UNIDAD 1:Cantidad de informacinLa cantidad de informacin es una medida de la disminucin de incertidumbre acerca de un suceso.La cantidad de informacin es proporcional a la probabilidad de un suceso.Si la probabilidad de un estado fuera 1 (mxima): la cantidad de informacin que aporta sera 0. Si la probabilidad se acercara a 0: la cantidad de informacin tender a infinito. Un suceso que no puede suceder aportar una cantidad infinita de informacin si llegara a ocurrir. Segn shannon:

La I de los mensajes es igual a la cantidad de bits de cada mensaje.Una notacin similar es la siguiente. Se emplea una variable aleatoria v para representar los posibles sucesos que se pueden encontrar: El suceso i-simo se denota como xi. P(xi) ser la probabilidad asociada a dicho suceso. N ser el nmero de sucesos posibles. La cantidad de informacin ser:

Unidades de cantidad de informacion:Si la base es 2 la unidad se denomina bitsSi la base es el nmero natural e la unidad se denomina natsSi la base es decimal la unidad se denomina Hartley

EntropaLa suma ponderada de las cantidades de informacin de todos los posibles estados de una variable aleatoria v es:

La entropa es proporcional a la longitud media de los mensajes que se necesitar para codificar una serie de valores de v: De manera ptima dado un alfabeto cualquiera. Esto significa que cuanto ms probable sea un valor individual, aportar menos informacin cuando aparezca:Se podr codificar empleando un mensaje ms corto. Si P(xi) = 1 no se necesitara ningn mensaje: se sabe de antemano que v va a tomar el valor xi. Si P(xi) = 0,9 parece ms lgico emplear: Mensajes cortos para representar el suceso xi. Mensajes largos para los xj restantes: el valor que ms aparecer en una secuencia de sucesos es precisamente xi.

La cantidad de informacin asociada al suceso ms simple Consta unicamente de dos posibilidades equiprobables (caso de la una moneda). Ser la unidad a la hora de medir esta magnitud, y se denominar bit. La entropa de una variable aleatoria es el nmero medio de bits que se necesitarn para codificar c/u de los estados de la variable. Se supone que se expresa cada suceso empleando un mensaje escrito en un alfabeto binario.

La entropa h de un sistema de transmisin es igual a la cantidad de informacin media de sus mensajes, es decir H = Imed.

Si en un conjunto de mensajes sus probabilidades son iguales, la entropa total ser: H = log2 N.La entropa indica la recproca de la probabilidad de ocurrencia y permite ver la cantidad de bits necesarios para representar el mensaje que se va a transmitir.

Entropa condicionadaSe supone que tenemos una variable aleatoria bidimensional (x,y). Teniendo n posibles casos para x y m para se tiene que la distribucin condicional de x sobre y y viceversa:

Se define la entropa de las distribuciones como sigue:

Haciendo la suma ponderada de los H(x/y = yj) se obtiene la expresin de la entropa condicionada de x sobre y:

Se define la ley de entropas totales:

Si x e y son variables independientes:

Cantidad de informacin entre dos variablesIdea intuitiva: conocer algo acerca de la variable y puede que ayude a saber ms sobre x (es una reduccin de su entropa). En ningn caso podr hacer que aumente la incertidumbre.Shannon propuso una medida para la cantidad de informacin que aporta sobre una variable el conocimiento de otra. Teorema de disminucin de la entropa: la entropa de una variable x condicionada por otra y es menor o igual a la entropa de x. La igualdad se da si y slo si las variables x e y son independientes. Se define la cantidad de informacin de shannon que la variable x contiene sobre y como:

Significa que la cantidad de informacin que aporta el hecho de conocer x al medir la incertidumbre sobre y es igual a la disminucin de entropa que este conocimiento conlleva.

Limite de NyquistNyquist demostr la existencia de una frecuencia de muestreo llamada frecuencia de nyquist, igual cuanto ms al doble de la frecuencia natural de entrada (la frecuencia de la seal que se va a muestrear). Nyquist sostiene que si se hace un muestreo con una frecuencia superior al doble la informacin recuperada es redundante. Esto se debe interpretar como que la cantidad de informacin obtenida al recuperar un mensaje que se ha muestreado a una frecuencia mayor que el doble de la natural no difiere de la obtenida cuando se muestrea a una frecuencia del doble de la natural. FN = 2 fNyquist estableci que si los canales son sin ruido y si las seales son binarias con una transmisin mononivel la Fn coincide con la mxima velocidad binaria: Bps 2 F.Esto es un lmite fsico. Es posible superar este mximo si la transmisin es multinivel. BPS 2 F log2 m.Aqu m es la cantidad de niveles de la modulacin. As se relaciona la mxima velocidad binaria con el ancho de banda, la cantidad de niveles y la entropa. A esta velocidad binaria se la denomina lmite de Nyquist BPS = 2 F H.

