7/23/2019 Induc. Magn. Circuito RL 09
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Tema 10
INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
10.1 Ley de Faraday-Henry
10.2 Ley de Lenz
10.3 Fuerza electromotriz de movimiento
10.4 Corrientes de Foucault
10.5 Inducción mutua y autoinducción
10. Circuitos !L
10." #ner$%a ma$n&tica
10.' Introducción a las ecuaciones de (a)*ell
BIBLIOGRAFÍA
- Alonso; Finn. "Física ". Cap. 26 y 27. Addison-Wesley Iberoamericana- Gettys; eller; !o#e. "Física cl$sica y moderna". Cap. 2% y 2&. 'cGr- )alliday; *esnic. "F+ndamentos de ,ísica". Cap. . C/C!A.- *oller; 0l+m. "Física". Cap. 7 y %. *e#ert1.- !er(ay. "Física". Cap. 3 2 y 4. 'cGra(-)ill.- 5ipler. "Física". Cap. 2%. *e#ert1.
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10.1 Ley de Faraday-Henry
+ ,rinci,ios de la d&cada de 1'30 Faraday en
In$laterra y . Henry en /..+. descurieron de
orma inde,endiente ue un cam,o ma$n&ticoinduce una corriente en un conductor siem,re ue
el cam,o ma$n&tico sea variable. Las uerzas
electromotrices y las corrientes causadas ,or los
cam,os ma$n&ticos se llaman fem inducidas y
corrientes inducidas. +l ,roceso se le denomina
inducción magnética.
Experimento 1ariación de luo
ma$n&tico ⇒ inducción
Experimento 2
ariación de
corriente ⇒ inducción
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Enunciado de la ley de Faraday-HenryEnunciado de la ley de Faraday-Henry
/n luo variale ,roduce una em inducida en una
es,ira. Como esta em es el traao realizado ,or
unidad de car$a esta uerza ,or unidad de car$a
es el cam,o el&ctrico inducido ,or el luo variale.
La inte$ral de l%nea de este cam,o el&ctrico
alrededor de un circuito com,leto ser6 el traao
realizado ,or unidad de car$a ue coincide con la
em del circuito.
∫ Φ
−==εc
m
dt
dld·E
La fem inducida en un circuito es proporcional a
la variación temporal del flujo magnético que lo
atraviesa.
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10.2 Ley de Lenz
La fem y la corriente inducida en un circuito
poseen una dirección y sentido tal que tienden a
oponerse a la variación que los produce.
La corriente inducida se dee al movimiento
relativo entre el im6n y la es,ira.
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10. F!erza e"e#$r%m%$r&z de m%'&m&en$%
u,on$amos una varilla conductora ue se
desliza a lo lar$o de dos conductores ue est6n
unidos a una resistencia.
#l luo ma$n&tico var%a ,orue el 6rea ue
encierra el circuito tami&n lo 7ace.
xlBA·B ==Φ
vlBdt
dx lB
dt
d==
ΦComo
dt
d mΦ−=ε
#l módulo de la em inducida ser6
I
Fem de movimiento es toda em inducida ,or el
movimiento relativo de un cam,o ma$n&tico y un
se$mento de corriente.
vlB=ε
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8Cu6l es el eecto de la a,arición de esta
corriente inducida9
#l cam,o ma$n&tico eerce una uerza
ma$n&tica sore la varilla ue se o,one al
movimiento
I
mF
#l resultado es ue si im,ulsamos la varilla con una
cierta velocidad 7acia la derec7a y lue$o se dea en
liertad la uerza ma$n&tica ue a,arece sore lavarilla tiende a renarla 7asta detenerla. :ara
mantener la velocidad constante de la varilla un
a$ente e)terno dee eercer una uerza i$ual y
o,uesta a la uerza ma$n&tica.
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Fem de movimiento para un circuito abierto
(Varilla aislada)
La em se induce en una arra o en un
alamre conductor ue se mueve en el seno
de un cam,o ma$n&tico incluso cuando el
circuito est6 aierto y no e)iste corriente.
#uilirio em FF = EBv =
La dierencia de ,otencial a trav&s de la arra ser6
vlBlEV ==∆ vlB=ε
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Diferencias entre el campo eléctricoDiferencias entre el campo eléctrico
electrosttico y el campo eléctricoelectrosttico y el campo eléctrico
inducidoinducidoLos inducidos no est6n asociados a car$as sino
a variaciones tem,orales del luo ma$n&tico.
E
Las l%neas del inducido ormas l%neas cerradas
mientras ue las l%neas de cam,o ue re,resentan
al electrost6tico nacen en las car$as ,ositivas ymueren en las ne$ativas.
