COLEGIO GERARDO MOLINA RAMIREZ
PEI: “COMUNICÁNDONOS CON CALIDAD MEJORAMOS EN HUMANIDAD”
NIT 900201695-6 DANE 111001104264
SECRETARÍA DE EDUCACIÓN DEL DISTRITO
Aprobación según Resolución No. 2735 de Julio 4 de 2007
Carrera 143 No: 142 A-62 Ciudadela Cafam II, Localidad de Suba PBX: 5553835/36/37 www.educacionbogota.edu.co
GUIA 3 PERIODO 3 MATEMATICAS GRADO 9°
TEMA ESTADISTICA
En esta guía trabajaremos el concepto de medidas de dispersión de un conjunto
de datos, para esto debemos recordar los conceptos de medidas de tendencia
central; media Y mediana para un conjunto de datos sueltos y agrupados.
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL.
La mayor parte de las serie de datos muestran una clara tendencia a agruparse
alrededor de un cierto punto central. Así pues, dada cualquier serie de datos
particular, por lo general es posible seleccionar algún valor o promedio típico para
describir toda la serie de datos. Este valor descriptivo típico es una medición de
tendencia central.
Ejemplo. La edad promedio de los estudiantes de grado noveno es 14 años.
Con esta afirmación no estoy diciendo que todos los estudiantes de grado noveno
tienen 14 años. Esto lo que significa es que si usted es de grado noveno tiene 14
años o está próxima a esta edad.
Otra forma de mostrar la información es escribir las edades de los 160 estudiantes
de noveno. ¿Cuál cree que es la mejor manera???
Este dato de 14 años es la media de todas las edades de los estudiantes de grado
noveno.
MEDIA
La media o promedio de un conjunto de datos es un valor que representa a todo el
conjunto de datos.
El símbolo de la media es x
Para calcular la media debemos sumar todos los datos y dividir esta suma entre el
número de datos.
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La fórmula utilizada es n
xx
i
ix es la suma de los datos
n es la cantidad de datos
ejemplo 1.
Las edades de un grupo de estudiantes son
12 17 18 14 19 10 13 14 16 14 14 13 14 15
Determinar la media o edad promedio.
5.14
14
203
14
1514131414161413101914181712
x
x
x
n
xx
i
El denominador es 14 porque hay 14 datos.
Respuesta. La edad promedio de este grupo de estudiantes es 14.5 años.
Cuando son muchos datos los agrupamos en una distribución de frecuencia
y luego calculamos la media en los datos agrupados.
En este caso utilizamos la siguiente expresión para determinar la media.
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i
ii
f
fxx
sumaleeSe
clasecadadeabsolutafrecuencialaf
clasecadademediopuntooclasedemarcalaEsx
muestralademedialaesx
i
i
EJEMPLO 2.
Una fábrica de cilindros desea llevar un control de la longitud en centímetros de
sus cilindros fabricados. La siguiente es una lista de las medidas observadas en
un día de producción.
239, 254, 255, 248, 246, 249, 242, 250, 249, 244, 253, 248 250, 258, 252, 251,
250, 253, 247, 243, 245, 251, 247, 250 248, 250, 259, 249, 249, 250, 251, 253,
241, 251, 249, 252 250, 247, 251, 259, 250, 246, 252, 238, 251, 238, 236, 259
249, 257, 249, 247, 251, 246, 245, 243, 250, 249, 242, 238
Determine la media de la longitud en centímetro de los cilindros fabricados.
Solución
Primero elaboramos una distribución de frecuencias para estos datos. (se
recuerda paso a paso como determinar la distribución de frecuencias)
1. De acuerdo a la información anterior primero encontramos el rango R de la
muestra. R = Mayor valor – Menor valor
R = 259 - 238
R = 21
2. Determinar el número n de clases o grupos.
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Deseo hacer 7 clases.
