4. Problemas de movimiento ondulatorio

Colegio Ntra. Sra. de la Fuencisla · Segovia

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HOJA 4 – MOVIMIENTO ONDULATORIO TIPO 20 LIBRO PÁGINAS 54, 55 y 56: ejercicios 1, 2, 5, 12, 19, 27 y 39.

4.1. Dibuja dos ondas que cumplan con las condiciones que se especifican en cada caso: a) Que tengan la misma amplitud y una doble longitud de onda que la otra. b) Que tengan la misma longitud de onda y una doble amplitud que la otra. c) Que tengan la misma amplitud y la misma longitud de onda, pero desfasadas 180o.

4.2. La ecuación de una onda transversal que avanza por una cuerda viene dada por y = 0’1·∙sin (6t + 0’3x), donde x se mide en metros y t en segundos. Calcula: a) Amplitud y frecuencia de la onda. b) Velocidad de propagación y longitud de onda. c) La máxima velocidad transversal de una partícula de la cuerda. Sol: a) 𝑨 = 𝟎!𝟏 𝒎, 𝒇 = 𝟑

𝝅 𝒎; b) 𝒗𝑷 = 𝟐𝟎 𝒎/𝒔, 𝝀 = 𝟐𝟎′𝟗𝟒 𝒎; c) 𝒗𝒎𝒂𝒙 = 𝟎!𝟔 𝒎/𝒔

4.3. Una onda armónica en un hilo tiene una amplitud de 0’015 m, una longitud de 2’4 m y una velocidad de 3’5

m/s. Determina: a) El periodo, la frecuencia y el número de onda. b) La función de onda tomando como sentido positivo del eje X el sentido de propagación de la onda. Sol: a) 𝑻 = 𝟎!𝟔𝟗 𝒔, 𝒇 = 𝟏!𝟒𝟔 𝑯𝒛, 𝒌 = 𝟐!𝟔𝟐 𝒎!𝟏; b) 𝒚 𝒙, 𝒕 = 𝟎!𝟎𝟏𝟓 · 𝐬𝐢𝐧 𝟗!𝟏𝟔 · 𝒕 − 𝟐!𝟔𝟐 · 𝒙 𝒎

4.4. Escribe la ecuación de onda que avanza en sentido negativo a lo largo del eje =X y que posee una amplitud de

0’2 m, una frecuencia de 500 Hz y una velocidad de 2 m/s. Determina, asimismo, la velocidad máxima de las partículas del medio. Sol: 𝒚 𝒙, 𝒕 = 𝟎!𝟐 · 𝐬𝐢𝐧 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝝅 · 𝒕 + 𝟓𝟎𝟎 𝝅 · 𝒙 𝒎, 𝒗𝒎𝒂𝒙 = 𝟐𝟎𝟎 𝝅 𝒎/𝒔

4.5. Una onda sonora se propaga sin amortiguamiento en el sentido negativo a lo largo del eje X con una velocidad

de 50 m/s. Si la amplitud es de 20 cm y su frecuencia de 200 Hz, calcula: a) La ecuación de propagación de onda. b) La elongación, la velocidad y la aceleración de un punto del medio situado a 10 cm del foco emisor al

cabo de 0’5 s. Sol: a) 𝒚 𝒙, 𝒕 = 𝟎!𝟐 · 𝐬𝐢𝐧 𝟒𝟎𝟎 𝝅 · 𝒕 + 𝟖 𝝅 · 𝒙 𝒎 b) 𝒚 = 𝟎!𝟏𝟐 𝒎, 𝒗 = −𝟐𝟎𝟑!𝟑𝟑 𝒎/𝒔, 𝒂 = 𝟏𝟖𝟓𝟔𝟑𝟖!𝟔𝟓 𝒎/𝒔𝟐

4.6. Una partícula oscila armónicamente a lo largo del eje OX alrededor de la posición de equilibrio x = 0, con

f = 200 Hz. a) Si en el instante inicial (t = 0), la posición de la partícula es x0 = 10 mm y su velocidad es nula, determina

en qué instante será máxima la velocidad de la misma. b) Si la partícula forma parte de una medio material ¿cuál será la longitud de onda del movimiento que se

propaga a lo largo del eje OX sabiendo que su velocidad de propagación es de 340 m/s? Sol: a) 𝒕 = 𝟏!𝟐𝟓 · 𝟏𝟎!𝟑 𝒔; b) 𝝀 = 𝟏!𝟕 𝒎



4.7. La ecuación de una onda transversal es 𝑦 = 0!25 · sin 𝜋 0!5𝑡 − 0′2𝑥 (en unidades del S.I.). Calcula:

a) Amplitud, nº de onda, frecuencia, periodo y longitud de onda. b) La velocidad de propagación de la onda. c) La aceleración y la velocidad de las partículas vibrantes. d) Elongación, velocidad y aceleración de una partícula situada a 5 m al cabo de 10 s de empezar a vibrar. Sol: a) 𝑨 = 𝟎!𝟐𝟓 𝒎, 𝒌 = 𝝅

𝟓 𝒎!𝟏, 𝒇 = 𝟎!𝟐𝟓 𝑯𝒛, 𝑻 = 𝟒 𝒔, 𝝀 = 𝟏𝟎 𝒎; b) 𝒗𝑷 = 𝟐!𝟓 𝒎/𝒔

c) 𝒗 = 𝝅𝟖𝐜𝐨𝐬 𝝅

𝟐𝒕 − 𝝅

𝟓𝒙 𝒎/𝒔, 𝒂 = − 𝝅𝟐

𝟏𝟔𝐬𝐢𝐧 𝝅

𝟐𝒕 − 𝝅

𝟓𝒙 𝒎/𝒔𝟐; d) 𝒚 = 𝟎 𝒎, 𝒗 = 𝝅

𝟖 𝒎/𝒔, 𝒂 = 𝟎 𝒎/𝒔𝟐

4.8. Una onda se propaga por una cuerda con una velocidad de 10 m/s, una amplitud de 1’5 cm y una frecuencia

de 20 Hz. Calcula: a) El periodo y la longitud de onda. b) La ecuación de propagación de la onda. c) La ecuación de la velocidad de un punto de la cuerda en función del tiempo. ¿Cuál es su velocidad

máxima? Sol: a) 𝑻 = 𝟎!𝟎𝟓 𝒔, 𝝀 = 𝟎!𝟓 𝒎; b) 𝒚 𝒙, 𝒕 = 𝟎!𝟎𝟏𝟓 · 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝝅 𝒕

