5Quinto trabajoDiseño factorial 3^k

8/12/2019 5Quinto trabajoDiseo factorial 3^k

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Diseo factorial 3k

Notacin del diseo 3k

El diseo factorial 3k es un arreglo factorial de k factores que tiene 3niveles cada uno. Seusarn letras maysculas para denotar los factores y las interacciones de estos factores. Se harreferencia a los tres niveles de los factores como bajo, intermedio y alto (esta interpretacintiene ms sentido cuando los factores son cuantitativos o al menos ordinales).

Hay varias notaciones diferentes que se usan para representar estos niveles de los factores: unaposibilidad es representar los niveles de los factores con los dgitos 0 (bajo), 1 (intermedio) y 2(alto). Cada combinacin de tratamientos del diseo 3k se denotara por k dgitos, donde elprimer digito indica el nivel del factor A, el segundo digito indica el nivel del factor B, , y eldgito k-simo indica el nivel del factor K.

Este sistema de notacin pudo haberse usado en losdiseos k2 presentados, anteriormente,utilizando 0 y 1 en lugar del 1 negativo y el 1 positivo, respectivamente, pero se prefiri lanotacin 1 porque facilita la vista geomtrica del diseo y porque puede aplicarsedirectamente al modelado de regresin, la separacin en bloques y la construccin defactoriales fraccionados.

En el sistema de los diseos k3 , cuando los factores son cuantitativos, es comn denotar losniveles bajo, intermedio y alto con -1,0 y +1, respectivamente. Con esto se facilita el ajuste deun modelo de regresin que relaciona la respuesta con los niveles de los factores. Por ejemplo,considere el diseo 23 donde

1x represente al factor A y que

2x represente al factor B. un

modelo de regresin que relaciona y con 1x y 2x que se basa en este diseo es: 22222

111211222110 xxxxxxy (1)

La adicin de un tercer nivel de los factores permite que la relacin entre la respuesta y losfactores del diseo se modele como un modelo cuadrtico.


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El diseo 32

El diseo ms simple del sistema 3kes el diseo 32, el cual tiene dos factores, A y B, cadauno con tres niveles. La notacin a usarse es la digital (0, 1, 2).En un diseo 32, 00 denota la combinacin de tratamientos correspondiente a A y B ambos en

el nivel bajo, y 01 denota la combinacin de tratamientos correspondiente a A en el nivel bajo yB en el nivel intermedio., etc. En la siguiente figura (9-1) se muestra la representacingeomtrica de un diseo 3.

Y la representacin tabular, para una rplica, es la siguiente:

Factor A

Factor B 0 1 2

0 00 01 021 10 11 12

2 20 21 22

Puesto que estn presentes 3=9 combinaciones de tratamientos, los grados de libertad sedistribuyen de la siguiente manera:

8 grados de libertad entre estas combinaciones de tratamientos.o 2 grados de libertad para cada uno de los efectos principales (de A y de B).o 4 grados de libertad para la combinacin de A y B

32(n -1) grados de libertad del error.

32

n-1 grados de libertad totales.Donde n=nmero de rplicas

Cada efecto principal puede representarse con un componente lineal y uno cuadrtico, cadauno con un solo grado de libertad, como se observa en la ecuacin (1). Desde luego, estoslo tiene sentido si el factor es cuantitativo.


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La particin de la interaccin de dos factores AB puede hacerse de dos maneras:

Primer mtodo.-Consiste en subdividir AB en los cuatro componentes con un solo grado de libertad que

corresponden aABL X L,ABL X Q,ABQ X LyABQ X Q. esto puede hacerse ajustando los trminos2211222112 , xxxx y

2

2

2

11122 xx respectivamente.

Fuente deVariacin

Gradosde

Libertad

Suma deCuadrados

Cuadrados Medios Fcalc

A 2 SC[A] [ ]

2

SC ACMA CMA/CMError

A1 1 SC[A1] SC[A1] SC[A1]/CMErrorA2 1 SC[A2] SC[A2] SC[A2] /CMError

B 2 SC[B] [ ]

2

SC B

CMB CMB/CMErrorB1 1 SC[B1] SC[B1] SC[B1] ]/CMErrorB2 1 SC[B2] SC[B2] SC[B2] ]/CMError

AB 4 SC[AB] [ ]

4

SC ABCMAB CMAB/CMError

A1B1 1 SC[A1B1] SC[A1B1] SC[A1B1] /CMErrorA1B2 1 SC[A1B2] SC[A1B2] SC[A1B2] /CMErrorA2B1 1 SC[A2B1] SC[A2B1] SC[A2B1] /CMErrorA2B2 1 SC[A2B2] SC[A2B2] SC[A2B2] /CMError

Error 3 (n -1) SCError

3( 1)

SCErrorCMError

n

Total 3 n-1 SCTotal

* La descomposicin de los factores en sus efectos lineales y cuadrticos slo se realizapara factores cuantitativos

Segundo mtodo.-El segundo mtodo se basa en los cuadrados latinos ortogonales. Considere los totales delas combinaciones de los tratamientos para los datos del siguiente ejemplo:

Se piensa que la vida efectiva de una herramienta de corte instalada en una mquinacontrolada numricamente se afecta por la velocidad de corte y el ngulo de la herramienta.Se seleccionan tres velocidades y 3 ngulos, y se lleva a cabo un experimento factorial con2 rplicas. Los datos se presentan a continuacin:


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denotan por x1y x2, respectivamente, entonces se encuentra que las letras ocupan celdasde acuerdo al siguiente patrn:

Cuadrado bQ:x1+2x2=0 (mod 3)R:x1+2x2=1 (mod 3)

S:x1+2x2=2 (mod 3)

Por ejemplo, en el cuadrado b se observa que la celda de en medio corresponde a 11 x y12 x ; por lo tanto )3(mod03)1)(2(12 21 xx y Q ocupara la celda de en medio.

