8. Problemas de óptica física

Colegio Ntra. Sra. de la Fuencisla · Segovia

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HOJA 8 – ÓPTICA FÍSICA

TIPO 42 LIBRO PÁGINA 208: ejercicios 1, 5, 7 y 13. 8.1. El Sol está a 1’5·∙1011 m de la Tierra. ¿Cuánto tarda la luz solar en llegar a la Tierra?

Sol: 8’33 min 8.2. Un índice absoluto de refracción, puede ser menor que la unidad? ¿Por qué?

Sol: No, porque… 8.3. Una antena emite una onda electromagnética de frecuencia 50 kHz.

a) Calcula su longitud de onda. b) Determina la longitud de onda de una onda sonora de la misma frecuencia. 𝑣!"#$%" = 340 𝑚/𝑠 Sol: 𝒂) 𝝀 = 𝟔𝟎𝟎𝟎 𝒎; 𝒃) 𝝀 = 𝟔!𝟖 · 𝟏𝟎!𝟑 𝒎

8.4. El espectro visible en el aire está comprendido entre las longitudes de onda 380 nm (violeta) y 780 nm (rojo).

a) Calcula las frecuencias de estas radiaciones extremas. ¿Cuál de ellas se propaga a mayor velocidad? b) Determina entre qué longitudes de onda está comprendido el espectro visible en el agua, cuyo índice de

refracción es 4/3. Sol: 𝒂) 𝒇𝑽 = 𝟕!𝟖𝟗 · 𝟏𝟎𝟏𝟒 𝑯𝒛, 𝒇𝑹 = 𝟑!𝟖𝟓 · 𝟏𝟎𝟏𝟒 𝑯𝒛; 𝒃) 𝝀′𝑽 = 𝟐𝟖𝟓 𝒏𝒎, 𝝀′𝑹 = 𝟓𝟖𝟒 𝒏𝒎

8.5. Una onda electromagnética tiene, en el vacío, una longitud de onda de 5 · 10!! 𝑚.

a) Determina la frecuencia y el número de onda. b) Si dicha onda entra en un determinado medio, su velocidad se reduce a 3c/4. Calcula el índice de

refracción del medio y la frecuencia y longitud de la onda en dicho medio. Sol: 𝒂) 𝒇 = 𝟔 · 𝟏𝟎𝟏𝟒 𝑯𝒛, 𝜿 = 𝟏!𝟐𝟓𝟕 · 𝟏𝟎𝟕 𝒎!𝟏; 𝒃) 𝒏 = 𝟏!𝟑𝟑, 𝒇 = 𝟔 · 𝟏𝟎𝟏𝟒 𝑯𝒛, 𝝀 = 𝟑𝟕𝟓 𝒏𝒎

8.6. Hallar la velocidad de la luz en un diamante cuyo n = 2’42.

Sol: 1’23·∙108 m/s 8.7. La luz del sodio tiene una longitud de onda en el vacío de 589 nm. Hallar su longitud de onda en un vidrio

de n2 = 1’50. Sol: 393 nm

8.8. Una fuente luminosa emite luz monocromática de λ0 = 6·∙10-‐7 m (luz roja) que se propaga en el agua de índice

de refracción n = 1’34. Determina: a) La velocidad de la luz en el agua. b) λ y f en el agua. c) Al cambiar de medio, la longitud de onda cambia. ¿Quiere esto decir que la luz dejará de ser roja? Sol: a) v = 2’24·∙108 m/s; b) λ = 4’48·∙10-‐7 m y f = f0



8.9. Un rayo de luz amarilla, emitido por una lámpara de vapor de sodio, posee una longitud de onda en el vacío

de 𝟓,𝟗 · 𝟏𝟎!𝟗 𝒎. Determine la frecuencia, velocidad de propagación y longitud de onda de la luz en el interior de una fibra óptica de índice de refracción 1,5. La frecuencia de una onda electromagnética es constante y puede ser calculada a partir de la velocidad y la longitud de onda. Como nos dan la longitud de onda en el vacío, la velocidad será c:

𝒇 =𝑐𝜆!=3 · 10! 𝑚/𝑠5,9 · 10!! 𝑚

= 𝟓!𝟎𝟖 · 𝟏𝟎𝟏𝟔 𝑯𝒛

En el interior de la fibra óptica la frecuencia sigue igual, pero cambia la velocidad de propagación y, por lo tanto, la longitud de onda. Podemos calcular la nueva velocidad con el índice de refracción:

𝑛 =𝑐𝑣 ⟶ 𝒗 =

𝑐𝑛=3 · 10! 𝑚/𝑠

1!5= 𝟐 · 𝟏𝟎𝟖 𝒎/𝒔

Por lo tanto, la longitud de onda en el medio:

𝝀 =𝑣𝑓=

2 · 10! 𝑚/𝑠5!08 · 10!" 𝑠!!

