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013,
Anto
nio
Gonzále
z F
ern
ández
Tema 1: Introducción y
fundamentos matemáticos
Antonio González Fernández
Departamento de Física Aplicada III
Universidad de Sevilla
Parte 4/4
Vectores en física II:
Coordenadas y componentes
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Aplicaciones geométricas: Puntos del
espacio y vectores de posición
2
Para identificar los puntos del espacio podemos usar etiquetas
El vector de posición relativa
𝐴𝑃 es un vector ligado que va
del punto 𝐴 al 𝑃
Para tres puntos, se
pueden relacionar las
posiciones relativas
𝑂𝑃 = 𝑂𝐴 + 𝐴𝑃 𝐴𝑃 = 𝑂𝑃 − 𝑂𝐴
La distancia es el módulo del
vector de posición relativa 𝑑 𝐴, 𝑃 = 𝐴𝑃 = 𝐴𝑃 · 𝐴𝑃
AO
P
A
OP
𝑂𝑃
𝐴𝑃𝑂𝐴
𝐴𝐴 = 0 𝐴𝑃 = −𝑃𝐴
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𝐴
𝑁
La ecuación vectorial del plano:
aplicación del producto escalar
3
Un plano se define
por un punto 𝐴 y un
vector normal, 𝑁𝐴
𝑃
𝑁
𝑁 · 𝐴𝑃 = 0
Ecuación
vectorial
del plano
Distancia de
un punto a
un plano
𝑄
𝑑 = 𝐴𝑄 ·𝑁
𝑁
¿Y si un punto
está fuera del
plano?
𝑑
Posiciones respecto a O
𝑁 · 𝑂𝑃 = 𝑁 · 𝑂𝐴 = 𝑘
Variando k resultan planos paralelos
𝑁
𝑁 · 𝑂𝑃 − 𝑂𝐴 = 0
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La ecuación vectorial de la recta:
aplicación del producto vectorial
4
Una recta se
define por un
punto 𝐴 y un
vector director 𝜔
𝜔 ∥ 𝐴𝑃
𝜔 × 𝐴𝑃 = 0
Ecuación
vectorial de
una recta
𝑑 = 𝐴𝑄 sen 𝛼 =𝜔 × 𝐴𝑄
𝜔Distancia a
una recta
𝐴
𝜔
𝑃
Posiciones
respecto a O𝜔 × 𝑂𝑃 = 𝜔 × 𝑂𝐴 = 𝐶
Variando 𝐶resultan rectas
paralelas a 𝜔
𝐴𝜔
𝑄𝑑 𝑃
𝑂𝑃
𝑂𝐴
Para un punto
𝑄 exterior
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Momento de un vector respecto a un
punto
5
Dado un vector ligado 𝐹aplicado en 𝑃, su momento
respecto a 𝐴 se define como:
𝑀𝐴 = 𝐴𝑃 × 𝐹
Módulo: 𝑀𝐴 = 𝐴𝑃 × 𝐹 = 𝑑 𝐹𝑑
Dirección: Sentido:perpendicular al
plano de 𝐴, 𝑃 y 𝐹
Es independiente de la
posición de 𝑃 en la recta
𝑀𝐴 = 𝐴𝑄 × 𝐹 =
𝐴𝑃 + 𝑃𝑄 × 𝐹 = 𝐴𝑃 × 𝐹
𝐴 también puede moverse
paralelamente a 𝐹
𝑀𝐵 = 𝐵𝑃 × 𝐹 =
𝐵𝐴 + 𝐴𝑃 × 𝐹 = 𝐴𝑃 × 𝐹 = 𝑀𝐴
𝐵 𝑄
𝑃
𝐹
Hacia adentro
o hacia afuera
𝐴𝑃
𝑑: distancia
a la recta
𝐴
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¿Pueden despejarse los vectores en los
productos escalares y vectoriales?
