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1
UNIVERSIDAD ANDINA NESTOR CACERES
VELASQUES
UNIVERSIDAD ANDINA
NESTOR CACERES VELASQUEZ
FACULTAD DE INGENIERIA Y CIENCIAS PURAS
CARRERA ACADEMICO PROFESIONAL DE
INGENIERIA CIVIL
TRABAJO
FLEXION PURA
ANALISUS Y DISEO DE VIGAS PARA FLEXION
ESFUERZOS CORTANTES EN VIGAS Y ELEMENTOS DE PARED DELGADA
ASIGNATURA:
MECANICA DE MATERIALES I
GRUPO NO 06
INTEGRANTES
MAMANI AJAHUANA, ADAM
AQUINO VILCA, HUGO
APAZA MAMANI, AMERICO
DOCENTE: ING. ALEX D. ROQUE ROQUE
SEMESTRE: IV
SECCION: A
JULIACA, 6 de ee!" de #$%&
MECANICA DE MATERIALES I
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UNIVERSIDAD ANDINA NESTOR CACERES
VELASQUES
4.156.- Para la barra curva que se muesra e! la "#ura$ %eerm&!e eles'uer() e! el *u!) A cua!%) a+ r1, &! b+ r1, 5&!.
S)luc&/!
a + r1,mm r2 , 02,5mm
R ,
h
ln(R2
R1) ,
20
ln(50
30) ,.152
,
1
2 3r1 0 r2 + , 4mm
E , R , .477mm
A , 32+3+ , 6mm2 , 6 8 1-6m2
9A,.152 -2 , .152mm
:A, -My
Aer , -(75 )(9.1523x 103)
(600x 106 ) (0.8177x103 )(30x103) , -45.816 Pa
,-45.M*a
b+ r1, 5mm$ r2,5 0 2 , 7mm
R ,
r2
r1
ln h
,
20
ln(70
50) , 5.4427
,1
2 3 r10 r2+ , 6mm
e , R , .557mm
;A , -My2
Aer 1 , -(75 )(9.44027)
(600x 106 ) (0.55973x103 )(50x103) , -42.2816 ,
-42.2 M*a
MECANICA DE MATERIALES I
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4.157.- *ara la barra curva que se muesra e! la "#ura$ %eerm&!e eles'uer() e! l)s *u!)s A < = cua!%) > ,4mm
S)luc&/!?
> , 2mm r1 , 4mm r2 , 4 0 6mm
A , 3+32+ , 6mm2, 681-6m2
R ,
h
ln(r2
r1) ,
20
ln(60
70) , 4.261mm
,1
2 , 3r10 r2 + , 5mm e , R , .67mm
9A, 4.261 -4 , .261 mm rA , 4mm
:A , -Mya
A e ra , -
40x1039(600x106 ) (0.6739x 103 )
(75)(9.3261x103)
, -4.2816,-4.2
M*a
9= , 4.261-6 , -1.67mm
:= , -M ya
A e ra , -(75 )(9.3261x 103)
(600x 106 ) (0.6739x103 )(40x 103) , . 8 16*a
, . M*a
4.15.- *ara la barra curva < la car#a que se muesra e! la "#ura $%eerm&!e el es'uer() e! l)s *u!)s A < = cua!%) > , 2.75&!
s)luc&/! ?> , 2.75&! r1 , 2.5&! r2, 5.25&!A , 31.2+32.75+ , . &! M , 5@&* &!
R ,
h
ln(r2
r1) , -
2.75
ln(5.25
2.5) , .765&!
,
1
2 3 r1 0 r2+ , .75&! e , - R , .165&!
MECANICA DE MATERIALES I
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9a , .765 -2.5 , 1.265 &! rA , 2.5 &!
:A , -M yaA e ra , -
(5 )(1.2065)(3.30 ) (0.1685 )(2.5) , -4.4 @ s&
9= , .765 - 5.25 , -1.545 &! r= , 5.25 &!
