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Estadística I Aplicada a la Administración, Contaduría, Informática Administrativa, Economía, Negocio y Comercio Internacionales y Finanzas.

Tema IV. Introducción al Análisis de Series de Tiempo y Pronóstico Notas del Dr. Francisco Javier Tapia Moreno. Noviembrede 2013.

Universidad de Sonora Departamento de Matemáticas 1

UNIVERSIDAD DE SONORA

División de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Matemáticas

Estadística Aplicada a las Licenciaturas: Administración, Contaduría e Informática

Administrativa.

Fascículo IV:

Introducción al Análisis de Series de Tiempo y

Pronóstico

Dr. Francisco Javier Tapia Moreno




Prólogo.

Este es el cuarto folleto correspondiente al Tema IV de Estadística Aplicada a las Licenciaturas: Negocios y

Comercio Internacionales, Administración, Contaduría e Informática Administrativa que se ofrecen en la

Universidad de Sonora. Los temas presentados aquí son congruentes con el programa vigente de la materia de

Estadística I del área económico- administrativo.

En este cuarto tema del programa, denominado Introducción al Análisis de Series de Tiempo y Pronóstico, el

alumno conocerá los componentes de una serie de tiempo, identificará, en los gráficos de las series, las

variaciones estacionales, cíclicas e irregulares, elaborará gráficos de las series con datos reales y pronosticados e

identificará el comportamiento de una serie de tiempo en problemas relacionados a su área.

Este trabajo se sitúa en el marco de un esfuerzo colectivo realizado por el Departamento de Matemáticas por

dotar al alumno del material didáctico necesario para que éste optimice su proceso de

enseñanza/aprendizaje/formación de las matemáticas.




C O N T E N I D O

Pag.

Tema IV. Introducción al Análisis de Series de Tiempo y Pronóstico 04

4.1. Introducción 04

4.2. Series de tiempo y sus componentes 05

4.3. Análisis de tendencia 07

4.4. Ajuste de la tendencia lineal mediante el método de los mínimos cuadrados 08

4.5. Determinación de una ecuación de segundo grado en una serie temporal 11

4.6. Métodos de suavización y descomposición de una serie de tiempo 13

4.6.1. Promedios móviles 14

4.6.2. Suavización exponencial 16

4.7. Variación estacional 19

4.8. Datos ajustados en forma estacional 25

4.9. Extrapolación 26




Tema IV

Introducción al análisis de series de tiempo y pronósticos

4.1. Introducción.

Puesto que las condiciones económicas y de los negocios varían con el tiempo, los empresarios deben encontrar

formas de conocer los efectos de esos cambios en sus operaciones particulares. Una técnica que los empresarios

y ejecutivos pueden utilizar como una ayuda en la planeación del nivel de necesidades operativas futuras es la

predicción. Aunque se han diseñado numerosos métodos de predicción, todos ellos tienen un objetivo común,

hacer predicciones de casos futuros, de tal manera que estas predicciones puedan, después, ser incorporadas al

proceso de toma de decisiones. Como por ejemplo, nuestro gobierno debe ser capaz de predecir cuestiones como

el desempleo, inflación anual, producción industrial e ingresos de la Secretaría de Hacienda provenientes de

personas físicas y morales, con el propósito de formular sus políticas; mientras que el departamento de

comercialización de una gran empresa que vende productos al menudeo debe ser capaz de predecir la demanda

de los productos, los ingresos por ventas, las preferencias de los consumidores, el inventario, etc., con el fin de

tomar decisiones oportunas respecto a sus estrategias de publicidad.

Básicamente, existen dos planteamientos para la predicción: cualitativa y cuantitativa. Los métodos de

predicción cualitativa son especialmente importantes cuando no se dispone de datos históricos, como sería el

caso, por ejemplo, si el departamento de comercialización desearía pronosticar la venta de un nuevo producto.

Los métodos de predicción cualitativos se consideran altamente subjetivos y sujetos a juicios de opinión. Entre

éstos se encuentra el método de listado de factor, la opinión experta y el método Delphi. Por otro lado, Los

métodos de predicción cuantitativa hacen uso de los datos históricos. El objetivo es estudiar los casos pasados

con el propósito de tener un mejor entendimiento de la estructura subyacente de los datos y, en consecuencia,

proporcionar los medios necesarios para predecir los sucesos futuros.

Un método que pueden utilizar los directivos de los negocios como ayuda para controlar las operaciones

actuales y en la planeación de futuras necesidades (mediante el pronóstico de acontecimientos probables en

producción, ventas, materia prima, mano de obra, etc.) es un análisis de series de tiempos. Una serie de tiempo

es una serie de datos históricos que se miden en instantes o periodos sucesivos.

Así, los precios diarios al cierre de una emisión particular en la Bolsa de Valores, el valor diario del dólar con

respecto al peso mexicano y la inflación mensual que se da en nuestro país constituyen series de tiempos. Otros

ejemplos de series de tiempo en los negocios son los cambios semanales en el porcentaje en las ventas en los

centros comerciales; la publicación mensual de Indice de Precios al Consumidor y los ingresos totales anuales

por ventas de una empresa determinada.

La suposición básica fundamental de las series de tiempo es que los factores que han influido en el pasado y en

el presente en los patrones de la actividad económica continúan haciéndolo más o menos en la misma forma en

el futuro. Por lo tanto, los objetivos principales del análisis de series de tiempo es la de aislar los factores

influyentes para fines de predicción (Pronósticos) así como para la planeación y control por parte de los

administradores. En el mundo comercial, la habilidad para proyectar eventos futuros y tendencias aumenta

enormemente la probabilidad de éxito. Por lo tanto, no es sorprendente que los negocios gasten buena parte de

tiempo y esfuerzo persiguiendo pronósticos exactos de las tendencias y sus evoluciones futuras.




Numerosas herramientas cuantitativas pueden utilizarse para desarrollar proyecciones útiles. Este capítulo

analiza las formas en las cuales pueden utilizarse los datos de series de tiempo para realizar pronósticos y, cómo

estos pronósticos pueden servir para tomar decisiones bien documentadas.

4.2. Series de tiempo y sus componentes. El proceso de desarrollar una predicción comienza con la recolección de datos anteriores durante varios

periodos. El conjunto de datos resultantes se llama una serie de tiempo o serie temporal porque contiene

observaciones para alguna variable durante el tiempo. Los periodos de tiempo varían en duración. Pueden ser

anuales, trimestrales, mensuales e incluso diarios. Los periodos de una sola hora pueden usarse para variables

altamente volátiles como el precio del dólar o para las acciones transadas en la bolsa mexicana de valores.

Como se mencionó en la sección anterior, el propósito de las series de tiempo es predecir o proyectar los valores

futuros de la variable a partir de observaciones anteriores. Un método directo es el método intuitivo de

proyección, el cual presume que el mejor predictor del valor de la variable en el siguiente periodo es su valor en

el periodo corriente. En su forma más simple puede expresarse como:

tt YY 1ˆ

en donde 1

^

tY es el estimado del valor de la serie de tiempo en el siguiente periodo t + 1, y tY es el valor real en

el periodo corriente t. Este método se usa con frecuencia con los datos que no presentan tendencia ascendente o

descendente y cambian de dirección súbitamente. Puesto que la aleatoriedad en los cambios de dirección súbitos

no puede predecirse, se utiliza la observación más reciente como predicción para el siguiente valor. Este método

de pronóstico es el más exitoso para los datos que se recopilan para intervalos cortos de tiempo, tales como los

diarios o semanales. Sin embargo, la mayoría de las series de tiempo son más complejas. Todas las series de

tiempo contienen por lo menos uno de los siguientes cuatro componentes: 1) Tendencia secular, 2) Fluctuación

cíclica, 3) Variación temporal o estacional y 4) Variación irregular. La mayoría de las series de tiempo pueden

ser descritas en términos de su tendencia y su estacionalidad.

