ABP: Músicos SideralesFísica Moderna

Integrantes:Aguilar Peña ErikaCaceres Choqque MarcoMercado Gonzales RodolfoNazario Diaz David

Objetivos

Conocer los postulados de la Relatividad Especial de Albert Einstein .

Comparar las medidas realizadas en diferentes sistemas de referencia inerciales que se mueven con velocidad constante unos respecto de otros.

Evaluar las consecuencias de la aplicación de la Teoría de la Relatividad .

Marlon (20 años)

Rocío(20 años)

Músicos Siderales

• El tiempo se ve afectado cuando la nave viaja a grandes velocidades, próximas a la velocidad de la luz.

• La medida del tiempo no es absoluta, y que dados dos observadores el tiempo medido por estos observadores, en general, no coincide sino que la diferente medida de tiempos depende del estado de movimiento relativo entre ellos.

• El marco de referencia es la Teoría de la Relatividad Especial

Hipótesis:

En 1905 A. Einstein enuncia su teoría de la relatividad especial en la cual regresa a la antigua idea de que el espacio es vacío (no existe el éter) y formula dos postulados:

  1er Postulado (Principio de la

Relatividad):Las leyes de la físicas son las mismas en cualquier marco de referencia inercial. 

2do Postulado (Principio de la Constancia de la Velocidad de la Luz) :La velocidad de la luz en el vacío tiene el mismo valor C en cualquier marco de referencia inercial.

Postulados de la TRE de Einstein

Transformada de Lorentz

Establecieron la base matemática de la teoría R. E.

Son un conjunto de relaciones que permiten observar la correlación entre las medidas de una magnitud física realizadas por dos observadores inerciales diferentes, siendo el equivalente relativista de la transformación de Galileo utilizada en física hasta aquel entonces.

La transformación de Lorentz permite preservar el valor de la velocidad de la luz constante para todos los observadores inerciales.

( )x x vt y yz z

2

vxt t

c

2

2

1

1vc

( )x x vt y y

z z

2

vxt t

c

Inversas: Directas:

Transformada de Lorentz

Marco Teórico Dilatación del tiempo

El tiempo propio es denotado por , se

define como el intervalo de tiempo entre dos

eventos según lo mide un observador que ve

los eventos ocurriendo en el mismo punto del

espacio. Es decir el tiempo propio siempre es

el tiempo medido por un observador que se

mueve junto al reloj.

La longitud propia de un objeto se define como la longitud del objeto medida por alguien que esta en reposo con respecto al objeto.

1,1 22

t

cv

tt

pt

ptt

Contracción de la longitud

p

p

LL

c

vLL

21

2

2

1

Análisis de la Paradoja

La Relatividad Especial nos dice que el tiempo se dilata con la velocidad, de forma que para el viajero, el tiempo transcurre más lentamente que para su hermana. Así, cuando ambos se reencuentran en la Tierra, el viajero es más joven que su hermana. Por lo que la hermana que permaneció en la Tierra ha envejecido 10 años, y el viajero sólo ha envejecido 6. En muchas ocasiones, la explicación termina aquí. En realidad, esto no es ninguna paradoja.

Es una forma sencilla de explicar el efecto de dilatación temporal de la Relatividad Especial.

Análisis de la Paradoja

Los anterior está explicada desde el punto de vista de la hermana que se queda en la Tierra. Ella ve a su hermano moverse a una velocidad considerable con respecto a su sistema de referencia, y por tanto el tiempo transcurre más despacio para su hermano.

Pero ¿qué pasa si lo hacemos desde el punto de vista del hermano viajero?

Análisis de la Paradoja

En su sistema de referencia (la nave), sería la Tierra la que se mueve con respecto a él, por lo que sería su hermana (en la Tierra) la que experimentara la dilatación temporal. Al regresar, el viajero esperaría encontrarse a su hermana más joven que él.

Es decir, ambos esperan ver a su otro hermano más joven que él o ella mismo. Y lógicamente, esto no puede ocurrir. O tienen la misma edad, o uno es más joven que el otro, pero no puede ser que ambos sean más jóvenes que el otro simultáneamente. Pues bien, eso sí es una paradoja.

Preguntas Adicionales1. ¿De qué tratan los Postulados de Einstein?.¿Tienen estos postulados

alguna conexión con el problema planteado?

Postulados de la Teoría de la Relatividad Especial:

“Las leyes de la física son iguales en todos los sistemas de referencia

inerciales”.

Este primer postulado significa que todos los observadores inerciales en movimiento relativo,

aunque puedan medir valores diferentes de las velocidades, de los ímpetus, etc., de las

partículas que intervienen en un experimento dado, estarán de acuerdo a las leyes de la

física en cualquier sistema referencial inercial.