:A , -M yB
A e ra , -(5 )(1.5435)
(3.30 ) (0.1685 )(5.25) , 2.64 @ s&
4.15.- *ara la barra curva < la car#a que se muesra e! la "#ura$ %eerm&!e
el se'uer() e! el *u!) A cua!%) a+ >, 2.5&! b+ > , &!
s&luc&)!?a+> , 2.5&! r1 , 2.5&! r2 , 5 &!A , 31.2+32.5+ , . &! M , 5 @&*&!
R ,
h
ln(r2
r1) ,
2.5
ln( 5
.25) , .667
,1
2 3 r10 r2+ , .75 e , R , .14&!
9A , .667 2.5 , 1.167 &! rA , 2.5 &!
:A , -M yA
A e rA , -
1.1067 (300) (0.1433 )(2.5)
(5 )
, -5.15 @ s&
b+ > , &! r1 , 2.5 &! r2, 5.5 &! A , 1.2+3+ ,
.6 &!2
R ,
h
ln( r 2r 1 ) ,-3
ln(5.5
2.5) , .4 &!
9A, .4 - 2.5 , 1.4 &! rA , 2.5 &!
:A , -M yA
A e rA , -(5 )(1.3049)
(3.6 ) (0.1951 )(2.5) , -.72 @ s&
MECANICA DE MATERIALES I
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4.16.- la *)rc&/! curva %e la barra que se muesra e! la "#ura &e!e u!ra%&) &!er!) %e 2 mm. S& se sabe que el es'uer() *erm&s&ble e! la
barra es %e 15 M*a$ %eerm&!ar la %&sa!c&a m8&ma *erm&s&ble a%es%e la lB!ea %e acc&/! %e la 'uer(a %e @N >asa el *la!& ver&cal quec)!&e!e el ce!r) %e curvaura %e la barra.
M , *3a 0 +
R , P3 a 0 +
R ,
h
ln( r 2r 1 ) e , - R
:A , -P
A -M yA
A e r1 , -P
A -P (a+)yA
A e r 1 , -P
A
, 25mmr1, 2mm
r2, 45mm , 2.5mm
R ,
25
ln( 4520 ) , 2.2 mme, 2.5-.2 , 1.6712mmR r , 1.2mm
P , 81 N m ;A , -15816 *a
, - A AP , - (150x106 )(625x106)3x 103 , 1.25 a 0 ,
( k1 ) e r 1Rr 1 , -
(30.25 ) (1.6712 )(20)10.8288 ,.7
a, .7 2.5 , 6.mm
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4.161.-la *)rc&/! curva %e la barra que se muesra e! la "#ura &e!e u!ra%&) &!er&)r %e 2 mm S& se sabe que la lB!ea %e acc&/! %e la 'uer(a %e
N se l)cal&(a a u!a %&sa!c&a a , 6 mm %el *la!) ver&cal que c)!&e!eel ce!r) %e curvaura %e la barra %eerm&!e el es'uer() m8&m) e! la barra.
s)luc&/!?
M , P 3 a 0 +
R ,
h
ln(r2
r1) e , - R
:A , -P
A M yA
A e r1 , -P
A -P (a+)yA
A e r 1 , -P
A , 25mmr1 , 2mm
r2 , 45mm , 2.5mm
R ,
25
ln(45
20) ,.2mm
e , 2.5-.2 , 1.6712mmb ,25mmA ,b> , 325+325+, 625mm2, 62581-6 m2
a , 6mma 0 , 2.5mm
R - r1, 1.2mm
, 1 0( 92.5 )(108288)
(1.6712 )(20) , .6
P , 8 1N
:A , -KP
A , -(30.968 )(3x 103)
(625x 106) , - 14.6816*a , -14.6 M*a
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4.16.- l)s eslab)!es %e acer) que &e!e la secc&/! ra!sversal m)sra%)e! la "#ura se e!cue!ra %&s*)!&ble c)! %&'ere!es a!#ul)s ce!rales .S& se sabe que el es'uer() *erm&s&ble es %e 15 @ s& %eerm&!e la 'uer(am8&ma P que *ue%e a*l&carse a u! eslab)! *ara el que ,
a , 3 1 c)s 2 +
s& M , - *a
R ,
h
ln(r2
r1) . e , R
E! el *u!) A
:A ,P
A M yA
A e r1 ,P
A 0Pa yA
A e r 1 ,P
A 310a yA
e r1 + ,@P
A
, 1 0a yA
e r1
, .16&!
