón intersecci Ya .
pendiente. b
Ejemplo 4.1. Consideremos los datos que se presentan en la tabla 4.1, que ilustran los volúmenes anuales de
producción (en miles de sacos de 60 kg.) de café entre los años de 1989 y 2000 en México. Encontrar la
ecuación que describirá la tendencia secular de los volúmenes anuales
TABLA 4.1. PRODUCCIÓN ANUAL DE CAFÉ ENTRE 1989 Y 2000*.
PERIODO
SUPERFICIE
COSECHADA
(Hectáreas)
VOLUMEN
PRODUCIDO (Miles de
sacos de 60 Kg.)
VOLUMEN
EXPORTADO (Miles
de sacos de 60 Kg.)
VALOR DE LAS
EXPORTACIONES
(Miles de dólares)
1989-90 560,217 5,150 4,359 422,954
1990-91 558,415 4,586 3,506 384,545
1991-92 558,500 5,159 3,119 266,030
1992-93 559,891 4,421 3,061 271,585
1993-94 592,565 4,116 3,150 437,200
1994-95 615,516 4,159 3,257 678,043
1995-96 683,166 5,300 4,579 663,843
1996-97 690,077 5,100 4,381 858,364
1997-98 700,087 4,801 3,882 770,731
1998-99 713,095 4,750 4,085 550,821
1999-2000 713,095 6,193 5,138 668,979
*Fuente: Consejo Mexicano del Café, A.C.
Solución. Con los valores de la tabla 4.1 hacemos la traducción o codificación de los valores de tiempo que se
requieren para calcular los valores de a y b de la ecuación de la recta de mejor ajuste.
TABLA 4.2. TABLA DE CODIFICACIÓN DE LOS VOLÚMENES DE PRODUCCIÓN DADOS EN LA TABLA 4.1.
PERIODO
NUMERO DE
PERIODO
X
VOLUMEN
PRODUCIDO
(Miles de sacos de
60 Kg.)
Y
XY
X2
1989-90 1 5,150 5,150 1
1990-91 2 4,586 9,172 4
1991-92 3 5,159 15,477 9
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1992-93 4 4,421 17,684 16
1993-94 5 4,116 20,580 25
1994-95 6 4,159 24,954 36
1995-96 7 5,300 37,100 49
1996-97 8 5,100 40,800 64
1997-98 9 4,801 43,209 81
1998-99 10 4,750 47,500 100
1999-2000 11 6,193 68,123 121
66 X 735,53Y 329,749XY 0652 X
De la tabla 4.2 tenemos que 611
66X y que 8854
11
73553,
,Y utilizando las formulas dadas antes tenemos
que:
71818181866110
3397
611506
8854611749329222
.,
)(
),)()((,
XnX
YXnXYb
y
69090948446718181818668854 .,))(.(,XbYa
Así, la ecuación lineal que describe la tendencia secular en la producción anual de café en México es
X..,bXaY 7266694844
en donde
café de kg. 60 de sacos de estimado anual número Y (en miles) producidos.
X = valor de tiempo que representa al año de producción.
Una vez que se tiene desarrollada la ecuación de tendencia, podemos proyectarla para predecir la variable en
cuestión. Suponga que se desea estimar el número (en miles) de sacos de 60 kgs. de café que se producirán en la
temporada 2000-2001. Para hacer esto, sustituimos el valor de X correspondiente al año 2001 en la ecuación de
tendencia secular, es decir X = 11 obteniendo
12726669484412 ..,Y
2855, miles de sacos de 60 kgs.
Por consiguiente, hemos estimado que para el año 2001 se espera que se produzcan 5,195 miles de sacos de 60
kilogramos de café.
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El método de mínimos cuadrados nos da la ecuación de la línea recta que mejor se ajusta a los datos, pero no nos
dice qué tan cerca están estos datos de la línea de ajuste. Una medida de bondad de ajuste es el coeficiente de
correlación , denotado por r . La fórmula para r es
2222
YYnXXn
YXXYnr
Aunque esta fórmula parezca muy complicada, no es difícil de usar si tenemos ya calculada la línea de tendencia.
Tenemos ya calculados XY , X , Y , 2X en la tabla 4.2. del ejercicio 4.1. Por lo tanto se requiere
sólo calcular 2
Y y sustituir estos valores con 11n en la fórmula de r . Los valores para 329,749XY ,
66 X , 73553,Y , 0652 X y 5266,018,502 Y . Por lo tanto,
37280
330753381210
72980
73553505018266116650611
735536674932911
22.
,,
,
,,,
,,r
.
La fórmula del coeficiente de correlación, desarrollada por Karl Pearson, esta diseñada para que 11 r , con
un valor de r cercano a 1 significa que las dos variables crecerán o decrecerán juntas, y existe una fuerte
relación matemática entre ellas. Esto no necesariamente significa que una de las variables tiene efecto directo
sobre la otra. Por ejemplo, el hecho de existir una gran correlación entre el crecimiento del número de escuelas
en una cierta área de la ciudad y el aumento en la venta de licor en esta área, no necesariamente quiere decir que
los estudiantes y maestros están tomando el licor; ambos crecimientos reflejan un crecimiento en la población de
esta área.
Un coeficiente de correlación cercano a –1 indica que hay una fuerte correlación negativa; esto es, una variable
tenderá a decrecer mientras que la otra crecerá. Está generalmente convenido que la correlación entre –0.2 y 0.2
indica una relación no significativa entre las variables.
Ejercicio 4.4. Obtenga la ecuación de tendencia secular para los datos de la tabla 4.1, correspondientes a los
volúmenes importados, después estime la cantidad que se espera exportar para el ciclo 2000-2001.