= 𝟑!𝟗𝟒 · 𝟏𝟎!𝟗 𝒎

TIPO 43 LIBRO PÁGINAS 209 y 210: ejercicios 31, 35, 37, 39, 43 y 44. 8.10. Un rayo luminoso pasa del aire a un líquido formando con la normal un ángulo de 60o, si el ángulo de

refracción es de 45o, calcular el índice de refracción del líquido, respecto del aire. Sol:1’22

8.11. La luz que se mueve en el aire entra en el agua con un ángulo de incidencia de 45o. Si el índice de refracción

del agua es 1’33. ¿Cuál es el ángulo de refracción? Sol: 32o

8.12. Un rayo de luz amarilla de 580 nm en el aire, pasa a un determinado cristal en el que su longitud de onda pasa

a ser de 5 · 10!! 𝑚. a) Calcular razonadamente frecuencia y velocidad de propagación en cada medio. b) Si el rayo refractado forma 30o con la normal a la frontera que separa los dos medios, ¿con qué ángulo

incidió el rayo? Razonar numéricamente y realizar el esquema de rayos. Sol: 𝒂) 𝒇 = 𝟓!𝟏𝟕 · 𝟏𝟎𝟏𝟒 𝑯𝒛, 𝒗𝒂 = 𝟑 · 𝟏𝟎𝟖 𝒎/𝒔, 𝒗𝒄 = 𝟐′𝟓𝟖𝟓 · 𝟏𝟎𝟖 𝒎/𝒔; 𝒃) 𝜶 = 𝟑𝟓′𝟒𝟓°

8.13. Sobre un prisma cúbico de índice de refracción 𝑛 situado en el aire incide un rayo

luminoso con un ángulo de 60o. El ángulo que forma el rayo emergente con la normal es de 45o. Determina: a) El índice de refracción del prisma. b) El ángulo que forman entre sí la dirección del rayo incidente en A y con la

dirección del rayo emergente en B. Sol: a) 𝒏 = 𝟏′𝟐𝟐𝟓; b) 𝜷 = 𝟑𝟎°



8.14. Un haz de luz monocromática incide, con un ángulo de 60o respecto de la normal, desde el aire sobre dos placas planas transparentes consecutivas de índices de refracción 𝑛! = 2′30 y 𝑛! = 1′73. Realiza un dibujo de la situación y calcula el ángulo de refracción en la segunda placa. Sol: 𝜶 = 𝟑𝟎°

8.15. Un rayo luminoso llega a la superficie de separación de dos medios con un ángulo de incidencia i. Si los rayos reflejado y refractado forman un ángulo de 90o, hallar la relación entre el ángulo de incidencia y el índice de refracción relativo a los dos medios. Sol: i = arctg n’

8.16. Tenemos un recipiente con agua cuya superficie está cubierta por una capa de aceite. Si un haz de luz pasa

del aire al aceite con un ángulo de incidencia de 40º, hallar el ángulo de refracción en el agua. Datos: 𝒏𝒂𝒊𝒓𝒆 = 𝟏, 𝒏𝒂𝒄𝒆𝒊𝒕𝒆 = 𝟏′𝟒𝟓, 𝒏𝒂𝒈𝒖𝒂 = 𝟏′𝟑𝟑

Aplicamos la ley de Snell para calcular el ángulo de refracción de la luz al pasar del aire al aceite:

𝑛!"#$ · sin 𝚤 = 𝑛!"#$%# · sin 𝑟

sin 𝑟 =𝑛!"#$𝑛!"#$%#

· sin 𝚤

𝑟 = sin!!𝑛!"#$𝑛!"#$%#

· sin 𝚤

𝑟 = sin!!1

1′45· sin 40!