Limite de ShannonUn canal no ideal es considerado por shannon como ruidoso. Segn shannon en estos canales existe una relacin entre la cantidad mxima de niveles que el canal puede admitir y la relacin seal-a-ruido del mismo, que est dado por: mmax = (1 + S/N).Donde: M es la cantidad de niveles. S Y N son los valores de potencia de seal y de potencia del ruido expresados en unidades de potencia. S/N es la relacin seal a ruido adimensional.

Se busca la capacidad mxima del canal: se debe maximizar m en el lmite de Nyquist:

Simplificando la ecuacin anterior, se obtiene la mxima velocidad de transmisin en funcin del ancho de banda, la potencia de la seal y la del ruido gaussiano: BPS = F log2 (1 + S/N).Es el llamamos lmite de shannon dado por la ley de Shannon-Hartley.

La sola aplicacin de la ley de Shannon no permite determinar la mxima velocidad de un modulador cualquiera en un canal real, pero si permite determinar la mxima capacidad del canal. Por lo tanto lmite de shannon impacta sobre las tcnicas de modulacin y de transmisin.

Tipos de erroresEn los sistemas de transmisin digital se dice que ha habido un error cuando se altera un bit. Existen dos tipos de errores: Aislados: alteran un solo bit. Un error aislado se puede dar en presencia de ruido blanco, cuando cualquier deterioro aleatorio en la relacin seal-ruido confunda al receptor en un nico bit. A rfagas: Ha habido una rfaga de longitud b cuando se recibe una secuencia de b bits en la que son errneos: el primero, el ltimo y cualquier nmero de bits intermedios. En una rfaga de errores habr un conjunto de bits con un nmero dado de errores: no necesariamente todos los bits en el conjunto sern errneos. Generalmente las rfagas son ms frecuentes y ms difciles de tratar. stas pueden estar causadas por ruido impulsivo. Los efectos de una rfaga sern siempre mayores cuanto mayor sea la velocidad de transmisin.

Deteccin de erroresEn todo sistema de transmisin habr ruido y dar lugar a errores que modificarn uno o varios bits de la trama. La justificacin de la utilizacin de tcnicas para la correccin de errores, va a depender de la exigencia de la comunicacin.Procedimiento para detectar errores:

Principio general para las tcnicas de deteccin de errores: Dada una trama de bits, se aaden bits adicionales en el transmisor formando un cdigo detector de errores. El cdigo se calcular en funcin de los otros bits que se vayan a transmitir. El cdigo de deteccin de errores, llamado bits de comprobacin, se aade al bloque de datos para generar la trama de n bits de longitud que ser transmitida. El receptor separar la trama recibida en k bits de datos y (n - k) bits del cdigo de deteccin de errores. El receptor repetir el clculo sobre los bits de datos recibidos y comparar el resultado con los bits recibidos en el cdigo de deteccin de errores. Se detectar un error si los dos resultados mencionados no coinciden.

Control de redundancia cclicaSe trata de uno de los cdigos para deteccin de errores ms habituales y potentes. Se tiene un bloque o mensaje de k-bits. El transmisor genera una secuencia de (n - k) bits compuesta por la Secuencia de comprobacin de la trama FCS (frame check sequence). La trama resultante con n bits ser divisible por algn nmero predeterminado. El receptor dividir la trama recibida por ese nmero y si no hay resto en la divisin supondr que no ha habido errores. El receptor tambin podra dividir los datos de entrada (igual que el emisor) y comparar el resultado con los bits de comprobacin. Este procedimiento se puede explicar usando: Aritmtica mdulo 2. Polinomios. Lgica digital.