6
Si conocemos 𝑘 = 𝐴 · 𝑋,
¿Podemos despejar 𝑋?𝑋 =
𝑘
𝐴NO
Esto solo nos dice
que 𝑋 está en un
cierto plano
Si conocemos 𝐶 = 𝐴 × 𝑋,
¿Podemos despejar 𝑋?𝑋 =
𝐶
𝐴NO
Esto solo nos dice
que 𝑋 está en una
cierta recta
¿Y si conocemos 𝑘 = 𝐴 · 𝑋 y 𝐶 = 𝐴 × 𝑋? SÍ
𝑋 =𝑘 𝐴
𝐴2 +
𝐶 × 𝐴
𝐴2
𝐴𝑋
Intersección de recta y plano
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𝐴𝑃 · 𝐵𝑃 =
Aplicaciones: El arco capaz
7
Dado un diámetro 𝐴𝐵 de una
circunferencia 𝑐 y un punto 𝑃de 𝑐, el ángulo 𝐴𝑃𝐵 es recto
𝐴𝐶 = 𝐵𝐶 = 𝐶𝑃 = 𝑅
𝐴𝐶 = −𝐵𝐶
𝐴𝑃 = 𝐴𝐶 + 𝐶𝑃
𝐵𝑃 = 𝐵𝐶 + 𝐶𝑃 = −𝐴𝐶 + 𝐶𝑃
0
𝐴𝑃
𝐴𝐶
𝐶𝑃𝐵𝑃
𝐵𝐶A
P
BC
−𝑅2 + 𝑅2 == − 𝐴𝐶2+ 𝐶𝑃
2=
= −𝐴𝐶 · 𝐴𝐶 + 𝐴𝐶 · 𝐶𝑃 − 𝐶𝑃 · 𝐴𝐶 + 𝐶𝑃 · 𝐶𝑃 =
𝐴𝐶 + 𝐶𝑃 · −𝐴𝐶 + 𝐶𝑃 =
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Aplicaciones: Barra apoyada en una
esquina
8
A
B
C
Una barra va deslizándose apoyada en
el suelo y la pared, ¿qué trayectoria
describe su centro C?
O
𝐶𝐴 = −𝐶𝐵𝑂𝐴 ⊥ 𝑂𝐵
= 𝑂𝐴 · 𝑂𝐵 =0
𝑂𝐶2− 𝐶𝐴
2== 𝑂𝐶 · 𝑂𝐶 + 𝐶𝐴 · 𝑂𝐶 − 𝑂𝐶 · 𝐶𝐴 − 𝐶𝐴 · 𝐶𝐴 =
𝑂𝐶 + 𝐶𝐴 · 𝑂𝐶 + 𝐶𝐵 =
= 𝑂𝐶 + 𝐶𝐴 · 𝑂𝐶 − 𝐶𝐴 =
= 𝑂𝐶2−
𝐿
2
2
𝑂𝐶 =𝐿
2
Describe un arco
de circunferencia
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𝑋𝑍
𝑌𝑍
𝑋𝑌
Sistemas de referencia: etiquetando los
puntos del espacio
9
Los puntos del espacio se
pueden etiquetar por números.
(coordenadas cartesianas)
𝑃 = 𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧
Un sistema de referencia
cartesiano está formado por un
punto fijo 𝑂 (“origen”) y tres
ejes ortogonales, 𝑋, 𝑌 y 𝑍
𝑥, 𝑦 y 𝑧 son las
distancias con signo a
los planos 𝑌𝑍, 𝑋𝑍 y 𝑋𝑌
𝑋
𝑌
𝑍
𝑥𝑦
𝑧
−∞ < 𝑥 < +∞−∞ < 𝑦 < +∞−∞ < 𝑧 < +∞
𝑂
𝑃
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La base canónica permite expresar
todos los vectores
10
A partir de los ejes se puede
definir una base vectorial 𝑖, 𝑗, 𝑘
Unitarios tangentes a los ejes
Todo vector se puede poner como
combinación lineal de la base
𝐹 = 𝐹𝑥 𝑖 + 𝐹𝑦 𝑗 + 𝐹𝑧𝑘
Componentes cartesianas
≠ coordenadas cartesianas
Vector de posición
𝑟𝑃 = 𝑂𝑃 = 𝑥 𝑖 + 𝑦 𝑗 + 𝑧𝑘
𝑋
𝑂 𝑌
𝑍
𝑋𝑌
𝑋𝑍
𝑌𝑍
𝑂𝑃𝑃
Dos vectores son iguales cuando lo son sus componentes
𝑖
𝑗
𝑘
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Los vectores se pueden sumar
componente a componente
11
𝐹 = 𝐹𝑥 𝑖 + 𝐹𝑦 𝑗 + 𝐹𝑧𝑘Suma de
