Cinco Factorial

factorial!

Revista de Matemáticas

C A R M A / C a s a O l í m p i c a

Ol impiada Pot os ina de Matemáticas

factorial! Presentación

El quinto número de esta revista está dedicado a la III Olimpiada de Otoño. El primer

número –hace ya dos años- lo dedicamos a la I Olimpiada de Otoño. No hemos podido

publicar con la frecuencia que quisiéramos pero esperamos poder recuperar el tiempo

perdido con más números muy pronto.

Este año, la Olimpiada de Otoño dio el primer paso para convertirse en un concurso

nacional, abriendo sedes en Guanajuato, Querétaro, Nuevo León, Baja California Sur y

Oaxaca. Si bien el formato del examen ha sido distinto en cada una de las tres ediciones,

siempre hemos coqueteado con un formato similar al de la IMC, que es mucho más fiel en

esta tercera edición y esperamos que se mantenga así en lo sucesivo.

Esperamos disfruten este número.

5! En este número

Estadísticas y resultados de la III Olimpiada de Otoño 2013

Pruebas de la III Olimpiada de Otoño 2013

o Koala

o Walabi

o Canguro

Soluciones a los problemas de la III Olimpiada de Otoño 2013

o Koala

o Walabi

o Canguro

Comité Editorial f!5

Eugenio Flores

José Manuel Jiménez

Nuestra revista está disponible de manera íntegra y gratuita en

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Estadísticas y ganadores III Olimpiada de Otoño 2013

Este año, se abrieron más del doble de sedes que las dos ediciones anteriores, pues

llegamos a cinco estados además de San Luis Potosí y estamos muy contentos por ello. Las

sedes y respectivas escuelas anfitrionas para esta edición fueron:

San Luis

1. San Luis I: Facultad de Ciencias, UASLP

2. San Luis II: ITESM campus San Luis

Cedral: Cobach 03

Rioverde: Cobach 05

Ciudad Valles: IEST campus Valles

Aquismón: ESG Jesús Romero Flores

Matlapa: Cobach 21

Tamazunchale: ESG Justo Sierra Méndez

Monterrey: Facultad de Ciencias Físico-Matemáticas, UANL

La Paz: Primaria Ignacio Manuel Altamirano

León: ITESM campus León

Irapuato

1. Irapuato I: CBTis 65

2. Irapuato II: ITESM campus Irapuato

Celaya: Secundaria Técnica 27

Querétaro: COBAQ 13

Loma Bonita: Universidad del Papaloapan

Oaxaca:

1. Oaxaca I: Escuela de Ciencias, UABJO

2. Oaxaca II: Instituto San Pablo

En total fueron 18 escuelas anfitrionas para 15 sedes en seis estados del país. Estamos

muy agradecidos con el entusiasmo de organizadores y participantes en cada una de las

sedes: nuestro sincero reconocimiento y más profundo agradecimiento a toda la gente

que hace la Olimpiada de Otoño posible.

El entusiasmo con el que se abrieron nuevas sedes nos permitió llegar a muchísima más

gente que otras ediciones, pues la participación total global fue de 942 alumnos. La

categoría más popular sigue siendo Canguro, seguida de Walabi y Koala.

San Luis Potosí fue la sede más concurrida seguida de Oaxaca, Tamazunchale y Cedral.

Nuestra intención al premiar a los mejores de cada sede sin importar su desempeño global

en la competencia, busca motivar a los alumnos a la sede a buscar preparación: la

organización a través de sedes y sostener las menos escuelas anfitrionas en cada una

busca que sean el centro regional donde pueda concentrarse la actividad olímpica.

En la siguiente tabla hacemos un conteo de la asistencia por categoría a cada una de las

sedes:

Canguro Koala Walabi Total

Aquismón 16

13 29

Cedral 18 32 8 58

Celaya 2 1 4 7

Ciudad Valles 27 2 10 39

Irapuato 51

1 52

La Paz 1 1 1 3

León 17

2 19

Loma Bonita 18 20 28 66

Matlapa 19

19

Monterrey 16 12 17 45

Oaxaca 51 15 29 95

Querétaro 27 1 15 43

Rioverde 20

2 22

San Luis Potosí 129 98 156 383

Tamazunchale 32 1 29 62

Total general 444 183 315 942

Ganadores En cada una de las tres categorías existen premios a los ganadores globales y a los

ganadores por sede. Así pues, enlistamos por categoría a los 10 alumnos con puntajes más

altos de manera global y a los 5 alumnos con puntajes más altos por sede. Las listas

completas de participantes por sede y categoría con puntajes pueden encontrarse en la

página de Carma (undostresporcarma.com). Nos disculpamos por adelantado por

cualquier posible error en la transcripción de nombres: heredamos los errores del registro

en línea y la dificultad de interpretar todas las caligrafías.

Por categoría se entregan premios en efectivo a los tres mejores puntajes de entre todos

los participantes. Además, en cada sede, los mejores de cada categoría reciben un

paquete de libros. Entraremos en contacto con cada uno de ellos personalmente para

hacerles llegar su premio; es posible que los paquetes de libros sean enviados

directamente a las escuelas anfitrionas que será debidamente notificado.

Considerando los puntajes de todos los participantes de cada sede, se entrega el Trofeo

de las Ciudades a la sede con el promedio más alto.

Los mejores diez alumnos del estado de San Luis Potosí en categorías Walabi y Koala

reciben una invitación para incorporarse al proceso selectivo para la Olimpiada Nacional

de Matemáticas para Alumnos de Primaria y Secundaria 2014.

Koala La categoría Koala está dirigida a los más jóvenes que pueden participar en competencias

nacionales, es decir, alumnos de quinto y sexto de primaria; si bien es posible que

participen más jóvenes, es posible que encuentren el examen muy complicado. Siguiendo

la lista de sedes, enlistamos a los cinco mejores alumnos en cada una. La lista considera

los empates. Cada uno de ellos recibe un reconocimiento. Además, los tres puntajes más

altos reciben un paquete de libros.