1. Tendencia secular. En el primer tipo de variación secular, el valor de la variable tiende aumentar o

disminuir en un periodo muy largo. El incremento estable en los costos de vida registrados en el Indice

de Precios al Consumidor es un ejemplo de tendencia secular. De un año a otro, el costo de la vida varía

bastante, pero si examinamos un periodo a largo plazo, nos damos cuenta de que la tendencia es hacia un

aumento estable. Ver figura 4.1(a).

Figura 4.1 (a).

X

Y

Tiempo en años

Tendencia secular

Serie temporal




2. Fluctuación cíclica. El segundo tipo de variación observado en una serie temporal es la fluctuación

cíclica. El ejemplo más común de fluctuación cíclica es el ciclo de negocios. A través del tiempo, hay

años en que el ciclo de negocios llega a un pico por encima de la línea de tendencia. En otros tiempos, la

actividad de los negocios parece caer, llegando a un punto bajo la línea de tendencia. El tiempo que

ocurre entre picos o puntos bajos es de al menos un año, y puede llegar a durar hasta 15 o 20años. La

Figura 4.1(b) muestra un patrón típico de fluctuación cíclica por encima y por debajo0de la línea de

tendencia secular. Note que los movimientos cíclicos no siguen ningún patrón regular, sino que se

mueven de una forma un tanto impredecible.

Figura 4.1 (b)

3. Variación temporal. El tercer tipo de cambio en los datos de una serie temporal es la variación temporal

o estacional. Como era de esperar, por su nombre, este tipo de variación implica patrones de cambio en

el lapso de un año que tienden a repetirse anualmente. Por ejemplo, un médico puede esperar un

aumento sustantivo del número de casos de gripe cada invierno y de afectados de tifoidea cada verano.

Como se trata de patrones regulares, son útiles en la predicción del futuro. En la figura 4.1(c)

observamos una variación temporal. Note cómo alcanza un pico cada cuatro trimestres del año.

Figura 4.1 (c)

1. Variación irregular. La variación irregular es el cuarto tipo de cambio que se da en el análisis de las

series temporales. En muchas situaciones, el valor de una variable puede ser completamente

impredecible, es decir, cambia de manera aleatoria. Las variaciones irregulares describen tales

movimientos. Un ejemplo de variación irregular es el error de diciembre de 1995 cuando el tipo de

cambio dólar-peso mexicano sufrió una variación súbita a la alza. En la figura 4.1(d) se ilustra la

variación irregular.

X

Y

Tiempo en años

Tendencia secular

Fluctuación cíclica

X

Y

Tiempo en años

Variación temporal




Figura 4.1 (d)

Cabe mencionar que un análisis cuidadoso de los datos de una serie temporal, ayuda a los administradores a

observar tendencias pasadas y a planear las actividades de una futura demanda de los clientes. El tener

conocimiento sobre los tres componentes analizables: tendencia secular, fluctuación cíclica y variación temporal,

permite a los administradores tener recursos suficientes, como personal e inventario, para cubrir las necesidades

de los clientes. Cuando estos tres componentes se entienden bien, resulta mucho más fácil interpretar un patrón

aparente errático de ventas. Entonces la cuarta componente, la variación irregular, posiblemente pueda ser ligada

a una causa identificable. Se puede observar que la liga entre el desempeño medido y las causas se ajusta bien

con un planteamiento de administración para la calidad total en los negocios.

Ejercicio 4.1. ¿Cuál de las cuatro componentes de una serie temporal se usaría para describir el efecto de las

ventas navideñas en la tienda departamental Liverpool?

Ejercicio 4.2. ¿Qué componente de una serie temporal explica el crecimiento y decaimiento de la industria

automotriz en México?

Ejercicio 4.3. Utilizando los cuatro tipos de variación, describa el comportamiento de la inflación mensual en

México de 1970 hasta 2000.

Hasta ahora, nos hemos referido a las series temporales como algo que presenta una de las cuatro variaciones

descritas. Sin embargo, en la mayoría de los casos una serie temporal contendrá varios de estos componentes.

Por lo tanto, podemos describir la variación total en una sola serie temporal en términos de estas cuatro clases

diferentes de variación. En las secciones siguientes examinaremos los cuatro componentes y las formas en que se

mede cada uno de ellos.

4.3. Análisis de tendencia.

La tendencia secular o simplemente la tendencia, representa en comportamiento a largo plazo de la serie. Refleja

la dirección general de la serie temporal como ascendente o descendente. Una manera de describir la

componente que corresponde a la tendencia es ajustando visualmente una recta a un conjunto de puntos de una

gráfica. Sin embargo, cualquier gráfica dada está sujeta a interpretaciones ligeramente diferentes por parte de

individuos diferentes. Podemos también ajustar una línea de tendencia mediante el método de mínimos

cuadrados. En nuestro análisis, nos concretaremos a este método, ya que el ajuste visual de una recta a una serie

de tiempo no es un proceso completamente seguro.

X

Y

Tiempo en años

Variación irregular

temporal




Existen tres razones por las cuales es útil estudiar las tendencias seculares:

1) Nos permite describir un patrón histórico.

2) Nos permite proyectar patrones pasados, o tendencias, hacia el futuro.

3) Nos permite eliminar la componente de tendencia de una serie.

Las tendencias pueden ser lineales o curvilíneas. Antes de examinar el método lineal o de línea recta para

describir tendencias, debemos recordar que algunas relaciones no toman esa forma. El aumento de

contaminantes en el ambiente sigue una curva de pendiente creciente parecida a que se muestra en la figura

4.1(a). Otro ejemplo de una relación curvilínea es el ciclo de vida de un nuevo producto comercial, que se ilustra

en la figura 4.1(b). Cuando se introduce en el mercado un nuevo producto, su volumen de ventas es bajo.

Conforme el producto adquiere reconocimiento y éxito, las ventas unitarias aumentan con rapidez cada vez

mayor. Después de que el producto se establece firmemente, sus ventas unitarias crecen con rapidez constante.

Finalmente, conforme el producto alcanza el fin de su ciclo de vida, las ventas unitarias empiezan a disminuir.

4.4. Ajuste de la tendencia lineal mediante el método de mínimos cuadrados.

Así como existen tendencias que pueden describirse mediante una línea curva, existen otras que se describen

mediante una línea recta. A estas tendencias se las conoce como tendencias lineales. La ecuación para una

tendencia lineal es

bXaY^

donde

e.dependient varialela de estimado valor ^

Y

) tendenciade análisis elen ( nteindependie variable tiempoX .

)XYYa 0 cuando de valor (el eje elcon ón intersecci .

. tendenciade línea la de pendiente b

Podemos describir la tendencia general de muchas series temporales utilizando una línea recta. Utilizando el

método de los mínimos cuadrados, mencionado en la sección anterior, se tiene que la recta de mejor ajuste se

obtiene cuando

22 XnX

YXnXYb

XbYa

en las que:

e.dependient variablela de valoresY

nteindependie variablela de valoresX .




e.dependient variablela de valoreslos de mediaY

nte.independie variablela de valoreslos de mediaX

eje elcon ón intersecci Ya .

pendiente. b

Ejemplo 4.1. Consideremos los datos que se presentan en la tabla 4.1, que ilustran los volúmenes anuales de

producción (en miles de sacos de 60 kg.) de café entre los años de 1989 y 2000 en México. Encontrar la

ecuación que describirá la tendencia secular de los volúmenes anuales

TABLA 4.1. PRODUCCIÓN ANUAL DE CAFÉ ENTRE 1989 Y 2000*.

