Matemáticas V

- Ecuaciones Lineales.

Ecuaciones diferenciales

Clasificación:

Ordinarias

Tipo

Parciales

Orden

Lineales

Grado

Parciales

1

1 Isabel Carmona Jover, Ecuaciones Diferenciales (México: Addison Wesley Longman, 1992), p. 23

La ecuación diferencial contiene derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente.

La ecuación diferencial contiene derivadas parciales de una o más variables dependientes con respecto a dos o más variables independientes.

Primer orden F(x, y, y’)= 0Segundo Orden F(x, y, y’, y’’)= 0Tercer orden F(x, y, y’’, y’’’)= 0 … …Orden n F(x, y, y’, …, yn)=0

a) La variable dependiente y y todas sus derivadas son de 1er grado.b) Cada coeficiente de y y sus derivadas depende solamente de la variable independiente x (puede ser constante).

Las que no cumplen las propiedades anteriores.

Definiciones Básicas

Ecuación diferencial. Una ecuación diferencial es aquella ecuación que contiene derivadas o diferenciales.

Orden. El orden de una ecuación diferencial es el de la derivada mas alta contenida en ella.

Grado. El grado de una ecuación diferencial es la potencia a la que esta elevada la derivada mas alta, siempre y cuando la ecuación diferencial esté dada en forma polinomial.

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES.

Según lo planteado por la autora Isabel Carmona en su libro de ecuaciones diferenciales, las condiciones para que una ecuación diferencial sea lineal son: a) la variable dependiente y y toda sus variables son de primer grado, y b) cada coeficiente depende solamente de la variable independiente x (o constante).

Definición: La forma general de una ecuación lineal de 1er orden es: y '+f ( x ) y=r ( x ). Si r(x) es idénticamente igual a cero, entonces la ecuación se llama lineal homogénea (no en el sentido de polinomio homogéneo, sino como el nombre que da el algebra lineal a las ecuaciones igualadas a cero); si r (x )≠0, entonces es lineal no homogénea.

Métodos de solución:

Si r ( x )=0→Es de variables separables

Si r ( x )≠0→ a) Método del factor integrante. b) Método de variación de parámetros

y la forma de la solución es: Para r ( x )=0 es y=ce−∫ f ( x )dx

Para r (x )≠0 es y=e−∫ f (x)dx [∫ e∫ f (x )dx r (x )dx+c ] Vamos a obtener la solución para r (x )≠0, usando el método del factor integrante y el de variación de parámetros.

a) Método del factor integrante. Buscaremos un factor que nos convierta la ecuación diferencial y '+f ( x )=r (x) en exacta y la resolveremos por el método de las exactas.

2

2 Isabel Carmona Jover, Ecuaciones Diferenciales (México: Addison Wesley Longman, 1992), p. 103

El hecho de que la solución general de la ecuación diferencial homogénea correspondiente es y=e−∫ f (x)dx, sugiere la posibilidad de que un factor para la no

homogénea sea de la forma y=e∫ f (x)dx.

Vamos a probarlo. Multiplicando la ecuación por este factor, tenemos:

e∫f ( x )dx

y '+ f ( x ) y e∫ f ( x )dx=r (x)e∫ f (x )dx

Observando el primer miembro de la ecuación, vemos que está y en un término, su derivada y ' en otro y la exponencial que acompaña a la y es la derivada de la exponencial que acompaña a y ', realmente se puede expresar como la derivada de un producto de funciones:

ddx

(e∫ f ( x )dx y )

Entonces:

ddx

¿

Integrando con respecto a x:

e∫f ( x )dx

y=∫r ( x ) e∫ f ( x )dx+c

Despejando y : y=e−∫ f ( x )dx [∫ e∫ f ( x )dx r ( x )+c ], que es la solución general ya indicada y

satisface a la ecuación lineal.

Como e∫ f ( x )dx no llevo a la solución propuesta, es el factor de integración que convierte en exacta a la ecuación diferencial lineal no homogénea. Por ello, no es necesario memorizar la formula de la solución, basta buscar el factor multiplicar la ecuación por él y resolver por exactas.

Ejemplo 1

1. Dada la ecuación diferencial:dy+(3 x2 y−x2 )dx=0 , ver si es lineal y resolverla por medio del

factor integrante.

