Estadistica Unas 3

Distribuciones de Probabilidad Discretas y

Continuas

Distribuciones de Probabilidades

117

Introduccin.

Las distribuciones de probabilidad se emplean el estudio de fenmenos aleatorios

en disciplinas como la ingeniera y las ciencias aplicadas o bien en negocios y la

economa. En este manual se desarrollar un mtodo para determinar las

distribuciones de probabilidad de una funcin de variable aleatoria.

La eleccin de una distribucin de probabilidad para representar un fenmeno de

inters prctico debe estar motivado tanto por la comprensin de la naturaleza del

fenmeno en s, como por la posible verificacin de la distribucin seleccionada a

travs de la evidencia emprica.

En todo momento debe evitarse aceptar de manera tcita una determinada

distribucin de probabilidad como modelo de un problema prctico.

Se evalan algunas distribuciones tanto discretas como continuas. En cada

caso se expondrn detalladamente las caractersticas distintas de las

distribuciones particulares de probabilidad y se establecern sus medias o

promedios y varianzas.

1. Variable aleatoria discreta 1(x).

Porque solo puede tomar valores enteros y un nmero finito de ellos.

Ejemplo:

x Variable que define el nmero de alumnos aprobados en la materia de

probabilidad en un grupo de 40 alumnos (1, 2 ,3 los 40).

1.1. Propiedades de una variable aleatoria discreta (X).

0 p (xi) 1: Las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que

toma x deben ser mayores o iguales a cero y menores o iguales a 1.

p (xi) = 1: La sumatoria de las probabilidades asociadas a cada uno de los

valores que toma x debe ser igual a 1.

1 Los valores que toma la variable, (de tipo cuantitativo discreto), son enteros positivos.


118

Ejemplo

Se tiene una moneda que al lanzarla puede dar slo dos resultados: o cara

(50%), o cruz (50%).

La siguiente tabla muestra los posibles resultados de lanzar dos veces una

moneda:

Primer

lanzamiento

Segundo

lanzamiento

Nmero de caras en

2 lanzamientos

Probabilidad de los 4

resultados posibles

cara cara 2 0.5 x 0.5 = 0.25

cara cruz 1 0.5 x 0.5 = 0.25

cruz cara 1 0.5 x 0.5 = 0.25

cruz cruz 0 0.5 x 0.5 = 0.25

Al realizar la tabla de distribucin del nmero posible de caras que resulta de

lanzar una moneda dos veces, se obtiene:

NMERO DE

CARAS LANZAMIENTOS

PROBABILIDAD DE ESTE

RESULTADO

P(CARA)

0 (CRUZ, CRUZ) 0.25

1

(CARA, CRUZ)

+

(CRUZ, CARA)

0.50

2 (CARA, CARA) 0.25

NOTA: Esta tabla no representa el resultado real de lanzar una moneda dos

veces sino la del resultado terico es decir representa la forma en que se

espera se comporte el experimento de lanzar dos veces una moneda.


119

2. Variable aleatoria continua (x). Porque puede tomar tanto valores enteros

como fraccionarios y un nmero infinito de ellos dentro de un mismo intervalo.

Ejemplo:

x Variable que define la concentracin en gramos de plata de algunas

muestras de mineral (14.8 gr., 12.1, 42.3, 15.0, 18.4, 19.0, 21.0, 20.8, ,

)

2.1. Propiedades de una variable aleatoria continua (x).

p(x) 0 Las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma

x deben ser mayores o iguales a cero. Dicho de otra forma, la funcin de

densidad de probabilidad deber tomar solo valores mayores o iguales a

cero.

El rea definida bajo la funcin de densidad de probabilidad deber ser de

1.


120

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES

El comportamiento de una variable aleatoria queda descrito por su distribucin de

probabilidad. Esta distribucin especifica su forma y sus parmetros.

En muchas tareas o anlisis de aplicacin estadstica, se busca determinar una

distribucin de probabilidad o modelo de probabilidad que satisfagan un conjunto

de supuestos, para estudiar los resultados observados de un experimento

aleatorio.