A ,3.25+3.6+ , .15&! R ,
06
ln(1.2
0.6) , .6562 .6 , .26562&!
a , . 31 c)s 45 + , .266&!
, 10(0.26360)(0.26562)
(0.03438 )(0.6) , 4.4
P ,(0.15 )(15)4.3943 , .512 &*s , 512lb
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4.164.- re)me el *r)blema 4.16 < a>)ra su*)!#a que , 6
a , 3 1 c)s
2 +
s& M , - *a
R ,
h
ln(r2
r1) e , - R
:A,
P
A 0
M yA
A e r1 ,
P
A 0
Pa ya
A e r1 ,
p
A 31 0
a y 1
e r1 + ,
p
A , 1 0a y 1
e r1 , .6&!b1, .25
A , 3.25+3.6+ , .15&! R ,
0.6
ln(1.2
0.6) , .6562&!
e,.-.6562 , .4 &!
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'.%#6.( )* +-* A, /0e 1"223e de 0* 4)*1* de 5e!!" 1")*d" de e24e2"! 0"!7e 8 9 )"-30dL, de8e 2"4"!3*! )* 1*!-* /0e 2e 70e23!* e )* -0!*. A:.( 2 )* +-* de8e 2e! de !e223e1*1"23*3e, e;4!e2e 5 e 3 ?6., 5"> %# ., 8 > %.#' 9 @4e!7 > #&2
Solu!"#
+Fy=
0
RA+R BWL=0
RA=RB=WL
2
+ MJ=0
WL
2 XWX
X
2+M=0
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M=W
2 X(LX)
S=|M|perm
=WX(LX)
2perm
S=1
6b h
2
1
6b h
2=WX(LX)
2perm
h=
(3WX(LX)
perm b
)
1
2
X=L
2h=ho=(3WX(L
2)4perm b)
1
2
1X
L
X
L()
h=ho
W=4perm b ho
2
3L2
W=(4)(36)(1.25)(12)2
(3)(36) =6.67kip /
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VELASQUES
'.%#B.( )* +-* A, /0e 1"223e de 0* 4)*1* de 5e!!" 1")*d" de e24e2"! 0"!7e 8 9 )"-30dL, de8e 2"4"!3*! )* 1*!-* /0e 2e 70e23!* e )* -0!*. A:.( 2 )* +-* de8e 2e! de !e223e1*
1"23*3e, e;4!e2e 5 e 3 ?6., 5"> %# ., 8 > %.#' 9 @4e!7 > #&2
S")01
V=P
M=Px|M|=Px
S=|M|perm
= P
permx
S=16
b h2
I-0*)*d"1
6b h
2= P
permx
h=(6Pxperm b )1
2
x=L
h=ho=( 6PLperm b )1
2
h=hox
L
P=perm b ho
2
6L
P=
(36)(1.25)(12)2
(6)(36)
P=30kips
MECANICA DE MATERIALES I
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VELASQUES
'.%#.( )* +-* A, /0e 1"223e e 0* 4)*1* de *)07" 1" e24e2"! 0"!7e 8 9 )"-30d Lde8e 2"4"!3*! )* 1*!-* /0e 2e 70e23!* e )* -0!* A:.( 2 )* +-* de8e 2e! de !e223e1*
1"23*3e, e;4!e2e 5 e 3 #$$ 77., 8 > #'77 9 @4e!7 > B#M4*.
S")01
RA=RB=1
2
+ MJ=0
P2
X+M=0
M=W
2 X (0
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h=ho
2X
L(0L
2 X e LX
8:
P=2permb ho
2
3L
7210
(2 )(6)(0.025)(0.2002)
(3)(0.8)P=
P=60103!
P=60K!