𝟎!𝟎𝟓− 𝒙

𝟎!𝟓 𝒎; c) 𝒗𝒎𝒂𝒙 = 𝟎!𝟔 𝝅 𝒎/𝒔

4.9. Un extremo de una cuerda de 3 m de longitud está sometido a un movimiento oscilatorio armónico. En el

instante t = 4 s, la elongación de ese punto es de 2 cm. Se comprueba que la onda tarda 0’9 s en llegar de un extremo a otro de la cuerda y que la longitud de onda es de 1 m. Calcula: a) La amplitud del movimiento ondulatorio. b) La velocidad de vibración en el punto medio de la cuerda para t = 1 s. Sol: a) 𝑨 = 𝟎!𝟎𝟐𝟑 𝒎; b) 𝒗 = 𝟎!𝟐𝟒 𝒎/𝒔

4.10. Sea una cuerda tensa muy larga. Hacemos que uno de los extremos (O) realice un movimiento armónico simple en una dirección perpendicular a la cuerda, de amplitud A = 0’3 m y frecuencia f = 2 Hz, de forma que la perturbación se propaga a lo largo de la cuerda con una velocidad de 5 m/s. Sabiendo que en el instante inicial la elongación del punto O es nula: a) Escribir la ecuación de onda. b) Hallar la elongación y velocidad transversal de un punto P situado a 10 m de O, 4 s después de iniciado el

movimiento. Interpretar el resultado. Sol: a) 𝒚 𝒙, 𝒕 = 𝟎!𝟑 𝒎 · 𝐬𝐢𝐧 𝟒𝝅𝒕 − 𝟒𝝅

𝟓𝒙 ; b) 𝒚 𝟏𝟎𝒎,𝟒𝒔 = 𝟎 𝐦; 𝐯 𝟏𝟎𝒎,𝟒𝒔 = 𝟏!𝟐𝛑 𝐦/𝐬

4.11. La ecuación de una onda armónica transversal que se propaga por una cuerda, expresada en unidades del

S.I. es: 𝒚 𝒙, 𝒕 = 𝟓 · 𝐬𝐢𝐧 𝝅𝟑𝒕 − 𝝅

𝟓𝒙 . Determina:

a) La frecuencia, la longitud de onda y la velocidad de propagación. b) La aceleración máxima.

a) Si comparamos la ecuación que nos dan en el problema con la ecuación general de una onda podemos

obtener la frecuencia 𝜔 𝑟𝑎𝑑/𝑠 y el número de onda 𝜅 𝑟𝑎𝑑/𝑚 :

𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴 · sin 𝜔𝑡 − 𝜅𝑥 ⟹ 𝜔 =𝜋3 𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝑦 𝜅 =

𝜋5 𝑟𝑎𝑑/𝑚

Podemos calcular entonces la frecuencia y la longitud de onda:

𝜈 =𝜔2𝜋

=𝜋

3 · 2𝜋 𝐻𝑧 ⟶ 𝝂 =

𝟏𝟔 𝑯𝒛



𝜆 =2𝜋𝜅=5 · 2𝜋𝜋

𝑚 ⟶ 𝝀 = 𝟏𝟎 𝒎

Una vez conocidas la frecuencia y la longitud de onda podemos calcular la velocidad de propagación:

𝑣 =𝜆𝑇= 𝜆 · 𝜈 = 10 𝑚 ·

16 𝑠!! ⟶ 𝒗 =

𝟓𝟑 𝒎/𝒔

b) Para calcular la aceleración máxima antes calculamos la aceleración derivando la expresión de la elongación respecto del tiempo:

𝑑!𝑦 𝑥, 𝑡𝑑𝑡!

= −5𝜋!

9· sin

𝜋3𝑡 −

𝜋5𝑥

Para que esta aceleración sea máxima (en valor absoluto) se debe cumplir que sin !!𝑡 − !

!𝑥 = ±1:

𝒂𝒎𝒂𝒙 =𝟓𝝅𝟐

𝟗 𝒎/𝒔𝟐

TIPO 21 LIBRO PÁGINAS 54 y 55: ejercicios 8, 9, 20, 25 y 30.

4.12. Una onda transversal se propaga según la ecuación 𝑦 = 4 sin 2𝜋 𝑡/4 + 𝑥/1′8 (en unidades del S.I.)

Determine: a) La velocidad de propagación de la onda y la velocidad de vibración máxima de un punto alcanzado por la

onda. b) La diferencia de fase, en un instante dado, de dos puntos separados 1 m en la dirección de avance de la

onda. Sol: a) 𝒗𝑷 = 𝟎!𝟒𝟓 𝒎/𝒔, 𝒗𝒎𝒂𝒙 = 𝟐𝝅 𝒎/𝒔; b) 𝚫𝝋 = 𝟑!𝟒𝟗 𝒓𝒂𝒅

4.13. La ecuación de una onda transversal que se propaga por una cuerda tensa de gran longitud es 𝑦 = 16 sin 2𝜋 0′8𝑡 + 1′25𝑥 (x, y en cm y t en s). Determine: a) Velocidad de fase de la onda. b) Velocidad y aceleración máximas de oscilación en un punto cualquiera de la onda. c) Distancia que separa los puntos de la cuerda que oscilan en oposición de fase. Sol: a) 𝒗𝑷 = 𝟎!𝟔𝟒 𝒄𝒎/𝒔; b) 𝒗𝒎𝒂𝒙 = 𝟐𝟓!𝟔 𝝅 𝒄𝒎/𝒔, 𝒂𝒎𝒂𝒙 = 𝟒𝟎!𝟗𝟔 𝝅 𝒄𝒎/𝒔𝟐; c) 𝚫𝒙 = 𝟎!𝟒 𝒄𝒎

