6 AVAR Factorial

ANALISIS DE DATOS EN PSICOLOGIA. ULLRToolbox . ANOVA Multi Factorial de efecto fijo

220

6. El análisis de la varianza multifactorial

de efecto fijo

Hasta el momento, hemos venido planteando hipótesis que implicaban contrastar diferencias

de medias sobre un solo factor. En el capítulo 4, al hablar de las limitaciones de la prueba t

para dos medias, comentamos que una de las ventajas del anova está en su capacidad para

detectar efectos más realistas. Entendiendo por realistas, el estudio de la influencia conjunta

de dos o más variables independientes (VIs), o la interacción de estas, sobre la variable

dependiente (VD).

En este tema, vamos a ocuparnos de diseños factoriales con dos o más variables

independientes (VIs). En concreto, aquellos diseños denominados de clasificación cruzada,

en los que todos los niveles de los factores se combinan, o anidan entre sí, para dar lugar a las

condiciones experimentales.

6.1. ANOVA factorial de efecto fijo completamente intergrupo.

Supongamos que queremos estudiar el tiempo que se tardan en responder unos niños a un

estímulo si éste es o no una palabra. Lo queremos hacer en un grupo de 96 niños, de los

cuales 48 son “dislexicos” y 48 son “no disléxicos” (factor “tipo de niño”). Al mismo tiempo

dentro de cada grupo (“disléxicos” vs. “no disléxicos”) asignamos de manera aleatoria a los

48 niños, de manera que unos ven palabras y otros pseudopalabras , generando por tanto otro

factor que será el de “palabra” (“palabras” vs. “pseudopalabra”). El anidamiento de ambos

factores (“tipo de niño” x “tipo de palabra”, 2 x 2) da lugar a cuatro condiciones

experimentales con 24 niños cada una tal y como muestra la siguiente figura.


221

En las investigaciones reales, el factor palabra es en realidad de medidas repetidas siempre.

(todos los niños tanto disléxicos como normolectores pasan por las dos niveles de palabra y

pseudopalabra). Lo forzamos a un diseño factorial completamente intergrupo for razones

estrictamente didácticas.

Estas cuatro condiciones que obedecen al anidamiento de los factores tipo de niño x tipo de

palabra se combinan de esta forma para dar lugar a una tabla 2 x 2. Donde se recogen las

distintas medias relativas a los posibles efectos a detectar en nuestro ejemplo.

B (Tipo de palabra)

Palabra Pseudo-palabra A j

A

(Tipo de Niño)

Disléxico A1

B1 1 2A B 1A

No Disléxico A 2

B1 A 2

B2 2A

Bk 1B 2B GM

Si observamos la tabla anterior veremos que hay unas medias marginales de filas (J ) y

columnas (K) referidas a las medias de los niveles del factor A (“tipo de niño”) y del factor B

(“tipo de palabra”). Dentro de la tabla tenemos las cuatro medias de las JK condiciones

experimentales. En el anova factorial A x B, como el que nos ocupa, podemos plantearnos la

búsqueda de 3 efectos. 2 efectos principales y un efecto de interacción. Los efectos

principales, ponen a prueba las hipótesis nulas de igualdad de las medias marginales de los

niveles de cada factor, mientras que el efecto de interacción es un poco más complicado de

explicar. Por ello vamos a crear distintas tablas de medias desde las cuales entender dicho

concepto de interacción.Veamos la siguiente tabla donde se presentan las medias de un diseño

A x B (2 x 2).

tabla.1=matrix(c(4,2,5,3),ncol=2) colnames(tabla.1)=c('B1','B2') rownames(tabla.1)=c('A1','A2') tabla.1 B1 B2 A1 4 5 A2 2 3 media.A=apply(tabla.1,1,mean); media.A A1 A2 4.5 2.5 media.B=apply(tabla.1,2,mean); media.B B1 B2 3 4


222

En las dos gráficas de la izquierda hemos dibujado las medias de las cuatro condiciones

experimentales correspondientes a los valores ficticios de tabla.1 . En la primera hemos

puesto fuera de la gráfica (eje X) al factor A, mientras que en la segunda lo hemos hecho con

el B. Tal y como se puede ver en la gráfica superior izquierda, la media de la variable VD es

mayor en A1 que en A2 tanto en B1 como en B2. En la gráfica inferior izquierda, podemos ver

que B1 es menor que B2 tanto en A1 como en A2. En ambas gráficas las líneas son paralelas. En

las gráficas de la derecha, hemos incluido las medias marginales de A y B (línea central de

color negro). Podemos apreciar que este paralelismo nos indica que los efectos de A sobre VD

no se ven afectados por el nivel de B en que nos encontramos ni viceversa.

Para generar las gráficas que acabamos de comentar, hemos usado las siguientes líneas:

mat=matrix(c(1:4),ncol=2,byrow=T) layout (mat,widths=c(2.5,1),heights=c(1,1)) plot(c(1,2),c(2,5),axes=F, type='n',xlab='A',ylab=' media') axis(1,1:2,labels=c('A1','A2')); axis(2); box() lines(1:2,tabla.1[,1],col='red',lwd=2) lines(1:2,tabla.1[,2],lwd=2,lty=2) lines(1:2,media.A,lwd=4) plot(0,0,axes=F,type='n',xlab='',ylab='',xlim=c(0,3 ),ylim=c(2,4)) legend(0,3.5,c('B1','B2'),lty=1:2,col=2:1,lwd=2) plot(c(1,2),c(2,5),axes=F, type='n',xlab='B',ylab=' media') axis(1,1:2,labels=c('B1','B2')); axis(2); box() lines(1:2,tabla.1[1,],col='red',lwd=2) lines(1:2,tabla.1[2,],lwd=2,lty=2) lines(1:2,media.B,lwd=4) plot(0,0,axes=F,type='n',xlab='',ylab='',xlim=c(0,3 ),ylim=c(2,4)) legend(0,3.5,c('A1','A2'),lty=1:2,col=2:1,lwd=2)

Veamos otro ejemplo de tabla de medias de una VD ficticia de nombre vd en las distintas

condiciones experimentales anidadas de A y B.

tabla.2=matrix(c(4,2,3,5),ncol=2) colnames(tabla.2)=c('B1','B2'); rownames(tabla.2)=c ('A1','A2')

hp

Nota adhesiva

1. Vd: vertical Cuando los sujetos pasan de a1 a a2 disminuye la VD 2. Cuando los sujetos pasan de b1 a b2 aumenta la VD La linea negra es la media, donde se puede ver que siempre aumentara o disminuira por lo que no afectara El factor B provoca que al pasar a b2 aumente Habra un efecto principal de a1 sobre b2, donde b1 es menor que b2 Estas graficas son las mismas, son doble. Ambas lineas son paralelas, no se ve afectado por el efecto B, ni tampoco en lugar de A estén los sujetos Ya que no se afectan la una a la otra Hay un efecto del factor A otro de B pero ninguno de los dos se afectan en su interaccion


223

tabla.2 B1 B2 A1 4 3 A2 2 5 media.A=apply(tabla.2,1,mean);media.A A1 A2 3.5 3.5 media.B=apply(tabla.2,2,mean);media.B B1 B2 3 4 par(mfrow=c(1,1)) # Retornamos la matriz gráfica 1 ventana.

* Para estas gráficas hemos usado el mismo código que antes aunque sustituyendo tabla.1 por tabla.2 .

En estas gráficas apreciamos un patrón claramente diferente. Vemos, en la gráfica superior

izquierda, que el efecto de A sobre la VD depende claramente del nivel de B en que nos

encontremos. Así, observamos cómo la VD aumenta al pasar de A1 a A2, si se encuentra en B2.

Sin embargo, este efecto es contrario si nos encontramos en B1. Ese mismo patrón lo

observamos en la gráfica inferior izquierda. Allí el factor B aumenta la media de la variable

dependiente al pasar de B1 a B2 cuando se encuentra en A2 pero no en A1. Igual que antes, en

la gráfica de la derecha hemos añadido la línea correspondiente a la media marginal de la

variable dependiente en cada nivel de A y B respectivamente. Como puede observarse, la

inversión de efectos antes descrita provoca que las medias de los 2 niveles de A sean

idénticas. Esta segundo bloque gráfico nos presenta un claro efecto de interacción.

Atendiendo a los dos ejemplos anteriores, podemos decir que existe interacción cuando

el comportamiento en la variable dependiente de un factor A es distinto, en función del

nivel de la otra variable B en la que se encuentre. Distinto puede suponer desde

comportarse de manera contraria o variar en alguna medida que hace que las líneas no sean

paralelas.

hp

Nota adhesiva

Interaccion cruzada: La gran media de A: no tiene efecto, pero si afecta ya que lo que le pasa si estas en a1 o a2(tabl.1) El b se fe afectado por el lugar de a en el que se encuentren en el sujeto Aumenta si esta en B2 y no si estas en B1 El marginal de a1 y el de a2 son identicos por lo que la gran media sera recta

hp

Nota adhesiva

Una interaccion tiene tantans perspectivas como tablas halla Desde la perspectiva de B, es la misma interaccion desde el punto de visto cambiado El marginal de B2 es mayor que el de b1 Si estas en A1 baja la Vd cuando vas a b2 Si estas en a2 sube cuando vas a b2 y viceversa Cuando una interracion existe los resultados se diluyen Si es significativa sera la interaccion la que tenga toda la informacion

hp

Nota adhesiva

Cuando una interaccion es significativa a parte de que se obvien todos los efectos principales, es imposible que se valoren los resultados sin las graficas de las medias


224

6.1.1. El Modelo de ANOVA de dos factores de efectos fijos completamente aleatorizados

En el tema 4 vimos que la variable dependiente Y podía expresarse como una combinación

lineal de tres factores aditivos mediante la ecuación del modelo lineal general.

Y

ij= µ +α

j+ε

ij

Sin embargo, ahora con dos factores, necesitamos incluir en el modelo un término nuevo que

recoja precisamente la influencia de éste:

Y

ijk= µ +α

j+ β

k+ ε

ij

Este nuevo término (βk) es equivalente a la explicación que para αj dimos en su momento pero

en relación al segundo factor. Sin embargo, en este modelo no estamos considerando la

influencia conjunta o efecto atribuible a la combinación de los diferentes niveles de ambos

factores, a la cual llamaremos componente de interacción (αβ)jk.

Y

ijk= µ + α

j+ β

k+ αβ( )

jk+ ε

ij

Los estimadores de cada término son:

( ) ( )

ˆˆ =

0

ˆ

j j j j k k k k

j kj k

jk j k jk j kjk jk

ij ijk jk ij ijk jk

Y Y Y Y

Y Y Y Y

Y Y Y

α µ µ α β µ µ β

α β

αβ µ µ µ µ αβ

ε µ ε

= − = − = − −

= =

= − − + = − − +

= − = −

∑ ∑

6.1.2- Descomposición de la varianza total en los componentes aditivos del modelo

Continuando con la estrategia mínimo cuadrático ordinaria iniciada en el tema 4 definimos la

ecuación fundamental de la descomposición de la varianza total en sus componentes aditivos.

Yijk

= µ + αj+ β

k+ αβ( )

jk+ ε

ij

Yijk

= Y + Yj− Y( )+ Y

k− Y ( )+ Y

jk− Y

j− Y

k+ Y( )+ Y

ijk− Y

jkj( )Y

ijk− Y = Y

j− Y( )+ Y

k− Y ( )+ Y

jk− Y

j− Y

k+ Y( )+ Y

ijk− Y

jk( )Y

ijk− Y( )

k∑

j∑

i∑

2

=

Yj− Y( )2

+ Yk

− Y ( )+ Yjk

− Yj− Y

k+ Y( )+ Y

ijk− Y

jkj( )

k

∑j∑

i∑

2


225

Yijk

− Y( )k∑

j∑

i∑

2

=

nK Yj− Y ( )2

j∑ + nJ Y

k− Y ( )2

k∑ + n Y

jk− Y

j− Y

k+ Y( )2

k∑

j∑ + Y

ijk− Y

jk( )2

k∑

j∑

i∑

De la ecuación final tenemos que la suma cuadrática total de la variable dependiente se

descompone en cuatro términos, que en realidad se agrupan para dar lugar a los dos ya

conocidos de varianza explicada o intergrupo (SCA + SCB + SCAB) y de error (SCintra).

