1. Análisis a priori.

Para analizar la demanda de papa en el año de 1997 en la ciudad de Cali, mediante los datos

obtenidos en la encuesta realizada en la galería de Santa Elena, donde esta arroja

información de los niveles de compra de papa de los consumidores, como también los

niveles de compra de estos mismo en días diferentes y los niveles de ingresos de estos; es

necesario basarse en teorías económicas, las cuales expongan la relación de la demanda de

papa con el precio del bien y los niveles de ingreso de los consumidores.

Las teorías que soportan estas dos relaciones son explicadas por la teoría microeconómica,

más específicamente la teoría del consumidor. En la cual la relación de demanda y precios e

ingreso es explicada por las preferencias, las cestas óptimas, la maximización de la utilidad

y la recta presupuestaria, la combinación de esta explica el problema el cual se enfrenta el

consumidor: maximizar su utilidad sujeto a una restricción presupuestaria.

Para desarrollar todos estos componentes se parte de unos supuestos planteados por el

economista Varian en su libro de microeconomía intermedia, los cuales son:

Hay dos bienes (𝑥1, 𝑥2), donde 𝑥1 es el bien a analizar y 𝑥2 representa a los demás

bienes.

(𝑥1, 𝑥2) representa la cesta de consumo del individuo, esta consiste en un listado

de dos cifras que nos indica cuanto decide consumir el individuo del bien 1 (𝑥1), y

cuanto del bien 2 ( 𝑥2).

El consumidor es un ser racional

El consumidor prefiere “más a menos”, antes de llegar el punto de saturación en el

que va a querer menos del articulo debido que en este punto el artículo no le genera

utilidad (bienestar).

Teniendo en cuenta lo anterior, las preferencias se clasifican:

≤ 𝑠𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑓𝑖𝑒𝑟𝑒 𝑑𝑒𝑏𝑖𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒,

> 𝑠𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑓𝑖𝑒𝑟𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒.

~ 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒

Completas: suponemos que es posible comparar dos cestas cualesquiera. Es decir, dada

cualquier cesta X y cualquiera cesta Y, se supone que (𝑥1, 𝑥2) ≥ (𝑦1, 𝑦2) o (𝑦1, 𝑦2) ≥

(𝑥1, 𝑥2); o las dos cosas, en cuyo caso, el consumidor es indiferente entre las dos cestas.

Reflexivas: suponemos que cualquier cesta es al menos tan buena como ella misma:

(𝑥1, 𝑥2) ≥ (𝑥1, 𝑥2).

Transitorias: si (𝑥1, 𝑥2) ≥ (𝑦1, 𝑦2) y (𝑦1, 𝑦2) ≥ (𝑧1, 𝑧2), suponemos que (𝑥1, 𝑥2) ≥

(𝑧1, 𝑧2). En otras palabras, si el consumidor piensa que la cesta X es al menos tan buena

como la Y y que la Y es al menos tan buena como la Z, piensa que la X es al menos tan

buena como la Z.

Cabe resaltar que las preferencias geométricamente se representan mediante curvas de

indiferencia la cual está conformada por las cestas que el consumidor considera indiferente

a la (𝑥1, 𝑥2). (Varian, Microeconomia intermedia. , 1991)

Existen varios tipos de curvas de indiferencia para representar diferentes tipos de

preferencias los casos extremos son: los sustitutivos perfectos y complementarios

perfectos, la preferencia más útil para explicar casos como el de objeto de estudio es la

preferencia regular.

En los sustitutivos perfectos el consumidor está dispuesto a sustituir a un bien por otro bien

a una tasa constante. Cabe resaltar que la característica más importante de los sustitutivos

perfectos reside en que las curvas de indiferencia tienen una pendiente constante, las curvas

de indiferencias serian la siguiente:

En cuanto a los complementarios perfectos, son bienes que siempre se consumen juntos en

proporciones fijas, un ejemplo de ello son los zapatos; lo que conlleva a que se dé un

incremento simultáneo de los dos bienes, lo cual desplaza las curvas de indiferencia de

forma paralela en sentido ascendente y hacia la derecha, gráficamente se representan:

Por último, las preferencias regulares también llamadas preferencias monótonas, esta es la

más utilizadas para mirar las preferencias de los consumidores. Los economistas consideran

varios supuestos para este tipo de preferencias, el primer supuesto consiste en cuanto más,

mejor, es decir “si (𝑥1, 𝑥2) es una cesta de bienes y (𝑦1, 𝑦2) es otra que contiene al menos

la misma cantidad de ambos bienes y más de uno de ellos, entonces 𝑦1, 𝑦2 > 𝑥1, 𝑥2 .”