I. PRINCIPALES DISTRIBUCIONES DE VARIABLES ALEATORIAS

DISCRETAS

Muchos de los acontecimientos cotidianos, pueden ser representados

mediante funciones probabilsticas tericas, que son tiles en la toma de

decisiones bajo condiciones de incertidumbre que contribuyen al desarrollo

de la ciencia. Veamos algunos de ellos:

1. DISTRIBUCIN DE BERNOULLI. Consiste en realizar un experimento

aleatorio una sola vez y observar si cierto evento ocurre o no.

Caractersticas:

1. La prueba tiene 1 de 2 resultados mutuamente excluyentes (xito o

fracaso).

2. Las probabilidades de xito (E) y fracaso (F) se denotan con " p(E)=p " y

" p(F)=1-p = q" respectivamente.

3. X: es el nmero de xitos x = 0,1.

4. Distribucin de probabilidad de Bernoulli.

La variable aleatoria X tiene una distribucin de Bernoulli con parmetro

p y denotado por: XBer(p). La distribucin de probabilidad de la

variable aleatoria Bernoulli es:

FUNCIN DE CUANTIA:

valoresotrospara

xqpxXpxf

xx

0

1,0,)()(

1


121

Donde p es la probabilidad de conseguir un xito y f define una funcin de

cuanta con parmetro p.

FUNCIN DE DISTRIBUCION.

Si x tiene una distribucin de probabilidad de bernoulli de parmetros p, entonces

la media y la varianza de la variable aleatoria es respectivamente: = p

= p q

a) pxppxxE 1)1(0)(

b) pqppPppXE 2222222 )()1()1()0()(

PROBLEMA: Un experimento aleatorio consiste en seleccionar un artculo

defectuoso de un lote 1000 artculos que contiene 20 defectuosos.

a) Construir la cuanta y

ii) distribucin asociados a dicho experimento.

iii) Calcule esperanza matemtica y

iv) varianza de la variable de la variable con distribucin de Bernoulli.

v) Calcule )5.10( xP

Solucin:

p= (20/1000)=0.02 Probabilidad de xito.

1-p=q=1-0.02=0.98

i) CUANTA

valoresotrospara

xxXpxf

xx

0

1,0,98.002.0)()(

1

1:1

10:1

0;0

)()(

x

xp

x

xXPxF


122

ii) DISTRIBUCIN

1:1

10:98.0

0;0

)()(

x

x

x

xXPxF

Si X~Bernoull(x; 0.02), entonces:

iii) Esperanza matemtica = p=0.02

iv) Varianza = p q=0.02(0.98)=0.0196

v) )5.10( xP =F(1.5)-F(0)=1-0.98

2. DISTRIBUCIN BINOMIAL

Consiste en realizar un experimento aleatorio de n repeticiones o pruebas

independientes y repetitivas de Bernoull y observar si cierto evento ocurre o no.

Caractersticas:

Una variable aleatoria X cuyos valores posibles son discretos (0, 1, 2, 3, 4,, n) y

esta es asociada al nmero de aciertos en n ensayos sigue una distribucin de

probabilidad Binomial de importante uso los negocios; si al realizar un

determinado experimento se cumple que:

1

0

1

0.98

x

F(x)


123

La totalidad del experimento se puede describir en funcin de una

secuencia de n experimentos idnticos conocidos como ensayos.

Experimento que consiste en n pruebas o ensayos Bernoulli idnticos.

En cada uno de los ensayos, son posibles solamente dos resultados.

Nos referimos a uno de ellos como xito (acierto) y al otro como

fracaso.

Las probabilidades de los dos resultados no se modifican de un

ensayo al siguiente. La p(xito)= p y p(Fracaso)= (1-p)=q se mantienen

constantes a lo largo de todas las pruebas o ensayos.