“La rapidez de la luz es igual en todos los sistemas de referencia inerciales”.

Este postulado, nos dice que la velocidad de la luz es un invariante físico, es decir que no

depende del observador ni de la fuente que la produce.

En el problema nos da evidencia clara que existe una dilatación del tiempo, dada por los diferentes

sistemas de referencia inercial (Tierra y nave espacial). Puesto que para Rocío es ella quien se

encuentra en reposo, mientras que Marlon se encuentra realizando un viaje espacial a gran

velocidad. Para Marlon, son Rocío y la Tierra los que se encuentran en un viaje de ida y vuelta.

  

 

En base a la transformada inversa de Lorentz

que considera el tiempo, esta definido de la

siguiente manera:

2. ¿Cómo deducir las relaciones de espacio contraído y tiempo dilatado a

partir de las Transformaciones de Lorentz?

A partir de está expresión, tomaremos un

tiempo t1 y t2 donde x’ no varia.

tt

tttt

c

xvtt

c

xvtt

2121

222

211

Tiempo dilatado

1

Espacio Contraído

En base a la transformada inversa de Lorentz

que considera el tiempo, esta definido de la

siguiente manera:

vtxx

Tomamos un x1’ y x2’, donde t no varia.

p

p

LL

LL

xxxx

vtxx

vtxx

2121

22

11

 

2c

xvtt

 

3. Valiéndose sólo de los Postulados de Einstein, ¿qué otro método

podrían aplicar para deducir la misma relación de tiempo dilatado?

Consideremos un ascensor que se mueve a una velocidad (v) hacia arriba. En dicho ascensor se

encuentra un observador (O’), como para este observador en dicho sistema de referencia este se

encuentra en reposo por tal motivo el haz luminoso se representa de forma horizontal. Mientras que

para un observador (O) en Tierra la trayectoria de la luz es como se muestra en la figura formando

un triangulo, haciendo uso del triangulo rectángulo aplicamos el teorema de Pitágoras.

222

22d

tvtc

Al despejar se obtiene:t

tt

cvc

d

vc

dt

2222 1

22

Donde:

1

 4.  Elaboren un análisis relativístico del problema planteado y formulen una hipótesis de trabajo para resolver la posible incongruencia de resultados de Rocío.  

Como la nave viaja una velocidad de 0,8c (muy cercana a la luz) entonces los cálculos usando la mecánica clásica de Rocío nos llevarán a un error notable.

Si Rocío fuera el observador inercial O y su hermano, que viaja en la nave de “APOCALIPSIS”, el observador O’, entonces los intervalos de tiempo que cada uno experimentará se relacionan mediante la fórmula de dilatación del tiempo.

)/1/(1 22 cv

222 /8,01/1 cc

6/10

Y tenemos quet = (10/6) t’10 = (10/6) x 610 = 10

a) Analizando como sistema de referencia a Rocío en la Tierra, ella será el SRI estacionario. Marlon se aleja de la tierra con una velocidad de 0.8c, y tendrá que recorrer una distancia de 8 años luz al planeta X.Para Rocío: Según la mecánica clásica.

810

0.8

d añosluzt añosv c

 5.  Comparar los resultados acerca el tiempo de viaje eligiendo como sistema de referencia:

Para Marlon: El tiempo propio que mide lo hallamos haciendo uso de la dilatación del tiempo:

2

1 5 5

3 30.81 cc

La diferencia de años de ida es 4 años, entonces de ida y vuelta será de 8 años , en donde la que envejece más es Rocío.

b) Partiendo de la depreciación del arranque , del frenado de la nave y el cambio de dirección al regreso a Tierra. Analizamos como sistema de referencia la nave en que viaja Marlon, este será el SRI estacionario y la Tierra será la que viaja a una velocidad de 0.8c con respecto a la nave. Marlon registrará el tiempo en que Rocío demora en recorrer L’=Lp=8 años luz, haciendo uso de la ecuación de Contracción de longitudes:

Para Marlon (Percibirá una contracción de longitud ,L):

añosluzLañosluzL

L 8.48.43/5

8'

añosc

añosluz

V

Lt 6

8.0

8.4

Para Rocío:

Haciendo uso de las ecuaciones directas de Lorentz que mencionan al tiempo:

10)8(8.0

3/5

6'

)('

))('(

)''(

)''(

2

2

2

2222

1211

cc

ct

Lpc

vtt

Lpc

vtt

xc

vtt

xc

vtt

La diferencia de años de ida es 4 años, entonces de ida y vuelta será de 8 años, en donde la que envejece más es Rocío.