Cuando se consideran expresiones de la forma ApBp, se establece la convencin de que elnico exponente permitido en la primera letra es 1. si el exponente de la primera letra no es1, la expresin completa se eleva al cuadrado y los exponentes se reducen al modulo 3. Porejemplo, AB es lo mismo que AB porque: AB=(AB)=A4B=AB.

Los componentes AB y AB de la interaccin AB no tienen significado real y por general

no se incluyen en la tabla del anlisis de varianza. Sin embargo, esta particin en granmedida arbitraria de la interaccin AB en dos componentes ortogonales con dos grados delibertad es muy til para construir diseos ms complicados. Adems, no hay relacin entrelos componentes AB y AB de la interaccin y las sumas de cuadrados de ABL x L, ABL x Q,ABQ x L, ABQ x Q.Los componentes AB y AB de la interaccin pueden calcularse de otra manera. Considerelos totales de las combinaciones de los tratamientos en cualquiera de los cuadrados de lafigura 9-3.

Si se hace la suma de los datos en las diagonales hacia debajo de izquierda a derecha, seobtienen los totales -3+4-1=0 , -3+10-1=6 y 5+11+2 =18. La suma de cuadrados entre

estos totales es 0 6 18 24 283*2 9*2

(AB).

-3 -3 5 -3 -3 52 4 10 2 4 10-1 11 -1 -1 11 -1

En forma similar, los totales de la diagonal hacia debajo de derecha a izquierda son5+4-1=8, -3+2-1=-2 y -3+11+10=18. La suma de cuadrados entre estos totales es18 ( 2) 8 24

33.343*2 9*2

(AB).

-3 -3 5 -3 -3 52 4 10 2 4 10

-1 11 -1 -1 11 -1

Yates llamo a estos componentes de la interaccin los componentes I y J de la interaccin,respectivamente. Se usaran aqu indistintamente las dos notaciones; es decir,

I(AB)=ABJ(AB)=AB

Cuadrado aQ:x1+x2=0 (mod 3)R:x1+x2=1 (mod 3)

S:x1+x2=2 (mod 3)


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Del Ejemplo 1:

ijkijjiijky )(

3,2,1i 3,2,1j

Yijk: vida efectiva de una herramienta de corte cuando se aplica el i-simo nivel de lavelocidad de corte y el j-simo nivel del ngulo de la herramienta: Efecto de la media Generali: Efecto del i-simo nivel de la velocidad de cortej: Efecto del j-simo nivel del ngulo de la herramienta()ij: Efecto de la interaccin del i-simo nivel de la velocidad de corte y el j-simo niveldel ngulo de la herramientaijk: Error asociado a la observacin en la que se aplic el i-simo nivel de la velocidad decorte y el j-simo nivel del ngulo de la herramienta.Utilizando R para obtener los resultados:diseno32


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En los grficos se puede apreciar que aparentemente se cumplen los supuestos dehomogeneidad de variancias (porque en el primer grfico no se observa ningn patrn depuntos) y el de normalidad parece no cumplirse (en el segundo grfico los puntos estnmuy alejadas de la lnea de probabilidad normal)

shapiro.test(residuals(modelo32))

Shapiro-Wilk normality test

data: residuals(modelo32)

W = 0.9209, p-value = 0.1343

Ho: Los errores se distribuyen normalmente con media 0 y variancia comn Ha: Los errores no se distribuyen normalmente con media 0 y variancia comn =0.05p-valor=0.1343A un n.s. del 5%, existe suficiente evidencia estadstica para afirmar que los errores sedistribuyen normalmente con media cero y variancia comn

bartlett.test(vida~velocidad+angulo+velocidad*angulo)

Bartlett test of homogeneity of variances

data: vida by velocidad by angulo

Bartlett's K-squared = 3.2781, df = 2, p-value = 0.1942

22

01

2

000 ...: H

:1

H Al menos un 22 ij i=1,2,3 j=1,2,3

=0.05p-valor=0.1942A un n.s. del 5%, existe suficiente evidencia estadstica para afirmar que las variancias sonhomogneasComo los supuestos s se cumplen, es factible realizar el Anlisis de Variancia para probarlas hiptesis

summary(aov(modelo32))

Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)velocidad 2 25.333 12.667 8.7692 0.007703 **

angulo 2 24.333 12.167 8.4231 0.008676 **

velocidad:angulo 4 61.333 15.333 10.6154 0.001844 **

Residuals 9 13.000 1.444

---

Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1

1


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Hiptesis:

A un nivel de significacin 0.05, no existe suficiente evidencia estadstica para afirmar que

al menos uno de las 3 velocidades de corte produce efectos diferentes sobre la vidaefectiva de una herramienta de corte

A un nivel de significacin 0.05, existe suficiente evidencia estadstica para afirmar que al

menos uno de los 3 ngulos de la herramienta produce efectos diferentes sobre la vida

efectiva de una herramienta de corte


menos una interaccin entre las 3 velocidades de corte y los 3 ngulos de la herramienta

produce efectos diferentes sobre la vida efectiva de una herramienta de corte.

par(mfrow=c(1,2))

interaction.plot(velocidad,angulo,vida)

interaction.plot(angulo,velocidad,vida)

Si queremos que el promedio de vida efectiva de una herramienta de corte instalada en unamquina sea mxima se tiene que tener una velocidad de 150 pulg/min con un ngulo de25 grados. Una velocidad de 175 pulg/min con 20 podra ser una segunda opcin.