Los n ensayos o pruebas son independientes, es decir el resultado de

un ensayo no afecta los siguientes o anteriores

FUNCIN DE CUANTIA:

casootrospara

nxppxXpXf

xnxn

x

0

,.......,2,1,0,)1()()(

Permite obtener la probabilidad simple de obtener x aciertos en un total de

n ensayos

FUNCIN DE DISTRIBUCION.

x

xnxn

x ppxXPXF0

)1()()(

Permite obtener la probabilidad acumulada de obtener hasta x aciertos en

un total de n ensayos.

Donde:

p : Probabilidad de xito

q = (1 -p) : Probabilidad de fracaso

n : nmero de pruebas

x : nmero de xitos en n pruebas

Si x es variable aleatoria con distribucin Binomial B(X; n, p) entonces: La

esperanza matemtica es =E(X) = np , y la varianza es =V(X) = np(1 p)


124

La variable aleatoria X, nmero de xitos en n ensayos de Bernoull se puede

escribir como una suma de n variables aleatorias independientes de Bernoull.

Esto es:

i

n

i

Xx

1

Siendo iX de Bernoull con: pXE i )( y ).1()var( ppX i Luego:

a) .)var()(11

1

1

nppXXEXEn

i

i

n

i

n

i

b) ).1()1()var(var)var(111

2 pnpppXi

Xn

i

i

n

i

n

i

X

NOTA. Si p=1/2, la distribucin binomial B(n,p) es simtrica. Adems, si p1,

la distribucin tiene asimetra negativa (cola a la izquierda), y si p0, la

distribucin tiene asimetra positiva (cola a la derecha).

PROBLEMA: Una mquina selladora de bolsas se desajusta durante el proceso

de envasado de leche, aunque el operador esta alerta existe una probabilidad de

0.08 que el artculo producido sea defectuoso.

i) Cul es la probabilidad que en una muestra de 12 artculos producidos

ninguno sea defectuoso?

ii) Cul es la probabilidad que al menos uno sea defectuoso en un lote de 15

artculos?

iii) Cul es el nmero promedio de artculos defectuosos en un lote de 1000

artculos producidos? y Cul es su desviacin tpica?

solucin

i) p (x = 0) = f (0) = b( 0 ; 12, 0.08 ) =

0

12(0.,08)0 (0.92)12

= 0.9212

Usando la tabla:

B(0 ; 12 , 0.08) = B (0 ; 12 ,0.08) = 0.3677

ii) p( X 1 ) = 1 - p(x 1) = 1 - p (x = 0) = 1 - 0.9215


125

Usando tablas:

p( X 1) = 1 - p(X 1) = 1 - p(X = 0) = 1 - B (0 ; 15 , 0.08)

= 0.7137

= np = 1000(0.08) = 80

= 579.8)92.0)(08.0(1000p) - (1 np

PROBLEMA: La probabilidad que un rayo impacte en un poste o cable de energa

elctrica de la red de distribucin de la Regin, en una noche de lluvia tormentosa

es 0.15. Encontrar la probabilidad que de 20 noches de lluvia:

i) Ocurra exactamente un impacto

ii) Ocurra a lo sumo de 3 impactos

iii) Ocurran de 2 o ms impactos

solucin:

x b(x ; 20 , 0.15)

USO DE LA TABLA

i) P(x =1) = f(1) = b(1 ; 20 , 0.15) = B(1 ; 20 , 0.15) - B(0 ; 20 , 0.15)

= 0.1756 - 0.0388 = 0.1368

ii) P(x 3) = B(3 ; 20 , 0.15) = 0.6477

iii) P(x 2) = 1 - P(x < 2) = 1 - P(x 1)

= 1 - B(1 ; 20 , 0.15)

= 1 - 0.1756 = 0.8244

USO DE LA TABLA

a) b (5 ;15 ,0.40) = 0.1859 Tabla de probabilidades simples

b) B(8 ; 12 , 0.70) = 0.5075 Tabla de probabilidad acumulada. Verifique que:

B(8 ; 12 , 0.70) = 1 - B(3 ; 12 , 0.30) = 1 - 0.4925 = 0.5075

c) b(8 ; 12 , 0.70)= 0.2312 Tabla de probabilidades simples

Verifique que:


126

b(8 ; 12 , 0.70) = B(4 ; 12 , 0.30) = B(4; 12, 0.30)-B(3;12,0.30)

= 0.7237 - 0.4925 = 0.2312

d) Para n=20 p=0.10 Calcular i) P(5 x 9); ii) P )95( x :

i) P(5 x 9) =

8

6x

0.10) 20, ;b(x =0.009+0.002+0.000=0.011

ii) P )95( x =

8

6x

0.10) 20, ;b(x =

9

0x

4

0

0.10) , ;20b(x - 0.10) , ;20b(x x

=B(9 ; 20 , 0.10) - B(4 ; 20 , 0.10) = 1- 0.9568 = 0.0432

e)

8

5

0.20) , ;16b(x x

=

4

0

8

0x

0.20) , ;16b(x 0.20) , ;16b(x x

=

=B(8;16,0.20)-B(4;16,0.20)

=0.9985-0.7982=0.2003

NOTA: Observe que, en general, B(n ; n , p) = 1


127

3. DISTRIBUCIN DE POISSON

Frecuentemente enfrentamos problemas como, llegadas o arribos a un sistema

real, por ejemplo: El nmero de automviles a una estacin de servicios en el

tiempo de una hora, el nmero de reparaciones que se necesitan en 10 kilmetros

de las carreteras, el nmero de personas que llegan a usar el cajero automtico

de un banco en una hora de tiempo, etc., en general procesos relacionados con

servicios prestados por ciertas dependencias pblicas, casetas de peaje, y el

nmero de accidentes efectuados en cierta rea de gran congestin. El modelo

Poisson es utilizado para describir estos tipos de procesos y resulta aplicable,

siempre y cuando se cumplan las siguientes dos condiciones:

La probabilidad de ocurrencia de un evento es la misma para cualesquiera

de dos intervalos de igual longitud

La ocurrencia o no ocurrencia del evento en cualquier intervalo es

independiente de la ocurrencia o no ocurrencia en cualquier otro intervalo.

Los eventos son independientes entre s.

Caractersticas:

1. El experimento en que el nmero de xitos ocurre durante una unidad de

tiempo rea o volumen.

2. La probabilidad de que un evento ocurra en una unidad dada de tiempo,

rea o volumen es la misma para todas las unidades.

3. El nmero de xitos que ocurren en una unidad de tiempo, rea o volumen

es independiente del nmero que ocurren en otras unidades.

4. El nmero medio de eventos en cada unidad se denota por Lambda ().

Su creador fue el francs Simen Denisse Poisson (1781-1840)

!

)(x

exXP

x , x = 0, 1, 2,

donde:

: Nmero medio de xitos de eventos en una unidad dada de tiempo, rea o

volumen

x : nmero de xitos

e : base neperiano el cual equivale a 2.71828

x : factorial de x


128

La media y la varianza de la variable aleatoria de la distribucin de Poisson

son respectivamente: = y =

MODELO

Experimento binmico en que la probabilidad de xito es bastante pequea

(p0) en tanto que la muestra es grande (n), su parmetro es =np

parmetro

CUANTA

,...3,2,1,0;!

)()(

xx

exXPxf

x

Donde:

: nmero medio de xitos de eventos en una unidad dada de tiempo, rea o

volumen

x : nmero de xitos

e : base neperiano el cual equivale a 2.71828

x : factorial de x

DISTRIBUCIN

00

;!

)()( Zxx

exXPxF

x

x

x

Si X es una variable aleatoria con distribucin de Poisson P(x,), entonces la

media y la varianza de la variable aleatoria de la distribucin de Poisson son

respectivamente: = y =

E(X) = V(X) = .

