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Actividades enExcel y Logo

Introducción

Esta segunda parte del libro Rutas hacia el ál-gebra. Actividades en Excel y Logo consta de tres módulos: “Actividades en Excel”, “Actividades en WinLogo” y “Actividades en papel”.* Aquí los profesores encontrarán tareas que pueden desar-rollar en el salón de clases, tanto en el cuaderno como auxiliados por una computadora. Todas las actividades han sido aplicadas por los autores en alumnos de diferentes grados escolares.

*Algunas palabras y abreviaturas utilizadas que llevan acento

no lo tienen porque los programas no los reconocen.

Edición y corrección de estilo: Adriana Hernández UrestiFormación y gráficos CD: María Eugenia Hernández Arriola

Diseño de portada, fotografías, ilustraciones y diseño CD: Rodrigo García García

Primera edición, octubre de 2012© Derechos reservados por

Esta edición es propiedad de la Universidad Pedagógica Nacional, Carretera al Ajusco número 24, col. Héroes de Padierna, Tlalpan, CP 14200, México, DF www.upn.mx

ISBN 978-607-413-137-6

Queda prohibida la reproducción parcial o total de esta obra, por cualquier medio, sin la autorización expresa de la Universidad Pedagógica Nacional.

Impreso y hecho en México.

QA157 Butto Zarzar, CristianneB8.7 Rutas hacia el álgebra : actividades en Excel y Logo / Cristianne Butto Zarzar, Joaquín Delgado -- México : UPN, 2012. 1v. (Horizontes educativos) ISBN: 978-607-413-137-6

1. Álgebra - Problemas, ejercicios, etcétera 2. Computadoras en la educación 3. Excel (Archivo para computadora) 4. Logo (Lenguaje de programación para computadora) I. Delgado, Joaquín, coaut.

Rutas hacia el álgebra. Actividades en Excel y LogoCristianne Butto Zarzar / [email protected]

Joaquín Delgado / [email protected]

Sylvia Ortega Salazar Rectora

Aurora Elizondo Huerta Secretaria Académica

José Luis Cadenas Palma Secretario Administrativo

Adrián Castelán Cedillo Director de Planeación

Mario Villa Mateos Director de Servicios Jurídicos

Fernando Velázquez Merlo Director de Biblioteca y Apoyo Académico

Adalberto Rangel Ruiz de la Peña Director de Unidades UPN

Juan Manuel Delgado Reynoso Director de Difusión y Extensión Universitaria

Mayela Crisóstomo Alcántara Subdirectora de Fomento Editorial

Coordinadores de Área Académica:

Dalia Ruiz Ávila Política Educativa, Procesos Institucionales y Gestión

Gisela Victoria Salinas Sánchez Diversidad e Interculturalidad

María Teresa Martínez Moctezuma Aprendizaje y Enseñanza en Ciencias, Humanidades y Artes

María Estela Arredondo Ramírez Tecnologías de la Información y Modelos Alternativos

Mónica Angélica Calvo López Teoría Pedagógica y Formación Docente

Actividadesen Excel

Rutas hacia el álgebra

4

El programa Excel es una excelente herramienta que los profesores pueden utilizar en el proceso de enseñanza y aprendizaje del álgebra temprana; aquí presentamos cinco ejercicios representativos de cómo puede aprovecharse este programa: “Cuadrados mágicos”, “Series”, “Elevador”, “Patrones” y “Cuadrados y escuadras”. Cada ejercicio es un libro de Excel que está formado por hojas de cálculo, una por cada actividad. El profesor y los alumnos podrán realizar paso a paso dichos ejercicios. Pueden descargar los libros de Excel de: http://mat.izt.uam.mx/algebra_temprana

Libro Cuadrados mágicos Los cuadrados mágicos son cuadrados de números que su-man lo mismo por !las, por renglones y en diagonales. Al abrir el libro “Cuadrados mágicos” aparecerá un mensaje que pide habilitar las macros de!nidas en las diversas hojas de este libro. Seleccione la opción “Habilitar macros” para continuar. En caso contrario no funcionarán las macros de este libro.

Actividades en Excel

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En la hoja “Cuadrados mágicos” se describe brevemente lo que es un cuadra-do mágico, un cuadrado mágico normal y su número mágico. En la obra del grabador Alberto Durero “Melancolía-1” aparece un ejemplo de cuadrado mágico normal con número mágico igual a 34. Ya que el cuadrado mágico puede verse borroso, éste se reproduce en el cuadro de colores para que los alumnos puedan veri!car con lápiz y papel que dicho cuadro es mágico.

En la hoja “Cuadrado mágico de or-den 2” se pide que el alumno justi!que porqué no es posible construir un cua-drado mágico de orden 2. El alumno puede experimentar al cambiar los nú-meros en el cuadro de 2 por 2 y Excel calculará las sumas por renglones, !las y en diagonal. Después de experimen-tar, los alumnos pueden estar listos para argumentar porqué no es posible construir un cuadrado mágico de esta dimensión. El recuadro proporciona el argumento que el profesor puede co-mentar con los alumnos. Esta actividad permite que los alumnos ejerciten su argumentación basada en cantidades desconocidas, en este caso las que pu-dieran colocar en los cuadros faltantes.

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6

En la hoja “Cuadrado mágico de orden 3” se pide al alumno construir un cua-drado mágico normal de orden 3, es de-cir con los dígitos del 1 al 9. El alumno puede modi!car las celdas del cuadra-do de 3 por 3. Con ayuda de Excel se calculan las sumas por !las y columnas en las celdas amarillas y la suma por diagonales en las celdas verde y fucsia, como se muestra en la siguiente !gura. Por sí solos, es difícil que los alumnos puedan construir el cuadrado mágico. Como referencia se presenta una ima-gen de un cuadrado mágico de orden 3, elaborado en el siglo XIII de la dinastía Ming.