𝑟 = 26′3!

Una vez que conocemos el ángulo de refracción podemos calcular el ángulo de incidencia del rayo de luz cuando pasa del aceite al agua con ayuda del dibujo: El ángulo complementario de 𝑟 es 𝜃 = 90! − 𝑟 = 90! − 26′3! = 63′7!. El nuevo ángulo de incidencia será 𝚤! = 180! − 90! − 𝜃 = 180! − 90! − 63′7! = 26′3! Obviamente 𝚤! = 𝑟 ya que son ángulos alternos. Una vez que conocemos el ángulo de incidencia del rayo de luz cuando pasa del aceite al agua podemos aplicar la ley de Snell y calcular el ángulo de refracción en el agua:

𝑛!"#$%# · sin 𝚤′ = 𝑛!"#! · sin 𝑟′ ⟶ sin 𝑟′ =𝑛!"#$%#𝑛!"#!

· sin 𝚤 ′

𝑟′ = sin!!𝑛!"#$%#𝑛!"#!

· sin 𝚤 ′ = sin!!1′451′33

· sin 26′3!

𝒓′ = 𝟐𝟖′𝟗𝒐



8.17. La figura muestra un rayo de luz que avanza por el aire y se encuentra

con un bloque de vidrio. La luz en parte se refleja y en parte se refracta. Calcular: a) La velocidad de la luz en este vidrio. b) Su índice de refracción.

a) El ángulo que forma el rayo reflejado con la horizontal nos permite

conocer el ángulo de incidencia: 𝚤 = 90° − 60° = 30°

También a partir de los ángulos que observamos en la imagen podemos calcular el ángulo de refracción: 𝑟 = 90° − 70° = 20°

Podemos calcular la velocidad de propagación de la luz en el vidrio a partir de las leyes de la refracción:

sin 𝚤𝑣!"#!$%"&%

=sin 𝑟

𝑣!"#!$%&$'(→ 𝑣!"#!$%&$'( = 𝑣!"#!$%"&% ·

sin 𝑟sin 𝚤

𝒗𝒓𝒆𝒇𝒓𝒂𝒄𝒕𝒂𝒅𝒐 = 3 · 10! 𝑚/𝑠 ·sin 20°sin 30°

= 𝟐′𝟎𝟓 · 𝟏𝟎𝟖 𝒎/𝒔

b) Podemos definir el índice de refracción absoluto de un medio como la relación entre la velocidad de la luz en el vacío (o aire) y su velocidad en el medio. A partir de esta definición:

𝒏 =𝑐𝑣=

3 · 10! 𝑚/𝑠 2′05 · 10! 𝑚/𝑠

= 𝟏′𝟒𝟔

TIPO 44 LIBRO PÁGINA 56: ejercicio 34. LIBRO PÁGINAS 208, 209 y 210: ejercicios 6, 8, 12, 14, 22, 25, 28, 36 y 42. 8.18. Se puede producir el fenómeno de reflexión total si el foco se coloca en el aire y sus rayos penetran en el

agua? ¿Por qué? Sol: No, porque…

8.19. Un vidrio concreto tiene un n = 1’50. ¿Cuál es el ángulo crítico para que se produzca la reflexión total interna

de luz? Sol: 42o

8.20. Una superficie de vidrio (nv=1’50) tiene sobre ella una capa de agua (na=1’33). Un rayo luminoso

monocromático que se propaga por el vidrio incide sobre la superficie vidrio-‐agua. a) Halla el ángulo i para que se produzca la reflexión total. b) ¿Cuál será la velocidad de la luz en cada medio? Sol: a) i = 62’46o; b) vv= 2·∙108 m/s y va = 2’26·∙108 m/s

8.21. Un rayo luminoso incide perpendicularmente sobre uno de los lados iguales de un prisma isósceles de vidrio.

¿Cuál será la trayectoria que seguirá, si el ángulo crítico vidrio-‐aire es igual a: a) 50°, b) 45° y c) 50°.