Aritmtica de mdulo 2: utiliza sumas y restas binarias sin acarreos, son iguales a la operacin lgica or exclusivo.Definiciones:T: trama de n bits a transmitir. M: mensaje con k bits de datos, correspondientes con los primeros k bits de t. F = (n k) bits de FCS: los ltimos (n k) bits de T. P: patrn de n k + 1 bits: divisor elegido. Se elige con un bit ms que la longitud de la fcs deseada. Depender del tipo de error que se espera sufrir. Debe tener como mnimo el bit menos significativo y el bit ms significativo en 1. T / P = 0. (El resto)T = 2n-kD + F. Multiplicar 2n-kD equivale a desplazar hacia la izquierda n k bits aadiendo ceros al resultado.Sumar f significa concatenar d y f. FCS se genera fcilmente: se divide (2n-kD) / P y se usan los (n k) bits del resto como FCS. En el receptor se dividir (T / P) y si no ha habido errores el resto ser 0.

Polinomios: otra posibilidad de CRC es expresar todos los valores como polinomios de una variable muda x, con coeficientes binarios: D = 110011; D(X) = X5 + X4 + X + 1. P = 11001; P(X) = X4 + X3 + 1. Se usa aritmtica mdulo 2. El procedimiento de CRC es:

CodigosIntroduccinConsideremos un conjunto finito A={a1, a2, ... aq}, al que denominaremos alfabeto, a sus elementos, a1, a2, ... aq , les llamaremos letras o smbolos. Las sucesiones finitas de elementos de A se llaman palabras.

La palabra ai1ai2...ain se dice que tiene longitud n o bien que es una n-palabra.Una palabra de longitud n se puede considerar como un elemento del producto cartesiano de A por si mismo n veces, es decir, de:

El conjunto de todas las palabras sobre el alfabeto A se denotar como A* (con independencia de la longitud de las palabras).

Un cdigo sobre el alfabeto A es un subconjunto C de A*, (conjunto formado por palabras del alfabeto).A los elementos del cdigo C se les llama palabras de cdigo.El nmero de elementos del cdigo C, que normalmente ser finito, se denota por |C| y se denomina tamao del cdigo.Si C es un cdigo sobre A y A tiene q elementos (|A|=q) entonces se dice que C es un cdigo q-ario. El ejemplo ms normal de alfabeto usado en teora de cdigos es A = Z2 = {0,1} y tendremos as cdigos binarios.

Definicin: Si C es un cdigo cuyas palabras tienen todas la misma longitud n, decimos que C es un cdigo de longitud fija o un cdigo de bloques y a n se le llama longitud del cdigo C.

Si C es un cdigo de longitud n y tamao m se dice que C es un (n,m)-cdigo.

C = {0100,0010,0111} (4,3) cdigo

Dado un alfabeto S al que denominaremos alfabeto fuente y dado un cdigo C sobre el alfabeto A, se llama funcin de codificacin a una aplicacin biyectiva f:

S es el alfabeto en el cual est la informacin que queremos codificar. Una aplicacin biyectiva entre 2 conjuntos es una aplicacin inyectiva (elementos diferentes tienen imgenes diferentes) y sobreyectiva (los elementos del conjunto C son imgenes de algn elemento de S, en este caso de 1 ya que la aplicacin es inyectiva). A veces f no ser una aplicacin biyectiva; si f no fuese inyectiva habra varios smbolos del alfabeto fuente que se codificaran de la misma forma, lo que hara la decodificacin muy difcil. Cuando f es biyectiva hablamos de cdigos descifrables.En muchas ocasiones se le llama cdigo a la funcin de codificacin; pero nosotros le llamamos cdigo al conjunto C (imagen de f).

Ejemplo:

Ejemplos de cdigos:Polivio (ao 208 a.C.) o cdigo de fuego griego.

55 no se incluye ya que el alfabeto A tiene 24 letras. Un alfabeto A de longitud q tiene qn palabras de longitud n (qn = |An| )Este es un (2,24) cdigo. Este cdigo persigue claridad, facilidad de transmisin de mensajes a distancia. Este cdigo no permite detectar y/o corregir errores. Se piensa que este cdigo se usaba para ocultar la informacin. En criptografa no se habla de cdigo sino de cifras o criptosistemas. Este cdigo se denomina cifra de Polivio.

Cdigo MorseSe usa para transmisiones telegrficas. Se usa para codificar un mensaje fuente en lenguaje natural.S = {a, b, c ......z}A = {., _, }

Se usan 3 smbolos: punto, raya y espacio.Este cdigo no es de longitud fija. Las letras ms frecuentes se codifican con palabras cortas, mientras que las letras menos usadas se codifican con palabras ms largas; esto se usa para conseguir ms eficiencia.Los espacios se usan para separar palabras (6 espacios) o letras entre palabras (3 espacios). Este cdigo no permite corregir y/o detectar errores y no tiene fines criptogrficos.