El segundo supuesto es que se prefieren las medias a los extremos, es decir “si se tienen

dos cestas de bienes 𝑥1, 𝑥2 y 𝑦1, 𝑦2 en la misma curva de indiferencia y se toma una

media ponderada (la cesta contiene la cantidad media de bien 1 y del bien 2 presentes en las

dos cestas) de las dos, la cesta media será tan buena como cada una de las dos cestas

extremas o estrictamente preferibles a ellas”. Además desde el punto geométrico este

supuesto significa que el conjunto de cestas preferidas débilmente a la 𝑥1, 𝑥2 es un

conjunto convexo, pues supone que 𝑥1, 𝑥2 y 𝑦1, 𝑦2 son cestas indiferentes. Cabe resaltar

que este tipo de curvas de indiferencias son las más adecuadas a utilizar para hacer la

explicación de la demanda de papa.

Las preferencias del consumidor van a depender del el grado de utilidad que genere una

cesta en el individuo, hoy por hoy los economistas consideran que “las preferencias del

consumidor son la descripción fundamental para analizar la elección y la utilidad no es más

que una forma de describirlas.”

Una función de utilidad es un instrumento para asignar un número a todas las cestas de

consumo posibles de tal forma que las que se prefieren tengan un número más alto que las

que no se prefieren. Es decir, la cesta (𝑥1, 𝑥2) se prefiere a (𝑦1, 𝑦2) si y solo si la utilidad de

la primera es mayor que la utilidad de la segunda. La única propiedad importante de una

asignación de utilidad es la forma en que se ordena las cestas de bienes, la cual se le

denomina utilidad ordinal. (Varian, Microeconomia intermedia., 1991)

Como lo mencionamos anteriormente el consumidor se enfrenta a un problema, debido que

este busca tener una mayor utilidad pero está sujeto a un presupuesto o a un nivel de

ingreso. Este nivel de ingreso está constituido de la siguiente forma:

𝑝1𝑥1 + 𝑝2𝑥2 = 𝑚

Donde 𝒑𝟏 y 𝒑𝟐 son los precios de los bienes 1 y 2 y 𝒑𝟏𝒙𝟏 y 𝒑𝟐𝒙𝟐 son las cantidades de

dinero que el consumidor se gasta en el bien 1 y 2 respectivamente, con un determinado

nivel de ingreso. Por tanto la cesta de consumo que está a su alcance son las que no cuestan

más de 𝑚 (conjunto presupuestario).

Explicando de manera matemática el conjunto presupuestario del consumidor,

primeramente se describe la situación de este, para el presupuesto es una restricción

debido a que lo limita en las elecciones que pueda hacer, ya que él es precio aceptante, es

decir, el no estable el precio de los bienes ni el precio del trabajo, lo establece el mercado

(el libre juego de la oferta y demanda), por tanto los precios como la renta constituirán una

constante (son variables exógenas, ya están dadas). Por tanto (𝑥1, 𝑥2) son las que varían, es

decir las unidades a consumir.

𝑝1𝑥1 + 𝑝2𝑥2 = 𝑚

Despejamos a 𝑥2:

𝑝2𝑥2 = 𝑚 − 𝑝1𝑥1

𝑥2 =𝑚 − 𝑝1𝑥1

𝑝2

𝑥2 =𝑚

𝑝2−

𝑝1

𝑝2 𝑥1

Pendiente de la recta presupuestaria: es negativa porque si se

desea consumir más del bien se debe disminuir el consumo del

otro bien, lo cual se le denomina RES (relación marginal a

sustituir).

Teniendo en cuenta que el consumidor es un ser racional, que prefiere más a menos, este

siempre tratara de elegir una cesta de consumo que le brinde la mayor satisfacción posible

(mayor utilidad, representada por una curva de indiferencia más alta), pero esta cesta debe

ser asequible a su presupuesto (restricción presupuestaria: (𝑝1𝑥1 + 𝑝2𝑥2 = 𝑚)) , esta cesta

es denominada cesta optima o elección óptima que es representada por

(𝑥1∗, 𝑥2

∗).Geométricamente esta cesta (𝑥1∗, 𝑥2

∗) estará situado por encima de su curva de

indiferencia y la curva de indiferencia es tangente a la recta presupuestaria.