SCTotal

= SCA

+ SCB

+ SCAB

+ SCIntra

( )( )

Grados de libertad: 1

1

1

1 1

Total

A

B

AB

Intra

SC N

SC J

SC K

SC J K

SC N

= −= −= −= − −= −

Total A B AB Intra

JK

gl gl gl gl gl= + + +

Medias Cuadráticas

MCA

=SC

A

J − 1( ) MCB

=SC

B

K − 1( ) MCAB

=SC

AB

J −1( ) K −1( ) MCIntra

=SC

Intra

N − JK

6.1.3. La Tabla resumen del Anova de dos factores de efectos fijos completamente

aleatorizados

Fuente de

variación

Sumas

cuadráticas

Grados de

libertad

Medias

Cuadráticas

Estadístico

de contraste

Factor A ASC J − 1 1ASC

J − A

Intra

MC

MC

Factor B BSC K − 1 1

BSC

K − B

Intra

MC

MC

Interacción

A x B ABSC ( ) ( )1 1J K− −

SCAB

J − 1( ) K − 1( ) AB

Intra

MC

MC

Error SCIntra N − JK IntraSC

N JK−

Total TSC N − 1


226

Es el momento de analizar nuestros datos de los 96 niños asignados aleatoriamente a los dos

factores estudiados (Tipo de niño x Tipo de palabra).

dos.factores= lee.archivo.fnc ( '06_dislexia.Rdata' ) *** Se ha leido correctamente el archivo externo 06 _dislexia.Rdata *** El objeto es una matriz que pertenece a la clase data.frame y tiene 96 filas y 3 columnas (variables) tr word niño 1 696.9731 palabra dislex 2 726.0590 palabra dislex 3 752.1260 palabra dislex 4 856.1712 palabra dislex 5 757.4594 palabra dislex 6 865.2772 palabra dislex

La base de datos recoge 3 variables: el tiempo medio de reacción para cada niño (tr ), el

grupo de pertenencia de la condición de palabra o pseudopalabra (word ) y si el niño es

disléxico o normolector (niño ).

frecuencias.fnc (dos.factores, variables= 'word:niño' ) #-------------------------------------------------- ---------------- # TABLA DE FRECUENCIAS #-------------------------------------------------- ---------------- $variables [1] "word:niño" $tabla niño dislex normolector word palabra 24 24 pseudo 24 24

Comprobamos que disponemos de un diseño equilibrado con 24 sujetos por condición

experimental. Iniciamos la exploración gráfica de nuestros datos con un diagrama de cajas.

Como ahora tenemos dos factores solicitaremos el diagrama de cajas para cada factor y

posteriormente para la interacción (niño:word )

diagrama.cajas.fnc (dos.factores, vd= 'tr', que.factor='niño') diagrama.cajas.fnc (dos.factores, vd= 'tr', que.factor='word') diagrama.cajas.fnc (dos.factores, vd= 'tr', que.factor= 'niño:word' )


227

El diagrama de cajas de la interacción, nos informa de que el tiempo de reacción parece ser

“mayor” en los disléxicos que en los normolectores. Además los disléxicos parecen ser

especialmente lentos con la lectura de pseudopalabras. Los normolectores presentan un patrón

similar aunque de menor intensidad y variabilidad que los disléxicos.

descriptivos.fnc (dos.factores, vd= 'tr', que.factor= 'niño:word' ) #-------------------------------------------------- ---------------- # ESTADISTICOS DESCRIPTIVOS #-------------------------------------------------- ---------------- *** VD: tr $niño dislex normolector media 1005.582 604.523 dt 411.123 173.996 n 48.000 48.000 $word palabra pseudo media 606.151 1003.954 dt 199.615 400.972 n 48.000 48.000


228

$`niño-word` $`niño-word`$media palabra pseudo dislex 694.597 1316.566 normolector 517.705 691.342 $`niño-word`$dt palabra pseudo dislex 207.475 317.042 normolector 148.504 155.182 $`niño-word`$n palabra pseudo dislex 24 24 normolector 24 24

Anticipamos efectos principales tanto del factor tipo de palabra como del tipo de niño dado

que aparentemente las palabras se leen mas rápido que las pseudopalabras y por otra parte los

disléxicos son 400 ms mas lentos que los normolectores. Estas diferencias parecen mas

acusadas en los niños disléxicos que en los normolectores.

Veamos las distintas hipótesis nulas implicadas. En primer lugar definiremos las Ho relativas

a los dos efectos principales de nuestro diseño: Efecto del tipo de niño (niño ) y efecto del

factor tipo de palabra (word ).

( )( )

0 j=diléxico j=normolector

0 k=palabra k=pseudo.palabra

H niño : =

H palabra : =

µ µ

µ µ

De forma contraria a lo que cabría pensar, la Ho de la interacción no es sólo el sumatorio

cuadrático de distancias de las JK medias de las condiciones experimentales a la gran media

del experimento. En realidad este efecto se descompone en JK distancias no a la gran media

solamente sino también a las de los marginales de los niveles de los factores implicados. En

apartados posteriores encontraremos de gran utilidad este concepto de la interacción para el

cómputo del parámetro de no centralidad asociado a este efecto.

( )( ) ( ) ( )

jk j kjk

0 jk jkj k

= - - +

H Niño x Palabra : = = 0

αβ µ µ µ µ

αβ αβ∑ ∑

La siguiente tabla nos ayudará a comprender mejor el concepto de la interacción como

diferencias de diferencias, para un diseño con dos factores. Supongamos un diseño A x B (2

x 2) con las siguientes medias marginales y de JK condiciones experimentales (4).


229

B1 B2 JA

A1 10 20 15

A2 5 15 10

kB 7.5 17.5 12.5

Demostraremos que en esta tabla a pesar de las apariencias, no existe interacción de los

factores A y B (AxB). Veamos por qué.

Por filas Por columnas

A1B

1− A

1B

2= B

1− B

2= −10

A2B

1− A

2B

2= B

1− B

2= −10

A1B

1− A

2B

1= A

1− A

2= 5

A1B

2− A

2B

2= A

1− A

2= 5

Es decir, la diferencia de al menos dos medias cualesquiera de la misma fila o de la misma

columna es la misma que la diferencia entre los promedios marginales correspondientes a

estas casillas.

6.1.5. Efectos principales e interacción del anova A x B completamente aleatorizado

Estimaremos el modelo para nuestros datos mediante Anova.fnc . El argumento fac.inter en

este anova debe incluir los nombres de los dos factores implicados.

Anova.fnc (dos.factores, vd='tr' , fac.inter=c('niño','word')) #-------------------------------------------------- ---------------- # ANALISIS DE LA VARIANZA #-------------------------------------------------- ---------------- Anova Table (Type III tests) Response: tr Sum Sq Df F value Pr(>F) (Intercept) 11579176 1 244.1621 < 2.2e-16 *** niño 375492 1 7.9177 0.005986 ** word 4642135 1 97.8855 3.821e-16 *** niño:word 1206006 1 25.4302 2.291e-06 *** Residuals 4363020 92 --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘. ’ 0.1 ‘ ’ 1

La tabla resumen de Anova nos indica que hay efecto principal de todos los factores

implicados así como efecto de interacción niño x word (niño:word). Vemos que hay una suma

de cuadrados residual de 4363020 que dividida por sus grados de libertad (92) genera una

MCintra común a todos los efectos de 47424.13 . Este valor es el denominados de cada ratio

F de cada uno de los 3 efectos implicados. La existencia de efectos principales si la


230

interacción es significativa nos obliga a comprender primero la naturaleza de dicha

interacción. Una interacción significativa es muy difícil de comprender si no se proyectan

gráficamente la tabla de las JK medias. En nuestro ejemplo sólo tenemos cuatro condiciones

experimentales, pero es muy común tener 8 o incluso 12 (diseños factoriales 3 x 4).

Solicitaremos dicha gráfica de interacción utilizando para ello una función que permite

proyectar las medias de una determinada variable dependiente en JK condiciones.

grafica.panel.fnc (dos.factores, vd='tr', que.factor= 'niño:word' , ylim =c(400,1400))

grafica.panel.fnc (dos.factores, vd='tr', que.factor= 'word:niño' ,

ylim =c(400,1400))

Solicitamos la interacción desde ambos puntos de vista: niño x word y word x niño. Con el

argumento opcional ylim seleccionamos aquellos valores del eje y (tiempos de reacción) que

mejor representen las variaciones entre los niveles de los factores.

Podemos ver que los tanto los disléxicos como los normolectores tardan “mas” en la lectura

de palabras que en la de pseudopalabras. Sin embargo esta diferencia es aparentemente

“mayor” para los niños disléxicos.

Observa que hemos escrito entre comillas los adjetivos que utilizamos para describir las

diferencias. La razón obviamente está en que esas distancias son absolutamente dependientes

de la escala utilizada para dibujar la gráfica y no necesariamente se corresponden con

diferencias realmente significativas. En apartados posteriores desarrollaremos los contrastes

que nos permitirán decidir con un criterio estadístico si esas distancias son realmente distintas

de cero.

hp

Nota adhesiva

p1: tiempo de pseudo entre niños y dis

hp

Nota adhesiva

Es distinto el tiempo de pseudo y normales en niños dislexico

hp

Nota adhesiva

P3

hp

Nota adhesiva

p4


231

6.1.4. Homogeneidad de las varianzas

Al igual que ocurría con el anova unifactorial intergrupo visto en el capítulo anterior, el anova

multifactorial intergrupo, requiere asimismo de la homogeneidad de las varianzas para cada

uno de los efectos estimados. La función Anova.fnc estima de forma automática la prueba

de levene para cada uno de ellos.

$prueba.levene Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = median) Df F value Pr(>F) niño 1 34.83 5.662e-08 *** 94 --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘. ’ 0.1 ‘ ’ 1 $prueba.levene Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = median) Df F value Pr(>F) word 1 21.353 1.213e-05 *** 94 --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘. ’ 0.1 ‘ ’ 1 $prueba.levene Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = median) Df F value Pr(>F) niño:word 3 3.8024 0.01279 * 92 --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘. ’ 0.1 ‘ ’ 1

Todas las varianza son heterogéneas aunque dado que los tamaños de los grupos y

condiciones experimentales son idénticos esta particularidad no debe preocuparnos.

6.1.6. Medida del tamaño del efecto en el ANOVA de dos factores completamente

aleatorizados

Una vez determinados los efectos significativos, debemos, como siempre, calcular las

varianzas asociadas a cada uno de los efectos. Por supuesto, dado que sólo ha resultado ser

significativo el de la interacción esperamos valores muy pequeños para los efectos

principales.

ηA( )

2 =SC

A

SCTotal

ηB( )

2 =SC

B

SCTotal

ηAB( )

2 =SC

AB

SCTotal

ωA( )

2 =SC

A− J − 1( )⋅ MC

Intra

MCIntra

+ SCTotal

ωB( )

2 =SC

B− K −1( )⋅ MC

Intra

MCIntra

+ SCTotal

ωAB( )

2 =SC

AB− J − 1( ) K −1( )⋅ MC

Intra

MCIntra

+ SCTotal


232

Anova.fnc genera de forma automática la tabla de tamaños de efecto con η2 semiparcial

(eta.sp ).

$eta2 eta.sp pnc power.obs niño 0.03546843 81.4004 1.0000 word 0.43848939 80.0843 1.0000 niño:word 0.11391759 25.4302 0.9988

Vemos que el mayor tamaño de efecto se situa en el factor word (palabra vs pseudopalabra),

seguido de la interacción y por último del tipo de niño.

Otra medida del tamaño del efecto usada comúnmente en los paquetes estadísticos es la η2

parcial, cuya explicación sería la del porcentaje de varianza explicado por el efecto de la parte

no explicada por el resto. Su cálculo tiene el mismo numerado que la η2 semiparcial (varianza

del total que es explicada por el efecto) pero el denominador contiene solamente a la suma

cuadrática del efecto más la del error.

ηSemiparcial2 =

SCEfecto

SCTotal

ηParcial2 =

SCEfecto

SCEfecto

+ SCError

Dado que el denominador será siempre menor (si hay más de un factor) η2 parcial da siempre

un valor mayor que su relativo semiparcial. Veamos los resultados de η2parcial para nuestra

tabla resumen de Anova. En primer lugar asignaremos todas las varianzas a un solo objeto.

