Post on 04-Feb-2021
Mòdul I
Mobilitat i anàlisi del desplaçament
Motivació • Per un mecanisme donat,
com el robotitzem ? • Quants actuadors hem de
posar per controlar el seu moviment ?
• Donats uns desplaçaments als actuadors: quin desplaçament es produeix a l’efector? I a l’inrevés?
Condueix a l’estudi de la mobilitat del mecanisme
Condueix a l’anàlisi del desplaçament del mecanisme
Stickybot III (Stanford)
“Posa” d’un sòlid al pla
(x0,y0)
!0
És la posició i orientació que té un sòlid al pla, relativa a un sistema de referència donat
Es diu que el sòlid té tres graus de llibertat (calen 3 paràmetres per fixar la posa)
X
Y
Configuració d’un mecanisme • Intuitivament: és tot ensamblat possible d’un mecanisme • Configuracions d’exemple en el 4-barres:
• Tècnicament una configuració del mecanisme és una assignació de “poses” a tots els cossos, que respecta les restriccions cinemàtiques imposades per les articulacions.
Desensamblat Ensamblat
Mobilitat d’un mecanisme Intuitivament: Nombre d’articulacions que cal fixar per bloquejar la configuració del mecanisme (suposant que un dels cossos el fixem a terra).
Quina mobilitat té?
Quina mobilitat tenen?
Mobilitat = 3 Mobilitat = 3
Quina mobilitat tenen?
Mobilitat = 3
©" ©"
Quina mobilitat té?
I aquest? (double butterfly linkage)
Calen mètodes per comptar la mobilitat!
Variables configuracionals • Són un conjunt de variables que, un cop fixades,
defineixen una (i només una) configuració. • Un exemple en són les variables de posa dels
diversos cossos del mecanisme. • Un dels cossos es manté fixat a terra sempre, i per tant
la seva posa és coneguda. Per tant, si hi ha “n” cossos, llavors hi ha 3(n - 1) variables configuracionals.
• Exemple (n = 4):
3
3
3 3(n - 1) = 9 variables
configuracionals
Restriccions articulars
Imposen dues restriccions articulars
(permeten un g.d.l.)
Imposa una restricció articular (permeten dos g.d.l)
Restriccions que les articulacions imposen al moviment relatiu entre els cossos que uneixen
m = # vars. configuracionals - # restric. articulars
Mobilitat (m)
3
3
3
Exemple:
2
2 2
2
9 variables configuracionals
2*4 restriccions articulars
Mobilitat = 9 – 8 = 1
Mobilitat (m)
Si: • n = nombre de cossos del mecanisme • j = nombre d’articulacions • totes les articulacions són P o R Llavors:
m = 3(n - 1) – 2j
(Criteri de Grübler-Kutzbach)
Ja podem analitzar el “double butterfly”
n = 8 j = 10 m = 3(8-1)-2*10 = 1
Cal només un actuador per controlar-lo
Un sol grau de llibertat
El double butterfly té 4 “modes d’ensamblatge”
Stickybot III
Quants actuadors calen per controlar el seu moviment?
Mecanisme caminador de Theo Jansen
Quants actuadors calen per controlar el seu moviment?
La fórmula de Grübler-Kutzbach no sempre prediu bé la mobilitat Prediu correctament Prediu incorrectament
Per què?