'.%?$.( )* +-* A, /0e 1"223e de 0* 4)*1* de 5e!!" 1")*d" de e24e2"! 0"!7e 8 9 )"-30dL, de8e 2"4"!3*! )* 1*!-* d23!80d* ;: /0e 2e 70e23!* e )* -0!*. A:.( 2 2e 2*8e /0e )* +-*de8e 2e! de !e223e1* 1"23*3e, e;4!e2e 5 e 3 ?$$NH7 9 @4e!7 > #$$MP*.
SOLUCION.(
"V
"x=W=W# sin
$x
2L
V=2W#L
$ cos
$x
2%+&
V=0y x=0' &1=2W#L
$
"M
"x=V=
2W#L
$ (1cos $x
2L )
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M=2W#L
$ (x
2L
$ sin
$x
2L)
|M|=2W#L
$ (x
2L
$ sin
$x
2L)
S=|M|perm
=2W#L
$perm(x
2L
$ sin
$x
2L)
SI
S=1
6b h
2
IGUALANDO1
6b h
2=2W#L
$perm (x2L
$ sin
$x
2L )
h=(12W#L$perm b(x2L
$ sin
$x
2L ))1
2
x=L
h=ho=(12W#L
2
$perm b(1
2
$
))1
2
h=1.178W#L
2
perm b
*:
h=ho[ x
L
2L
$ sin
2x
2L
12
$ ]
1
2
DATOS
L=750mm=0.75m b=30mm=0.030m
( o=300k!
m=300103
!
m perm=250MPa=25010
6Pa
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3001025010
(3)(0.75)2
(6)(0.030)
ho=1.178
ho=176.7103
ho=176.7mm
'.%?%.( )* +-* A, /0e 1"223e de 0* 4)*1* de 5e!!" 1")*d" de e24e2"! 0"!7e 8 9 )"-30dL, de8e 2"4"!3*! )* 1*!-* d23!80d* ;: /0e 2e 70e23!* e )* -0!*. A:.( 2 2e 2*8e /0e )* +-*
de8e 2e! de !e223e1* 1"23*3e, e;4!e2e 5 e 3 ?$$NH7 9 @4e!7 > #$$MP*.
S")01
"V
"x=W=
W#x
L
V=W#x
2
2L =
"M
"x
M=W#x3
6L
|M|=W#x
3
6L
S=|M|perm
= W#x
3
6permL
SI
S=1
6
b h2
IGUALANDO
1
6b h
2= W#x
3
6Lperm
h= W#x
3
permLb
x=L
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VELASQUES
h=ho=W#L
2
perm b
h=ho(xL )3
2
DATOS
L=750mm=0.75m
b=30mm=0.030m
( o=300k!
m=300103
!
m
perm=250MPa=250106Pa
3001025010
(3)(0.75)2
(6)(0.030)
ho=
ho=150103
m
ho=150mm
'.%?#.( 0 d2e" 4!e)7*! 8*2*d" e e) 02" de 0* +-* 4!27=31* e +")*dK" d1" /0e 2e!e/0e!!= 0* +-* 1" 0* 2e11 3!*2+e!2*) !e13*-0)*! de # . E24e2"! 4*!* 2"4"!3*! 1"2e-0!d*d )* 1*!-* /0e 2e "82e!+* e )* 4*!3e *: de )* -0!*. De240
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VELASQUES
|M|=PX
P*!*
B '|M|B=Mmax
& '|M|&=MmaxX&/6.25
)'|M|)=MmaxX) /6.25
SB=1
6b h
2=1
6b(5b)2=
25
6 b
3
A '& S &=1
6b(b)2=
1
6b
3
&' ) S)=1
6b(3b)2=
9
6b
3
|M|&|M|B
= X&
6.25=
S&
SB=
1
25
X&
=(1)(6.25)
25
=0.25 *+
%1=6.250.25=6.00 *+
|M|)|M|B
= X)
6.25=
S)
SB=
9
25
X)=(9)(6.25)
25 =2.25 *+
%2=6.252.25=4.00 *+
MECANICA DE MATERIALES I
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VELASQUES
