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ÁLGEBRA LINEAL DERIVADAS E INTEGRALES
MCG 2
PRESENTACIÓN
Un “y” es una función de “x”, si a cada valor de “x” le corresponde un
único valor de “y”. De modo que este al ser dibujados en el plano
cartesianos obtengamos resultados distintos, dependiendo de cómo estos
estén representados.
Lo que se busca con “derivadas e integrales” es que el lector obtenga un
análisis minucioso de cómo estas funciones llevan a formular análisis
amplios en cada cálculo realizado.
Los limites notables (LN) mostrados como teoremas, son analizados,
deducidos a partir de funciones que presentan restricciones detallados
como asíntotas; y que estos son trabajados en los valores de números
reales. Además que la definición de una derivada son deducidas a partir
de los incrementos que tienden cada función en el plano mencionado.
La recomendación que se da al lector es de tomar con mucha importancia;
son: antes de observar los problemas resueltos; primeros intente
resolverlo, ya que con ello facilitara el entendimiento de los problemas
hallados.
Esperemos que este material contribuya con la percepción de cada lector
en la concepción del mundo.
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ÁLGEBRA LINEAL DERIVADAS E INTEGRALES
MCG 3
NOTACION EMPLEADA
ℕ Conjunto de los números ℤ Conjunto de los números enteros ℤ+ Conjunto de los números enteros positivos ℤ− Conjunto de los números enteros negativos ℝ Conjunto de los números reales ˅ Ó (disyunción)
˄ Y (conjunción)
⇒ Entonces (condicional) ⇔ Si y solo si (bicondicional) ∃ Existe ∄ No existe ∀ Para todo
> Mayor que
< Menor que ≥ Mayor o igual que ≤ Menor o igual que ∞ Mas infinito ∞ Menos infinito ≠ Diferente de
∈ Pertenece a
∴ Por lo tanto ≈ Aproximadamente igual a
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ÁLGEBRA LINEAL DERIVADAS E INTEGRALES
MCG 4
Derivada por definición
1) √
Solución:
Por propiedad tenemos.
+++ − +++− + − + ⇒ +++ − + +++− +
⇒ +++ − + +++− +
Damos la forma de los productos notables a ambos factores.
⇒ +++ − + +++ + +++ + + +
+++ + +++ + + +
Entonces.
–
–
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ÁLGEBRA LINEAL DERIVADAS E INTEGRALES
MCG 5
⇒ ++ + +
+ + +
+ + +
+ + +
⇒ + + + + + + + ++ +
+ +
∴ + +
2)
Solución:
Según propiedad tenemos.
+−
⇒
⇒
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ÁLGEBRA LINEAL DERIVADAS E INTEGRALES
MCG 6
⇒
++
⇒
∴
3)
Solución:
Según propiedad tenemos.
+− +−++ ++
⇒ √
⇒ √ − + +
−
++
⇒ −
++
; − ++
∴
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ÁLGEBRA LINEAL DERIVADAS E INTEGRALES
MCG 7
4)
Solución:
Según propiedad.
⇒
⇒
⇒ [
]
⇒
⇒
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ÁLGEBRA LINEAL DERIVADAS E INTEGRALES
MCG 8
∴
5)
Solución:
Según propiedad tenemos.
+− ⇒
−+
+
⇒ + +
+
+
+
+
∴
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ÁLGEBRA LINEAL DERIVADAS E INTEGRALES
MCG 9
6)
Solución:
Sabemos que:
−
⇒ −
⇒ Según propiedad tenemos.
− ⇒ −−+ −−− − − −
−
−
−
−
− ⇒ +
∴
7)
Solución:
Sabemos que: + ⇒ + +
⇒ Según propiedad tenemos.
−
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ÁLGEBRA LINEAL DERIVADAS E INTEGRALES
MCG 10
⇒ + −
En los factores de la ecuación; evitaremos obtener un numerador “cero” al momento de
reemplazar “h”; buscaremos una lógica de límite notable. Por lo tanto trabajaremos en elfactor resta.
⇒ [ + ]
+ + +−+++ + + +−−++ + + −+−++
+ + −+−++ + + −−+−++ + + − +
++ ; −
⇒ + + − − ++
⇒ + + −−++ ⇒ + + −−++
+
−−++
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ÁLGEBRA LINEAL DERIVADAS E INTEGRALES
MCG 11
+
∴
FÓRMULAS BÁSICAS DE DERIVACIÓN
1
2
3
± ±
4 −
5 ||
6
7 ||
8
9
10
11
12
13
14 +
15 +
16
−
17 −
18 −
19 −
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ÁLGEBRA LINEAL DERIVADAS E INTEGRALES
MCG 12
Derivadas Método de la cadena
8)
{ }
Solución:
Observamos que “f” es la composición de 5 funciones
Esto es:
{ }
Considerando el orden de derivación desde los interiores de las funciones hasta el másexterior.
