Post on 04-Oct-2015
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Campos vectoriales
Laboratorio de Electricidad y Magnetismo 1LF321
Marlon Recarte
Departamento de Fsica
UNAH-VS
Marlon Recarte Practica 2
Campos vectoriales
Calculo vectorial con matlab
Practica # 2.Practica # 2.Practica # 2.
Marlon Recarte Practica 2
Campos vectoriales
Campos vectoriales
Expresamos un campo vectorialV R2 de la forma
V = u(x, y)+ v(x, y).
Las funciones escalares u, v son llamadas componentes del campo.
Los campos vectoriales se representan con la instruccion
>>quiver[x,y,u,v].
El comando [x,y]= meshgrid(a,b) toma dos vectores de entrada a, b ycrea dos matrices bidimensionales y las asigna a las variables x e y.
Marlon Recarte Practica 2
Campos vectoriales
Ejemplo
Graficar el campoV = x y en el cuadrado [1, 1] [1, 1]
>>[x,y]=meshgrid(-1:0.5:1)
>>u=x, v=-y
>>quiver(u,v), axis square
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Campos vectoriales
Campos vectoriales
Expresamos un campo vectorialV R3 de la forma
V = u(x, y)+ v(x, y)+ w(x, y).
Las funciones escalares u, v, w son llamadas componentes del campo.
Los campos vectoriales se representan con la instruccion
>>quiver3[x,y,z,u,v,w].
Marlon Recarte Practica 2
Campos vectoriales
Ejemplo
Graficar el campoV = x+ y z en el cubo [1, 1]3
>>[x,y,z]=meshgrid(-1:0.1:1)
>>u=-x, v=y,w=z
>>quiver(x,y,z,u,v,w), axis square
Marlon Recarte Practica 2
Campos vectoriales
Gradiente de un campo escalar
El gradiente de un campo escalar f(x, y, z) se define como
f =(f
x,f
y,f
z
)Podemos graficar al gradiente de f puesto que es un campo vectorial.
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Campos vectoriales
Ejemplo
Graficar el gradiente de f(x, y) = 9 x2 y2 en [5, 5]
[x,y]=meshgrid(-5:1:5)
vx=-2x
vy=-2y
quiver(x,y,vx,vy);
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Campos vectoriales
Curvas de Nivel con el comando contourcontourcontour
[x,y]=meshgrid(-5:1:5)
vx=-2x
vy=-2y
quiver(x,y,vx,vy);[x,y]=meshgrid(linspace(-5,5,50))
z=9-x.^2-y.^2
hold on
contour(x,y,z)
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Campos vectoriales
Calculo del gradiente
Sea f una funcion vectorial
f(x, y, z) = f1(x, y, z)+ f2(x, y, z)+ f3(x, y, z)
Se define la matriz jacabiana
J(f) =
f1x
f1y
f1x
f2x
f2y
f2z
f3x
f3y
f3z
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Campos vectoriales
La matriz jacobiana se obtiene con el comando
jacobian([f1,f2,f3],[x,y,z])
Las variables x, y, z deben estar definidas como variables simbolicas.
Notese que si f es una funcion escalar entonces
J(f) = fEjemploEjemploEjemplo : Calcular el gradiente de la funcion f(x, y, z) = x2y + ex+y z
jacobian(x^2*y+exp(x+y)*z,[x,y,z])
ans =
[ 2*x*y + z*exp(x + y), z*exp(x + y) + x^2, exp(x + y)]
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Divergencia
Sea A una matriz de dimension 3 3.
A =
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
.Se llama traza de la matriz a la suma de los elementos de la diagonal.
Traza(A) = a11 + a22 + a33.
Entonces para una funcion vectorial f
Traza(J(F )) = Div(f)
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Campos vectoriales
La traza de una matriz A se calcula con el comando
trace(A)
EjemploEjemploEjemplo Calcular la divergencia del campo V = xy+ zy zx2trace(jacobian([x*y,z*y,-z*x^2],[x,y,z]))
ans =
- x^2 + y + z
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Campos vectoriales
Rotacional
Sea f una funcion vectorial
f(x, y, z) = f1(x, y, z)+ f2(x, y, z)+ f3(x, y, z)
Se define el rotacional de f como
f =(f3y f2
z
)+
(f1z f3
x
)+
(f2x f1
y
).
El rotacional puede calcularse a partir de la matriz jacobiana.
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Campos vectoriales
EjemploEjemploEjemplo Obtener el rotacional del campo V = xcos(y)+ xy2
j=jacobian([x*cos(y),x*y^2,0],[x,y,z]);
rot=[j(3,2)-j(2,3),j(1,3)-j(3,1),j(2,1)-j(1,2)]
rot =
[ 0, 0, x*sin(y) + y^2]
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Campos vectoriales