Para conocer las condiciones matemáticas del punto óptimo se parte de tres supuestos,

primero hay un presupuesto definido 𝑝1𝑥1 + 𝑝2𝑥2 = 𝑚, segundo se considera que hay una

variación en el consumo de ambos bienes (𝑥1, 𝑥2) y por último se mantiene constante la

renta. (Varian, Microeconomia intermedia., 1991)

𝑝1𝑥1 + 𝑝2𝑥2 = 𝑚 (1)

𝑝1(𝑥1 + ∆𝑥1) + 𝑝2(𝑥2 + ∆𝑥2) = 𝑚 (2)

Se resta 1-2:

𝑝1𝑥1 + 𝑝2𝑥2 − 𝑝1(𝑥1 + ∆𝑥1) + 𝑝2 𝑥2 + ∆𝑥2 = 𝑚 − 𝑚

𝑝1𝑥1 + 𝑝2𝑥2 − 𝑝1𝑥1 + 𝑝1∆𝑥1 + 𝑝2𝑥2 + 𝑝2∆𝑥2 = 0

𝑝1𝑥1 + 𝑝2𝑥2 − 𝑝1𝑥1 − 𝑝1∆𝑥1 − 𝑝2𝑥2 − 𝑝2∆𝑥2 = 0

−𝑝1∆𝑥1 − 𝑝2∆𝑥2 = 0

−𝑝1∆𝑥1 = 𝑝2∆𝑥2

−𝑝1

𝑝2=

∆𝑥2

∆𝑥1

∆𝑥2

∆𝑥1= −

𝑝1

𝑝2

Conociendo las condiciones matemáticas del punto óptimo se determinar las cestas óptimas

(𝑥1∗, 𝑥2

∗). Para esto se utilizara la función de utilidad de Cobb-Douglas debido que esta es

exactamente iguales a las curvas de indiferencia regulares, además la función que la

describe es una expresión algebraica sencilla en comparación a todas las que generan

preferencias de este tipo; la función es la siguiente:

𝑢 𝑥1𝛼 , 𝑥2

(𝛼−1)

Donde: 𝜶 + 𝜷 = 𝟏

𝜷 = 𝟏 − 𝜶

𝒑𝟏𝒙𝟏 + 𝒑𝟐𝒙𝟐 = 𝒎 Será llamado B

Para hallar la cesta se utilizara el método de Lagrange.

1. “si tomamos el logaritmo natural de la utilidad, el producto de los términos se

convertirá en suma”, por lo tanto tenemos:

𝑢 𝑥1𝛼 , 𝑥2

(𝛼−1) = ln 𝑥1𝛼 , 𝑥2

𝛼−1 = 𝛼 𝑙𝑛 𝑥1 + (𝛼 − 1)𝑥2

2. El método de Lagrange define un función auxiliar conocida como Lagrangiano:

𝐿 = 𝑈 − 𝜆(𝐵)

𝐿 = 𝛼 𝑙𝑛 𝑥1 + 𝛼 − 1 𝑥2 − 𝜆 𝑝1𝑥1 + 𝑝2𝑥2 − 𝑚

3. De esta expresión se obtienen tres condiciones de primer orden (CPO):

𝑑𝐿

𝑑𝑥1= 𝛼 ∗

1

𝑥1− 𝜆 𝑝1 = 0 (1)

𝑑𝐿

𝑑𝑥2= (1 − 𝛼) ∗

1

𝑥2− 𝜆 𝑝2 = 0 (2)

𝑑𝐿

𝑑𝜆= − 𝑝1𝑥1 + 𝑝2𝑥2 − 𝑚 = 0

4. Despejamos 1 y 2 los puntos 𝛼 𝑦 (𝛼 − 1).

𝛼

𝑥1= 𝜆 𝑝1 ⇒ 𝛼 = 𝜆 𝑝1𝑥1 (3)

(1−𝛼)

𝑥2= 𝜆 𝑝2 ⇒ (1 − 𝛼) = 𝜆 𝑝2𝑥2 (4)