San Luis

1. Carlos Gaeta López

2. Adriana Isabel Mejía Oros

3. Juan Francisco Gutiérrez y López

4. Gabriel Sandoval Gutiérrez

4. Lourdes Monserrat Rodríguez García

4. Sofía Martínez Cloutier

4. Saulo Alfredo Alvarado Jalomo

Cedral

1. Eduardo Jaziel Martínez Juárez

2. Ángel Jesús Sánchez Pérez

3. Alfredo Hernández Estrada

4. Jazmín Alexandra Hernández Camarillo

5. Eduardo Muñoz Velázquez

5. Aneth Michelle Cruz Méndez

5. Sharis Yvana Alemán Torres

5. Dulce Isabel Hinojosa Orta

5. Emiliano Rivera

Ciudad Valles

1. Rocío Carolina Félix Medina

2. Santiago Chávez Lobato

Tamazunchale

1. Rocío Hernández Gaspar

Monterrey

1. Sergio Andrés Elizondo Rodríguez

2. Erick Iván Hernández Palacios

3. Danya Carolina Gómez Cantú

4. Óscar Andrés Guzmán Martínez

5. Luis Leonardo Salinas

La Paz

1. Luz del Mar Morales López

Celaya

1. Eugenio Velázquez Díaz

Querétaro

1. Yarette Jaciel Martínez Hernández

Loma Bonita

1. Emma Lisseth Palaceta Osorio

2. América Lizeth Rivera Morales

3. Hanna Ríos Sánchez

3. José Isaías Santos Alonso

3. Diana Yusset Salazar Rodríguez

Oaxaca

1. Adriana Lissete Pérez Hernández

2. Lilia Noemí Ocampo Tomás

2. Andrés Hernández Medina

4. Cristian Cruz Bazán

4. Julio Antonio García Martínez

El premio mayor en cada categoría se entrega a los mejores participantes en toda la

categoría, sin importar la procedencia o sede. Los diez participantes con los puntajes más

altos en la categoría Koala son:

1. Sergio Andrés Elizondo Rodríguez (Monterrey)

2. Erick Iván Hernández Palacios (Monterrey)

3. Eduardo Jaziel Juárez Martínez (Cedral)

4. Danya Carolina Gómez Cantú (Monterrey)

4. Óscar Andrés Guzmán Martínez (Monterrey)

6. Ángel Jesús Sánchez Pérez (Cedral)

7. Carlos Gaeta López (San Luis)

8. Alfredo Hernández Estrada (Cedral)

9. Luis Leonardo Salinas (Monterrey)

9. Emma Lisseth Palaceta Osorio (Loma Bonita)

9. Sara Olvera Moncada (Monterrey)

9. Catalina María Vargas González (Monterrey)

Muchas felicidades a todos ellos. Sergio, Erick y Eduardo son los ganadores de los premios

en efectivo.

Walabi Siguiendo la lista de sedes, enlistamos a los cinco mejores alumnos en cada una. Cada uno

de ellos recibe un reconocimiento. Además, los tres puntajes más altos reciben un

paquete de libros.

San Luis

1. Diana Espinosa Ruiz

2. Isaac Berrones Blanco

3. Leyre Palos García

3. Iván Pérez Rodríguez

5. Christian Adrián Hernández Torres

Cedral

1. José Ángel Rodríguez Leija

2. Israel Leonardo Hernández Flores

3. Francisco Noé Molina Alvarado

3. Dafmne Fioreli Casas Zapata

3. Stephanie Márquez Pérez

3. Anett Jaqueline Cruz Zavala

Rioverde

1. Joel Álvarez Maldonado

2. Erick Alejandro Álvarez Rodríguez

Ciudad Valles

1. Juan Carlos Vázquez Cortés

2. Paola Chavero Reséndiz

3. Ivanna Alejandra Martir Serapio

3. César Emiliano Vázquez Cortés

3. Nayely Bautista Martínez

Aquismón

1. Fátima Márquez Hinojosa

1. Luis Rodolfo González Martínez

3. Luis Gerardo Hernández Martínez

4. Mario Alejandro Alberto Martínez

4. Yazmín Martínez Miguel

4. Víctor Alan Calderón Hernández

4. Federico Yair Martínez Chávez

Tamazunchale

1. Salvador Moreno Zumaya

1. Bryan Axel Martínez Ibarra

3. Ilse Carolina Rodríguez Vargas

3. Óscar Alexei Ramiro Mier

5. María del Cielo Zamora Mauricio

5. Brenda Susana Hernández Barrera

5. Aldahir Mogica Reyes

5. Diana Laura Castillo Martínez

5. Kevin Gustavo Campos Cabrera

5. Cinthya Esmeralda Hernández Luna

Monterrey

1. Víctor Domínguez Silva

2. Joeun Lee

3. Maximiliano Saenz González

4. Ximena Mercado García

5. Dylan Gabriel González Sánchez

5. Óscar Alejandro Morales Almaguer

La Paz

1. Juan José de Jesús Jiménez Juárez

León

1. Emily Nadine Goñi Gutiérrez

2. Andrea Michell Goño Gutiérrez

Irapuato

1. Diana Berenice García Gómez

Celaya

1. Sebastián Sánchez Lara

2. Gabriel Antonio Gasca Plaza

3. Daniela Calderón Medina

3. María Fernanda Velazquez Díaz

Querétaro

1. Nahomi Araceli Ferruzca Rubio

2. Esaú Alejandro Díaz Rivera

3. Ivette Itzel Martínez Hernández

4. Fernanda Lizbeth Resendiz Resendiz

5. Xavier Trenado Moreno

5. Jesús Benjamín Hernández Ledesma

Loma Bonita

1. Víctor Rendón León

2. Humberto Zamora Hernández

2. Luz Abril Hernández Tinoco

2. Anette Guadalupe Cortéz Ramón

2. Carlos Emmanuel Ramírez Vázquez

Oaxaca

1. Luis David Sánchez Marn

2. Yair Emmanuel Hernández Santiago

2. Eduardo Ahmed Téllez Alemán

4. Mario Alejandro Alderete Martínez

4. Pablo Alfonso Bautista García

4. Jared Padilla Hernández

4. Ximena Alcázar Ángel

4. José María Barcelos Santiago

4. Daniel Isaac Bautista Martínez



altos en la categoría Walabi son:

1. Víctor Domínguez Silva (Monterrey)

2. Jeoun Lee (Monterrey)

3. Diana Espinosa Ruiz (San Luis)

4. José Ángel Rodríguez Leija (Cedral)

5. Sebastián Sánchez Lara (Celaya)

6. Maximiliano Saenz González (Monterrey)

7. Isaac Berrones Blanco (San Luis)

8. Leyre Palos García (San Luis)

8. Ximena Mercado García (Monterrey)

8. Iván Pérez Rodríguez (San Luis)

Muchas felicidades a todos ellos. Víctor, Jeoun y Diana reciben los premios en efectivo.

Canguro Siguiendo la lista de sedes, enlistamos a los cinco mejores alumnos en cada una. Cada uno

de ellos recibe un reconocimiento. Además, los tres puntajes más altos reciben un

paquete de libros. La categoría Canguro es la única que tiene participantes en cada una de

las sedes.