PERIODO

SUPERFICIE

COSECHADA

(Hectáreas)

VOLUMEN

PRODUCIDO (Miles de

sacos de 60 Kg.)

VOLUMEN

EXPORTADO (Miles

de sacos de 60 Kg.)

VALOR DE LAS

EXPORTACIONES

(Miles de dólares)

1989-90 560,217 5,150 4,359 422,954

1990-91 558,415 4,586 3,506 384,545

1991-92 558,500 5,159 3,119 266,030

1992-93 559,891 4,421 3,061 271,585

1993-94 592,565 4,116 3,150 437,200

1994-95 615,516 4,159 3,257 678,043

1995-96 683,166 5,300 4,579 663,843

1996-97 690,077 5,100 4,381 858,364

1997-98 700,087 4,801 3,882 770,731

1998-99 713,095 4,750 4,085 550,821

1999-2000 713,095 6,193 5,138 668,979

*Fuente: Consejo Mexicano del Café, A.C.

Solución. Con los valores de la tabla 4.1 hacemos la traducción o codificación de los valores de tiempo que se

requieren para calcular los valores de a y b de la ecuación de la recta de mejor ajuste.

TABLA 4.2. TABLA DE CODIFICACIÓN DE LOS VOLÚMENES DE PRODUCCIÓN DADOS EN LA TABLA 4.1.

PERIODO

NUMERO DE

PERIODO

X

VOLUMEN

PRODUCIDO

(Miles de sacos de

60 Kg.)

Y

XY

X2

1989-90 1 5,150 5,150 1

1990-91 2 4,586 9,172 4

1991-92 3 5,159 15,477 9




1992-93 4 4,421 17,684 16

1993-94 5 4,116 20,580 25

1994-95 6 4,159 24,954 36

1995-96 7 5,300 37,100 49

1996-97 8 5,100 40,800 64

1997-98 9 4,801 43,209 81

1998-99 10 4,750 47,500 100

1999-2000 11 6,193 68,123 121

66 X 735,53Y 329,749XY 0652 X

De la tabla 4.2 tenemos que 611

66X y que 8854

11

73553,

,Y utilizando las formulas dadas antes tenemos

que:

71818181866110

3397

611506

8854611749329222

.,

)(

),)()((,

XnX

YXnXYb

y

69090948446718181818668854 .,))(.(,XbYa

Así, la ecuación lineal que describe la tendencia secular en la producción anual de café en México es

X..,bXaY 7266694844

en donde

café de kg. 60 de sacos de estimado anual número Y (en miles) producidos.

X = valor de tiempo que representa al año de producción.

Una vez que se tiene desarrollada la ecuación de tendencia, podemos proyectarla para predecir la variable en

cuestión. Suponga que se desea estimar el número (en miles) de sacos de 60 kgs. de café que se producirán en la

temporada 2000-2001. Para hacer esto, sustituimos el valor de X correspondiente al año 2001 en la ecuación de

tendencia secular, es decir X = 11 obteniendo

12726669484412 ..,Y

2855, miles de sacos de 60 kgs.

Por consiguiente, hemos estimado que para el año 2001 se espera que se produzcan 5,195 miles de sacos de 60

kilogramos de café.




El método de mínimos cuadrados nos da la ecuación de la línea recta que mejor se ajusta a los datos, pero no nos

dice qué tan cerca están estos datos de la línea de ajuste. Una medida de bondad de ajuste es el coeficiente de

correlación , denotado por r . La fórmula para r es

2222

YYnXXn

YXXYnr

Aunque esta fórmula parezca muy complicada, no es difícil de usar si tenemos ya calculada la línea de tendencia.

Tenemos ya calculados XY , X , Y , 2X en la tabla 4.2. del ejercicio 4.1. Por lo tanto se requiere

sólo calcular 2

Y y sustituir estos valores con 11n en la fórmula de r . Los valores para 329,749XY ,

66 X , 73553,Y , 0652 X y 5266,018,502 Y . Por lo tanto,

37280

330753381210

72980

73553505018266116650611

735536674932911

22.

,,

,

,,,

,,r

.

La fórmula del coeficiente de correlación, desarrollada por Karl Pearson, esta diseñada para que 11 r , con

un valor de r cercano a 1 significa que las dos variables crecerán o decrecerán juntas, y existe una fuerte

relación matemática entre ellas. Esto no necesariamente significa que una de las variables tiene efecto directo

sobre la otra. Por ejemplo, el hecho de existir una gran correlación entre el crecimiento del número de escuelas

en una cierta área de la ciudad y el aumento en la venta de licor en esta área, no necesariamente quiere decir que

los estudiantes y maestros están tomando el licor; ambos crecimientos reflejan un crecimiento en la población de

esta área.

Un coeficiente de correlación cercano a –1 indica que hay una fuerte correlación negativa; esto es, una variable

tenderá a decrecer mientras que la otra crecerá. Está generalmente convenido que la correlación entre –0.2 y 0.2

indica una relación no significativa entre las variables.

Ejercicio 4.4. Obtenga la ecuación de tendencia secular para los datos de la tabla 4.1, correspondientes a los

volúmenes importados, después estime la cantidad que se espera exportar para el ciclo 2000-2001.

Ejercicio 4.5. Encuentre la ecuación de tendencia secular para los datos de la tabla 4.1, que corresponden al

valor de las importaciones y prediga la cantidad de dólares que se espera obtener para el ciclo 2000-2001.

Ejercicio 4.6. Halle la ecuación de tendencia secular para los datos correspondientes a las superficies cosechadas

de la tabla 4.1 y pronostique la cantidad de superficie que ese espera cosechar para el ciclo 2000-2001.

4.5. Determinación de una ecuación de segundo grado en una serie temporal.

Muchas series temporales quedan mejor descritas mediante ecuaciones, cuyas gráficas no son líneas rectas. En

estos casos, el modelo lineal no describe de manera adecuada el cambio en la variable conforme avanza el

tiempo y frecuentemente se utiliza una ecuación de segundo grado para describir el comportamiento adecuado de

una serie temporal. La forma general para una ecuación de segundo grado estimada es:




2cXbXaY

en donde

temporal. variablela de scodificado valores

reales. numéricas constantes

e.dependient variablela de estimación

X

c,b,a

Y

Para determinar la ecuación de segundo grado con mejor ajuste a los datos dados, se utiliza también el método de

mínimos cuadrados y los valores de las constantes a, b, y c se obtiene a partir de las tres ecuaciones siguientes.

2

422

2

X

XYb

XcXaYX

XcanY

Ejemplo 4.2. Determine la tendencia parabólica para los datos de la tabla 4.1, correspondiente a las superficies

cosechadas.

Solución. Primeramente hacemos la tabla de codificación para los datos de la tabla 4.1.

TABLA 4.3. TABLA DE CODIFICACIÓN DE LOS VOLÚMENES IMPORTADOS DE CAFÉ.