⇒ ⇒ ⇒ √ ⇒ √ √ ⇒ √
⇒ −
− ⇒
− −
⇒ ⇒
⇒ ⇒
Reemplazamos en la siguiente notación:
− − √
∴ { }
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ÁLGEBRA LINEAL DERIVADAS E INTEGRALES
MCG 13
(
− + − +
)
+ +
9) √
Solución:
Observamos que “f” es la composición de 6 funciones
Esto es:
√ √ √ √ Considerando el orden de derivación desde los interiores de las funciones hasta el más
exterior.
⇒ ⇒ ⇒ √ ⇒ √ ⇒ √ +√ √ ⇒ √ ⇒ √
√ ⇒ √ ⇒ √
√
⇒ √
⇒ √
√ ⇒ √ ⇒ √
Reemplazamos en la siguiente notación:
√ √ √ √ +√
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ÁLGEBRA LINEAL DERIVADAS E INTEGRALES
MCG 14
⇒
(
+ + + +√
)
(
+ + +√
)
+ +√ +√ √+√
∴ ( ++ ++ ++ ++√+
++ ++ ++ ++√+)
( + + + + + +√+ +
+ + + + + +√+ ) ++ ++√++
++ ++√+
++√++ ++√+ √++√+
10) √ √ √
Solución:
Considerando el orden de derivación desde los interiores de las funciones hasta el más
exterior.
⇒ √ ⇒ √ ⇒ √ √ √ ⇒ √ ⇒ √ +
√ ⇒ √ −√ √ ⇒ −√ √ √
√ ⇒ √ −√ √ ⇒ √ −√ √
⇒
⇒ +
Reemplazamos en la siguiente notación:
−√ √ √ √ −√ √ √ √ +
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ÁLGEBRA LINEAL DERIVADAS E INTEGRALES
MCG 15
∴ √ √ √ √ √ √
(
( √ √ √ )) .
√ √ +
11)
Solución:
⇒ ⇒ ⇒
⇒
⇒
⇒ ⇒
⇒ ⇒
√ √ ⇒ √ √ √√−√√ √ √ ⇒ √√
√ √
−√ √√ ⇒ √√ √
− √ √√ ⇒ √
√ √√ −
⇒
+
−
⇒
+
−
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MCG 16
⇒ ⇒
⇒ ⇒
Reemplazamos en la siguiente notación:
( √ √ √ √
√ √ √ √ )
∴
√ √ √ √ √
(
)
(
(
)) .
(
( )) (
)
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ÁLGEBRA LINEAL DERIVADAS E INTEGRALES
MCG 17
FÓRMULAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN
1 ∫
2 ∫
3 ∫ + ≠
4 ∫ ± ∫ ± ∫
5 ∫ ∫
6 ∫
7 ∫ ||
8 ∫
9 ∫
10 ∫
11
∫
12 ∫
13 ∫ ||
14 ∫ | |
15 ∫ | |
16
∫
+
17 ∫ − −+
18 ∫ −
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ÁLGEBRA LINEAL DERIVADAS E INTEGRALES
MCG 18
12) ∫
Solución:
∫
∫ ∫ +
⇒
√
∴ √
Por descomposición
13) ∫ ++ >
Solución:
Factorizamos la ecuación.
⇒ ∫ ++ Damos la forma de los factores del denominador en el numerador.
⇒ ∫ +−+ ++ ⇒ ∫ +++ ∫ +++ ∫ + ∫ +
∴ ++
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ÁLGEBRA LINEAL DERIVADAS E INTEGRALES
MCG 19
14)
∫ −+ >
Solución:
Observamos que es un polinomio fraccionado entonces hacemos.
−+ ⌊
⇒ −+ + −+
−
⇒ ∫
∫ ∫ ∫ +−+ ∫ −+−+
∫ −−+ ∫ −+
∫ −+
∫ −+
Completando cuadrados tenemos.
∫ −+√
∴ √ −√
15) ∫ − ≠ Solución:
∫
− ⇒ ⇒
Reemplazando tenemos.
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ÁLGEBRA LINEAL DERIVADAS E INTEGRALES
MCG 20
∫ +
∫
+
∫ ∫ ∫ ∫
∫ − ∫ −
⇒ −+ −+ −
∴
−
− Por partes
16) ∫
Solución:
⇒ ⇒ Reemplazando tenemos.
∫
⇒ ∫ ∫
⇒ ∫
⇒ ∴
17) ∫
Solución:
Analizamos la exponente de épsilon y comparamos con el polinomio quinto grado, para
luego derivarlo; Entonces hacemos.
∫
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ÁLGEBRA LINEAL DERIVADAS E INTEGRALES
MCG 21
⇒ ⇒
Reemplazando tenemos.