En la hoja “Cuadrado de orden 3” se pide construir un cua-drado mágico, usando las fórmulas indicadas en las celdas, aunque el cuadro no necesariamente es normal. De hecho algunos números pueden ser negativos. El alumno da valo-res a las variables a, b, c y Excel calcula los números en las celdas.

A!"#$#%&% '()*+#%&: El profesor puede pedir a los alum-nos que justi!quen la fórmula y que expliquen porqué en ciertos casos los valores no son enteros positivos.

En la hoja “Construye un cuadrado mágico 3” se pide construir un cuadrado mágico de orden 4 si-guiendo un algoritmo que consiste en llenar prime-ro las diagonales y luego las celdas consecutivamente de derecha a izquierda y de arriba hacia abajo; como se muestra en los esquemas de la izquierda.

Primer paso Segundo paso

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�


7

Excel calcula las sumas por !las, columnas y diagonales. Los pasos del algoritmo pueden seguirse al dar clic en los botones.

A!"#$#%&% '()*+#%&: El profesor puede pedir a los alumnos que justi!quen el algoritmo y expliquen porqué el número mágico es 34. También pueden compararlo con el cuadrado mágico de Alberto Du-rero en la “Melancolía-1” y dar posibles explicaciones de cómo lo construyó.

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8

En la hoja “Actividad” se pide encontrar las tres celdas que faltan de un cuadrado mágico de orden 4.

El problema se puede plantear como un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Es más sencillo de lo que parece: como el número mágico es 34, la suma del cuarto renglón debe dar 34:

z+3+2+16=34de donde se obtiene z = 13.

La suma de la tercera columna debe dar14+y+11+2=34

de donde y = 7.

Finalmente la suma del segundo renglón esx+6+y+9=34

de donde x = 12.

Así hay una única respuesta: x = 12, y = 7, z = 13. La respuesta se puede veri!car sustituyendo estos valores en la celda.

A!"#$#%&%*' '()*+#%&': El profesor puede pedir a los alumnos que: (1) intercambien los valores de la solución para ver si obtienen un cuadrado mágico; (2) para un cuadrado mágico arbitrario de orden 4, que den nombre a las 16 incógnitas que son los valores en las celdas y escriban el sistema de 16 ecuaciones con 16 incógnitas.

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Libro SeriesEl libro “Series” contiene cuatro actividades numeradas del 1 al 4, que consisten en encontrar el patrón que siguen ciertas series numéricas de la forma general

donde los puntos (…) denotan la serie de números enteros 2, 4, 5, … y # denota el entero que se le aso-cia. A la primera la llamaremos serie natural y a la segunda serie de correspondencia. En ambas series pueden haber elementos faltantes, así que el alumno debe descubrir la regla de los elementos faltantes. Cuando el alumno esté seguro de la regla, entonces debe escribirla en el cuadro señalado por el signo de interrogación. Las fórmulas son lo su!cientemente simples para que el programa pueda reconocer entre varias posibilidades. Por ejemplo puede introducirse la fórmula 2n+1 o bien 2*n+1 o 1+2*n o 1+2n; si es correcta el programa la validará. Si la fórmula no es la correcta, el programa mandará un mensaje para invitar al estudiante a intentarlo de nuevo.

A!"#$#%&%*' '()*+#%&': Las actividades se prestan para que las reglas sean discutidas en parejas y luego en grupo conducido por el profesor. Los alumnos se bene!cian de otras maneras de pensar y esto los hace re"exionar sobre sus propias reglas (metacognición). Es importante señalar que sólo la celda marcada por el signo ? se puede modi!car. Se puede pedir al alumno o parejas de estudiantes, dependiendo de cómo lo haya decidido el profesor, que discutan el contenido de las celdas vacías antes de intentar dar la regla. También el alumno puede diseñar sus propias series y pedir al compañero o al grupo que descubra “su regla”. Los estudiantes pueden presentar sus series en el pizarrón, lo cual se presta a una discusión interesante.

Actividad 1. Se pide dar la regla de la siguiente serie:


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La serie natural “n” es 2, 3, 4, 5, 6 el elemento faltante es 3, mientras que en la serie de correspondencia el elemento faltante es 25. La regla es n^2 o bien n*n. Cuando se mete la regla correcta aparece el mensaje “Correcto!”, en caso contrario se alienta al alumno a intentarlo de nuevo.

Actividad 2. Consiste en descubrir la regla de la siguiente serie:

La serie natural y la serie correspondiente son:

y la regla de correspondencia es 2n+1 o 2*n+1.

Actividad 3. Consiste en descubrir la regla de la siguiente serie:


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La serie natural y la correspondiente son:

Observa que falta el número natural 8. La regla de correspondencia es más difícil de descubrir, pero es 3n-2. La di!cultad estriba en la costumbre de que las series siempre “van hacia delante”, de ahí la di!cultad de restar 2.

Actividad 4. Se pide descubrir la regla de la serie:

La serie natural y la serie correspondiente son:

Observe que el último dígito faltante de la serie natural debe ser 9, no 8, de modo que la regla general es 1/(n+1).

Libro ElevadorEste libro consta de una sola actividad. Se pide determinar en qué piso abordé el elevador, si sé cuántos pisos subí, cuántos bajé y en qué piso me encuentro. En esta práctica el alumno debe lidiar con la recta numérica representada por los pisos del elevador, así como con canti-dades positivas (subir) y negativas (bajar). Algebraicamente el problema se reduce a la ecuación:

x + PS - PB=PA

donde x es el piso en que subí, PS es el número de pisos que subí, PB los que bajé y PA el piso actual.