4.14. El periodo de una onda que se propaga a lo largo del eje X es de 3·∙10-‐3 s y la distancia entre los dos puntos más

próximos cuya diferencia de fase es 2π rad es 20 cm. a) Calcula la longitud de onda y la velocidad de propagación de la onda. b) Si el periodo se duplicase, ¿qué le ocurriría a las magnitudes del apartado anterior? Sol: a) 𝝀 = 𝟎!𝟐 𝒎, 𝒗𝑷 = 𝟔𝟔′𝟔 𝒎/𝒔

4.15. Una onda armónica sinusoidal se propaga en el sentido positivo del eje OX con una frecuencia de 100 Hz, con una velocidad de 500 m/s y tiene una amplitud de 15 cm. Calcular: a) La ecuación de onda más general. b) La separación entre dos puntos cuya diferencia de fase, en un cierto instante, es de π/5 radianes. c) La diferencia de fase entre dos vibraciones de un mismo punto del espacio separadas por un intervalo de

tiempo de 2’5·∙10-‐3 s. Sol: a) 𝒚 𝒙, 𝒕 = 𝟎!𝟏𝟓 · 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝟎𝟎𝝅 · 𝒕 − 𝟐𝝅

𝟓𝒙 𝒎; b) 𝚫𝒙 = 𝟎!𝟓 𝒎; c) 𝚫𝝋 = 𝝅/𝟐



4.16. Cierta onda está descrita por la ecuación 𝑊 𝑥, 𝑡 = 0!02 · sin 𝑡 − !! (en unidades del S.I.). Determina:

a) La frecuencia de la onda y su velocidad de propagación. b) La velocidad y aceleración de vibración máximas de un punto alcanzado por la onda, así como la

velocidad de un punto situado a 4 m del foco y a los 7’28 s de iniciarse el movimiento. c) La distancia existente entre dos puntos consecutivos que vibran con una diferencia de fase de 120o. Sol: a) 𝒇 = 𝟎!𝟏𝟔 𝑯𝒛, 𝒗𝑷 = 𝟒 𝒎/𝒔; b) 𝒗𝒎𝒂𝒙 = 𝟎!𝟎𝟐 𝒎/𝒔, 𝒂𝒎𝒂𝒙 = 𝟎!𝟎𝟐 𝒎/𝒔𝟐, 𝒗 ≈ 𝒗𝒎𝒂𝒙; c) 𝚫𝒙 =

𝟖𝝅𝟑𝒎

4.17. Una onda armónica transversal de periodo T =2 s, se propaga con velocidad 60 cm/s en una cuerda tensa

orientada según el eje X, y en sentido positivo. Sabiendo que el punto de la cuerda de abscisa x = 30 cm oscila en la dirección del eje Y, de forma que en instante t = 1s la elongación es nula y la velocidad con la que oscila positiva, y en el instante t = 1’5 s, su elongación es 5 cm y su velocidad nula. Determina: a) La frecuencia y la longitud de onda. b) La fase inicial y la amplitud de la onda. c) La expresión matemática de la onda. d) La diferencia de fase de oscilación, en un mismo instante, entre dos puntos dela cuerda que distan entre

sí un cuarto de la longitud de onda. Sol: 𝒂) 𝝎 = 𝟎!𝟓 𝑯𝒛, 𝝀 = 𝟏!𝟐 𝒎; 𝒃) 𝑨 = 𝟎!𝟎𝟓 𝒎, 𝝋𝒐 =

𝟑𝝅𝟐 𝒓𝒂𝒅; 𝒄) 𝒚 𝒙, 𝒕 = 𝟎!𝟎𝟓 · 𝐬𝐢𝐧 𝝅𝒕 − 𝟓𝝅

𝟑𝒙 + 𝟑𝝅

𝟐 𝒎

𝒅) 𝚫𝝋 = 𝝅𝟐 𝒓𝒂𝒅

4.18. En un extremo de una cuerda tensa horizontal de 5 m, se provoca un movimiento oscilatorio armónico

perpendicular a la dirección de la cuerda, cuya elongación es de 8 cm cuando han transcurrido 0,5 s desde su comienzo. Se observa que la onda producida tarda en llegar al otro extremo 2 s y que la distancia entre dos crestas sucesivas es de 1,5 m. a) Determine la frecuencia, longitud de onda y amplitud del movimiento ondulatorio. b) Calcule la velocidad de un punto situado a 1,5 m del origen de la onda al cabo de 0,6 s de iniciado el

movimiento ondulatorio. c) Hallar el desfase entre dos puntos separados 2 m.

𝐿 = 5 𝑚, 𝑦 𝑥 = 0, 𝑡 = 0,5 𝑠 = 0!08 𝑚, Tiempo de extremo a extremo 𝑡 = 2 𝑠, 𝝀 = 𝟏!𝟓 𝒎

a) La longitud de onda ya la conocemos pues es uno de los datos que nos dan en el problema (distancia entre dos crestas consecutivas). Calculamos primero la frecuencia:

𝜈 = !! para calcular la frecuencia necesitamos conocer el periodo 𝑇 = !