Ejercicio 4.5. Encuentre la ecuación de tendencia secular para los datos de la tabla 4.1, que corresponden al
valor de las importaciones y prediga la cantidad de dólares que se espera obtener para el ciclo 2000-2001.
Ejercicio 4.6. Halle la ecuación de tendencia secular para los datos correspondientes a las superficies cosechadas
de la tabla 4.1 y pronostique la cantidad de superficie que ese espera cosechar para el ciclo 2000-2001.
4.5. Determinación de una ecuación de segundo grado en una serie temporal.
Muchas series temporales quedan mejor descritas mediante ecuaciones, cuyas gráficas no son líneas rectas. En
estos casos, el modelo lineal no describe de manera adecuada el cambio en la variable conforme avanza el
tiempo y frecuentemente se utiliza una ecuación de segundo grado para describir el comportamiento adecuado de
una serie temporal. La forma general para una ecuación de segundo grado estimada es:
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2cXbXaY
en donde
temporal. variablela de scodificado valores
reales. numéricas constantes
e.dependient variablela de estimación
X
c,b,a
Y
Para determinar la ecuación de segundo grado con mejor ajuste a los datos dados, se utiliza también el método de
mínimos cuadrados y los valores de las constantes a, b, y c se obtiene a partir de las tres ecuaciones siguientes.
2
422
2
X
XYb
XcXaYX
XcanY
Ejemplo 4.2. Determine la tendencia parabólica para los datos de la tabla 4.1, correspondiente a las superficies
cosechadas.
Solución. Primeramente hacemos la tabla de codificación para los datos de la tabla 4.1.
TABLA 4.3. TABLA DE CODIFICACIÓN DE LOS VOLÚMENES IMPORTADOS DE CAFÉ.
PERIODO
NUMERO
DE
PERIODO
X
SUPERFICIE
COSECHADA
(Hectáreas)
Y
X Y
X2
X2Y
X4
1989-90 1 560,217 4359 1 4359 1
1990-91 2 558,415 7012 4 14024 16
1991-92 3 558,500 9357 9 28071 81
1992-93 4 559,891 12244 16 48976 256
1993-94 5 592,565 15750 25 78750 625
1994-95 6 615,516 19542 36 117252 1296
1995-96 7 683,166 32053 49 224371 2401
1996-97 8 690,077 35048 64 280384 4096
1997-98 9 700,087 34938 81 314442 6561
1998-99 10 713,095 40850 100 408500 10000
1999-2000 11 713,095 56518 121 621698 14641
Totales 66 6,944,624 43,826,588 506 345,692,438 39,974
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Sustituyendo los valores encontrados en la tabla 4.3. en las ecuaciones dadas anteriormente se tiene que:
2173986613506
43,826,588
974395068345,692,43
506116,944,624
.b
c,a
ca
Si resolvemos es sistema de ecuaciones lineales 2x2 tenemos que: 95559043.685a y 21571.42975c . Por lo
tanto, la ecuación cuadrática que se ajusta más a la tendencia de los datos es:
221571.42975217398661395559043.685 XX.Y
Así, si queremos predecir la superficie que se espera cosechar en el ciclo 2003-2004 sólo sustituimos X = 14 en
la ecuación encontrada. Esto es,
6280792
4121571.4297514217398661395559043.6852
,,
.Y
Es decir, se espera que para el ciclo 2000-2001 sean cosechadas 628,079,2 hectáreas de café. Esta predicción es
demasiado grande por lo que sugiere ser más cuidadosos cuando hacemos pronósticos con una curva parabólica.
Una curva parabólica puede volverse un estimador pobre cuando intentamos predecir a un mayor plazo. Al
utilizar el método de la ecuación de segundo grado, también debemos tomar en cuenta factores que pueden estar
frenando y hasta invirtiendo la tasa de crecimiento de la variable. Además, se tiene que una ecuación de
estimación es válida solamente en el mismo intervalo en que la muestra fue tomada inicialmente. Es claro que
cualquier análisis de serie temporal nos pide que observemos uno o dos periodos más allá del intervalo de datos
que hemos recogido. Esto puede tener un buen resultado en los negocios. Muchos analistas se meten en
problemas al extrapolar muchos años en el futuro la serie temporal de recuperación de una compañía cuyo
crecimiento ha sido rápido. Recuerde que ningún árbol crece hasta el cielo
Ejercicio 4.7. Obtenga la ecuación cuadrática de tendencia secular para los datos de la tabla 4.1,
correspondientes a los volúmenes importados, después estime la cantidad que se espera exportar para el ciclo
2000-2001.
Ejercicio 4.8. Encuentre la ecuación cuadrática de tendencia secular para los datos de la tabla 4.1, que
corresponden al valor de las importaciones y prediga la cantidad de dólares que se espera obtener para el ciclo
2000-2001.
Ejercicio 4.9. Halle la ecuación cuadrática de tendencia secular para los datos correspondientes a las cantidades
producidas de la tabla 4.1 y pronostique la cantidad de superficie que ese espera cosechar para el ciclo 2000-
2001.
4.6. Métodos de suavización y descomposición de una serie de tiempo.
Al observar los datos de la tabla 4.1, nuestra primera impresión visual de las tendencias globales a largo plazo o
movimientos de tendencia en la serie se ve oscurecida por la cantidad de variación de un año a otro. Por ejemplo,
si elegimos los datos correspondientes a los volúmenes anuales producidos y observamos su comportamiento en
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la gráfica 4.1, podemos observar la variabilidad existente año tras año. Se hace, entonces difícil juzgar si
realmente existe en la serie algún efecto de tendencia hacia arriba o hacia abajo a largo plazo. En situaciones
como estas, puede usarse el método de promedios móviles o el de suavizamiento exponencial para suavizar una
serie y, en consecuencia, darnos una impresión global del patrón de movimiento en los datos respecto al tiempo.
