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ASIGNATURA
INVESTIGACIN DE OPERACIONES
(TEXTO UNIVERSITARIO)
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Asignatura: Investigacin de Operaciones
Tema N 4: ANALISIS DE DUALIDAD Y SENSIBILIDAD
4.1 Anlisis de Dualidad
Hemos visto como la programacin lineal puede ser usada para resolver una extensa variedad de problemas propios de los negocios, ya sea para maximizar utilidades o
minimizar costos. Las variables de decisin en tales problemas fueron, por ejemplo, el
nmero de productos a producir, la cantidad de pesos a emplear, etc. En cada caso la
solucin ptima no explic cmo podran ser asignados los recursos (ejemplo: materia prima, capacidad de las mquinas, el dinero, etc.) para obtener un objetivo
establecido.
En este captulo veremos que a cada problema de programacin lineal se le asocia
otro problema de programacin lineal, llamado el problema dual. La solucin ptima del problema de programacin dual, proporciona la siguiente informacin sobre el
problema original:
La solucin ptima del problema dual proporciona los precios en el mercado o
los beneficios de los recursos escasos asignados en el problema original.
La solucin ptima del problema dual aporta la solucin ptima del problema original y viceversa.
Normalmente llamamos al problema de programacin lineal original el problema de
programacin primal. Es el concepto clave que permite resolver un problema a partir
de otro, y se deriva de las relaciones primo-dual, en el valor de la funcin objetivo
Formulacin del problema dual. El problema dual es un problema de PL auxiliar
que se define directa y sistemticamente a partir del modelo de PL original o primal.
El problema de programacin lineal vienen dado por:
Maximizar Z = CX
sujeto a: AX B
X 0
Su dual asociado es el problema de PL dado por:
Minimizar Z = BW sujeto a: AW C W 0
El paso al dual se lleva a cabo teniendo presente las cuatro reglas siguientes:
a. Los coeficientes de la i-sima restriccin para el problema primal pasan a ser
los coeficientes de las variables Wi en las restricciones del problema dual. El problema dual tiene tantas variables como restricciones hay en el primal.
b. Los coeficientes de las variables de decisin Xj en el problema primal pasan a
ser los coeficientes de la restriccin j-sima en el problema dual. El problema
dual tiene tantas restricciones como variables hay en el primal.
c. Los coeficientes de la funcin objetivo en el problema primal pasan a ser los
coeficientes del segundo miembro de las restricciones en el problema dual.
d. Los coeficientes del segundo miembro de las restricciones del problema primal
pasan a ser los coeficientes de la funcin objetivo del dual.
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Primal
Ejemplo: Maximizar : Z = 60 X1 + 30 X2 + 20 X3
sujeto a: 8X1 + 6X2 + X3 48
4X1 + 2X2 + 1.5X3 20
2X1 + 1.5X2 + 0.5X3 8
X1, X2, X3 0
Dual:
Minimizar Z = 48 W1 + 20 W2 + 8W3
sujeto a: 8W1 + 4W2 + 2W3 60
6W1 + 2W2 + 1.5W3 30
W1 + 1.5W2 + 0.5W3 20
" W1, W2, W3 0
4.2 Definicin de Problema dual
El desarrollo de la programacin lineal se ha visto reforzado por el descubrimiento de que todo problema de programacin lineal tiene asociado otro problema llamado dual.
El problema original se llama primal, ambos problemas estn relacionados de tal
manera que la el valor de la funcin objetivo en el optimo es igual para ambos
problemas, y la solucin de uno conduce automticamente a la del otro.
Las relaciones entre ambos problemas facilitan el anlisis de sensibilidad de un problema.
El dual es un problema de programacin lineal se obtiene matemticamente de un
problema primal.
La forma del problema dual es nica y se define en base a la forma estndar general del problema primal:
Optimizar (Max o Min) z = S j =1..ncjxj
Sujeto a S j =1..naijxj = bi
xj 0 con i = 1..m, j = 1..n
Donde las n variables xj incluyen los excesos y las holguras.
El problema dual se construye simtricamente del primal de acuerdo a las siguientes
reglas.
1. Para cada restriccin primal (m restricciones) existe una variable dual yi (m variables), la funcin objetivo se construye con los valores libres bi como
coeficientes de las variables yi.
2. Para cada variable primal xj (n variables) existe una restriccin dual (n
restricciones), la restriccin se construye con los m coeficientes de las
restricciones primales de esa variable. Los valores libres son los n coeficientes cj.