USO DE LA TABLA:

a) Sea X variable aleatoria con distribucin de Poisson, calcular:

f(0; 3) = F(0; 2) = 0.0498

f(6; 2.6) = 0.032

=F(6; 2.6) - F(5; 2.6) = 0.9828 0.9510 = 0.0318

Si =5.4 P(X8) = F(8; 5.4) = 0.9026

Si =6.8 P(X5)=1-P(X5)=1- P(X4) = 1 0.1920 = 0.808


129

PROBLEMA: El nmero de tornillos producidos por minuto con una mquina

automtica es una variable aleatoria que tiene la distribucin de Poisson con =

5.6. Si la mquina aumenta la velocidad se desajusta cuando produce por lo

menos 13 tornillos por minuto Cul es la probabilidad de desajuste de la

mquina?

SOLUCIN

Cuanta: X Poisson (x; 5.6)

,...3,2,1,0;!

6.5)()6.5;(

6.5

xx

exXPxf

x

P (x 13) = 1 - P (x < 13) =

12

0

6.5

!

6.51)12(1

x

x

x

exP

= 1 - 0.9949 = 0.0055

PROBLEMA: Se sabe que el 2% de de la produccin mensual de queso es

defectuoso. Se desea obtener una muestra de manera que el mximo nmero de

quesos defectuosos sea de 6 con una probabilidad de 0.95 Cul ser el tamao

de dicha muestra?

Solucin:

X b (x; n, p), donde p = 0.02 P(x 6) = 0.95

Como p es pequeo se aproxima a Poisson X

poisson (x;), donde: = np = 0.02 n. Por

interpolacin lineal:

1642.164

3.302.0

3.32.3

9490.095.0

9490.09554.0

n

n

Nota: Para casos en que n es grande y p es muy pequeo se puede utilizar la

distribucin de Poisson para aproximar la distribucin binomial.

np

x 3.2 =0.02n 3.3

6 0.9554 0.95 0.9490


130

II. PRINCIPALES DISTRIBUCIONES DE VARIABLES ALEATORIAS

CONTINUAS

4. DISTRIBUCIN NORMAL

Quizs la distribucin de probabilidad ms importante utilizada para describir

una variable aleatoria continua es la distribucin de probabilidad normal; es

aplicable en gran cantidad de situaciones de problemas prcticos. La

distribucin normal es la de mayor importancia en la Estadstica porque:

1. Muchas variables aleatorias continuas se distribuyen normalmente o se

supone que siguen la ley de probabilidad normal.

2. Sirve como una buena aproximacin de muchas distribuciones discretas,

como la binomial y la de Poisson.

3. Las distribuciones de muchos estadsticos muestrales se aproximan a la

distribucin normal.

La distribucin normal, o tambin conocida como distribucin Gaussiana,

debido a que su autor fue Karl Gauss durante el siglo XIX. Tiene algunas

propiedades que la hacen aplicable en un gran nmero de situaciones en las

que es necesario hacer inferencias mediante la toma de muestras.

Definicin.-

Sea X una variable aleatoria continua con media y varianza Entonces la

funcin de densidad es

La variable aleatoria X sigue una distribucin normal con parmetros , 2;

se denota por : );;(2 x

CARACTERSTICAS:

La curva f (x) es una distribucin unimodal.

Tiene forma de campana.

La forma de la curva f (x) es simtrica con respecto a la media .

Su media cae en centro de la curva, lo que nos lleva a la conclusin de

que su mediana y su moda estn en el mismo punto.

Adems sus extremos se extienden indefinidamente.

La curva f(x) tiene dos puntos de inflexin, situados a una distancia de

a cada lado de la media .

Las reas comprendidas bajo la curva normal son:

+ = 68.3%


131

+ 2 = 95.5%

+ 3 = 99%

DENSIDAD

Su funcin de densidad de probabilidad, tiene la forma de una campana

como la figura siguiente:

La funcin matemtica que nos da la densidad de probabilidad f(x) para este

modelo de distribucin es:

Parmetros : media 2: varianza

Si X es una variable aleatoria con distribucin normal (x; ,2), entonces

E(x)= y V(x)=2

En esta ecuacin:

f(x) :funcin de densidad de probabilidad normal

:Desviacin estndar de la variable aleatoria

2 : Varianza de la variable aleatoria

:Valor medio o esperanza matemtica de la variable aleatoria

e :Base de los logaritmos naturales, e = 2.71828

:Nmero Pi , 3.14159

x :variable aleatoria que puede varan entre - x

Esta funcin f(x) es muy sensible a los valores de (la desviacin estndar),

por cuanto para igual valor de esperanza matemtica , la curva tiende a

aplastarse y a ensancharse a medida que aumenta la desviacin estndar,

x

x

exf ;

2)(2

1

2

1)(


132

por el contrario, menores valores de tienden a comprimir la curva

alrededor del valor de la esperanza matemtica , aumentando el valor de la

curva.