San Luis

1. Siddhartha Emmanuel Morales Guzmán

2. Patricio Noyola

3. María Alejandra Martínez Rascón

4. Íñigo Auza de la Mora

5. Emmanuel Abelardo Roque Jiménez

Cedral

1. Shaira Rocío Hernández Flores

2. Uriel Alejandro Salazar Martínez

3. Giovanni Alejandro Cruz Ortíz

4. Ana María Campos Candia

5. María Eugenia Martínez García

5. Gregorio Serrato Martínez

Rioverde

1. Aarón Ernesto Pérez Moreno

2. Jhovany Daniela Ledezma Silva

3. Nayeli Garza Olvera

3. Antonio Díaz Vázquez

3. Martha Elena Rodríguez Medina

Ciudad Valles

1. Reynaldo Uriel Rangel Rodríguez

2. Luis Enrique Mateo Santiago

3. Jorge Luis Grimaldo Rodríguez

3. Ofir Pugliese Ramírez

5. Yuliana Patricia Rivera Galván

5. Valeria Izela Magón

Aquismón

1. Jesús Espinoza Luciano

2. Glenda Lizbeth Iglesias Castro

2. María de los Ángeles Cesáreo Obispo

2. Asaf Hernández Márquez

2. Marco Leonardo Ocaña Sánchez

2. Mitzi Jetzabel Dias Luna

2. Claudia Santiago de Jesús

2. Jorge Rodrigo Santiago Santiago

2. Miguel Ángel Morales de Santiago

Matlapa

1. Dante Márquez Martínez

2. Alicia Osorio Díaz

2. Esmeralda Hernández Rivera

4. Héctor Manuel Arguelles Pozos

4. Daysi Catalina González Perales

4. Karen Lizzeth Martínez Martínez

4. Dennesse Guadalupe Torres Castillo

4. Almadelia Hernández Martínez

Tamazunchale

1. Juan Luis García Guerrero

2. Hugo René Ramírez Márquez

3. Marisol Manuel González

3. María Beatriz Ramírez Hernández

5. Sara Yulissa Ramírez Medina

5. Monserrat Guadalupe Hernández Hernández

Monterrey

1. Carlos Alejandro Rangel Castillo

2. David García Casas

3. Allison Rubí Martínez López

4. María José Bravo Bravo

5. Brenda Scarleth Gutiérrez Torres

La Paz

1. Ashley Pérez Ortega

León

1. José Antonio Meléndez

2. Armando Casiel Guerrero Monsalve

3. Óscar Osvaldo Cruz Rentería

3. Francisco Carlos Medina Muñoz

3. José Guadalupe Luna Ortiz

3. Juan Antonio de Jesús Martínez Hernández

3. Enrique Arturo Rubio Velázquez

3. Paloma Esther Salinas Centeno

3. César Ohtokani Vilchis Garfias

3. Isaías Josafat Ponce Ortiz

3. Francisco Javier de la Cruz Cruz

Irapuato

1. Antonio Aldaír Zepeda Montiel

2. Jimena Fonseca Hernández

3. Anhelilr Alberto Blanco Escobar

4. Enya Enara Martínez Torres

5. María José Hernández Reséndis

Celaya

1. Mariana Celeste Sánchez Lara

2. Vanessa López Arredondo

Querétaro

1. Mateo Juvera Molina

2. Oswaldo David García Rodríguez

3. Alain Islas Montero

4. Aldo Andreé Toledo Ulloa

5. Alfredo Arturo Elías Miranda

Loma Bonita

1. Alain Dzaul Contreras

2. José Guadalupe Zamora Coronel

2. Arturo Guerra López

4. Viniza Ureña Rodríguez

4. Pedro Luis Hernández Ortíz

Oaxaca

1. Alejo Reyes Reyes

2. Edgar Luis Valencia Carmona

3. Néstor García Cervantes

4. Divina Libertad Hernández López

5. Miguel Ángel Ramírez Camacho



altos en la categoría Canguro son:

1. Siddhartha Emmanuel Morales Guzmán (San Luis)

2. Juan Luis García Guerrero (San Luis)

3. Patricio Noyola (San Luis)

4. Mateo Juvera Molina (Querétaro)

5. Oswaldo David García Rodríguez (Querétaro)

6. Ashley Pérez Ortega (La Paz)

6. Alain Islas Moreno (Querétaro)

8. Aldo Andreé Toledo Ulloa (Querétaro)

9. Shaira Rocío Hernández Flores (Cedral)

9. Carlos Alejandro Rangel Castillo (Monterrey)

9. María Alejandra Martínez Rascón (San Luis)

9. Alejo Reyes Reyes (Oaxaca)

Felicidades a todos ellos. Siddhartha, Juan Luis y Patricio reciben los premios en efectivo.

Puesto que los tres son integrantes de la Delegación que representará a San Luis Potosí en

la XXVII Olimpiada Mexicana de Matemáticas San Miguel Regla 2013, una vez más la

apuesta del delegado local queda sin cobrarse.

Trofeo de las Ciudades El Trofeo de las Ciudades se entrega a la sede que tiene el puntaje promedio más alto

considerando todos los alumnos que presentaron examen en ella. Para esta edición, las

cinco sedes con el puntaje más alto son:

1. Monterrey (33.1)

2. La Paz (31.6)

3. Querétaro (20.6)

4. Cedral (14.3)

5. Celaya (13.1)

Así pues, la escuela anfitriona de Monterrey –la Facultad de Ciencias Físico-Matemáticas de la

UANL- recibe el Trofeo de las Ciudades.

Exámenes III Olimpiada de Otoño 2013

III Olimpiada de Otoño 2013 Categoría Koala

Instrucciones: Tienes 2 horas para resolver el examen. Escribe tus respuestas y todos tus datos en

la hoja de respuestas. Para los primeros 12 problemas, escribe únicamente la respuesta. Cada uno

vale 5 puntos.

Problema 1. Totoro tiene 13 años más que Luis y Uge es 5 años mayor que Luis. Si Totoro tiene el

doble de la edad de Uge, ¿cuántos años tiene Luis?

Problema 2. El número telefónico de Carmen tiene 10 dígitos, empieza con 444 y los últimos

dígitos son 6532. Además, recuerda que la suma de todos los dígitos es 43 y que los dígitos

faltantes son todos distintos entre sí y distintos de los dígitos de los que sí recuerda. ¿Cuántos

números telefónicos hay con estas características?

Problema 3. En el salón de Chus hay menos de 100 personas. Todos tienen la misma edad excepto

Saraí, que es un año mayor que los demás. Si la suma de todas las edades es 122, ¿cuántas

personas hay en el salón de Chus?

Problema 4. Totoro tenía 72 manzanas y algunas naranjas que repartió en bolsas. En cada bolsa

puso la misma cantidad de manzanas y la misma cantidad de naranjas y no le sobró ninguna.

Totoro se dio cuenta de que en cada bolsa había menos manzanas que naranjas y que tenía menos

de 10 bolsas. Si en cada bolsa puso 9 naranjas, ¿cuántas frutas tenía en total?

Problema 5. Totoro compra su desayuno todos los días en la misma tienda. El lunes compró un

burrito y dos sándwiches y pagó 43 pesos. El martes, como no había cenado el lunes, tenía más

hambre y compro dos burritos y tres sándwiches por lo que pagó 73 pesos. Si el miércoles compró

dos sándwiches y un burrito, ¿cuánto pagó?