A!"#$#%&% '()*+#%&: El profesor pide a los alumnos que den nombres a las variables, conocidas y desconocidas, ade-más de plantear la ecuación.

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12

Libro PatronesEn este libro se proponen cuatro actividades en las que se pide descubrir el patrón de los números di-visibles por 2, 3, 5 y 7 en una criba del 1 al 100. En la hoja “Cuenta de 2 en 2”, el alumno debe iluminar las celdas que corresponden a los números pares con el color oro seleccionando del menú “Rellenar” y seleccionar el color.

Una vez completado el patrón el alumno da clic en el botón “Veri!ca”. En el caso de que las celdas correspondientes a los números pares estén todas de color oro y el resto de color amarillo aparece un mensaje de éxito, en caso contrario se anima al estudiante a continuar.


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En la hoja “Cuenta de 3 en 3” se pide encontrar el patrón de los números divisibles por 3 (que equivale a “contar de 3 en 3”).

En este caso el patrón es más complicado que en el caso de contar de 2 en 2, así que aparece un botón extra de ayuda “Dibuja el patrón”. Éste debe usarse como único recurso y aunque el alumno llegue a usarlo, deberá dar clic en el botón “comenzar de nuevo” e intentar llenar el patrón por él mismo.


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El botón “Veri!ca” manda un mensaje de éxito, si el patrón correcto fue encontrado o anima al alumno a continuar en caso contrario.

Las hojas “Cuenta de 5 en 5” piden buscar el patrón para los números divisibles entre 5.


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En la hoja “Cuenta de 7 en 7” el patrón es más so!sticado:

A!"#$#%&%*' '()*+#%&': (1) Si alguno de los alumnos sabe el movimiento del caballo en el ajedrez, se le puede pedir que lo explique al grupo. En el patrón de “Cuenta de 7 en 7” aparece claramente el pa-trón de movimientos del caballo; por ejemplo para avanzar a lo largo de la serie 7, 28, 49, 70 y también a lo largo de la serie 14, 35, 56, 77, 98 y lo mismo con la serie 21, 42, 63, 84. El profesor puede pedir a los alumnos que completen estas series dando la regla general. (2) Los alumnos pueden elaborar una criba de Eratóstenes en la que van señalando con algún color los múltiplos de 2, 3, 5, etcétera, en una criba de 100 dígitos. Los números que no hayan sido marcados se llaman primos y forman el bloque esencial de la aritmética. Por ejemplo el profesor puede mencionar el teorema fundamental de la aritmética: “Cual-quier número natural se puede factorizar como producto de números primos”. Esta factorización es única si se toma en cuenta la multiplicidad y se establece un orden natural de los factores, por ejemplo en orden creciente. A manera de ejemplo se pueden considerar los siguientes: 10 = 2 . 5 800 = 25 . 52

1024 = 210

123456 = 26 . 31 . 6431

654321 = 31 . 2181071

123456789101112 = 23 . 31 . 24371 . 21108054491

Libro Cuadrados y escuadrasEn este libro se busca que el alumno descubra patrones de áreas que le indiquen relaciones algebraicas. Las actividades deben respetar el siguiente orden:


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La escuadra se conocía con el nombre de gnomon por los griegos y era una cons-trucción geométrica muy usada por Euclides (Vol. II) en su álgebra geométrica para resolver ecuaciones cuadráticas. En la hoja “Regla cuadrados y escuadra” se pide descubrir la fórmula del binomio (n + 1)2 = n2 + 2n +1 a través de construc-ciones que involucran cuadrados y escuadras.

En la hoja “Cuadrados” se pide que construyan los números cuadrados del 1 al 8 mediante los botones numerados del 1 al 8. Además que den la regla para obtener el cuadrado como función de la variable x.

Los cuadrados se van rellenando por medio de los botones:


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La regla se introduce en el cuadro azul a la derecha de la "echa roja. Una vez que se da “Enter” se valida la fórmula dando clic sobre la "echa.

En la hoja “Escuadras” se pide descubrir la regla para una serie de escuadras y llenar una tabla. Esta tabla se usará posteriormente en la hoja “Regla escuadras”


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Los números sobre las escuadras se generan con los botones.

Después de generar los números, el alumno puede llenar las columnas “Botón” y “Celdas” para los pri-meros ocho casos y se le pide extrapolar hasta 12. Con ello se persigue que el alumno intente generar una fórmula.

En la hoja “Cuadrados y escuadras” se pide que el alumno recuerde la columna amarilla que llenó previamente en la hoja “Escuadras”.


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Cuando el alumno esté listo para plantear la fórmula, debe pulsar el botón rojo. Aparecerá una ventana de diálogo don-de debe introducir la fórmula, la cual se escribe sin dejar espacios; la multiplicación se debe denotar explícitamente con el signo *. La fórmula llenará la columna en azul y le permitirá veri!car con la columna amarilla que fue llenada previamente.

Si hubiese un error en la fórmula aparecerá en pantalla un mensaje de error del depurador. En este caso deberá darse clic en el botón “Finalizar” e intentarlo de nuevo.


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En la hoja “Cuadrados y escuadras” se muestra cómo combinar un “cuadrado chico” con una escua-dra para obtener un “cuadrado grande” de una unidad mayor que el lado del “cuadro chico”. La !gura muestra los casos n =1 y n =2 lados del cuadrado “chico”.

La !gura siguiente muestra los casos n = 3 y n = 4.