0 1 2 3

1

: 0

: Al menos un 0, i=1,2,3i

H

H

0 1 2 3

1

: 0

: Al menos un 0, j=1,2,3j

H

H

0

1

: ( ) 0, para todas las i,j

:Al menos un ( ) 0; i,j=1,2,3

ij

ij

H

H

-1

0

1

2

3

4

5

velocidad

meanofvida

125 150 175

angulo

2

1

2

-1

0

1

2

3

4

5

angulo

meanofvida

15 20 25

velocida

1

1

1


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> velocidad angulo vida modelo31 summary(modelo31)

Call:

lm(formula = vida ~ I(velocidad) + I(velocidad^2) + I(angulo) +

I(angulo^2) + I(velocidad) * I(angulo) + I(velocidad^2) *

I(angulo) + I(velocidad) * I(angulo^2) + I(velocidad^2) *

I(angulo^2))

Residuals:

Min 1Q Median 3Q Max

-1.500e+00 -5.000e-01 1.760e-14 5.000e-01 1.500e+00

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)(Intercept) -1.068e+03 7.022e+02 -1.521 0.1626

I(velocidad) 1.448e+01 9.503e+00 1.524 0.1619

I(velocidad^2) -4.960e-02 3.164e-02 -1.568 0.1514

I(angulo) 1.363e+02 7.261e+01 1.877 0.0932 .

I(angulo^2) -4.080e+00 1.810e+00 -2.254 0.0507 .

I(velocidad):I(angulo) -1.864e+00 9.827e-01 -1.897 0.0903 .

I(velocidad^2):I(angulo) 6.400e-03 3.272e-03 1.956 0.0822 .

I(velocidad):I(angulo^2) 5.600e-02 2.450e-02 2.285 0.0481 *

I(velocidad^2):I(angulo^2) -1.920e-04 8.158e-05 -2.353 0.0431 *

---

Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1 1

Residual standard error: 1.202 on 9 degrees of freedom

Multiple R-squared: 0.8952, Adjusted R-squared: 0.802F-statistic: 9.606 on 8 and 9 DF, p-value: 0.001337

> summary(aov(modelo31))

Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)

I(velocidad) 1 21.333 21.333 14.7692 0.0039479 **

I(velocidad^2) 1 4.000 4.000 2.7692 0.1304507

I(angulo) 1 8.333 8.333 5.7692 0.0397723 *

I(angulo^2) 1 16.000 16.000 11.0769 0.0088243 **

I(velocidad):I(angulo) 1 8.000 8.000 5.5385 0.0430650 *

I(velocidad^2):I(angulo) 1 42.667 42.667 29.5385 0.0004137 ***

I(velocidad):I(angulo^2) 1 2.667 2.667 1.8462 0.2073056

I(velocidad^2):I(angulo^2) 1 8.000 8.000 5.5385 0.0430650 *

Residuals 9 13.000 1.444---

Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01* 0.05 . 0.1 1

La ecuacin del modelo es la siguiente:2 2

2 2 2 2

1068 14.48 0.0496 136.3 4.08 1.864 *

0.0064 * 0.056 * 0.000192 *

vida velocidad velocidad angulo angulo velocidad angulo

velocidad angulo velocidad angulo velocidad angulo


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La superficie de respuesta es la siguiente:

library(MASS)

library(spatial)

> superf32 superf332 contour(superf332)

Para maximizar el tiempo de vida, debe llevarse a cabo el proceso a una velocidad de corte

de aprox. 165 pulg/min y a 20.


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El diseo 33

En este caso hay tres factores bajo estudio (A, B y C) y cada uno de estos tiene 3 nivelesdispuestos en un experimento factorial. Se trata de un diseo factorial 3 3. La disposicinexperimental y la notacin de las combinaciones de los tratamientos (0,1,2) se presentan a

continuacin:

Y la representacin tabular, para una rplica

Puesto que estn presentes 33=27 combinaciones de tratamientos, los grados de libertad sedistribuyen de la siguiente manera:

2 grados de libertad para cada efecto principal (A, B, C) 4 grados de libertad para cada interaccin de 2 factores (AB, AC, BC) 8 grados de libertad para la interaccin de 3 factores (ABC) 33(n-1) grados de libertad para el error. 33n-1 grados de libertad totales Donde n: nmero de rplicas


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Las sumas de cuadrados pueden calcularse de manera usual; y si los factores soncuantitativos, los efectos principales pueden particionarse en un componente lineal (L) yuno cuadrtico (Q), cada uno con un grado de libertad.Las interacciones de 2 factores pueden descomponerse en efectos L*L, L*Q, Q*L, Q*Q.Finalmente la interaccin de 3 factores puede partirse en 8 componentes, cada uno con 1

grado de libertad: L*L*L, L*L*Q, L*Q*L, Q*L*L, Q*Q*L, Q*L*Q, L*Q*Q, Q*Q*Q. Sinembargo, esta ltima descomposicin no es de mucha utilidad.