Cdigo ASCII (American Standard Code for Information Interchange)Este cdigo es usado por los ordenadores para representar los caracteres alfanumricos y caracteres especiales. El ASCII estndar usa palabras de 7 bits:C = {0000000, 0000001, .......1111111}27 = 128 palabras

El cdigo ASCII extendido usa palabras de 8 bits:C= {00000000, ......11111111}28 = 256

Esta extensin permite codificar ms smbolos.Al cdigo ASCII de 7 bits se le aade un bit de paridad para que el nmero de 1 de la palabra sea par.Al aadir el bit de paridad si se cambia un bit la palabra que se obtiene no es vlida, ya que el nmero de 1 pasa a ser impar con lo que se detecta el error. Este cdigo slo detecta errores.El ASCII con control de paridad es un (8,128) cdigo, mientras que el ASCII estndar es un (7,128) cdigo. El cdigo ASCII extendido es un (8,256) cdigo.El cdigo ASCII no es muy eficiente ya que es de longitud fija y usa el mismo nmero de bits para codificar caracteres frecuentes y poco frecuentes. En este cdigo no hace falta separar las palabras ya que cada palabra tiene un nmero fijo de bits.La ventaja del ASCII con bit de paridad sobre el ASCII estndar es que permite detectar errores y se puede pedir repetir la transmisin hasta que sta sea correcta; el inconveniente es que es menos eficiente ya que para transmitir la misma informacin usa palabras de 8 bits en lugar de palabras de 7 bits.

Cdigos Detectores de ErroresUn canal es el medio fsico por el cual se realiza la transmisin; un canal ruidoso es un canal que est sujeto a perturbaciones y que genera alteraciones en el mensaje. Los cdigos detectores de errores se usan para recuperar la informacin que se envi incorrectamente.

La codificacin y decodificacin deben ser fciles y rpidas; la transmisin a travs del canal debe ser rpida; debemos maximizar la cantidad de informacin transmitida por unidad de tiempo y debemos detectar y corregir errores, esta ltima caracterstica entra en conflicto con las anteriores caractersticas ya que hace que aumente el tamao de lo que se transmite.

El canal acepta smbolos de un alfabeto finito A={a1, a2, ... aq} que llamaremos alfabeto del canal (ejemplo: A = {0, 1}). Para saber que tan ruidoso es un canal se debe conocer cul es la probabilidad de que si se emite un smbolo se reciba otro smbolo: P(aj recibido|ai enviado) (probabilidad de que si se ha enviado ai se reciba aj).

Un canal es un alfabeto (de canal) A={a1, a2, ... aq} junto con un conjunto de probabilidades de transicin P(aj recibido|ai enviado) que satisfacen:

es decir, siempre se recibe un carcter del alfabeto. El ruido se distribuye aleatoriamente la probabilidad de que un smbolo sea cambiado por otro en la transmisin es la misma para todos los smbolos. La transmisin de un smbolo no est influenciada por la transmisin del smbolo precedente ni de los anteriores, es decir, el canal es un canal sin memoria. El error en la transmisin de un smbolo no afecta a la transmisin de los siguientes smbolos.

El canal que usaremos ms a menudo es el canal binario simtrico (binary simetric channel BSC). El alfabeto del canal es A={0,1}.

1-p probabilidad del canalp probabilidad del crucep probabilidad de que un 0 sea recibido como un 11-p probabilidad de que un 0 sea recibido como un 0p = 0 Canal perfectop = 1 Siempre se comete error (Este caso se convierte en perfecto invirtiendo el smbolo recibido).

En un canal simtrico: Existe la misma probabilidad de que un smbolo se reciba incorrectamente Si un smbolo se recibe incorrectamente hay la misma probabilidad de que se reciba cualquier otro smbolo.

Supongamos que queremos detectar errores; debemos disear un cdigo de tal forma que si a una palabra del cdigo le cambiamos un nico smbolo la palabra resultante no sea una palabra del cdigo para as poder saber que se ha producido un error. Si adems queremos corregir errores, la idea es parecida, para hacer la correccin hay que saber cul es la palabra enviada. La idea bsica es comparar la palabra recibida con todas las palabras de cdigo y asignarle la palabra que difiera en menos smbolos.