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21

Se pide que el alumno llene las columnas que relacionan el lado n del cuadro (o cuadrado) chico, el área del cuadrado chico (a), de la escuadra (L) y del cuadro grande (A). Posteriormente se le pregunta qué relación guardan a, L y A con n, y qué relación guardan A, L y n.Naturalmente: a = n2, L = 2n+1 y A =(n+1)2. La relación entre A, L y n es la misma que el binomio al cuadrado A = (n+1)2 = n2 + (2n+1) =a + L.En la hoja “Regla de cuadrados y escuadra” el alumno pude experimentar al generar el cuadrado chico, la escuadra y el cuadro grande con los botones a la izquierda. La !gura representa el valor de n, el lado del cuadro chico. Una vez que haya experimentado puede escribir la fórmula al dar clic en el botón inferior. Aparecerá una ventana de diálogo donde el alumno podrá introducir la fórmula que relaciona A, L y a en términos de n.

Si la fórmula es correcta, aparecerá un mensaje de con!rmación.

WinLogoActividades en

Actividades en Winlogo

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El ambiente WinLogo

Hemos implementado actividades en WinLogo. La versión demo se puede bajar del sitio: http://neoparaiso.com/logo/winlogo.html allí se podrán encontrar algunos manuales en español. Se recomienda también consultar el sitio: http://guindo.pntic.mec.es/~crangil/winlogo.htm donde se en-cuentra un resumen sencillo para comenzar a usar WinLogo.Cuando inicias Winlogo se abren tres ventanas: “Grá!cos”, “Trabajo” y “Textos”. Las hojas de trabajo son actividades que tienen una doble función: estimular al niño para que pueda resolver los problemas y hacerlo re"exionar acerca de las ac-tividades, del procedimiento y del resultado obtenido, para !nalmente sintetizar la re"exión y comentarla en el grupo de estudiantes. De esta manera, dichas hojas de trabajo pueden ayudar al maestro a entender mejor las respuestas de los es-tudiantes sobre la comprensión de los contenidos matemáti-cos, así como abordar las di!cultades que los niños enfrentan en el desarrollo de las actividades. Se recomienda que las hojas de trabajo se realicen en parejas de estudiantes, pues muchas investigaciones han probado la e!cacia de la interacción social en pareja para promover el desarrollo cognitivo. Se requiere una clasi!cación adecuada de las parejas, por ejemplo, por niveles de conocimiento ma-temático, pues existirán parejas con niveles de conocimiento matemático muy distintos y entonces la interacción no será provechosa. Las hojas de trabajo se distribuyen a cada pareja de niños, el maestro explica el trabajo que se desarrollará. Las actividades se pueden aplicar siguiendo un orden, pero cada pareja puede llevar su propio ritmo. Se recomienda de-jar que ellos organicen el trabajo. En caso de que haya dudas sobre las actividades, el maestro facilitará la comprensión; es importante que éste observe de cerca el desempeño de los alumnos y los auxilie cuando sea necesario. Una vez !na-lizada cada actividad, se puede organizar una discusión en grupo; cada pareja de niños puede exponer cómo resolvió las actividades, cuáles fueron las di!cultades y las respuestas obtenidas.


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Instrucciones en WinLogoA continuación se muestran algunas indicaciones, con las que puedes instruir a la tortuga para que realice ciertas acciones. Los alumnos pueden tener a la mano esta tabla al realizar las actividades.

Primitiva Forma corta Ejemplo avanza num av num av 50 avanza num pasos retrocede num re núm re 25 retrocede núm pasos centro Centro centro lleva tortuga al centro de la

pantalla giraderecha grad gd grad gd 20 gira derecha grad grados giraizquierda grad gi grad gi 90 gira izquierda grad grados borrapantalla Bp bp borra pantalla y coloca tortuga

al centro ocultatortuga Ot ot oculta el trazo de la tortuga muestratortuga Mt mt muestra el trazo de la tortuga subelapiz Sl sl sube el lápiz bajalapiz Bl bl baja el lápiz pongrosor núm pog núm pong 4 pone el grosor del lápiz a núm

entre 1 y 10. poncolorlápiz núm poncl núm pon el color del lápiz a núm

entre 0 y 256 goma -- La tortuga actúa como una

goma de borrar rellena -- Rellena una figura cerrada del

color de la tortuga siempre que ésta esté dentro de la figura

ponrumbo grad --- ponrumbo 45 Gira la cabeza de la tortuga grad grados

Observaciones para el profesor1. Los nombres de los comandos o primitivas y sus abrevia-ciones generalmente cambian dependiendo de la versión de Logo, si está en español o inglés. Le sugerimos consultar el manual dependiendo de la versión de Logo que esté utili-zando.2. Algunas primitivas necesitan de argumentos. Por ejem-plo: “AV 50” signi!ca ordena a la tortuga avanzar 50 pasos al frente; “GD 20” ordena girar 20 grados a la derecha. Otros comandos no necesitan argumentos, como “BP”, que sim-plemente borra la pantalla.3. La versión libre de WinLogo no permite guardar desde el menú principal. Se puede guardar una sesión de la ventana de “Trabajo” o de “Edición”; al copiar y pegar en un block de notas como se mostrará.4. Otras instrucciones las puedes ver en el menú de ayuda:


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¿Cómo recuperarse de los errores?Si te equivocas en una instrucción no te preocupes, puedes moverte con el cursor y corregir la línea en la que te equivocaste.Si quieres limpiar todo y comenzar de nuevo, simplemente da clic en las ven-tanas que quieras limpiar y usa la esco-bita. Así puedes limpiar la ventana de “Trabajo” o la de “Grá!cos”.Si te equivocas al escribir un programa o quieres modi!carlo también puedes moverte con el cursor para modi!car la línea que quieras y al !nal de la línea que dice “!n” le das “Enter”.