Los métodos de suavizamiento antes mencionados, proporcionan pronósticos que son, en un sentido o en otro,
promedios de valores pasados. Si los datos muestran una tendencia pronunciada, estos pronósticos tienden por lo
mismo a estar retardados en relación con la tendencia. Además, estos métodos ignoran por lo general los factores
estacionales.
Producción de café
0
1,000
2,000
3,000
4,000
5,000
6,000
7,000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Ciclo
Mil
es
de
sa
co
s d
e
60
kg
.s
Gráfica 4.2. Comportamiento de la producción de café.
4.6.1. Promedios móviles.
El método de promedios móviles para suavizar una serie de tiempo de tiempo es altamente subjetivo y
dependiente de la longitud del periodo elegido para la construcción de los promedios. Para eliminar las
fluctuaciones cíclicas, el periodo escogido debe ser un valor entero que corresponda a la duración promedio
estimada de un ciclo (o múltiplo de éste.) Los promedios móviles para un periodo de longitud L consisten de una
serie de medias aritméticas calculadas en el tiempo de tal modo que cada media se calcula para una secuencia de
valores observados que tienen esa longitud L.
Por ejemplo, los promedios móviles de tres años consisten en una serie de medias obtenidas en el tiempo a través
del cálculo del promedio de secuencias consecutivas que contienen 3 valores observados. En general, para
cualquier serie compuesta de n años, un promedio móvil de longitud L, denotado por )(LMAi puede calcularse al
año i de la manera siguiente:
2
12
2
11
2
1121
21
Ln,,
L,
Li;Y
L)L(MA
/)L(
/)L(t
tii
en la que L tiene un número impar de años o periodos. Por ejemplo, suponga que deseamos calcular los
promedios móviles de tres años de una serie que contiene 11 años o periodos. . Puesto que 3L y la serie
contiene 11n años, entonces i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10. Por lo tanto se tiene:
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10113
13 YYY)(MA
2102
3
13 YYY)(MA
32133
13 YYY)(MA
4324
3
13 YYY)(MA
54353
13 YYY)(MA
6546
3
13 YYY)(MA
76573
13 YYY)(MA
8768
3
13 YYY)(MA
98793
13 YYY)(MA
109810
3
13 YYY)(MA
Notemos que cuando el periodo escogido de longitud L es un número impar, el promedio móvil )(LMAi al año i
está centrado en i, el año central de la secuencia de L valores anuales utilizados para calcularlo. Apreciemos
también que ningún promedio móvil puede obtenerse para los primeros 2
1)L( años o periodos o para los
últimos 2
1)L( años o periodos de la serie. Por lo tanto, en un promedio móvil de 3 años, no podemos hacer
cálculos para el primer año o periodo o para el último año o periodo de la serie.
Ejemplo 4.3. Calcular los promedios móviles de tres años de la serie correspondiente a la producción anual de
café dada en la tabla 4.1.
Solución. Utilizando el método de arriba tenemos que
96541595586415053
132 ,,,,)(MA
8534100530051594
3
137 ,,,,)(MA
72244214159558643
133 ,,,,)(MA
0675801410053005
3
138 ,,,,)(MA
356541164421415953
134 .,,,,)(MA
9654750480141005
3
139 ,,,,)(MA
23241594116442143
135 ,,,,)(MA
7224193675048014
3
1310 ,,,,)(MA
52543005159411643
136 ,,,,)(MA
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Los cálculos anteriores se resumen en la tabla 4.4
TABLA 4.4. PROMEDIO MÓVILES DE TRES AÑOS PARA LA PRODUCCIÓN DE CAFÉ.
PERIODO
VOLUMEN
PRODUCIDO (Miles
de sacos de 60 Kg.)
PROMEDIO
MOVIL
de tres años.
1989-90 5,150 -
1990-91 4,586 4965
1991-92 5,159 4722
1992-93 4,421 4565.3
1993-94 4,116 4232
1994-95 4,159 4525
1995-96 5,300 4853
1996-97 5,100 5067
1997-98 4,801 4965
1998-99 4,750 4722
1999-2000 6,193 -
Así, la técnica de los promedios móviles nos indica que el pronóstico para el ciclo 2000-2001 es de 4,722 miles
de sacos de 60 kg. y este pronóstico cambiará cuando se reporte el volumen producido del ciclo 2000-2001. En
la figura 4.2 podemos observar el efecto de suavizamiento que se tuvo con los promedios móviles de tres ciclos.
0
1,000
2,000
3,000
4,000
5,000
6,000
7,000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11Miles de sacos de 60 kgs.
Ciclo
Producción de café
Figura 4.3. Suavizamiento con promedios móviles de tres ciclos.
Los promedios móviles tienen el efecto de suavización en las variaciones grandes de datos. Este efecto de
suavizamiento ocurre porque observaciones inusualmente pequeñas se promedian con otros valores, y por lo
tanto su impacto se mitiga. Entre más grande sea el número de periodos en un promedio móvil, más pronunciado
será el efecto de suavización.
Datos originales
Promedio móvil de 3 períodos
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Ejercicio 4.10. Halle los promedios móviles de 5 años para los volúmenes producidos de la tabla 4.4.
4.6.2. Suavización exponencial.
La suavización exponencial es un tipo específico de promedio móvil, pero su naturaleza es muy diferente del
cálculo convencional del promedio que se describió en la sección anterior. Al calcular un promedio móvil
convencional, a cada elemento del periodo de ponderación se le asigna un valor específico, pero no se da ningún
valor a los elementos que están fuera del periodo. Por ejemplo, cuando calculamos los promedios móviles para
tres años, a cada elemento del periodo de ponderación se le asignó el valor de 1 pero a los elementos no
incluidos en dichos conjuntos se les da el valor de 0 no se da ningún valor a los elementos que están fuera del
periodo.
