CALCULO DE AREAS EN POLARES CON INTEGRALES DOBLES 1)Calcular el rea de un ptalo de2cos3 r = 2cos3 0 cos3 0 32 6 = = = = 2cos(3 )2cos(3 ) 2 6 60 0 002 22rA rdrd d (= = = ( ( 662 20064 cos (3 ) 4 42 12 12 3send u ( | |= = + = = | ( \ 2)Hallar el rea interior de4 4 r sen = y exterior a2 r =Solucin: 4 4 r sen = es una rosa de 8 ptalos.Calculamos la interseccin de las dos curvas:44s 416 244 4 2 42 5 5 246 24r ensen senr = == = = ` =)= = Sin embargo calcamos el rea de medio ptalo que est comprendido entre 24 = y8 =( )( )( ) ( )( ) ( )4 44 4/ 8 / 8 / 8 22/ 24 2 / 24 / 24 2/ 8 / 8/ 24 / 2416 16 16 8 4 228 816 8 2 16 22 16 23 3 2 3 316 0 16 44 12 4 6 4 3sensenrA rdrd d sen dsen sen (= = = = ( ( | |( = = (|( (\ ( | |( |+ | |= = + = (|(| |\ (\ \ 2u| | | 3)Halla el rea interior a( ) 2 1 cos r = +y exterior a2 r =Solucin: El corte de ambas curvas ser: / 22 2cos 2 2cos 03 / 2 = + = = = ( )( )( )2 1 cos2 1 cos/ 2 / 2 20 2 0 2/ 2202 222 2 1 cos 2rA rdrd dd ++ ( (= = =( ( ( (= + = 4 1 =22cos cos 1 + + ( )/ 2/ 220024 2 4 2 0 82 4 4send sen u (( | | (= + + = + = + (|( \ 4)Halla el rea interior a( ) 2 1 cos r = +y exterior a2cos r =Solucin: Como la cardioide en su mitad va desde 0 ay la circunferencia va de o a/ 2 , calculamos el rea de media cardioide y le restamos medio crculo. ( )( )( ) ( )2 1 cos220 0 0220 02012 4 1 cos24 1 cos 4 1 2cos cos2 34 2 4 52 4 2A rdrd dd dsensen u + (= = + =( ( = + = + + = ( | |= + + + = = | ( \ 5)Halla el rea interior comn a( ) 2 1 cos r = +ya2 r sen =Solucin: Ambas curvas se observa grficamente que se cortan en 2 = . Para calcular la zona comn a ambas calculamos el rea de la cardioide desde 2 = hasta =y sumamos medio crculo. ( )( ) ( )2 1 cos222/ 2 0 / 2 / 2/ 2212 1 cos 2 1 2cos cos2 2 22 3 3 32 2sin 2 2 2 22 4 2 2 4 2 4 234 2 42 2A r drd d dsenu += + = + + = + + + (( | | | | | |= + + + + = + + = + = |||(( \ \ \ = + = 6)Halla el rea interior a( ) 2 1 cos r = +y exterior a4cos r =Solucin: Ambas curvas se cortan en0 = y = . Calculamos el rea de media cardioide y restamos el rea de medio crculo. ( ) ( )( ) ( )( )2 1 cos 2 1 cos20 0 0 0220 00222 2 422 2 1 cos 4 4 1 2cos cos 424 2sin 42 434 0 4 22A r drd r drdd dsenu + + (= = =( ( = + = + + (= + + + = ( ( | |= + = |(\ 7)Halla el rea interior a2 2 r sen = y exterior ar=1 Solucin: Basta hacerlo con medio ptalo y multiplicar por 8 mitades de ptalos.El ptalo de dicha rosa va al polo en0 =y = .Las dos curvas se cortan en/12 5 /12 y = = . El ptalo alcanza su mxima longitud en/ 4 = . ( )( )( )/ 4/ 4 2 2 / 42/12 1 /12/12/ 42/12418 8 2 2 82 4 24 3 28 8 32 4 8 24 8 3 ( (= = = = ( ( ( | |(| |= = = + (| (| |\ ( \ sensenA rdrd sen dsenu 8)Halla el rea interior a2cos r =2 r sen =y exterior a r=1 Solucin: 2cos r = y 2 r sen = se cortan en 4 = . 2sin1rr = `=) se cortan en6 =Luego el problema se puede resolver calculando el rea comprendida entre la curva2 r sen =y r=1 estableciendo como lmites de integracin6 = y4 = . El rea que nos pide el problema sera el doble. / 4 2sin / 4/ 42/ 6/ 6 1 / 6/ 42/ 61 22 2 2 22 2 22 1 3 3 32 22 2 8 2 12 4 12 (| |( ( = = = = | (\ ( ( | |+( | |= = = (| | (| \ (\ senA r drd sen dsenu 9)Hallar el rea interior al ptalo de 2 cos 4 = == = r y exterior al ptalo de 2 cos 2 = == = rSolucin: El rea que nos piden es el doble del rea sombreada.Primero tengo que calcular cundo las curvas vuelven al polo a partir de0 = . Esto ocurre cuando cos 2 0 22 4 = = =( ) ( )( )( )( )/ 4 4cos 2 / 42 20 2cos 2 0/ 4 / 420 0/ 4202 4cos 2 2cos 21 cos 412cos (2 ) 1224 312 122 8 8 2A rdrd dd dsenu ( ( = = = ( += = ( (= + = = ( ( 10)Hallar el rea interior comn a cos 2 = == = r y a sen r 2 2 + ++ + = == =Solucin: El rea comn est formada por medio crculo de radio 1 y una parte de la cardioide comprendida entre02y = = ( ) ( )( )( )0 2 2 02 22/ 2 0 / 2medio crculo0 02/ 2/ 221 1 12 12 2 222 1 2 2 2cos2 2 4 232 2 2 44 2senA rdrd sen dsensen sen du + = + = + + = (= + + + = + + = ( ( | |= + = |(\