∫
⇒ ∫
⇒ ∫
∴
18) ∫ >
Solución:
⇒ ∫ ∫
⇒ ∫ ⇒ ∫
⇒
∴
19) ∫ √
Solución:
⇒
∫
⇒ ∫
⇒
⇒ ∫
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ÁLGEBRA LINEAL DERIVADAS E INTEGRALES
MCG 22
∫ ∫
⇒
⇒ ∫
⇒ −
⇒ ∫
⇒
⇒ ∫
⇒ −
⇒ ∫
⇒
⇒ − − ∫
⇒ − −
∴ √ √ √ √ √ √ √√ √
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ÁLGEBRA LINEAL DERIVADAS E INTEGRALES
MCG 23
20) ∫
Solución:
⇒ ⇒ ∫ ∫
⇒
⇒ ∫
∫
∫ ∫
∫
∴ ∫
21) ∫
Solución:
∫
⇒
⇒ ∫ ∫
⇒∫
∫
∫ ∫∫
∫
∴ ∫
22) ∫
Solución:
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ÁLGEBRA LINEAL DERIVADAS E INTEGRALES
MCG 24
∫ ∫
− +
⇒ ⇒
⇒ ∫
∫ ∫
∫ ∫
+
−
⇒
⇒
Reemplazando en las integrales obtenemos
∫ ∫
∫
∫
∫
∫
⇒
∴
Por sustitución
23) ∫ √
Solución: ⇒
Reemplazando obtenemos.
∫ ⇒ ∫
∫
∫
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ÁLGEBRA LINEAL DERIVADAS E INTEGRALES
MCG 25
∫∫
+c
⇒
Sabemos que: ⇒
Remplazamos con medidas del triángulo rectángulo
⇒ √ √
∴ √ √
24) ∫ + Solución:
∫ + +
∫ +
+
√ ⇒ √
Remplazamos
∫ +√ +
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
⇒ Se sabe:
∴ ++ ++
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ÁLGEBRA LINEAL DERIVADAS E INTEGRALES
MCG 26
25) ∫ + +
Solución:
√ ⇒ √
Reemplazamos
∫ √ +√ √ + ∫ √ +
√ ∫ √ ∫
√ ∫ √ ∫ √ ∫ √ ∫
⇒ ⇒
Reemplazamos
√ | | √ ∫
√ | | √ Se sabe:
∴ √ √ √
26) ∫ −√
Solución:
∫
−√
√ ⇒ √
Reemplazamos
∫ √ −√ √ √
∫ √
√ √
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ÁLGEBRA LINEAL DERIVADAS E INTEGRALES
MCG 27
∫ ∫
∫ ∫ −
∫ ∫
| | Sabemos:
∴ √ −√ √ −√
27) ∫
Solución:
∫
Completando cuadrados obtenemos.
∫ √
∫ √
−√ ⇒ √
Reemplazando obtenemos.
∫ √ √ √
∫ √ √
⇒ ∫ ⇒
∫
∫ ∫
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ÁLGEBRA LINEAL DERIVADAS E INTEGRALES
MCG 28
−√ ⇒ −√
⇒ √
Reemplazamos
√ √ √√
∴ √
− √ −−
28) ∫ √ +
Solución:
⇒ ⇒ ⇒ −
Reemplazamos
∫
−
−
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∴ √ + √ +
√ +
29) ∫ Solución:
Sabemos:
⇒ ∫ +
∫ ∫
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ÁLGEBRA LINEAL DERIVADAS E INTEGRALES
MCG 29
∫ ∫
⇒ ∫ + ∫−
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫ − ∫
∴ | |
30) ∫ + Solución:
+ ⇒ + ⇒ +
⇒ ∫
∫
⇒
∴
Otra manera de resolver
Solución:
⇒⇒ +
Reemplazando en la integral tenemos
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ÁLGEBRA LINEAL DERIVADAS E INTEGRALES
MCG 30
∫ +
⇒ ∫
+
∫
⇒ ∫
⇒
∴
31) ∫ √ + −
Solución:
∫ √ +√ √−
⇒ Reemplazamos
∫ + − ∫ + −√
√ ⇒ √ Reemplazando obtenemos.
∫ √ √ + √ −√ √ √ ∫ √ + ∫ √ +
⇒
⇒ +
Reemplazando en la integral tenemos
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ÁLGEBRA LINEAL DERIVADAS E INTEGRALES
MCG 31
∫ √ +
∫
√ + ∫ √√ ∫ √ √ ∫ √ √ ⇒ −√ ∫
− √ √
⇒ −√ √ √ √ √ √ √
√ √ √ √
√ − √ √ √ + √ √ ∴ √√ √ − √ √√√ √ + √ √
32)
∫
+
Solución:
⇒⇒ +
Reemplazando en la integral tenemos
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ÁLGEBRA LINEAL DERIVADAS E INTEGRALES
MCG 32
∫ +
⇒ ∫
+
∫ +− ⇒ ∫ −−
Completamos cuadrados
∫ √
⇒ √ −−√−+√
∴ √ √ √
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