En la suavización exponencial, el valor St , uniformado en el tiempo t, es un promedio ponderado del valor yt ,
observado en el mismo tiempo t , con todos los demás valores históricos de la serie ,,y,y tt 21 y con 1y . Esto
no se hace evidente enseguida con la forma en que se calculan los valores suavizados. En la práctica,
comenzamos haciendo que 1S , el primer valor de la serie de valores uniformados, sea igual a 1y , que es el
primer valor real de la serie, conforme avanzamos, en cada nuevo periodo de tiempo, el nuevo valor suavizado
corresponde a veces el valor observado, real, de y e incrementado con el producto de 1 por el valor
previamente suavizado de y, donde , la constante de suavización, es una fracción, entre 0 y 1, que se puede
elegir a discreción. Si 1 , la información previa se ignora y si 0 , la información actual se ignora.
122 1 SyS
el tercero es
233 1 SyS
siguiendo con secuencia, se tiene que el valor suavizado del periodo de tiempo t es
11 ttt SyS
Para observar que el valor asignado a cada observación en la serie disminuye exponencialmente, basta sustituir
211 1 ttt SyS en la fórmula 11 ttt SyS y después sustituir, en la relación encontrada
322 1 ttt SyS , etc. Según el valor que se le dé a los valores asignados a los ya obtenidos en la
serie disminuyen poco más o menos rápido y, si el proceso de obtención del promedio se continúa lo suficiente,
llega el momento en el que los valores iniciales tienen muy poco efecto en el valor suavizado actual.
El valor seleccionado de es crucial, si el valor de es demasiado grande, daremos un valor muy grande a los
datos actuales, a conforme aparezcan, y no suavizaremos adecuadamente las variaciones irregulares y, si es
demasiado pequeño, daremos un valor muy pequeño a los datos actuales de la serie y el promedio móvil será
insensible a las variaciones que se puedan efectuar en realidad. Como se desea producir un pronóstico con el
error más pequeño posible, el valor de que minimiza el cuadrado medio del error
1CME
2
n
yS tt
debe ser óptimo. Sin embargo, el ensayo y el error sirve con frecuencia como el mejor método para determinar el
valor de apropiado.
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Ejemplo. 4.11. Suavizar la serie de los volúmenes de producción de la tabla 4.4 utilizando la
suavización exponencial, primero con la constante de suavización 20. y posteriormente con la constante de
suavización 5.0 .
Solución: Utilizando la relación 11 ttt SyS y tomando S1 = 5,150 se tiene para 2.0 ,
2037515052012058642 .,,..,S ,
60615203752012015953 .,.,..,S
Siguiendo esta misma secuencia se obtienen los datos que aparecen en la tabla 4.5.
TABLA 4.5. SUAVIZACIÓN EXPONENCIAL DE LOS VOLÚMENES DE CAFÉ PRODUCIDOS.
PERIODO
VOLUMEN
PRODUCIDO (Miles
de sacos de 60 Kg.)
St
2.0
St
5.0
1989-90 5,150 5150 5150
1990-91 4,586 5037.20 4868.00
1991-92 5,159 5061.56 5013.50
1992-93 4,421 4933.45 4717.25
1993-94 4,116 4769.96 4416.63
1994-95 4,159 4647.77 4287.81
1995-96 5,300 4778.21 4793.91
1996-97 5,100 4842.57 4946.95
1997-98 4,801 4834.26 4873.98
1998-99 4,750 4817.41 4811.99
1999-2000 6,193 5092.52 5502.49
La figura 4.3 muestra la gráfica de los datos originales y las de las dos series suavizadas, en ella se puede
observar que el pronunciamiento de la suavización con 20. es más estable que la serie con 50. y esto es
lo que se busca cuando nuestro objetivo consiste en promediar las variaciones de los datos año tras año ( que,
según suponemos, son meramente fluctuaciones aleatorias), en vez de responder a ellas como lo hace la serie con
50. . Desde luego, cuando se utiliza la suavización exponencial para ayudarse a predecir, por ejemplo, una
demanda futura de un producto en el mercado, deseamos obtener respuestas rápidas a cualquier variación que
pueda ocurrir en el nivel de la demanda (por ejemplo, un incremento gradual importante, previsto como
resultado de una intensa campaña publicitaria); esto sugiere que, cuando menos por un tiempo, debemos utilizar
un valor de relativamente grande.
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Figura 4.4. Serie de tiempo, suavizada exponencialmente
Ejercicio 4.11. Suavice la serie de tiempo correspondiente a las cantidades exportadas de café, de la tabla 4.1,
usando primeramente 2.0 y después 4.0 .
Ejercicio 4.12. Suavice la serie de tiempo correspondiente a las superficies cosechadas de café, de la tabla 4.1,
usando primeramente 3.0 y después 5.0 .
4.7. Variación estacional.
Ahora consideraremos el problema de medir aquellos movimientos de una serie de tiempo, que recurren poco
más o menos con regularidad en los mismos meses de años sucesivos. A la medida de esta variación estacional la
llamamos índices de variación estacional o índice estacional. Por ser mensuales los datos, un índice estacional
consta de 12 números, uno cada mes, y cada uno de ellos expresa la actividad de ese mes en particular como
porcentaje de la actividad de ese mes en particular como porcentaje de la actividad del mes promedio. Por
ejemplo, si el índice estacional de las ventas de un comerciante en agosto es 92, esto quiere decir que las ventas
de agosto suelen ser equivalentes al 92% de las ventas del mes promedio. Utilizamos la expresión “suelen ser”
porque el porcentaje real de un mes dado varía más o menos ampliamente de un año a otro, y el 92% es un
promedio de estos porcentajes.