!! ahora, la longitud de onda la

conocemos y la velocidad de propagación la podemos calcular, ya que nos dicen la longitud de la cuerda y el tiempo que tarda la onda en recorrerla:

𝑣! =𝐿𝑡=5 𝑚2 𝑠

=52 𝑚/𝑠 ⟹ 𝑇 =

1!5 𝑚!! 𝑚/𝑠

=35 𝑠

Por lo tanto, la frecuencia será:

𝝂 =𝟓𝟑 𝑯𝒛



Ahora para calcular la amplitud, necesitamos expresar la ecuación de la onda, para ello tenemos que conocer el número de onda (𝑘) y la pulsación 𝜔 .

𝑘 =2𝜋𝜆=

2𝜋1!5 𝑚

=4𝜋3𝑚!!

𝜔 = 2𝜋𝜈 = 2𝜋 ·53 𝐻𝑧 =

10𝜋3

𝑟𝑎𝑑/𝑠

Expresamos la ecuación de onda:

𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴 sin 𝜔𝑡 − 𝑘𝑥

y sustituimos las constantes y las condiciones iniciales y de contorno:

𝑦 0 𝑚, 0!5 𝑠 = 𝐴 sin10𝜋3

· 0!5 −4𝜋3· 0 = 0!08 𝑚

𝑦 0 𝑚, 0!5 𝑠 = 𝐴 sin10𝜋6

= 𝐴 sin5𝜋3

= 0!08 𝑚

𝐴 · −0′866 = 0!08 𝑚

𝑨 = 𝟎!𝟎𝟗 𝒎 𝐿𝑎 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑠𝑒 𝑡𝑜𝑚𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎 .

b) 𝑥! = 1!5 𝑚, 𝑡! = 0!6 𝑠

La velocidad de vibración se calcula como la derivada de la elongación respecto del tiempo:

𝑣 𝑥, 𝑡 =𝜕𝑦 𝑥, 𝑡𝜕𝑡

= 𝐴𝜔 cos 𝜔𝑡 − 𝑘𝑥

Sustituimos las constantes y los datos:

𝑣 1!5𝑚, 0′6𝑠 = 0!09 𝑚 ·10𝜋3

!"#! cos

10𝜋3

· 0!6 −4𝜋3· 1′5 = 0!3𝜋!! · cos 2𝜋 − 2𝜋

𝑣 1!5𝑚, 0′6𝑠 = 0!3𝜋!! · cos 0 = 0!3𝜋!! · 1

𝒗 𝟏!𝟓𝒎,𝟎′𝟔𝒔 = 𝟎!𝟑𝝅 𝒎/𝒔

c) Como nos piden calcular el desfase entre dos puntos separados 2 m suponemos que es en el mismo instante, por lo tanto Δ𝑡 = 0.

Δ𝜑 = 𝜑! − 𝜑! = 𝜔𝑡 − 𝑘𝑥! − 𝜔𝑡 − 𝑘𝑥! = 𝜔𝑡 − 𝑘𝑥! − 𝜔𝑡 + 𝑘𝑥!

Δ𝜑 = 𝑘 𝑥! − 𝑥! =4𝜋3𝑚!! · 2 𝑚

𝚫𝝋 =𝟖𝝅𝟑𝒓𝒂𝒅

Como es mayor que 2𝜋:

𝚫𝝋 =8𝜋3− 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 =

𝟐𝝅𝟑 𝒓𝒂𝒅



TIPO 22 LIBRO PÁGINA 56: ejercicios 36 y 43 (errata: la recta es perpendicular, no paralela). 4.19. En una habitación tenemos dos altavoces separados una distancia de 5 m.

Emiten dos señales idénticas de 80 Hz y con una amplitud de 5 cm. Determina cuál será el valor de la amplitud en los puntos de la habitación señalados en el dibujo. Sol: 𝐀𝟏 = −𝟑!𝟐 𝐜𝐦; 𝐀𝟐 = −𝟔!𝟕 𝐜𝐦; 𝐀𝟑 = −𝟔!𝟕 𝐜𝐦; 𝐀𝟒 = −𝟎!𝟗𝟒 𝐜𝐦

4.20. Dos ondas que se mueven por una cuerda en la misma dirección y sentido tienen la misma frecuencia de 100 Hz, una longitud de onda de 2 cm y una amplitud de 0’02 m. Determina la ecuación de la onda resultante y su amplitud si las dos ondas difieren en fase: a) En 𝜋/6. b) En 𝜋/3. Sol: a) 𝑨𝟏 = 𝟎!𝟎𝟒 · 𝐜𝐨𝐬 𝟏𝟎𝟎𝝅· 𝒙𝟐!𝒙𝟏

𝟐+ 𝝅

𝟏𝟐 𝒎; a) 𝑨𝟐 = 𝟎!𝟎𝟒 · 𝐜𝐨𝐬 𝟏𝟎𝟎𝝅· 𝒙𝟐!𝒙𝟏

𝟐+ 𝝅

𝟔 𝒎

4.21. El fenómeno por el cual dos o más ondas se superponen para formar una onda resultante se conoce como

interferencia. c) Deduce la expresión general de la interferencia de dos ondas coherentes (misma longitud de onda,

frecuencia y amplitud) en un punto cualquiera P, a partir de la relación trigonométrica:

𝐬𝐢𝐧𝒂 + 𝐬𝐢𝐧𝒃 = 𝟐 · 𝐬𝐢𝐧𝒂 + 𝒃𝟐

· 𝐜𝐨𝐬𝒂 − 𝒃𝟐

d) Por una cuerda tensa situada a lo largo del eje OX se propagan dos ondas armónicas transversales: 𝒚𝟏 = 𝑨 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 − 𝜿𝒙 e 𝒚𝟐 = 𝑨 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 − 𝜿𝒙 + 𝝋𝟎 , con A = 1mm. ¿cuál es la amplitud de la onda resultante? ¿Para qué valores del desfase 𝝋𝟎 interfieren constructivamente y destructivamente estas dos ondas? ¿Cuál será en estos casos la amplitud de la onda resultante?

