Post on 04-Jul-2015
PreliminaresMétodos de Derivación Numérica
DERIVACIÓN NUMÉRICA
DERIVACIÓN NUMÉRICA
PreliminaresMétodos de Derivación Numérica
Contenido
1 PreliminaresIntroducción
2 Métodos de Derivación NuméricaEl Límite del Cociente IncrementalFórmulas de Diferencias CentradasFórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton
DERIVACIÓN NUMÉRICA
PreliminaresMétodos de Derivación Numérica
Introducción
Contenido
1 PreliminaresIntroducción
2 Métodos de Derivación NuméricaEl Límite del Cociente IncrementalFórmulas de Diferencias CentradasFórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton
DERIVACIÓN NUMÉRICA
PreliminaresMétodos de Derivación Numérica
Introducción
Introducción
Las fórmulas de derivación numérica son importantes en eldesarrollo de algoritmos para resolver problemas de contornode ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones enderivadas parciales.
DERIVACIÓN NUMÉRICA
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El Límite del Cociente IncrementalFórmulas de Diferencias CentradasFórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton
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1 PreliminaresIntroducción
2 Métodos de Derivación NuméricaEl Límite del Cociente IncrementalFórmulas de Diferencias CentradasFórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton
DERIVACIÓN NUMÉRICA
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El Límite del Cociente IncrementalFórmulas de Diferencias CentradasFórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton
El Límite del Cociente Incremental
Se busca aproximar numéricamente la derivada de f (x):
f ′(x) =lim
h→0f (x + h)− f (x)
h
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El Límite del Cociente Incremental
Método:
Se elige una sucesión {hk} tal que hk → 0 y se calcula el límitede la sucesión
Dk =f (x + hk )− f (x)
hk;
para k = 1, 2.......
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El Límite del Cociente Incremental
Los términos de la sucesión {Dk}se calculan hasta que
|DN+1 − DN | ≥ |DN − DN−1| ;
la intención es tratar de determinar la mejor aproximaciónantes de que los términos empiecen a alejarse del límite.
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2 Métodos de Derivación NuméricaEl Límite del Cociente IncrementalFórmulas de Diferencias CentradasFórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton
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El Límite del Cociente IncrementalFórmulas de Diferencias CentradasFórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton
Fórmulas de Diferencias Centradas
Son fórmulas de aproximación a f ′(x) que requieren que lafunción se pueda evaluar en abcisas situadas simétricamente aambos lados del punto x0 (donde se desea hallar la derivada).
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Fórmulas de Diferencias Centradas
Fórmulas de Diferencias Centradas de orden O(h2)
(1) f ′(x0) ≈ f1 − f−12h
(2) f ′′(x0) ≈ f1 − 2f0 + f−1h2
(3) f (3)(x0) ≈ f2 − f1 + 2f−1 − f−22h3
(4) f (4)(x0) ≈ f2 − 4f1 + 6f0 − 4f−1 + f−2h4
fk = f (x0 + kh); k = −2,−1, 0, 1, 2
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Fórmulas de Diferencias Centradas
Fórmulas de Diferencias Centradas de orden O(h2)
(1) f ′(x0) ≈ f1 − f−12h
(2) f ′′(x0) ≈ f1 − 2f0 + f−1h2
(3) f (3)(x0) ≈ f2 − f1 + 2f−1 − f−22h3
(4) f (4)(x0) ≈ f2 − 4f1 + 6f0 − 4f−1 + f−2h4
fk = f (x0 + kh); k = −2,−1, 0, 1, 2
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Fórmulas de Diferencias Centradas de orden O(h2)
(1) f ′(x0) ≈ f1 − f−12h
(2) f ′′(x0) ≈ f1 − 2f0 + f−1h2
(3) f (3)(x0) ≈ f2 − f1 + 2f−1 − f−22h3
(4) f (4)(x0) ≈ f2 − 4f1 + 6f0 − 4f−1 + f−2h4
fk = f (x0 + kh); k = −2,−1, 0, 1, 2
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Fórmulas de Diferencias Centradas de orden O(h2)
(1) f ′(x0) ≈ f1 − f−12h
(2) f ′′(x0) ≈ f1 − 2f0 + f−1h2
(3) f (3)(x0) ≈ f2 − f1 + 2f−1 − f−22h3
(4) f (4)(x0) ≈ f2 − 4f1 + 6f0 − 4f−1 + f−2h4
fk = f (x0 + kh); k = −2,−1, 0, 1, 2
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Fórmulas de Diferencias Centradas
Fórmulas de Diferencias Centradas de orden O(h2)
(1) f ′(x0) ≈ f1 − f−12h
(2) f ′′(x0) ≈ f1 − 2f0 + f−1h2
(3) f (3)(x0) ≈ f2 − f1 + 2f−1 − f−22h3
(4) f (4)(x0) ≈ f2 − 4f1 + 6f0 − 4f−1 + f−2h4
fk = f (x0 + kh); k = −2,−1, 0, 1, 2
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Fórmulas de Diferencias Centradas
Cuando se hacen los cálculos con un computador, no esaconsejable elegir h demasiado pequeño; por eso seríaútil disponer de fórmulas que aproximen las derivadas def (x) con un error de truncamiento de orden O(h4).