DISTRIBUCIN

dxt

x

etxF

2)(2

1

2

1)(

Esperanza matemtica

dx

x

xexE

2)(2

1

2

1)(

Varianza

dx

x

exxV

2)(2

1

2)(2

1)(

Afortunadamente cuando utilicemos la distribucin normal para describir una

variable aleatoria continua, nunca tendremos que utilizar la funcin de

densidad de probabilidades f(x) F(x). En su defecto, utilizaremos una

modificacin de la misma, denominada Distribucin Normal Estndar de

aplicacin general para cualquier valor de esperanza matemtica y

desviacin estndar.

DISTRIBUCIN NORMAL ESTNDAR

DENSIDAD

Mediante la transformacin z = (x-)/ se obtiene la distribucin normal estndar cuya densidad de la variable estandarizada es:

xeZf Z ;2

1)( 2/

2

El valor esperado y varianza de Z son:

E(Z) = 0 V(Z) = 1


133

CARACTERSTICAS

Si X es una variable aleatoria continua distribuida normalmente con

media y varianza , lo denotamos por N(,).

Aplicando esta notacin a la variable normal estandarizada Z, escribimos

N (0,1), esto es, Z es normal con media cero (0) y varianza uno (1).

La superficie bajo la curva normal estandarizada es igual a 1. por

consiguiente, las probabilidades pueden representarse como superficies

bajo la curva normal estandarizada entre dos valores distintos.

f(x)

x

z=0

Area o

Probabilidad

z

Si z es una variable con distribucin normal (z; 0, 1), entonces E(z)=0 y V(z)=1

DISTRIBUCIN NORMAL ESTANDAR

t

Z dzetZf 2/2

2

1)(

1/2

F(z)

1

0 z


134

USO DE TABLAS

Si X ~ n(x; 23, 9) calcular: a) P(X > 25) b) 5 XP c) 2620 XP Solucin

a)

3

23252525 ZP

XPXP

67.0167.0 ZPZP

= 1 0.7486 = 0.2514

b)

3

5

3

5555

XPXPXP

= )67.1()67.1(67.167.1 ZPZPZP

= 0.9525-0.0475=0.905

Tambin se cumple:

= 2 )67.1( ZP 1 = 2 (0.9525) 1 = 0.905

c) )1()1(3

3

3

3

3

2326

3

2320

ZPZPZP

XP

=0.8413-0.1587=0.6826

Tambin se cumple =2 )67.1( ZP -1= 0.6826

PROBLEMA: La estatura media de escolares varones de 10 14 aos de edad

es 123cm con una desviacin tpica de 10.7cm, se sabe que la estatura se

distribuye normalmente. Si se selecciona al azar uno de estos nios Cul es la

probabilidad que su estatura sea:

a) Mayores que 132.34cm? b) Menores de 100cm?

Solucin

a)

7.10

12334.13234.132

XPXP = P (Z > 0.87)

= 87.01 ZP = 1 0.8078 = 0.1922

b) 15.27.10

123100100

ZP

XPXP

= 0.0158


135

PROBLEMA: Una planta de elaboracin de productos lcteos es abastecida de

leche cada 2 das, el consumo en volumen de leche para la produccin tiene una

distribucin normal con media de 2000 litros y desviacin tpica 500 litros. (Se

entiende el consumo cada dos das). Se trata de hallar la capacidad de su tanque

de leche para que sea de solo 0.05, la probabilidad que en un periodo de 2 das,

la leche no sea suficiente para satisfacer toda la demanda.

Solucin:

x el valor de la v.a.