PERIODO

NUMERO

DE

PERIODO

X

SUPERFICIE

COSECHADA

(Hectáreas)

Y

X Y

X2

X2Y

X4

1989-90 1 560,217 4359 1 4359 1

1990-91 2 558,415 7012 4 14024 16

1991-92 3 558,500 9357 9 28071 81

1992-93 4 559,891 12244 16 48976 256

1993-94 5 592,565 15750 25 78750 625

1994-95 6 615,516 19542 36 117252 1296

1995-96 7 683,166 32053 49 224371 2401

1996-97 8 690,077 35048 64 280384 4096

1997-98 9 700,087 34938 81 314442 6561

1998-99 10 713,095 40850 100 408500 10000

1999-2000 11 713,095 56518 121 621698 14641

Totales 66 6,944,624 43,826,588 506 345,692,438 39,974




Sustituyendo los valores encontrados en la tabla 4.3. en las ecuaciones dadas anteriormente se tiene que:

2173986613506

43,826,588

974395068345,692,43

506116,944,624

.b

c,a

ca

Si resolvemos es sistema de ecuaciones lineales 2x2 tenemos que: 95559043.685a y 21571.42975c . Por lo

tanto, la ecuación cuadrática que se ajusta más a la tendencia de los datos es:

221571.42975217398661395559043.685 XX.Y

Así, si queremos predecir la superficie que se espera cosechar en el ciclo 2003-2004 sólo sustituimos X = 14 en

la ecuación encontrada. Esto es,

6280792

4121571.4297514217398661395559043.6852

,,

.Y

Es decir, se espera que para el ciclo 2000-2001 sean cosechadas 628,079,2 hectáreas de café. Esta predicción es

demasiado grande por lo que sugiere ser más cuidadosos cuando hacemos pronósticos con una curva parabólica.

Una curva parabólica puede volverse un estimador pobre cuando intentamos predecir a un mayor plazo. Al

utilizar el método de la ecuación de segundo grado, también debemos tomar en cuenta factores que pueden estar

frenando y hasta invirtiendo la tasa de crecimiento de la variable. Además, se tiene que una ecuación de

estimación es válida solamente en el mismo intervalo en que la muestra fue tomada inicialmente. Es claro que

cualquier análisis de serie temporal nos pide que observemos uno o dos periodos más allá del intervalo de datos

que hemos recogido. Esto puede tener un buen resultado en los negocios. Muchos analistas se meten en

problemas al extrapolar muchos años en el futuro la serie temporal de recuperación de una compañía cuyo

crecimiento ha sido rápido. Recuerde que ningún árbol crece hasta el cielo

Ejercicio 4.7. Obtenga la ecuación cuadrática de tendencia secular para los datos de la tabla 4.1,

correspondientes a los volúmenes importados, después estime la cantidad que se espera exportar para el ciclo

2000-2001.

Ejercicio 4.8. Encuentre la ecuación cuadrática de tendencia secular para los datos de la tabla 4.1, que

corresponden al valor de las importaciones y prediga la cantidad de dólares que se espera obtener para el ciclo

2000-2001.

Ejercicio 4.9. Halle la ecuación cuadrática de tendencia secular para los datos correspondientes a las cantidades

producidas de la tabla 4.1 y pronostique la cantidad de superficie que ese espera cosechar para el ciclo 2000-

2001.

4.6. Métodos de suavización y descomposición de una serie de tiempo.

Al observar los datos de la tabla 4.1, nuestra primera impresión visual de las tendencias globales a largo plazo o

movimientos de tendencia en la serie se ve oscurecida por la cantidad de variación de un año a otro. Por ejemplo,

si elegimos los datos correspondientes a los volúmenes anuales producidos y observamos su comportamiento en




la gráfica 4.1, podemos observar la variabilidad existente año tras año. Se hace, entonces difícil juzgar si

realmente existe en la serie algún efecto de tendencia hacia arriba o hacia abajo a largo plazo. En situaciones

como estas, puede usarse el método de promedios móviles o el de suavizamiento exponencial para suavizar una

serie y, en consecuencia, darnos una impresión global del patrón de movimiento en los datos respecto al tiempo.

Los métodos de suavizamiento antes mencionados, proporcionan pronósticos que son, en un sentido o en otro,

promedios de valores pasados. Si los datos muestran una tendencia pronunciada, estos pronósticos tienden por lo

mismo a estar retardados en relación con la tendencia. Además, estos métodos ignoran por lo general los factores

estacionales.

Producción de café

0

1,000

2,000

3,000

4,000

5,000

6,000

7,000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Ciclo

Mil

es

de

sa

co

s d

e

60

kg

.s

Gráfica 4.2. Comportamiento de la producción de café.

4.6.1. Promedios móviles.

El método de promedios móviles para suavizar una serie de tiempo de tiempo es altamente subjetivo y

dependiente de la longitud del periodo elegido para la construcción de los promedios. Para eliminar las

fluctuaciones cíclicas, el periodo escogido debe ser un valor entero que corresponda a la duración promedio

estimada de un ciclo (o múltiplo de éste.) Los promedios móviles para un periodo de longitud L consisten de una

serie de medias aritméticas calculadas en el tiempo de tal modo que cada media se calcula para una secuencia de

valores observados que tienen esa longitud L.

Por ejemplo, los promedios móviles de tres años consisten en una serie de medias obtenidas en el tiempo a través

del cálculo del promedio de secuencias consecutivas que contienen 3 valores observados. En general, para

cualquier serie compuesta de n años, un promedio móvil de longitud L, denotado por )(LMAi puede calcularse al

año i de la manera siguiente:

2

12

2

11

2

1121

21

Ln,,

L,

Li;Y

L)L(MA

/)L(

/)L(t

tii

en la que L tiene un número impar de años o periodos. Por ejemplo, suponga que deseamos calcular los

promedios móviles de tres años de una serie que contiene 11 años o periodos. . Puesto que 3L y la serie

contiene 11n años, entonces i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10. Por lo tanto se tiene:




10113

13 YYY)(MA

2102

3

13 YYY)(MA

32133

13 YYY)(MA

4324

3

13 YYY)(MA

54353

13 YYY)(MA

6546

3

13 YYY)(MA

76573

13 YYY)(MA

8768

3

13 YYY)(MA

98793

13 YYY)(MA

109810

3

13 YYY)(MA

Notemos que cuando el periodo escogido de longitud L es un número impar, el promedio móvil )(LMAi al año i

está centrado en i, el año central de la secuencia de L valores anuales utilizados para calcularlo. Apreciemos

también que ningún promedio móvil puede obtenerse para los primeros 2

1)L( años o periodos o para los

últimos 2

1)L( años o periodos de la serie. Por lo tanto, en un promedio móvil de 3 años, no podemos hacer

cálculos para el primer año o periodo o para el último año o periodo de la serie.

Ejemplo 4.3. Calcular los promedios móviles de tres años de la serie correspondiente a la producción anual de

café dada en la tabla 4.1.

Solución. Utilizando el método de arriba tenemos que

96541595586415053

132 ,,,,)(MA

8534100530051594

3

137 ,,,,)(MA

72244214159558643

133 ,,,,)(MA

0675801410053005

3

138 ,,,,)(MA

356541164421415953

134 .,,,,)(MA

9654750480141005

3

139 ,,,,)(MA

23241594116442143

135 ,,,,)(MA

7224193675048014

3

1310 ,,,,)(MA

52543005159411643

136 ,,,,)(MA




Los cálculos anteriores se resumen en la tabla 4.4

TABLA 4.4. PROMEDIO MÓVILES DE TRES AÑOS PARA LA PRODUCCIÓN DE CAFÉ.

PERIODO

VOLUMEN

PRODUCIDO (Miles

de sacos de 60 Kg.)