Para detectar errores hay que aadir redundancia. La idea ms sencilla es repetir la palabra. Este cdigo se denomina cdigo de repeticin.

Tasa de informacionSea C un (n,m)-cdigo q-ario (|A| = q, siendo A el alfabeto). Se define la tasa de informacin (o de transmisin) de C como:

(Longitud n y tamao m)En el caso binario tenemos:

Esta definicin trata de dar la relacin que hay entre los smbolos del cdigo dedicados a la informacin y los smbolos dedicados a la redundancia (detectar y/o corregir errores).Los cdigos que no corrigen ni detectan errores tiene la mxima tasa de transmisin ya que todos los smbolos estn dedicados a la transmisin de informacin.Dado R no podemos determinar si el cdigo permite detectar y/o corregir errores.Conociendo R sabemos la eficiencia del cdigo. Los cdigos ms eficientes tienen R = 1.

Distancia Hamming y Descodificacin por Distancia Mnima

Sea A un alfabeto y u,w An. Se define la distancia Hamming d(u,w) como el nmero de posiciones en las que difieren v y w.

Se llama distancia mnima (o distancia) de un cdigo C a:

Puede ocurrir que haya varias palabras a distancia mnima (MLD). Se dice que la descodificacin es completa si slo hay una palabra posible con distancia mnima y se dice que la descodificacin es incompleta cuando hay ms de una posible palabra con distancia mnima y se produce un error.

Codigo t-detector

Un cdigo C es t-detector (de errores), t , si cuando el nmero de errores cometidos al transmitir una palabra es mayor o igual que 1 y menor o igual que t, entonces la palabra resultante no es una palabra del cdigo. C se dice que es exactamente t-detector cuando es t-detector pero no es (t+1)-detector.

Proposicin: Un cdigo C es exactamente t-detector si y slo si d(C) = t+1.

Cdigo t-correctorUn cdigo C es t-corrector de errores si la descodificacin permite corregir todos los errores de tamao t o menor en una palabra de cdigo. Un cdigo C se dice que es exactamente t-corrector cuando es t-corrector pero no es (t+1)-corrector.

Proposicin: Un cdigo C es exactamente t-corrector si y slo si d(C) = 2t + 1 o 2t + 2.

Definicin: Un cdigo de longitud n, tamao m y distancia d se dice que es un (n,m,d) cdigo.

Tasa de correccinLa tasa de correccin de errores de un (n,m,d)-cdigo C es:

Es el nmero de errores que se corrigen en relacin a la longitud de las palabras.Cuanto mayor sea la longitud del cdigo ms aumenta la tasa de correccin de errores.

Cdigos perfectos:

Sea A un alfabeto, |A| = q, v An y r R, r 0. La esfera de radio r y centro v es:

Un cdigo C es t-corrector si y slo si las esferas de radio t Sq (v,t), v C, son disjuntos. C es exactamente t-corrector si y slo si pr(C) = t (Radio de empaquetamiento)

Un cdigo C An se dice perfecto cuando existe un entero r tal que Sq(v,r), vC, son disjuntas y recubren An.

Interpretacion: Un cdigo es prefecto cuando cada palabra del cdigo tiene esferasa su alrededor donde las mismas son disjuntas y cubren todas las posibilidades de longitud n sobre el alfabeto A. Si se recibe una palabra de longitud n que no pertenece al cdigo, basta con ver en que esfera cae y asignarle como palabra correcta el centro de la esfera, permitiendo la correccin de errores.

Cdigos LinealesUn cdigo lineal de longitud n sobre K es un K-subespacio vectorial C de Kn

Kn = {(x1 ..xn) / x1,xn K}Dados 2 elementos de C su suma y su producto pertenece a C ( + y son cerradas).

C Kn, v,w C, , K v + w C

Un cdigo lineal binario tiene un nmero de palabras que es potencia de 2.

Matrices Generatrices y Matrices de ControlMatrices generatrices

Sea C un [n,k]-cdigo lineal sobre un cuerpo K (C Kn). Una matriz generatriz de C es una matriz de Mkxn(K) cuyas filas forman una base de C. La matriz generatriz no es nica ya que hay muchas bases.Ejemplo:C = es un [6,3]-cdigo

Para que una matriz sea generatriz sus filas deben ser una base del cdigo, deben ser un conjunto LI. La matriz debe tener rango k (= nmero de filas).