Problema 6. Totoro compra plátanos cada 2 días, manzanas cada 3 días, naranjas cada 13 días y

kiwis cada 12 días. ¿Cuál es la mayor cantidad de días al año en que compra todas las frutas en un

mismo día?

Problema 7. Totoro tiene 50 cajas de sandías, cada una con la misma cantidad de sandías. Cada

sandía pesa 5 kg y el peso total de las cajas con sandías es de 800 kg. Suponiendo que todas las

sandías pesan lo mismo y que las cajas vacías pesan todas lo mismo pero menos que una sandía

¿cuánto pesa una caja vacía?

Problema 8. Una ficha S de Tetris está formada por 4 cuadritos iguales y tiene 324 de área.

¿Cuánto vale su perímetro?

Problema 9. Totoro reparte sus canicas en montones de 2, 3 ó 5 y no sobra ninguna, pero cuando

las reparte en montones de 7 le sobra 1. Si Totoro tiene menos de 200 canicas, ¿cuántas tiene?

Problema 10. A Carmen se le perdió su cadenita. La cadenita estaba formada por bolitas de oro.

Encontró la mitad de las bolitas en el piso del baño, la cuarta parte en la bolsa de su pantalón, la

sexta parte se le perdió. Si sabe que su perro se comió 9 bolitas, ¿cuántas bolitas tenía el collar?

Problema 11. Totoro rompió su cochinito de ahorro en el que guardaba monedas de 2, 5 y 10

pesos. Al contar su dinero vio que tenía 371 pesos. Y que en monedas de 2 pesos tenía más de 20

pesos pero menos de treinta. ¿Cuántas monedas de 2 pesos eran?

Problema12. Totoro escogió dos dígitos distintos de 0 para formar el siguiente número de 8

dígitos . Es decir, si hubiera escogido los dígitos habría formado el número

. Una vez formado su número, Totoro se da cuenta de que es un múltiplo de 72. ¿Qué

dígitos son los que escogió Totoro?

Instrucciones: Para los siguientes 3 problemas es necesario que justifiques tu respuesta.

Problema 13. Chus compró algunos dulces que quiso repartir entre Uge, Totoro, Chema, Jacsan y

él. Les dijo que a cada uno le tocaría la misma cantidad y como sobraría un dulce, él se lo quedaría

porque los dulces eran suyos. Cuando estaban repartiéndolos llegaron Aldonza y Edwin, que

también querían dulces. Chus se dio cuenta que si repartía los dulces entre él y sus 6 amigos, le

sobrarían 4 dulces que se quedaría él. Como Chus tendría la misma cantidad de dulces en

cualquiera de las dos formas en que decidiera repartir, aceptó repartir los dulces entre él y sus seis

amigos. ¿Cuántos dulces compró Chus?

Problema 14. El área de un círculo es el doble de su perímetro. ¿Cuánto mide el radio del círculo?

Problema 15. En la figura se muestra un triángulo con ángulo recto en . La línea divide

al ángulo en dos ángulos iguales, formando el triángulo isósceles con . ¿Cuál es

la medida del ángulo ?

III Olimpiada de Otoño 2013 Categoría Walabi



vale 5 puntos.

Problema 1. Totoro rompió su cochinito de ahorro en el que guardaba monedas de 2, 5 y 10

pesos. Al contar su dinero vio que tenía 371 pesos. Y que en monedas de 2 pesos tenía más de 20

pesos pero menos de treinta. ¿Cuántas monedas de 2 pesos eran?

Problema 2. A Carmen se le perdió su cadenita. La cadenita estaba formada por bolitas de oro.

Encontró la mitad de las bolitas en el piso del baño, la cuarta parte en la bolsa de su pantalón, la

sexta parte se le perdió. Si sabe que su perro se comió 9 bolitas, ¿cuántas bolitas tenía el collar?

Problema 3. Chus compró algunos dulces que quiso repartir entre Uge, Totoro, Chema, Jacsan y él.

Les dijo que a cada uno le tocaría la misma cantidad y como sobraría un dulce, él se lo quedaría

porque los dulces eran suyos. Cuando estaban repartiéndolos llegaron Aldonza y Edwin, que

también querían dulces. Chus se dio cuenta que si repartía los dulces entre él y sus 6 amigos, le

sobrarían 4 dulces que se quedaría él. Como Chus tendría la misma cantidad de dulces en

cualquiera de las dos formas en que decidiera repartir, aceptó repartir los dulces entre él y sus seis

amigos. ¿Cuántos dulces compró Chus?

Problema 4. Totoro escogió dos dígitos distintos de 0 para formar el siguiente número de 8

dígitos . Es decir, si hubiera escogido los dígitos habría formado el número

. Una vez formado su número, Totoro se da cuenta de que es un múltiplo de 72. ¿Qué

dígitos son los que escogió Totoro?

Problema 5. Calcula el valor de la siguiente suma:

Problema 6. Petunia no le quería dar su número telefónico a Totoro así que le dio sólo algunos

dígitos:

y le dijo que era divisible entre 99. ¿Cuántos números distintos tendría que marcar Totoro?

Problema 7. En la escuela de Totoro los alumnos escogen sus horarios basados en la siguiente

información:

Hay clases cada hora. La primera empieza a las 7 de la mañana y la última inicia a las 3 de

la tarde.

Cada hora se ofrecen exactamente dos clases distintas y cada alumno puede escoger sólo

una de ellas en ese horario o ninguna.

Ninguna clase se ofrece en dos horarios distintos.

Cada alumno debe llevar únicamente 5 materias.

Totoro quiere que todas sus clases sean consecutivas pero no quiere que su primera clase sea a las

7 porque no se levanta temprano y tampoco quiere que su última clase sea a las 3 porque siempre

come a las 3:30. ¿De cuántas maneras distintas puede acomodar Totoro su horario?

Problema 8. Una ficha S de Tetris está formada por 4 cuadritos iguales y tiene 324 de área.

¿Cuánto vale su perímetro?

Problema 9. El área de un círculo es el doble de su perímetro. ¿Cuánto mide el radio del círculo?

Problema 10. El granjero Totoro tiene muchas naranjas. Si las divide en montones de 2 en 2, le

sobra 1; si las divide en montones de 3 en 3, le sobra 1; y si la divide en montones de 5 en 5, le

sobran 3. Si Totoro sabe que tiene menos de 600 naranjas, ¿cuántos valores cumplen lo anterior?

Problema 11. En la figura se muestra un triángulo con ángulo recto en . La línea divide

al ángulo en dos ángulos iguales, formando el triángulo isósceles con . ¿Cuál es

la medida del ángulo ?

Problema 12. Al chef Totoro le toma 6 minutos freír cada lado de un pescado en la sartén. Sólo

tiene una sartén y nunca puede poner más de 4 filetes a la vez. ¿Cuál es el menor tiempo que le

tomaría freír 9 filetes? (Supón que no pierde tiempo en darles la vuelta o quitarlos y ponerlos.)