'.%??.( 0 d2e" 4!e)7*! 8*2*d" e e) 02" de 0* +-* 4!27=31* e +")*dK" d1" /0e 2e!e/0e!!= 0* +-* 1" 0* 2e11 3!*2+e!2*) !e13*-0)*! de # . E24e2"! 4*!* 2"4"!3*! 1"2e-0!d*d )* 1*!-* /0e 2e "82e!+* e )* 4*!3e *: de )* -0!*. De240
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VELASQUES
X)=(6.25)9
25=3.75 *+
%2=6.253.25=2.50 *+
'.%?&.( 0 d2e" 4!e)7*! 8*2*d" 4!e)7*! 8*2*d" e e) 02" de 0* +-* 4!27=31* de7*de!* 274)e7e3e *4"9*d* d1" /0e 2e !e/0e!d* 0* +-* 1" 0* 2e11 3!*2+e!2*)!e13*-0)*! de '$ 77 de *15" 9 #$$ 77 de e24e2"! 4*!* 2"4"!3*! 1" 2e-0!d*d )* 1*!-* /0e2e 70e23!* e )* 4*!3e *: de )* -0!*. De240
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VELASQUES
S)
S&=
h)2
h&
2=( 100mm200mm )
2
=1
4=
M)
M&=
X)
1.2
X)=0.3m
%
2=1.2X)=0.9
%=1.800m
'.%?'.( 0 d2e" 4!e)7*! 8*2*d" 4!e)7*! 8*2*d" e e) 02" de 0* +-* 4!27=31* de7*de!* 274)e7e3e *4"9*d* d1" /0e 2e !e/0e!d* 0* +-* 1" 0* 2e11 3!*2+e!2*)!e13*-0)*! de '$ 77 de *15" 9 #$$ 77 de e24e2"! 4*!* 2"4"!3*! 1" 2e-0!d*d )* 1*!-* /0e2e 70e23!* e )* 4*!3e *: de )* -0!*. De240
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VELASQUES
A '&(0.8) (0.4 ) (=0.32(
& ' , (12 ) (0.4)(0.4 )(=0.08 (
MOMENTOS
& M&=0.40(
A '& M=0.40(x
'& S&=1
6b h&
2
M&=Mmax=0.40(
' F SF=1
6b hF
2
MF=0.40( xF
SF
S&=
hF2
h&2=(100mm200mm )
2
=1
4=
MF
M&=
0.40(xF
0.40(
xF=0.25m
%
2=1.2xF=0.95m
%=1.900m
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SOLUCION
MECANICA DE MATERIALES I
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UNIVERSIDAD ANDINA NESTOR CACERES
VELASQUES
+ MJ=0
MP (LX)=0M=P(LX)
|M|=P(LX)
S=|M|perm
=P(LX)
perm
SI
S=1
6b h
2
IGUALANDO1
6b h
2=P(LX)
perm
b=6P(LX)
perm h2
COMO
X=0
b=b#= 6PL
permh2
b=b#(1XL )
Ree74)*K*d" d*3"2 9 de24e*d" 5
h=
6PL
perm b#
h=(6)(3.2)(12)
(24)(15)
h=0.800
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UNIVERSIDAD ANDINA NESTOR CACERES
VELASQUES
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4
UNIVERSIDAD ANDINA NESTOR CACERES
VELASQUES
=M
S=
1000103
6445106=155.2106Pa=155.2MPa
E D
S=3510103 mm3=3510106 m3
F0e!K* N"!7*)
=M
S=
500103
3510106=142.4106Pa=142.4MPa
'.%&%.( d"2 4)*1*2, 1*d* 0* 2" 1" 0 e24e2"! de $.'., 2e 20e)d* * 0* +-* #B;& 1"7"2e 70e23!* e )* -0!*. S )>%$3 9 8>%$.'., de3e!7e e) e20e!K" "!7*) 7=;7" 2"8!e 0*2e11 3!*2+e!2*) *: *3!e+e2 de) 1e3!" de )* +-*, 8: 023" * )* K/0e!d* de D.