Como puedes comprobar la última suma de cuadrados con valor 4363020 corresponde a error.

Por lo tanto la varianza parcial si observas la fórmula tiene en el denominados cada una de las

sumas de cuadrados de interes mas la de error.

SC= c(375492,4642135,1206006,4363020) SC.niño=SC[1]/(SC[1]+SC[4]); SC.niño [1] 0.0792426 SC.word=SC[2]/(SC[2]+SC[4]); SC.word [1] 0.5154975 SC.word_niño=SC[3]/(SC[3]+SC[4]); SC.word_niño [1] 0.216556

Puedes comprobar que la varianza semiparcial es siempre superior a la parcial. En cualquier

caso debes recordar que la parcial es la proporción de varianza total explicada, mientras que la

semiparcial describe la varianza no explicada por el resto de las variables del modelo que si

explica el efecto de interes del que se habla.

hp

Nota adhesiva

Sc=suma cuadratica del efecto SC = suma cuadratica del error

hp

Nota adhesiva

Del 100% que no explica palabra ni interaccion , niño explica el 8 %


233

6.1.7. Potencia en el ANVAR de dos factores completamente aleatorizados de efecto fijo

Potencia observada.

Como ya sabemos del tema anterior debemos calcular los parámetros de no centralidad

asociados a cada uno de los factores y su interacción para poder así determinar la potencia

observada de cada uno de los efectos del anova ómnibus.

( ) ( ) ( )2 22

2 2 2

2

ˆ ˆ ˆ

ˆ intra

j jk j kk

J J k k jk jk

Y Y Y Y Y YY Ypnc n pnc n pnc n

MC

σ σ σσ

− − − +−= = =

=

∑∑ ∑∑∑∑

Anova.fnc nos da de forma automática junto a los tamaños de efecto los parámetros de no

centralidad y las potencias observadas a ellos asociados.

$eta2 eta.sp pnc power.obs niño 0.03546843 81.4004 1.0000 word 0.43848939 80.0843 1.0000 niño:word 0.11391759 25.4302 0.9988

Las potencias observadas para los efectos principales encontrados son muy grandes indicando

claramente que llevamos un número de sujetos superior a los estrictamente necesarios para

detectar ese efecto.

Potencia planeada.

Como ya es sabido por capítulos anteriores, un experimento debe partir de un tamaño de

efecto a detectar. Esa es la base del contraste de hipótesis con utilidad científica. El

investigador declara un efecto explicado o predicho por su teoría y plantea un experimento

dirigido a comprobar la veracidad de la afirmación encerrada en su hipótesis, con un

equilibrio entre los errores que pueden cometerse en la decisión de rechazar o no la hipótesis

nula que niega la afirmación que el investigador propone. Utilizaremos la función potencia.planeada.anova.fnc

potencia.planeada.anova.fnc (eta2= 0.15 ,niveles=4, alfa= 0.05, potencia=0.85) #-------------------------------------------------- ---------------- # Potencia Planeada #-------------------------------------------------- ----------------


234

*** Para medidas repetidas utiliza el argumento mr= T *** $pow.planeada [1] 0.85 $eta2 [1] 0.15 $alfa [1] 0.05 $tipo [1] "intergrupo" $n.condi [1] 24

La ejecución de nuestra función nos informa de que necesitamos 24 sujetos por condición

experimental para poder detectar dicho efecto (si este existiese) con la confianza y la potencia

deseada (0.95 y 0.85 respectivamente). Ese es el motivo por el que hemos investigado a 96

niños (24x 4 condiciones) para valorar la influencia conjunta del tipo de niño y tipo de palabra

sobre el tiempo de reacción en la lectura.

6.1.8. El intervalo de confianza en el anova multifactorial completamente aleatorizado

Las gráficas de intervalos de confianza en los diseños factoriales son muy importantes porque

permiten valorar de forma muy rápida las distancias entre condiciones, tanto para los efectos

principales como para la interacción. Ya comentábamos anteriormente que cuantificar una

interacción desde una gráfica no es conveniente a menos que esta posea los intervalos de

confianza de las JK medias implicadas. Loftus y Masson (2003) desarrollan los algoritmos

necesarios para utilizar la varianza de error del diseño (MCError ) como elemento básico del

cálculo de las barras de error de las medias implicadas.

( ) ( ), , Error ErrorJ j critica gl N J JK jk critica gl N JK

j jk

MC MCIC Y t IC Y t

n n= − = −= ± = ±

La fórmula anterior se adapta muy fácilmente para las gráficas de efectos principales

simplemente sustituyendo las medias apropiadas Yj e Yk así como los tamaños por niveles

apropiados (nj y nk).

MCError= 47424.13 error.jk=sqrt(MCError/24)*qt(0.975,96-4) error.jk [1] 88.28607

Tenemos un error de ±88.3 milisegundos en la estimación de las medias de las JK

condiciones experimentales.


235

La gráfica izquierda nos da las comparaciones entre los niveles de word en cada tipo de

niño . En ella vemos claramente que la diferencia de latencia entre la lectura de

pseudopalabra y palabra es claramente mayor para los niños disléxicos que para los

normolectores. En la gráfica derecha vemos las comparaciones entre niños disléxicos y

normolectores en cada nivel del factor word . En ella vemos que los niños disléxicos son

siempre mas lentos que los normolectores, sin embargo esta diferencia es mas acusada para la

lectura de pseudopalabras.

6.1.9. Contrastes pos-hoc

En este diseño tenemos un 2 x 2, lo cual significa que los efectos principales detectados como

es obvio se sitúan precisamente entre los niveles de cada factor (sólo hay dos niveles por cada

uno). En cualquier caso, como la interacción de ambos ha resultado significativa, no debemos

plantearnos diferencias pos-hoc entre ellos. La naturaleza de dicha diferencia está realmente

explicada en la interacción que vamos a explotar a través de los contrastes de efectos simples

que veremos a continuación. En el caso de factores con más de dos niveles que hubieran

resultado significativos con ausencia de interacción, el proceso de contrastes pos-hoc es

idéntico al planteado en el capítulo anterior para los anovas unifactoriales.

6.1.9.1. Contrastes de efectos simples

En raras ocasiones, estamos en realidad interesados en el estudio de las JK(JK-1)/2

comparaciones de las condiciones experimentales, por razones ya sobradamente conocidas en

relación a la necesidad de corregir el error Tipo I. En general, el estudio de un efecto

significativo de la interacción consiste en comparar las medias de un factor en cada uno de los

niveles del otro. A este tipo de contraste se le denomina de Efecto simple.


236

Si consideramos nuestro diseño, habríamos de realizar 2x2(3)/2 = 6 comparaciones par a par.

Podemos controlar α para esas 6 comparaciones con la consecuencia obvia de elevación de la

DMS (Diferencia Mínima Significativa) para controlar el incremento del error tipo I (1-(1-α)n

= 0.26). Sin embargo, si nuestro interés se centra en comparar por pares los K=2 niveles del

factor B en los J=2 niveles del factor A tendríamos en realidad que realizar JK(K-1)/2 =

2 comparaciones. Pero si quisiésemos los J=2 niveles de A en los K=2 niveles de B

tendríamos sólo JK(J-1)/2 = 2 comparaciones. Es decir, 4 comparaciones en total.

Necesitamos comparar, por tanto, los dos niveles de niño en cada nivel de word y los dos

tipos de word en cada nivel de niño . Para ello simplemente incluiremos el conocido

argumento poshoc con el nombre de la interacción como valor del argumento.

Anova.fnc (dos.factores, vd='tr' , fac.inter=c('niño','word'), poshoc ='niño:word' )

Por defecto cuando solicitas efectos simples obtendrás la gráfica de interacción de líneas. En

ellas podemos ver lo que ya hemos advertido en la grafica de panel que solicitamos

anteriormente. Esto es que aparentemente tanto los disléxicos como los normolectores tardan

mas en la lectura de pseudopalabras que en la de palabras. Sin embargo observamos un mayor

tamaño del efecto para esa distancia en los niños disléxicos. Los contrastes simples nos

informarán precisamente de la presencia o no de dicha significación.

#-------------------------------------------------- ---------------- # EFECTOS SIMPLES #-------------------------------------------------- ---------------- $que.vd [1] "tr" $interaccion [1] "niño:word"

dislex normolector

600

800

1000

1200

niño

VD

Interaccion: niño:word

palabrapseudo


237

$medias palabra pseudo dislex 694.5975 1316.566 normolector 517.7050 691.342 $efectos.simples $efectos.simples[[1]] [1] " Contraste_word_en_cada_nivel_de_niño " $efectos.simples$BinA $efectos.simples$BinA$ dislex t df eta2 p p.hocberg palabra-pseudo -8.041831 39.64655 0.62 0 0 $efectos.simples$BinA$ normolector t df eta2 p p.hoc berg palabra-pseudo -3.96034 45.9113 0.255 0.00026 0.0 0026

Vemos que efectivamente que en las comparaciones del factor word en cada nivel de tipo de

niño encontramos diferencias significativas en ambas comparaciones pero el tamaño del

efecto en los niños disléxicos lo duplica. Es decir la lectura de pseudopalabras es mas lenta en

ambos tipos de niños pero este efecto es mas intenso en los niños disléxicos.

$efectos.simples[[3]] [1] " Contraste niño_en_cada_nivel_de_word " $efectos.simples$AinB $efectos.simples$AinB$ palabra t df eta2 p p .hocberg dislex-normolector 3.396461 41.6673 0.217 0.00151 0.00151 $efectos.simples$AinB$ pseudo t df eta2 p p.hocbe rg dislex-normolector 8.67735 33.42242 0.693 0 0

El otro punto de vista de la interacción está en las dos comparaciones entre los niños

disléxicos y normolectores en cada nivel del factor word (palabra y pseudopalabra). En estos

contrastes vemos que hay diferencias entre disléxicos y normolectores tanto en la lectura de

palabras como de pseudopalabras, pero el tamaño del efecto para ambas comparaciones es

mayor para la lectura de pseudopalabras.


238

Ejercicio 1

Deseamos conocer la influencia de un método de afrontamiento de la ansiedad sobre el rendimiento en una tarea

de destreza motora. Como suponemos que el nivel de ansiedad es una variable moduladora de este efecto se

define un factor de nombre ansiedad con 3 niveles: baja, moderada y alta. Se plantea un diseño factorial

completamente aleatorizado entrenamiento x ansiedad (2 x 3). El tamaño de efecto que anticipamos es grande:

η2=0.25 y deseamos una potencia del 85% para una confianza del 95%.

Llevamos a cabo el procedimiento de potencia planea da.

potencia.planeada.anova.fnc (eta2=0.25,niveles= 6,alfa= 0.05, potencia=0.85) $pow.planeada [1] 0.85 $alfa [1] 0.05 $n [1] 14

Una vez seleccionados a los sujetos (hemos elegido a 15 por condición por si hubiera alguno que fuese

necesario reemplazar por caso extremo), hemos entrenado a la mitad de ellos (45) y posteriormente los

hemos sometido a todos a tres condiciones de ansiedad en tres tareas de destreza motora (baja ,

media y alta ), durante la cual todos los sujetos han sido medidos en el rendimiento de destreza.

datos = lee.archivo.fnc ('06_rendimiento_ansiedad.txt', hay.nombres=T) rendimi entrena ansiedad 1 11 Si baja 2 11 Si baja 3 13 Si baja 4 6 Si baja 5 11 Si baja 6 12 Si baja frecuencias.fnc (datos, 'entrena:ansiedad') #-------------------------------------------------- ---------------- # TABLA DE FRECUENCIAS #-------------------------------------------------- ---------------- $variables [1] "entrena:ansiedad" $tabla ansiedad alta baja media entrena No 15 15 15 Si 15 15 15

Los niveles de ansiedad están ordenados alfabéticamente y no con el orden adecuado de intensidad

(baja , media y alta ). Los reordenaremos mediante la función reordena.factor.fnc

indicando con el argumento niveles el nuevo orden que deseamos.


