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UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO ESTADISTICA
Ejercicio 3: Sean x1 y x2 las medidas de dos muestras independientes de tamaños
n1 y n2 respectivamente escogidas de una población X poison con parámetro λ
a) Proba que la estadística Θ=n1 x1+n2 x2n1+n2
es un estimador insesgado del parámetro
λ.
b) Hallar la varianza del estimador.
Solución
Var(x) =λ
Var(x)=λn
Hallando la varianza:
E(θ ¿= 1n1+n2
E(n1 x1+n2 x2 ¿ var(θ ¿=var ⌈n1 x1+n2 x2n1+n2
⌉
=1
n1+n2¿ ¿
1
(n1+n2 )2var (n1 x1)+var (n¿¿2 x2)¿
=1
n1+n2[n1 λ+n2 λ ] =
1
(n1+n2 )2{n12 var(x1)+n22 var (x2)}
=λ
n1+n2[n1+n2 ]=λ =
1
(n1+n2 )2 {n12 λn1+n22 λn2 } =
1
(n1+n2 )2¿ =
λn1+n2
λn1+n2
λn1+n2
[n1+n2 ]=λ
Página 1ESCUELA PROFSIONAL DE INGENIERIA CIVIL
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Ejercicio 5: dos métodos diferentes e independientes dieron lugar a dos estimadores
insesgados θ1 y θ2 del parámetro θ. Las desviaciones estándares de estos estimadores
son 0.4 y 0.6 respectivamente .los estimadores son combinados de la siguiente
manera.
θ2=r θ1+ (1−r ) θ20<r<1.
Hallar el valor de r que haga mínima la varianza del estimador θ:
Solución
√var (θ )=0.4
√var (θ2)=0.6
θ=r θ1+ (1−r ) θ2 0<r<1γ fγ r
=2 r∗0.42−2 (1−r )∗(0.36 )=0
r=? r=0.6923
=var[ rθ1+(1−r) θ2 ]
=var[(r θ1 )+var ((1−r )2 θ2)]
= r2 var (θ1 )+(1−r )2 var (θ2)
F=var r2∗0.42+ (1−r )2∗¿)
Ejercicio 6: sea x1,x2,….,xn, una muestra aleatoria de tamaño de una población de
bernulli B (1,p) de las siguientes estadísticas:
θ2=∑i=1
n
x i−xk
n−1;θ2=
∑i=1
n
x i2
n
Página 2ESCUELA PROFSIONAL DE INGENIERIA CIVIL
r = 0.6923
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a) ¿Cuáles son estimadores de máxima verosimilitud para p?
b) Estimar p, si x1,x2,….,x50,=100
Solución
Cuando es insesgado:
E muestra=E población E (θ2 ¿=E[∑i=1n
x i2
n ]E (θ1 ¿=E[ x1 , x2 ,…., xn−xk
n−1 ] =E[ x12 , x22,…. , xn2−xk2n ]E (θ1 ¿=E ¿¿¿ = E¿
1n−1
[ p+ p+ p+…+ p−p ]=(n−1)(n−1)
∗p γ X=E (x2 )−E(x )2
=1n
{n(γ x2+μ2)}= p q+p2=p(1-p)+p2
=p – p2+p2 = p
La varianza:
Var (θ1 ¿= var [∑i=1
n
x i−xk ]
Página 3ESCUELA PROFSIONAL DE INGENIERIA CIVIL
Si es insesgado
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= var [ x1 , x2 ,…., xn−xkn−1 ]=
1
(n−1)2¿
=1
(n−1)2=(n+1 ) ( p∗q )= n+1
(n−1 )2( γ2 )= pq (n+1)
(n−1)2
Var (θ2 ¿=1
n2(var x1
2 , x22 ,…. , xn
2−xk2)
=1
n2¿
Var (x2¿=E (x4 )−E((x2))2
PARA:θ2=
∑i=1
n
x i2
n
LA ESPERANZA:
E(x¿¿2)=γ X2+μ2 ¿
Var(x2)= (E(x¿¿1¿¿ 4)+[γ X2+μ2 ]2¿¿
=[ γX2+μ2 ]2−[γ X2+μ2 ]
2=0
1
n2¿=0
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Ejercicio 7 pág. 388: sea x1,x2,….,x50 una muestra aleatoria de tamaño 50 escogida
de una población de distribución geométrica para metro p 0¿ x<1.
P[X=x ]=p (1−p)x , x=1,2,….
a) Determinar el estimador de máxima verosimilitud
b) Estimar p,x12 , x2
2 ,…. , x502=100
Solución
Parte a
l (f ( x ) )=pn(1−p)∑ x
γlγp
=np−∑ x
l−p
p∑ ( x+1 )= 1
∑ x
n+1
= 1x+1
Parte b
P=50
100+50= 50150
=13
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1x+1
P=13
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Ejercicio 9 pág. 388: el número de ventas diarias de cierta mercadería es una
variable aleatoria x poison con un promedioγventa días:
a) si x1,x2,….,x50 son la ventas de 50 días estimar γ por el método de máxima
verosimilitud
b) si en los 50 días se han hecho 30ventas de tal mercadería estimar el promedio
γ de ventas diarias.