vectores
𝐺 = 𝐺𝑥 𝑖 + 𝐺𝑦 𝑗 + 𝐺𝑧𝑘
𝐹 + 𝐺 = 𝐹𝑥 + 𝐺𝑥 𝑖 + 𝐹𝑦 + 𝐺𝑦 𝑗 + 𝐹𝑧 + 𝐺𝑧 𝑘
2 𝑖 + 3 𝑗 −3 𝑗 − 3𝑘 2 𝑖 − 3𝑘
Posición relativa
𝑂𝐴 = 𝑥1 𝑖 + 𝑦1 𝑗 + 𝑧1𝑘
𝑂𝑃 = 𝑥2 𝑖 + 𝑦2 𝑗 + 𝑧2𝑘
𝐴𝑃 = 𝑂𝑃 − 𝑂𝐴 = 𝑥2 − 𝑥1 𝑖 + 𝑦2 − 𝑦1 𝑗 + 𝑧2 − 𝑧1 𝑘
Ej.:
𝑂 𝑋
𝑌
𝐴
𝑃
𝑥1 𝑥2
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La multiplicación por un escalar se
calcula multiplicando cada componente
12
𝑎 = 𝑎𝑥 𝑖 + 𝑎𝑦 𝑗 + 𝑎𝑧𝑘
𝐹 = 𝑚 𝑎 = 𝑚 𝑎𝑥 𝑖 + 𝑎𝑦 𝑗 + 𝑎𝑧𝑘 = 𝑚𝑎𝑥 𝑖 + 𝑚𝑎𝑦 𝑗 + 𝑚𝑎𝑧𝑘
Separando en
componentes
𝐹 = 𝑚1 𝑎1 +𝑚2 𝑎2 == 𝑚1𝑎𝑥1 +𝑚2𝑎𝑥2 𝑖 +
+ 𝑚1𝑎𝑦1 +𝑚2𝑎𝑦2 𝑗 +
+ 𝑚1𝑎𝑧1 +𝑚2𝑎𝑧2 𝑘
Lo mismo se aplica a las combinaciones lineales
𝐹 = 𝐹𝑥 𝑖 + 𝐹𝑦 𝑗 + 𝐹𝑧𝑘
𝐹𝑥 = 𝑚1𝑎𝑥1 +𝑚2𝑎𝑥2𝐹𝑦 = 𝑚1𝑎𝑦1 +𝑚2𝑎𝑦2𝐹𝑧 = 𝑚1𝑎𝑧1 +𝑚2𝑎𝑧2
𝐹 = 𝑚 𝑎
𝐹𝑥 = 𝑚𝑎𝑥𝐹𝑦 = 𝑚𝑎𝑦𝐹𝑧 = 𝑚𝑎𝑧
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La base canónica es ortonormal
(unitaria y ortogonal)
13
La base canónica
es ortonormal
Los vectores 𝑖, 𝑗, 𝑘
son unitarios
Los vectores 𝑖, 𝑗, 𝑘 son ortogonales
Producto escalar
· 𝑖 𝑗 𝑘
𝑖 1 0 0
𝑗 0 1 0
𝑘 0 0 1
𝑖 = 𝑗 =
𝑘 = 1
Permite hallar el producto escalar
𝑖 − 𝑗 − 𝑗 + 𝑘
𝑖 − 𝑗 · − 𝑗 + 𝑘 =
− 𝑖 · 𝑗 + 𝑗 · 𝑗 + 𝑖 · 𝑘 − 𝑗 · 𝑘 =−0 + 1 + 0 − 0 = 1
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Productos escalares y módulos en
función de las coordenadas
14
𝐹 = 𝐹𝑥 𝑖 + 𝐹𝑦 𝑗 + 𝐹𝑧𝑘 𝐺 = 𝐺𝑥 𝑖 + 𝐺𝑦 𝑗 + 𝐺𝑧𝑘
𝐹 · 𝐺 = 𝐹𝑥𝐺𝑥 𝑖 · 𝑖 + 𝐹𝑥𝐺𝑦 𝑖 · 𝑗 + 𝐹𝑥𝐺𝑧 𝑖 · 𝑘 + 𝐹𝑦𝐺𝑥 𝑗 · 𝑖 + 𝐹𝑦𝐺𝑦 𝑗 · 𝑗 + ⋯
𝐹 · 𝐺 = 𝐹𝑥𝐺𝑥 + 𝐹𝑦𝐺𝑦 + 𝐹𝑧𝐺𝑧
𝑖 − 𝑗 − 𝑗 + 𝑘
1 · 0 + −1 · −1 + 0 · 1 = 1
Componentes
de un vector𝐹𝑥 = 𝐹 · 𝑖 𝐹𝑦 = 𝐹 · 𝑗 𝐹𝑧 = 𝐹 · 𝑘
Distancia entre
dos puntos 𝐴𝑃 = 𝑥2 − 𝑥1
2 + 𝑦2 − 𝑦12 + 𝑧2 − 𝑧1
2
Módulo de un vector
𝐹 = 𝐹 · 𝐹 = 𝐹𝑥2 + 𝐹𝑦
2 + 𝐹𝑧2
1 1
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Aplicación: deducción de fórmulas
trigonométricas
15
Halle la expresión del
coseno de una diferencia
de ángulos, cos(𝛽 − 𝛼)
𝛼
𝛽 − 𝛼
𝛽Tomamos los vectores unitarios:
𝑢1 = cos 𝛼 𝑖 + sen 𝛼 𝑗 𝑢2 = cos 𝛽 𝑖 + sen 𝛽 𝑗
𝑢1 ⋅ 𝑢2 = cos(𝛼) cos 𝛽 + sen 𝛼 sen 𝛽
𝑢1 ⋅ 𝑢2 = 𝑢1 𝑢2 cos 𝛽 − 𝛼 = cos(𝛽 − 𝛼)
cos 𝛽 − 𝛼 = cos(𝛼) cos 𝛽 + sen 𝛼 sen 𝛽
cos 𝛽 + 𝛼 = cos 𝛼 cos 𝛽 − sen 𝛼 sen 𝛽sen −𝛼= −sen(𝛼)
𝑢2
𝑢1
𝑋
𝑌
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Ejemplo: ¿Qué ángulo forman las
diagonales de un cubo?