5. Se suma 3 y 4 y se halla 𝜆.

𝛼 + 1 − 𝛼 = 𝜆 𝑝1𝑥1 + 𝜆 𝑝2𝑥2

1 = 𝜆( 𝑝1𝑥1 + 𝑝2𝑥2)

m

1 = 𝜆𝑚

𝜆 =1

𝑚

6. Remplazamos 𝜆 en 1 y 2.

Basándose en lo anterior las elecciones óptimas del consumidor dependen de su renta y de

los precios de los bienes. Ahora se procederá a mirar la demanda, a través de la función de

demanda.” La función de demanda del consumidor muestran las cantidades óptimas de

cada uno de los bienes en función de los precios y de la renta del consumidor, esta se

expresan de la siguiente forma:

𝑥1 = 𝑥1(𝑝1, 𝑝2, 𝑚)

𝑥2 = 𝑥2(𝑝1, 𝑝2, 𝑚)

𝛼

𝑥1− 𝜆 𝑝1 = 0

𝛼

𝑥1−

1

𝑚 𝑝1 = 0

𝛼

𝑥1−

𝑝1

𝑚= 0

𝛼

𝑥1=

𝑝1

𝑚

𝛼 = 𝑝1𝑥1

𝑚

𝛼𝑚

𝑝1= 𝑥1

𝑥1∗ =

𝛼 𝑚

𝑝1

Para 𝑥1∗

(1 − 𝛼)

𝑥2− 𝜆 𝑝2 = 0

(1 − 𝛼)

𝑥2−

1

𝑚 𝑝2 = 0

(1 − 𝛼)

𝑥2−

𝑝2

𝑚= 0

(1 − 𝛼)

𝑥2=

𝑝2

𝑚

(1 − 𝛼) = 𝑝2

𝑚𝑥2

(1 − 𝛼)𝑚

𝑝2= 𝑥2

𝒙𝟐∗ =

(𝟏 − 𝜶 )𝒎

𝒑𝟐

Para 𝑥2∗

Donde el primer miembro de cada ecuación representa la cantidad de demanda y el segundo

es la función que relaciona precios y la renta con esa cantidad.

Para la relación existente entre el precio (P) y la cantidad demandada (X), se analiza la

curva de la demanda del consumidor, debido que esta curva representa la relación entre el

precio del bien y la cantidad demandada del mismo. Antes de mostrar gráficamente esta

relación, es necesario aclarar que cuando se analiza la relación entre X y P, se debe tener

en cuenta que hay bienes ordinarios y que hay un caso especial llamado bienes giffen.

Un bien es ordinario cuando un aumento en el precio del bien produce una disminución en

las cantidades demandadas (↑ 𝑷 → ↓ 𝑿) o una disminución en los precios produce un

aumento en las cantidades demandadas (↓ 𝑷 → ↑ 𝑿), manteniendo constante el precio de

un bien y la renta monetaria.

Un bien es giffen cuando un aumento en el precio del bien produce un aumento en las

cantidades demandadas (↑ 𝑷 → ↑ 𝑿) o una disminución en el precio de los bienes produce

una disminución en la cantidad demandada ↓ 𝑷 → ↓ 𝑿 . manteniendo constante el precio

de un bien y la renta monetaria.

Para las grafica el precio que varía es 𝑝1 y 𝑝2, 𝑚 permanecen constantes.

Teniendo en cuenta lo anterior para la demanda de papa, basándonos en los datos obtenidos

por la encuesta realizada en la galería de Santa Elena, la papa se comporta como un bien

ordinario, es decir si aumenta (disminuye) el precio del bien, disminuye (aumenta) la

cantidad demandada, por lo tanto la curva de la demanda se comporta de la siguiente forma:

Para analizar la segunda relación la cual es: la renta y la demanda o cantidades demandas,

se debe tener en cuenta que para esta relación existen dos tipos de bienes: bienes normales

y bienes inferiores. Los bienes son normales cuando la demanda de cada bien aumenta

cuando aumenta de la renta. Los bienes son inferiores cuando un aumento en la renta,

produce una reducción del consumo de uno de los bienes. Gráficamente se representan:

Fuente: Economía intermedia, Varian.

Normalmente los bienes se comportan como un bien normal y en casos extremos se

presentan los bienes inferiores por lo cual lo normal sería que al aumentar la renta aumenta

las cantidades demandadas de papa. Esta relación es explicada por la curva de Engel, donde

se observa como varia la demanda ante un cambio en la renta, manteniendo los precios de

los bienes constantes (𝑝1, 𝑝2). Gráficamente se representa de siguiente forma:

Fuente: Economía intermedia, Varian.