Una matriz generatriz G de un [n,k]-cdigo se dice normalizada o estndar (o estndar por la izquierda) cuando es de la forma siguiente:

donde Ik es la matriz identidad de Mk(K) (matrices cuadradas k x k). Adems si un cdigo C tiene una matriz generatriz estndar se dice que C es un cdigo sistemtico.

Diferencia entre la descodificacin de fuente y la descodificacin de canalLa descodificacin de canal consiste en, al usar un cdigo detector de errores, recibir las palabras transmitidas y si stas no son palabras del cdigo por algn mtodo sustituir la palabra recibida por una palabra del cdigo.La descodificacin de la fuente consiste en tomar la informacin y pasarla a su formato original.En el caso de los cdigos lineales la codificacin y descodificacin de fuente es bastante eficiente.Matrices de controlSea C un [n,k]. El cdigo dual (cdigo ortogonal) de C es:

Se llama matriz de control (parity-check matrix) de C a cualquier matriz generatriz de C. Un cdigo lineal C se dice autodual cuando coincide con su dual.Caractersticas de las matrices generatrices y las matrices de controlLa ventaja de la matriz generatriz es que a partir de ella es ms fcil obtener las palabras del cdigo (CL de sus filas).Para el clculo de la distancia mnima es mejor tener la matriz de control. A partir de la matriz generatriz no se conoce ningn mtodo directo para obtener w(C), en cambio a partir de la matriz de control s.Sea P una matriz de control de un [n,k,d]-cdigo lineal. Entonces la distancia mnima d es el menor entero positivo r para el cual existen r columnas linealmente dependientes en la matriz P.

Codigos especiales: Codigo de Hamming, Codigo de Golay y Codigo de Reed-Muller

HammingEstos cdigos tienen un procedimiento de descodificacin especial. Fueron los primeros cdigos correctores de errores. La decodificiacion se basa en la siguiente proposicin:

Si una palabra x H2(r) sufre un nico error resultando la palabra y entonces el sndrome de y, es la representacin binaria de la posicin del error de la palabra recibida.Luego, conociendo la posicin binaria, se cambia el i-esimo bit de y.A este mtodo de descodificacin se le llama descodificacin de hamming.

Cdigos de Golay:

El cdigo de Golay binario g24: El cdigo g24 es el cdigo lineal binario de matriz generatriz G = (I12|A) M12x24(Z2), donde:

A partir de la 3 fila las filas se obtienen desplazando la fila anterior una posicin a la izquierda.

Se verifica que g24 es un cdigo autodual, por lo que sus matrices de control y generatriz son iguales. Se verfica que La matriz (A|I12) es una matriz generatriz de g24. Este cdigo se us para transmitir imgenes de jpiter y saturno (voyager 1979-1981). El Cdigo de Golay binario g23 se obtiene a partir de g24 pinchando una componente a g24 (usualmente se elimina el ltimo smbolo de todas las palabras). Se verifica que g23 es perfecto.

Reed-MullerEstos cdigos son fciles de descodificar.

Una funcin de Boole de m variables es una aplicacin.Las funciones de boole se suelen representar dando su tabla de verdad.m = 3

Entero Binario01234567

x100001111

x200110011

x301010101

F(x1,x2,x3)01110110

Para dar la funcin booleana me basta quedarme con la ltima fila ya que me describe completamente la funcin (si asumo que siempre tengo el mismo orden).Existe una correspondencia biunvoca entre funciones de boole de m variables y palabras binarias de longitud 2m.

Polinomios de Boole:

A los elementos de este conjunto se les llaman polinomios de Boole.

Codigo de Red Muller:

Sea m un entero positivo . Se define el cdigo de Reed-Muller R(r,m), de longitud 2m y orden r como el conjunto de las palabras binarias de asociadas a polinomios de Boole de Bm que tienen grado menor o igual que r.

R(r,m) es un cdigo lineal Bm(r) R(r,m) Bm(r) polinomios de Boole de m variables de grado menor o igual que r.