16
𝑂𝐴 = 𝑎 𝑖 + 𝑎 𝑗 + 𝑎𝑘
𝐵𝐶 = 𝑎 𝑖 − 𝑎 𝑗 + 𝑎𝑘
cos 𝛼 =𝑂𝐴 · 𝐵𝐶
𝑂𝐴 𝐵𝐶=
𝑎2 − 𝑎2 + 𝑎2
𝑎2 + 𝑎2 + 𝑎22 =
𝑎2
3𝑎2=1
3
𝛼 = 1.23rad = 70.53°
𝑂
𝐴
𝐵
𝐶
X
Y
Z
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La base canónica es una base dextrógira
(cumple la regla de la mano derecha)
17
𝑖 𝑗
𝑘 𝑖 × 𝑗
Producto vectorial
× 𝑖 𝑗 𝑘
𝑖 0 +𝑘 − 𝑗
𝑗 −𝑘 0 + 𝑖
𝑘 + 𝑗 − 𝑖 0
𝑖 × 𝑗 = 𝑖 𝑗 sen 𝜋 2 = 1
𝑖 × 𝑗 ⊥ 𝑖 𝑖 × 𝑗 ⊥ 𝑗
Regla de la mano derecha
𝑖 × 𝑗 = 𝑘
𝑗 × 𝑖 = −𝑘 𝑗 × 𝑘 = 𝑖 𝑘 × 𝑖 = 𝑗
+
Permite hallar el producto vectorial
𝑖 − 𝑗 − 𝑗 + 𝑘
𝑖 − 𝑗 × − 𝑗 + 𝑘 =
− 𝑖 × 𝑗 + 𝑗 × 𝑗 + 𝑖 × 𝑘 − 𝑗 × 𝑘 =
−𝑘 + 0 + − 𝑗 − 𝑖 = − 𝑖 − 𝑗 − 𝑘
-
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El producto vectorial en función de las
componentes
18
𝐹 = 𝐹𝑥 𝑖 + 𝐹𝑦 𝑗 + 𝐹𝑧𝑘 𝐺 = 𝐺𝑥 𝑖 + 𝐺𝑦 𝑗 + 𝐺𝑧𝑘
𝐹 × 𝐺 = 𝐹𝑥𝐺𝑥 𝑖 × 𝑖 + 𝐹𝑥𝐺𝑦 𝑖 × 𝑗 + 𝐹𝑥𝐺𝑧 𝑖 × 𝑘 + 𝐹𝑦𝐺𝑥 𝑗 × 𝑖 + ⋯
𝐹 × 𝐺 = 𝐹𝑦𝐺𝑧 − 𝐹𝑧𝐺𝑦 𝑖 + 𝐹𝑧𝐺𝑥 − 𝐹𝑥𝐺𝑧 𝑗 + 𝐹𝑥𝐺𝑦 − 𝐹𝑦𝐺𝑥 𝑘
𝐹 × 𝐺 =𝐹𝑦 𝐹𝑧𝐺𝑦 𝐺𝑧
𝑖 +𝐹𝑧 𝐹𝑥𝐺𝑧 𝐺𝑥
𝑗 +𝐹𝑥 𝐹𝑦𝐺𝑥 𝐺𝑦
𝑘
𝐹 × 𝐺 = 𝑖 𝑗 𝑘𝐹𝑥 𝐹𝑦 𝐹𝑧𝐺𝑥 𝐺𝑦 𝐺𝑧
𝑖 − 𝑗 − 𝑗 + 𝑘
𝑖 𝑗 𝑘1 −1 00 −1 1
= − 𝑖 − 𝑗 − 𝑘
Equivale a un determinante
𝑘 − 𝑗 −𝑘
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Ejemplo: Distancia de un punto a una
recta
19
Una partícula
se mueve en
la recta (SI)
𝑥 = 3 − 2𝑡𝑦 = 2 − 𝑡
𝑧 = −2 + 2𝑡
¿Mínima distancia a la
que pasa del origen?