PROMEDIO

MOVIL

de tres años.

1989-90 5,150 -

1990-91 4,586 4965

1991-92 5,159 4722

1992-93 4,421 4565.3

1993-94 4,116 4232

1994-95 4,159 4525

1995-96 5,300 4853

1996-97 5,100 5067

1997-98 4,801 4965

1998-99 4,750 4722

1999-2000 6,193 -

Así, la técnica de los promedios móviles nos indica que el pronóstico para el ciclo 2000-2001 es de 4,722 miles

de sacos de 60 kg. y este pronóstico cambiará cuando se reporte el volumen producido del ciclo 2000-2001. En

la figura 4.2 podemos observar el efecto de suavizamiento que se tuvo con los promedios móviles de tres ciclos.

0

1,000

2,000

3,000

4,000

5,000

6,000

7,000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11Miles de sacos de 60 kgs.

Ciclo

Producción de café

Figura 4.3. Suavizamiento con promedios móviles de tres ciclos.

Los promedios móviles tienen el efecto de suavización en las variaciones grandes de datos. Este efecto de

suavizamiento ocurre porque observaciones inusualmente pequeñas se promedian con otros valores, y por lo

tanto su impacto se mitiga. Entre más grande sea el número de periodos en un promedio móvil, más pronunciado

será el efecto de suavización.

Datos originales

Promedio móvil de 3 períodos




Ejercicio 4.10. Halle los promedios móviles de 5 años para los volúmenes producidos de la tabla 4.4.

4.6.2. Suavización exponencial.

La suavización exponencial es un tipo específico de promedio móvil, pero su naturaleza es muy diferente del

cálculo convencional del promedio que se describió en la sección anterior. Al calcular un promedio móvil

convencional, a cada elemento del periodo de ponderación se le asigna un valor específico, pero no se da ningún

valor a los elementos que están fuera del periodo. Por ejemplo, cuando calculamos los promedios móviles para

tres años, a cada elemento del periodo de ponderación se le asignó el valor de 1 pero a los elementos no

incluidos en dichos conjuntos se les da el valor de 0 no se da ningún valor a los elementos que están fuera del

periodo.

En la suavización exponencial, el valor St , uniformado en el tiempo t, es un promedio ponderado del valor yt ,

observado en el mismo tiempo t , con todos los demás valores históricos de la serie ,,y,y tt 21 y con 1y . Esto

no se hace evidente enseguida con la forma en que se calculan los valores suavizados. En la práctica,

comenzamos haciendo que 1S , el primer valor de la serie de valores uniformados, sea igual a 1y , que es el

primer valor real de la serie, conforme avanzamos, en cada nuevo periodo de tiempo, el nuevo valor suavizado

corresponde a veces el valor observado, real, de y e incrementado con el producto de 1 por el valor

previamente suavizado de y, donde , la constante de suavización, es una fracción, entre 0 y 1, que se puede

elegir a discreción. Si 1 , la información previa se ignora y si 0 , la información actual se ignora.

122 1 SyS

el tercero es

233 1 SyS

siguiendo con secuencia, se tiene que el valor suavizado del periodo de tiempo t es

11 ttt SyS

Para observar que el valor asignado a cada observación en la serie disminuye exponencialmente, basta sustituir

211 1 ttt SyS en la fórmula 11 ttt SyS y después sustituir, en la relación encontrada

322 1 ttt SyS , etc. Según el valor que se le dé a los valores asignados a los ya obtenidos en la

serie disminuyen poco más o menos rápido y, si el proceso de obtención del promedio se continúa lo suficiente,

llega el momento en el que los valores iniciales tienen muy poco efecto en el valor suavizado actual.

El valor seleccionado de es crucial, si el valor de es demasiado grande, daremos un valor muy grande a los

datos actuales, a conforme aparezcan, y no suavizaremos adecuadamente las variaciones irregulares y, si es

demasiado pequeño, daremos un valor muy pequeño a los datos actuales de la serie y el promedio móvil será

insensible a las variaciones que se puedan efectuar en realidad. Como se desea producir un pronóstico con el

error más pequeño posible, el valor de que minimiza el cuadrado medio del error

1CME

2

n

yS tt

debe ser óptimo. Sin embargo, el ensayo y el error sirve con frecuencia como el mejor método para determinar el

valor de apropiado.




Ejemplo. 4.11. Suavizar la serie de los volúmenes de producción de la tabla 4.4 utilizando la

suavización exponencial, primero con la constante de suavización 20. y posteriormente con la constante de

suavización 5.0 .

Solución: Utilizando la relación 11 ttt SyS y tomando S1 = 5,150 se tiene para 2.0 ,

2037515052012058642 .,,..,S ,

60615203752012015953 .,.,..,S

Siguiendo esta misma secuencia se obtienen los datos que aparecen en la tabla 4.5.

TABLA 4.5. SUAVIZACIÓN EXPONENCIAL DE LOS VOLÚMENES DE CAFÉ PRODUCIDOS.

PERIODO

VOLUMEN

PRODUCIDO (Miles

de sacos de 60 Kg.)

St

2.0

St

5.0

1989-90 5,150 5150 5150

1990-91 4,586 5037.20 4868.00

1991-92 5,159 5061.56 5013.50

1992-93 4,421 4933.45 4717.25

1993-94 4,116 4769.96 4416.63

1994-95 4,159 4647.77 4287.81

1995-96 5,300 4778.21 4793.91

1996-97 5,100 4842.57 4946.95

1997-98 4,801 4834.26 4873.98

1998-99 4,750 4817.41 4811.99

1999-2000 6,193 5092.52 5502.49

La figura 4.3 muestra la gráfica de los datos originales y las de las dos series suavizadas, en ella se puede

observar que el pronunciamiento de la suavización con 20. es más estable que la serie con 50. y esto es

lo que se busca cuando nuestro objetivo consiste en promediar las variaciones de los datos año tras año ( que,

según suponemos, son meramente fluctuaciones aleatorias), en vez de responder a ellas como lo hace la serie con

50. . Desde luego, cuando se utiliza la suavización exponencial para ayudarse a predecir, por ejemplo, una

demanda futura de un producto en el mercado, deseamos obtener respuestas rápidas a cualquier variación que

pueda ocurrir en el nivel de la demanda (por ejemplo, un incremento gradual importante, previsto como

resultado de una intensa campaña publicitaria); esto sugiere que, cuando menos por un tiempo, debemos utilizar

un valor de relativamente grande.




Figura 4.4. Serie de tiempo, suavizada exponencialmente

Ejercicio 4.11. Suavice la serie de tiempo correspondiente a las cantidades exportadas de café, de la tabla 4.1,

usando primeramente 2.0 y después 4.0 .

Ejercicio 4.12. Suavice la serie de tiempo correspondiente a las superficies cosechadas de café, de la tabla 4.1,

usando primeramente 3.0 y después 5.0 .

4.7. Variación estacional.

Ahora consideraremos el problema de medir aquellos movimientos de una serie de tiempo, que recurren poco

más o menos con regularidad en los mismos meses de años sucesivos. A la medida de esta variación estacional la

llamamos índices de variación estacional o índice estacional. Por ser mensuales los datos, un índice estacional

consta de 12 números, uno cada mes, y cada uno de ellos expresa la actividad de ese mes en particular como

porcentaje de la actividad de ese mes en particular como porcentaje de la actividad del mes promedio. Por

ejemplo, si el índice estacional de las ventas de un comerciante en agosto es 92, esto quiere decir que las ventas

de agosto suelen ser equivalentes al 92% de las ventas del mes promedio. Utilizamos la expresión “suelen ser”

porque el porcentaje real de un mes dado varía más o menos ampliamente de un año a otro, y el 92% es un

promedio de estos porcentajes.