E
E
La dierencia de ,otencial entre dos ,untos
asociada a un electrost6tico es inde,endiente del
camino recorrido de orma ue se ,uede escriir
E
∫ ==− 0ld·EVV a b
:ara los inducidos no se ,uede a,licar esta
e),resión ya ue la em inducida es distinta de
cero cuando var%a el luo ma$n&tico. :or lo tanto
el inducido no es un cam,o conservativo.E
E
∫ ≠=ε 0ld·E
e ,uede 7alar de em inducida ,ara una
trayectoria determinada sin necesidad de ue &sta
coincida con un circuito %sico.
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10.( C%rr&en$e) de F%!#a!"$
#n el n;cleo de un transormador los luos
variales ,roducen corrientes en el metal. #l calor,roducido ,or estas corrientes da lu$ar a
,&rdidas de ,otencia en el transormador.
La ,&rdida de ,otencia se ,uede reduciraumentando la resistencia de los ,osiles
caminos ue si$uen las corrientes de Foucault
<,or eem,lo laminando el conductor o
recortando el metal=.
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10.* Ind!##&+n m!$!a y a!$%&nd!##&+n
!utoinducci"n!utoinducci"n
#)iste una relación ente el luo ue atraviesa uncircuito y la corriente ue recorre el mismo.
L> +utoinducción de la es,ira ue de,ende
de sus ,ro,iedades $eom&tricas.
/nidad en .I.> Henrio <H=
A
Tm1
A
Wb1H1
2
==
i la corriente var%a tami&n lo 7ace el luoma$n&tico y ,odemos escriir
dt
dIL
dt
)LI(d
dt
d m ==Φ
:or la Ley de Faraday-Henry
/n solenoide con muc7as vueltas ,osee una $ran
autoinducción y en los circuitos se re,resenta
como
IL=Φ
dt
dIL−=ε
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#nducci"n $utua #nducci"n $utua
Cuando dos o m6s circuitos est6n ,ró)imos el
luo ma$n&tico ue atraviesa uno de ellosde,ende de la corriente ue circula ,or &l y de las
ue circulan ,or los circuitos ,ró)imos.
P 1
2
#l cam,o ma$n&tico en :1 tiene una com,onente
deida a I1 y otra deida a I2. +n6lo$amente ,ara
el ,unto :2.Circuito 1 22111B IMIL
1+=Φ
Circuito 2 11222B IMIL2
+=Φ
(12 y (21 es la inducción mutua ue de,ende de la
,osición relativa entre amos conductores.
:or la Ley de Faradaydt
dIL
dt
dIM 1
12
211 −−=ε
dt
dIL
dt
dIM 2
21
212 −−=ε
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E%emplo&E %emplo& /n solenoide lar$o y estrec7o de es,iras
a,retadas est6 dentro de otro solenoide de i$ual
lon$itud y es,iras a,retadas ,ero de mayor radio.
Calcula la inducción mutua de los dos solenoides.
:ara calcular la inducción mutua entre dos
conductores asta con su,oner ue ,or uno de
ellos circula una corriente I y calcular el luo de
cam,o ma$n&tico a trav&s del otro conductor. #l
cociente entre el luo y la corriente es la
inducción mutua.
2121o2112 r lnnMMM πµ===
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10., C&r#!&$%) RL
/n circuito !L est6 ormado ,or una resistencia
y un solenoide o oina.
Cuando se cierra el interru,tor la em inducida
en la oina im,ide la ue corriente en el circuito
aumente de orma rusca de orma ue si$ue la
ley
> Constante de tiem,o inductiva
LL =τ
( )L!to e1
)t(I τ−−ε=
'aso'aso II
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/na vez alcanzada la corriente estacionaria con 1
cerrado cerramos 2 y arimos 1 ,ara eliminar
los eectos de la ater%a.
#n este caso el circuito est6 ormado ,or una
resistencia y una oina ,or las ue en t ? 0
circula una corriente Io
L!toeI)t(I
τ−=
'aso'aso IIII
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10. Ener/a man$&#a
/na oina o un solenoide almacena ener$%a
ma$n&tica de la misma orma ue un
condensador almacena ener$%a el&ctrica.
Ecuación de un circuito RL
dt
dIL Io +=ε
(ulti,licando ,or I en amos miemros otenemos
una ecuación en t&rminos de ,otencia
dt
dIIL II 2o +=ε
:otencia
suministrada
,or la ater%a
:otencia disi,ada en !