Problema 13. En la habitación de Totoro hay once focos pero los interruptores funcionan de

manera chistosa: sólo se puede prender dos focos al mismo tiempo, apagar dos focos al mismo

tiempo o prender un foco y apagar otro. Si al principio están todos prendidos, ¿cuál es la menor

cantidad de movimientos que se necesitan hacer para dejar todos los focos apagados?

Problema 14. En la siguiente figura se tiene un rectángulo y los puntos están sobre

los lados de modo que . Si el lado del

rectángulo mide y el área del triángulo es de , ¿cuál es el área, en , del

triángulo ?

Problema 15. ¿Es posible escoger signos para que la suma

sea igual a ?

III Olimpiada de Otoño 2013 Categoría Canguro



vale 5 puntos.

Problema 1. Calcula el valor de la siguiente suma:

Problema 2. Al chef Totoro le toma 6 minutos freír cada lado de un pescado en la sartén. Sólo

tiene una sartén y nunca puede poner más de 4 filetes a la vez. ¿Cuál es el menor tiempo que le

tomaría freír 9 filetes? (Supón que no pierde tiempo en darles la vuelta o quitarlos y ponerlos.)

Problema 3. En la habitación de Totoro hay once focos pero los interruptores funcionan de

manera chistosa: sólo se puede prender dos focos al mismo tiempo, apagar dos focos al mismo

tiempo o prender un foco y apagar otro. Si al principio están todos prendidos, ¿cuál es la menor

cantidad de movimientos que se necesitan hacer para dejar todos los focos apagados?

Problema 4. Carmen tiene una alberca cuadrada que tiene 18 metros cuadrados de área. En cada

vértice de la alberca mandó poner un árbol grandote que le gusta mucho. El arquitecto Totoro le

presentó un proyecto para hacer su alberca más grande sin tirar los árboles. En los planos, los

árboles son ahora los puntos medios de la alberca grande. ¿Cuánto aumentó el área de la alberca?

Problema 5. Saraí ve todos los días tres programas de televisión. Cada uno dura una hora y los

pasan a distintas horas. Nunca se los pierde. Los programas son:

Cocinando con Totoro: 6pm, 8pm, 10pm.

Orgullo y Totoro: 6pm, 7pm, 10pm.

Los diarios de Totoro: 7pm, 9pm, 10pm.

¿De cuántas maneras distintas puede ver sus programas?

Problema 6. A Dulce le gusta llevar a su perro Mosho a todas partes. Sin embargo, cuando va a

casa de sus abuelos tiene que amarrarlo porque si no se come las flores del jardín. La casa de sus

abuelos es un rectángulo de metros y Dulce amarra a Mosho en una esquina de la casa,

con una cuerda que mide metros. ¿De qué tamaño es el área que Mosho puede destruir

todavía?

Problema 7. El triángulo equilátero mide 2 de lado, es el punto medio del lado y es el

punto medio del segmento . ¿Cuál es el área del triángulo ?

Problema 8. El granjero Totoro y el granjero Trino están de acuerdo que cada cerdito vale $300 y

cada cabra vale $210. Cuando un granjero le debe dinero al otro, le paga la deuda en cerditos y

cabras y puede entregar “cambio” en forma de cerditos o cabras si es necesario. (Por ejemplo, una

deuda de $390 podría pagarse con dos cerditos, recibiendo una cabra de cambio.) ¿Cuál es la

menor cantidad positive de deuda que puede resolverse de esta manera?

Problema 9. Totoro metió un cuadradito de lado 1 en medio de otros dos cuadraditos de lado 1.

Tomó su cuadrado, lo retiró y giró 45°, como se muestra en la figura. Lo centró e intentó ponerlo

en su lugar original hasta que tocara los otros dos cuadraditos. ¿Cuál es la distancia del punto a

la línea sobre la cual estaban acomodados los cuadraditos originalmente?

Problema 10. Chema y Chus tienen cada uno una mochila que tiene una pelota azul, una verde,

una naranja, una roja y una violeta. Chema escoge al azar una pelota de su mochila y la pone en la

mochila de Chus. Luego, Chus toma una pelota al azar de su mochila y la pone en la mochila de

Chema. ¿Cuál es la probabilidad de que, después de estos cambios, los contenidos de ambas

mochilas sean los mismos?

Problema 11. Sea la secuencia para la cual

¿Cuánto vale ?

Problema 12. La calle donde vive Totoro tiene menos de 15 casas, numeradas 1, 2, 3, etcétera. El

producto de los números de las casas antes de la de Totoro es igual al producto de los números de

las casas después de la de Totoro. ¿Cuántas casas hay en la calle?


Problema 13. Totoro tiene una mesa redonda de radio 4. Invitó a cinco de sus amigos a cenar y,

para recibirlos, puso manteles rectangulares sobre la mesa, cada uno tiene ancho 1 y largo ,

como se muestra en la figura. Los colocó de manera que cada mantel toca el borde de la mesa con

dos esquinas y con las otras dos esquinas toca la esquina del mantel adyacente, como se muestra

en la figura. ¿Cuál es el largo de los manteles?

Problema 14. Encuentra todos los valores de enteros positivos y tales que

sea una potencia de 2.

Problema 15. Llamemos a la propiedad de que en un conjunto , el número 3 no divide a

para todo . Sea el conjunto .

Obtengamos todas las posibles permutaciones posibles de . Dada una permutación elegida al

azar, ¿Cual es la probabilidad de que cumpla

Soluciones III Olimpiada de Otoño 2013

Koala

Problema 1. Como Totoro es 13 años mayor que Luis y Uge es 5 años mayor que Luis,

entonces Totoro es 8 años más grande que Uge. Además, la edad de Totoro es el doble de

la de Uge. Es decir, Totoro es 8 años mayor que Uge y eso es lo mismo que tener el doble

de la edad por lo que la edad de Uge es un número al que si le sumas 8 te da el doble de

ese número. El único número que cumple eso es el 8. Por lo que la edad de Uge es 8.

Luego, como Uge es 5 años más grande que Luis, se tiene que la edad de Luis es de 3 años

(5 años menor que Uge).

Problema 2. Los números que conocemos del teléfono de Carmen suman 28 por lo que los

tres dígitos que no conocemos deben sumar 15, ya que entre los diez dígitos deben sumar

43. Pero todos los dígitos faltantes son distintos entre sí y distintos de 2, 3, 4, 5 y 6 que

son los dígitos que sí recuerda. Así la única posibilidad es una donde se usen tres dígitos

distintos entre 0, 1, 7, 8 y 9 para sumar 15. La única posibilidad es 0+7+8. Así tenemos que

el número de Carmen es de la forma ___ ___ ___ donde en los espacios hay

que acomodar los dígitos 0, 7 y 8 en algún orden. Hay 6 maneras distintas de acomodar los

dígitos restantes en los espacios y cada una nos da un número telefónico distinto que

cumple todas las características deseadas. Por lo tanto, la respuesta es 6.