La ventana de “Textos” te indica que hay un

Hay un espacio en blanco antes de 30. Sólo sube con el cursor para corregir.

Hay un espacio enblanco antes delargumento “lado”.

La ventana de “Textos” te dice que no sabe qué hacer con la variable “:”.

La ventana de “Textos” te dice que has vuelto a de!nir “cuadrado”.

cursor y corriges.

“Enter”.

correr tu programa.

¿El resultado es el que esperabas?


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Si quieres comenzar de nuevo selecciona del menú principal “Utilidades”→“Procedimientos/variables”. Te aparecerá la ventana de “Procedimientos/variables” donde podrás ver todos los programas que hayas de!nido, si lo quieres borrar, dale clic para seleccionarlo y luego elige “Borrar”. Si quieres mo-di!carlo, da clic al botón “Trabajo”, esto traerá el programa a la ventana de “Trabajo” y ahí podrás modi!carlo.

También puedes llamar a tu programa desde la ventana de “Trabajo” así:


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Guardar la sesión de trabajoSi quieres guardar tu sesión de trabajo, marca en la ventana lo que quieres guardar, selecciona “Copiar”, luego abre el block de notas y selecciona “Pegar”. Luego guar-da el block de notas con un nombre apropiado.

Cuaderno de actividades 1: Introducción a WinLogo

En la ventana de “Gráficos” ves a la tortuga

En la ventana de “Trabajo” escribes las in-

En la ventana de “Textos” ves si los comandos que diste son correctos

La ventana de “Trabajo” te permite escribir tus instrucciones directa-mente; por ejemplo:


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Al terminar una línea das “Enter”. De esta manera, la computadora interpreta tu instrucción. Cual-quiera de las ventanas, incluyendo la de “Trabajo”, se pude limpiar si primero das clic para activar la ventana y seleccionas la escoba en el menú principal.

Del menú principal puedes tener acceso a otras opciones. Por ejemplo, la ventana de “Edición” te permite escribir todo un programa y una vez que estés seguro correrlo: del menú principal selecciona “Ventanas” seguido de “Edición”.

Experimenta cuánto puede avanzar la tortuga desde su posición al centro:


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Un programa es una lista de instrucciones que se agrupan entre las palabras clave “para …!n”. Por ejem-plo, si tecleaste las instrucciones de arriba, habrás obtenido un cuadrado.Podemos de!nir el programa “cuadrado” así:

,n

Al dar “Enter” al !nal de la última línea observarás que en la ventana de “Textos” aparece el mensaje:

que te indica que acabas de de!nir el programa “cuadrado”.Ahora puedes usar tu programa “cuadrado” en la ventana de “Trabajo”. Observa el resultado en la ventana de “Grá!cos”.

Como puedes ver las instrucciones av 50 y gd 90 se repiten cuatro veces y hay que escribirlas también cuatro veces; en vez de ello puedes decirle que repita la misma instrucción el número deseado, en este caso cuatro veces.Vamos a de!nir entonces otro programa que llamaremos “micuadrado” para dis-tinguirlo del programa anterior “cuadrado” y que no haya lugar a confusión.


30

Ahora puedes probar tu programa ”micuadrado”.

Ahora corre el siguiente programa y dibuja a la derecha la !gura que obtuviste.

Recuerda que los ángulos interiores de un polígono regular de n lados suman 180o x(n-2), por lo que miden lo mismo:

x(n-2)/n


31

Ahora haz un programa para cada polígono que se te pide y dibuja la !gura que esperas obtener. Completa el siguiente plano:

ladolado

lado

lado

a

a

a

a

a

b

b

b

b

Para que sea más fácil sigue las sugerencias:1. Con la tortuga al centro gira primero 90 grados a la derecha, luego gira “a” gra-dos a la izquierda, como muestra la !gura.2. Repite n veces la instrucción de avanzar :lados y girar a la derecha b grados.


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Cuaderno de actividades 2: Proporcionalidad

Vamos a dibujar un cuadrado de 20 pasos de lado con ayuda de la tortuga. Sigue las instrucciones hasta obtener el dibujo que se muestra. Si hace falta usa la barra de deslizamiento para ver tu dibujo.

Limpia el dibujo con la escobita. Ahora dibuja un cuadrado del doble del que hiciste, y otro a la mitad; para ello completa los argumentos que faltan y cuando estés seguro escríbelos en la computadora.

Construye un rectángulo de base 20 y altura 10. Escribe antes las instrucciones a la izquierda, deberás obtener un dibujo como el de la derecha.


33

Ahora dibuja los rectángulos si te dan la base. Escribe tus instrucciones.


34

Ahora completa la tabla de las alturas que faltan de los rectángulos de la misma proporción.


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Cuaderno de actividades 3: Ángulos y polígonos regulares

Discute con tu profesor las siguientes propiedades de los ángulos. 1. Un ángulo se llama recto si mide 90o. Se acostumbra denotar un ángulo recto por un símbolo en forma de escuadra:

2. Un ángulo se llama llano si mide 180o.

3. Si un ángulo recto se divide en dos ángulos, éstos deben sumar 900.

4. Si un ángulo llano se divide en dos ángulos, éstos deben sumar 180o.

5. Ángulos opuestos por el vértice son iguales.