Se logra la misma precisión con un incremento mayor.
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Fórmulas de Diferencias Centradas
Cuando se hacen los cálculos con un computador, no esaconsejable elegir h demasiado pequeño; por eso seríaútil disponer de fórmulas que aproximen las derivadas def (x) con un error de truncamiento de orden O(h4).
Se logra la misma precisión con un incremento mayor.
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Fórmulas de Diferencias Centradas
Fórmulas de Diferencias Centradas de orden O(h4)
(5) f ′(x0) ≈ − f2 + 8f1 − 8f−1 + f−212h
(6) f ′′(x0) ≈ − f2 + 16f1 − 30f0 + 16f−1 − f−212h2
(7) f (3)(x0) ≈ − f3 + 8f2 − 13f1 + 13f−1 − 8f−2 + f−38h3
(8) f (4)(x0) ≈ − f3 + 12f2 − 39f1 + 56f0 − 39f−1 + 12f−2 − f−36h4
fk = f (x0 + kh); k = −3,−2,−1, 0, 1, 2, 3
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Fórmulas de Diferencias Centradas
Fórmulas de Diferencias Centradas de orden O(h4)
(5) f ′(x0) ≈ − f2 + 8f1 − 8f−1 + f−212h
(6) f ′′(x0) ≈ − f2 + 16f1 − 30f0 + 16f−1 − f−212h2
(7) f (3)(x0) ≈ − f3 + 8f2 − 13f1 + 13f−1 − 8f−2 + f−38h3
(8) f (4)(x0) ≈ − f3 + 12f2 − 39f1 + 56f0 − 39f−1 + 12f−2 − f−36h4
fk = f (x0 + kh); k = −3,−2,−1, 0, 1, 2, 3
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Fórmulas de Diferencias Centradas de orden O(h4)
(5) f ′(x0) ≈ − f2 + 8f1 − 8f−1 + f−212h
(6) f ′′(x0) ≈ − f2 + 16f1 − 30f0 + 16f−1 − f−212h2
(7) f (3)(x0) ≈ − f3 + 8f2 − 13f1 + 13f−1 − 8f−2 + f−38h3
(8) f (4)(x0) ≈ − f3 + 12f2 − 39f1 + 56f0 − 39f−1 + 12f−2 − f−36h4
fk = f (x0 + kh); k = −3,−2,−1, 0, 1, 2, 3
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Fórmulas de Diferencias Centradas de orden O(h4)
(5) f ′(x0) ≈ − f2 + 8f1 − 8f−1 + f−212h
(6) f ′′(x0) ≈ − f2 + 16f1 − 30f0 + 16f−1 − f−212h2
(7) f (3)(x0) ≈ − f3 + 8f2 − 13f1 + 13f−1 − 8f−2 + f−38h3
(8) f (4)(x0) ≈ − f3 + 12f2 − 39f1 + 56f0 − 39f−1 + 12f−2 − f−36h4
fk = f (x0 + kh); k = −3,−2,−1, 0, 1, 2, 3
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Fórmulas de Diferencias Centradas
Fórmulas de Diferencias Centradas de orden O(h4)
(5) f ′(x0) ≈ − f2 + 8f1 − 8f−1 + f−212h
(6) f ′′(x0) ≈ − f2 + 16f1 − 30f0 + 16f−1 − f−212h2
(7) f (3)(x0) ≈ − f3 + 8f2 − 13f1 + 13f−1 − 8f−2 + f−38h3
(8) f (4)(x0) ≈ − f3 + 12f2 − 39f1 + 56f0 − 39f−1 + 12f−2 − f−36h4
fk = f (x0 + kh); k = −3,−2,−1, 0, 1, 2, 3
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2 Métodos de Derivación NuméricaEl Límite del Cociente IncrementalFórmulas de Diferencias CentradasFórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton
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Fórmulas de Diferencias Progresivas y Regresivas
Si sólo se puede evaluar la función en abcisas que estánen un lado de x0, entonces la Fórmulas de DiferenciasCentradas no pueden usarse.