a) Tenemos dos ondas coherentes: 𝑦! = 𝐴 sin 𝜔𝑡 − 𝜅𝑥! Aplicamos el principio de superposición 𝑦! + 𝑦!: 𝑦! = 𝐴 sin 𝜔𝑡 − 𝜅𝑥! 𝑦! + 𝑦! = 𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴 · sin 𝜔𝑡 − 𝜅𝑥! + sin 𝜔𝑡 − 𝜅𝑥!

sin 𝑎 + sin 𝑏 = 2 · sin𝑎 + 𝑏2

· cos𝑎 − 𝑏2

𝑦 𝑥, 𝑡 = 2𝐴 · sin𝜔𝑡 − 𝜅𝑥! + 𝜔𝑡 − 𝜅𝑥!

2· cos

𝜔𝑡 − 𝜅𝑥! − 𝜔𝑡 + 𝜅𝑥!2

𝒚 𝒙, 𝒕 = 𝟐𝑨 𝐜𝐨𝐬 𝜿𝒙𝟐 − 𝒙𝟏

𝟐· 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 − 𝜿

𝒙𝟏 + 𝒙𝟐𝟐



b) A partir de la expresión obtenida en el apartado anterior, y teniendo en cuenta las particularidades de las

dos ondas señaladas 𝑥! = 𝑥! 𝑦 𝜑! , escribimos la ecuación de la interferencia:

𝑦 𝑥, 𝑡 = 2𝐴 cos−𝜅𝑥 + 𝜅𝑥 − 𝜑!

2· sin

𝜔𝑡 − 𝜅𝑥 + 𝜔𝑡 − 𝜅𝑥 + 𝜑!2

𝑦 𝑥, 𝑡 = 2𝐴 cos−𝜑!2

· sin 𝜔𝑡 − 𝜅𝑥 +𝜑!2

Por lo tanto, la amplitud de la onda resultante es 𝑨𝑹 = 𝟐𝑨 𝐜𝐨𝐬 !𝝋𝟎

𝟐.

Si 𝝋𝟎 = 𝟎,𝟐𝝅,𝟒𝝅… 𝟐𝒏𝝅 → 𝑨𝑹 = 𝟐𝑨 → Interferencia constructiva. Si 𝝋𝟎 = 𝝅,𝟑𝝅,𝟓𝝅… 𝟐𝒏 + 𝟏 𝝅 → 𝑨𝑹 = 𝟎 → Interferencia destructiva.

TIPO 23 LIBRO PÁGINAS 54, 55 y 56: ejercicios 21, 22, 28, 33, 35 y 41.

4.22. Responde a estas cuestiones sobre ondas estacionarias: a) ¿Qué es una onda estacionaria? Explica qué condiciones deben cumplirse para que se forme una onda

estacionaria en una cuerda tensa y fija por sus dos extremos. b) Una cuerda de guitarra de longitud 𝐿 = 65 𝑐𝑚 vibra estacionariamente en su modo fundamental a una

frecuencia 𝑓 = 440 𝐻𝑧. Representa gráficamente el perfil de esta onda indicando la posición de nodos y vientres, y calcula la velocidad de propagación de ondas transversales en esta cuerda.

Sol: b) nodos: 𝐱𝟏 = 𝟎 𝒎; 𝒙𝟑 = 𝟎!𝟔𝟓 𝒎; vientre: 𝒙𝟐 = 𝟎!𝟑𝟐𝟓 𝒎; 𝒗𝑷 = 𝟓𝟕𝟐 𝒎/𝒔

4.23. En la primera cuerda de una guitarra las ondas se propagan a 422 m/s. La cuerda mide 64 cm entre sus extremos fijos. ¿Cuánto vale la frecuencia en el modo fundamental? Sol: 𝒇𝟎 = 𝟑𝟐𝟗!𝟕 𝑯𝒛

4.24. Una cuerda tensa, fija por sus dos extremos, tiene una longitud 𝐿 = 1!2 𝑚. Cuando esta cuerda se excita transversalmente a una frecuencia 𝑓 = 80 𝐻𝑧, se forma una onda estacionaria con dos vientres. a) Representa esta onda y calcula su longitud de onda y su velocidad de propagación en esta cuerda. b) Para qué frecuencia inferior a la dada se formará otra onda estacionaria en la cuerda? Representa esta

onda. Sol: a) 𝛌𝟐 = 𝟏!𝟐 𝐦; 𝒗𝑷 = 𝟗𝟔 𝒎/𝒔; b) 𝒇𝟏 = 𝟑𝟑′𝟑 𝑯𝒛

4.25. Una cuerda de 40 cm con sus dos extremos fijos vibra en un modo con dos nodos internos. Representa esta onda. ¿Cuál es la longitud de onda de la vibración? Sol: a) 𝛌 = 𝟎!𝟐𝟔𝟕 𝐦