3. Encontrar el tamaño m de las clases
.3
37
21
unidadestamañodesonclaseslas
m
n
Rm
4. Organizar las clases cuidando que no halla superposición y que todos los datos
queden incluidos en ellas
absolutafrecuenciafi
clase if
238 – 241
241 – 244
244 – 247
247 – 250
250 – 253
253 - 256
256 – 259
clase if
238 – 240.9
241 – 243.9
244 – 246.9
247 – 249.9
250 – 252.9
253 – 255.9
256 – 259
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5. Hacer el conteo para determinar las frecuencias absolutas if de cada
clase
239, 254, 255, 248, 246, 249, 242, 250, 249, 244, 253, 248 250, 258, 252,
251, 250, 253, 247, 243, 245, 251, 247, 250 248, 250, 259, 249, 249, 250,
251, 253, 241, 251, 249, 252 250, 247, 251, 259, 250, 246, 252, 238, 251,
238, 236, 259 249, 257, 249, 247, 251, 246, 245, 243, 250, 249, 242, 238
Esta es la tabla de distribución de frecuencia
absoluta.
Algunas interpretaciones
15 cilindros miden entre 247 y 250
centímetros.
5 cilindros miden entre 253 y 256 centímetros
Al observar la fórmula para la media nos damos cuenta que también necesitamos
las marcas de clase de cada intervalo de la distribución ix
La marca de clase es la mitad de cada clase para calcularla sumamos los dos
límites de la clase y lo dividimos en dos. ( en la segunda clase los limites
verdaderos son 241 y 244 entonces 5.2422
2442412
x )
A hora si completemos la tabla de distribución con marcas de clase
clase if
238 – 240.9 5
241 – 243.9 5
244 – 246.9 6
247 – 249.9 15
250 – 252.9 19
253 – 255.9 5
256 – 259 5
total 60
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Como ya hicimos la distribución de frecuencia ya podemos encontrar la media para datos
agrupados
i
ii
f
fxx
Por comodidad podemos hacer los cómputos que necesitamos para la media en la
misma tabla de distribución ii fx y if
if ii fx
clase if ix
238 – 240.9 5 239.5
241 – 243.9 5 242.5
244 – 246.9 6 245.5
247 – 249.9 15 248.5
250 – 252.9 19 251.5
253 – 255.9 5 254.5
256 – 259 5 257.5
total 60
clase if ix
ii fx
238 – 240.9 5 239.5 1197,5
241 – 243.9 5 242.5 1212,5
244 – 246.9 6 245.5 1473
247 – 249.9 15 248.5 3727,5
250 – 252.9 19 251.5 4778,5
253 – 255.9 5 254.5 1272,5
256 – 259 5 257.5 1287,5
total 60 14949
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Luego 15,24960
14949
i
ii
f
fxx
RESPUESTA la media en la medida de los tubos construidos es de 249,15 cm
MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Las medidas de dispersión son valores que miden la variabilidad de los datos, podría decirse que es
una medida de que tan alejados se distribuyen los datos alrededor de una medida de tendencia
central (en este caso de la media).
Las medidas de dispersión más utilizadas son: Rango, varianza, desviación estándar y el coeficiente
de variación.
RANGO
Es la diferencia entre el mayor y el menor valor de los datos
valorMenorvalormayorR
EJEMPLO 3
En el ejemplo anterior determinar el rango en la longitud de los cilindros fabricados.
R = Mayor valor – Menor valor
R = 259 - 238
R = 21
La mayor variación entre las longitudes de los cilindros fabricados es de 21 cm
VARIANZA
Antes de hablar de la varianza revisemos el concepto de desviación a la media.
La desviación de un dato a la media indica que tan distante o desviado está el
dato a la media.
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Para calcularlo hallamos la diferencia xxi donde ix representa el dato y
x La media de la muestra. (esta desviación también puede ser negativa.)
La VARIANZA es un promedio de los cuadrados de las desviaciones a la
media. Su símbolo es s2.
1
2
2
n
xxs
i
datosdecantidadn
medialaaesdesviaciondecuadradosdesumaxx
esdesviacionlasdecuadradosxx
medialaaesdesviacionxx
i
i
i
2
2
DESVIACION ESTANDAR S
La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza. La ventaja de la desviación
estándar es que las unidades de medidas son las mismas que la de los datos.
1
2
2
n
xxss
i
Coeficiente de Variación:
Es un estadístico de dispersión que tiene la ventaja de que no lleva asociada ninguna unidad, por lo que nos permitirá decir entre dos muestras, cual es la que presenta mayor dispersión. La denotaremos por C.V.
mediax
daresdesviaciónsx
sVC tan.
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NOTA.
A mayores valores de dispersión (rango, varianza, desviación estándar y
coeficiente de variación) significa que la dispersión es mayor lo que genera
desconfianza de la muestra.