Las fórmulas que utilizan abcisas equiespaciadas queestán todas a derecha (o izquierda) de x0 se llamanFórmulas de Diferencias Progresivas (o Regresivas).
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Fórmulas de Diferencias Progresivas y Regresivas
Si sólo se puede evaluar la función en abcisas que estánen un lado de x0, entonces la Fórmulas de DiferenciasCentradas no pueden usarse.
Las fórmulas que utilizan abcisas equiespaciadas queestán todas a derecha (o izquierda) de x0 se llamanFórmulas de Diferencias Progresivas (o Regresivas).
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Fórmulas de Diferencias Progresivas y Regresivas
Fórmulas de Diferencias Progresivas de orden O(h2)
(9) f ′(x0) ≈ − 3f0 + 4f1 − f22h
(10) f ′′(x0) ≈ 2f0 − 5f1 + 4f2 − f3h2
(11) f (3)(x0) ≈ − 5f0 + 18f1 − 24f2 + 14f3 − 3f42h3
(12) f (4)(x0) ≈ 3f0 − 14f1 + 26f2 − 24f3 + 11f4 − 2f5h4
fk = f (x0 + kh); k = 0, 1, 2, 3, 4, 5
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Fórmulas de Diferencias Progresivas y Regresivas
Fórmulas de Diferencias Progresivas de orden O(h2)
(9) f ′(x0) ≈ − 3f0 + 4f1 − f22h
(10) f ′′(x0) ≈ 2f0 − 5f1 + 4f2 − f3h2
(11) f (3)(x0) ≈ − 5f0 + 18f1 − 24f2 + 14f3 − 3f42h3
(12) f (4)(x0) ≈ 3f0 − 14f1 + 26f2 − 24f3 + 11f4 − 2f5h4
fk = f (x0 + kh); k = 0, 1, 2, 3, 4, 5
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Fórmulas de Diferencias Progresivas de orden O(h2)
(9) f ′(x0) ≈ − 3f0 + 4f1 − f22h
(10) f ′′(x0) ≈ 2f0 − 5f1 + 4f2 − f3h2
(11) f (3)(x0) ≈ − 5f0 + 18f1 − 24f2 + 14f3 − 3f42h3
(12) f (4)(x0) ≈ 3f0 − 14f1 + 26f2 − 24f3 + 11f4 − 2f5h4
fk = f (x0 + kh); k = 0, 1, 2, 3, 4, 5
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Fórmulas de Diferencias Progresivas de orden O(h2)
(9) f ′(x0) ≈ − 3f0 + 4f1 − f22h
(10) f ′′(x0) ≈ 2f0 − 5f1 + 4f2 − f3h2
(11) f (3)(x0) ≈ − 5f0 + 18f1 − 24f2 + 14f3 − 3f42h3
(12) f (4)(x0) ≈ 3f0 − 14f1 + 26f2 − 24f3 + 11f4 − 2f5h4
fk = f (x0 + kh); k = 0, 1, 2, 3, 4, 5
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Fórmulas de Diferencias Progresivas y Regresivas
Fórmulas de Diferencias Regresivas de orden O(h2)
(13) f ′(x0) ≈ 3f0 − 4f−1 + f−22h
(14) f ′′(x0) ≈ 2f0 − 5f−1 + 4f−2 − f−3h2
(15) f (3)(x0) ≈ 5f0 − 18f−1 + 24f−2 − 14f−3 + 3f−42h3
(16) f (4)(x0) ≈ 3f0 − 14f−1 + 26f−2 − 24f−3 + 11f−4 − 2f−5
h4
fk = f (x0 + kh); k = −5,−4,−3,−2,−1, 0
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Fórmulas de Diferencias Regresivas de orden O(h2)
(13) f ′(x0) ≈ 3f0 − 4f−1 + f−22h
(14) f ′′(x0) ≈ 2f0 − 5f−1 + 4f−2 − f−3h2
(15) f (3)(x0) ≈ 5f0 − 18f−1 + 24f−2 − 14f−3 + 3f−42h3
(16) f (4)(x0) ≈ 3f0 − 14f−1 + 26f−2 − 24f−3 + 11f−4 − 2f−5
h4