3. Si la optimizacin primal es una Maximizacin, el problema dual es una
Minimizacin y las restricciones son . (y a la inversa Minimizacin primal, Maximizacin dual, restricciones). El siguiente diagrama muestra la
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construccin del dual:
x1 x2 .. xj .. xn
Objetivo primal c1 c2 .. c1 .. c1
Valores libres
de restricciones
duales
Variables duales
l
v
Coeficientes
restricciones duales a11 a12 .. a1j .. a1n b1 y1
a21 a22 .. a2j .. a2n b2 y2
am1 a22 .. a2j .. a2n bm ym
Restr. dual j
Funcin Objetivo dual
Nota: si consideramos los excesos y holguras las variables duales (yi) no tienen restricciones de signo, en caso contrario en ambos problemas se considera variables
0. Por lo que las variables duales correspondientes a restricciones del tipo = deben ser
sin restricciones de signo, recprocamente cuando una variable en el primal no tiene
restriccin de signo, la restriccin correspondiente en el dual debe ser del tipo =.
Ejemplo
Sea Max z = 3x1 + 5x2
x1 + 10x2 < 80
2x1 + 3x2 < 45
4x1 - 2x2 < 25
3x2 0
Aplicando las reglas y la nota:
1. Para cada restriccin primal (4 restricciones) existe una variable dual yi (4
variables) y1 y2 y3 y4, la funcin objetivo se construye con los valores libres bi
(80,45,25,60) como coeficientes de las variables yi.
2. Para cada variable primal xj (2 variables sin considerar las variables de holgura) existe una restriccin dual (2 restricciones), la restriccin se
construye con los 4 coeficientes de las restricciones primales de esa variable.
Los valores libres son los 2 coeficientes cj (3, 5).
3. la optimizacin primal es una Maximizacin, el problema dual es una Minimizacin y las restricciones son > .
Nota: No hemos considerado las variables de excesos ni holguras las variables
duales por lo que en ambos problemas se considera variables > 0, no existen
restricciones de =.
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Problema dual:
Min Y = 80y1 + 45y2 + 25y3 + 60y4
Sujeto a:
Y1 + 2y2 + 4y3 > 3
10y1 + 3y2 - 2y3 + 3y4 > 5
y1, y2, y3, y4 > 0
2. Max Z = 3x1 + 7x2
Sujeto a:
2x1 + 5x2 = 15
x1 + 8x2 < 30
x1, x2 > 0
0. Para cada restriccin primal (2 restricciones) existe una variable dual yi (2 variables) y1 y2, la funcin objetivo se construye con los valores libres bi
(15, 30) como coeficientes de las variables yi.
1. Para cada variable primal xj (2 variables sin considerar las variables de
holgura) existe una restriccin dual (2 restricciones), la restriccin se
construye con los 2 coeficientes de las restricciones primales de esa variable. Los valores libres son los 2 coeficientes cj (3, 7).
Aplicando las reglas y la nota:
Nota: Para la segunda restriccin no hemos considerado las variables de
excesos ni holguras las variables duales por lo que en el dual y2 0, la primera restriccin es de igualdad por lo que la primera variable no tiene
restriccin de signo.
Problema dual:
Min Y= 15y1 + 30y2
Sujeto a:
2y1 + y2 > 3
5y1 + 8y2 > 7
y1 sin restriccin de signo (irrestricta)
y2 > 0.
4.3 Anlisis de sensibilidad
Una vez obtenida la solucin de un problema de programacin lineal, es deseable investigar cmo cambia la solucin del problema al cambiar los parmetros del
modelo.
Por ejemplo si una restriccin de un problema es 4x1 + 6x2 < 80 donde 80
representa la cantidad de recurso disponible. Es natural preguntarse que pasa con la solucin del problema si la cantidad de recurso (por ejemplo Horas)
disminuye a 60? Otras veces podemos preguntarnos que pasa si cambiamos
algunos coeficientes de la funcin objetivo? O bien si agregamos una restriccin
o una variable. El estudio de la variacin de un problema de programacin lineal debido a cambios de los parmetros del mismo, se llama anlisis de sensibilidad.
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Una forma de responder estas preguntas sera resolver cada vez un nuevo
problema. Sin embargo esto es computacionalmente ineficiente.
Para esto es preferible hacer uso de las propiedades del mtodo Simplex y de los
problemas primal y dual.