UNIDAD 2:Seales y EspectrosIntroduccin Los diferentes tipos de informacin (voz, datos, imgenes, vdeo) se pueden representar mediante seales electromagnticas. Dependiendo del medio de transmisin y del entorno donde se realicen las comunicaciones, se podrn utilizar seales analgicas o digitales.Cualquier seal electromagntica, analgica o digital, est formada por una serie de frecuencias constituyentes. Un parmetro clave en la caracterizacin de la seal es el ancho de banda, definido como el rango de frecuencias contenidas en la seal. En trminos generales, cuanto mayor es el ancho de banda de la seal, mayor es su capacidad de transportar informacinUno de los problemas principales en el diseo de un sistema de comunicaciones reside en paliar las dificultades, o defectos, de las lneas de transmisin (la atenuacin, la distorsin de atenuacin, la distorsin de retardo, el ruido).El xito en la transmisin de datos depende fundamentalmente de dos factores: la calidad de la seal que se transmite y las caractersticas del medio de transmisin.

Terminologa utilizada en la transmisin de datosLa transmisin de datos entre un emisor y un receptor siempre se realiza a travs de un medio de transmisin, utilizando ondas electromagnticas. Los medios de transmisin se pueden clasificar como: Guiados: las ondas se transmiten confinndolas en un camino fsico. Ej.: fibra ptica, cables coaxiales. No guiados: son tambin denominados inalmbricos. Proporcionan un medio para transmitir las ondas electromagnticas sin confinarlas. Ej.: propagacin a travs de aire, mar, vaco.El trmino enlace directo se usa para designar un camino de transmisin entre dos dispositivos en el que la seal se propague directamente del emisor al receptor sin ningn otro dispositivo intermedio que no sea un amplificador o repetidor.Un medio de transmisin guiado es punto a punto si proporciona un enlace directo entre dos dispositivos que comparten el medio, no existiendo ningn otro dispositivo conectado. En una configuracin guiada multipunto, el mismo medio es compartido por ms de dos dispositivos.Un medio de transmisin puede ser: Simplex: las seales se transmiten slo en una nica direccin; Half-duplex: ambas estaciones pueden transmitir, pero no simultneamente. Full-duplex: ambas estaciones pueden igualmente transmitir y recibir, pero ahora simultneamente.

Dominio temporal y Dominio de la frecuenciaLa seal, que es una funcin del tiempo, se puede expresar alternativamente en funcin de la frecuencia; es decir, la seal puede considerarse estar constituida por componentes a diferentes frecuencias. Para comprender y caracterizar el funcionamiento de los sistemas de transmisin de datos el dominio de la frecuencia suele ser ms ilustrativo que el dominio del tiempo.

Conceptos en el dominio temporalToda seal electromagntica, considerada como funcin del tiempo, puede ser tanto analgica como digital. Una seal analgica es aquella en la que la intensidad de la seal vara suavemente en el tiempo. Es decir, no presenta saltos o discontinuidades. Una seal digital es aquella en la que la intensidad se mantiene constante durante un determinado intervalo de tiempo, tras el cual la seal cambia a otro valor constante.Las seales peridicas son el tipo de seales ms sencillas que se puede considerar; se caracterizan por contener un patrn que se repite a lo largo del tiempo. Ej.: onda senoidal (analgica), onda cuadrada (digital).Matemticamente, una seal s(t) se dice peridica si y solamente si:

Donde la constante T es el periodo de la seal (T debe ser el menor valor que verifique la ecuacin). En cualquier otro caso la seal es no peridica.La onda seno es una de las seales peridicas por excelencia. Se representa por tres parmetros:Amplitud (A): es el valor mximo de la seal en el tiempo (medido normalmente en voltios).Frecuencia (f): es la razn a la que la seal se repite (medida en ciclos por segundos o Hz). La frecuencia es la inversa del periodo (cantidad de tiempo transcurrido entre dos repeticiones consecutivas de la seal).Fase (): es una medida de la posicin relativa de la seal dentro de un periodo de la misma. La expresin genrica para una onda sinusoidal es:s(t) = A sen(2ft + )

Dada una seal, se define la longitud de onda, , como la distancia que ocupa un ciclo.Si consideramos que la velocidad de propagacin de la seal es v, podemos escribir = vT ; o de otra forma, v = f . Frecuentemente v = c (velocidad de la luz en el vaco).