fk = f (x0 + kh); k = −5,−4,−3,−2,−1, 0
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Fórmulas de Diferencias Regresivas de orden O(h2)
(13) f ′(x0) ≈ 3f0 − 4f−1 + f−22h
(14) f ′′(x0) ≈ 2f0 − 5f−1 + 4f−2 − f−3h2
(15) f (3)(x0) ≈ 5f0 − 18f−1 + 24f−2 − 14f−3 + 3f−42h3
(16) f (4)(x0) ≈ 3f0 − 14f−1 + 26f−2 − 24f−3 + 11f−4 − 2f−5
h4
fk = f (x0 + kh); k = −5,−4,−3,−2,−1, 0
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Fórmulas de Diferencias Regresivas de orden O(h2)
(13) f ′(x0) ≈ 3f0 − 4f−1 + f−22h
(14) f ′′(x0) ≈ 2f0 − 5f−1 + 4f−2 − f−3h2
(15) f (3)(x0) ≈ 5f0 − 18f−1 + 24f−2 − 14f−3 + 3f−42h3
(16) f (4)(x0) ≈ 3f0 − 14f−1 + 26f−2 − 24f−3 + 11f−4 − 2f−5
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fk = f (x0 + kh); k = −5,−4,−3,−2,−1, 0
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Fórmulas de Diferencias Regresivas de orden O(h2)
(13) f ′(x0) ≈ 3f0 − 4f−1 + f−22h
(14) f ′′(x0) ≈ 2f0 − 5f−1 + 4f−2 − f−3h2
(15) f (3)(x0) ≈ 5f0 − 18f−1 + 24f−2 − 14f−3 + 3f−42h3
(16) f (4)(x0) ≈ 3f0 − 14f−1 + 26f−2 − 24f−3 + 11f−4 − 2f−5
h4
fk = f (x0 + kh); k = −5,−4,−3,−2,−1, 0
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Se mostrará la relación que existe entre las fórmulas deorden O(h2) para aproximar f ′(x) y un algoritmo generalque permite calcular derivadas numéricamente.
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Derivada del Polinomio Interpolador de Newton
Recordar que el Polinomio Interpolador de Newton (PIN) P(t)de grado N = 2 que aproxima f (t) usando los nodos t0, t1 y t2,viene dado por
P(t) = a0 + a1(t − t0) + a2(t − t0)(t − t1), (1)
siendo
a0 = f (t0)
a1 =f (t1)− f (t0)
t1 − t0
a2 =
f (t2)−f (t1)t2−t1
− f (t1)−f (t0)t1−t0
t2 − t0
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La derivada de P(t) es
P′(t) = a1 + [a2(t − t1) + a2(t − t0)] = a1 + a2 [(t − t1) + (t − t0)] (2)
que evaluada en t = t0, produce
P ′(t0) = a1 + a2(t0 − t1) ≈ f ′(t0). (3)
En (a), (b) y (c) no hace falta que los nodos {tk} esténequiespaciados. Ordenando los nodos de maneras distintasobtendremos fórmulas de aproximación a f ′(x) distintas.
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Caso 1:
Si t0 = x , t1 = x + h, t2 = x + 2h , entonces
a1 =f (x + h)− f (x)
h
a2 =f (x+2h)−f (x+h)
h − f (x+h)−f (x)h
2h=
f (x)− 2f (x + h) + f (x + 2h)
2h2
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y al sustituir estos valores en (c), obtenemos
P ′(x) =f (x + h)− f (x)
h+
(−h) [f (x)− 2f (x + h) + f (x + 2h)]
2h2
=f (x + h)− f (x)
h+−f (x) + 2f (x + h)− f (x + 2h)
2h
=2f (x + h)− 2f (x)− f (x) + 2f (x + h)− f (x + 2h)
2h
=−3f (x) + 4f (x + h)− f (x + 2h)
2h≈ f (x),
que es la fórmula (9).