La fórmula de Grübler-Kutzbach no sempre prediu bé la mobilitat
Prediu correctament Prediu incorrectament
jn m 2)1(3 !!=
El criteri de GK es compleix per mecanismes les dimensions geomètriques dels quals són genèriques (condició suficient). El mecanisme (b) té la particularitat de complir :
4
3
1
lli
i =!=
a b
1 2 3
4
1 2
3
4
! 0real =m142)14(344=!""=
==
mjn
La fórmula de Grübler-Kutzbach no sempre prediu bé la mobilitat
Prediu correctament Prediu incorrectament
jn m 2)1(3 !!=
Hi ha dues articulacions al mecanisme (d) que no són binàries, són ternàries
c d 1
2
3 4
2
! 0real =m062)15(365
=!""=
==
mjn
5 1 3
4 5
442)15(345
=!""=
==
mjn
La fórmula de Grübler-Kutzbach no sempre prediu bé la mobilitat
Prediu correctament Prediu incorrectament
jn m 2)1(3 !!=
El mecanisme (f) està sobre-restringit, hi ha més links dels necessaris per immobilitzar una part o tot el mecanisme
e f 2
! 1real =m282)17(387
=!""=
==
mjn
1 5
4
3
0122)19(3129
=!""=
==
mjn
6
7 2
1 5
4
3
6
7
8 9
Recordeu també:
funciona quan les articulacions són tipus P o R
jn m 2)1(3 !!=
033
=
==
mjn
1)3()1(31
=!!!= "=
j
iifn m
Motivació
• Per un mecanisme donat, com el robotitzem?
• Quants actuadors hem de posar per controlar l’output?
• Donats uns desplaçaments als actuadors: quin desplaçament es produeix a l’efector? I a l’inrevés?
Condueix a l’estudi de la mobilitat del mecanisme
Condueix a l’anàlisi del desplaçament del mecanisme
Anàlisi directa del manipulador 3R
!3
!1
!2 x,y,,"#
x y "#
= p !1 !2 !3
! =
Conegut Volem:
Donats els angles articulars volem calcular la posa de l’efector
Anàlisi directa del manipulador 3R
3!
2!
1!!
X
Y
12a
23a
34a
1!
21 !! +
112 cos!a )cos( 2123 !! +a
)cos( 32134 !!! ++a
Anàlisi directa del manipulador 3R
3!
2!
1!!
X
Y
12a
23a
34a
1!
21 !! +
112 sin!a
)sin( 2123 !! +a
)sin( 32134 !!! ++a
Anàlisi directa del manipulador 3R
3!
2!
1!
X
12a
23a
34a
1!
21 !! +
)sin()sin(sin)cos()cos(cos
321342123112
321342123112
!!!!!!
!!!!!!
+++++=
+++++=
aaayaaax
321 !!!" ++=
Y
Anàlisi directa del manipulador 3R
3!
2!
1!
!
X )sin()sin(sin)cos()cos(cos
321342123112
321342123112
!!!!!!
!!!!!!
+++++=
+++++=
aaayaaax
321 !!!" ++=
Y
Anàlisi inversa del manipulador 3R
!3
!1
!2 x,y,,"# x
y "#
= p
!1 !2 !3
! =
Volem: Sabent:
Donada la posa de l’efector, volem calcular els angles articulars
Anàlisi inversa del manipulador 3R
)cos()cos(cos 321342123112 !!!!!! +++++= aaax
)sin()sin(sin 321342123112 !!!!!! +++++= aaay
321 !!!" ++=
)cos(coscos 212311234 !!!" ++=# aaax
)sin(sinsin 212311234 !!!" ++=# aaay
(a)
(b)
(a)2+ (b)2
)sin)sin(cos)(cos(2)sin()cos(
1211212312
223
212
234
234
!!!!!!
""
++++
++=#+#
aaaaayax
(c)
Anàlisi inversa del manipulador 3R
fd =2cos!23122 aad =
(c)
2121121121 cos))cos((sin)sin(cos)cos( !!!!!!!!!! ="+=+++
223
212
234
234 )sin()cos( aaayaxf !!!+!= ""
22 !! +"a
22 !! "#b
(a), (b)
FABEBA
=+
=!
11
11
sincossincos
""
""
!"
!"
sinsincoscos
34223
3422312
ayFaBaxEaaA#==
#=+=
)sin(),cos( 2121 !!!! ++
Anàlisi inversa del manipulador 3R
a3!
a2!
a1!
X
12a
23a
34a
!
Y (x,y,")
Anàlisi inversa del manipulador 3R
b3!
b2!
b1!
X
12a23a
34a
!
Y (x,y,")