239

datos = reordena.factor.fnc (datos, que.factor='ansiedad', niveles =c('baja','media','alta'))

#-------------------------------------------------- ---------------- # REORDENANDO NIVELES DEL FACTOR #-------------------------------------------------- ---------------- $hacer.NA [1] FALSE $niveles.antiguos [1] "alta" "baja" "media" $niveles.nuevos [1] "baja" "media" "alta" *** Tabla de frecuencias con el nuevo orden: baja media alta 30 30 30

descriptivos.fnc (datos, vd= 'rendimi', que.factor= 'entrena:ansiedad')

#-------------------------------------------------- ---------------- # ESTADISTICOS DESCRIPTIVOS #-------------------------------------------------- ---------------- *** VD: rendimi $entrena No Si media 13.644 14.733 dt 5.305 3.602 n 45.000 45.000 $ansiedad baja media alta media 11.300 18.567 12.70 dt 2.336 2.417 4.61 n 30.000 30.000 30.00 $èntrena-ansiedad` $èntrena-ansiedad`$media baja media alta No 12.133 20.200 8.6 Si 10.467 16.933 16.8 $èntrena-ansiedad`$dt baja media alta No 2.588 1.781 1.682 Si 1.767 1.792 2.274 $èntrena-ansiedad`$n baja media alta No 15 15 15 Si 15 15 15

La media de la interacción nos habla de un patrón contrario al que parece que presentan las marginales

de entrenamiento y de ansiedad. Lo veremos mejor el gráfico de panel y el diagrama de cajas para

dicha interacción.

grafica.panel.fnc (datos, vd='rendimi', que.factor= 'ansiedad:entrena' ) diagrama.cajas.fnc (datos, vd='rendimi', que.factor= 'entrena:ansiedad' )


240

Vemos que en gráfica izquierda que en la condición sin entrenamiento previo hay un incremento del

rendimiento entre ansiedad baja y media para disminuir por debajo del nivel de comienzo para los

sujetos de la condición de alta ansiedad. En los sujetos que han sido entrenados vemos que al igual que

en los no entrenados se incrementa entre los niveles de ansiedad baja a media pero al contrario que en

los no entrenados los de la condición alta ansiedad no disminuyen su rendimiento sino que lo

mantienen. Si observas el diagrama de cajas de la condición media ansiedad sin entrenamiento previo

podemos ver una serie de puntos indicativos de valores atípicos para esa condición experimental.

Los sujetos no entrenados en estrategias de afrontamiento parecen puntuar mejor que los entrenados

en los niveles bajos y medios de ansiedad. Sin embargo, es en los niveles altos donde se observa una

caída dramática del rendimiento en los no entrenados. Esperamos por tanto un efecto de interacción

como el descrito en el anova multifactorial completamente aleatorizado que vamos a realizar.

Anova.fnc (datos, vd='rendimi', fac.inter=c( 'ansiedad','entrena' ), ylim =c(0,25) )

#-------------------------------------------------- ---------------- # ANALISIS DE LA VARIANZA #-------------------------------------------------- ---------------- Anova Table (Type III tests) Response: rendimi Sum Sq Df F value Pr(>F) (Intercept) 2208.27 1 547.5041 <2e-16 *** ansiedad 1060.58 2 131.4766 <2e-16 *** entrena 20.83 1 5.1653 0.0256 * ansiedad:entrena 578.49 2 71.7135 <2e-16 *** Residuals 338.80 84 --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘. ’ 0.1 ‘ ’ 1

Con el argumento ylim estamos solicitando los límites inferior y superior que deseamos para las

gráficas de barras con los intervalos de confianza en el eje y. Vemos en la tabla resumen que todos los

efectos son significativos y especialmente el de interacción lo cual nos hará inicialmente obviar los

dos efectos principales.


241

$prueba.levene Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = median) Df F value Pr(>F) ansiedad 2 18.653 1.814e-07 *** 87 --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘. ’ 0.1 ‘ ’ 1 $prueba.levene Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = median) Df F value Pr(>F) entrena 1 8.1047 0.005494 ** 88 --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘. ’ 0.1 ‘ ’ 1 $prueba.levene Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = median) Df F value Pr(>F) ansiedad:entrena 5 0.7555 0.5844 84

Hay heterogenediad de varianzas para los dos efectos principales, aunque no para la interacción. En

cualquier caso la igualdad de los tamaños de los grupos y condiciones experimentales hace que no

debamos preocuparnos por la heterogeneidad detectada.

$eta2 eta.sp pnc power.obs ansiedad 0.53063491 221.1129 1.0000 entrena 0.01042177 6.6143 0.7198 ansiedad:entrena 0.28943313 143.4270 1.0000

Vemos que el efecto de entrenamiento aporta poco a la varianza total del rendimiento y es por un lado

el nivel de ansiedad y por otro la interacción de ambos factores. Tenemos potencias observadas

excelentes para los dos últimos factores y una potencia un poco baja para el factor de entrenamiento

que se explica perfectamente por el tamaño de efecto muy pequeño que hemos obtenido. La gráfica

de intervalos de confianza inferior nos indica que el incremento de la ansiedad desde los niveles bajos

a los medios incrementa el rendimiento en todos los sujetos. Sin embargo vemos que son los sujetos

que han entrenado los que conservan el mismo nivel de rendimiento en niveles de ansiedad alta. Para

demostrar estadísticamente dichas diferencias solicitaremos los efectos simples para la interacción que

hemos detectado y que reflejan las gráficas siguientes.


242

Anova.fnc (datos, vd='rendimi', fac.inter=c( 'ansiedad','entrena' ), ylim=c(0,25) , poshoc= 'ansiedad:entrena' )

#-------------------------------------------------- ---------------- # EFECTOS SIMPLES #-------------------------------------------------- ---------------- $que.vd [1] "rendimi" $interaccion [1] " ansiedad:entrena " $medias No Si baja 12.13333 10.46667 media 20.20000 16.93333 alta 8.60000 16.80000 $efectos.simples $efectos.simples[[1]] [1] " Contraste_entrena_en_cada_nivel_de_ansiedad " $efectos.simples$BinA $efectos.simples$BinA$baja t df eta2 p p.hocberg No-Si 2.059964 24.72853 0.146 0.05007 0.05007 $efectos.simples$BinA$media t df eta2 p p.hocberg No-Si 5.0085 27.999 0.473 3e-05 6e-05 $efectos.simples$BinA$alta t df eta2 p p.hocberg No-Si -11.22831 25.78826 0.83 0 0 $efectos.simples[[3]] [1] " Contraste ansiedad_en_cada_nivel_de_entrena " $efectos.simples$AinB $efectos.simples$AinB$No t df eta2 p p.hocbe rg baja-media -9.946139 24.83258 0.799 0.00000 0.000 00 baja-alta 4.434298 24.03772 0.450 0.00017 0.000 34 media-alta 18.341210 27.90887 0.923 0.00000 0.000 00


243

$efectos.simples$AinB$ Si t df eta2 p p.hocb erg baja-media -9.9519900 27.99487 0.780 0.00000 0.00 000 baja-alta -8.5165470 26.39191 0.733 0.00000 0.00 000 media-alta 0.1783765 26.54535 0.001 0.85978 0.85978

Los contrastes de efectos simples nos indican que los sujetos no entrenados rinden mejor que los

entrenados en los niveles bajos y medios de ansiedad. Es en los niveles altos donde el entrenamiento

impide la drástica caída del rendimiento para los que entrenan en estrategias de afrontamiento.

La gráfica de intervalos de confianza es de extraordinaria utilidad aquí para ayudarnos a entender el

sentido de las significaciones encontradas en los contrastes de efectos simples de niveles de ansiedad

en cada nivel de entrenamiento. Así vemos que en la condición de entrena No hay diferencias entre

todos los niveles pero con una clara tendencia cuadrática que comprobaremos en breve. En el nivel Si

que vemos que hay diferencias en rendimiento en ansiedad baja vs media y entre baja vs alta

pero no entre las condiciones media vs alta . Es decir, el entrenamiento ha conseguido eliminar el

efecto de inversión característico de la ansiedad sobre el rendimiento. Gracias al entrenamiento en

habilidades de afrontamiento de la ansiedad los sujetos del grupo de alta ansiedad han conseguido

mantener el rendimiento en niveles tan altos como en el nivel de ansiedad media que es en realidad

una ansiedad facilitadora (mejora el rendimiento).


244

6.2. ANOVA factorial de medidas repetidas de efecto fijo. Modelo No Aditivo (NA)

Como ya sabemos, en los diseños de medidas repetidas uni o multifactoriales, el factor

sujeto es imprescindible en la adecuada descomposición de la componente de error de los

términos aditivos del anova. En la práctica, el supuesto de aditividad que supone la ausencia

de interacción de este factor sujeto con el resto de los componentes del modelo, es muy poco

realista. Por ello, dado que estas interacciones forman parte de la variabilidad de error

(MCintra ), ésta debe ser descompuesta en las tres interacciones especificadas del factor

sujeto :

6.2.1. El modelo de ANOVA de medidas repetidas de efecto fijo no aditivo

Yijk

= µ + αj+ β

k+ αβ( )

jk+ S

i+ Sα( )

ij+ Sβ( )

ik+ Sαβ( )

ijk+ ε

ij

SCTotal

= SCInter

+ SCS

+ SCIntra

= SCA

+ SCB

+ SCAB( )+ SC

S+ SC

AS+ SC

BS+ SC

AB×S( ) = Varianza explicada( )+ SC

S+ Varianza de error( )

Medias Cuadráticas y grados de libertad.

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) 1 1 ( ) 1 1

( ) 1 1 1 Error

MC A S SC A S J n MC B S SC B S K n

MC AB S SC AB S J K n SC SC A S SC B S SC AB S

× = × − − × = × − −

× = × − − − = × + × + ×

6.2.2. La Tabla resumen del Anova de dos factores de medidas repetidas no aditivo

Fuente de

variación

Sumas

cuadráticas

Grados

de

libertad

Medias Cuadráticas Estadístico

de contraste

Factor A ASC J − 1 MC

A=

SCA

J −1

A

AxS

MC

MC

Error:

A x Sujetos SCAxS

J −1( ) n −1( ) ( ) ( )1 1

ASAxS

SCMC

J n=

− −

Factor B BSC K − 1 MC

B=

SCB

K − 1

B

BxS

MC

MC

Error:

B x Sujetos SCBxS ( )( )1 1K n− − ( ) ( )1 1

BSBxS

SCMC

K n=

− −

Interacción

AB ABSC ( ) ( )1 1J K− − ( ) ( )1 1AB

AB

SCMC

J K=

− − AB

ABxS

MC

MC

Error:

ABx Sujetos SCABxS

J −1( ) K −1( ) n −1( )

MCABxS

=SC

ABS

J − 1( ) K −1( ) n − 1( )


245

De aquí se deduce una primera diferencia fundamental con los diseños completamente

aleatorizados vistos hasta ahora. En los anovas multifactoriales de medidas repetidas no

aditivo, cada efecto tiene su propio error, que surge de la interacción del factor de que se

trate con el de sujeto . Es decir, la varianza de los tratamientos (medidas) a traves de los

sujetos. Dicho de otro modo, qué parte de la variabilidad error es debida a los propios sujetos.

6.2.3. Efectos principales e interacción de A x B en diseños de medidas repetidas NA

Como ya sabemos del tema anterior, los niveles de los factores de medidas repetidas son

variables en sí mismos. En el caso de los diseños factoriales, habrá un anidamiento que va a

complicar la comprensión del concepto de condición experimental en este tipo de diseño. A

continuación presentamos un ejemplo que será de gran utilidad para comprender la puesta en

práctica del análisis de la varianza de este tipo de diseños.