En los dos SRI, tomando las condiciones de despreciar el despegue y el aterrizaje, Marlon será más joven que Rocío en 8 años. Comprobando que se cumple el primer postulado de Einstein que las leyes físicas se cumplen para cualquier sistema de referencia inercial.

Cuando se toma como SRI a Rocío, para Marlon el tiempo transcurre más lentamente que para Rocío, pero cuando el SRI es Marlon, él ve a su hermana moverse con una velocidad respecto a la nave, por tanto deduce que el tiempo transcurre más despacio para Rocío. Entonces ambos esperan ver a su otro hermano mucho más joven que él, pero esto en realidad no ocurre; es ahí donde surge la paradoja “Ambos no pueden ser más jóvenes que el otro simultáneamente”.Entonces podemos considerar que esta afirmación es falsa o bien el razonamiento aplicado es el incorrecto.Según los resultados que hemos obtenidos se puede afirma que la paradoja realmente no existe, y que no puede analizarse con la Teoría Relativista Especial (TRE) ya que los sistemas de referencia no son inerciales. Sin embargo, haciendo las debidas restricciones si se puede analizar con la TRE y llegar a la conclusión que Marlon es más joven que Rocío, en 8 años ,después del viaje.

 6.  Elaboren un juicio de valor acerca de los resultados obtenidos en   la pregunta anterior

7. En base a uno de los Postulados de Einstein se puede elegir como sistema en reposo a la nave en que se encuentra Marlon, entonces ¿cuánto tiempo demoraría Rocío en volver de su viaje con la tierra? Despreciar el arranque y el frenado de la nave.

Tomando a Marlon como sistema de referencia Inercial

En consecuencia Marlon observa que las señales llegan con un tiempo total de

Así el número de señales observados por Marlon es:

En el viaje de vuelta

Así durante el viaje de regreso Marlon observa

En suma durante sus 12 años de viaje Marlon recibe 20 señales.

8. Analicen los pasos seguidos hasta aquí y comparando ahora los resultados de la pregunta (5) con los de la pregunta (7), ¿cuántos años han pasado realmente para los dos protagonistas de esta historia?

Para las preguntas (5) y (7) se han tomado en cuenta tanto el sistema de referencia de Marlon como el de Rocío (considerándolos inerciales).Para calcular los años que han pasado realmente para ellos se debe despreciar la aceleración de despegue de la nave respecto a la tierra, así como el frenado del aterrizaje, y tal como vimos en los dos casos se llega a la conclusión que no hay paradoja y al final la mayor es Rocío.

El efecto Doppler consiste en la variación de la longitud de onda de la luz recibida o emitida en movimiento. Lo que es equivalente a que aumente su frecuencia.

Para la luz visible:

Si el objeto se acerca λ disminuye, la frecuencia aumenta

Corrimiento al azul

Si el objeto se aleja λ aumenta, la frecuencia disminuye . Corrimiento al rojo

9. ¿Qué le ocurre al valor de la frecuencia de la luz cuando el observador o la fuente experimentan un movimiento?

Cuando una onda electromagnética, que emite una fuente en movimiento alejándose respecto del observador, la luz se desplaza hacia el rojo del final del espectro , debido a que cuando la fuente se aleja, la luz emitida incrementa su longitud de onda

1 El corrimiento al rojo del incremento de la longitud de onda

2 La expansión métrica del espacio explica la observación de corrimientos al rojo espectrales en galaxias distantes, quásares y nubes gaseosas intergalácticas

3 El corrimiento al rojo gravitacional (o efecto Einstein), es el resultado de la dilatación del tiempo cerca de objetos masivos (relatividad general).

observada emitida

emitida

z

10. Explica la conocida expresión: “Corrimiento al rojo”.

 

 PARA MARLON

Señales recibidas en su viaje de ida

Señales recibidas en su viaje de regreso

TOTAL=20señales

Estas 20 señales enviadas por Rocío indican que para ella han pasado 20 años

PARA ROCIO

Señales recibidas en el viaje de ida

Señales recibidas en el viaje de regreso

TOTAL=12señales

Las 12 señales que llegan a Rocío indican que para Marlon han pasado 12 años

11. El conteo de las señales de luz que se enviaron los protagonistas ¿permitirá determinar los años transcurridos para los dos?. Analicen y elaboren una síntesis del estudio de este fenómeno? 