Aunque los índices estacionales suelen determinarse en forma mensual, se pueden elaborar para otras
subdivisiones de un año, es decir, en periodos trimestrales o semanales. En relación con datos trimestrales, un
índice estacional consta de cuatro números, donde cada uno expresa la actividad de ese trimestre como
porcentaje de la actividad del trimestre promedio. En cuanto a los datos semanales, el índice consta de 52
números y cada uno de ellos expresa la actividad de esa semana en particular como un porcentaje de la actividad
de la semana promedio. En esta sección nos concentraremos principalmente a las variaciones estacionales
Producción de Café
0
1,000
2,000
3,000
4,000
5,000
6,000
7,000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Ciclo de producción
Ca
nti
da
d e
n m
ile
s d
e s
ac
os
de
60 k
g.
Datos originales 2.0
5.0
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mensuales ya que el procedimiento que se muestra con los índices mensuales se puede adaptar fácilmente a otros
periodos de tiempo.
Existen muchas formas de medir las variaciones estacionales o de elaborar un índice estacional. Estas varían
desde las medidas más bies toscas, basadas en operaciones muy simples, hasta medidas altamente refinadas, con
base en técnicas que implican el uso de una computadora. En esta sección ilustraremos la elaboración de un
índice estacional por medio del método básico de la razón del promedio móvil o del porcentaje del promedio
móvil. Para ilustrar el cálculo de un índice estacional, emplearemos la serie que muestra los porcentajes
mensuales de inflación desde enero 1980 hasta julio de 2001. Los datos originales proporcionados por INEGI
aparecen en la tabla 4.6. El patrón inflacionario estacionario es muy marcado y una tendencia relativamente
descendente son evidentes, al observar la gráfica de la figura 4.5.
TABLA 4.6. PORCENTAJE DE INFLACIÓN MENSUAL EN MÉXICO DESDE 1995*.
PERIODO
Inflación
Respecto
al Mes Anterior
PERIODO Inflación Respecto
al Mes Anterior PERIODO
Inflación Respecto
al Mes Anterior
1995/01 3.76 1997/04 1.08 1999/07 0.66
1995/02 4.24 1997/05 0.91 1999/08 0.56
1995/03 5.90 1997/06 0.89 1999/09 0.97
1995/04 7.97 1997/07 0.87 1999/10 0.63
1995/05 4.18 1997/08 0.89 1999/11 0.89
1995/06 3.17 1997/09 1.25 1999/12 1.00
1995/07 2.04 1997/10 0.80 2000/01 1.34
1995/08 1.66 1997/11 1.12 2000/02 0.89
1995/09 2.07 1997/12 1.40 2000/03 0.56
1995/10 2.06 1998/01 2.18 2000/04 0.57
1995/11 2.47 1998/02 1.75 2000/05 0.37
1995/12 3.26 1998/03 1.17 2000/06 0.59
1996/01 3.59 1998/04 0.94 2000/07 0.39
1996/02 2.33 1998/05 0.80 2000/08 0.55
1996/03 2.20 1998/06 1.18 2000/09 0.73
1996/04 2.84 1998/07 0.96 2000/10 0.69
1996/05 1.82 1998/08 0.96 2000/11 0.85
1996/06 1.63 1998/09 1.62 2000/12 1.08
1996/07 1.42 1998/10 1.43 2001/01 0.55
1996/08 1.33 1998/11 1.77 2001/02 -0.07
1996/09 1.60 1998/12 2.44 2001/03 0.63
1996/10 1.25 1999/01 2.53 2001/04 0.50
1996/11 1.52 1999/02 1.34 2001/05 0.23
1996/12 3.20 1999/03 0.93 2001/06 0.24
1997/01 2.57 1999/04 0.92 2001/07 -0.26
1997/02 1.68 1999/05 0.60
1997/03 1.24 1999/06 0.66
*FUENTE: Banco de México. Indices de Precios.
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Inflación mensual en México
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 5 9
13
17
21
25
29
33
37
41
45
49
53
57
61
65
69
73
77
Meses
Po
rce
nta
je
Figura 4.5. Inflación mensual en México desde enero 1995 hasta julio de 2001.
Ejemplo 4.12. Calcule un índice estacional anual de los porcentajes mensuales de inflación de la tabla 4.6, por
medio del método básico de la razón del promedio móvil.
Solución. El primer paso del procedimiento consiste en determinar los totales móviles de los 12 meses de 1995,
éstos aparecen en la columna 2 de la tabla 4.7, El primer dato de esta columna 42.78 se obtiene sumando los 12
meses de 1995, el segundo dato se obtiene sumando los datos de febrero de 1995 hasta febrero de 1996, y así
sucesivamente.
Con el propósito de obtener un promedio móvil de 12 meses centrado en los datos originales, calculamos a
continuación los totales móviles de 12 meses, con las anotaciones de la columna 2 de la tabla 4.7. Estos datos
aparecen en la columna 3, donde el primer valor 85.39 es la suma de los dos primeros valores de la columna 2, el
segundo valor 83.31 es la suma del segundo y tercer de la columna 2, etc. Estos datos están colocados al mismo
nivel que los datos de la columna 2. Por consiguiente, están alineados o centrados con los datos originales.