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Caso 2:
Si t0 = x , t1 = x + h, t2 = x − h , entonces
a1 =f (x + h)− f (x)
h
a2 =
f (x−h)−f (x+h)−2h − f (x+h)−f (x)
h
−h=
f (x−h)−f (x+h)+2f (x+h)−2f (x)−2h
−h
=f (x + h)− 2f (x) + f (x − h)
2h2
DERIVACIÓN NUMÉRICA
PreliminaresMétodos de Derivación Numérica
El Límite del Cociente IncrementalFórmulas de Diferencias CentradasFórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton
Derivada del Polinomio Interpolador de Newton
y al sustituir estos valores en (c), obtenemos
P ′(x) =f (x + h)− f (x)
h+−f (x + h) + 2f (x)− f (x − h)
2h
=2f (x + h)− 2f (x)− f (x + h) + 2f (x)− f (x − h)
2h
=f (x + h)− f (x − h)
2h≈ f ′(x),
que es la fórmula (1).
DERIVACIÓN NUMÉRICA
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El Límite del Cociente IncrementalFórmulas de Diferencias CentradasFórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton
Derivada del Polinomio Interpolador de Newton
Caso 3:
Si t0 = x , t1 = x − h, t2 = x − 2h , entonces
a1 =f (x − h)− f (x)
−h=
f (x)− f (x − h)
h
a2 =
f (x−2h)−f (x−h)−h − f (x)−f (x−h)
h
−2h=
−f (x−h)+f (x−2h)+f (x)−f (x−h)−h
−2h
=f (x)− 2f (x − h) + f (x − 2h)
2h2
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El Límite del Cociente IncrementalFórmulas de Diferencias CentradasFórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton
Derivada del Polinomio Interpolador de Newton
y al sustituir estos valores en (c), obtenemos
P ′(x) =f (x)− f (x − h)
h+
f (x)− 2f (x − h) + f (x − 2h)
2h
=2f (x)− 2f (x − h) + f (x)− 2f (x − h) + f (x − 2h)
2h
=3f (x)− 4f (x − h) + f (x − 2h)
2h≈ f ′(x),
que es la fórmula (13).
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Derivada del Polinomio Interpolador de Newton
Generalización:
El Polinomio Interpolador de Newton (PIN) P(t) de grado N queaproxima f (t) usando los nodos t0, t1, ...., tN viene dado por
P(t) = a0 + a1(t − t0) + a2(t − t0)(t − t1) + a3(t − t0)(t − t1)(t − t2)+........ + aN(t − t0).....(t − tN−1).
La derivada de P(t) es
P′(t) = a1 + a2 [(t − t0) + (t − t1)] + a3 [(t − t0)(t − t1) + (t − t0)(t − t2) + (t − t1)(t − t2)]
+........ + aN
N−1Xk=0
N−1Yj=0
(t − tj ) para j 6= k.
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Derivada del Polinomio Interpolador de Newton
Evaluando P ′(t) en t = t0,
P ′(t0) = a1 + a2(t0 − t1) + a3(t0 − t1)(t0 − t2) + ........
+aN(t0 − t1)(t0 − t2)(t0 − t3).....(t0 − tN−1) ' f ′(t0). (4)
Si|t0 − t1| ≤ |t0 − t2| ≤ ...... ≤ |t0 − tN |
y si {tj}Nj=0 es un conjunto equiespaciado (quizá
reordenándolos) de N + 1 nodos, entonces la suma parcialN-ésima de (*) es una aproximación a f ′(t0) de orden O(hN).
DERIVACIÓN NUMÉRICA
Apéndice
Bibliografía
MATHEWS, John; KURTIS, Fink.Métodos Numéricos con MATLAB.Prentice Hall, 2000.
DERIVACIÓN NUMÉRICA
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INTEGRACIÓN NUMÉRICA
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
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Contenido
1 PreliminaresIntroducciónDefinicionesFórmulas de Cuadratura de Newton-Cotes
2 Las Reglas compuestas del trapecio y de SimpsonRegla compuesta del trapecioRegla compuesta de Simpson
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
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IntroducciónDefinicionesFórmulas de Cuadratura de Newton-Cotes
Contenido
1 PreliminaresIntroducciónDefinicionesFórmulas de Cuadratura de Newton-Cotes
2 Las Reglas compuestas del trapecio y de SimpsonRegla compuesta del trapecioRegla compuesta de Simpson
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
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IntroducciónDefinicionesFórmulas de Cuadratura de Newton-Cotes
Introducción
Herramienta que se usa en la ciencia y la ingeniería paraobtener valores aproximados de las integrales definidasque no pueden calcularse analíticamente.
Las fórmulas de integración numérica se usarán paraconstruir los métodos de predicción y corrección utilizadosen al resolución numérica de ecuaciones diferenciales.