8.22. Un rayo de luz roja que se propaga en el aire tiene una longitud de onda de 650 nm. Al incidir sobre la

superficie de separación de un medio transparente y penetrar en él, la longitud de onda del rayo pasa a ser de 500 nm. a) Calcula la frecuencia de la luz roja. b) Calcula el índice de refracción del medio transparente para la luz roja. c) Si el rayo incide desde el aire con un ángulo de 𝟑𝟎𝒐 respecto a la normal, ¿cuál será el ángulo de

refracción en el medio transparente? d) Si el rayo se propagara por el medio transparente en dirección hacia el aire, ¿cuál sería el ángulo de

incidencia a partir del cual el rayo no atraviesa la superficie?

a) Considerando que el índice de refracción del aire es prácticamente 1 y que, por tanto, la velocidad de la luz en el aire es la misma que en el vacío:

𝒇 =𝑐𝜆=

3 · 10! 𝑚/𝑠650 · 10!! 𝑚

= 𝟒!𝟔𝟐 · 𝟏𝟎𝟏𝟒 𝑯𝒛

b) Teniendo en cuenta que la frecuencia de la luz no varía cuando cambia de medio material de propagación, se puede calcular la velocidad de propagación en el medio transparente:

𝑣 = 𝑓 · 𝜆 = 4!62 · 10!" 𝐻𝑧 · 500 · 10!! 𝑚 = 2!31 · 10! 𝑚/𝑠 Conocida la velocidad en el medio transparente calculamos el índice de refracción mediante su definición (relación entre la velocidad de la luz en el vacío y la velocidad en el medio).

𝒏𝟏 =𝑐𝑣=

3 · 10! 𝑚/𝑠2!31 · 10! 𝑚/𝑠

≈ 𝟏′𝟑

c) Aplicamos la Ley de Snell para calcular el ángulo de refracción:

𝑛! · sin 𝚤 = 𝑛! · sin 𝑟 ⟶ sin 𝑟 =𝑛!𝑛!· sin 𝚤

𝑟 = sin!!𝑛!𝑛!· sin 𝚤 = sin!!

11′3

· sin 30!

𝒓 = 𝟐𝟐′𝟔𝒐

d) Se pide calcular el ángulo límite, para el cual el ángulo de refracción vale 𝑟! = 90!. Aplicamos de nuevo

la Ley de Snell:

𝑛!"#$% · sin 𝜃! = 𝑛!"#$ · sin 𝑟′ ⟶ sin 𝜃! =𝑛!"#$𝑛!"#$%

· sin 𝑟′

𝜃! = sin!!𝑛!"#$𝑛!"#$%

· sin 𝑟′ = sin!!11′3

· sin 90!

𝜽𝑪 = 𝟓𝟎′𝟑𝒐



TIPO 45 LIBRO PÁGINAS 208, 209 y 210: ejercicios 20, 21, 26, 30, 40 y 41. 8.23. Sobre una lámina de vidrio de caras planas y paralelas, de espesor 2 cm y de n = 3/2, situada en el aire, incide

un rayo de luz monocromática con un ángulo de 30o. a) Comprueba que el ángulo de emergencia es el mismo que el de incidencia. b) Determina la distancia recorrida por el rayo dentro de la lámina y el desplazamiento lateral del rayo

emergente. Sol: b) 3’8 mm

8.24. Sea un dispositivo óptico, esquematizado en la figura, que está formado por dos prismas idénticos de índice de

refracción 1,65, con bases biseladas a 45o y ligeramente separados. Si se hace incidir un rayo láser perpendicularmente a la cara A del dispositivo, discutir físicamente si es de esperar que exista luz emergente por la cara B , en los casos: a) El espacio separador entre los prismas es aire cuyo índice de refracción es 1. b) El espacio separador entre los prismas es agua cuyo índice de refracción es 1,33.

Sol: a) No, porque… b) Sí, porque…

8.25. Una lámina de vidrio de caras plano-‐paralelas, situada en el aire, tiene un espesor de 8 cm y un índice de refracción de 1'6. Calcular para un rayo de luz monocromática que incide en la cara superior de la lámina con ángulo de 45º a) Los valores del ángulo de refracción en el interior

de la lámina y del ángulo de emergencia. b) El desplazamiento lateral experimentado por el

rayo.

a) Aplicamos la ley de Snell al rayo cuando penetra en la lámina:

𝑛! sin 𝚤 = 𝑛! sin 𝑟 ⟶ 𝒓 = arcsin𝑛!𝑛!· sin 𝚤 = arcsin

11!6

· sin 45° = 𝟐𝟔° 𝟏𝟑! 𝟒𝟎′′

De la figura podemos obtener que 𝑟 = 𝚤′. Volvemos a aplicar la ley de Snell para obtener el ángulo de emergencia:

𝑛! sin 𝚤′ = 𝑛! sin 𝑟′ ⟶ 𝑛! sin 𝑟 = 𝑛! sin 𝑟′ ⟶ 𝑟′ = arcsin𝑛!𝑛!· sin 𝑟 = arcsin

1!61· sin 26° 13! 40′′

𝒓! = 𝟒𝟓°



b) A través de la figura, y utilizando relaciones trigonométricas, podemos obtener el desplazamiento lateral:

𝑥𝑑= sin 𝚤 − 𝑟 ⟶ 𝑥 = 𝑑 · sin 𝚤 − 𝑟

Calculamos el desplazamiento del rayo dentro del vidrio:

𝑒𝑑= cos 𝑟 ⟶ 𝑑 =

𝑒cos 𝑟

Sustituimos y calculamos el desplazamiento:

𝒙 =𝑒

cos 𝑟· sin 𝚤 − 𝑟 = 8 𝑐𝑚 ·

sin 45° − 26° 13! 40′′cos 26° 13! 40′′

= 𝟐!𝟖𝟕 𝒄𝒎

TIPO 46 LIBRO PÁGINAS 208 y 209: ejercicios 9, 10, 11 y 34. 8.26. Explica la formación del arco iris. 8.27. Un rayo de luz blanca incide desde el aire sobre una lámina de vidrio con un ángulo de incidencia de 30o.

a) ¿Qué ángulo formarán entre sí en el interior del vidrio los rayos rojo y azul, componentes de la luz blanca, si nrojo = 1’612 y nazul= 1’671?

b) ¿Cuáles serán los valores de la frecuencia y de la longitud de onda correspondientes a cada una de estas radiaciones en el vidrio si en el vacío son respectivamente λrojo = 653’3 nm y λazul = 486’1 nm?

Sol: a) 0’6o; b) λrojo= 405’3 nm y λazul= 290’9 nm; frojo=4’59·∙1014 Hz y fazul= 6’17·∙1014 Hz 8.28. El índice de refracción del agua varía, dentro del espectro visible, entre 𝑛! = 1′330 para la luz de color rojo y

𝑛! = 1′344 para la violeta. Un rayo de luz blanca incide desde el aire (𝑛 = 1) sobre la superficie en calma de una piscina con ángulo de incidencia 𝛼 = 60°. Calcula la dispersión angular que se observa en la luz visible refractada. Sol: 𝜸 = 𝟎′𝟓°

8.29. Disponiendo de un prisma de cuarzo, indica qué le ocurre a un rayo de luz blanca que incide con cualquier ángulo en una de sus caras, justificando físicamente los fenómenos que ocurren.

8.30. Responde a las siguientes cuestiones:

a) Indica las diferencias que a tu juicio existen entre los fenómenos de refracción y dispersión de la luz. ¿Puede un rayo de luz monocromática sufrir ambos fenómenos?

b) ¿Por qué no se observa dispersión cuando la luz blanca atraviesa una lámina de vidrio de caras plano-‐paralelas?

a) La refracción es el fenómeno de cambio en la dirección

de propagación de la luz cuando pasa de un medio a otro. En última instancia, es un fenómeno debido al cambio de velocidad de la luz de un medio a otro. Imaginemos un rayo de luz no monocromática, digamos luz blanca, propagándose en una determinada dirección en el aire, un medio no dispersivo. La luz



blanca contiene todas las frecuencias del visible, desde el rojo hasta el violeta. En el aire, como en el vacío, la velocidad de la luz es la misma para todas las frecuencias: eso es lo que quiere decir que es un medio no dispersivo.

Cuando la luz incide con un cierto ángulo sobre una superficie de separación con un medio dispersivo, como el vidrio o el agua, la dirección de propagación se desvía: eso es refracción. Pero, además, sucede que la luz de una cierta frecuencia, digamos de color rojo, se mueve en el vidrio con diferente velocidad que la luz de otra frecuencia, digamos de color azul. Ya que el ángulo de refracción depende del índice de refracción de ambos medios, de acuerdo a la ley de Snell,

𝑛 · sin 𝚤 = 𝑛! · sin 𝑟

y el índice de refracción resulta diferente para la luz de diferentes frecuencias. Un rayo de luz no monocromática, al pasar a un medio dispersivo refracta cada frecuencia según un ángulo ε’ diferente, lo que daría base a la dispersión del rayo incidente.