Maxwell and Delaney (1990) midieron el tiempo de reacción de 10 sujetos a estímulos en

presencia o ausencia de ruido ambiental (ruido Si y No), utilizando una inclinación de la

presentación de los estímulos con tres grados diferentes (inclina 0 , 40 y 80 grados

respectivamente). Nos encontramos en un diseño de medidas repetidas Ruido x

Inclinación (2 x 3) con 6 condiciones experimentales. Como todos los sujetos han

pasado por todas las condiciones, dispondremos de 6 medidas por cada uno (6 variables).

tiempo.reaccion = lee.archivo.fnc ('tiempoReaccion.Rdata') RNo_I0 RNo_I4 RNo_I8 RSi_I0 RSi_I4 RSi_I8 1 420 420 480 480 600 780 2 420 480 480 360 480 600 3 480 480 540 660 780 780 4 420 540 540 480 780 900 5 540 660 540 480 660 720 6 360 420 360 360 480 540

En las 6 columnas tenemos en realidad el anidamiento de dos factores Ruido (Si y No) e

inclinacion de la presentación del estímulo con 3 niveles (0, 40 y 80 grados

respectivamente). Por ese motivo necesitamos del ya conocido objeto fac.intra donde

definiremos precisamente esta estructura anidada de medidas repetidas.

fac.intra = list (ruido= c('No','Si'), inclina=c(0,40,80)) fac.intra $ruido [1] "No" "Si" $inclina [1] 0 40 80


246

Ahora fac.intra contiene el anidamiento que existe en los datos de la investigación. Si

observas el nombre de las columnas de tiempo.reaccion , verás que el factor que camina

más rápidamente es inclina mientras que ruido lo hace más lentamente, por eso sabemos

que la estructura del diseño es ruido x inclina y no inclina x ruido . El objeto

fac.intra , recoge de forma precisa ese anidamiento.

En el tema anterior, vimos que aún cuando los datos provienen de un diseño intragrupo

(medidas repetidas) resulta muy conveniente transformarlos a su versión apilada (cada valor

de la variable dependiente ocupará una línea en la base de datos) creando una nueva variable

de nombre sujeto , con la cual controlar que las medidas son en realidad intragrupo y no

intergrupo.

tiempo.reaccion.ap= apila.los.datos.fnc (tiempo.reaccion, fac.intra=fac.intra, col.empieza.mr=1)

#-------------------------------------------------- ---------------- # APILADO DE LOS DATOS #-------------------------------------------------- ---------------- *** Esta es la cabecera de los datos apilados: *** vd sujeto ruido inclina condicion 1 420 suj1 No 0 No.0 2 420 suj2 No 0 No.0 3 480 suj3 No 0 No.0 4 420 suj4 No 0 No.0 5 540 suj5 No 0 No.0 6 360 suj6 No 0 No.0

Ahora con los datos ya apilados podemos iniciar de forma mucho mas simple toda la

actividad exploratoria que caracteriza el trabajo previo con una base de datos. En primer lugar

llevaremos a cabo el cálculo de las medias de los factores y de la interacción.

descriptivos.fnc (tiempo.reaccion.ap, que.factor ='ruido:inclina') #-------------------------------------------------- ---------------- # ESTADISTICOS DESCRIPTIVOS #-------------------------------------------------- ---------------- *** VD: vd $ruido No Si media 500.000 638.000 dt 77.726 152.347 n 30.000 30.000 $inclina 0 40 80 media 477.000 585.000 645.000 dt 74.063 122.925 154.358 n 20.000 20.000 20.000


247

$`ruido-inclina` $`ruido-inclina`$media 0 40 80 No 462 510 528 Si 492 660 762 $`ruido-inclina`$dt 0 40 80 No 56.921 86.023 78.994 Si 88.544 109.545 116.790 $`ruido-inclina`$n 0 40 80 No 10 10 10 Si 10 10 10

La tabla de medias conjuntamente con la gráfica de panel inferior nos indica que cuando la

inclinación es nula parece no haber diferencias entre las condiciones con y sin ruido. A

medida que aumenta la inclinación apreciamos claramente un incremento de la divergencia

entre las condiciones sin y con ruido.

grafica.panel.fnc (tiempo.reaccion.ap, que.factor=' inclina:ruido' , ylim=c(400,800))

Para valorar el curso de cada sujeto a traves de las 6 condiciones experimentales podemos

solicitar nuevamente la misma gráfica de panel en la que incluiremos el argumento x.panel

con valor igual a la variable sujeto (x.panel='sujeto' ). El argumento orden nos

permite definir la estructura gráfica. En este caso deseamos 5 filas y 2 columnas.

grafica.panel.fnc (tiempo.reaccion.ap, que.factor='inclina:ruido', x.panel='sujeto' , orden=c(5,2))


248

Las gráficas de panel nos muestra una tendencia de crecimiento lineal del tiempo de reacción

a medida que se incrementa la inclinación de los estímulos sólo en la condición de ruido

ambiental. Por otra parte, vemos que los sujetos 2 y 5 presentan unos tiempos claramente

divergentes con la aparente interacción que hemos definido en la gráfica de panel general que

hemos descrito anteriormente.

Es el momento de realizar el análisis de la varianza que ponga a prueba las 3 hipótesis nulas

de los efectos principales e interacción de los factores (ruido e inclina ). Lo haremos

inicialmente con los datos en modo intergrupo utilizando la función aov( ) .

Anova.fnc (tiempo.reaccion, fac.intra=fac.intra, col.empieza.mr =1, ylim =c(0,1000), to.pdf =T, color =F, apaisado =T)

Hemos añadido algunos argumentos nuevos a la llamada a la función Anova.fnc . Con

to.pdf=T indicamos que queremos que las gráficas de barras de los intervalos de confianza

sean guardados en un archivo externo en formato pdf. Ademas queremos que estas sean en

blanco y negro (color=F ) y con formato apaisado.


249

#-------------------------------------------------- ---------------- # ANALISIS DE LA VARIANZA #-------------------------------------------------- ---------------- Univariate Type III Repeated-Measures ANOVA Assumin g Sphericity SS num Df Error SS den Df F Pr(>F) (Intercept) 19425660 1 292140 9 598.4 49 1.527e-09 *** ruido 285660 1 76140 9 33.7 66 0.000256 *** inclina 289920 2 64080 18 40.7 19 2.087e-07 *** ruido:inclina 105120 2 20880 18 45.310 9.424e-08 *** --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘. ’ 0.1 ‘ ’ 1

Lo primero que nos llama la atención en esta tabla resumen de Anova es que ahora cada uno

de los efectos tiene su propia suma de cuadrados de error (Error SS ) y por tanto una media

cuadrática de error exclusiva para cada efecto. En lo que a las significaciones se refiere, tal y

como esperábamos todos los efectos han resultado significativos (p < 0.001 ) y de forma

especial el de interacción. Esto hace que nos debamos centrar en este último y obviar los

principales, dado que se convierten en verdades “a medias”. Si observamos las medias de

ambos factores en la tabla anteriormente creada, veremos que ambos efectos principales

hablan de que a mayor inclinación mayor tiempo de reacción y dicha variable dependiente

tiene una media mayor en la condición con ruido ambiental que en la sin ruido. Sin embargo,

si vemos la gráfica de interacción lo que aparentemente podemos valorar es que a mayor

inclinación más tiempo de reacción sólo en presencia de ruido ambiental y por otra parte si el

grado de inclinación es cero entonces el ruido ambiental no parece afectar al tiempo de

reacción a los estímulos. No obstante, debemos realizar los contrastes de efectos simples para

valorar si las distancias comentadas son realmente significativas o no.

6.2.4. Supuesto de esfericidad de la matriz de varianzas y covarianzas de las diferencias

Como recordarás del tema anterior el anova de medidas repetidas requiere del supuesto de

esfericidad de la matriz de varianzas y covarianzas de las diferencias. Como tenemos un

factor con más de dos niveles, tanto este como la interacción requieren del cumplimiento de

esfericidad.

Mauchly Tests for Sphericity Test statistic p-value inclina 0.96011 0.84972 ruido:inclina 0.89378 0.63814 Greenhouse-Geisser and Huynh-Feldt Corrections for Departure from Sphericity GG eps Pr(>F[GG]) inclina 0.96164 3.402e-07 *** ruido:inclina 0.90398 3.454e-07 ***

hp

Nota adhesiva

no hay esfericidad de ruido porque solo tiene dos niveles , y no habra tabla matriz de varianzas y covarianzas


250

HF eps Pr(>F[HF]) inclina 1.2176 2.087e-07 *** ruido:inclina 1.1179 9.424e-08 ***

Observa en primer lugar que dado que el factor ruido solo tiene dos niveles, no se realiza la

prueba de Mauchly para el. En segundo lugar vemos que las dos matrices implicadas son

esféricas (p > 0.05 ). A pesar de ello la función calcula epsilon y la posterior corrección de

la probabilidad asociada (via grados de libertad) tanto por Greenhouse-Geisser como por

Huynh_Feldt.

6.2.5. Intervalos de confianza del patrón de medias

Es el momento de estimar el error asociado al patrón de medias entre las condiciones

experimentales utilizando la media cuadrática de error apropiada a cada efecto. Como ha

resultado significativa la interacción, será éste el único efecto del que calcularemos su

intervalo de confianza. Recuerda que en este tipo de diseños cada efecto tiene su propio error

a diferencia de los diseños completamente aleatorizados que comparten un mismo error.

( )( )( ) ( )( )( )

( )( )( )( )

, 1 1 , 1 1

, 1 1 1

JxS KxSJ j K kcritica gl J n critica gl K n

j k

JKxSJK jk critica gl J K n

jk

MC MCIC Y t IC Y t

n n

MCIC Y t

n

= − − = − −

= − − −

= ± = ±

= ±

MCError.interac=20880/18 error.jk=sqrt(MCError.interac/10)*qt(0.975,18); er ror.jk [1] 22.62762

Las gráficas con los intervalos de confianza aclaran la naturaleza de la interacción que hemos

encontrado. En la de la izquierda donde se comparan los niveles de ruido dentro de cada nivel

de inclinación, vemos que las diferencias en los tiempos de reacción son significativamente

mayores con ruido ambiental si el estímulo es presentado con un ángulo mayor de cero. La

hp

Nota adhesiva

cada uno de los efectos tiene su propio error (horquilla) algo que no pasaba con los inter

hp

Nota adhesiva

la suma total de contrastes que sdkgjsidgj son 9 6 diferencias en la izquierda y 3 en la derecha 13 contrastes en total hay en este diseño , ya que cuando la interaccion es significativa todos los efectos principales se obvian


251

gráfica de la derecha donde comparamos los niveles de inclinación dentro de cada nivel de

ruido, expone una diferencia clara: que la inclinación importa mucho menos cuando no hay

ruido ambiental que cuando si lo hay. En este último caso el tiempo de reacción aumenta

claramente a medida que lo hace el nivel de inclinación de la presentación del estímulo.

6.2.6. Tamaño del efecto y Potencia Observada en el ANOVA de dos factores de medidas

repetidas no aditivo

Como sabemos por temas anteriores, η2 es el cociente resultante de dividir la varianza

explicada por la varianza total. Si observamos la tabla resumen que sale de la función

Anova.fnc verás que la primera columna se corresponde con las sumas de cuadrados inter-

medidas (omitimos la primera con el nombre de Intercept ). La siguiente columna de

sumas de cuadrados, contiene la de sujeto x medida que es precisamente el error de cada

efecto (consulta la tabla genérica para este Anova en la página 244).

$eta2 eta.pr eta.sp pnc power.obs ruido 0.790 0.3393443 33.7660 0.9992 inclina 0.819 0.3444048 81.4382 1.0000 ruido:inclina 0.834 0.1248753 90.6207 1.0000

En total explicamos un 81% de la varianza del tiempo de reacción. Y de ese total la

interacción explica un 12%. La η2 parcial que como recordarás es la varianza explicada por

un efecto de la parte no explicada por el resto. Como puedes ver el sumatorio de las varianzas

parciales es claramente superior a la unidad. Por ese motivo preferiremos siempre la η2

semiparcial que contiene la proporción de varianza que explica cada efecto de forma

independiente al resto.

En lo que a la potencia observada se refiere, hemos obtenido unos resultados con tamaños de

efectos muy grandes y casi grandes para la interacción. En cualquier caso, todos ellos generan

una potencia observada del 100% lo que nos hace concluir que tanto el ruido como la

inclinación así como la interacción de ambos tienen un efecto grande sobre el tiempo de

reacción a los estímulos. De haber realizado esta investigación con una potencia a priori

aceptable diríamos además que nuestros valores de potencia superan claramente los esperados

debido al tamaño de efecto encontrado para cada efecto, lo cual habla de una primera

replicación claramente favorable a los postulados teóricos que generaron la investigación.

hp

Nota adhesiva

eta parcial y eta semiparcial (estas siempre seran ortogonales)


252

6.2.8. Contrastes pos-hoc

Como la interacción ha resultado significativa, obviamos la búsqueda a posteriori de los

contrastes par a par del factor inclinación (inclina ) del estímulo y realizaremos por tanto

los contrastes de efectos simples para descomponer dicho efecto en los JK( J-1 )/2

comparaciones de ruido en cada nivel de inclina y los JK( K-1 )/2 contrastes de factor

inclina en cada nivel de ruido .