4.26. Indique, justificando en cada caso, cuáles de las siguientes funciones pueden representar una onda estacionaria y cuáles no: a) sin 𝐴𝑥 · cos 𝐵𝑥 b) sin 𝐴𝑥 · cos 𝐵𝑡 c) cos 100𝑡 · sin 𝑥

d) sin 𝐴𝑥 + cos 𝐵𝑥 e) sin 𝐴𝑥/𝜆 · cos 𝐵𝑡/𝑇 f) sin 2𝜋 𝑥/𝜆 + 𝑡/𝑇



4.27. Una onda estacionaria sobre una cuerda tiene por ecuación 𝑦 𝑥, 𝑡 = 0!02 · cos !

!𝑥 · cos 40𝜋 · 𝑡 donde y,

x, t se expresan en unidades del S.I. a) Escribe las funciones de onda de dos trenes de ondas que al superponerse produzcan esta onda

estacionaria. b) Calcula la distancia entre dos nodos consecutivos. c) Determina la velocidad de vibración de un segmento de la cuerda situado en el punto 𝑥 = 1 𝑚 en

cualquier instante. Sol: a) 𝐲𝟏 = 𝟎!𝟎𝟏 · 𝐬𝐢𝐧 𝟒𝟎𝝅 · 𝒕 + 𝝅

𝟐𝒙 − 𝝅

𝟐; 𝐲𝟐 = 𝟎!𝟎𝟏 · 𝐬𝐢𝐧 𝟒𝟎𝝅 · 𝒕 − 𝝅

𝟐𝒙 − 𝝅

𝟐; b) 𝒅 = 𝟐 𝒎; c) 𝒗 = 𝟎 𝒎/𝒔

4.28. Un onda estacionaria se puede describir mediante la ecuación 𝒚 𝒙, 𝒕 = 𝟎!𝟎𝟐 · 𝐬𝐢𝐧 𝟏𝟎𝝅

𝟑𝒙 · 𝐜𝐨𝐬 𝟒𝟎𝝅 · 𝒕

donde 𝒚, 𝒙, 𝒕 se expresan en unidades del S.I. Calcula: a) La velocidad y la amplitud de las ondas que, por superposición, pueden dar lugar a esta onda

estacionaria. b) La distancia entre dos nodos consecutivos de la cuerda. c) La velocidad máxima que presenta el punto medio entre dos nodos consecutivos.

a) La ecuación general de las ondas estacionarias es 𝑦 𝑥, 𝑡 = 2𝐴 · cos 𝑘𝑥 · sin 𝜔𝑡 .

La onda que nos dan en el problema puede ser reescrita de tal manera que coincida con la expresión general:

𝑦 𝑥, 𝑡 = 0!02 · cos10𝜋3

𝑥 +𝜋2

· sen 40𝜋 · 𝑡 −𝜋2

Comparando ambas expresiones: • 2𝐴 = 0!02 𝑚 → 𝑨 = 𝟎!𝟎𝟏 𝒎 • 𝑘 = !!

!= !"!

! → 𝜆 = !

! 𝑚 = 0!6 𝑚

• 𝜔 = !!!= 40𝜋 → 𝑇 = !

!"𝑠 = 0!05 𝑠

Por lo tanto, la velocidad de propagación será:

𝑣! =𝜆𝑇=0!6 𝑚0!05 𝑠

→ 𝒗𝑷 = 𝟏𝟐 𝒎/𝒔

b) En una onda estacionaria, la distancia entre nodos consecutivos es:

𝑑 =𝜆2=0!6 𝑚2

→ 𝒅 = 𝟎!𝟑 𝒎

El primer nodo estará en el origen (ya que 𝑦 0, 𝑡 = 0 𝑚), por lo tanto, el siguiente nodo se encontrará en la posición 𝑥 = 0 𝑚 + 0!3 𝑚 = 0!3 𝑚.

c) La expresión para la velocidad de vibración de cualquier punto de la onda será:

𝑣 𝑥, 𝑡 =𝜕𝑦 𝑥, 𝑡𝜕𝑡

= −40𝜋 · 0!02 · sin10𝜋3

𝑥 · sen 40𝜋 · 𝑡

𝑣 𝑥, 𝑡 = −0!8𝜋 · sin10𝜋3

𝑥 · sen 40𝜋 · 𝑡



Podemos comprobar que la velocidad en cualquiera de los nodos es nula independientemente del tiempo:

• 𝑥 = 0 𝑚 → 𝑣 0, 𝑡 = −0!8𝜋 · sin 0 · sen 40𝜋 · 𝑡 = 0 𝑚/𝑠 • 𝑥 = 0′3 𝑚 → 𝑣 0′3, 𝑡 = −0!8𝜋 · sin !"!

!· !!"

· sen 40𝜋 · 𝑡 = 0 𝑚/𝑠

La velocidad de vibración de un punto medio entre dos nodos (𝑥 = 0!15 𝑚 por ejemplo) será la velocidad de vibración de los vientres de la onda estacionaria:

𝑣 0′15, 𝑡 = −0!8𝜋 · sin10𝜋3

·15100

· sen 40𝜋 · 𝑡 = −0!8𝜋 · sin𝜋2

· sen 40𝜋 · 𝑡

𝑣 0′15, 𝑡 = −0!8𝜋 · sen 40𝜋 · 𝑡 𝑚/𝑠

La velocidad máxima se obtendrá para aquellos valores del tiempo que hagan que sen 40𝜋 · 𝑡 = ±1:

𝒗 𝟎′𝟏𝟓, 𝒕 𝒎𝒂𝒙 = 𝟎!𝟖𝝅 𝒎/𝒔

TIPO 24

4.29. En una onda plana que atraviesa un medio absorbente con coeficiente de absorción β = 115 m-‐1, si inicialmente la intensidad de la onda es I0, ¿qué intensidad tendrá después de recorrer 2 cm? Sol: 𝑰 = 𝟎!𝟏 · 𝑰𝟎

4.30. Un muro de 60 cm tiene un coeficiente de absorción 𝜷 = 𝟎!𝟖𝟕 𝒎!𝟏. a) Si al muro llega una onda de 𝟓 𝑾/𝒎𝟐, ¿qué intensidad llega a la segunda cara del muro? b) ¿Qué espesor debería tener para que la intensidad del sonido se reduzca un 80%?

a) Aplicamos la ecuación para la absorción de ondas planas:

𝐼 𝑥 = 𝐼! · 𝑒!!" = 5 𝑊/𝑚! · 𝑒!!!!"·!!! → 𝑰 = 𝟐′𝟗𝟕 𝑾/𝒎𝟐

b) Buscamos el espesor que haga que la intensidad final sea un 20% de la inicial:

0!2 · 𝐼! = 𝐼! · 𝑒!!" → ln 0′2 = −𝛽𝑥 → 𝑥 = −ln 0!2𝛽

→ 𝒙 = 𝟏!𝟖𝟓 𝒎

TIPO 25 LIBRO PÁGINAS 54 y 56: ejercicios 10, 13, 15, 16, 18 y 37.