El objetivo es aproximar la integral definida de una funciónf (x) en un intervalo [a, b] evaluando f (x) en un númerofinito de puntos.
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
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IntroducciónDefinicionesFórmulas de Cuadratura de Newton-Cotes
Introducción
Herramienta que se usa en la ciencia y la ingeniería paraobtener valores aproximados de las integrales definidasque no pueden calcularse analíticamente.
Las fórmulas de integración numérica se usarán paraconstruir los métodos de predicción y corrección utilizadosen al resolución numérica de ecuaciones diferenciales.
El objetivo es aproximar la integral definida de una funciónf (x) en un intervalo [a, b] evaluando f (x) en un númerofinito de puntos.
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
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IntroducciónDefinicionesFórmulas de Cuadratura de Newton-Cotes
Introducción
Herramienta que se usa en la ciencia y la ingeniería paraobtener valores aproximados de las integrales definidasque no pueden calcularse analíticamente.
Las fórmulas de integración numérica se usarán paraconstruir los métodos de predicción y corrección utilizadosen al resolución numérica de ecuaciones diferenciales.
El objetivo es aproximar la integral definida de una funciónf (x) en un intervalo [a, b] evaluando f (x) en un númerofinito de puntos.
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IntroducciónDefinicionesFórmulas de Cuadratura de Newton-Cotes
Contenido
1 PreliminaresIntroducciónDefinicionesFórmulas de Cuadratura de Newton-Cotes
2 Las Reglas compuestas del trapecio y de SimpsonRegla compuesta del trapecioRegla compuesta de Simpson
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IntroducciónDefinicionesFórmulas de Cuadratura de Newton-Cotes
Definiciones
DefiniciónSean a = x0 < x1 < ....... < xM = b. Una fórmula del tipo
Q[f ] =M∑
k=0
wk f (xk ) = w0f (x0) + w1f (x1) + ........... + wM f (xM)
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
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IntroducciónDefinicionesFórmulas de Cuadratura de Newton-Cotes
Definiciones
de manera que ∫ b
af (x)dx = Q[f ] + E [f ]
se llama fórmula de Integración Numérica o de Cuadratura;E [f ] se llama Error de truncamiento de la fórmula; los valores{xk}M
k=0 se llaman Nodos de integración o Nodos deCuadratura y los valores {wk}M
k=0 se llaman pesos de lafórmula.
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IntroducciónDefinicionesFórmulas de Cuadratura de Newton-Cotes
Contenido
1 PreliminaresIntroducciónDefinicionesFórmulas de Cuadratura de Newton-Cotes
2 Las Reglas compuestas del trapecio y de SimpsonRegla compuesta del trapecioRegla compuesta de Simpson
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IntroducciónDefinicionesFórmulas de Cuadratura de Newton-Cotes
Fórmulas de Cuadratura de Newton-Cotes
Teorema: Fórmulas de Cuadratura de Newton-CotesSean xk = x0 + kh (k = 0, 1, ....., M) nodos equiespaciados ysea fk = f (xk ) para k = 0, 1, .....M. Las cuatro primerasfórmulas cerradas de Newton-Cotes son:∫ x1
x0f (x)dx ≈ h
2 (f0 + f1) (Regla del Trapecio)
∫ x2
x0f (x)dx ≈ h
3 (f0 + 4f1 + f2) (Regla de Simpson)
∫ x3
x0f (x)dx ≈ 3h
8 (f0 + 3f1 + 3f2 + f3) (Regla 38 de Simpson)
∫ x4
x0f (x)dx ≈ 2h
45 (7f0 + 32f1 + 12f2 + 32f3 + 7f4) (Regla de Boole)
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IntroducciónDefinicionesFórmulas de Cuadratura de Newton-Cotes
Fórmulas de Cuadratura de Newton-Cotes
Demostración Regla de Simpson:
El Polinomio Interpolador de Lagrange PM(x) para los nodosx0, x1, ......., xM que se usa para aproximar f (x) es:
f (x) ≈ PM(x) =M∑
k=0
fkLM,k (x),
con fk = f (xk ) para k = 0, 1, .......M.