6.2.9. Contrastes de efectos simples

En la gráfica de intervalos de confianza de la interacción pudimos valorar cualitativamente la

naturaleza de dicha interacción. Es el momento de plantearnos la búsqueda de efectos simples

incluyendo el argumento poshoc al que asignaremos la interacción de la que deseamos

estudiar sus efectos simples.

Anova.fnc (tiempo.reaccion, fac.intra=fac.intra, col.empieza.mr =1, poshoc= 'ruido:inclina' )

#-------------------------------------------------- ---------------- # EFECTOS SIMPLES #-------------------------------------------------- ---------------- $que.vd [1] "vd" $interaccion [1] "ruido:inclina" $medias 0 40 80 No 462 510 528 Si 492 660 762 $efectos.simples $efectos.simples[[1]] [1] "Contraste_inclina_en_cada_nivel_de_ruido" $efectos.simples$BinA $efectos.simples$BinA$No t df eta2 p p.hocberg 0-40 -2.4494897 9 0.400 0.03679 0.07358 0-80 -3.4979930 9 0.576 0.00674 0.02022 40-80 -0.7092994 9 0.053 0.49610 0.49610 $efectos.simples$BinA$Si t df eta2 p p.hocberg 0-40 -8.573214 9 0.891 0.00001 0.00005 0-80 -9.925397 9 0.916 0.00000 0.00000 40-80 -5.666667 9 0.781 0.00031 0.00124


253

$efectos.simples[[3]] [1] "Contraste ruido_en_cada_nivel_de_inclina" $efectos.simples$AinB $efectos.simples$AinB$`0` t df eta2 p p.hocberg No-Si -1.245682 9 0.147 0.24433 0.24433 $efectos.simples$AinB$`40` t df eta2 p p.hocberg No-Si -4.442617 9 0.687 0.00162 0.00324 $efectos.simples$AinB$`80` t df eta2 p p.hocberg No-Si -11.20657 9 0.933 0 0

Los efectos simples de ruido en cada nivel de inclina nos indican que cuando el nivel de

inclinación tiene cero grados no hay diferencias en el tiempo de reacción entre los niveles de

ruido (con y sin ruido ambiental). Sin embargo, la disminución de la probabilidad asociada en

el resto de los niveles de inclinaciones, nos habla de que a mayor inclinación mayor tamaño

de efecto asociado al ruido ambiental.

Si valoramos los 3 contrastes dentro de inclinación en cada nivel de ruido tenemos 6

comparaciones. Las 3 primeras sin ruido ambiental nos indica que sólo existe diferencia entre

el nivel de 0 inclinación y de 80 grados (p < 0.05). Sin embargo, con ruido ambiental hay

diferencias entre todas las condiciones y el tiempo de reacción parece tener un incremento

lineal a medida que crece la inclinación de la presentación de los estímulos. Dado que este

efecto tendencial se da específicamente en la condición de ruido podemos realizar el contraste

de tendencias para dicho efecto. Observa en la matriz de datos que ello implica a las columnas

4 a 6 y por supuesto solo al factor inclina . Por ese motivo el análisis de tendencia lo

haremos solo sobre la submatriz de datos de las 3 inclinaciones medidas con ruido. Observa

que ahora fac.intra solo debe tener un factor (inclina ) que es precisamente el segundo

elemento de la lista fac.intra .

Anova.fnc (tiempo.reaccion, fac.intra = fac.intra[2] , col.empieza.mr=4 , poshoc='inclina', contrastes= 'tendencia' )

#-------------------------------------------------- ---------------- # POSHOC #-------------------------------------------------- ---------------- $vd [1] "vd" $factor [1] "inclina"


254

$medias 0 40 80 492 660 762 $contrastes [1] "tendencia" $contrastes Valor errT gl t p.v al inclina.Lineal 190.9188 15.5349 18 12.2897 0.0000 inclina.Cuadratico -26.9444 15.5349 18 -1.7344 0.09 99

Rechazamos la hipótesis nula que declara la no linealidad con lo que consideramos que con

ruido ambiental, existe una relación lineal positiva entre el grado de inclinación y el tiempo de

reacción a los estímulos.


255

Ejercicio 2

En Hays, 1988, Table 13.21.2, p. 518 tenemos los datos de una investigación donde se ha encargado a unos psicólogos que

lleven a cabo un estudio que ayude a diseñar el panel de control de un dispensador de medicamentos intravenoso. El

propósito de la investigación está en encontrar la mejor combinación de forma y color para los botones de dicho panel que

disminuyan al máximo los errores en su manipulación por parte de médicos y enfermeros. Se desea probar dos

combinaciones de colores (claros y oscuros) y dos tipos de formas (círculos y cuadrados).

forma.color =data.frame(c1f1=c(49,47,46,47,48,47,41 ,46,43,47,46,45), c1f2=c(48,46,47,45,49,44,44,45,42,45,45,40), c2f1=c(49,46,47,45,49,45,41,43,44,46,45,40), c2f2=c(45,43,44,45,48,46,40,45,40,45,47,40)) forma.color c1f1 c1f2 c2f1 c2f2 1 49 48 49 45 2 47 46 46 43 3 46 47 47 44 4 47 45 45 45 5 48 49 49 48 6 47 44 45 46 7 41 44 41 40 8 46 45 43 45 9 43 42 44 40 10 47 45 46 45 11 46 45 45 47 12 45 40 40 40

Definamos la estructura interna de medidas repetidas mediante la creación del objeto fac.intra .

fac.intra= list ( color =c('col1','col2'), forma =c('for1','for2')) fac.intra $color [1] "col1" "col2" $forma [1] "for1" "for2"

Apilamos los datos con apila.los.datos.fnc .

forma.color.ap = apila.los.datos.fnc (forma.color, fac.intra=fac.intra, col.empieza.mr=1) #-------------------------------------------------- ---------------- # APILADO DE LOS DATOS #-------------------------------------------------- ---------------- *** Esta es la cabecera de los datos apilados: *** vd sujeto color forma condicion 1 49 suj1 col1 for1 col1.for1 2 47 suj2 col1 for1 col1.for1 3 46 suj3 col1 for1 col1.for1 4 47 suj4 col1 for1 col1.for1 5 48 suj5 col1 for1 col1.for1 6 47 suj6 col1 for1 col1.for1

Ya podemos solicitar el gráfico de panel donde valorar los posibles efectos del diseño así como el

curso temporal de cada sujeto a través de las 4 condiciones experimentales.

grafica.panel.fnc (forma.color.ap, que.factor= 'forma:color', ylim=c( 43,47)) grafica.panel.fnc (forma.color.ap, que.factor= 'forma:color',

x.panel= 'sujeto')


256

La gráfica promedio nos indica que la combinación que genera el menor número de errores se sitúa en

la condición color 2 (oscuro) y forma 2 (cuadrado). No parece que exista efecto de interacción dado

que el color oscuro es siempre superior al claro y la forma cuadrada lo es a la redonda. El siguiente

gráfico por sujeto nos permite ver cómo han sido los valores registrados para cada sujeto de la

investigación. Vemos que la conducta es dispar entre los sujetos, por ello esperamos mucho error en la

varianza asociada a la interacción.

Anova.fnc (forma.color, fac.intra=fac.intra, col.empieza.mr=1 ) #-------------------------------------------------- ---------------- # ANALISIS DE LA VARIANZA #-------------------------------------------------- ---------------- Univariate Type III Repeated-Measures ANOVA Assumin g Sphericity SS num Df Error SS den Df F Pr(>F) (Intercept) 97200 1 226.5 11 4720.5298 7.708e-16 *** color 12 1 9.5 11 13.8947 0.003338 ** forma 12 1 17.5 11 7.5429 0.019012 * color:forma 0 1 30.5 11 0.0000 1.000000 --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘. ’ 0.1 ‘ ’ 1

Vemos que hay efecto significativo del color y de la forma pero no interacción de ambos. Como

los factores tienen cada uno dos niveles no tendremos problemas de esfericidad ni para ellos ni para la

interacción. Por ese motivo no necesitamos la prueba de esfericidad de Mauchly ni por supuesto la

estimación de épsilon

$eta2 eta.pr eta.sp pnc power.obs color 0.558 0.1472393 13.8947 0.9232 forma 0.407 0.1472393 7.5429 0.7060 color:forma 0.000 0.0000000 0.0000 0.0500

Ambos efectos tienen la misma importancia (14%), sin embargo la potencia observada es mucho

mayor para el efecto de color .


257

Como conclusión tenemos que en el diseño del panel, deben primar los colores oscuros para los

botones de mando F(1,11)=13.9 p < 0.01, η2=0.15, 1- β=0.92 y estos deben ser

cuadrados frente a redondos F(1,11)=7.5 p < 0.05 η2=0.15, 1- β=0.70 , porque esa

combinación genera el menor número de errores en las prescripciones de fármacos a los enfermos

realizadas por los usuarios de la máquina.

6.3. ANOVA multifactorial Split-plot

En este apartado trataremos el último de los tipos de ANOVA multifactoriales de efecto fijo.

Hablamos de los ANOVAS split-plot. En ellos tenemos la combinación de los dos

anteriormente estudiados inter e intrasujetos. Un ejemplo lo tenemos en la base de datos

06_split_plot.dat donde disponemos de las puntuaciones de 30 sujetos que han sido

asignados aleatoriamente a tres tipos de tratamiento: A, B y C (factor intergrupo) y se les ha

medido a cada uno en tres ocasiones: antes, después del tratamiento y 6 meses después como

medida de seguimiento (factor intragrupo). Estamos pues ante un diseño split-plot

Tratamiento x Medida (3 x 3).

mixto = lee.archivo.fnc ('06_split_plot.dat',hay.nombres=T) *** El archivo 06_split_plot.dat contiene 30 sujetos y 4 variables *** antes despues seguimiento tratamiento 1 1.528631 33.03770 23.27553 A 2 24.048670 35.53573 37.21592 A 3 15.715593 35.18034 35.31664 A 4 21.411864 38.06714 32.65310 A 5 12.334346 28.56048 31.16257 A 6 19.120321 37.11334 32.95115 A


258

6.3.1. El modelo de ANOVA split-plot

En la ecuación del modelo lineal general para este tipo de diseños, tenemos el factor A

completamente aleatorizado (intersujetos) y el factor B de medida repetida, por ese motivo, se

estima la componente de interacción de dicho factor con el de sujetos.

Y

ijk= µ + α

j+ β

k+ αβ( )

jk+ S

i+ Sβ( )

ik+ ε

ij

Como en todo análisis de la varianza descompondremos la variabilidad total de la variable

dependiente en dos componentes: varianza explicada y varianza de error. Ahora la

variabilidad explicada está compuesta por dos subcomponentes: la variabilidad explicada por

el factor intergrupo y la explicada con origen en la parte intragrupo del diseño. Esta última,

está formada por el factor intragrupo más la interacción de ambos factores. Así mientras que

el error de la varibilidad inter es la suma cuadrática del factor sujetos. El error intra

común al factor intra y a la interacción está formado por la interacción del factor

intragrupo por el de sujeto.

( )

( ) ( )( )

int int

int int Total ersujetos rasujetos

ersujetos A S rasujetos B AB B S

Total A S B AB B S

SC SC SC

SC SC SC SC SC SC SCSC

SC SC SC SC SC SCSC

×

×

= +

= + = + +

= + + + +

Grados de libertad.

( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

: 1 : 1

: 1 : 1

: 1 : 1 1 : 1 1

Inter Intra

A B

S AB B S

SC nJ SC nJ K

SC J SC K

SC J n SC J K SC J K n×

− −− −

− − − − −

Medias cuadráticas

( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( ) ( )

1 1 1 1 1 1 1

B SA S B ABA S B ABB S

A B ABA B AB

S B S B S

SCSC SC SC SCMC MC MC MC MC

J J n K J K n J K

MC MC MCF F F

MC MC MC

××

× ×

= = = = =− − − − − − −

= = =


259

6.3.2. La tabla resumen del ANOVA split-plot

Fuente de

variación

Sumas

cuadráticas

Grados

de

libertad

Medias Cuadráticas Estadístico

de contraste

Intersujetos

Factor A ASC J −1

Sujetos SSC J n − 1( )

SC

SJ n − 1( )

Intrasujetos

Factor B BSC K − 1 SC

BK − 1( ) B

BxS

MC

MC

Interacción

AB ABSC ( ) ( )1 1J K− −

SCAB

J −1( ) K −1( ) AB

BxS

MC

MC

Error:

B x Sujetos BSSC J K −1( ) n −1( )

SCBS

J K −1( ) n −1( )

Observa cómo el efecto de B y de AxB comparten la misma media cuadrática de error MCBxS.

6.3.3. Efectos principales e interacción en el ANOVA split-plot

Retomaremos ahora la data.frame presentada en el inicio de este capítulo a la que hemos

llamado mixto . En ella podemos detectar como ya sabemos dos efectos principales y una

interacción.

nombres.var (mixto) nombre numero tipo 1 antes 1 numeric 2 despues 2 numeric 3 seguimiento 3 numeric 4 tratamiento 4 factor

Comprobamos que las variables están correctamente categorizadas como factores

(tratamiento ) y las tres medidas como numéricas. Seguidamente generaremos la matriz

con las medias de los tres momentos temporales en los tres niveles de la variable intergrupo

tratamiento.

fac.inter ='tratamiento' fac.intra =list( tiempo = c('antes','despues','seguimiento'))

Apilamos los datos para realizar los pasos exploratorios previos.

SC

AJ − 1( ) MC

AMC

AxS


260

mixto.ap = apila.los.datos.fnc (mixto, fac.inter=fac.inter, fac.intra = fac.intra, col.empieza.mr=1)

#-------------------------------------------------- ---------------- # APILADO DE LOS DATOS #-------------------------------------------------- ---------------- *** Esta es la cabecera de los datos apilados: *** vd tiempo sujeto tratamiento condicion 1 1.528631 antes suj1 A A.antes 2 24.048670 antes suj2 A A.antes 3 15.715593 antes suj3 A A.antes 4 21.411864 antes suj4 A A.antes 5 12.334346 antes suj5 A A.antes 6 19.120321 antes suj6 A A.antes

Solicitamos estadísticos descriptivos y gráficos exploratorios.

descriptivos.fnc (mixto.ap, que.factor= 'tratamiento:tiempo ', grafica=T ) descriptivos.fnc (mixto.ap, que.factor= 'tiempo:tratamiento ', grafica=T )

Solicitamos los estadísticos descriptivos omitiendo el argumento vd porque cuando esa

variable existe en la base de datos y es la de interés la función asume que es la que se desea

analizar. Por otra parte observa que hemos repetido la llamada a la función, porque deseamos

dos gráficas una de tratamiento x tiempo y la de tiempo x tratamiento .

$`tratamiento-tiempo` $`tratamiento-tiempo`$media antes despues seguimiento A 13.92 33.597 30.766 B 15.92 39.597 44.766 C 17.92 35.597 23.766 $`tratamiento-tiempo`$dt antes despues seguimiento A 7.491 4.398 4.514 B 7.491 4.398 4.514 C 7.491 4.398 4.514 $`tratamiento-tiempo`$n antes despues seguimiento A 10 10 10 B 10 10 10 C 10 10 10


261

Vemos que, en general, todos los tratamientos provocan un cambio importante entre los

valores de la medida previa de línea base y el post-tratamiento (antes y despues ). Sin

embargo, en la fase de seguimiento los sujetos del tratamiento A parecen conservar los

resultados terapéuticos así como los del B. Los enfermos del tratamiento C, sin embargo,

retroceden hacia valores próximos a los registrados antes del tratamiento. Analizaremos estos

datos mediante el análisis de la varianza para diseños split-plot.

Anova.fnc (mixto, fac.inter=fac.inter, fac.intra=fac.intra, col.empieza.mr=1, ylim=c(0,60), color=F) Univariate Type III Repeated-Measures ANOVA Assuming Sphericity SS num Df Error SS den Df F Pr(>F) (Intercept) 20427.6 1 2010.31 27 2 74.358 1.140e-15 *** tratamiento 1126.7 2 2010.31 27 7.566 0.002461 ** tiempo 2263.2 2 576.98 54 1 05.908 < 2.2e-16 *** tratamiento:tiempo 1426.7 4 576.98 54 33.380 5.106e-14 *** --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘. ’ 0.1 ‘ ’ 1 Mauchly Tests for Sphericity Test statistic p-value tiempo 0.74257 0.02087 tratamiento:tiempo 0.74257 0.02087 Greenhouse-Geisser and Huynh-Feldt Corrections for Departure from Sphericity GG eps Pr(>F[GG]) tiempo 0.79527 < 2.2e-16 *** tratamiento:tiempo 0.79527 1.424e-11 *** --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘. ’ 0.1 ‘ ’ 1 HF eps Pr(>F[HF]) tiempo 0.837 < 2.2e-16 *** tratamiento:tiempo 0.837 4.512e-12 *** --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘. ’ 0.1 ‘ ’ 1


262

La prueba de Mauchly resulta significativa (p < 0.05) tanto para el factor de medidas

repetidas tiempo como para la interacción de este con el tratamiento . Por este motivo

debemos corregir los grados de libertad del estadístico de contraste F con la épsilon de

Greenhause-Geisser estimada de 0.79. Dicha corrección nos sigue conduciendo al mismo

resultado de significación para ambos efectos (p < 0.001 ).

6.3.4. Potencia y tamaño del efecto

$eta2 eta.pr eta.sp pnc power.obs tratamiento 0.359 0.152 15.1320 0.9186 tiempo 0.797 0.306 672.9069 1.0000 tratamiento:tiempo 0.712 0.193 133.5228 1.0000

El tamaño de efecto mayor corrresponde al factor de medidas repetidas tiempo seguido por la

interacción tratamiento:tiempo con un 19%. El tratamiento ha generado una varianza

explicada del 15%. En lo que a la potencia observada se refiere podemos ver que contamos

con valores de potencia del 100% para dos efectos y del 92 para el factor intergrupo

tratamiento..

6.3.5. Intervalos de confianza

Como el factor de medida repetida (medida) y la interacción con el factor tratamiento

comparten el mismo error. Los intervalos de confianza para ambos efectos utilizan la misma

media cuadrática de error y por supuesto los mismos grados de libertad para el cáculo de la t

crítica para la confianza deseada.

( )( ) ( )( )( )

( )( )( )

, 1 , 1 1

, 1 1

S KxSJ j K kcritica gl J n critica gl J K n

j

KxSJK jk critica gl J K n

jk

MC MCIC Y t IC Y t

n n

MCIC Y t

n

= − = − −

= − −

= ± = ±

= ±

Como ha resultado significativa la interacción, obviamos los efectos principales y nos

situaremos en la comprensión de la naturaleza de la misma valorando las gráficas de barras

con los intervalos de confianza que ya conocemos de apartados anteriores generadas con el

algoritmo anterior.


263

La naturaleza de la interacción encontrada queda claramente desvelada en las dos gráficas de

barras. En la de la izquierda vemos que todos los tratamientos tienen un efecto significativo

de cambio entre la medida previa y la realizada después del tratamiento. Sin embargo

mientras que los tratamientos A y B conservan el beneficio terapéutico entre las fases despues

y seguimiento. El tratamiento C hace que los sujetos en esta última fase pieerdan una gran

parte del logro adquirido fruto del tratamiento. En la gráfica derecha vemos que los suetos

pertenecientes al tratamiento C parecen presentar un nivel aparentemente mayor en la medida

previa. El tratamiento B parece generar el mayor beneficio terarapéutico tanto en la medida

posterior como en la de seguimiento.

6.3.6. Efectos simples

Para constatar y cuantificar estas diferencias, estudiaremos la interacción mediante los efectos

simples que solicitaremos mediante la inclusión de dicha interacción en el argumento

poshoc .

Anova.fnc (mixto, fac.inter=fac.inter, fac.intra=fac.intra, col.empieza.mr=1, poshoc ='tiempo:tratamiento',

etiqueta=c(2.5,40) )

La ubicación de la etiqueta en la gráfica de la interacción la logramos variando los valores del

argumeto etiqueta por ensayo y error. El primer valor define al eje x que como veras tiene

3 posiciones y el segundo al eje y . El valor de 2.5 se refiere a que queremos la etiqueta entre

los niveles despues y seguimiento y a la altura de 40 en el eje y .


264

#-------------------------------------------------- ---------------- # EFECTOS SIMPLES #-------------------------------------------------- ---------------- $que.vd [1] "vd" $interaccion [1] "tratamiento:tiempo" $medias antes despues seguimiento A 13.92021 33.59669 30.7664 B 15.92021 39.59669 44.7664 C 17.92021 35.59669 23.7664 $efectos.simples $efectos.simples[[1]] [1] " Contraste_tiempo_en_cada_nivel_de_tratamiento " $efectos.simples$BinA $efectos.simples$BinA$A t df eta2 p p.ho cberg antes-despues -10.97323 9 0.930 0.00000 0. 00000 antes-seguimiento -12.93737 9 0.949 0.00000 0. 00000 despues-seguimiento 2.31089 9 0.372 0.04617 0. 04617 $efectos.simples$BinA$B t df eta2 p p.h ocberg antes-despues -13.203954 9 0.951 0.00000 0 .00000 antes-seguimiento -22.153008 9 0.982 0.00000 0 .00000 despues-seguimiento -4.220983 9 0.664 0.00224 0 .00448 $efectos.simples$BinA$C t df eta2 p p.ho cberg antes-despues -9.857861 9 0.915 0.00000 0. 00000 antes-seguimiento -4.489700 9 0.691 0.00151 0. 00448 despues-seguimiento 9.659246 9 0.912 0.00000 0. 00000


265

$efectos.simples[[3]] [1] " Contraste tratamiento_en_cada_nivel_de_tiempo " $efectos.simples$AinB $efectos.simples$AinB$antes t df eta2 p p.hocberg A-B -0.5970243 18 0.019 0.55793 0.55793 A-C -1.1940486 18 0.073 0.24796 0.55793 B-C -0.5970243 18 0.019 0.55793 0.55793 $efectos.simples$AinB$despues t df eta2 p p.hocberg A-B -3.050754 18 0.341 0.00688 0.04128 A-C -1.016918 18 0.054 0.32267 0.55793 B-C 2.033836 18 0.187 0.05698 0.28490 $efectos.simples$AinB$seguimiento t df eta2 p p.hocberg A-B -6.935298 18 0.728 0.00000 0.00000 A-C 3.467649 18 0.400 0.00275 0.01925 B-C 10.402946 18 0.857 0.00000 0.00000

Según los contrastes de efectos simples de diferencias par a par entre las tres medidas

repetidas tenemos que todos los tratamientos generan diferencias significativas entre antes y

después. Sin embargo, mientras que en el tratamiento A se produce una bajada significativa

de la variable dependiente entre el post-tratamiento y el seguimiento, esta caída es mucho más

acusada en el tratamiento C donde los sujetos pierden una proporción importante de los

beneficios de dicha terapia. Los sujetos del tratamiento B, sin embargo, mejoran entre el

postest y el seguimiento.

En lo que a las diferencias entre los tratamientos se refiere, en cada medida repetida tenemos

que todos los sujetos tienen el mismo nivel de la variable dependiente en la medida previa de

línea base (antes ). Sin embargo, en el pos-test, vemos que el mejor es el tratamiento B

mientras que A y C generan el mismo resultado. En el seguimiento encontramos que hay

diferencias significativas entre todos los pares correspondiendo el mayor valor nuevamente

para el tratamiento B.