S")01
RA=RB=80Kips
+ MJ=0
80X+M=0
M=80XKips*+
E C
X=9 *+
M&=720Kip*+=8640Kips
E D
X=95=4 *+
M)=(80 ) (4 )=320Kip*+=3840Kip
E 1e3!" de )* +-*
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VELASQUES
-=-.i/a+2-p%
-=2820+2[ (10.5 ) (0.500 )(26.71
2 + 0.500
2 )2
+ 112
(10.5)(0.500)3]-=47943
0=26.71
2 +0.500=13.855
F0e!K* "!7*)
=M&- =(8640
)(13.855
)4794
=25.0Ksi
E D
S=2133
F0e!K* "!7*)
=
M
S =
3840
213=18.03Ksi
'.%.( d"2 4)*1*2, 1*d* 0* 1" 0 e24e2"! de $.'., 2e 20e)d* * 0* +-* #B;& 1"7" 2e70e23!* e )* -0!*. S 2e 2*8e /0e @4e!7 > #&2 3*3" 4*!* )* +-* 1"7" 4*!* )*2 4)*1*2,de3e!7e e) +*)"! !e/0e!d" 4*!* *: )* )"-30d de )*2 4)*1*2, 8: e) *15" de )*2 4)*1*2.
S")01
RA=RB=80Kips
+ MJ=0
80X+M=0
M=80XKips*+
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UNIVERSIDAD ANDINA NESTOR CACERES
VELASQUES
E D
S=2133
Ma=perm S= (24) (213)=5112Kip
Ma=426Kip
F*!M)=Ma
80X)=426
X)=5.325 *+
%=182X)=7.25 *+
E 1e3!" de )* +-*
M=(80 ) (9 )=720Kip*+=8640Kip
S= M
perm
=8640
24 =3603
0=26.71
2 +0.500=13.855
M"7e3" de e!1* !e/0e!d"
-=S&=4987.8 4
Pe!"
-=-.i/a+2-p%
4987.8=2850+2[ (b) (0.500 )( 26.712 + 0.5002 )2
+ 1
12(b)(0.500)3]
4987.8=2850+185.12 b
b=11.55
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7
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VELASQUES
'.%&&.( d"2 4)*1*2, 1*d* 0* de B.' 77 de e24e2"!, 2e 20e)d* * 0* +-* 6$;B& 1"7" 2e70e23!* e )* -0!*. S ) >'7 9 8 >#$$77, de3e!7e e) e20e!K" "!7*) 7=;7" 2"8!e 0*2e11 3!*2+e!2*) *: * 3!*+
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UNIVERSIDAD ANDINA NESTOR CACERES
VELASQUES
=
M
S =
320103
2098106=152.6
10
6Pa
=152.6MPa
E D
S=1460103 mm3=1460106 m3
F0e!K* "!7*)
=MS= 19510
3
1460106=133.6106Pa
=133.6MPa
'.%&'. d"2 4)*1*2 de B.' 77 de e24e2"!, 2e 20e)d* * 0* +-* &6$ ; B' S 2e 2*8e/0e e) @4e!7 > '$M4* 3*3" 4*!* )* +-* 1"7" 4*!* )*2 4)*1*2, de3e!7e. E) +*)"!!e/0e!d" 4*!* *:. )* )"-30d de )*2 4)*1*2 ,8: .e) *15" de 4)*1*2.
MECANICA DE MATERIALES I
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VELASQUES
SOLUCION
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77
MECANICA DE MATERIALES I
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VELASQUES
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3
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8
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UNIVERSIDAD ANDINA NESTOR CACERES
VELASQUES
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SOLUCION
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SOLUCION
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UNIVERSIDAD ANDINA NESTOR CACERES
VELASQUES
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VELASQUES
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SOLUCION
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FUERZA CORTANTE
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VELASQUES
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SOLUCION
REACIONES
RA>R F9>$A('%$: > $
A> (#'
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9
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6
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2
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S")01
MECANICA DE MATERIALES I
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VELASQUES
MC>$($.B' A $.'P ($.%'P >$ A> $.&666BP
MD>$$.B'C ( $.#'P ($. P > $
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SECCIONA Y V> $.&66BA > $.%%66BP
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