Como cada anotación en la columna 2 es la suma de 12 cifras mensuales y cada registro de la columna 3 es la
suma de dos datos de la columna 2, o en total, la suma de 24 cifras mensuales, obtenemos por último el
promedio móvil centrado, de 12 meses, que se muestran en la columna 4, luego de dividir cada registro de la
columna 3 entre 24. Estos valores de los promedios móviles son las estimaciones de la tendencia del ciclo y,
ahora, las usamos para eliminar las componentes CT de la serie original. Esto se logra dividiendo los datos
ICST (tendencia secular, variación estacional, variación cíclica y variación irregular, datos de la columna 1)
originales, mes a mes, entre las estimaciones CT correspondientes, (es decir, entre los valores correspondientes
del promedio móvil, datos de la columna 4, lo cual nos deja IS ) y las razones obtenidas se multiplican por 100.
De este modo, llegamos a los porcentajes del promedio móvil que se muestran en la columna 5.
Lo único que nos falta es eliminar de la mejor manera posible las variaciones irregulares y, para esto
acomodamos los datos de la columna 5 en las columnas fechadas de la tabla 4.8.
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TABLA 4.7. TOTALES MÓVILES DE 12 MESES, TOTAL MÓVIL DE 2 MESES Y PORCENTAJES
MÓVILES DE 12 MESES DE LA INFLACIÓN MENSUAL EN MÉXICO.
Mes
Porcentajes
(1)
Total Móvil de
12 meses
(2)
Total Móvil de
dos meses
(3)
Total Móvil de
12 meses
centrado
(4)
Porcentajes
del promedio móvil
de 12 meses
(5)
1995/01 3.76
1995/02 4.24
1995/03 5.9
1995/04 7.97
1995/05 4.18
1995/06 3.17
1995/07 2.04 42.78
1995/08 1.66 42.61 85.39 3.56 46.66
1995/09 2.07 40.7 83.31 3.47 59.63
1995/10 2.06 37 77.7 3.24 63.63
1995/11 2.47 31.87 68.87 2.87 86.08
1995/12 3.26 29.51 61.38 2.56 127.47
1996/01 3.59 27.97 57.48 2.40 149.90
1996/02 2.33 27.35 55.32 2.31 101.08
1996/03 2.2 27.02 54.37 2.27 97.11
1996/04 2.84 26.55 53.57 2.23 127.24
1996/05 1.82 25.74 52.29 2.18 83.53
1996/06 1.63 24.79 50.53 2.11 77.42
1996/07 1.42 24.73 49.52 2.06 68.82
1996/08 1.33 23.71 48.44 2.02 65.90
1996/09 1.6 23.06 46.77 1.95 82.10
1996/10 1.25 22.1 45.16 1.88 66.43
1996/11 1.52 20.34 42.44 1.77 85.96
1996/12 3.2 19.43 39.77 1.66 193.11
1997/01 2.57 18.69 38.12 1.59 161.80
1997/02 1.68 18.14 36.83 1.53 109.48
1997/03 1.24 17.7 35.84 1.49 83.04
1997/04 1.08 17.35 35.05 1.46 73.95
1997/05 0.91 16.9 34.25 1.43 63.77
1997/06 0.89 16.5 33.4 1.39 63.95
1997/07 0.87 14.7 31.2 1.30 66.92
1997/08 0.89 14.31 29.01 1.21 73.63
1997/09 1.25 14.38 28.69 1.20 104.57
1997/10 0.8 14.31 28.69 1.20 66.92
1997/11 1.12 14.17 28.48 1.19 94.38
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Mes Porcentaje Total Móvil de
12 meses
Total Móvil de
dos meses
Total Móvil de
12 meses
centrado
Porcentajes
del promedio móvil
de 12 meses
1997/12 1.4 14.06 28.23 1.18 119.02
1998/01 2.18 14.35 28.41 1.18 184.16
1998/02 1.75 14.44 28.79 1.20 145.88
1998/03 1.17 14.51 28.95 1.21 96.99
1998/04 0.94 14.88 29.39 1.22 76.76
1998/05 0.8 15.51 30.39 1.27 63.18
1998/06 1.18 16.16 31.67 1.32 89.42
1998/07 0.96 17.2 33.36 1.39 69.06
1998/08 0.96 17.55 34.75 1.45 66.30
1998/09 1.62 17.14 34.69 1.45 112.08
1998/10 1.43 16.9 34.04 1.42 100.82
1998/11 1.77 16.88 33.78 1.41 125.75
1998/12 2.44 16.68 33.56 1.40 174.49
1999/01 2.53 16.16 32.84 1.37 184.90
1999/02 1.34 15.86 32.02 1.33 100.44
1999/03 0.93 15.46 31.32 1.31 71.26
1999/04 0.92 14.81 30.27 1.26 72.94
1999/05 0.6 14.01 28.82 1.20 49.97
1999/06 0.66 13.13 27.14 1.13 58.36
1999/07 0.66 11.69 24.82 1.03 63.82
1999/08 0.56 10.5 22.19 0.92 60.57
1999/09 0.97 10.05 20.55 0.86 113.28
1999/10 0.63 9.68 19.73 0.82 76.63
1999/11 0.89 9.33 19.01 0.79 112.36
1999/12 1 9.1 18.43 0.77 130.22
2000/01 1.34 9.03 18.13 0.76 177.39
2000/02 0.89 8.76 17.79 0.74 120.07
2000/03 0.56 8.75 17.51 0.73 76.76
2000/04 0.57 8.51 17.26 0.72 79.26
2000/05 0.37 8.57 17.08 0.71 51.99
2000/06 0.59 8.53 17.1 0.71 82.81
2000/07 0.39 8.61 17.14 0.71 54.61
2000/08 0.55 7.82 16.43 0.68 80.34
2000/09 0.73 6.86 14.68 0.61 119.35
2000/10 0.69 6.93 13.79 0.57 120.09
2000/11 0.85 6.86 13.79 0.57 147.93
2000/12 1.08 6.72 13.58 0.57 190.87
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Mes
Porcentajes
(1)
Total Móvil de
12 meses
(2)
Total Móvil de
dos meses
(3)
Total Móvil de
12 meses
centrado
(4)
Porcentajes
del promedio móvil
de 12 meses
(5)
2001/01 0.55 6.37 13.09 0.55 100.84
2001/02 -0.07 5.72
2001/03 0.63
2001/04 0.5
2001/05 0.23
2001/06 0.24
2001/07 -0.26
Entre las diversas formas que podríamos utilizar para promediar las cifras que se dan en relación con cada mes,
elegimos aquí la media (pudo haber sido la mediana, la moda o media modificada), las doce medias se muestran
en la octava columna de la Tabla 4.8. Ahora bien, como se supone que el índice estacional de cada mes es un
porcentaje del mes promedio, la suma de los doce valores debe ser igual a 1,200. En realidad, las medias
totalizan 1,158.91 y, por eso ajustamos todo multiplicando cada una de las medias por ;..