266

Ejercicio 3

Deseamos probar si la ideología política y el género del sujeto afectan a las medidas fisiológicas de conductancia

de la piel cuando dichos sujetos son sometidos a tres condiciones de medidas repetidas de visión de tres spots

publicitarios de carácter social. En el primero los sujetos observan un spot favorable al uso de preservativos para

los adolescentes. En el segundo otro contrario al aborto y el tercero uno favorable al ateísmo. Los datos

recogidos en 60 sujetos (30 hombres y 30 mujeres con la mitad de cada uno de ellos pertenecientes al partido A

y al B de ideología política opuesta) se encuentran en la base de datos 06_actitud.partidos.dat .

Nos encontramos ante un diseño split-plot con dos factores intergrupo (género y partido político de

pertenencia) y un factor intragrupo constituido por las tres medidas de conductancia de la piel en tres

condiciones de medidas repetidas relativas a la visión de tres spots publicitarios: preservativo, aborto y

ateísmo. Tenemos por tanto un diseño factorial split-plot Género x Partido x Conductancia ( 2 x 2 x 3).

datos = lee.archivo.fnc ( '06_actitud_partidos.dat' , hay.nombres =T) preser aborto ateo genero partido 1 1.9793986 2.50584191 2.3440054 hombre A 2 1.1992648 2.10767672 1.3978532 hombre A 3 -1.3011862 -1.07471635 0.5837000 hombre A 4 0.3970066 0.08963142 1.6704065 hombre A 5 1.4361748 1.47515811 2.4090396 hombre A 6 0.0807889 0.56645722 0.5490565 hombre A

dimension (datos)

El objeto es una matriz que pertenece a la clase data.frame y tiene 60 filas y 5 columnas (variables)

Definimos la estructura del diseño con los dos factores intergrupo y el factor de medidas

repetidas mediante los objetos fac.inter y fac.intra .

fac.intra = list (actitud=c('preser','aborto','ateo')) fac.inter = c('partido', 'genero') datos.ap = apila.los.datos.fnc (datos, fac.inter=fac.inter, fac.intra=fac.intra, col.empieza.mr=1) *** Esta es la cabecera de los datos apilados: *** vd actitud sujeto partido genero condicion 1 1.9793986 preser suj1 A hombre A.hombre .preser 2 1.1992648 preser suj2 A hombre A.hombre .preser 3 -1.3011862 preser suj3 A hombre A.hombre .preser 4 0.3970066 preser suj4 A hombre A.hombre .preser 5 1.4361748 preser suj5 A hombre A.hombre .preser 6 0.0807889 preser suj6 A hombre A.hombre .preser


267

descriptivos.fnc (datos.ap, que.factor = 'partido:actitud:genero' ) $` media . partido : actitud : genero ` hombre mujer A preser 0.3438117 0.3160045 aborto 0.8920835 0.3850044 ateo 1.2382575 -0.2755531 B preser 0.3208037 0.1547946 aborto 0.1604082 0.2910100 ateo 0.5461609 0.9345745 $` dt .partido:actitud:genero` hombre mujer A preser 0.9552307 1.1318947 aborto 1.1659275 1.3068429 ateo 0.9372613 1.0450127 B preser 0.9782662 0.7506092 aborto 0.5812190 0.9149367 ateo 0.7662356 1.0205062 $` n.partido:actitud:genero` hombre mujer A preser 15 15 aborto 15 15 ateo 15 15 B preser 15 15 aborto 15 15 ateo 15 15

Vemos que tenemos 15 hombres que votan al partido A y otros 15 al partido B. Las mujeres

son igualmente 15 y 15 para ambos partidos. Tenemos por tanto un diseño equilibrado con el

mismo número de objservaciones por condición experimenta.

grafica.panel.fnc (datos.ap, que.factor= 'actitud:partido', x.panel='genero', yl im=c(-0.5,1.5))

Con la siguiente gráfica de panel podemos valorar la posible interacción triple de actitud x

partido y por genero .


268

En la gráfica anterior hemos solicitado en cada panel (x.panel) los niveles del factor genero .

Es por tanto la forma ideal de explorar gráficamente la posible existencia de una interacción

triple. En ella vemos que hombres y mujeres tienen una actitud muy diferente hacia el ateismo

y el aborto según sean votantes del partido A o B.

x.genero= divide.por.factor.fnc (datos.ap, que.factor= 'genero')

Como deseamos ver el paso de cada sujetos (hombres y mujeres) por todas las condiciones

experimentales, solicitamos una lista (x.genero ) mediante la función descrita en el capítulo

3 divide.por.factor.fnc que divide la base de datos apiladas en dos partes: hombres y

mujer . Cada uno de los elementos de esa lista los utilizaremos en dos nuevas gráficas de

panel indicando en el argumento x.panel la variable sujeto .

grafica.panel.fnc( x.genero$hombre , que.factor= 'actitud:partido', x.panel='sujeto')

En la gráfica siguiente correspondiente a cada uno de los 30 hombres de la investigación

separados por colores según el partido al que votan (A o B). Vemos un curso irregular y

semialeatorio de los sujetos a lo largo de las 3 medidas actitudinales.

grafica.panel.fnc( x.genero$mujer , que.factor= 'actitud:partido', x.panel='sujeto')


269

Anova.fnc (datos, fac.inter=fac.inter, fac.intra=fac.intra, col.empieza.mr=1) Univariate Type III Repeated-Measures ANOVA Assumin g Sphericity SS num Df Error SS den Df F Pr(>F) (Intercept) 30.6072 1 115.148 56 14.8852 0.0002977 *** partido 5.2329 1 115.148 56 2.5449 0.1162772 genero 10.4929 1 115.148 56 5.1030 0.0277965 * partido:genero 7.2102 1 115.148 56 3.5066 0.0663507 . actitud 6.1024 2 46.626 1 12 7.3292 0.0010202 ** partido:actitud 2.3786 2 46.626 1 12 2.8569 0.0616443 . genero:actitud 8.6285 2 46.626 1 12 10.3633 7.423e-05 *** partido:genero:actitud 7.9555 2 46.626 112 9.5549 0.0001474 *** --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘. ’ 0.1 ‘ ’ 1

Asumiendo esfericidad hemos encontrado efecto de interacción triple partido:genero:actitud .

Debemos valorar ahora la esfericidad o no de dicho efecto de interes mediante la prueba de Mauchly.

Mauchly Tests for Sphericity Test statistic p-value actitud 0.82206 0.0045686 partido:actitud 0.82206 0.0045686 genero:actitud 0.82206 0.0045686 partido:genero:actitud 0.82206 0.0045686 Greenhouse - Geisser and Huynh-Feldt Corrections for Departure from Sphericity GG eps Pr(>F[GG]) actitud 0.84894 0.0019608 ** partido:actitud 0.84894 0.0709140 . genero:actitud 0.84894 0.0002037 *** partido:genero:actitud 0.84894 0.0003682 ***


270

HF eps Pr(>F[HF]) actitud 0.8727 0.0017689 ** partido:actitud 0.8727 0.0693752 . genero:actitud 0.8727 0.0001737 *** partido:genero:actitud 0.8727 0.0003187 *** --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘. ’ 0.1 ‘ ’ 1

La prueba de Mauchly ha resultado significativa (p <0.01) para todas las matrices implicadas. La

corrección de GH para la épsilon estimada de 0.82 conduce a una ligera disminución de las

probabilidades asociadas a los contrastes que resultaron significativos asumiendo espericidad pero no

cambian ninguna de las significaciones anteriormente encontradas.

$eta2 eta.pr eta.sp pnc power.obs partido 0.043 0.025 0.1471 0.0664 genero 0.084 0.050 1.7480 0.2550 partido:genero 0.059 0.034 3.5066 0.4525 actitud 0.116 0.029 7.7282 0.6891 partido:actitud 0.049 0.011 8.1375 0.7130 genero:actitud 0.156 0.041 4.3901 0.4403

Los tamaños de efecto y potencias observadas son en general bajas como corresponden a la

gran variabilidad que hemos detectado en el análisis gráfico por sujetos. Es el momento de

solicitar los contrastes de efectos simples para la interacción triple. El estudio de una

interacción triple implica estudiar una interacción doble en cada nivel del tercer factor que

llamaremos pivote. En el ejemplo siguiente deseamos ivestigar la interacción actitud:genero

en cada nivel del factor intergrupo partido que actuará de pivote (se nombra en primer lugar

en la interacción). El segundo factor ocupará el eje y en las gráficas y el tercero definirán las

líneas en el interior de la gráfica. Si deseamos otro factor de pivotado u otro ordenamiento x e

y, basta con cambiar el orden de la interacción triple que deseamos.

Anova.fnc (datos, fac.inter=fac.inter, fac.intra=fac.intra, col.empieza.mr=1, poshoc= 'partido:actitud:genero',etiqueta=c(1,1) ) #-------------------------------------------------- ---------------- # INTERACCION TRIPLE #-------------------------------------------------- ---------------- $A # PARTIDO A $A$que.vd [1] "vd" $A$interaccion [1] "actitud:genero" $A$medias hombre mujer preser 0.3438117 0.3160045 aborto 0.8920835 0.3850044 ateo 1.2382575 -0.2755531


271

$A$efectos.simples $A$efectos.simples[[1]] [1] " Contraste_genero_en_cada_nivel_de_actitud " $A$efectos.simples$BinA $A$efectos.simples$BinA$preser t df eta2 p p.hoc berg hombre-mujer 0.07271414 27.23066 0 0.94257 0.9 4257 $A$efectos.simples$BinA$aborto t df eta2 p p.hocb erg hombre-mujer 1.121369 27.64324 0.044 0.27178 0.54 356 $A$efectos.simples$BinA$ ateo t df eta2 p p.hocb erg hombre-mujer 4.176647 27.67484 0.387 0.00027 0.00081 $A$efectos.simples[[3]] [1] "Contraste actitud_en_cada_nivel_de_genero" $A$efectos.simples$AinB $A$efectos.simples$AinB$hombre t df eta2 p p.hocberg preser-aborto 2.406099 14 0.293 0.03051 0.09153 preser-ateo 3.237696 14 0.428 0.00596 0.03576 aborto-ateo -1.459501 14 0.132 0.16650 0.33300 $A$efectos.simples$AinB$mujer t df eta2 p p.hocberg preser-aborto 0.4409581 14 0.014 0.66598 0.66598 preser-ateo -2.4285742 14 0.296 0.02922 0.09153 aborto-ateo 2.9872017 14 0.389 0.00980 0.04900 $B # PARTIDO B $B$que.vd [1] "vd" $B$interaccion [1] "actitud:genero" $B$medias hombre mujer preser 0.3208037 0.1547946 aborto 0.1604082 0.2910100 ateo 0.5461609 0.9345745


272

$B$efectos.simples $B$efectos.simples[[1]] [1] "Contraste_genero_en_cada_nivel_de_actitud" $B$efectos.simples$BinA $B$efectos.simples$BinA$preser t df eta2 p p.hocb erg hombre-mujer 0.5214299 26.24147 0.01 0.60644 0.64 501 $B$efectos.simples$BinA$aborto t df eta2 p p.ho cberg hombre-mujer -0.4666482 23.71697 0.009 0.64501 0. 64501 $B$efectos.simples$BinA$ateo t df eta2 p p.hoc berg hombre-mujer -1.178798 25.97827 0.051 0.24916 0.6 4501 $B$efectos.simples[[3]] [1] "Contraste actitud_en_cada_nivel_de_genero" $B$efectos.simples$AinB $B$efectos.simples$AinB$hombre t df eta2 p p.hocberg preser-aborto -0.8429244 14 0.048 0.41344 0.61338 preser-ateo 0.9588228 14 0.062 0.35392 0.61338 aborto-ateo -3.0097093 14 0.393 0.00937 0.05095 $B$efectos.simples$AinB$mujer t df eta2 p p.hocberg preser-aborto 0.5167696 14 0.019 0.61338 0.61338 preser-ateo 2.2102381 14 0.259 0.04424 0.17696 aborto-ateo -2.9672404 14 0.386 0.01019 0.05095

La interacción triple nos habla de que hombres y mujeres tienen una diferente respuesta de

conductancia en función de la ideología exclusivamente en los spots sobre ateismo. En este sentido,

las hombres del partido A tienen una respuesta superior a las mujeres del mismo partido. Las

comparaciones entre las respuestas a las distintas actitudes se refiere no resultan de interes para la

investigación.

6 AVAR Factorial

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