Fuente deVariacin

Grados deLibertad

Suma deCuadrados

Cuadrados Medios Fcalc

A 2 SC[A] [ ]

2

SC ACMA CMA/CMError

A1 1 SC[A1] SC[A1] SC[A1]/CMErrorA2 1 SC[A2] SC[A2] SC[A2] /CMError

B 2 SC[B] [ ]

2

SC BCMB CMB/CMError

B1 1 SC[B1] SC[B1] SC[B1] ]/CMErrorB2 1 SC[B2] SC[B2] SC[B2] ]/CMErrorC 2 SC[C] [ ]

2

SC CCMC CMC/CMError

C1 1 SC[C1] SC[C1] SC[C1] ]/CMErrorC2 1 SC[C2] SC[C2] SC[C2] ]/CMError

AB 4 SC[AB] [ ]

4

SC ABCMAB CMAB/CMError

A1B1 1 SC[A1B1] SC[A1B1] SC[A1B1] /CMErrorA1B2 1 SC[A1B2] SC[A1B2] SC[A1B2] /CMErrorA2B1 1 SC[A2B1] SC[A2B1] SC[A2B1] /CMError

A2B2 1 SC[A2B2] SC[A2B2] SC[A2B2] /CMErrorAC 4 SC[AC] [ ]

4

SC ACCMAC CMAC/CMError

A1C1 1 SC[A1C1] SC[A1C1] SC[A1C1] /CMErrorA1C2 1 SC[A1C2] SC[A1C2] SC[A1C2] /CMErrorA2C1 1 SC[A2C1] SC[A2C1] SC[A2C1] /CMErrorA2C2 1 SC[A2C2] SC[A2C2] SC[A2C2] /CMError

BC 4 SC[BC] [ ]

4

SC BCCMBC CMBC/CMError

B1C1 1 SC[B1C1] SC[B1C1] SC[B1C1] /CMErrorB1C2 1 SC[B1C2] SC[B1C2] SC[B1C2] /CMError

B2C1 1 SC[B2C1] SC[B2C1] SC[B2C1] /CMErrorB2C2 1 SC[B2C2] SC[B2C2] SC[B2C2] /CMError

ABC 8 SC[ABC] [ ]

8

SC ABCCMBC CMABC/CMError

Error 33(n-1) SCError

3( 1)

SCErrorCMError

n

Total 33n-1 SCTotal


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La descomposicin de la interaccin ABC no es muy comn por no ser de utilidad en lamayora de los casos.

La descomposicin de los factores en sus efectos lineales y cuadrticos slo se realiza parafactores cuantitativos, de lo contrario el cuadro de ANVA slo debe presentarse as:

Cuadro de AnvaFuente de Var. GL SC CM FcalcA 2 SC(A) SC(A)/2 CMA/CMErrorB 2 SC(B) SC(B)/2 CMB/CMErrorC 2 SC(C) SC(C)/2 CMC/CMErrorAB 4 SC(AB) SC(AB)/4 CMAB/CMErrorAC 4 SC(AC) SC(AC)/4 CMAC/CMErrorBC 4 SC(BC) SC(BC)/4 CMBC/CMErrorABC 8 SC(ABC) SC(ABC)/8 CMABC/CMErrorError 3(n-1) SCError SCError/(3(n-1))Total 3n-1 SCTotal

Donde n: nmero de rplicas

Modelo Estadstico:

1,2,3 1,2,3 1,2,3

ijk i j k ijk ij ik jk ijk Y

i j k

Yijk: Observacin cuando se aplica el i-simo nivel del factor de A, el j-simo nivel delfactor de B y el k-simo nivel del factor de C: Efecto de la media Generali: Efecto del i-simo nivel del factor Aj: Efecto del j-simo nivel del factor B

k: Efecto del k-simo nivel del factor C()ij: Efecto de la interaccin del i-simo nivel del factor A y el j-simo nivel del factor B()ik: Efecto de la interaccin del i-simo nivel del factor A y el k-simo nivel del factor C()jk: Efecto de la interaccin del j-simo nivel del factor B y el k-simo nivel del factor Cijk: Error asociado a la observacin en la que se aplic el i-simo nivel del factor de A, el j-simo nivel del factor de B y el k-simo nivel del factor de C

Hiptesis:

0 1 2 3

1

: 0


H

H

0 1 2 3

1

: 0


H

H

0 1 2 3

1

: 0

: Al menos un 0, k=1,2,3k

H

H

0

1


:Al menos un ( ) 0; i,j=1,2,3

ij

ij

H

H

0

1

: ( ) 0, para todas las i,k

:Al menos un ( ) 0; i,k=1,2,3

ik

ik

H

H

0

1

: ( ) 0, para todas las j,k

: Al menos un ( ) 0; j,k=1,2,3

jk

jk

H

H

0

1

: ( ) 0, para todas las i,j,k

: Al menos un ( ) 0; i,j,k=1,2,3

ijk

jk

H

H


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Tambin puede utilizarse el mtodo de los cuadrados latinos ortogonales y particionar lasinteracciones de 2 factores en sus componentes I y J, y las de 3 factores en los componentesW, X, Y y Z. As:I(AB)=AB I(AC)=AC I(BC)=BCJ(AB)=AB J(AC)=AC J(BC)=BC