03551911581
2001 así, la
suma de los índices estacionales da 1,200. En algunos casos el ajuste para obtener el índice es mucho mayor que
el aplicado en este ejemplo y por lo tanto habrá que hacer un pequeño ajuste para que la suma dé 1,200.
TABLA 4.8. CÁLCULO DE LOS ÍNDICES ESTACIONALES.
Mes 1995 1996 1997 1998 1999 2000 Media Indice
estacional
Enero 101.08 109.48 145.88 100.44 120.07 115.39 119.48
Febrero 97.11 83.04 96.99 71.26 76.76 85.03 88.05
Marzo 127.24 73.95 76.76 72.94 79.26 86.03 89.08
Abril 83.53 63.77 63.18 49.97 51.99 62.49 64.70
Mayo 77.42 63.95 89.42 58.36 82.81 74.39 77.03
Junio 68.82 66.92 69.06 63.82 54.61 64.65 66.94
Julio 46.66 65.90 73.63 66.30 60.57 80.34 65.57 67.89
Agosto 59.63 82.10 104.57 112.08 113.28 119.35 98.50 101.99
Septiembre 63.63 66.43 66.92 100.82 76.63 120.09 82.42 85.34
Octubre 86.08 85.96 94.38 125.75 112.36 147.93 108.74 112.60
Noviembre 127.47 193.11 119.02 174.49 130.22 190.87 155.86 161.39
Diciembre 149.90 161.80 184.16 184.90 177.39 100.84 159.83 165.50
1 158.91 1200
La interpretación de los índices estacionales es directa. Por ejemplo, en el caso que acabamos de analizar, el
porcentaje de inflación mensual en el mes de enero suelen ser equivalentes al 119.48% del mes promedio, suelen
ser mínimos en abril, junio y julio y máximos en noviembre, diciembre y enero.
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Sin embargo, obsérvese que, al utilizar un índice estacional para un fin cualquiera, siempre debemos ser
cuidadosos con sus limitaciones. Un índice se basa en datos históricos (del pasado) y no podemos esperar en
forma razonable que los patrones estacionales se mantengan completamente constantes durante largos periodos
de tiempo. El método que hemos ejemplificado aquí, se aplica a la descripción de patrones estacionales
constantes o de aquellos que no cambian mucho. Si existen cambios pronunciados en el patrón estacional con el
paso del tiempo, será adecuado el tipo de índice que hemos estudiado.
Ejercicio 4.13. Calcule un índice estacional, usando promedios móviles trimestrales de los porcentajes
mensuales de inflación de la tabla 4.6, por medio del método básico de la razón del promedio móvil.
4.8. Datos ajustados en forma estacional.
Los índices estacionales son de extrema importancia en diversas aplicaciones prácticas. Explicaremos
brevemente dos de ellas: la primera en la desestacionalización de datos y la segunda en la elaboración de
pronósticos. Describiremos primeramente el proceso de eliminación de las influencias estacionales en un
conjunto determinando de datos. Es decir, la desestacionalización de una serie.
El proceso de anulación de la variación estacional, o desestacionalización de datos, consiste meramente en
dividir cada valor de una serie entre el valor correspondiente al índice estacional y multiplicar el resultado por
100 (o dividir entre el valor correspondiente al índice estacional escrito como una proporción). La lógica de este
proceso es muy simple: si los porcentajes de la inflación del mes de abril equivalen a 64.7% del mes promedio,
la cifra %56.1547.64
100 de los porcentajes de inflación del mes de abril nos indicará cuales deberían haber sido
estos porcentajes si no hubiese habido una variación estacional.
Ejemplo 4.13. Desestacionalice los porcentajes de inflación, en el año 2,000, mediante el uso del índice que se
elaboró en el problema anterior.
Solución. La tabla 4.9 se presentan los datos de los porcentajes de inflación y el índice estacional que fueron
tomados de la tabla 4.7, con los valores del índice estacional dados como proporciones y redondeados hasta
centésimos.
TABLA 4.9. PORCENTAJES MENSUALES DE INFLACIÓN
DEL AÑO 2,000 DESESTACIONALIZADOS.