Estas medidas de dispersión por lo general se utilizan para comparar dos o más
muestras.
EJEMPLO 4
Las edades de un grupo de estudiantes son
12 17 18 14 19 10 13 14 16 14 14 13 14 15
Determinar las cuatro medidas de dispersión; rango, desviación, varianza, desviación
estándar y coeficiente de variación
Solución.
a. Rango R = mayor valor - menor valor
R = 19 – 10
R = 9
El rango de la muestra son 9 años. O la mayor variación entre las edades es de 9
años.
b. Varianza. Para la varianza necesitamos la media de la muestra la cual se
calculó en el ejemplo 1
5.14
14
1514131414161413101914181712
x
x
n
xx
i
Para encontrar los datos de la varianza es más fácil elaborar una tabla.
Recuerde 5,14x
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dato Desviación a la media Cuadrado de la
desviación
ix xxi 2)( xxi
12 -2,5 6,25
17 2,5 6,25
18 3,5 12,25
14 -0,5 0,25
19 4,5 20,25
10 -4,5 20,25
13 -1,5 2,25
14 -0,5 0,25
16 1,5 2,25
14 -0,5 0.25
14 -0,5 0,25
13 -1,5 2,25
14 -0,5 0,25
15 0,5 0,25
sumas 0 73,5
65,5
13
5,73
114
5,73
1
2
2
2
2
2
s
s
s
n
xxs
i
14
5,732
n
xxquetenemostablalade i
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c. DESVIACIÓN ESTANDAR recordemos que la desviación
estándar es la raíz cuadrada de la varianza
37,265,5
1
2
2
n
xxss
i
d. COEFICIENTE DE VARIACIÓN
mediax
daresdesviaciónsx
sVC tan.
16.05.14
37.2.
x
sVC
Ahora damos un ejemplo donde se hace necesario utilizar una distribución de
frecuencias por la gran cantidad de datos que se manejan.
EJEMPLO 5
Una fábrica de cilindros desea llevar un control de la longitud en centímetros de
sus cilindros fabricados. La siguiente es una lista de las medidas observadas en
un día de producción.
239, 254, 255, 248, 246, 249, 242, 250, 249, 244, 253, 248 250, 258, 252, 251,
250, 253, 247, 243, 245, 251, 247, 250 248, 250, 259, 249, 249, 250, 251, 253,
241, 251, 249, 252 250, 247, 251, 259, 250, 246, 252, 238, 251, 238, 236, 259
249, 257, 249, 247, 251, 246, 245, 243, 250, 249, 242, 238
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Determinar las cuatro medidas de dispersión; rango, desviación, varianza, desviación
estándar y coeficiente de variación
SOLUCION
Como son muchos datos hacemos una distribución de frecuencias y lo trabajamos
como datos agrupados. Las formulas cambian un poquito veamos como
DATOS SUELTOS DATOS AGRUPADOS
MEDIA
n
xx
i
i
ii
f
fxx
RANGO valorMenorvalormayorR
VARIANZA
1
2
2
n
xxs
i
1
2
2
n
xxfs
ii
DESVIACIÓN
ESTANDAR 2ss
2ss
COEFICIENTE
DE
VARIACIÓN x
sVC .
x
sVC .
Ahora si resolvemos nuestro ejercicio.
Primero hacemos la distribución de frecuencia. Ya se hizo en el ejemplo 2
clase if ix
238 – 240.9 5 239.5
241 – 243.9 5 242.5
244 – 246.9 6 245.5
247 – 249.9 15 248.5
250 – 252.9 19 251.5
253 – 255.9 5 254.5
256 – 259 5 257.5
total 60
A esta tabla agregamos las
columnas necesarias para
encontrar todas las medidas
de dispersión
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Del resultado del ejemplo 2 tenemos que 15,249x
Rango R = Mayor valor – Menor valor
R = 259 - 238
R = 21
VARIANZA
21,23
59
65.1369
160
65,1369
1
2
2
n
xxfs
ii
clase if ix ii fx xxi
2)( xxi 2)( xxf ii
238 – 240.9 5 239.5 1197,5 -9,65 93,1225 465,6125
241 – 243.9 5 242.5 1212,5 -6,65 44,2225 221,1125
244 – 246.9 6 245.5 1473 -3,65 13,3225 79,935
247 – 249.9 15 248.5 3727,5 -0,65 0,4225 6,3375
250 – 252.9 19 251.5 4778,5 2,35 5,5225 104,9275
253 – 255.9 5 254.5 1272,5 5,35 28,6225 143,1125
256 – 259 5 257.5 1287,5 8,35 69,7225 348,6125
total 60 14949 1369,65
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DESVIACIÓN ESTANDAR COEFICIENTE DE VARIACIÓN.