,or eecto oule
:otencia almacenada en la
oina
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Enera almacenada en la bobina > /m
dIILd" dt
dI
ILdt
d"
m
m
=⇒=
La ener$%a total almacenada se otiene inte$rando
∫ ∫ ==
# I
0
mm dIILd"" 2
# mIL
2
1" =
Densidad de enera > #ner$%a ma$n&tica ,or
unidad de volumen
Caso de un solenoide n
BI InB
o
o
µ
=⇒µ=
AlnL 2oµ=
Al
"
V
" mmm ==η
o
2
m 2
B
µ=η
!esultado
$eneral
Densidad de enera
electromanética o
22
ome 2
BE
2
1
µ+ε=η+η=η
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10. In$r%d!##&+n a "a) e#!a#&%ne) de Ma3e""
Hacia 1'0 ames Cler@ (a)*ell deduo ue las
leyes undamentales de la electricidad y el
ma$netismo ,od%an resumirse de orma matem6ticaen lo ue se conoce como las Leyes de (a)*ell.
#stas ecuaciones relacionan los vectores y
con sus uentes ue son las car$as en re,oso las
corrientes y los cam,os variales.
E B
Las Leyes de Maxwell juegan en el
Electromagnetismo el mismo papel
que las Leyes de Newton en la
Mecánica Clásica.
(a)*ell demostró ue estas ecuaciones ,od%ancominarse ,ara dar lu$ar a una ecuación de ondas
ue de%an satisacer los vectores y cuya
velocidad en el vac%o de%a ser E B
m!$·v
oo
'1031
=
µε
=
Aic7a velocidad coincide con la velocidad de la
luz en el vac%o. Lue$o la luz tami&n es una
onda electroma$n&tica.
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E'*!'#+,E DE $!./E00E'*!'#+,E DE $!./E00
#n su orma inte$ral
La ,rimera es la ley de auss y nos dice ue el luo a
trav&s de una su,ericie cerrada es ,ro,orcional a la car$a
encerrada. La se$unda es la ley de auss para el
magnetismo im,lica la no e)istencia de mono,olos
ma$n&ticos ya ue en una su,ericie cerrada el n;mero de
l%neas de cam,o ue entran euivale al n;mero de l%neas
ue salen. La tercera es la ley de !araday. #n este caso
en el se$undo t&rmino tenemos el luo ma$n&tico a trav&s
de una su,ericie no cerrada. #sta ley relaciona el luo del
cam,o ma$n&tico con el cam,o el&ctrico. La inte$ral de
circulación del cam,o el&ctrico es la variación del luo
ma$n&tico. La cuarta es la ley de "mp#re $eneralizada
,or (a)*ell y e),resa cómo las l%neas de cam,o ma$n&tico
rodean una su,ericie ,or la ue circula una corriente o 7ay
una variación del luo el&ctrico. La inte$ral de circulación
del cam,o el&ctrico es ,ro,orcional a la corriente y a la
variación del luo el&ctrico.
∫ ε=$
o
%nt&
'd·E
<1= ∫ =$
'd·B 0 <2=
∫ ∫ −=Φ
−=
B 'd·Bdt
d
dt
dld·E
<3=
∫ ∫ εµ+µ= '
ooo 'd·EdtdIld·B
<4=
Corriente de
des,lazamiento
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:ara deducir la ecuación de las ondas
electroma$n&ticas vamos a escriir las
ecuaciones de (a)*ell en su orma dierencial
#l t&rmino de la corriente de des,lazamiento ,ermite
la solución de ondas electroma$n&ticas. #l se$undo
,ar de las ecuaciones de (a)*ell conecta lasderivadas es,aciales de cada cam,o con el ritmo de
variación de cada uno de ellos. #s este aco,lamiento
de los cam,os el&ctricos y ma$n&ticos lo ue ori$ina
la ,ro,a$ación de las ondas. Cualitativamente un
cam,o ma$n&tico variale con el tiem,o en la
ecuación <"= conduce a un cam,o el&ctrico varialecon el tiem,o el cual conduce a su vez a un
cam,o ma$n&tico de,endiente del tiem,o en la
ecuación <'=.
B
E
o
)tr (E·ερ
=∇
<5= 0=∇ )tr (B· <=
t
)tr (B)tr (E
∂∂
−=×∇
<"=
t
)tr (E)tr (*)tr (B ooo ∂
∂εµ+µ=×∇
<'=
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La orma est6ndar de ,roceder con tales
ecuaciones dierenciales aco,ladas es tomar la
derivada de una de ellas y usar la otra ,araeliminar una u otra de las variales
inde,endientes. #n este caso tomaremos el
rotacional de la ley de Faraday ,uesto ue esto
conecta con el rotacional del cam,o el&ctrico lo
ue nos ,ermite eliminarlo usando la ley de
+m,Bre $eneralizada.