W(ABC)=ABC X(ABC)=ABC

Y(ABC)=ABC Z(ABC)=ABC

En ningn caso, la primera letra puede tener un exponente diferente a 1. En caso eso ocurradebe elevarse al cuadrado para corregir la situacin, por ejemplo:ABC(ABC)=A4BC=ABC

Ejemplo:Se usa una mquina para llenar contenedores metlicos de 5 galones con jarabe para unabebida gaseosa. La variable de inters es la cantidad de jarabe perdida debido al espumeo.Se piensa que 3 factores influyen en el espumeo: el diseo de la boquilla (A), la velocidadde llenado (B) y la presin de operacin (C). Se seleccionan 3 boquillas, 3 velocidades dellenado y 3 presiones, y se corren 2 rplicas de un experimento factorial 3. Los datos sonlos siguientes:

Tipo de boquilla (A)1 2 3

Velocidad (B)Presin (C) 100 120 140 100 120 140 100 120 140

10 -35 -45 -40 17 -65 20 -39 -55 15-25 -60 15 24 -58 4 -35 -67 -30

15 110 -10 80 55 -55 110 90 -28 110

75 30 54 120 -44 44 113 -26 13520 4 -40 31 -23 -64 -20 -30 -61 545 -30 36 -5 -62 -31 -55 -52 4

Modelo Estadstico:

1,2,3 1,2,3 1,2,3

ijk i j k ijk ij ik jk ijk Y

i j k

Donde:Yijk:Cantidad de jarabe perdida cuando se aplica la i-sima boquilla, la j-sima velocidadde llenado y la k-sima presin de operacin: Efecto de la media Generali: Efecto de la i-sima boquillaj: Efecto de la j-sima velocidad de llenadok: Efecto de la k-sima presin de operacin()ij: Efecto de la interaccin del i-simo nivel de la i-sima boquilla y la j-simavelocidad de llenado()ik: Efecto de la interaccin del i-simo nivel de la i-sima boquilla y la k-sima presinde operacin()jk: Efecto de la interaccin del j-simo nivel de la j-sima velocidad de llenado y lak-sima presin de operacin


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ijk: Error asociado a la Cantidad de jarabe perdida cuando se aplica la i-sima boquilla, laj-sima velocidad de llenado y la k-sima presin de operacinUtilizando R para obtener los resultados:> diseno333 boquilla velocidad presion jarabe modelo333 par(mfrow=c(2,2))> plot(modelo333)

En los grficos se puede apreciar que aparentemente no se cumplen los supuestos dehomogeneidad de variancias (porque en el primer grfico se observa un patrn de embudoabrindose a la derecha) ni el de normalidad (en el segundo grfico las colas estn muyalejadas de la lnea de probabilidad normal). Es necesario aplicar pruebas de hiptesis paraconfirmarlo:

-50 0 50 100

-40

-20

0

20

40

Fitted values

Residuals

Residuals vs Fitted

33

34

22

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

Theoretical Quantiles

Standardizedresiduals

Normal Q-Q

33

34

22

-50 0 50 100

0.0

0.5

1.0

1.5

Fitted values


Scale-Location333422

-2

-1

0

1

2

Factor Level Combinations


2 3 1boquilla :

Constant Leverage:Residuals vs Factor Levels

33

34

22


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> shapiro.test(residuals(modelo33))

Shapiro-Wilk normality test

data: residuals(modelo33)

W = 0.9791, p-value = 0.462

Ho: Los errores se distribuyen normalmente con media 0 y variancia comn Ha: Los errores no se distribuyen normalmente con media 0 y variancia comn =0.05p-valor=0.462A un n.s. del 5%, existe suficiente evidencia estadstica para afirmar que los errores sedistribuyen normalmente con media cero y variancia comn

bartlett.test(jarabe~boquilla+velocidad+presion+boquilla*velo

cidad+boquilla*presion+velocidad*presion+boquilla*velocidad*p

resion)

Bartlett test of homogeneity of variances

data: jarabe by boquilla by velocidad by presion

Bartlett's K-squared = 1.6832, df = 2, p-value = 0.4312 2 2 2 2 2

0 000 001 002 010 222

2 2

1

: ...

: Al menos un i=1,2,3 j=1,2,3 k=1,2,3ijk

H

H

=0.05p-valor=0.431A un n.s. del 5%, existe suficiente evidencia estadstica para afirmar que las variancias son

homogneasComo los supuestos s se cumplen, es factible realizar el Anlisis de Variancia para probarlas hiptesis> summary(aov(modelo333))


boquilla 2 994 497 1.1650 0.32710

I(velocidad) 1 1406 1406 3.2972 0.08052 .