Aunque los índices estacionales suelen determinarse en forma mensual, se pueden elaborar para otras

subdivisiones de un año, es decir, en periodos trimestrales o semanales. En relación con datos trimestrales, un

índice estacional consta de cuatro números, donde cada uno expresa la actividad de ese trimestre como

porcentaje de la actividad del trimestre promedio. En cuanto a los datos semanales, el índice consta de 52

números y cada uno de ellos expresa la actividad de esa semana en particular como un porcentaje de la actividad

de la semana promedio. En esta sección nos concentraremos principalmente a las variaciones estacionales

Producción de Café

0

1,000

2,000

3,000

4,000

5,000

6,000

7,000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Ciclo de producción

Ca

nti

da

d e

n m

ile

s d

e s

ac

os

de

60 k

g.

Datos originales 2.0

5.0




mensuales ya que el procedimiento que se muestra con los índices mensuales se puede adaptar fácilmente a otros

periodos de tiempo.

Existen muchas formas de medir las variaciones estacionales o de elaborar un índice estacional. Estas varían

desde las medidas más bies toscas, basadas en operaciones muy simples, hasta medidas altamente refinadas, con

base en técnicas que implican el uso de una computadora. En esta sección ilustraremos la elaboración de un

índice estacional por medio del método básico de la razón del promedio móvil o del porcentaje del promedio

móvil. Para ilustrar el cálculo de un índice estacional, emplearemos la serie que muestra los porcentajes

mensuales de inflación desde enero 1980 hasta julio de 2001. Los datos originales proporcionados por INEGI

aparecen en la tabla 4.6. El patrón inflacionario estacionario es muy marcado y una tendencia relativamente

descendente son evidentes, al observar la gráfica de la figura 4.5.

TABLA 4.6. PORCENTAJE DE INFLACIÓN MENSUAL EN MÉXICO DESDE 1995*.

PERIODO

Inflación

Respecto

al Mes Anterior

PERIODO Inflación Respecto

al Mes Anterior PERIODO

Inflación Respecto

al Mes Anterior

1995/01 3.76 1997/04 1.08 1999/07 0.66

1995/02 4.24 1997/05 0.91 1999/08 0.56

1995/03 5.90 1997/06 0.89 1999/09 0.97

1995/04 7.97 1997/07 0.87 1999/10 0.63

1995/05 4.18 1997/08 0.89 1999/11 0.89

1995/06 3.17 1997/09 1.25 1999/12 1.00

1995/07 2.04 1997/10 0.80 2000/01 1.34

1995/08 1.66 1997/11 1.12 2000/02 0.89

1995/09 2.07 1997/12 1.40 2000/03 0.56

1995/10 2.06 1998/01 2.18 2000/04 0.57

1995/11 2.47 1998/02 1.75 2000/05 0.37

1995/12 3.26 1998/03 1.17 2000/06 0.59

1996/01 3.59 1998/04 0.94 2000/07 0.39

1996/02 2.33 1998/05 0.80 2000/08 0.55

1996/03 2.20 1998/06 1.18 2000/09 0.73

1996/04 2.84 1998/07 0.96 2000/10 0.69

1996/05 1.82 1998/08 0.96 2000/11 0.85

1996/06 1.63 1998/09 1.62 2000/12 1.08

1996/07 1.42 1998/10 1.43 2001/01 0.55

1996/08 1.33 1998/11 1.77 2001/02 -0.07

1996/09 1.60 1998/12 2.44 2001/03 0.63

1996/10 1.25 1999/01 2.53 2001/04 0.50

1996/11 1.52 1999/02 1.34 2001/05 0.23

1996/12 3.20 1999/03 0.93 2001/06 0.24

1997/01 2.57 1999/04 0.92 2001/07 -0.26

1997/02 1.68 1999/05 0.60

1997/03 1.24 1999/06 0.66

*FUENTE: Banco de México. Indices de Precios.




Inflación mensual en México

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 5 9

13

17

21

25

29

33

37

41

45

49

53

57

61

65

69

73

77

Meses

Po

rce

nta

je

Figura 4.5. Inflación mensual en México desde enero 1995 hasta julio de 2001.

Ejemplo 4.12. Calcule un índice estacional anual de los porcentajes mensuales de inflación de la tabla 4.6, por

medio del método básico de la razón del promedio móvil.

Solución. El primer paso del procedimiento consiste en determinar los totales móviles de los 12 meses de 1995,

éstos aparecen en la columna 2 de la tabla 4.7, El primer dato de esta columna 42.78 se obtiene sumando los 12

meses de 1995, el segundo dato se obtiene sumando los datos de febrero de 1995 hasta febrero de 1996, y así

sucesivamente.

Con el propósito de obtener un promedio móvil de 12 meses centrado en los datos originales, calculamos a

continuación los totales móviles de 12 meses, con las anotaciones de la columna 2 de la tabla 4.7. Estos datos

aparecen en la columna 3, donde el primer valor 85.39 es la suma de los dos primeros valores de la columna 2, el

segundo valor 83.31 es la suma del segundo y tercer de la columna 2, etc. Estos datos están colocados al mismo

nivel que los datos de la columna 2. Por consiguiente, están alineados o centrados con los datos originales.

Como cada anotación en la columna 2 es la suma de 12 cifras mensuales y cada registro de la columna 3 es la

suma de dos datos de la columna 2, o en total, la suma de 24 cifras mensuales, obtenemos por último el

promedio móvil centrado, de 12 meses, que se muestran en la columna 4, luego de dividir cada registro de la

columna 3 entre 24. Estos valores de los promedios móviles son las estimaciones de la tendencia del ciclo y,

ahora, las usamos para eliminar las componentes CT de la serie original. Esto se logra dividiendo los datos

ICST (tendencia secular, variación estacional, variación cíclica y variación irregular, datos de la columna 1)

originales, mes a mes, entre las estimaciones CT correspondientes, (es decir, entre los valores correspondientes

del promedio móvil, datos de la columna 4, lo cual nos deja IS ) y las razones obtenidas se multiplican por 100.

De este modo, llegamos a los porcentajes del promedio móvil que se muestran en la columna 5.

Lo único que nos falta es eliminar de la mejor manera posible las variaciones irregulares y, para esto

acomodamos los datos de la columna 5 en las columnas fechadas de la tabla 4.8.




TABLA 4.7. TOTALES MÓVILES DE 12 MESES, TOTAL MÓVIL DE 2 MESES Y PORCENTAJES

MÓVILES DE 12 MESES DE LA INFLACIÓN MENSUAL EN MÉXICO.