Mes Porcentaje Indice
estacional
Porcentajes
desestacionalizados
2000/01 1.34 1.19 1.13
2000/02 0.89 0.88 1.01
2000/03 0.56 0.89 0.63
2000/04 0.57 0.65 0.88
2000/05 0.37 0.77 0.48
2000/06 0.59 0.67 0.88
2000/07 0.39 0.68 0.57
2000/08 0.55 1.02 0.54
2000/09 0.73 0.85 0.86
2000/10 0.69 1.13 0.61
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2000/11 0.85 1.61 0.53
2000/12 1.08 1.66 0.65
12.0
En la tabla 4.9 se pueden observar varios hechos interesantes. Por ejemplo, hubo un incremento de 0.23 por
ciento en la inflación, de noviembre a diciembre del año 2000. Sin embargo, esto no es para preocuparse ya que
los datos desestacionalizados muestran que, en realidad, este incremento fue menor de lo que se hubiera
esperado según los patrones estacionales comunes. Del mismo modo, hubo una disminución de enero a febrero
del año 2000 de 0.45 por ciento. Esto ya era de esperarse, ya que los datos desestacionalizados muestran que esta
disminución era exactamente la que se debía haber esperado, de acuerdo con los patrones estacionales comunes.
Con estas observaciones, debe ser obvia la necesidad de tomar en cuenta la variación estacional en el análisis de
las series comerciales y económicas de tiempo.
Ejercicio 4.14. Desestacionalice los porcentajes de inflación, en el año 2,000, mediante el uso del índice que
elaboró en el ejercicio 4.13.
4.9. Extrapolación.
Ahora que ya estamos familiarizados con las series de tiempo y que sabemos como medir algunas de sus
componentes, analizaremos brevemente el problema enormemente complicado de los pronósticos en series de
tiempo. El motivo para basar los pronósticos en series de tiempo es que, habiendo observado alguna regularidad
en el movimiento de los datos a través del tiempo, tendremos la esperanza de lo “que ha sucedido en el pasado
seguirá sucediendo, en mayor o menor grado, o volverá a suceder en el futuro.” Por lo tanto, la manera evidente
de pronosticar la tendencia de una serie de tiempo consiste en realizar una extrapolación a partir de la ecuación
de tendencia que describe los datos históricos. Por “extrapolación” nos referimos a extender la tendencia al
futuro para estimar un valor que está fuera de la escala o intervalo de los valores utilizados para obtener la
ecuación de tendencia.
Ejemplo 4.14. Usando los últimos 19 datos de los porcentajes mensuales de inflación dados en la tabla 4.7 y los
índices estacionales de la tabla 4.8, estime los porcentajes de inflación para los meses de agosto a diciembre de
2001.
Solución. Aplicando las fórmulas de la sección 4.4 a los porcentajes que aparecen en la tabla 4.10, obtenemos la
ecuación de tendencia
xY 0386.0935.0ˆ
en donde, enero de 2000 es el origen (x = 1); unidades de x: un mes; y: es el porcentaje de inflación.
Para calcular los datos que aparecen en la segunda columna de la tabla 4.10, sustituimos x = 20 para obtener el
valor de tendencia del mes de agosto, x = 21 para obtener el valor de septiembre, etc. Sin embargo, existe una
variación muy pronunciada en la inflación, que se debe a las influencias estacionales. Generalmente, la inflación
sube mucho en noviembre, diciembre y enero y baja en abril, junio y julio. De hecho un índice estacional,
calculado con datos históricos recientes por medio del método de la razón del promedio móvil, muestra, por
ejemplo, que el porcentaje de inflación de abril equivale tan sólo del 65% y el de diciembre del 166% de los
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porcentajes inflacionarios que se lograrían, si no hubiere una variación estacional. Los índices completos, como
proporciones, se muestran en la tercera columna de la tabla 4.9.
TABLA 4.10. PRONÓSTICOS PARA LOS MESES DE AGOSTO A DICIEMBRE DE 2001.
Mes
Valor de
Tendencia
%
Indice
estacional
Porcentaje de
inflación provisto
para el mes
2001/08 0.163 1.02 0.166
2001/09 0.1244 0.85 0.1057
2001/10 0.0858 1.13 0.097
2001/11 0.0472 1.61 0.076
2001/12 0.0086 1.66 0.014
Suponiendo que el patrón estacional no sufre cambios y que se describe adecuadamente con el índice estacional,
completamos la solución de este ejemplo al multiplicar el valor de la tendencia de cada uno de los 5 meses por el
índice estacional del propio mes. Es decir, multiplicamos el valor de la tendencia de agosto por 1.02, el de
septiembre por 0.85, y así sucesivamente, con lo que se obtienen los porcentajes mensuales de inflación
pronosticada para los meses de agosto a diciembre de 2001, los cuales se ilustran en la tabla 4.10. Si no hubiera
variación estacional, se esperaría que el porcentaje de inflación de agosto fueran 12160341
1630.
.
. , o sea 12.16%
superiores a las de enero del 2000 en virtud de la tendencia ascendente de los porcentajes de inflación; tomando
en cuenta las influencias estacionales, el porcentaje de inflación de agosto, se proyecta en 30180550
1660.
.
. es
decir, 30.18% más alto que el porcentaje dado en el mes de enero de 2001.
Lo que hemos hecho para obtener estas predicciones de los porcentajes mensuales de inflación en nuestro país es
precisamente lo contrario a la desestacionalización de datos. Hemos introducido los patrones estacionales en los
datos (en lugar de eliminarlos), multiplicando los valores de cada tendencia por los valores correspondientes de
los índices estacionales, escritos como proporciones. Estos productos de la medida de la tendencia y de la
variación estacional, o sea, ST , son los valores que esperaríamos obtener si las fuerzas de la tendencia y de la
variación estacional fuesen los únicos que ejercieran influencia sobre los valores de una serie; frecuentemente, se
les llama valores normales.
Ejercicio 4.14. Usando los últimos 19 datos de los porcentajes mensuales de inflación dados en la tabla 4.7 y los
índices estacionales que obtuvo en el ejercicio anterior, estime los porcentajes de inflación para los meses de
agosto a diciembre de 2001.
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