Problema 3. Si Saraí tuviera la misma edad que todos, la suma de las edades sería de 121

(sólo restamos el año que es mayor Saraí). Así se tendría un salón donde todos tienen la

misma edad y la suma de las edades es de 121. De este modo, la cantidad de alumnos

debe ser un divisor de 121 para que al multiplicarlo por la edad nos de la suma total de las

edades. Los divisores de 121 son 1,11 y 121. Como en el salón de Chus hay menos de 100

personas y al menos hay dos (Chus y Saraí) la única posibilidad es que haya 11 personas.

Problema 4. Como puede repartir las manzanas en las bolsas sin que le sobre, la cantidad

de bolsas debe ser un divisor de . Además son menos de 10 bolsas por lo que debe ser

un divisor de 72 menor que . Los divisores de 72 más chicos que 10 son 1, 2, 3, 4, 6, 8 y

9. Además sabemos que en cada bolsa hay 9 naranjas y que debe haber menos manzanas

que naranjas por bolsa, la única posibilidad es que haya 8 manzanas por bolsa por lo que

la cantidad de bolsas es 9. A continuación se hace una tabla con las posibles cantidades de

bolsas y el número de manzanas que habría por bolsa:

Número de bolsas

Número de manzanas por bolsa

¿Es menor que 9?

1 72 No.

2 36 No.

3 24 No.

4 18 No.

6 12 No.

8 9 No.

9 8 Sí.

La única manera en que haya menos manzanas que naranjas es cuando se hacen 9 bolsas,

cada una con 8 manzanas y 9 naranjas. De este modo, en cada bolsa hay 17 frutas por lo

que en total se tienen frutas.

Problema 5. El lunes y el miércoles compró lo mismo. Si los precios no han cambiado,

entonces debió pagar lo mismo, 43 pesos.

Problema 6. El mínimo común múltiplo de 2, 3, 13 y 12 es 156. Esto quiere decir que si

Totoro comprara todas las frutas hoy, deberán pasar 156 días para que vuelva a comprar

todas las frutas el mismo día. En el año hay 365 días entonces si va el primer día del año,

también iría el día 157 y luego el día 313 y ya no puede otro día más.

Problema 7. Como entre las 50 cajas con sandías pesan 800 kg, una caja con sandías debe

pesar

kg. Cada caja tiene alguna sandías, no puede tener 4 o más porque pesaría

más de 20 kg, así que sólo puede tener 1, 2 ó 3 sandías. Si tuviera una sandía, la caja

pesaría 11 kg; si tuviera dos sandías, la caja pesaría 6 kg y si tuviera tres sandías, la caja

pesaría 1 kg. Como la caja debe pesar menos que una sandía, la única posibilidad es que

tenga tres sandías cada caja y que la caja pese 1 kg.

Problema 8. En total son 4 cuadritos. Luego, el área de cualquiera de los cuadritos es

. Eso quiere decir que el lado de cualquiera de los cuadritos mide . En el

perímetro hay 10 laditos de cuadrado, por lo que el perímetro mide .

Problema 9. Como la cantidad de canicas se puede repartir en montones de 2,3 y 5

entonces es múltiplo de 30. Además, al repartirse en montones de 7 debe sobrar una

canica por lo que buscamos entre los múltiplos de 30 los que dejen de residuo 1 al

dividirlos entre 7. Además deben ser menos de 200 canicas. Los múltiplos de 30 más

chicos que3 200 son 30,60,90,120,150 y 180 que dejan residuos 2,4,6,1,3 y 5 al dividirse

entre 7. Así, la respuesta es 120 canicas.

Problema 10. Carmen recuperó algunas fracciones de su cadenita; si hacemos la suma,

sabemos que recuperó

Las 9 bolitas que ella sabe que perdió deben corresponder al

que le falta. Entonces, en

total, la cadenita debió haber tenido bolitas.

Problema 11. Notemos que la cantidad de dinero que tiene Totoro en monedas de 10 es

un número que termina en cero, pues es múltiplo de 10. Además, el dinero que tienen en

monedas de 5 es un número que termina en 0 ó 5, pues es múltiplo de 5. Pero si ese

número termina en cero, entonces no podría tener 371 pesos porque entre las monedas

de 5 y de 10 tendría una cantidad que termina en cero y con monedas de 2 sólo puede

formar cantidades que terminen en 0, 2, 4, 6 y 8 y entonces las cantidad de dinero total

terminaría en 0, 2, 4, 6 u 8 y no en 1 como sabemos. Así, la cantidad de dinero que tiene

en monedas de 5 es un número que termina en 5. Ahora bien, en monedas de 2 debe

tener una cantidad que termine en 6 para que al sumarla con las monedas de 5 nos dé un

número que termine en 1. Además, debe ser un número entre 20 y 30 por lo que la única

posibilidad es que tenga 26 pesos en monedas de 2. Esto es, tiene 13 monedas de 2 pesos.

Problema 12. Como el número que forma Totoro es múltiplo de 72 entonces es múltiplo

de 8. Para que eso pase, el número debe ser múltiplo de 8. Así que debe ser par. Las

posibilidades para son 2, 4, 6 y 8 (el 0 no porque dice que los dígitos que elige son

distintos de 0). El único número de tres cifras iguales que es divisible entre 8 es el , por

lo que debe ser 8. Ahora sabemos que el número de Totoro es y que es

múltiplo de 72. Como es múltiplo de 72 entonces es múltiplo de 9. Entones, la suma de las

cifras del número de Totoro debe ser un múltiplo de 9. Esto es

debe ser un múltiplo de 9. A continuación enlistamos el valor de la suma

para cada valor posible de :

Valor de Suma de los dígitos ¿Es múltiplo de 9?

1 36 Sí.

2 40 No.

3 44 No.

4 48 No.

5 52 No.

6 56 No.

7 60 No.

8 64 No.

9 68 No.

El único que hace esto posible es el 1 por lo que el número de Totoro es .

Problema 13. Como al repartir los dulces entre 7 personas (Chus y sus seis amigos)

sobrarían 4 dulces, la cantidad de dulces que Chus compró debe ser un número que deja

residuo 4 al dividirse entre 7. Además, al repartirse entre 5 sobraba un dulce por lo que

debe ser un número que al dividirse entre 5 deje residuo 1. Esto último quiere decir que

es una cantidad que termina en 1 ó 6.

A continuación enlistamos los primeros números que terminan en 1 ó 6 y sus residuos al

dividirse entre 7.