I(presion) 1 400 400 0.9379 0.34142

I(velocidad^2) 1 59784 59784 140.1737 3.375e-12 ***

I(presion^2) 1 68705 68705 161.0911 6.805e-13 ***

boquilla:I(velocidad) 2 4012 2006 4.7036 0.01768 *

boquilla:I(velocidad^2) 2 2289 1144 2.6831 0.08653 .

boquilla:I(presion) 2 5022 2511 5.8877 0.00755 **

boquilla:I(presion^2) 2 2492 1246 2.9211 0.07105 .

I(velocidad):I(presion) 1 425 425 0.9966 0.32700I(presion):I(velocidad^2) 1 0 0 0.0003 0.98647

I(velocidad):I(presion^2) 1 1378 1378 3.2312 0.08344 .

I(velocidad^2):I(presion^2) 1 11051 11051 25.9110 2.390e-05 ***

boquilla:I(velocidad):I(presion) 2 528 264 0.6185 0.54621

boquilla:I(presion):I(velocidad^2) 2 1219 610 1.4292 0.25705

boquilla:I(velocidad):I(presion^2) 2 787 393 0.9221 0.40983

boquilla:I(velocidad^2):I(presion^2) 2 2096 1048 2.4567 0.10466

Residuals 27 11516 427---

Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1 1


17/27

No es prctico trabajar con todas las descomposiciones de las interacciones, entonces:> velocidad presion modelo33 summary(aov(modelo33))


boquilla 2 994 497 1.1650 0.3271016

velocidad 2 61190 30595 71.7354 1.571e-11 ***

presion 2 69105 34553 81.0145 3.893e-12 ***

boquilla:velocidad 4 6301 1575 3.6934 0.0159498 *

boquilla:presion 4 7514 1878 4.4044 0.0071866 **

velocidad:presion 4 12854 3214 7.5348 0.0003269 ***

boquilla:velocidad:presion 8 4629 579 1.3566 0.2594959

Residuals 27 11516 427

---

Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1 1

Hiptesis:0 1 2 3

1

: 0


H

H

p-valor:0.32710

A un nivel de significacin 0.05, no existe suficiente evidencia estadstica para afirmar que

al menos uno de los tipos de boquilla produce efectos diferentes sobre la cantidad de

jarabe perdida.

0 1 2 3

1

: 0


H

H

p-valor: 1.571*10

-11


menos una de las 3 velocidades produce efectos diferentes sobre la cantidad de jarabe

perdida.

0 1 2 3

1

: 0

: Al menos un 0, k=1,2,3k

H

H

p-valor: 3.893*10-12


menos una de los 3 niveles de presin produce efectos diferentes sobre la cantidad de

jarabe perdida.

0

1


:Al menos un ( ) 0; i,j=1,2,3

ij

ij

H

H

p-valor:0.0159


menos una interaccin entre los tipos de boquilla y las 3 velocidades produce efectos

diferentes sobre la cantidad de jarabe perdida.


18/27

0

1


:Al menos un ( ) 0; i,k=1,2,3

ik

ij

H

H

p-valor:0.00718


menos una interaccin entre los tipos de boquilla y los 3 niveles de presin produce

efectos diferentes sobre la cantidad de jarabe perd0

1

: ( ) 0, para todas las j,k

: Al menos un ( ) 0; j,k=1,2,3

jk

jk

H

H

p-valor:0.0003


menos una interaccin entre las 3 velocidades y los 3 niveles de presin produce efectos

diferentes sobre la cantidad de jarabe perdida.

0

1

: ( ) 0, para todas las i,j,k

: Al menos un ( ) 0; i,j,k=1,2,3

ijk

jk

H

H

p-valor:0.2594

A un nivel de significacin 0.05, no existe suficiente evidencia estadstica para afirmar queal menos una interaccin entre los tipos de boquilla, las 3 velocidades y los 3 niveles de

presin produce efectos diferentes sobre la cantidad de jarabe perdida.> par(mfrow=c(2,2))

> interaction.plot(boquilla,velocidad,jarabe)

> interaction.plot(boquilla,presion,jarabe)

> interaction.plot(velocidad,presion,jarabe)

-60

-40

-20

0

20

40

boquilla

meanofjarabe

1 2 3

velocidad

140100120

-20

0

20

40

60

boquilla

meanofjarabe

1 2 3

presion

152010

-50

0

50

velocidad

meanofjarabe

100 120 140

presion

1520

10


19/27

Del grfico de interacciones se puede observar que si se desea obtener una cantidad

mnima promedio de jarabe perdido, el proceso debe desarrollarse a 120C, utilizar la

boquilla 2 (aunque la boquilla 3 produce prdidas muy parecidas a la boquilla 2) y a una

presin de 20.

Para cada boquilla, se puede ajustar un modelo de regresin y graficar una superficie de

respuesta (curva de nivel). No obstante, el diseo 3k

no es la forma ms eficiente demodelar una relacin cuadrtica.