Mes

Porcentajes

(1)

Total Móvil de

12 meses

(2)

Total Móvil de

dos meses

(3)

Total Móvil de

12 meses

centrado

(4)

Porcentajes

del promedio móvil

de 12 meses

(5)

1995/01 3.76

1995/02 4.24

1995/03 5.9

1995/04 7.97

1995/05 4.18

1995/06 3.17

1995/07 2.04 42.78

1995/08 1.66 42.61 85.39 3.56 46.66

1995/09 2.07 40.7 83.31 3.47 59.63

1995/10 2.06 37 77.7 3.24 63.63

1995/11 2.47 31.87 68.87 2.87 86.08

1995/12 3.26 29.51 61.38 2.56 127.47

1996/01 3.59 27.97 57.48 2.40 149.90

1996/02 2.33 27.35 55.32 2.31 101.08

1996/03 2.2 27.02 54.37 2.27 97.11

1996/04 2.84 26.55 53.57 2.23 127.24

1996/05 1.82 25.74 52.29 2.18 83.53

1996/06 1.63 24.79 50.53 2.11 77.42

1996/07 1.42 24.73 49.52 2.06 68.82

1996/08 1.33 23.71 48.44 2.02 65.90

1996/09 1.6 23.06 46.77 1.95 82.10

1996/10 1.25 22.1 45.16 1.88 66.43

1996/11 1.52 20.34 42.44 1.77 85.96

1996/12 3.2 19.43 39.77 1.66 193.11

1997/01 2.57 18.69 38.12 1.59 161.80

1997/02 1.68 18.14 36.83 1.53 109.48

1997/03 1.24 17.7 35.84 1.49 83.04

1997/04 1.08 17.35 35.05 1.46 73.95

1997/05 0.91 16.9 34.25 1.43 63.77

1997/06 0.89 16.5 33.4 1.39 63.95

1997/07 0.87 14.7 31.2 1.30 66.92

1997/08 0.89 14.31 29.01 1.21 73.63

1997/09 1.25 14.38 28.69 1.20 104.57

1997/10 0.8 14.31 28.69 1.20 66.92

1997/11 1.12 14.17 28.48 1.19 94.38




Mes Porcentaje Total Móvil de

12 meses

Total Móvil de

dos meses

Total Móvil de

12 meses

centrado

Porcentajes

del promedio móvil

de 12 meses

1997/12 1.4 14.06 28.23 1.18 119.02

1998/01 2.18 14.35 28.41 1.18 184.16

1998/02 1.75 14.44 28.79 1.20 145.88

1998/03 1.17 14.51 28.95 1.21 96.99

1998/04 0.94 14.88 29.39 1.22 76.76

1998/05 0.8 15.51 30.39 1.27 63.18

1998/06 1.18 16.16 31.67 1.32 89.42

1998/07 0.96 17.2 33.36 1.39 69.06

1998/08 0.96 17.55 34.75 1.45 66.30

1998/09 1.62 17.14 34.69 1.45 112.08

1998/10 1.43 16.9 34.04 1.42 100.82

1998/11 1.77 16.88 33.78 1.41 125.75

1998/12 2.44 16.68 33.56 1.40 174.49

1999/01 2.53 16.16 32.84 1.37 184.90

1999/02 1.34 15.86 32.02 1.33 100.44

1999/03 0.93 15.46 31.32 1.31 71.26

1999/04 0.92 14.81 30.27 1.26 72.94

1999/05 0.6 14.01 28.82 1.20 49.97

1999/06 0.66 13.13 27.14 1.13 58.36

1999/07 0.66 11.69 24.82 1.03 63.82

1999/08 0.56 10.5 22.19 0.92 60.57

1999/09 0.97 10.05 20.55 0.86 113.28

1999/10 0.63 9.68 19.73 0.82 76.63

1999/11 0.89 9.33 19.01 0.79 112.36

1999/12 1 9.1 18.43 0.77 130.22

2000/01 1.34 9.03 18.13 0.76 177.39

2000/02 0.89 8.76 17.79 0.74 120.07

2000/03 0.56 8.75 17.51 0.73 76.76

2000/04 0.57 8.51 17.26 0.72 79.26

2000/05 0.37 8.57 17.08 0.71 51.99

2000/06 0.59 8.53 17.1 0.71 82.81

2000/07 0.39 8.61 17.14 0.71 54.61

2000/08 0.55 7.82 16.43 0.68 80.34

2000/09 0.73 6.86 14.68 0.61 119.35

2000/10 0.69 6.93 13.79 0.57 120.09

2000/11 0.85 6.86 13.79 0.57 147.93

2000/12 1.08 6.72 13.58 0.57 190.87




Mes

Porcentajes

(1)

Total Móvil de

12 meses

(2)

Total Móvil de

dos meses

(3)

Total Móvil de

12 meses

centrado

(4)

Porcentajes

del promedio móvil

de 12 meses

(5)

2001/01 0.55 6.37 13.09 0.55 100.84

2001/02 -0.07 5.72

2001/03 0.63

2001/04 0.5

2001/05 0.23

2001/06 0.24

2001/07 -0.26

Entre las diversas formas que podríamos utilizar para promediar las cifras que se dan en relación con cada mes,

elegimos aquí la media (pudo haber sido la mediana, la moda o media modificada), las doce medias se muestran

en la octava columna de la Tabla 4.8. Ahora bien, como se supone que el índice estacional de cada mes es un

porcentaje del mes promedio, la suma de los doce valores debe ser igual a 1,200. En realidad, las medias

totalizan 1,158.91 y, por eso ajustamos todo multiplicando cada una de las medias por ;..

03551911581

2001 así, la

suma de los índices estacionales da 1,200. En algunos casos el ajuste para obtener el índice es mucho mayor que

el aplicado en este ejemplo y por lo tanto habrá que hacer un pequeño ajuste para que la suma dé 1,200.

TABLA 4.8. CÁLCULO DE LOS ÍNDICES ESTACIONALES.

Mes 1995 1996 1997 1998 1999 2000 Media Indice

estacional

Enero 101.08 109.48 145.88 100.44 120.07 115.39 119.48

Febrero 97.11 83.04 96.99 71.26 76.76 85.03 88.05

Marzo 127.24 73.95 76.76 72.94 79.26 86.03 89.08

Abril 83.53 63.77 63.18 49.97 51.99 62.49 64.70

Mayo 77.42 63.95 89.42 58.36 82.81 74.39 77.03

Junio 68.82 66.92 69.06 63.82 54.61 64.65 66.94

Julio 46.66 65.90 73.63 66.30 60.57 80.34 65.57 67.89

Agosto 59.63 82.10 104.57 112.08 113.28 119.35 98.50 101.99

Septiembre 63.63 66.43 66.92 100.82 76.63 120.09 82.42 85.34

Octubre 86.08 85.96 94.38 125.75 112.36 147.93 108.74 112.60

Noviembre 127.47 193.11 119.02 174.49 130.22 190.87 155.86 161.39

Diciembre 149.90 161.80 184.16 184.90 177.39 100.84 159.83 165.50

1 158.91 1200

La interpretación de los índices estacionales es directa. Por ejemplo, en el caso que acabamos de analizar, el

porcentaje de inflación mensual en el mes de enero suelen ser equivalentes al 119.48% del mes promedio, suelen

ser mínimos en abril, junio y julio y máximos en noviembre, diciembre y enero.




Sin embargo, obsérvese que, al utilizar un índice estacional para un fin cualquiera, siempre debemos ser

cuidadosos con sus limitaciones. Un índice se basa en datos históricos (del pasado) y no podemos esperar en

forma razonable que los patrones estacionales se mantengan completamente constantes durante largos periodos

de tiempo. El método que hemos ejemplificado aquí, se aplica a la descripción de patrones estacionales

constantes o de aquellos que no cambian mucho. Si existen cambios pronunciados en el patrón estacional con el

paso del tiempo, será adecuado el tipo de índice que hemos estudiado.

Ejercicio 4.13. Calcule un índice estacional, usando promedios móviles trimestrales de los porcentajes

mensuales de inflación de la tabla 4.6, por medio del método básico de la razón del promedio móvil.