Obviamente, el fenómeno de dispersión no podría suceder si la luz incidente es monocromática: se requiere la presencia de diferentes longitudes de onda.

b) Como se sabe, cuando la luz atraviesa una lámina de caras plano–paralelas el rayo emergente es paralelo al incidente (aunque sufre un desplazamiento). Por tanto, todas las λ presentes en el rayo incidente atravesarían la lámina y emergerían según rayos paralelos al incidente, como se muestra en la figura para un supuesto de dos longitudes de onda λ1 y λ2 diferentes. No habría pues, dispersión, ya que las direcciones de los rayos emergentes no son distintas, aunque sí se podría observar un desplazamiento distinto para λ1 y λ2.

TIPO 47 LIBRO PÁGINA 54: ejercicio 14. LIBRO PÁGINA 208: ejercicio 18. 8.31. Se ilumina con un láser de helio-‐neón que emite una luz roja de 633 nm una lámina en la que se han hecho

dos rendijas y se recoge la interferencia que resulta en una pantalla situada a 1 m de la lámina. Se observa que el centro de la tercera banda brillante está 47 mm por encima del punto en que incidiría la luz del láser si no estuviese la lámina. Calcula: a) La separación entre las rendijas. b) La distancia a la que se encontrará el centro de la segunda y cuarta banda brillante.

a) Sabemos que podemos calcular las bandas brillantes mediante la expresión:

sin 𝜃 =𝑛𝜆𝑎

donde 𝑛 es el número de banda brillante y 𝑎 es la separación entre rendijas.



Suponemos que los ángulos serán muy pequeños, por lo que podemos aproximar sin 𝜃 = !

!, donde 𝑑 es

la distancia entre la lámina con las rendijas y la pantalla y 𝑥 será la distancia desde el punto en que incidiría la luz del láser si no estuviese la lámina al centro de la banda brillante. Por lo tanto, podemos obtener la separación entre rendijas como:

𝒂 = 𝒏 · 𝝀 ·𝒅𝒙 → 𝑎 = 3 · 633 · 10!! 𝑚 ·

1 𝑚0!047 𝑚

→ 𝒂 = 𝟒!𝟎𝟒 · 𝟏𝟎!𝟓 𝒎

b) Podemos calcular dichas distancias con la expresión obtenida en el apartado anterior 𝑥 = 𝑛 · 𝜆 · !!:

• 𝑥! = 2 · 633 · 10!! 𝑚 · ! !!!!"·!"!! !

→ 𝒙𝟐 = 𝟑𝟏!𝟑 𝒎𝒎

• 𝑥! = 4 · 633 · 10!! 𝑚 · ! !!!!"·!"!! !

→ 𝒙𝟒 = 𝟔𝟐!𝟕 𝒎𝒎

8.32. Para determinar la longitud de onda de una radiación se la hace pasar por un orificio de 3 mm de diámetro y se recoge el resultado en una pantalla que se ha colocado a 1 m de distancia del orificio. En el centro se observa un disco luminoso. El primer disco oscuro se encuentra a 4 mm del centro. ¿Cuál es el valor de la longitud de onda? Sabemos que el primer disco oscuro producido por una rendija circular se obtiene para los puntos cuyo ángulo es:

sin 𝜃 =1!22 · 𝜆

𝑑

donde 𝑑 es el diámetro del orificio.

Suponemos que los ángulos serán muy pequeños, por lo que podemos aproximar sin 𝜃 = !!, donde 𝐿 es la

distancia entre la lámina con el orificio y la pantalla y 𝑅 será el radio del anillo. Por lo tanto, podemos obtener el valor de la longitud de onda como:

𝜆 =𝑅 · 𝑑1!22 · 𝐿

=0!004 𝑚 · 0!003 𝑚

1!22 · 1 𝑚 → 𝝀 = 𝟗!𝟖𝟑𝟔 · 𝟏𝟎!𝟔 𝒎

8. Problemas de óptica física

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