Boquilla 1:> diseno33b1 diseno33b1

> velocidadb1 presionb1 jarabeb1 modelo11 summary(modelo11)

Call:lm(formula = jarabeb1 ~ I(velocidadb1) + I(velocidadb1^2) + I(presionb1)

+

I(presionb1^2) + I(velocidadb1) * I(presionb1))

Residuals:


-32.056 -9.410 3.111 7.559 39.778

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept) 1217.30556 434.89009 2.799 0.016071 *

I(velocidadb1) -31.25625 6.86061 -4.556 0.000659 ***

I(velocidadb1^2) 0.12917 0.02812 4.594 0.000618 ***I(presionb1) 86.01667 16.58082 5.188 0.000226 ***

I(presionb1^2) -2.87333 0.44989 -6.387 3.47e-05 ***

I(velocidadb1):I(presionb1) 0.02875 0.07953 0.362 0.724010

---

Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1 1


Multiple R-squared: 0.8512, Adjusted R-squared: 0.7892

F-statistic: 13.73 on 5 and 12 DF, p-value: 0.0001298



I(velocidadb1) 1 147.0 147.0 0.2905 0.5997466

I(velocidadb1^2) 1 10677.8 10677.8 21.1026 0.0006176 ***I(presionb1) 1 3201.3 3201.3 6.3268 0.0271416 *

I(presionb1^2) 1 20640.1 20640.1 40.7912 3.470e-05 ***

I(velocidadb1):I(presionb1) 1 66.1 66.1 0.1307 0.7240096

Residuals 12 6071.9 506.0

---

Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1 1


20/27

Para la boquilla 1:_ 1217.306 31.256 0.129 86.017 2.873 0.03 *jarabe perdido velocidad velocidad presion presion velocidad presion

La superficie de respuesta es la siguiente:> superf1 superf11 contour(superf11)

>title("boquilla1")

-60

-40

-20

-20

0

0

20

20

40

40

60

6

0

100 110 120 130 140

10

12

14

16

18

20

boquilla 1


21/27

Boquilla 2> diseno33b2 velocidadb2 presionb2 jarabeb2 modelo22 summary(modelo22)

Call:

lm(formula = jarabeb2 ~ I(velocidadb2) + I(velocidadb2^2) + I(presionb2)

+


Residuals:


-37.167 -17.125 -5.250 7.354 48.667

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)(Intercept) 2526.66667 559.73997 4.514 0.000709 ***

I(velocidadb2) -50.69167 8.83018 -5.741 9.30e-05 ***

I(velocidadb2^2) 0.21063 0.03619 5.820 8.21e-05 ***

I(presionb2) 70.75000 21.34090 3.315 0.006164 **

I(presionb2^2) -2.41000 0.57904 -4.162 0.001318 **

I(velocidadb2):I(presionb2) -0.00750 0.10236 -0.073 0.942798

---

Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1 1






I(velocidadb2) 1 310.1 310.1 0.3699 0.554380

I(velocidadb2^2) 1 28392.3 28392.3 33.8720 8.213e-05 ***

I(presionb2) 1 1800.8 1800.8 2.1483 0.168435

I(presionb2^2) 1 14520.2 14520.2 17.3227 0.001318 **

I(velocidadb2):I(presionb2) 1 4.5 4.5 0.0054 0.942798

Residuals 12 10058.7 838.2

---

Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1 1

Para la boquilla 2:

_ 2526.7 50.692 0.21 70.75 2.41 0.0075 *jarabe perdido velocidad velocidad presion presion velocidad presio


22/27


> title("boquilla 2")

-80

-60

-60

-40

-40

-20

-20

0

0

20

20

40

40

60

60

100 110 120 130 140

10

12

14

16

18

20

boquilla 2


23/27

Boquilla 3> diseno33b3 velocidadb3 presionb3 jarabeb3 modelo33 summary(modelo33)

Call:

lm(formula = jarabeb3 ~ I(velocidadb3) + I(velocidadb3^2) + I(presionb3)

+


Residuals:


-43.111 -24.403 5.889 20.764 42.389

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)(Intercept) 1940.11111 609.21449 3.185 0.007854 **

I(velocidadb3) -46.05833 9.61067 -4.792 0.000439 ***

I(velocidadb3^2) 0.18958 0.03939 4.813 0.000424 ***

I(presionb3) 102.48333 23.22719 4.412 0.000847 ***

I(presionb3^2) -3.79667 0.63022 -6.024 5.99e-05 ***

I(velocidadb3):I(presionb3) 0.10500 0.11141 0.942 0.364536

---

Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1 1






I(velocidadb3) 1 4961 4961 4.9966 0.045178 *

I(velocidadb3^2) 1 23003 23003 23.1661 0.000424 ***

I(presionb3) 1 420 420 0.4231 0.527668

I(presionb3^2) 1 36037 36037 36.2926 5.989e-05 ***

I(velocidadb3):I(presionb3) 1 882 882 0.8883 0.364536


---

Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05. 0.1 1

Para la boquilla 3:

_ 1940.11 46.058 0.189 102.483 3.797 0.105 *jarabe perdido velocidad velocidad presion presion velocidad pr


24/27


> title("boquilla 3")

Las grficas de contorno de las superficies de respuesta de la prdida de jarabe constante,

como una funcin de la velocidad y la presin para cada tipo de boquilla. Estas grficas

revelan informacin de considerable utilidad acerca del desempeo de este sistema de

llenado. Puesto que el objetivo es minimizar la prdida de jarabe, se preferira la boquilla

tipo 3, ya que los contornos observados ms pequeos (-80) slo aparecen en esta grfica.

Debern usarse la velocidad de llenado cerca del nivel intermedio de 120 rpm y el nivel de

presin bajo (10). Una conclusin algo similar se obtuvo con las grficas de interaccin de

factores.