Solución
parte a:
F(x)=e−x∗γ x
x ¡ =l(γ , x i ¿=
e−nx∗γ∑ x
x !
L(γ ; xi ¿=e−nx . γ∑ x
∑ x !
l ≈L=−nλ∗l ≈ x+∑ xl ≈ x−l ≈∑ x !
γl ≈ lγλ
=−n+∑ x
λ=0
∑ x
λ=n λ=
∑ x
n
parte b:
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λ=∑ x
n
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λ=∑ x
n=3050
=35
Ejercicio 10 pág. 389: de una población de variable aleatoria continua X se extrae
una muestra aleatoria x1 , x2 ,…. , xn y se define la variable aleatoria bernoulli.
Y[1 si x>00 si x≤0
a) Usando la máxima verosimilitud estimar la proporción p de todos los valores
usados positivos estimar p=P[ x>0 ] .
b) Estime el valor de p si una muestra aleatoria de tamaño de80 de x ha dado 64
valores positivos y 16 valores negativos
c) Si x∼N(u ,0.04¿, utilizando a y b, calcular aproximadamente el valor u.
Solución
Y[1 si x>00 si x≤0
f ( x )=(1−p)1−x∗px
k=l ( x , p )=p∑ x (1−p)∑ 1−p
l k=∑ x l p+∑ (1−p )l (1−p)
γl kγp
=∑ x l p+∑ (1−p )l (1−p )
p=∑ x
n
Parte c:
x N (μ :0.004 )
p=p ( x ≥0 )=0.80
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λ=35
p=∑ x
n
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=1−p ( x≤0 )=0.80
=p(x< 0−u0.2 )=0.20 μ=0.169Ejercicio 11 pág. 389: el tiempo en meses, que dura una componente electrónica, es
una variable aleatoria T de distribuciones exponenciales con parámetro β se prueban
30 componentes y se encuentran que 18 faltan antes de los 6 meses.
a) Utilizando el método de máxima verosimilitud, estimar la proporción de todas
las componentes que fallan antes de los 6 meses.
b) Utilice el resultado de a)para estimar la máxima verosimilitud
Solución
f ( x )=βe−px
μ= 1p
γ2= 1
β2
p ( x≤ ℷ )=1−e− β
p¿)
Parte a) n =30
p=1830
Parte b:
p ( x≤ x )=1−e−βx=1830
p ( x≤6 )=1−e− βx= p
p ( x≤6 )=1−e−6 x= p 1−p=e−βx
l∼ (1−p )=−l∼6 β
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μ=0.169
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l∼ (1−p )−6 β
β=l∼ 12306
EJERCICOS N°12
1:12. La longitud de cierto tipo de objeto producidos por una maquina, puede
estar por arriba o por abajo de la medida estandar de 2 pulgadas. Suponga que
tal longitud tiene distribucion normal /V(u, 0.0025).
a) Utilizando el metodo de maxima verosimilitud estime la proporcion p de
todos los objetos cuya longitud esta por arriba de 2 pulgadas.
b) Si en una muestra de 1,000 de tales objetos se encontrd que 992 tenian
longitud por arriba de 2 pulgadas, utilizando a) estime la media de la longitud de
todos los objetos producidos.
Solución
f (x , p)=px(1−p)1−x ya se demostro
a).- p=∑ x
n a).- p=
9921000
=0.992
p=p ( x>2 )=0.992
1−p( z≤ 2−u0.05 )=0.992 X N (u ,0.0025)
σx=0.05
∅ ( 2−u0.05 )=0.008 → 2−u0.05
= -2.41
2−u=−0.1205→u=2.1205
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ejercicioN°13
13)._ Una maquina produce objetos cuyo peso en gramos tiene distribucion
normal N(30, a2), con a desconocido. Los objetos son defectuosos si el peso es
menor que 26 o mayor que 34 gramos. Para estimar a se pesa un objeto cada
vez hasta que un defectuoso sea obtenido. Hallar el estimador de maxima
verosimilitud de a si en un control el primer defectuoso se hallo en la decima
prueba.
