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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SALTA

SEDE REGIONAL TARTAGAL

F a c u l t a d d e C i e n c i a s E c o n ó m i c a s , J u r í d i c a s y S o c i a l e s

2.012 Aux. Doc. de 𝟏𝒓𝒂: T.U.P Horacio Miguel Lafuente

CARRERA: Contador Público Nacional

CÁTEDRA: Matemática I

LÓGICA

Temario

Introducción

Proposiciones

Tablas de Verdad

Conectivos Lógicos – Operaciones Lógicas

Tautología – Contingencia – Contradicción

Implicaciones Asociadas

Formas o Funciones Proposicionales

Cuantificación

Métodos Axiomáticos

Bibliografía

Introducción

Etimología

La palabra “lógica” proviene del griego “LOGOS” y se traduce por

“palabra”, “razón”, “discurso”.

La lógica permite deducir de manera precisa la validez de un razonamiento

matemático.

“Deducir es razonar en matemáticas”

RAZONAMIENTO

MATEMÁTICO

Inductivo Deductivo Tener

Precaución Seguro

Proposiciones

Una proposición es una oración de la cual puede decirse que es Verdadera (𝑽)

o Falsa 𝑭 . En una proposición debemos distinguir: sujeto, verbo y predicado.

𝒑: 𝒆𝒍 𝒎𝒖𝒏𝒅𝒐 𝒂𝒄𝒕𝒖𝒂𝒍 𝒔𝒆 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒅𝒆 𝒆𝒏 𝟓 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔

El “sentido de verdad” de una proposición es que la misma sea

“demostrable”.

• Si (𝑝) es verdadero: 𝒗 𝒑 = 𝑽

• Si (𝑝) es falso: 𝒗 𝒑 = 𝑭

𝒗 𝒑 = 𝑽; 𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑛 Á𝑓𝑟𝑖𝑐𝑎, 𝐴𝑚é𝑟𝑖𝑐𝑎, 𝐴𝑠𝑖𝑎, 𝐸𝑢𝑟𝑜𝑝𝑎 𝑦 𝑂𝑐𝑒𝑎𝑛í𝑎

𝑠𝑢𝑗𝑒𝑡𝑜

𝑣𝑒𝑟𝑏𝑜

𝑝𝑟𝑒𝑑𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜

Proposiciones

Las oraciones interrogativas, exclamativas o de las cuales no pueda demostrarse

su valor de verdad no son proposiciones:

¿ 𝑄𝑢é ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑇𝑎𝑟𝑡𝑎𝑔𝑎𝑙?.

¡ 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑎𝑚𝑒 𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎𝑠! .

𝐿𝑜𝑠 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑜𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜𝑠.

𝐿𝑜𝑠 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑁𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠.

E𝑛 𝑒𝑙 𝑙𝑎𝑏𝑜𝑟𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑜 𝑠𝑒 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧ó 𝑒𝑙.

𝐸𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎, 𝑙𝑎 𝑙ó𝑔𝑖𝑐𝑎 𝑠í.

CLASIFICACIÓN:

• Proposición Simple: proposición que no puede separarse en otras proposiciones.

𝑝: 𝐶𝑟𝑖𝑠𝑡𝑜𝑏𝑎𝑙 𝐶𝑜𝑙ó𝑛 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑢𝑏𝑟𝑖ó 𝐴𝑚é𝑟𝑖𝑐𝑎

• Proposición Compuesta: proposición que puede separarse en otras proposiciones

𝑞: 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑑ó𝑟 ℎ𝑎𝑏𝑖𝑡𝑎 𝑙𝑎 𝐶𝑜𝑟𝑑𝑖𝑙𝑙𝑒𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝐴𝑛𝑑𝑒𝑠 𝑦 𝑒𝑙 𝑝𝑎𝑛𝑑𝑎 ℎ𝑎𝑏𝑖𝑡𝑎 𝑒𝑛 𝑟𝑒𝑔𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑚𝑜𝑛𝑡𝑎ñ𝑜𝑠𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝐶ℎ𝑖𝑛𝑎 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙

Proposiciones

Tabla de Verdad

Una Tabla de Verdad es un cuadro de fácil interpretación que contiene las

proposiciones y sus valores lógicos.