4.31. El sonido emitido por un altavoz tiene un nivel de intensidad (sonoridad) de 60 dB a una distancia de 2 m de él. Si el altavoz se considera como una fuente puntual, determina: a) La potencia del sonido emitido por el altavoz. b) ¿A qué distancia el nivel de intensidad sonora es de 30 dB, y a qué distancia es imperceptible el sonido?. Dato: El umbral de audición es: 𝐼! = 10!!" 𝑊/𝑚!. Sol: 𝒂) 𝟓!𝟎𝟑 · 𝟏𝟎!𝟓 𝑾; 𝒃) 𝑹𝟐 = 𝟔𝟑!𝟐𝟓 𝒎, 𝑹𝟑 = 𝟐𝟎𝟎𝟎 𝒎



4.32. Se realizan dos mediciones del nivel de intensidad sonora en las proximidades de un foco sonoro puntual,

siendo la primera de 100 dB a una distancia x del foco, y la segunda de 80 dB al alejarse en la misma dirección 100 m más. a) Obtén las distancias al foco desde donde se efectúan las mediciones. b) Determina la potencia sonora del foco. Dato: El umbral de audición es: 𝐼! = 10!!" 𝑊/𝑚!. Sol: 𝒂) 𝑹𝟏 = 𝟏𝟏!𝟏𝟏 𝒎, 𝑹𝟐 = 𝟏𝟏𝟏!𝟏𝟏 𝒎; 𝒃) 𝑷 = 𝟏𝟓!𝟓𝟏 𝑾

4.33. En un partido de fútbol sala un espectador canta un gol con una sonoridad de 40 dB. ¿Cuál será la sonoridad si

gritaran a la vez y con la misma intensidad sonora los 10000 espectadores que se encuentran viendo el partido? Dato: El umbral de audición es: 𝐼! = 10!!" 𝑊/𝑚!. Sol: 𝑳 = 𝟖𝟎 𝒅𝑩

4.34. La potencia sonora del ladrido de un perro es aproximadamente 1 mW y dicha potencia se distribuye uniformemente en todas las direcciones. Calcula: a) La intensidad y el nivel de intensidad sonora a una distancia de 10 m del lugar donde se produce es

ladrido. b) El nivel de intensidad sonora producido por el ladrido de 5 perros a 20 m de distancia de los mismos.

Supón que todos los perros emiten sus ladridos en el mismo punto del espacio. Dato: El umbral de audición es: 𝐼! = 10!!" 𝑊/𝑚!. Sol: 𝒂) 𝑰 = 𝟕𝟗!𝟓𝟖 · 𝟏𝟎!𝟖 𝑾/𝒎𝟐, 𝑳 = 𝟓𝟗 𝒅𝑩; 𝒃) 𝑳𝑻 = 𝟔𝟎 𝒅𝑩

4.35. En un concierto se utiliza un altavoz que emite con una potencia de 50 W.

a) ¿Cuál es la intensidad del sonido que se percibe a 50 m del mismo? b) La organización quiere impedir que el público se aproxime a una distancia menor que el doble de la

correspondiente al umbral del dolor. ¿Dónde deben poner el límite de seguridad? Umbral del dolor: I0 = 100 W/m2.

a) Para una onda esférica tridimensional, la intensidad a una determinada distancia al foco viene dada por la expresión:

𝑰 =𝑃𝑆=

𝑃4𝜋 · 𝑅!

=50 𝑊

4𝜋 · 50 𝑚 ! = 𝟏!𝟓𝟗 · 𝟏𝟎!𝟑 𝑾/𝒎𝟐

b) Primero tenemos que estudiar a qué distancia del foco se alcanza el umbral del dolor:

𝐼! =𝑃

4𝜋 · 𝑅! → 𝑅 =

𝑃4𝜋 · 𝐼!

=50 𝑊

4𝜋 · 100 𝑊/𝑚! = 0!2 𝑚

Por lo tanto, el límite debe ponerse al menos al doble de esa distancia:

𝑹𝒎𝒊𝒏 = 𝟎!𝟒 𝒎



4.36. Al dejar caer una piedra en la superficie de agua en calma de un estanque obtenemos una onda

con 𝐴 = 25 𝑐𝑚. Suponiendo que no hubiese rozamiento entre las partículas del medio, ¿cuál será la amplitud cuando la onda haya avanzado 2 m desde el origen? Nota: suponer que a 1 cm del foco la amplitud sigue siendo 25 cm. La onda que se propaga por la superficie de un estanque es bidimensional, en este caso, cada circunferencia que se forma aumenta el radio repartiendo la energía entre un mayor número de puntos, ya que la longitud de la circunferencia que define el frente de onda es cada vez mayor: 𝑅! → 𝑆! = 2𝜋𝑅! 𝑅! → 𝑆! = 2𝜋𝑅! Como 𝐼 = !

!·! → 𝐼! =

!/!!! 𝐼! =

!/!!! sabiendo que !

!= 𝑐𝑡𝑒:

!!= 𝐼! · 2𝜋𝑅!

!!= 𝐼! · 2𝜋𝑅!

𝐼! · 2𝜋𝑅! = 𝐼! · 2𝜋𝑅! → 𝐼!𝐼!=𝑅!𝑅!