X: representa, el volumen de consumo de leche cada dos das.

X ~ n(x; 2000, 5002)

C : Capacidad del tanque

P(X > C) = 0.05

05.0500

2000

CXP

05.0500

2000

C

ZP

05.0500

20001

C

ZP

95.0500

2000

C

ZP

2822.5 C ; 3645.1500

2000

C

Capacidad del tanque es de 2822.5 litros.

DISTRIBUCIN JI CUADRADA () .

Sea n un nmero natural. Una variable aleatoria continua X se denomina

distribuida 2(), con n grados de libertad, si la densidad de probabilidad fx tiene la

forma.

0 ; para x 0,

f(x) = 1

(

2)2

2

[()]

21

[()]

2 ; > 0


136

FUNCIN DE DISTRIBUCIN O ACUMULATIVA.

() = 1

(2) 2

2

0

[()]2

1 [()]

2 2

Donde n: nmero de grados de libertad.

Ejemplo.

a) Sea el percentil x2 (29) = 11.0, Calcular [2(29) 11.0]

Solucin.

[2(29) 11.0] = . . La probabilidad es de 0.001.

Ejemplo

Sea el percentil x2 (45) = 80.1, Calcular [2(45) 80.1]

Solucin.

[2(45) 80.1] = 0.999. La probabilidad es de 0.999

Ejemplo.

[2(10) ] = 0.0005, entonces x = 1.26

[2(15) ] = 0.999, entonces x = 37.7

DISTRIBUCIN t STUDENT t(n).

Teorema. Sea Z una variable aleatoria normal estndar y X una variable aleatoria

chi-Cuadrado con n grados de libertad. Si Z y X son independientes, entonces la

variable aleatoria

=

Tiene una distribucin t de Student con n grados de libertad y una funcin de

densidad de probabilidad dada por

(; ) = (

+ 12 )

(2)

[1 +2

]

(+1)/2


137

Donde n = grados de libertad.

La distribucin t es una distribucin simtrica.

El uso de la tabla t es semejante a la tabla de la Ji-Cuadrada.

La funcin de probabilidad en trminos acumulativos est dada por:

( (1 ,)) = (, )(1 ,)

= 1 , 0 1

Ejemplo.

Calcular [(20) 1.725] = ?

Solucin.

[(20) 1.725] = . . La probabilidad es de 0.95.

Calcular [(20) 1.725] = ?

Solucin.

[(10) 0.879] = . . La probabilidad es de 0.80.

Ejemplo.

[(15) ] = . . Entonces t = - 0.879.

[(14) ] = . . Entonces t = 1.761.

Tambin se puede representar de la siguiente manera:

[ (0.90 , 15)] t =1.341 y [ 1.341] = 0.90.

[ (0.95 , 15)] t =1.753 y [ 1.753] = 0.95.

[ (0.99 , 15)] t =2.602 y [ 2.602] = 0.99.


138

Dado que la distribucin t es simtrica con respecto al cero, para > 0.5, los

valores cuantiles (1 ,), sern negativos pero sus magnitudes sern las mismas

que las

de los correspondientes valores que se encuentran en el lado derecho. De esta

forma:

[ (0.10 , 15)] t = -1.341 y [ 1.341] = 0.10.

[ (0.05 , 15)] t = -1.753 y [ 1.753] = 0.05.

[ (0.01 , 15)] t = -2.602 y [ 2.602] = 0.01.

DISTRIBUCIN F SNEDECOR (FISHER).

La distribucin F se caracteriza completamente por los grados de libertad v1 y v2.

La distribucin F tiene asimetra positiva para cualesquiera valores de v1, v2, pero

sta va disminuyendo conforme v1 y v2 toman valores cada vez ms grandes.

Ejemplo.

[ (0.90 ,5,10)] t = 2.52y [ 2.52] = 0.90.

[ (0.95 ,5,10)] t = 3.33y [ 3.33] = 0.95.

[ (0.99 ,5,10)] t = 5.64y [ 5.64] = 0.99.

Estadistica Unas 3

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