𝑝: 𝐴𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑖𝑛𝑎 𝑒𝑠𝑡á 𝑠𝑖𝑡𝑢𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑆𝑢𝑑𝑎𝑚é𝑟𝑖𝑐𝑎

𝑣 𝑝 = 𝑉

𝑞: 4 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜∗

𝑣 𝑞 = 𝐹

𝒑 𝒒

V F Valores Lógicos

Proposiciones

* Un número primo es divisible por si mismo y por la unidad

Conectivos Lógicos - Operaciones Lógicas

Conectivos Lógicos (o Conectores Lógicos): símbolos que se emplean en las

Operaciones Lógicas.

Operaciones Lógicas: procesos que permiten obtener proposiciones a partir de

otras.

Negación

La Negación de una proposición 𝒑 es la proposición ~ 𝒑, cuyo valor de verdad es

contrario al de la proposición 𝒑.

𝑝 ~ 𝒑

V F

F V

𝑝 𝑞 ~ 𝒑 ~ 𝒒

V F F V

𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑵𝒆𝒈𝒂𝒄𝒊ó𝒏

𝑝: 𝑙𝑎 𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 𝑔𝑖𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑆𝑜𝑙 ~ 𝑝: 𝑙𝑎 𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 𝒏𝒐 𝑔𝑖𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑆𝑜𝑙

𝑞: 𝑙𝑎 𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑒𝑒 𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑙𝑢𝑛𝑎𝑠 ~ 𝑞: 𝑙𝑎 𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 𝒏𝒐 𝑝𝑜𝑠𝑒𝑒 𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑙𝑢𝑛𝑎𝑠

Conjunción

La Conjunción entre dos proposiciones 𝒑 y 𝒒 es la proposición 𝒑 ∧ 𝒒, que sólo es

verdadera si se cumplen las proposiciones componentes 𝒑 y 𝒒.

𝑷𝒓𝒐𝒑𝒐𝒔𝒊𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔

𝑪𝒐𝒎𝒑𝒐𝒏𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝑪𝒐𝒏𝒋𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏

𝑝: 𝑙𝑎 𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 𝑔𝑖𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑆𝑜𝑙 𝑝 ∧ 𝑞: 𝑙𝑎 𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 𝑔𝑖𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑆𝑜𝑙 𝒚 𝑝𝑜𝑠𝑒𝑒 𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑙𝑢𝑛𝑎𝑠

𝑞: 𝑙𝑎 𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑒𝑒 𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑙𝑢𝑛𝑎𝑠

𝑝 𝑞 𝒑 ∧ 𝒒

V F F

Disyunción

La Disyunción entre dos proposiciones 𝒑 y 𝒒 es la proposición 𝒑 ∨ 𝒒, que sólo es

falsa si 𝒑 y 𝒒 son falsas, ya que requiere que se cumpla por lo menos una de las

proposiciones componentes.


𝑪𝒐𝒎𝒑𝒐𝒏𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝑫𝒊𝒔𝒚𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏

𝑝: 𝑙𝑎 𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 𝑔𝑖𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑆𝑜𝑙 𝑝 ∨ 𝑞: 𝑙𝑎 𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 𝑔𝑖𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑆𝑜𝑙 ó 𝑙𝑎 𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑒𝑒 𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑙𝑢𝑛𝑎𝑠


𝑝 𝑞 𝒑 ∨ 𝒒

V F V

Implicación o Condicional

La Implicación o Condicional entre dos proposiciones 𝒑 y 𝒒 es la proposición

𝒑 ⇒ 𝒒 , que sólo es falsa si 𝒑 (𝒂𝒏𝒕𝒆𝒄𝒆𝒅𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒐 𝒉𝒊𝒑ó𝒕𝒆𝒔𝒊𝒔) es verdadero y

𝒒 (𝒄𝒐𝒏𝒔𝒆𝒄𝒖𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒄𝒍𝒖𝒔𝒊ó𝒏) es falso.


𝑪𝒐𝒎𝒑𝒐𝒏𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝑰𝒎𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒐 𝑪𝒐𝒏𝒅𝒊𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍

𝑝: 𝑙𝑎 𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 𝑔𝑖𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑆𝑜𝑙 𝑝 ⇒ 𝑞: Sí 𝑙𝑎 𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 𝑔𝑖𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑆𝑜𝑙, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝑙𝑎 𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑒𝑒 𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑙𝑢𝑛𝑎𝑠


𝑝 𝑞 𝒑 ⇒ 𝒒 V F F

Condición Suficiente – Condición Necesaria

Si una implicación es verdadera, es Condición Suficiente (o precisa) que la

hipótesis sea verdadera para que la conclusión se cumpla.