0=∇ )tr (E· <= 0=∇ )tr (B· <10=
t
)tr (B)tr (E
∂∂
−=×∇
<11=
t
)tr (E)tr (B oo ∂
∂εµ=×∇
<12=
:ara sim,liicar vamos a tratar ondas
electroma$n&ticas en el vac%o considerando el caso
en el ue no 7ay corrientes < ?0= ni car$as <ρ?0=.
Con estas 7i,ótesis las ecuaciones de (a)*ell
uedan como>
*
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#l t&rmino izuierdo de la ecuación <13= ,uede ser
reordenado usando la si$uiente identidad vectorial
A)A·(A2∇−∇∇=×∇×∇
Calculando el rotacional de la ley de Faraday
t
BE
∂
∂×∇−=×∇×∇
<13=
D usando la ,ro,iedad conmutativa en el t&rmino
de la derec7a ,odemos escriir inalmente
t
)B(E)E·(
∂×∇∂
−=∇−∇∇ 2
<14=
ustituyendo las ecuaciones <= y <12= en la <14=
otenemos
2
22
t
EE oo
∂
∂εµ=∇ <15=
E,erando de orma an6lo$a ,ara el cam,o ma$n&tico
2
22
t
BB oo
∂
∂εµ=∇ <1=
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:uesto ue
m!F·+o1210'' −=ε
A!Tm·o"
104 −
π=µ
Etenemos ,ara la velocidad de ase un valor de
c $ %.&&'()* m+s
el cual coincide con la velocidad de la luz c. La
conclusión es clara la luz misma es una onda
electroma$n&tica. #ste es un eem,lo de una de
las ,rimeras uniicaciones en %sica de dos ramas
de la misma ue en ,rinci,io ,arec%an se,aradas
como son el electroma$netismo y la ó,tica y ,or lotanto uno de los mayores triunos de la %sica del
si$lo I.
oo
cµε
=1
#stas ecuaciones oedecen a una ecuación de
ondas tridimensional ,ara los cam,os y con
velocidad de ase
E B
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elaci"n entre la propaaci"n de los camposelaci"n entre la propaaci"n de los campos
eléctrico y manéticoeléctrico y manético
0=E·, 0=B·,
BE, ω=× EB, ooεµ−=×
amos a introducir la e),resión de los cam,osen orma de ondas armónicas ,lanas
)t,x(o
)t,x(o
eB)tr (B
eE)tr (E
ω−
ω−
=
=
Aonde es el n;mero de ondas ue es un vector
ue a,unta en la dirección de la onda. +s%
,odemos reescriir las ecuaciones de (a)*ell en
orma de ecuaciones vectoriales
,
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Las ,rimeras dos ecuaciones demuestran ue los
dos cam,os y son ,er,endiculares al vector de
onda ,uesto ue a,unta en la dirección de la
onda esto si$niica ue las ondas electroma$n&ticas
son ondas transversales. Como en $eneral unvector en 3A tiene tres $rados de liertad la
condición de ue el cam,o el&ctrico dee ser
,er,endicular a reduce entonces los $rados de
liertad a dos. F%sicamente esto corres,onde a los
dos estados de ,olarización en los ue la luz ,uede
dividirse.
, ,
,
E B
Las otras dos ecuaciones relacionan los cam,os
el&ctrico y ma$n&tico. #s normal visualizar el cam,o
el&ctrico como el ue deine la onda y ,or eem,lo la
dirección en la ue a,unta deine la ,olarización de la
onda. #s conveniente usar ,ara otener laintensidad de cam,o ma$n&tico. #sta ecuación
demuestra ue es ,er,endicular a y ,or lo tanto
7emos encontrado la ,ro,iedad undamental de las
ondas electroma$n&ticas esto es ue y son
mutuamente ,er,endiculares.
BE, ω=×
,
E
E
B
B
:uesto ue y son ,er,endiculares en t&rminos
de sus módulos tenemos . :ara ondas en
vac%o la velocidad de ase es c y ,or lo tanto .
La ;ltima ecuación no nos da inormación nueva
,uesto ue con se reduce a la e),resión
anterior .
B,E ω=
21 c!oo =µε
, E
c!EB =
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ropaaci"n de las ondas electromanéticasropaaci"n de las ondas electromanéticas
Los cam,os #l&ctrico y (a$n&tico oscilan localmente
Las direcciones locales del Cam,o #l&ctrico y (a$n&tico
son mutuamente ,er,endiculares
La $eneración de E#( reuiere ue las dimensiones del medio
emisor sean del orden de la lon$itud de onda $enerada.