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IntroducciónDefinicionesFórmulas de Cuadratura de Newton-Cotes
Fórmulas de Cuadratura de Newton-Cotes
Así, aproximando la integral de f (x) por la integral de PM(x)
∫ xM
x0
f (x)dx ≈∫ xM
x0
PM(x)dx =
∫ xM
x0
(M∑
k=0
fk LM,k (x)
)dx
=M∑
k=0
(∫ xM
x0
fk LM,k (x)dx)
=M∑
k=0
(∫ xM
x0
LM,k (x)dx)
fk =M∑
k=0
wk fk . (1)
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IntroducciónDefinicionesFórmulas de Cuadratura de Newton-Cotes
Fórmulas de Cuadratura de Newton-Cotes
Se determinan los pesos wk para el caso particular M = 2(Regla de Simpson):
P2(x) = f0(x − x1)(x − x2)
(x0 − x1)(x0 − x2)+f1
(x − x0)(x − x2)
(x1 − x0)(x1 − x2)+f2
(x − x0)(x − x1)
(x2 − x0)(x2 − x1)
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
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IntroducciónDefinicionesFórmulas de Cuadratura de Newton-Cotes
Fórmulas de Cuadratura de Newton-Cotes
De (1):
Z x2
x0f (x)dx ≈ f0
Z x2
x0
(x − x1)(x − x2)
(x0 − x1)(x0 − x2)dx + f1
Z x2
x0
(x − x0)(x − x2)
(x1 − x0)(x1 − x2)dx + f2
Z x2
x0
(x − x0)(x − x1)
(x2 − x0)(x2 − x1)dx.
(2)
Cambio de variable: x = x0 + ht ⇒ dx = h dt
Nuevos límites:x = x0 ⇒ ht = x0 − x0 = 0 ⇒ t = 0x = x2 ⇒ ht = x2 − x0 = 2h ⇒ t = 2
Como los nodos xk = x0 + kh están equiespaciados,podemos escribir xk − xj = (k − j)h y x − xk = h(t − k)
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IntroducciónDefinicionesFórmulas de Cuadratura de Newton-Cotes
Fórmulas de Cuadratura de Newton-Cotes
De (1):
Z x2
x0f (x)dx ≈ f0
Z x2
x0
(x − x1)(x − x2)
(x0 − x1)(x0 − x2)dx + f1
Z x2
x0
(x − x0)(x − x2)
(x1 − x0)(x1 − x2)dx + f2
Z x2
x0
(x − x0)(x − x1)
(x2 − x0)(x2 − x1)dx.
(2)
Cambio de variable: x = x0 + ht ⇒ dx = h dt
Nuevos límites:x = x0 ⇒ ht = x0 − x0 = 0 ⇒ t = 0x = x2 ⇒ ht = x2 − x0 = 2h ⇒ t = 2
Como los nodos xk = x0 + kh están equiespaciados,podemos escribir xk − xj = (k − j)h y x − xk = h(t − k)
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IntroducciónDefinicionesFórmulas de Cuadratura de Newton-Cotes
Fórmulas de Cuadratura de Newton-Cotes
De (1):
Z x2
x0f (x)dx ≈ f0
Z x2
x0
(x − x1)(x − x2)
(x0 − x1)(x0 − x2)dx + f1
Z x2
x0
(x − x0)(x − x2)
(x1 − x0)(x1 − x2)dx + f2
Z x2
x0
(x − x0)(x − x1)
(x2 − x0)(x2 − x1)dx.
(2)
Cambio de variable: x = x0 + ht ⇒ dx = h dt
Nuevos límites:x = x0 ⇒ ht = x0 − x0 = 0 ⇒ t = 0x = x2 ⇒ ht = x2 − x0 = 2h ⇒ t = 2
Como los nodos xk = x0 + kh están equiespaciados,podemos escribir xk − xj = (k − j)h y x − xk = h(t − k)
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
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IntroducciónDefinicionesFórmulas de Cuadratura de Newton-Cotes
Fórmulas de Cuadratura de Newton-Cotes
De (1):
Z x2
x0f (x)dx ≈ f0
Z x2
x0
(x − x1)(x − x2)
(x0 − x1)(x0 − x2)dx + f1
Z x2
x0
(x − x0)(x − x2)
(x1 − x0)(x1 − x2)dx + f2
Z x2
x0
(x − x0)(x − x1)
(x2 − x0)(x2 − x1)dx.