Si una implicación es verdadera, es Condición Necesaria (o indispensable) que la

conclusión sea verdadera para que la hipótesis se cumpla.

"𝑺𝒊 𝒆𝒓𝒆𝒔 𝒂𝒓𝒈𝒆𝒏𝒕𝒊𝒏𝒐, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒔𝒐𝒔 𝒂𝒎𝒆𝒓𝒊𝒄𝒂𝒏𝒐"

"𝑺𝒊 𝒆𝒓𝒆𝒔 𝒂𝒎𝒆𝒓𝒊𝒄𝒂𝒏𝒐, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒔𝒐𝒔 𝒂𝒓𝒈𝒆𝒏𝒕𝒊𝒏𝒐"

Hipótesis Conclusión

Hipótesis Conclusión

La hipótesis es suficiente

para llegar a dicha

conclusión. La conclusión

es necesaria para dicha

hipótesis.

La hipótesis no es suficiente

para llegar a dicha

conclusión. La conclusión no

es necesaria para dicha

hipótesis.

Doble Implicación o Bicondicional

La Doble Implicación o Bicondicional entre dos proposiciones 𝒑 y 𝒒 es la

proposición 𝒑 ⟺ 𝒒, que sólo es verdadera si 𝒑 y 𝒒 son ambas verdaderas o falsas.


𝑪𝒐𝒎𝒑𝒐𝒏𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝑫𝒐𝒃𝒍𝒆 𝑰𝒎𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒐 𝑩𝒊𝒄𝒐𝒏𝒅𝒊𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍

𝑝: 𝑙𝑎 𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 𝑔𝑖𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑆𝑜𝑙 𝑝 ⟺ 𝑞: 𝑙𝑎 𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 𝑔𝑖𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑆𝑜𝑙 𝒔í 𝒚 𝒔ó𝒍𝒐 𝒔í 𝑙𝑎 𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑒𝑒 𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑙𝑢𝑛𝑎𝑠


𝑝 𝑞 𝒑 ⟺ 𝒒 V F F

Ley Lógica o Tautología

Una Ley Lógica o Tautología es una proposición compuesta cuya tabla de verdad

da como resultado todos los valores Verdaderos cualesquiera sean los valores de

verdad de las proposiciones que la componen.

Una ley lógica es por ejemplo la conmutatividad de la disyunción:

𝑝 𝑞 𝑝 ∨ 𝑞 𝑞 ∨ 𝑝 𝒑 ∨ 𝒒 ⟺ 𝒒 ∨ 𝒑

V V V V V

V F V V V

F V V V V

F F F F V

Leyes Lógicas

LEYES LÓGICAS

Involución ~ ~𝒑 ⟺ 𝒑

Idempotencia De la Conjunción 𝒑 ∧ 𝒑 ⟺ 𝒑

De la Disyunción 𝒑 ∨ 𝒑 ⟺ 𝒑

Conmutatividad De la Conjunción 𝒑 ∧ 𝒒 ⟺ 𝒒 ∧ 𝒑

De la Disyunción 𝒑 ∨ 𝒒 ⟺ 𝒒 ∨ 𝒑

Asociatividad De la Conjunción ( 𝒑 ∧ 𝒒) ∧ 𝒓 ⟺ 𝒑 ∧ (𝒒 ∧ 𝒓)

De la Disyunción ( 𝒑 ∨ 𝒒) ∨ 𝒓 ⟺ 𝒑 ∨ (𝒒 ∨ 𝒓)

Distributividad De la Conjunción con respecto a la Disyunción (𝒑 ∨ 𝒒) ∧ 𝒓 ⟺ (𝒑 ∧ 𝒓) ∨ (𝒒 ∧ 𝒓)

De la Disyunción con respecto a la Conjunción (𝒑 ∧ 𝒒) ∨ 𝒓 ⟺ (𝒑 ∨ 𝒓) ∧ (𝒒 ∨ 𝒓)

Leyes de Morgan Negación de una Conjunción ~ 𝒑 ∧ 𝒒 ⟺ ~𝒑 ∨ ~𝒒

Negación de una Disyunción ~ 𝒑 ∨ 𝒒 ⟺ ~𝒑 ∧ ~𝒒

Negación de una Implicación ~ 𝒑 ⇒ 𝒒 ⟺ 𝒑 ⇒ ~𝒒

Contingencia y Contradicción

Una Contingencia es una

proposición cuya tabla de

verdad da como resultado

algunos valores Verdaderos y

otros Falsos.