4.8. Datos ajustados en forma estacional.

Los índices estacionales son de extrema importancia en diversas aplicaciones prácticas. Explicaremos

brevemente dos de ellas: la primera en la desestacionalización de datos y la segunda en la elaboración de

pronósticos. Describiremos primeramente el proceso de eliminación de las influencias estacionales en un

conjunto determinando de datos. Es decir, la desestacionalización de una serie.

El proceso de anulación de la variación estacional, o desestacionalización de datos, consiste meramente en

dividir cada valor de una serie entre el valor correspondiente al índice estacional y multiplicar el resultado por

100 (o dividir entre el valor correspondiente al índice estacional escrito como una proporción). La lógica de este

proceso es muy simple: si los porcentajes de la inflación del mes de abril equivalen a 64.7% del mes promedio,

la cifra %56.1547.64

100 de los porcentajes de inflación del mes de abril nos indicará cuales deberían haber sido

estos porcentajes si no hubiese habido una variación estacional.

Ejemplo 4.13. Desestacionalice los porcentajes de inflación, en el año 2,000, mediante el uso del índice que se

elaboró en el problema anterior.

Solución. La tabla 4.9 se presentan los datos de los porcentajes de inflación y el índice estacional que fueron

tomados de la tabla 4.7, con los valores del índice estacional dados como proporciones y redondeados hasta

centésimos.

TABLA 4.9. PORCENTAJES MENSUALES DE INFLACIÓN

DEL AÑO 2,000 DESESTACIONALIZADOS.

Mes Porcentaje Indice

estacional

Porcentajes

desestacionalizados

2000/01 1.34 1.19 1.13

2000/02 0.89 0.88 1.01

2000/03 0.56 0.89 0.63

2000/04 0.57 0.65 0.88

2000/05 0.37 0.77 0.48

2000/06 0.59 0.67 0.88

2000/07 0.39 0.68 0.57

2000/08 0.55 1.02 0.54

2000/09 0.73 0.85 0.86

2000/10 0.69 1.13 0.61




2000/11 0.85 1.61 0.53

2000/12 1.08 1.66 0.65

12.0

En la tabla 4.9 se pueden observar varios hechos interesantes. Por ejemplo, hubo un incremento de 0.23 por

ciento en la inflación, de noviembre a diciembre del año 2000. Sin embargo, esto no es para preocuparse ya que

los datos desestacionalizados muestran que, en realidad, este incremento fue menor de lo que se hubiera

esperado según los patrones estacionales comunes. Del mismo modo, hubo una disminución de enero a febrero

del año 2000 de 0.45 por ciento. Esto ya era de esperarse, ya que los datos desestacionalizados muestran que esta

disminución era exactamente la que se debía haber esperado, de acuerdo con los patrones estacionales comunes.

Con estas observaciones, debe ser obvia la necesidad de tomar en cuenta la variación estacional en el análisis de

las series comerciales y económicas de tiempo.

Ejercicio 4.14. Desestacionalice los porcentajes de inflación, en el año 2,000, mediante el uso del índice que

elaboró en el ejercicio 4.13.

4.9. Extrapolación.

Ahora que ya estamos familiarizados con las series de tiempo y que sabemos como medir algunas de sus

componentes, analizaremos brevemente el problema enormemente complicado de los pronósticos en series de

tiempo. El motivo para basar los pronósticos en series de tiempo es que, habiendo observado alguna regularidad

en el movimiento de los datos a través del tiempo, tendremos la esperanza de lo “que ha sucedido en el pasado

seguirá sucediendo, en mayor o menor grado, o volverá a suceder en el futuro.” Por lo tanto, la manera evidente

de pronosticar la tendencia de una serie de tiempo consiste en realizar una extrapolación a partir de la ecuación

de tendencia que describe los datos históricos. Por “extrapolación” nos referimos a extender la tendencia al

futuro para estimar un valor que está fuera de la escala o intervalo de los valores utilizados para obtener la

ecuación de tendencia.

Ejemplo 4.14. Usando los últimos 19 datos de los porcentajes mensuales de inflación dados en la tabla 4.7 y los

índices estacionales de la tabla 4.8, estime los porcentajes de inflación para los meses de agosto a diciembre de

2001.

Solución. Aplicando las fórmulas de la sección 4.4 a los porcentajes que aparecen en la tabla 4.10, obtenemos la

ecuación de tendencia

xY 0386.0935.0ˆ

en donde, enero de 2000 es el origen (x = 1); unidades de x: un mes; y: es el porcentaje de inflación.

Para calcular los datos que aparecen en la segunda columna de la tabla 4.10, sustituimos x = 20 para obtener el

valor de tendencia del mes de agosto, x = 21 para obtener el valor de septiembre, etc. Sin embargo, existe una

variación muy pronunciada en la inflación, que se debe a las influencias estacionales. Generalmente, la inflación

sube mucho en noviembre, diciembre y enero y baja en abril, junio y julio. De hecho un índice estacional,

calculado con datos históricos recientes por medio del método de la razón del promedio móvil, muestra, por

ejemplo, que el porcentaje de inflación de abril equivale tan sólo del 65% y el de diciembre del 166% de los




porcentajes inflacionarios que se lograrían, si no hubiere una variación estacional. Los índices completos, como

proporciones, se muestran en la tercera columna de la tabla 4.9.

TABLA 4.10. PRONÓSTICOS PARA LOS MESES DE AGOSTO A DICIEMBRE DE 2001.

Mes

Valor de

Tendencia

%

Indice

estacional

Porcentaje de

inflación provisto

para el mes

2001/08 0.163 1.02 0.166

2001/09 0.1244 0.85 0.1057

2001/10 0.0858 1.13 0.097

2001/11 0.0472 1.61 0.076

2001/12 0.0086 1.66 0.014

Suponiendo que el patrón estacional no sufre cambios y que se describe adecuadamente con el índice estacional,

completamos la solución de este ejemplo al multiplicar el valor de la tendencia de cada uno de los 5 meses por el

índice estacional del propio mes. Es decir, multiplicamos el valor de la tendencia de agosto por 1.02, el de

septiembre por 0.85, y así sucesivamente, con lo que se obtienen los porcentajes mensuales de inflación

pronosticada para los meses de agosto a diciembre de 2001, los cuales se ilustran en la tabla 4.10. Si no hubiera

variación estacional, se esperaría que el porcentaje de inflación de agosto fueran 12160341

1630.

.

. , o sea 12.16%

superiores a las de enero del 2000 en virtud de la tendencia ascendente de los porcentajes de inflación; tomando

en cuenta las influencias estacionales, el porcentaje de inflación de agosto, se proyecta en 30180550

1660.

.

. es

decir, 30.18% más alto que el porcentaje dado en el mes de enero de 2001.

Lo que hemos hecho para obtener estas predicciones de los porcentajes mensuales de inflación en nuestro país es

precisamente lo contrario a la desestacionalización de datos. Hemos introducido los patrones estacionales en los

datos (en lugar de eliminarlos), multiplicando los valores de cada tendencia por los valores correspondientes de

los índices estacionales, escritos como proporciones. Estos productos de la medida de la tendencia y de la

variación estacional, o sea, ST , son los valores que esperaríamos obtener si las fuerzas de la tendencia y de la

variación estacional fuesen los únicos que ejercieran influencia sobre los valores de una serie; frecuentemente, se

les llama valores normales.

Ejercicio 4.14. Usando los últimos 19 datos de los porcentajes mensuales de inflación dados en la tabla 4.7 y los

índices estacionales que obtuvo en el ejercicio anterior, estime los porcentajes de inflación para los meses de

agosto a diciembre de 2001.

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