(2)
Cambio de variable: x = x0 + ht ⇒ dx = h dt
Nuevos límites:x = x0 ⇒ ht = x0 − x0 = 0 ⇒ t = 0x = x2 ⇒ ht = x2 − x0 = 2h ⇒ t = 2
Como los nodos xk = x0 + kh están equiespaciados,podemos escribir xk − xj = (k − j)h y x − xk = h(t − k)
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IntroducciónDefinicionesFórmulas de Cuadratura de Newton-Cotes
Fórmulas de Cuadratura de Newton-Cotes
(2) se escribe entonces:
Z x2
x0f (x)dx ≈ f0
Z 2
0
h(t − 1)h(t − 2)
(−h)(−2h)h dt + f1
Z 2
0
h(t − 0)h(t − 2)
(h)(−h)h dt + f2
Z 2
0
h(t − 0)h(t − 1)
(2h)(h)h dt
= f0h
2
Z 2
0(t2 − 3t + 2)dt − f1h
Z 2
0(t2 − 2t)dt + f2
h
2
Z 2
0(t2 − t)dt
= f0h
2
"t3
3−
3t2
2+ 2t
#t=2
t=0
− f1h
"t3
3−
2t2
2
#t=2
t=0
+ f2h
2
"t3
3−
t2
2
#t=2
t=0
= f0h
2
„ 8
3−
12
2+ 4
«− f1h
„ 8
3− 4
«+ f2
h
2
„ 8
3− 2
«=
h
3(f0 + 4f1 + f2)
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Regla compuesta del trapecio
Teorema: Regla compuesta del trapecio
Supongamos que se divide el intervalo [a, b] en Msubintervalos [xk , xk+1] de ancho común h = (b−a)
M medianteuna partición cuyos nodos xk = a + kh, para k = 0, 1, ......, M,están equiespaciados.
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Regla compuesta del trapecio
La Regla compuesta del trapecio con M subintervalos seexpresa así:
T (f , h) =h2
MXk=1
(f (xk−1) + f (xk ))
o bien
T (f , h) =h2
(f0 + 2f1 + 2f2 + 2f3 + ......... + 2fM−2 + 2fM−1 + fM)
o bien
T (f , h) =h2
(f (a) + f (b)) + hM−1Xk=1
f (xk ).
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Regla compuesta del trapecio
Este valor es una aproximación a la integral de f (x)en [a, b]:∫ b
af (x)dx ≈ T (f , h).
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Regla compuesta del trapecio
Demostración:
Aplicando la Regla del trapecio sobre cada intervalo [xk−1, xk ] yusando la propiedad de aditividad de la integración,obtenemos:
Z b
af (x)dx =
MXk=1
Z xk
xk−1
f (x)dx ≈MX
k=1
h2
(f (xk−1) + f (xk )) =h2
MXk=1
(f (xk−1) + f (xk ))
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Regla compuesta del trapecioRegla compuesta de Simpson
Regla compuesta de Simpson
Teorema: Regla compuesta de Simpson
Supongamos que se divide [a, b] en 2M subintervalos [xk , xk+1]
del mismo ancho xk = (b−a)2M mediante una partición de nodos
equiespaciados xk = a + kh, para k = 0, 1, .....,2M.
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Regla compuesta del trapecioRegla compuesta de Simpson
Regla compuesta de Simpson
La Regla compuesta de Simpson con 2M subintervalos sepuede expresar así:
S(f , h) =h3
MXk=1
(f (x2k−2) + 4f (x2k−1) + f (x2k ))
o bien
S(f , h) =h3
(f0 + 4f1 + 2f2 + 4f3 + ........ + 2f2M−2 + 4f2M−1 + f2M)
o bien
S(f , h) =h3
(f (a) + f (b)) +2h3
M−1Xk=1
f (x2k ) +4h3
MXk=1
f (x2k−1).
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
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Regla compuesta del trapecioRegla compuesta de Simpson
Regla compuesta de Simpson
Este valor es una aproximación a la integral de f (x) en [a, b]:∫ b
af (x)dx ≈ S(f , h).
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
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Regla compuesta del trapecioRegla compuesta de Simpson
Regla compuesta de Simpson
Demostración:
Aplicando la regla de Simpson sobre cada [x2k−2, x2k ] y usandola propiedad de aditividad de la integración, obtenemos:
∫ b
af (x)dx =
M∑k=1
∫ x2k
x2k−2
f (x)dx
≈M∑
k=1
h3
(f (x2k−2) + 4f (x2k−1) + f (x2k ))
=h3
M∑k=1
(f (x2k−2) + 4f (x2k−1) + f (x2k )) .
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Apéndice
Bibliografía
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