019,0.
15,249
81,4.
.
VC
VC
x
sVC
ACTIVIDAD
En los ejercicios 1 y 2 determinar las cuatro medidas de dispersión; rango,
desviación, varianza, desviación estándar y coeficiente de variación utilizando las
fórmulas para datos sueltos.
1. Coronavirus en Colombia: 54.931 personas contagiadas y
1.801 muertes El últ imo informe del Minister io de Salud entregado el martes 16 junio confirmó 1.868 casos nuevos, 75 fallecidos más para un total de 1.801, mientras que 20.366 pacientes se han recuperado.
Bogotá se mantiene como la ciudad más afectada por el COV ID-19.
A continuación, se da un reporte de contagios por regiones
81,4
21,23
2
s
S
ss
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Bogotá: 16.896
Atlántico: 11.372
Valle del Cauca: 6.287
Bolívar: 5.423
Nariño: 2.205
Antioquia: 2.270
Amazonas: 2.171
Cundinamarca: 1.759
Meta: 1.027
Magdalena: 996
Chocó: 823
Cesar: 560
Tolima: 407
Risaralda: 325
Córdoba: 303
Huila: 281
Santander: 267
Boyacá: 256
Sucre: 272
Caldas: 205
Cauca: 197
Norte de Santander: 165
La Guajira: 148
Quindío: 129
Arauca: 46
Casanare: 38
Caquetá: 28
Vaupés: 27
San Andrés
y Providencia: 20
Putumayo: 14
Guainía: 7
Guaviare: 7
Vichada: 1
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2. Los siguientes valores corresponden a los ing resos que dejaron de
percibir 12 famil ias por consecuencias del covid 19
980000 750000 980000 1200000 870000 1000000
560000 650000 750000 850000 980000 980000
Para los ejercicios 3, 4 y 5 elabore en cada caso una distribución
de frecuencias y encuentre las cuatro medidas de dispersión
como datos agrupados (rango, varianza, desviación estándar y
coeficiente de variación).
3. Las calif icaciones de 50 alumnos en Matemáticas han sido las
siguientes:
5, 2, 4, 9, 7, 4, 5, 6, 5, 7, 7, 5, 5, 2, 10, 5, 6, 5, 4, 5, 8, 8, 4, 0, 8, 4, 8,
6, 6, 3, 6, 7, 6, 6, 7, 6, 7, 3, 5, 6, 9, 6, 1, 4, 6, 3, 5, 5, 6, 7
Completar la tabla de distribución de frecuencia:
Clases
(notas) if ix
0 – 1.99
2 – 3.99
4 – 5.99
6 – 7.99
8 – 10
4. En la siguiente tabla se presentan los pesos de 40 estudiantes de
la Universidad de Panamá, con una aproximación de una libra
138 164 150 132 144 125 149 157
146 164 140 147 136 148 152 144
168 126 138 176 163 118 154 165
146 173 142 147 135 153 140 135
161 145 135 142 150 156 145 126
COLEGIO GERARDO MOLINA RAMIREZ
PEI: “COMUNICÁNDONOS CON CALIDAD MEJORAMOS EN HUMANIDAD”
NIT 900201695-6 DANE 111001104264
SECRETARÍA DE EDUCACIÓN DEL DISTRITO
Aprobación según Resolución No. 2735 de Julio 4 de 2007
Carrera 143 No: 142 A-62 Ciudadela Cafam II, Localidad de Suba PBX: 5553835/36/37 www.educacionbogota.edu.co Información: Línea 195
5. Una encuesta entre un grupo de madres-solteras, para analizar los problemas económicos que enfrentan, en determinada comunidad; arrojó los siguientes resultados acerca del número de niños en el hogar.
1 4 2 3 5 3 5 3 3 5
1 1 2 1 4 1 2 1 4 1
2 1 1 2 1 2 3 2 3 3
3 1 3 4 1 1 3 5 4 2
2 5 1 4 2 3 1 2 5 1
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