Gantenas de radio ue emiten en +( <am,litud modulada= enonda lar$a o corta tienen dimensiones de decenas a
centenares de metrosG microondas con lon$itudes de onda t%,icas en el ran$o de los
micrones se $eneran en cavidades resonantes de al$unos
cent%metros de tamaoGran$o del inrarroo a los rayos est6 asociado a emisión de
ondas electroma$n&ticas ,or 6tomos o mol&culas
Grayos γ est6n asociados a ,rocesos nucleares.
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El espectro electromagnéticoEl espectro electromagnético
"00 00 500 400
λ <nm=
es,ectro visile
100 102 104 10 10' 1010 1012 1014 101 101' 1020 1022 1024
10'
10
104
102
100
10-2
10-4
10-
10-'
10-10
10-12
10-14
10-1
Lon$itud de onda λ <m=
Frecuencia ν <Hz=
ultra,ioleta-ayos -ayos gamainfrarojo/ndas de radioEnda lar$a
⋅ $ 0'()* m+s
104 105 10 10" 10' 10 10111010
!adio
+(
Canales !adio F(
Horno microondas
anda ciudadana
teleon%a móvil
Frecuencia ν <Hz=
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ondas de radio y 12
microondas
radiación térmica lu3
radiación láser
rayos
rayos gama
45ónde se encuentran las o.e.m645ónde se encuentran las o.e.m6
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Endas de radiorecuencia
Las $eneradas ,or Hertz con λ ∼ 1 m.λ ∈J1 @m 0.3 mK
∈J1 Hz10 HzK
Endas emitidas ,or los circuitos el&ctricos <50 Hz=.
o e)iste l%mite teórico a estas ondas.
(icroondas
Intervalo de variación
λ ∈J30 cm 1 mmK
∈J10 Hz 3.1011 HzK
/tilidad en radioastronom%a y en la comunicación de
ve7%culos es,aciales.
Las recuencias de los microondas coinciden con la
recuencia natural de las mol&culas de a$ua. #sta es la
ase de los 7ornos microondas.
7na 8re,e descripción del espectro7na 8re,e descripción del espectro
electromagnéticoelectromagnético
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Inrarroo
∈J3.1011 Hz 4.1014 HzK
Aetectadas ,or ir Milliam Hersc7el en 1'00
uintervalos
GI! cercano> "'0 nm-3000 nm
GI! intermedio> 3000 nm-000 nm
GI! leano> 000 nm-15000 nm
GI! e)tremo> 15000 nm-1 mm
Cualuier mol&cula ,or encima de cero asoluto radiar6en el I! <,or a$itación t&rmica=.
Los cuer,os calientes rad%an I! en un es,ectro
continuo <,or eem,lo un radiador=.
+,ro)imadamente la mitad de la ener$%a
electroma$n&tica del ol es I!.
#l cuer,o 7umano tami&n rad%a I! <esta emisión se
utiliza ,ara visión nocturna=.
#)isten misiles ue Nsi$uen el calorO y ue son
$uiados ,or I!.
7/23/2019 Induc. Magn. Circuito RL 09
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La luz
ensiilidad del oo 7umano> 400 nm-"00 nm.
e*ton ue el ,rimero en reconocer ue la luz lanca esmezcla de todos los colores del es,ectro visile.
#l color no es una ,ro,iedad de la luz en s% misma sino un
maniestación de nuestro sistema de ,erce,ción <La luz n
es amarilla la vemos amarilla ya ue con distintas mezcla
de distintas lon$itudes de onda ,odemos otener la mism
res,uesta a nuestro oo=.
/ltravioleta
Aescuiertos ,or !itter sore 1'00> ∈J10 Hz 3.1011 HzK
Los rayos / del ol ionizan los 6tomos de la atmóera
su,erior y as% se crea la ionosera. #l ozono asore
estos rayos en la atmósera.
:ara λ P 20 nm los / son $ermicidas.
Los seres 7umanos no ven muy ien los / ,orue los
asore la córnea y el cristalino.
7/23/2019 Induc. Magn. Circuito RL 09
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!ayos
Aescuiertos ,or !Qet$en <1'45-123=>
∈J2.4 101 Hz 5.101 HzK
e utilizan en medicina ,ara radiodia$nóstico.
#)isten microsco,ios de !.
!ayos γ
!adiaciones electroma$n&ticas con la lon$itud de
onda m6s corta.
on emitidas ,or ,art%culas ue est6n suetas a
transiciones dentro del n;cleo atómico.
#s muy di%cil oservar enómenos ondulatorios en esta
,arte del es,ectro electroma$n&tico.
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