A + B = 90°A

B

A + B = 180°

B

A BA

A A


36

6. En un polígono regular de “n” lados, la suma de los ángulos internos suma (n-2)*180o. Por ejem-plo, para un triángulo regular n=3 y sus ángulos internos suman (3-2)* 180o = 1*180o = 180o. Para un cuadrado n=4 y sus ángulos internos suman (4-2)* 180o= 360o. Encuentra cuánto valen los ángulos internos de los siguientes polígonos regulares.

Un polígono regular de tres lados iguales se llama triángulo equilátero. Haz un programa “equilátero” para dibujar un triángulo equilátero de cualquier lado “a” comenzando por la esquina inferior izquierda (marcada con una carita sonrien-te). Calcula los ángulos que tienes que girar cada vez y si debes girar a la izquierda o a la derecha. Completa el programa….

a a

para equilátero: agdav :a........


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Si tu programa está bien hecho debes obtener lo siguiente:

Observa para dónde apunta la cabeza de la tortuga cuando termina el programa. Explica por qué si corres “equilátero 100” dos veces ocurre lo siguiente:

Modi!ca tu programa “equilátero” para que al terminar de dibujar su cabeza apun-te hacia el Norte.


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Ahora haz tú solo un programa para dibujar un polígono re-gular de cinco lados y cualquier lado “a” que se llame “pen-tágono”. Para ello usa el siguiente plano y completa los án-gulos que debes girar a la derecha o a la izquierda cada vez.

Al !nal haz que la cabeza de la tortuga apunte al Norte.

Ahora dibuja cinco pentágonos de lados 20, 30, 40,… 100. Deberás obtener algo como sigue:


39

Cuaderno de actividades 4: Triángulos rectángulos

Un triángulo se llama rectángulo cuando uno de sus ángulos mide 90o; decimos entonces que el ángulo es recto. Los lados del ángulo recto se llaman catetos y el lado más grande se llama hipotenusa. Es fácil dibujar un triángulo rectángulo porque si das dos lados el otro no puede tomar cualquier valor.

cateto

cateto

ángulo recto

hipotenusa

3

4

5

90o

El siguiente programa “rectángulo” usa el argumento “cateto” para dibujar los lados de un triángulo rectángulo con los mismos catetos. Explica cómo funciona.


40

Ahora usa tu programa para dibujar los lados del triángulo rectángulo del cateto que se te pide


41

Usa una regla para decir cuánto mide la hipotenusa del triángulo rectángulo con los mismos catetos.

Ahora sin medir, di cuánto debe medir la hipotenusa si te dan el cateto.


42

Vamos a dibujar un triángulo rectángulo de las siguientes dimensiones. Los catetos ahora se llaman “base” y “altura”.

30

50

40

altura

base

Para ello ayúdate del siguiente plano.

90

90

53

53

53

5030

37

37

Observa que los ángulos internos suman 180o. Explica el valor de los otros ángulos que se muestran.


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Ahora completa los argumentos del programa para dibujar nuestro triángulo rectángulo:

Ahora dibuja un triángulo rectángulo con la base y la altura que se te dan. ¿Cuánto deben valer los án-gulos A y B?, compara con el ejercicio anterior. Completa los ángulos que faltan.

60

?

?

?

?

?80

A

B


44

¿Cómo empezarías tu programa?

Si conoces la base y la altura de los triángulos rectángulos en la misma proporción, calcula la hipote-nusa y los ángulos A, B.

¿Cómo deben ser los ángulos A y B para que los triángulos sean proporcionales?

Escribe una fórmula para obtener la hipotenusa en función de la base y la altura.


45

Cuaderno de actividades 5: Variables

El maestro hizo un programa en Logo para dibujar cualquier rectángulo, que depende de dos argumen-tos: “base” y “altura”. Complétalo.

Observa cómo se declaran los argumentos “base” y “altura” al inicio y dentro del programa, precedidos por los dos puntos, así :lado, :base

Ahora usa tu programa para dibujar los siguientes rectángulos.


46

Escribe un programa en Logo que dibuje cualquier silla donde la altura es el doble que el tamaño de la pata y el asiento mide lo mismo que la pata. Necesitarás sólo dos argumentos: “altura” y “asiento”, pues la pata es la mitad de la altura. Puedes de!nir una variable auxiliar para la pata, así: haz “pata altura/2.

asientoaltura

pata=altura/2

Escribe en WinLogo el programa, guárdalo y revisa el procedimiento hasta obte-ner la !gura deseada.


47

Ahora usa tu programa para dibujar las sillas que se muestran.

Haz un programa que dibuje una casa de acuerdo con el siguiente plano. Necesitarás un solo argumento.

a

a

a

a

90

4545

45

45

0.7071*a0.7071*a


48

Ahora dibuja una casa en la que la esquina inferior izquierda la puedas colocar en cualquier lugar:

a

a

a

a

90

30 30

0.7071*a 0.7071*a

centro X Y

Ahora usa tu programa para dibujar un conjunto de casas.


49

Dibuja una hilera de casas, en la cual cada una sea lo doble de grande que la anterior.


50

lápiz y papel

Actividades


52

Cuaderno de actividades 1Nombre:__________________________________Escuela:_______________________________________Curso:_______________________ Fecha:___/___/___Hora de inicio:__________ Hora de término:__________

Instrucción: Lee con atención los problemas, en caso de alguna duda pregúntale al profesor(a). ¡Buena suerte!

1. Observa la siguiente imagen:

a) Ahora marca la que sea una “fotografía” de la imagen anterior.

Actividades lápiz y papel

53

b) ¿En qué te !jaste para escoger la fotografía?____________________________________________________________________________________________________________________________________________________

c) ¿Por qué las otras !guras no son la fotografía de la primera? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Dibuja la casa de Juan como la de abajo, pero tres veces más grande, en la hoja cuadricula-da en blanco. Si deseas usa la regla para medir.