Número Residuo al dividir entre 7

1 1

6 6

11 4

16 2

21 0

26 5

31 3

De ahí, el único que nos sirve es el 11 porque es el único que deja residuo 4 al dividir entre

7. Pero si Chus tuviera 11 dulces, le tocarían 3 cuando los reparte entre 5 y le tocarían 5 si

los reparte entre 7. Como queremos que en los dos casos a él le toque la misma cantidad,

no puede tener 11 dulces. Entonces necesitamos otro número que deje residuo 1 al

dividirse por 5 y residuo 4 al dividirse por 7. El número más chico que cumple eso es el 11,

además, si le sumamos un múltiplo de 5, el número resultante seguirá dejando residuo 1

al dividir por 5 y, si le sumamos un múltiplo de 7, el número resultante dejará residuo 4 al

dividir entre 7. Esto quiere decir que si le sumamos un múltiplo de 5 y de 7, el número

resultante dejará residuo 1 al dividir por 5 y residuo 4 al dividir por 7. El menor número

que es múltiplo de 5 y de 7 es el 35, así que el siguiente número que deja residuos 1 y 4 al

dividir entre 5 y 7, respectivamente, es el . Si Chus tuviera 46 dulces, al

repartirlos entre cinco personas le tocaría 10 dulces y al repartirlos entre 7 personas le

tocarían 10 dulces también. Así que Chus pudo haber comprado 46 dulces.

Problema 14. Sabemos que la fórmula del área de un círculo es de mientras

que la fórmula del perímetro es de . Además, sabemos que en este caso se

tiene que el área es el doble que el perímetro. Esto es o lo que es igual

. Dividiendo entre nos queda que o

equivalentemente . De este modo, la única posibilidad es que , es

decir, el radio del círculo vale 4.

Problema 15. Sabemos que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es . Así

que en el triángulo se debe tener que . Además

sabemos que el ángulo por lo que se debe tener que .

Por otro lado, como el triángulo es isósceles con , se debe tener que

. Además, como parte al ángulo en dos ángulos iguales, se

tiene que . De modo que se tienen tres ángulos iguales

. Además, la suma de esos tres ángulos es la misma que la suma de

que es . Así que buscamos un ángulo tal que su triple sea (pues es la suma de tres

ángulos iguales). El único valor posible es por lo que se tiene que

. Así, en el triángulo se tiene que la suma de sus ángulos interiores es

, por lo que se tiene que . Como sabemos que

y , se debe tener que pues es lo que falta para

.

Walabi

Problema 1. Ver Koala 11.




Problema 5. Veamos que . También, . En total tengo 50 parejas

así y son 51 términos considerando el 1. Cada término aumenta en 4 y se puede escribir

como

Entonces, la suma vale

Problema 6. Como el número de Petunia es divisible entre 99, debe ser divisible entre 9 y

entre 11. Para usar el criterio de 9, calculemos la suma de los dígitos:

Para que eso sea un múltiplo de 9, sólo es posible que

que nos deja bastantes opciones

A 0 1 2 3 9 8 7 6 5 4

B 3 2 1 0 4 5 6 7 8 9

Ahora, usando el criterio de divisibilidad entre 9, tenemos que

Como 11 tiene que dividir a y , la única opción es que

y esas opciones ya las calculamos.

En total, Totoro debería probar 6 números distintos.

Problema 7. Como Totoro quiere tener sus 5 clases seguidas y que la primera no sea a las

7 y la última no sea a las 3 puede tomar clases en los siguientes horarios (la primera hora

es el inicio de su primer clase y la segunda es el final de su última clase): 8:00-13:00, 9:00-

14:00 y 10:00-15:00.

Además, en cada horario puede elegir sus materias de maneras

distintas, pues en cada hora puede elegir una de dos materias y tiene 5 horas de clases.

Así, para cada uno de sus tres horarios posibles tiene 32 formas distintas de acomodar sus

materias por lo que en total tiene 96 opciones diferentes.



Problema 10. Hagamos tres listas con los números que cumplen cada una de las

condiciones:

Sobra 1 al dividir de 2 en 2: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33,

35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49, 51, 53, 55, 57, 59…

Sobra 1 al dividir de 3 en 3: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46,

49, 52, 55, 58…

Sobran 3 al dividir de 5 en 5: 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48, 53, 58…

Los primeros dos números que aparecen en las tres listas son 13 y 43. Entre el primero y el

segundo hay 30 números así que podemos conjeturar que habrá una solución cada 30

números. Como 30 cabe 20 veces en 600, debe haber 20 números que cumplan.


Problema 12. Podemos pensar que tiene que freír 18 filetes y sólo puede poner 4 cada

vez. Puede hacer esto en 5 rondas, es decir, en 30 minutos.

En la primera ronda pone a freír los filetes . En la segunda ronda, pone a freír los

filetes . Ya están completamente fritos los filetes y a los filetes les

fala sólo un lado. En la cuarta y quina ronda pone a freír los filetes por los dos

lados.

Problema 13. No es posible realizar lo que se pide con ninguna cantidad de movimientos.

Los movimientos sólo pueden: dejar igual la cantidad de focos prendidos, restar 2 a la

cantidad de focos prendidos o sumar 2 a la cantidad de focos prendidos. Como

inicialmente hay un número impar de focos prendidos, en todo momento debe haber una

cantidad impar de focos prendidos y el 0 no es un número impar.

Problema 14. Como es un rectángulo, se tiene que Pero

y por lo que se tiene que de donde . Ahora bien, el

triángulo tiene área . Si tomamos como base, tenemos que su altura mide

pues es lo mismo que . Así, para que el área de 20, la base debe medir . De modo que

y, como , se tiene que Así, también y de ahí que

pues . Ahora podemos calcular el área del triángulo

pues es igual al área del rectángulo menos el área de los triángulos y

. El área del rectángulo es y el área de los triángulos la podemos calcular

porque conocemos la base y la altura de cada uno. Las áreas de los triángulos

y son respectivamente. Así que el área del triángulo

vale .

Problema 15. Sí es posible.

Veamos primero que . Luego, podemos calcular

Si cambiamos de signo el elemento , la suma total disminuye en . Luego,

como

una manera de atacar el problema es encontrar un tal que

Aproximando por prueba y error, sabiendo que ,

vemos que para , tenemos

que se pasa de lo que queremos por por lo que podríamos simplemente quitar ese

número. Luego, si elegimos los signos

Canguro

Problema 1. Ver Walabi 5.



Problema 4. El lado de la alberca más grande mide donde

pues a cada

lado de la alberca se construyó un triángulo rectángulo que mide de hipotenusa. Así,

cada cateto mide

. El área de la nueva alberca es de 36 metros cuadrados, es

decir, se duplicó.

Problema 5. Podemos contar las maneras en que esto es posible haciendo un diagrama de

árbol:

Si ve Cocinando con Totoro a las 6pm

o Orgullo y Totoro a las 7pm

Los diarios de Totoro a las 9pm






















En total, hay 14 maneras de ver sus tres programas cada día.

Problema 6. Es posible interpretar este problema de dos maneras distintas; como ambas

maneras plantean un problema interesante, proponemos aquí las dos soluciones.

1) Si suponemos que Mosho está amarrado afuera de la casa. Haciendo el dibujo,

vemos que Mosho puede cubrir tres terceras partes de un círculo de radio 10.