Solucion
X→N (30 , σ2) D: p(x<26) + p(x>34)
exito :P fracaso: (1-p)
(1−p )=p (26≤x ≤34 )
(1−p )=p¿) - p(Z≤ 26−30σ )el primer
El primer defectuoso se halla en la decima prueba
P= 110
=0.10
0.90=∅ ( 45 )−∅ (−45 )=¿0.90=2∅ ( 45 )−10.95= ∅ ( 45 )
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u=2.1205
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1.645=45
σ=2.4316
Ejercicos 1
1. Una maquina llena un determinado producto en bolsas cuyo peso medio
es u gramos. Suponga que la poblacion de los pesos es normal con desviacion
estandar 20 gramos.
a) Estime u de manera que el 99.38% de las bolsas tengan pesos no
superiores a 550 gramos.
b) Estime u mediante un intervalo de confianza del 95%, si una muestra
aleatoria de 16 bolsas ha dado una media de 495 gramos
solucion
X→N (u ,202) X : peso medio
p¿ – Zσ
√n≤u≤ x + Z
σ
√n¿0.95
N=16 Z0.975=1.96(5) = 9.8
(495±9.8¿
p ( x≤550 )=0.9938
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σ=2.4316
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p(Z≤ 550−u20
)= 0.9938
∅=(550−u20 )=0.9938
550−u20
=2.5
ejercico N°02
2. Se decide estimar la media \x del nivel de ansiedad de todos los
estudiantes
preuniversitarios. Se supone que la poblacion de los puntajes de la prueba para,
medir la ansiedad se distribuye normalmente con desviacion estandar igual a 10
puntos.
a) Determinar el intervalo para Li con confianza del 95%, si una muestra
aleatoria de tamano 100 ha dado una media de 70 puntos.
b) Si u. se estima en 70 puntos con el nivel de confianza del 98%, i,es el
error de la estimacion puntual superior a 5 puntos?
c) Si Ud. considera que el intervalo encontrado en a) no es muy preciso,
^que action deberia tomar para que el intervalo de estimacion al 95% sea mas
preciso?.
Solucion
X= nivel de insideil X N ¿) Z0.975=1.96
X : puntajes
a).- α=0.05 n=100 x=70
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u=500
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p¿ – Zσ
√n≤u≤ x + Z
σ
√n¿=1−α
1.96(10)10
=1.96 ¿>¿ ( 70 ±1.96¿
b¿ .¿ α=0.02 Z0.99=2.33 e=2.33( 1010 )=2.33 NO
c)._ si R→0=¿ n→α
ejercico N°03
3. El tiempo en minutos que utilizan los clientes en sus distintas operaciones
en un banco local es una variable aleatoria cuya distribucion se supone normal
con
una desviacion estandar de 3 minutos. Se han registrado los tiempos de las
operaciones de 9 clientes delbanco resultando una media igual a 9 minutos:
a) Hallar el nivel de confianza si la estimacion de Ji es el intervalo de 7 a 11
minutos.
b) Si u se estima por x, calcular la probabilidad de que la media de los
tiempos.
de todas las muestras de tamano 9 este entre 6.5 y 11.5 minutos.
x: tiempo en minutos X→N (u ,32) n=9 x=9
a) (7≤u≤11)
b) X−¿ Z 1-α2
σ
√n¿=¿ 7
9−¿ Z 1-α2
33¿=7 → Z 1-
α2
= 2
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1−α2
= 0.9772 →α=0.0456 → 1−α=0.9544
( 6.5≪u≪11.5) →p¿ – Zσ
√n≤u≤ x + Z
σ
√n¿=1−α
9−¿ Z 1-α2
3
√9¿=6.5 Z 1-
α2
= 2.5
1−α2
= 0.9938 α=0.0124
ejercico N°04
4. Un fabricante afirma que el peso promedio de las latas de fruta en conserva que
saca al mercado es 19 onzas. Para verificar esta afirmacion se escogen al azar 20
latas de la fruta y se encuentra que el peso promedio es 18.5 onzas Suponga que
la poblacion de los pesos es normal con una desviacion estandar de 2 onzas. l.
a) Utilizando un intervalo de confianza del 98% para u, i,se puede aceptar la
afirmacion del fabricante?
b) ^Que tamano de muestra se debe escoger para estimar u si se quiere un error
no superior a 0.98 onzas con confianza del 95%?.
u=19n=20 x=18.5 X→N (u ,22)
α=0.02 Z1−α2 = Z0.99 =2.33
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1−α=0.9876
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18.5 - 2.332
√20≤u≤18.5 + 2.33
2
√20 e=1.042
17.458≤u≤19.542
e = Z1−α2 σ
√n ¿>0.98=1.96 (2n)
n=(1.962)(22)0.982
=16
Ejercicio n°5
5. Se quiere hacer una encuesta para estimar e! tiempo promedio por
semana que los niños ven television. Por estudios anteriores se sabe que la
desviacion
estandar de dicho tiempo es de 3 horas. Con el nivel de confianza de! 99%.
a) Que tamano de muestra se deberfa elegir si el error de la estimacion
puntual no es superior a media hora?
b) Qu6 costo se debe presupuestar para hacer la encuesta si esta tiene un costo
fijo de $5000 mas un costo variable de $2 por cada entrevista,?
solucion
X; tiempo promedio por semana que niños ven tv
σ=19α=0.01 (0.5 )=Z1−α2 σ
√n 1−0.012
=0.995
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N= 16
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Z0.995 = 2.575
a).-
n=(2.5752)(32)
0.52=238.7≈239 ($ 2 por c/ entrevista)
b)._
C = 5000 + 2x
uc=5000+2 (239 )=5478
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u=500