Recordemos que una vez que en un problema lineal se conoce B, CB y XB, la tabla simplex se puede calcular utilizando B-1 y los datos originales del problema.
El efecto de los cambios en los parmetros del problema del anlisis de sensibilidad
(post ptimo) se puede dividir en tres categoras:
0. Cambios en los coeficientes C de la funcin objetivo, solo afecta la optimalidad.
1. Cambios en el segundo miembro b solo pueden afectar la factibilidad.
2. Cambios simultneos en C y b pueden afectar la optimalidad y la
factibilidad.
Ejercicio 1
CIDEMETAL SRL, produce mesas y sillas para venta en el pas. Se requieren dos tipos
bsicos de mano de obra especializada: para ensamblado y acabado. Producir una mesa
requiere tres horas de ensamblado, dos horas de acabado y se vende con una ganancia de $30. La produccin de una silla requiere 1 hora de acabado y se vende con una
ganancia de $18. Actualmente, la compaa dispone de 200 horas de ensamblado y 160
horas de acabado.
La formulacin a este problema es:
Maximizar: X0 = 30X1 + 18X2
Sujeta a: 3X1 + X2 200 (ensamblado)
2X1 + X2 160 (acabado)
X1, X2 0
Y la solucin ptima la siguiente
Base X0 X1 X2 X3 X4 Solucin
X0 1 6 0 0 18 2880
X3
X2
0
0
1
2
0
1
1
0
-1
1
40
160
La compaa desea consejo en los siguientes planteamientos:
a. Cunto es lo mximo que pueden reducirse las horas-hombre disponibles en
ensamblado sin que la factibilidad de la mezcla actual cambie?
b. Cul es el rango de variacin de la utilidad unitaria de las sillas en donde la
inmejorabilidad de la mezcla ptima se mantiene?
c. En cul departamento recomendara usted contratar tiempo extra?
d. Si se comprara una mquina que redujera el tiempo de ensamblado en las mesas,
de 3 a 1/2, recomendara usted una inversin de dicha mquina?
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e. En cunto se incrementara la utilidad ptima actual si se programan 15 horas-
hombre extra en la operacin de acabado?
f. Si la utilidad unitaria de las sillas disminuye a $16, Cmo se afecta a la solucin
ptima y el objetivo?
g. Si los obreros que llevan a cabo la operacin de acabado ofrecen trabajar horas extras a razn de $12/hora Recomendara usted contratar tiempo extra? Si lo
recomienda, qu tanto tiempo extra puede programarse sin cambiar la
optimidad de la mezcla actual?
Ejercicio 2
GRANDE PERU SAC, se especializa en la fabricacin de camas (colchones). La compaa
fabrica tres clases de colchones: matrimonial, "King-size" e individual. Los tres tipos de
colchones se fabrican en dos plantas diferentes que son propiedad absoluta de la
compaa. En un da hbil normal de 8 horas, la planta No. 1 fabrica 50 colchones matrimoniales, 80 colchones "King-size" y 100 individuales. La planta No.2 fabrica 60
colchones matrimoniales, 60 "King-size" y 200 individuales. El gerente de mercadotecnia
de la GRANDE ha proyectado la demanda mensual para los tres tipos de colchones y
calcula ser de 2500, 3000 y 7000 unidades, respectivamente. Los contadores de la
compaa indican que el costo diario de operacin de la planta No. 1 es de $3500 diarios. A los administradores les gustara determinar el nmero ptimo de das de operacin por
mes en las dos diferentes plantas con el objeto de minimizar el costo total de produccin,
al mismo tiempo que se satisface la demanda.
Utilizando
y1 = nmero de das de operacin por mes de la planta No.1
y2 = nmero de das de operacin por mes de la planta No.2
Entonces el planteamiento puede expresarse de la siguiente manera:
Minimizar: Z = 2500Y1 + 3500Y2
Sujeto a: 50Y1 + 60Y2 2500
80Y1 + 60Y2 3000
100Y1 + 200Y2 7000
Y1, Y2 0
Es fcil observar que el problema se encuentra en forma del problema dual estndar.
a. Plantee el problema primario para el problema dual que se dio antes.
b. Cules son las unidades de medicin de las variables primarias?
c. Resuelva el problema utilizando el mtodo simplex. Por qu fue ms sencillo resolver el problema primario que el dual?
d. Utilizando el problema primario ptima, determine el valor ptimo para las variables
duales de decisin para el problema de la GRANDE.
e. Qu significado tienen las variables primarias en el problema de la GRANDE?