Como sabemos que la intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud 𝐼 ∝ 𝐴!:

𝑨𝟏𝟐

𝑨𝟐𝟐=𝑹𝟐𝑹𝟏

Con esta expresión ya podemos calcular la amplitud de la onda a los dos metros:

𝐴!! = 𝐴!! ·𝑅!𝑅! → 𝐴! = 𝐴! ·

𝑅!𝑅!

= 25 𝑐𝑚 ·0!01 𝑚20 𝑚

𝑨𝟐 = 𝟏!𝟖 𝒄𝒎

TIPO 26 LIBRO PÁGINA 48: ejercicio 34. 4.37. Una ambulancia viaja por una carretera a 40 𝑚/𝑠. Su sirena emite un sonido con una frecuencia de 400 Hz.

¿Con qué frecuencia escucha la sirena un observador que viaja a 25 𝑚/𝑠? a) Cuando se aproxima a la ambulancia. b) Cuando se aleja de la ambulancia. Sol: a) 𝒇𝑹 = 𝟒𝟖𝟕 𝑯𝒛; b) 𝒇𝑹 = 𝟑𝟑𝟐 𝑯𝒛

4.38. Calcula la frecuencia con la que percibe un policía la alarma de un banco si se aproxima en su coche a una velocidad de 120 𝑘𝑚/ℎ, sabiendo que la frecuencia a la que emite la alarma es de 750 𝐻𝑧. Sol: 𝒇𝑹 = 𝟖𝟐𝟒 𝑯𝒛



4.39. Un murciélago que persigue a una mosca emite ultrasonidos a una frecuencia de 𝟓𝟓 𝒌𝑯𝒛. El murciélago se mueve a 𝒗𝟏 = 𝟏𝟑 𝒎/𝒔 y la mosca a 𝒗𝟐 = 𝟐′𝟒 𝒎/𝒔 ambos en la misma recta y no hay viento apreciable. Calcula en estas condiciones: a) Frecuencia que percibe la mosca. b) Frecuencia que percibe el murciélago de los ultrasonidos una vez reflejados en la mosca.

a) Tenemos que tener en cuenta que, a la hora de escoger el signo para las velocidades del observador y del receptor, tomamos como sentido positivo el que va desde el emisor hacia el receptor. En este caso el murciélago es el emisor y su velocidad es 𝑣! = +𝑣! ya que el murciélago se mueve hacia el receptor. La mosca es el receptor y se mueve a 𝑣! = +𝑣!, ya se se está alejando del murciélago.

Una vez definidas las velocidades y teniendo en cuenta que la velocidad de la onda es la del sonido 𝑣 = 340 𝑚/𝑠 aplicamos la expresión del efecto Doppler:

𝒇𝑹 =𝑣 − 𝑣!𝑣 − 𝑣!

· 𝑓! =340 𝑚/𝑠 − 2′4 𝑚/𝑠340 𝑚/𝑠 − 13 𝑚/𝑠

· 55 𝑘𝐻𝑧 = 𝟓𝟔!𝟕𝟖 𝒌𝑯𝒛

b) Ahora la mosca actúa como emisor, reflejando las ondas con la misma frecuencia que le llegan, y el murciélago actúa de receptor:

• 𝑓! = 56!78 𝑘𝐻𝑧 • 𝑣! = −𝑣! (la mosca se aleja del murciélago). • 𝑣! = −𝑣! (el murciélago se acerca a la mosca).

𝒇𝑹 =𝑣 − 𝑣!𝑣 − 𝑣!

· 𝑓! =340 𝑚/𝑠 + 13 𝑚/𝑠340 𝑚/𝑠 + 2′4 𝑚/𝑠

· 56′78 𝑘𝐻𝑧 = 𝟓𝟖!𝟓𝟒 𝒌𝑯𝒛

4.40. Un observador en reposo pretende medir la velocidad de un coche basándose en el efecto Doppler. Para ello

mide la frecuencia del sonido del motor cuando se acerca y cuando se aleja, obteniendo como resultado 500 𝐻𝑧 y 450 𝐻𝑧, respectivamente. Con esos datos, calcula la velocidad con que se mueve el vehículo.

En este problema, la velocidad del observador es cero 𝑣! = 0 𝑚/𝑠. Planteamos las dos ecuaciones teniendo cuidado con los signos de las velocidades del emisor (coche), en el primer caso positiva (ya que se acerca al receptor) y en el segundo negativa (ya que se aleja del mismo). Tendremos que tener en cuenta también que las frecuencias del enunciado son las frecuencias percibidas por el receptor.

𝑓!! =𝑣 − 𝑣!𝑣 − 𝑣!

· 𝑓! =340 𝑚/𝑠

340 𝑚/𝑠 − 𝑣!· 𝑓! = 500 𝐻𝑧

𝑓!! =𝑣 − 𝑣!𝑣 − 𝑣!

· 𝑓! =340 𝑚/𝑠

340 𝑚/𝑠 + 𝑣!· 𝑓! = 450 𝐻𝑧

Para despejar la frecuencia del coche (emisor) dividimos ambas expresiones:

340 𝑚/𝑠340 𝑚/𝑠 − 𝑣!

· 𝑓!340 𝑚/𝑠

340 𝑚/𝑠 + 𝑣!· 𝑓!

=500 𝐻𝑧450 𝐻𝑧

→ 340 𝑚/𝑠 + 𝑣!340 𝑚/𝑠 − 𝑣!

=5045 → 50 · 340 𝑚/𝑠 − 𝑣! = 45 · 340 𝑚/𝑠 + 𝑣!

17000 𝑚/𝑠 − 50 · 𝑣! = 15300 𝑚/𝑠 + 45 · 𝑣! → 1700 𝑚/𝑠 = 95 · 𝑣!

𝒗𝑬 =1700 𝑚/𝑠

95= 𝟏𝟕!𝟖𝟗 𝒎/𝒔

4. Problemas de movimiento ondulatorio

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