𝑝 𝑞 𝒑 ⟺ 𝒒

V V V

V F F

F V F

F F V

Una Contradicción es una

proposición cuya tabla de

verdad da como resultado

todos los valores Falsos

cualquiera sea el valor de la

proposición.

𝑝 ∼ 𝑝 𝒑 ∧ ∼ 𝒑

V F F

F V F


𝑝 𝑞 𝒑 ⇒ 𝒒 𝒒 ⇒ 𝒑 ~ 𝑝 ~𝑞 ~ 𝒑 ⇒ ~𝒒 ~𝒒 ⇒ ~𝒑

V V V V F F V V

V F F V F V V F

F V V F V F F V

F F V V V V V V

Implicaciones Equivalentes

FD FR FC FCR

𝒑 ⇒ 𝒒 ⟺ (~ 𝒒 ⇒ ~ 𝒑) 𝒒 ⇒ 𝒑 ⟺ (~ 𝒑 ⇒ ~ 𝒒)

FD FCR FR FC ⟺ ⟺


Ejemplo: 𝑝: 𝑙𝑜𝑠 𝑎𝑙𝑢𝑚𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐶𝑃𝑁 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑜𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟𝑜𝑛 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑎 𝐼

𝑞: 𝑙𝑜𝑠 𝑎𝑙𝑢𝑚𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐶𝑃𝑁 𝑛𝑜 𝑑𝑒𝑏𝑒𝑛 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑖𝑟 𝑒𝑥á𝑚𝑒𝑛 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑎 𝐼

Forma Directa: 𝑝 ⇒ 𝑞: "𝑆í 𝑙𝑜𝑠 𝑎𝑙𝑢𝑚𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐶𝑃𝑁 𝑝𝑟𝑜 − 𝑚𝑜𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟𝑜𝑛 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑎 𝐼, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠

𝑛𝑜 𝑑𝑒𝑏𝑒𝑛 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑖𝑟 𝑒𝑥á𝑚𝑒𝑛 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑀𝑎 − 𝑡𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑎 𝐼"

Forma Recíproca: 𝑞 ⇒ 𝑝: "𝑆í 𝑙𝑜𝑠 𝑎𝑙𝑢𝑚𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐶𝑃𝑁 𝑛𝑜 𝑑𝑒𝑏𝑒𝑛 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑖𝑟 𝑒𝑥á𝑚𝑒𝑛 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑎 𝐼, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑜𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟𝑜𝑛 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑎 𝐼".

Forma Contraria: ~𝑝 ⇒ ~𝑞: "𝑆í 𝑙𝑜𝑠 𝑎𝑙𝑢𝑚𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐶𝑃𝑁 𝑛𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑜𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟𝑜𝑛 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑎 𝐼, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑏𝑒𝑛 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑖𝑟 𝑒𝑥á𝑚𝑒𝑛 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑀𝑎𝑡𝑒 − 𝑚𝑎𝑡𝑖𝑐𝑎 𝐼"

Forma Contrarrecíproca: ~𝑞 ⇒ ~𝑝: "𝑆í 𝑙𝑜𝑠 𝑎𝑙𝑢𝑚𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐶𝑃𝑁 𝑑𝑒𝑏𝑒𝑛 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑖𝑟 𝑒𝑥á𝑚𝑒𝑛 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑎 𝐼, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑛𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑜𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟𝑜𝑛 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑚á − 𝑡𝑖𝑐𝑎 𝐼".


Forma Directa

(FD)

𝒑 ⇒ 𝒒

Forma Contrarrecíproca

(FCR)

~𝒒 ⇒ ~ 𝒑

Forma Contraria

(FC)

~𝒑 ⇒ ~𝒒

Forma Recíproca

(FR)

𝒒 ⇒ 𝒑

Con

traria

Contr

ari

a

Recíproca

Recíproca

Contrarrecíproca

Formas o Funciones Proposicionales

Una Forma o Función Proposicional en una variable 𝑥, es toda oración en la cuál

figura 𝑥 como sujeto; la cual se convierte en proposición para cada especificación

de 𝑥.