54

3. Observa la serie de !guras de distintas proporciones. Pon las medidas que faltan.


55

4. Completa el dibujo de la derecha, a partir de la puerta y la ventana que se te dan.


56

5. En una receta de cocina dice:“Para cocinar una sopa que alcance para 16 personas se necesitan cuatro litros de agua”.

a) ¿Cuántos litros de agua se necesitarán para una sopa para ocho personas? ____________ Justi!ca tu respuesta. ________________________________________________________b) ¿Cuántos litros de agua se necesitarán para hacer una sopa para cuatro personas? ______ ¿Por qué? _________________________________________________________________c) ¿Cuántos litros de agua se necesitarán para hacer una sopa para 32 personas? __________ ¿Por qué? _________________________________________________________________d) ¿Cómo calcularías la cantidad de agua para hacer la sopa para un banquete para 64 perso-nas? Haz un dibujo para explicarlo.e) Con los valores de la cantidad de agua que requieres para hacer la sopa necesaria para el número de personas, llena la tabla siguiente:

f) Después de llenar la tabla, haz una grá!ca para los litros de agua necesarios en función del número de personas. Usa el papel cuadriculado con los ejes ya indicados.


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g) Ahora di ¿cuál es la proporción de agua por cantidad de personas? _____________________________________________________________________________________________h) Imagina que tuvieras que hacer una sopa, pero no sabes cuántas personas vendrán a tu casa. ¿Cuántos litros de agua necesitarías para una cantidad “x” de personas?__________________________________________. Puedes auxiliarte de la grá!ca que hiciste antes.6. El pirata Barba Roja tiene un mapa de la isla del tesoro que se muestra abajo. Hay varias pistas: la cueva de la calavera, el bosque lluvioso, la cueva rocosa al centro de la isa, el árbol llorón y la sierra madre. En el mapa se muestra la escala: un cuadro equivale a 100 pasos y las direcciones Norte-Sur, Este-Oeste.Ahora justi!ca las siguientes preguntas.

a) ¿Cuántos pasos hay que caminar al Este para ir del bosque lluvioso a la cueva de la calave-ra? _______________________________________________________________________b) Dile a Barba Roja cómo ir del monte de la calavera al tesoro, sin pasar por la cueva rocosa.__________________________________________________________________________c) ¿Cuál es la distancia en línea recta del tesoro al monte de la calavera? Para ello auxíliate de uno de los triángulos indicados en el mapa y usa el teorema de Pitágoras, que relaciona los cuadrados de los lados con el cuadrado de la hipotenusa.

Para hacerlo más fácil, primero dale nombre a los lados:


58

A = distancia de ………………… .…… a ………………………….B = distancia de …………………. …… a ………………………….X = distancia de ………………… .…… a ………………………….

Usa la siguiente tabla para calcular los cuadrados de los lados del triángulo:d) ¿Cuál es la distancia en línea recta del bosque lluvioso al viejo árbol? Auxíliate del siguien-

te triángulo y la tabla.A = distancia de ………………… .…… a ………………………….B = distancia de …………………. …… a ………………………….X = distancia de ………………… .…… a ………………………….


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Contenidos matemáticos del Cuaderno de actividades 1

1. Se pide seleccionar rectángulos que tengan la misma proporción largo:ancho que una (ima-gen) dada. Las fotografías aparecen en distintas orientaciones.

Objetivo: Reconocer la invariancia de la proporción ante movimientos rígidos del plano.

2. Se pide dibujar una casa, algunas letras “T” y un círculo al triple.

Objetivo: Manejo de la proporción geométrica 1:3 en !guras estándar: rectángulo, letra “T” y en !guras no estándar: círculo, techo de la casa.

3. Se dan cuatro secuencias, cada una de tres rectángulos en la misma proporción en los que falta alguna dimensión (ancho o largo) de alguno de ellos.

Objetivo: Reconocimiento de una proporción geométrica en una secuencia derectángulos.

4. Se pide completar el dibujo de una casa a escala, se cuenta con el tamaño de la puerta y de una de las ventanas del dibujo a escala.

Objetivo:a) Manteniendo una proporción dada, determinar la posición de un rectángulo relativo a un cuadrado y un rectángulo dados en proporción.b) Manteniendo una proporción dada, determinar la dimensión y posición de un cuadrado que contenga a las !guras anteriores.c) Manteniendo una proporción dada, calcular la altura de un triángulo si se conoce la base.

5. En una receta se da el número de litros de agua requeridos para preparar sopa para 16 personas. Se pide calcular los litros de agua necesarios para cocinar sopa para 16, 8, 4, 32 y 64 personas. Se solicita hacer una grá!ca, dar la proporción de la receta y el número de litros de agua necesarios para “x” personas.

Objetivo: Proporcionalidad aritmética.

6. Se da un mapa del tesoro en un papel cuadriculado donde se indica la escala. Se pide esti-mar las distancias a lo largo de direcciones horizontales, verticales y diagonales.

Objetivo:a) Calcular distancia horizontal.b) Centrar la atención en los catetos de un triángulo rectángulo.c) Calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo.d) Calcular la hipotenusa de un triángulo.Se sugiere usar el teorema de Pitágoras con auxilio de una tabla de cuadrados, para reconocer X una vez calculado X2.


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Cuaderno de actividades 2Nombre:__________________________________Escuela:_______________________________________Curso:_______________________ Fecha:___/___/___Hora de inicio: __________ Hora de término:__________

Instrucción: Lee con atención los problemas, en caso de alguna duda pregúntale al profesor(a). ¡Buena suerte!