Además, puede cubrir una cuarta parte de un círculo de radio 5 del lado de la casa

que mide 5. Es decir, puede destruir

2) Si suponemos que Mosho está amarrado adentro de la casa. Mosho alcanza a

estirar la cuerda hasta las dos esquinas adyacentes pero no hasta la opuesta. Si

trazamos la diagonal, podemos decir que Mosho cubre una sección de círculo de

radio 10 y un triángulo rectángulo que tiene por hipotenusa 10 y 5 como uno de

sus catetos. La diagonal divide el ángulo recto de la esquina en 60° y 30°, con el

ángulo de 60° quedando adentro del triángulo rectángulo. Esto lo sabemos porque

el seno de ese ángulo es

.

Luego, la sección del círculo es

. Podemos calcular el cateto que nos falta

como . Luego, el área es

Problema 7. Si trazamos una paralela a que pase por , ésta cruzará por el punto

medio de la altura del triángulo desde , por el Teorema de Thales. Entonces,

triángulo tiene la misma base y la mitad de la altura que el triángulo por lo que

debe tener la mitad de su área.

Como el triángulo es equilátero de lado 2, su altura es . Su área

entonces es

por lo que el área del triángulo debe ser

.

Problema 8. Sin pérdida de generalidad, supongamos que es Trino el que tiene una deuda

con Totoro. Podemos modelar un intercambio de cabras y cerditos como

donde es la cantidad de cerditos en la transacción, la cantidad de cabras y el dinero

de la deuda. Es posible que sean negativos.

Luego, el menor positivo que podemos expresar así es el máximo común divisor de 300

y 210 que es 30.

Problema 9. El vértice del cuadrado que está volteado debe coincidir con el centro del

cuadrado que se forma en el espacio. Podemos demostrarlo si trazamos paralela a la base

que forma el cuadrito; los ángulos que se forman son de , que quiere decir que el

vértice coincide con la intersección de las diagonales que es el centro.

Es decir, la distancia que buscamos es la mitad del lado más la diagonal del cuadrado:

Problema 10. La única manera de que las mochilas tengan exactamente los mismos

contenidos es si Chus regresa a la mochila una pelota del mismo color de la que puso

Chema. Al momento de elegir, Chus tiene 6 pelotas en su mochila; la probabilidad de que

escoja una de la que tiene repetida es

.

Problema 11. Veamos que la secuencia tiene un ciclo:

Es un ciclo de 6 elementos. Veamos que

por lo que se completan 335 ciclos y estamos en

.

Problema 12. Veamos que si hay 10 casas, esto es posible pues

si Totoro vive en la casa número 7.

Problema 13. Puesto que todos los manteles miden lo mismo de largo, se forma un

hexágono regular. Es decir, el ángulo grande entre dos manteles consecutivos es de .

Luego, los segmentos que van del centro de la circunferencia a las esquinas de los

manteles que forman el hexágono son todos iguales entre sí e iguales a la longitud de los

manteles.

Si trazamos un radio del círculo que va a una esquina del mantel y consideramos el

triángulo que tiene lados 1, y 4 formado por esa línea, el ancho del mantel y la línea que

va del mantel al centro, podemos aplicar ley de cosenos pues conoceos el ángulo de .

de donde podemos plantear la siguiente cuadrática

y resolver por fórmula general; considerando que debe ser positivo por ser una longitud

obtenemos

Problema 14. Es fácil ver que cumple para parejas y que éste es el

único caso que cumple cuando . Para cualquier otro caso, y ,

de donde

por lo que sería divisible entre un número impar.

Problema 15. Recordemos que la probabilidad es la cantidad de eventos favorables entre

la cantidad de eventos totales. Por lo tanto primero se contará la cantidad de conjuntos

* que cumplen y luego la cantidad total de estas permutaciones.

Como nos concentramos en ver que para podemos analizar los

números módulo 3 teniendo como residuos 0, 1 y 2. Como nuestro conjunto empieza en

1913, el cual deja residuo 2 mod 3, tenemos en total 34 residuos 2, 34 residuos 0, y 33

residuos 1. Entonces ver que el conjunto * cumple, es análogo a que una lista de 101

elementos de los residuos 0, 1 y 2 cumpla la propiedad . Además, basta con crear una

lista de puros 1 y 2, ya que los ceros no alteran la suma de la lista. Entonces hay dos casos,

que la lista inicie en 1, o 2. Si la lista inicia en 1, claramente el patrón a seguir es 1121212…

para que cumpla la propiedad . Sin embargo, como la lista inicia en 1, y hay dos 1’s al

inicio y consecuente después de cada 1 hay un 2, debería de haber más número que dejan

residuo 1, que los número que dejan residuo 2, pero como es al revés, este patrón no es

posible. El caso 2, es que inicie en 2 y claramente el patrón será 22121212… para que

cumpla la propiedad . Además, como hay un residuo 2 más que un residuo 1, este

patrón si es posible. Una vez ya determinada la secuencia de los residuos de 2 y 1 sólo

falta contar las maneras de acomodar los números que dejan residuo 0. Para ello notemos

que es posible acomodar una cantidad de ceros a la izquierda de cada uno de los

números, y también a la derecha para el último número. Como hay 67 números en total

en la lista, habrá 68 espacios posibles para colocar los ceros. Para contar las maneras de

acomodar los 34 ceros en los 68 espacios podemos utilizar la técnica de separadores.

Contamos con 34 ceros y 67 separadores. Al acomodar los 67 separadores en los 34 ceros

definiremos 68 espacios los cuales definen entre dos separadores y las esquinas el

número de ceros que hay en cada espacio. Ejemplo con 5 ceros y 7 separadores:

0/00//0///0/

En el ejemplo anterior en el primer espacio hay un 0, en el segundo dos 0’s en el tercer

espacio ninguno, en el cuarto un cero, en el quinto y sexto ninguno, en el séptimo 1 y en

el octavo ninguno.

Ahora, el total de combinaciones que existen para acomodar los separadores es la manera

de escoger los 34 espacios posibles de los 100 espacios que hay entre separadores y ceros

(recordando que el primer número no puede ser un cero), que es

. Entonces en total

se tienen

maneras de crear la lista con los 34 residuos 2, 34 residuos 0, y 33 residuos

1. Sin embargo, recordemos que en el conjunto original los números son distinguibles y en

los residuos, no. Para contar las maneras en las que se asignan a estos residuos el número

sólo hay que tener en cuenta que para el primer residuo 2 hay 34 posibilidades de número

a escoger, para el que sigue 33, y claramente las permutaciones de los números que dejan

residuo 2 será . Análogamente para los números que dejan residuo 0, y 1, por lo que el

número total de conjuntos * que cumplen son

.

En cuanto al número de conjuntos de * posibles sólo son las maneras de permutar el

conjunto * que claramente al ser 101 elementos es .

Finalmente * cumple

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