Ejemplo: 𝑝 𝑥 : 𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟 𝑦 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜

El Conjunto de Verdad (𝑪𝑽) de una función proposicional es el conjunto de todos

los elementos que al emplearlos en lugar de la variable 𝑥 convierten a dicha

función proposicional en proposición.

Al reemplazar 𝑥 por 2

𝑝 (2): 2 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟 𝑦 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜

𝐶𝑉 = 2

Cuantificación

La Cuantificación es un proceso que mediante el uso de cuantificadores permite

convertir funciones proposicionales en proposiciones.

Los Cuantificadores son símbolos utilizados para indicar cuántos o qué tipo de

elementos de un conjunto dado cumplen con cierta propiedad :

Cuantificador Universal ∀

Se utiliza para afirmar que todos los

elementos de un conjunto dado

cumplen con una determinada

propiedad.

𝑝 𝑥 : 𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜

∀𝒙: 𝒑 𝒙

∀𝑥: 𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜

𝑝: 𝑇𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜𝑠

Cuantificador Existencial ∃

Se utiliza para indicar que uno o más

elementos en un conjunto dado cumplen

una determinada propiedad.

𝑝 𝑥 : 𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜

∃𝒙: 𝒑(𝒙)

∃𝑥: 𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜

𝑝: 𝐴𝑙𝑔𝑢𝑛𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜𝑠

Negación de los Cuantificadores

“La negación del Cuantificador Uni-

versal es el Cuantificador Existencial”

~ ∀𝒙: 𝒑 𝒙 ⟺ ∃𝒙: ~𝒑(𝒙)

Ejemplo:

"𝐶𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒𝑎 𝑒𝑙 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜, 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟𝑙𝑒 𝑎𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 − 3“

∀𝒙 ∈ ℤ, ∃ 𝒚 ∈ ℕ: 𝒙 − 𝒚 ≠ −𝟑

~[ ∀𝒙 ∈ ℤ, ∃ 𝒚 ∈ ℕ: 𝒙 − 𝒚 ≠ −𝟑] ⟺

⟺ ∃𝒙 ∈ ℤ, ∀ 𝒚 ∈ ℕ: 𝒙 − 𝒚 = −𝟑

"𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜, 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑎 𝑠𝑒𝑎 𝑒𝑙 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟𝑙𝑒 𝑎𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 − 3“

“La negación del Cuantificador Exis-

tencial es el Cuantificador Universal”

~ ∃𝒙: 𝒑 𝒙 ⟺ ∀𝒙: ~𝒑(𝒙)

Ejemplo:

"𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙, 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑎 𝑠𝑒𝑎 𝑒𝑙 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑙 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑟𝑙𝑒 𝑎𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 5“

∃𝒙 ∈ ℚ, ∀ 𝒚 ∈ ℕ: 𝒙 + 𝒚 = 𝟓

~[ ∃𝒙 ∈ ℚ, ∀ 𝒚 ∈ ℕ: 𝒙 + 𝒚 = 𝟓] ⟺

⟺ ∀𝒙 ∈ ℚ, ∃ 𝒚 ∈ ℕ: 𝒙 + 𝒚 ≠ 𝟓

"𝐶𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒𝑎 𝑒𝑙 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙, 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑙 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑟𝑙𝑒 𝑎𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 5“

Métodos Axiomáticos

Directo

Indirecto o Contrarrecíproco

Reducción por el Absurdo

Refutación

Teoremas

Demostraciones

Axiomas o Postulados

DEMOSTRACIÓN

Argumento que establece la

verdad de un teorema

TEOREMA

Proposición que se desprende de

otra u otras (demostrada/as

dentro de un sistema)

AXIOMA

Proposición que se asume

como verdadera

Método Directo

Consiste en partir de la verdad del antecedente (Hipótesis) y tratar de

establecer la verdad del consecuente (Tesis)

Ejemplo:

Demostrar que : “si un número es impar, entonces su cuadrado es impar”

Demostración:

𝑯𝒊𝒑ó𝒕𝒆𝒔𝒊𝒔 ∶ 𝑥 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 ⟺ 𝑥 = 2𝑛 + 1, ∀𝑛 ∈ ℤ

𝑻𝒆𝒔𝒊𝒔: 𝑥2 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 ⟺ 𝑥2 = 2𝑛 + 1 2, ∀𝑛 ∈ ℤ

𝑥2 = 2𝑛 + 1 2 = 4𝑛2 + 4𝑛 + 1 = 2 2𝑛2 + 2𝑛 + 1

Si consideramos al término 2𝑛2 + 2𝑛 = 𝑚, ∀𝑚 ∈ ℤ

𝑥2 = 2 2𝑛2 + 2𝑛 + 1 = 2𝑚 + 1

Conclusión: 𝒙𝟐 = 𝟐𝒎 + 𝟏, es decir, 𝒙𝟐 𝒆𝒔 𝒖𝒏 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒊𝒎𝒑𝒂𝒓

Método Indirecto o Contrarrecíproco

Consiste en partir de la negación del consecuente (Tesis) y determinar la negación

del antecedente (Hipótesis)

Ejemplo:

Demostrar que: “Para cualquier entero si su cuadrado es impar, entonces dicho

número es impar”

Demostración:

Nueva Hipótesis = Negación de la Tesis Inicial: 𝑥 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 ⟺ 𝑥 = 2𝑛, ∀𝑛 ∈ ℤ

Nueva Tesis = Negación de la Hipótesis Inicial: 𝑥2 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 ⟺ 𝑥2 = 2𝑛 2, ∀𝑛 ∈ ℤ

𝑥2 = 2𝑛 2 = 4 𝑛2 = 2(2 𝑛2)

Si consideramos al término 2 𝑛2 = 𝑚, ∀𝑚 ∈ ℤ

𝑥2 = 2 2 𝑛2 = 2𝑚

Conclusión: 𝒙𝟐 = 𝟐𝒎, es decir, 𝒙𝟐 𝒆𝒔 𝒖𝒏 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒑𝒂𝒓

Método de Reducción por el Absurdo

Consiste en partir de la falsedad del consecuente (Tesis), ocupando el antecedente

(Hipótesis), llegar a una contradicción (ya sea contradecir la hipótesis dada o

cualquier resultado conocido).

Ejemplo:

Demostrar que : “para cualquier número entero par su cuadrado es par”

Demostración:

Hipotesis : 𝑥 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 ⟺ 𝑥 = 2𝑛, ∀𝑛 ∈ ℤ

Tesis = Negación de la Tesis Inicial: 𝑥2 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 ⟺ 𝑥2 = 2𝑚 + 1, ∀𝑚 ∈ ℤ

𝑥 = 2𝑛 ⟺ 𝑥2 = 2𝑛 2 ⟺ 𝑥2 = 4 𝑛2 ⟺ 𝑥2 = 2(2 𝑛2)

Si consideramos al término 2 𝑛2 = 𝑘, ∀𝑘 ∈ ℤ

𝑥2 = 2𝑘

Podemos observar que 𝒙𝟐= 𝟐𝒌 ∧ 𝒙𝟐 = 𝟐𝒎 +1, es decir que un número cualquiera es

par e impar a la vez, y sabemos que esto no es posible (es un absurdo).

Conclusión: “para cualquier número entero par su cuadrado es par ”

Refutación

Consiste en buscar un ejemplo que ponga en evidencia la falsedad de la

afirmación.

Ejemplo:

Demostrar que: “el cuadrado de todo número impar es par”

Demostración:

92 = 81

Conclusión: “el cuadrado de todo número impar es impar”

Bibliografía

ASTORGA y LISI (2012), “Matemática I”, Ed. IMPRENTA FCEJS –U.N.Sa

BOSCH (1999), “Introducción al Simbolismo Lógico”, Ed. EUDEBA

JOHNSONBAUGH (1999), “Matemáticas Discretas”, Ed. Prentice Hall

RABUFFETTI (1992), “Introducción al Análisis Matemático: Cálculo I”, Ed. EL ATENEO

ROJO ARMANDO (2005), “Álgebra Tomo 1”, Ed. EL ATENEO

SUPPES (1994), “Introducción a la Lógica Matemática”, Ed. REVERTÉ