1. Completa las siguientes secuencias.a) 8, 12, 16, ___, 24, ___, ___b) ___, ___, ____, 15, 18, 21c) 15, 13, 11, ___, ___d) 16, 12, 8, ___, ___

2. Observa las siguientes !guras de la secuencia.

3. Estas tarjetas las hizo la mamá de Fabio. En ellas registró el peso de Fabio año tras año; obsérvalas y completa la tabla siguiente con los valores que aparecen en cada una.


61

Llena la tabla con los valores correspondientes a cada tarjeta.

¿Qué puedes decir del peso y los años de Fabio?____________________________________________________________

4. Una fábrica de plástico lleva el registro del número de máquinas y de la cantidad de plásti-co producido conforme muestra la siguiente tabla:


62

a) ¿En cuántos kilos de plástico aumenta la producción con cada máquina?________________________________________________________________________________________

b) ¿Cuántas máquinas necesito para producir 18 kilos de plástico?____________________________________

c) Da una regla para calcular la cantidad de plástico producido si conoces el número de máquinas. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

d) Veri!ca tu respuesta, sigue tu regla para completar la tabla:


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5. Observa los siguientes condominios que están siendo pintados.

a) ¿Cuántos pisos deberán pintar en el 5º edi!cio?__________________________________________________________________________b) ¿Cómo obtuviste el número de pisos que deberán pintarse?____________________________________________________________________________________________________________________________________________________c) Llena la tabla con los siguientes datos:


64

d) Da una regla para encontrar el número de pisos pintados, conociendo el número del edi!cio.

Veri!ca tu respuesta:

e) ¿Cuántos pisos pintados tendría un sexto edi!cio?_________________________________________________________________________

f) ¿Cuántos pisos pintados tendría un noveno edi!cio?_________________________________________________________________________

g) ¿Cómo encuentras el número de pisos pintados, si conoces el número del edi!cio? __________________________________________________________________________________________________________________________________________________

h) ¿Si conoces el número de pisos pintados en un edi!cio, cómo encuentras el número de pisos pintados en el siguiente edi!cio?__________________________________________________________________________________________________________________________________________________


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i) Haz una grá!ca del número de pisos pintados para cada piso.

6. Don José les dará un aguinaldo de $1,200 a sus dos hijos. Al menor le toca la tercera parte de lo que le toca al mayor ¿Cuánto le entregará a cada uno?____________________________________________________________________________________________________________________________________________________

7. Observa la secuencia de rectángulos a, b, c, d, e, f y g.


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a) Ahora, dibuja los rectángulos que le siguen: h, i.

b) Completa la tabla y haz una grá!ca de:(i) Altura vs. Base(ii) Área vs. Base


67

c) Si la base mide 4.5 cuadritos, ¿cuál debe ser la altura?d) Si la base mide 12 cuadritos, ¿cuál debe ser la altura?e) Si la altura mide 6 cuadritos, ¿cuál debe ser la base?


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Contenidos matemáticos del Cuaderno de actividades 2

1. Se pide completar secuencias de números.a) 8, 12, 16, -----, 24, -----, -----.b) -----, -----, -----, 15, 18, 21.c) 15, 13, 11, -----, -----, -----.d) 16, 12, 8, -----, -----.

O-.*"#$/: Reconocer una secuencia aritmética creciente y decreciente.

2. Se pide completar las secuencias de puntos.

O-.*"#$/: Comparar el crecimiento de la secuencia aritmética Sn = Sn-1+1, S0 =3.Y la secuencia geométrica Gn= 2 Gn-1, G0=1.

3. Se muestran tarjetas desordenadas con el peso y edad de un niño. Se pide hacer una tabla de peso, edad y describir en palabras el comportamiento de las variables.

O-.*"#$/: Identi!car una variación conjunta.

4. Se dan datos de número de máquinas y plástico producido en kg, en una fábrica. Se pide:-De!nir el aumento en la producción de plástico por cada máquina que se agrega.-Dar el número de máquinas que producen cierto número de kg de plástico que no aparecen en la tabla.-Dar la regla para kg producidos para X número de máquinas.-Veri!car la regla con los datos de la tabla.

O-.*"#$/: Identi!car la variación funcional lineal y = 2x+1, resolución de la ecuación 2x+1=b.

5. Se da una serie de cinco edi!cios en orden; los primeros cuatro han sido pintados. Se pide:-Dar el número de pisos que serán pintados en el quinto edi!cio y explicar cómo se obtuvo.-Hacer una tabla incluyendo el quinto piso.-Dar una regla para el número de pisos pintados en función del número de edi!cio.-Dar la respuesta para un sexto piso.-Dar el número de pisos a partir de los pisos pintados del anterior edi!co.-Hacer una grá!ca del número de pisos pintados vs. el número de edi!cio.


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O-.*"#$/: Identi!car la variación funcional exponencial yn = 2xn a partir de la secuencia aritmética xn+1=xn+1 (no. de edi!cio) y geométrica yn+1=2yn.(pisos pintados).

6. Se reparte una cantidad de dinero entre dos personas, se dice que a la primera le toca la tercera parte que a la segunda. Se pide determinar cuánto le toca a cada una, si se conoce la cantidad de dinero.

O-.*"#$/: Plantear y resolver la ecuación x + x/3 = 1200.

7. Se da una serie de rectángulos en proporción base:altura=3:2. Se pide:-Completar las alturas de una secuencia de rectángulos, dadas sus bases. -Hacer una grá!ca altura vs. base y área vs. base.-Encontrar la altura para una base dada y la base, dada una altura.

O-.*"#$/: Identi!car la relación lineal proporcional altura = (2/3) base.

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