Se acomoda según la forma indicada: y '+f ( x ) y=r (x ) , quedando:

dydx

+3 x2=x2

Sí es lineal, con f ( x )=3 x2 y r ( x )=x2

Su factor integrante tiene la forma:

F ( x )=e∫ f ( x )dx=e∫3 x2dx=ex

3

Multiplicando la ecuación, tenemos:

ex3

dy+ex3

(3x2 y−x2 )dx=0

M=ex3

(3 x2 y−x2 )N=ex3

M y=3 x2 ex

3

N x=3x2 ex

3

, ya es exacta,

Entonces:

f x=ex33 x2 y−ex

3

x2 f= yex3

−13ex

3

+ f ( y )

f y=ex3+ f ' ( y )=ex

3

f ' ( y )=0 y f ( y )=c

∴ y=13+c e−x

3

Aplicando directamente la fórmula obtenida mediante el factor de integración, llegamos a la misma solución:

y=e−∫3x2dx [∫ e∫ 3x2dx (x2 )dx+c ]

y=e−x3 [∫ ex3x2dx+c ]

y=e−x3[ 13 ex3+c ]

y=13+c e−x

3

b) Método de variación de parámetros. Es un procedimiento bastante usual en matemáticas introducir cambio de variables, hacer sustituciones o reemplazar

funciones por otras más sencillas que faciliten el proceso operativo. Sabemos que la solución general de la ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden:

y '+f ( x ) y=0, es:y=ce−∫ f ( x )dx

Como nos interesa una solución general para la ecuación diferencial lineal no homogénea:

y '+f ( x ) y=r ( x )

Vamos a realizar la siguiente variación de parámetros en la solución general de la homogénea:

Sea c=u ( x ) y v=e−∫ f ( x )dx

Entonces y ( x )=u ( x ) v (x) sera una solución de la no homogénea, siempre y cuando podamos encontrar una función u(x ) tal que dicha solución satisfaga a la ecuación. Si es solución, lo cual vamos a suponer de momento, entonces derivándola y sustituyéndola en la ecuación homogénea, tenemos:

y '=u v'+u' v

uv '+u' v+ fuv=r

u' v+(v '+ fv )u=r

Como v es la solución de la homogénea el paréntesis se hace idénticamente cero, ya que siempre que sustituimos la raíz o la solución en una ecuación, esta se hace cero.

Obtenemos entonces u' v=r de donde u'=rv

.

Integrándola, u=∫ rvdx+c

La función u existe por que v≠0 es solución, entonces y=uv es solución de la lineal no homogénea y toma este aspecto:

y=e−∫ f ( x )dx [∫ r (x)

e−∫ f ( x )dx

dx+c ]O sea y=e−∫ f ( x )dx [f e∫ f ( x )dx r ( x )dx+c ], que es a donde queríamos llegar.

Ejemplo 2:

2. Resolver por variación de parámetros: y '=2 y+xVemos que y '−2 y=x es lineal, donde f ( x )=−2,r ( x )=x

La ecuación diferencial homogénea correspondiente es y '−2 y=0 que tiene como solución:

y=ce2x

Tomando c=u ( x ) , v ( x )=e2x y sabiendo que la función u esta dada por:

u=∫ r (x )v (x)

dx+c

→u=∫ x

e2xdx+c=−x

2e−2x− 1

4e−2 x+c

Como la solución de la homogénea es y=uv , entonces:

y=(−x2 e−2x−14 e−2 x+c )e2 x y y=−x2

−14+c e2x

Aplicando directamente la formula obtenida mediante el factor de integración, llegamos a la misma solución.

y=e∫ 2dx [∫e∫−2dx xdx+c] y=e2 x [e−2x xdx+c ]

y=e2 x [−x2 e−2x−14 e−2 x+c]y=−x

2−14+c e2x

Ejemplo 3:

3. Resolver por variación de parámetros:

(x2+16 ) y '−xy=x

y '− x

x2+16y= x

x2+16

La ecuación homogénea correspondiente es:

y '− x

x2+16y=0

Con solución: y=c√ x2+16

Sea v ( x )=√x2+16 y c=u ( x )=∫ x /¿ ¿¿

→u=∫ x

(x2+16 )32

dx+cu= −1

√ x2+16+c→ y=uv=( −1

√x2+16+c)√ x2+16 y=c√ x2+16−1

Que es la solución general de la ecuación dada.

Bibliografía

Zill, Dennis G. (1997). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. México: International Thompson Editores.

Carmona Jover, Isabel (1992). Ecuaciones diferenciales. México: Addison Wesley Longman.4

Rainville, Earl D. (1998). Ecuaciones diferenciales. México: Prentice Hall. Rolando Castillo Caballero. Ecuaciones diferenciales