-80

-60

-60

-40

-40

-20

-20

0

0

20

20

40

40

60

60

80

100

100 110 120 130 140

10

12

14

16

18

20

boquilla 3


25/27

Por otro lado, trabajando con los componentes ortogonales

Es matemticamente sencillo mostrar la particin numrica de la interaccin ABC en sus 4

componentes ortogonales con 2 grados de libertad cada uno, utilizando los datos del

ejemplo que se est trabajando.

A Totales

C B 1 2 3 I J

10

100 -60 41 -74 -198 -222

120 -105 -123 -122 -106 -79

140 -25 24 -15 -155 -158

15

100 185 175 203 331 238

120 20 -99 -54 255 440

140 134 154 245 377 285

20

100 9 -28 -85 -59 -144

120 -70 -126 -113 -74 -40

140 67 -51 58 -206 -155

Los datos en negrita son los totales por cada combinacin de tratamiento.

Por ejemplo -60=-35-25, -105=-45-60, etc.

Luego, el total para I, en el nivel C=10, se obtiene repitiendo la tabla de datos a la derecha

y sumando diagonalmente a la derecha:

-60 41 -74 -60 41 -74

-105 -123 -122 -105 -123 -122

-25 24 -15 -25 24 -15

-198=-60-123-15 -106=41-122-25 -155=-74-105+24

Y los totales para J, en el nivel C=10, se obtiene repitiendo la tabla de datos a la izquierda

y sumando diagonalmente a la izquierda

-60 41 -74 -60 41 -74

-105 -123 -122 -105 -123 -122

-25 24 -15 -25 24 -15

-222=-74-123-105 -79=41-105-15 -158=-60-122+24

El procedimiento es el mismo para los totales I para los niveles C=15 y C=20.

Despus los totales I(AB) y J(AB) se arreglan en una tabla de 2 vas con el factor C, y se

calculan los totales de las diagonales I y J de esta nueva disposicin:C I(AB) Totales C J(AB) Totales

I J I J

10 -198 -106 -155 -149 41 10 -222 -79 -158 63 138

15 331 255 377 212 19 15 238 440 285 62 4

20 -59 -74 -206 102 105 20 -144 -40 -155 40 23


26/27

Los totales de las diagonales I y J calculados arriba son en realidad los totales que

representan las cantidades I[I(AB)*C]=ABC, J[I(AB)*C]=ABC, I[J(AB)*C]=ABC

J[J(AB)*C]=ABC. O los componentes W, X, Y y Z de ABC.

( 149) (212) (102) 165

I I AB *C ABC [ ] 3804.1118 54

W ABC

(41) (19) (105) 165J I AB *C ABC [ ] 221.7718 54

X ABC

(63) (62) (40) 165

I J AB *C ABC [ ] 18.7718 54

Y ABC

(138) (4) (23) 165

J J AB *C ABC [ ] 584.1118 54

Z ABC

Luego 3804.11+221.77+18.77+584.11=4628.76

Que es muy similar a la SC obtenida por R:> summary(aov(modelo33))


boquilla 2 994 497 1.1650 0.3271016

velocidad 2 61190 30595 71.7354 1.571e-11 ***presion 2 69105 34553 81.0145 3.893e-12 ***

boquilla:velocidad 4 6301 1575 3.6934 0.0159498 *

boquilla:presion 4 7514 1878 4.4044 0.0071866 **

velocidad:presion 4 12854 3214 7.5348 0.0003269 ***

boquilla:velocidad:presion 8 4629 579 1.3566 0.2594959


---

Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1 1


27/27

El diseo 3k

Los conceptos utilizados en los diseo 32y 3

3pueden extenderse a k factores, cada uno

con 3 niveles, es decir, a un diseo factorial 3k. Se mantiene la notacin digital. Hay 3k

combinaciones de tratamientos con 3k-1 grados de libertad entre ellas. Estas

combinaciones de tratamientos permiten determinar la suma d cuadrados de k efectos

principales cada uno con 2 grados de libertad,2

k

interacciones de dos factores cada una con 4

grados de libertad,3

k

interacciones de tres factores cada una con 8 grados de libertad, , y una

interaccin de k factores con 2k grados de libertad. Los grados de libertad totales son 3 kn-1 y los

grados de libertad para el error 3k(n-1) siendo n el nmero de rplicas.

Se recomienda no descomponer las interacciones de 3 factores y rdenes superiores. Sin embargo,

cualquier interaccin de h factores con tiene 2h-1 componentes ortogonales con 2 grados de

libertad. Por ejemplo, si interactan 4 factores ABCD hay 24-1=8 componentes ortogonales con 2grados de libertad cada uno, denotados por ABCD, ABCD, ABCD, ABCD, ABCD, ABCD, ABCD,

ABCD y ABCD. El exponente de la primera letra debe ser 1. Si no es 1, la expresin completa

debe elevarse al cuadrado y reducir los exponentes al mdulo 3. Por ejemplo:

ABCD=(ABCD)=A4BCD=A BCD

Estos componentes de la interaccin no tienen ninguna interpretacin fsica, pero son tiles para

construir diseos ms complejos.

El tamao del diseo se incrementa rpidamente con k, por ello con frecuencia, slo se considera

una sola rplica para el diseo 3k y las interacciones de rdenes superiores se combinan para

proporcionar una estimacin del error

5Quinto trabajoDiseño factorial 3^k

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