Conceptos en el dominio de la frecuenciaEn la prctica, las seales electromagnticas pueden estar compuestas de muchas frecuencias. Cuando todas las componentes de una seal tienen frecuencias mltiplo de una dada, esta ltima se denomina frecuencia fundamental.El periodo de la seal total (o suma) de componentes es el periodo correspondiente a la frecuencia fundamental.Se puede demostrar, usando el anlisis de Fourier, que cualquier seal est constituida por componentes sinusoidales de distintas frecuencias. Sumando un nmero suficiente de seales sinusoidales, cada una con su correspondiente amplitud, frecuencia y fase, se puede construir cualquier seal electromagntica.Para cada seal hay:Una funcin en el dominio del tiempo s(t) que determina la amplitud de la seal en cada instante del tiempo. Una funcin S( f ), en el dominio de la frecuencia, que especifica las amplitudes de las frecuencias constitutivas de la seal. sta podr ser discreta o continua.Se define el espectro de una seal como el conjunto de frecuencias que la constituyen.Se define el ancho de banda absoluto de una seal como la anchura del espectro. Frecuentemente es infinito. No obstante, la mayor parte de la energa de la seal se concentra en una banda de frecuencias relativamente estrecha. Esta banda se denomina ancho de banda efectivo o, simplemente, ancho de banda.Si una seal contiene una componente de frecuencia cero, esa componente se denomina continua (dc, direct current, en espaol componente continua). Sin componente continua, la seal tiene una amplitud media igual a cero, vista en el dominio del tiempo. Si tiene componente continua, tendr un trmino de frecuencia f=0 y, por tanto, una amplitud promedio distinta de cero.

Relacin entre la velocidad de transmisin y el ancho de bandaLa relacin entre el ancho de banda y la velocidad de transmisin es la siguiente: Cualquier onda digital tendr un ancho de banda infinito, pero la naturaleza del medio y el costo lo limitaran. Cuanto mayor es la limitacin en el ancho de banda, mayor es la distorsin y mayor es la posibilidad de que se cometan errores en el receptor Si la velocidad de transmisin de la seal digital es W bps, entonces se puede obtener una representacin muy buena con un ancho de banda de 2W Hz. Hay una relacin directa entre la velocidad de transmisin y el ancho de banda: cuanto mayor es la velocidad de transmisin de la seal, mayor es el ancho de banda efectivo necesitado. Si consideramos que el ancho de banda de una seal est centrado sobre una frecuencia dada, denominada frecuencia central, cuanto mayor sea dicha frecuencia central, mayor es el ancho de banda potencial y, por tanto, mayor puede ser la velocidad de transmisin.

Anlisis de Fourier La base terica de la comunicacin de datos est en el anlisis de Fourier. Cualquier seal peridica se puede expresar como una suma de funciones sinusoidales, denominada serie de Fourier.

f0 es la frecuencia o armnico fundamental. Es la inversa del periodo de la seal (f0 = 1/T). A sus mltiplos se los conoce como armnicos. Una seal peridica con periodo t estar compuesta por la frecuencia fundamental f0, ms mltiplos enteros de dicha frecuencia. Si A0 no es cero, la seal x(t) tiene una componente continua o dc. Los valores de los coeficientes del desarrollo en serie de Fourier se calculan mediante las siguientes expresiones:

Este tipo de representacin, conocida como representacin seno-coseno. Otra representacin es la representacin amplitud-fase:

que se relaciona con la representacin seno-coseno mediante las expresiones siguientes:

Transformada de Fourier para seales no peridicasEl espectro de una seal peridica consiste en un conjunto de componentes en frecuencias discretas a la frecuencia fundamental y sus armnicos. Para una seal no peridica, el espectro consiste en un continuo de frecuenciasPara una seal x(t) con espectro X(f) se verifican las siguientes expresiones:

Densidad de potencia espectral y ancho de bandaEl ancho de banda efectivo consiste en la porcin del espectro que contiene la mayor parte de la potencia.Para una definicin ms precisa es necesario introducir el concepto de densidad de potencia espectral (PSD, Power Spectral Density). La PSD representa cunta potencia hay en las distintas bandas de frecuencia.Para una seal limitada en el tiempo se define la potencia media como

Para el caso de una seal peridica, la potencia media en un periodo viene dada por:

La densidad de potencia espectral en funcin de la frecuencia es:

Donde: Cn es el coeficiente de las series de fourier en su representacin amplitud fase. d(t) es el impulso unitario (funcin delta):

La densidad de potencia espectral S( f ) para una seal no peridica es ms difcil de definir.Bsicamente, se obtiene definiendo un periodo To y permitiendo que To aumente sin lmite.Para una funcin continua S( f ), la potencia contenida en la banda de frecuencias definida porf1|fc| es la banda lateral superior y la porcin del espectro para la que |f|