𝑂𝑃 = 𝑂𝐴 + 𝑣𝑡 𝑣 = −2 𝑖 − 𝑗 + 2𝑘
𝑑 =𝑂𝐴 × 𝑣
𝑣
𝑂𝐴 × 𝑣 = 𝑖 𝑗 𝑘3 2 −2−2 −1 2
= 2 𝑖 − 2 𝑗 + 𝑘
𝑂𝐴 = 3 𝑖 + 2 𝑗 − 2𝑘
𝑑 =22 + 22 + 12
22 + 12 + 22= 1
𝑂
𝐴 𝑣
𝑑
𝑃
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Aplicación: deducción de fórmulas
trigonométricas
20
Halle la expresión del
seno de una diferencia
de ángulos, sen(𝛽 − 𝛼)
𝛼
𝛽 − 𝛼
𝛽Tomamos los vectores unitarios:
𝑢1 = cos 𝛼 𝑖 + sen 𝛼 𝑗 𝑢2 = cos 𝛽 𝑖 + sen 𝛽 𝑗
𝑢1 × 𝑢2 = 𝑖 𝑗 𝑘
cos(𝛼) sen(𝛼) 0cos(𝛽) sen(𝛽) 0
= cos 𝛼 sen 𝛽 − sen 𝛼 cos 𝛽 𝑘
𝑢1 × 𝑢2 = 𝑢1 𝑢2 sen 𝛽 − 𝛼 𝑘 = sen 𝛽 − 𝛼 𝑘
𝑢2
𝑢1
𝑋
𝑌
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𝑋′𝑌′
Rotación de ejes: permiten construir
otra base ortonormal dextrógira
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𝜃 𝑋
𝑌
𝑍
𝑗
𝑖
𝑘
𝐹 = 𝐹𝑥 𝑖 + 𝐹𝑦 𝑗
𝑍′=
𝑢1𝑢2
𝐹
𝐹𝑥
𝐹𝑦
𝐹 = 𝐹1𝑢1 + 𝐹2𝑢2
Mismo vector;
distintas
componentes
𝑢1 = cos 𝜃 𝑖 + sen 𝜃 𝑗
𝑢2 = −sen 𝜃 𝑖 + cos 𝜃 𝑗
𝑖 = cos 𝜃 𝑢1 − sen 𝜃 𝑢2 𝑗 = sen 𝜃 𝑢1 + cos 𝜃 𝑢2
𝐹1 = 𝐹 · 𝑢1 = 𝐹𝑥 cos 𝜃 + 𝐹𝑦sen(𝜃)
𝐹2 = 𝐹 · 𝑢2 = −𝐹𝑥 sen 𝜃 + 𝐹𝑦cos(𝜃)
𝐹2𝐹1
𝑢3 = 𝑘
𝐹3 = 𝐹 · 𝑢3 = 𝐹𝑧
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Caso práctico de rotación de ejes
22
𝑢1 =4
5 𝑖 +
3
5 𝑗
𝑢2 = −3
5 𝑖 +
4
5 𝑗
𝑢3 = 𝑘
𝐹 = 10 𝑖 − 15 𝑗 + 3𝑘
𝐹1 = 𝐹 · 𝑢1 = 10 ·4
5− 15 ·
3
5= −1
𝐹2 = 𝐹 · 𝑢2 = 10 · −3
5− 15 ·
4
5= −18
tg 𝜃 =3
4
cos 𝜃 =4
5
sen 𝜃 =3
5
𝐹3 = 𝐹 · 𝑢3 = 3 𝐹 = −𝑢1 − 18𝑢2 + 3𝑢3
𝐹 no cambia
102 + 152 + 32
= 12 + 182 + 32
𝑋′𝑌′
𝜃 𝑋
𝑌
𝑍
𝑗
𝑖
𝑘
𝑍′=
𝑢1𝑢2
𝐹
𝐹𝑥
𝐹𝑦
𝐹2𝐹1
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Sevilla, octubre de 2014
23
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