Mates Tema 3: Trigonometria
1) Raons trigonomètriquesa. Radiants
2) Resolució de triangles rectangles3) Teorema dels inus i teorema del cosinus4) Resolució de triangles no rectangles
a. Raons trigonomètriques d’angles no aguts5) Fórmules trigonomètriques
a. Relacions fonamentalsb. Canvi de quadrantc. Fórmules d’angle suma i restad. Fórmules d’angle doble i meitate. Altres fórmules
1)Raons trigonomètriques
1.1) Radiants
Un radiant és el que mesura l’angle comprès entre radis que es troben a una distancia d’arc que mesura tant com el radi.
α
R
R = radi180º = Π radα = 1 rad
C
A Bc
ab
sinBb=cat. op.ahip.cosBc=Cat. adj.ahip.
tgBb=cat. op.ccat. adj.
2) Resolució de triangles rectangles
3) Teorema del sinus i teorema del cosinus
1r tipus
C
A Bc
ab
30º
A = 90ºB = 30ºC = 60º
a = 14b = 7c = 12,42
sinB =ba0,5 =7aa
= 14
b2 + c2 = a2
72 + c2 = 142
c2 = 147c = = 12,42
2n tipus
40º 30º
250
y 250 – y
tg40º =x= 0,83ytg30º =x= 0,58250 – y
x= 0,83y
x= 0,83250 – y
x = 85,3
y = 102,8
sin40º =85,3b0,64 =85,3b
b =85,3= 133,30,64
sin30º =85,3aa =85,3= 170,60,5
4)Resolució de triangles no rectangles
4.1) Raons trigonomètriques d’angles no aguts
sin cos tg1r quadrant + + +2n quadrant + – –3r quadrant – – +4t quadrant – + –
5) Fórmules trigonomètriques5.1) Relacions fonamentals
C
A B
hab
x c – x
cosA =xb
Teorema del cosinus
x = b·cosA
b2 = h2 + x2
a2 = h2 + (c – x)2
a2 = h2 + c2 + x2 – 2·c·x
a2 = b2 + c2 – 2·c·b·cosA
Teorema del sinus
sinA =hbh = b·sinA
sinB =hah = a·sinB
b·sinA = a·sinB
sinA=sinBab
C
A B
ab
c
A = 29ºB = 75ºC = 76º
a = 4b = 7,96c = 8
sinA=sinBab
sinA =a·sinB= 0,48b
A = arc sin 0,48 = 29º
b2 = a2 + c2 – 2·c·b·cosBb2 = 80 – 16,56b = = 7,96C = 180 – (29 + 75) = 76º
sin2A + cos2A = 1
sinA= tgAcosA
1 +1= cosesc2Atg2A
1= cotgAtgA
1= cosecAsinA
1= secAcosA
5.2) Canvi de quadrant
5.3) Formules d’angle suma i angle resta
cos (α – β) = cosα·cosβ + sinα·sinβ
cos (α + β) = cosα·cosβ – sinα·sinβ
sin (α – β) = sinα·cosβ + cosα·sinβ
sin (α + β) = sinα·cosβ – cosα·sinβ
sinα
α 180 – α
cosα
α 360 – α
tgα
α 180 + α
tg (α – β) =tgα – tgβ1 + tgα·tgβ
tg (α + β) =tgα + tgβ1 – tgα·tgβ
5.4) Fórmules d’angle doble i angle meitat
sin(2α) = 2·sinα·cosα
cos(2α) = cos2α – sin2α
5.5) Altres fórmules
sinA + sinB = 2·sin( )·cos( )sinA – sinB = 2·cos( )·sin( )cosA + cosB = 2·cos( )·cos( )cosA – cosB = – 2·sin( )·sin( )
tg (2α) =2·tgα1 – tg2α
sin () = ±
cos () = ±
tg () = ±