2)6(3

1

3

10

18)6(3 3 0

6)18(3

1

3

10 f

6)2(33 0

Análisis de Señales de Luz

Efecto Doppler Relativista

Señales de Rocío:

Ida:

1

1 0.8 62 señales recibidas por Marlon

3 31 0.8obs

años

Vuelta:

2

1 0.83 3(6 ) 18 señales recibidas por Marlon

1 0.8obs años

# señales recibidas por Marlon : 2+18 =20

1

1 0.83 18 , =6 señales recibidas por Rocío

1 0.8obs

Señales de Marlon:

Ida:

2

1 0.82 , =6 señales recibidas por Rocío

31 0.8obs

Vuelta:

# señales recibidas por Rocío: 6+6 =12

Dilatación del Tiempo

Señales de Marlon Viaje de Ida

1t añot t 5 / 3t años

En el sistema de referencia de Rocío, Marlon ha recorrido una distancia:

* 0.8 *5 / 3 4 / 3x v t c añosluz

Tiempo de recorrido para la luz:

/ 4 / 3t x c años

5 / 3 4 / 3 3t años La primera señal llega en :

Tiempo Transcurrido para

Marlon (t')

Tiempo Trancurrido para

Rocío (t=γt')Posición según

Rocío (x=vt)Tiempo de Arribo de la

señal según Rocío (t''=γt'+x/c)

1 1,67 1,33 3

2 3,33 2,67 6

3 5 4 9

4 6,67 5,33 12

5 8,33 6,67 15

6 10 8 18

Vuelta:

8 *( 10)x v t

5 / 3*7 35 / 3t años

8 0.8*5 / 3 20 / 3 x años luz

35 / 3 20 / 3 55 / 3 18.33t años

La señal # 7 será en :

Tiempo Transcurrido para Marlon (t')

Tiempo Trancurrido para Rocío (t=γt')

Posición según Rocío ( x=8-v(t-10) )

Tiempo de Arribo de la señal según Rocío (t''=γt'+x/c)

7 11,67 6,67 18,33

8 13,33 5,33 18,67

9 15 4 19

10 16,67 2,67 19,33

11 18,33 1,33 19,67

12 20 0 20

Tiempo Transcurrido para

Marlon (t')

Tiempo Transcurrido para

Rocío (t=γt')Posición según Rocío

(x=vt)Tiempo de Arribo de la señal

según Rocío (t''=γt'+x/c)

1 1,67 1,33 32 3,33 2,67 63 5 4 94 6,67 5,33 125 8,33 6,67 156 10 8 18

Tiempo Transcurrido para

Marlon (t')

Tiempo Transcurrido para

Rocío (t=γt')Posición según Rocío

( x=8-v(t-10) )Tiempo de Arribo de la señal

según Rocío (t''=γt'+x/c)

7 11,67 6,67 18,338 13,33 5,33 18,679 15 4 19

10 16,67 2,67 19,3311 18,33 1,33 19,6712 20 0 20

Marlon envía un total de 12 señales, una cada año de su propio tiempo.

Rocío recibe un total de 12 señales en los 20 años: 6 los primeros 18 años y 6 los últimos 2 años.

Nota:

Señales de Rocío

Viaje de Ida

0.8 ( 1) , 5ct t c t

23

xvt t

c

0.8 ( 2) , 10 6ct t c t t

Primera señal: Segunda señal:

Viaje de Vuelta

A partir del 3er año de Roció la señal alcanzara a Marlon según la ecuación

08 0.8( 10)t t t

t0 = 3,4,5,...,20.

Tiempo de encuentro según Rocío

0* 5 / 9( 16)t t

Tiempo de Salida de la Señal (t0)

Tiempo de Encuentro con Marlon según Rocío (t*)

Tiempo de Encuentro con Marlon según Marlon (t')

1 3 52 10 63 10,56 6,334 11,11 6,675 11,67 76 12,22 7,337 12,78 7,678 13,33 89 13,89 8,33

10 14,44 8,6711 15 912 15,56 9,3313 16,11 9,6714 16,67 1015 17,22 10,3316 17,78 10,66717 18,33 1118 18,89 11,3319 19,44 11,6720 20 12

• Rocío envía 20 señales, 1 cada año de su tiempo.

• Marlon recibe 20 señales, 2 los primeros 6 años,; y 18 los últimos 6 años.

NOTA:

La paradoja de los gemelos nos muestra que la Relatividad puede llegar a ser difícil de comprender si intentamos razonar dentro de los límites de la mecánica clásica, que es la que podemos experimentar en nuestra vida cotidiana.

Es necesario que solo intervengan sistemas de referencia inerciales para poder aplicar la teoría de la relatividad especial propuesta por Einstein.

Contrariamente a lo que piensa la gente, la paradoja no es el hecho de que un gemelo envejezca más rápido que otro, sino en el razonamiento capcioso que sugería que los dos gemelos concluirían que es el otro quien envejecería más.

La paradoja puede ser resuelta dentro de la propia teoría de la relatividad especial, aunque se requiere el uso de sistemas inerciales y tener precauciones especiales para asegurar la continuidad de la métrica.

Conclusiones

¡Gracias!