11)Halla el rea interior comn a cos 6 = == = ry a( (( ( ) )) ) cos 1 2 = == = rSolucin: Calculamos el corte de ambas curvas:2136cos 2 2cos cos4 23 = = = = El rea sombreada en negro A1corresponde al crculo cos 6 = == = rentre 2 = y 23 =(2 mitades)El rea sombreada en gris A2 corresponde al interior de la cardioideentre23 = y = ( 2 mitades)

2 / 3 6cos 2 / 321mitades/ 2 0 / 22 / 3/ 222 36cos22 3 9 336 36 32 4 3 8 4 2A rdrd dsen = = = ( | | ( | |= + = = (| | ( | \ ( \

( )( )2 2cos22mitades 2 / 3 0 2 / 322 / 32 / 322 4 1 cos24 1 2cos cos24 22 43 3 9 34 2 3 22 8 2A rdrd ddsensen = = == + = ( + + = ( ( | || |= = + (| | |\ (\ 2total9 3 9 33 2 52 2A u = + + = 12)Mediante el clculo integral calcular el rea exterior a la grfica de la funcin r=4 e interior a la grfica de la funcin cos 8 = == = r (Sept 2005) El rea que nos piden, que es la sombreada, se obtiene calculando primero el corte de las dos curvas: 134 8cos cos23 == = = El rea comprendida entre ambas curvas ser el doble de la comprendida entre 0 y 3 . ( ) [ ][ ]8cos/ 3 8cos / 3 / 3 2/ 3200 4 0 0 4/ 320rA 2 rdr d 2 d 64cos 16 d 32 16sen2 16216 16 3 16 16 24 316 16sen2 8 3 u3 2 3 3 (= = = = + = ( += + = + = + = 13)Hallar el rea interior comn a( ) 3 1 r sen = +y a( ) 3 1 r sen = Solucin: Si calculamos el corte entre ambas, se cortan en: 03 3 3 3 0 sen sen sen = + = ==

( )( ) ( )( )3 10 02/ 2 0 / 202/ 202/ 244 3 1218 1 22 3 2718 2cos 18 2 362 4 4 2sentrozosA rdrd sen dsen sen dsenu + (= = + = ( = + + = ( | | + == = | ( \ 14) Hallar el rea del bucle interior de1 2cos r = +Solucin: Calculamos las rectas tangentes en el polo:2131 2cos 0 cos4 2 23 3r == + = = = = Luego( )( )[ ]( )4 / 31 2cos 4 / 322 / 3 0 2 / 34 / 322 / 34 / 322 / 311 2cos211 4cos 4cos21 13 4 2 4 3 32 2+= = + == + + == + + = + A rdrd ddsen sen u 15) Hallar el rea comna2 2 r sen = y a ( ) 2 1 cos r = +Solucin: Calculamos el corte de las dos curvas: 2 2 2 2cos34cos74 4sensen = + == = = El rea la calculamos en dos trozos, uno en2 2 r sen = entre4 = y 2 =donde la curva anterior vuelve al polo y entre 2 =y 34 = .El rea obtenida ha de multiplicarse por dos por ser la otra parte simtrica. ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1/ 2 3 / 4/ 4 0 / 2 0/ 2 3 / 42 2/ 4 / 2/ 2 3 / 4/ 4 / 22 22 22 1 2 12 22 24 2cos 4 2cos2 4 2 49 1 3 14 2 4 28 4 8 4sen senA rdrd rdrdsen d sen dsen sen = + (( + = (( ((= + + + + + + + (( | | | |= + + = ||\ \ 26 8 2 u 16) rea interiora2sin 2 2cos r y r = = (Feb 2004) Solucin: Como vemos ambas curvas se cortan en 02= = Podemos calcular el rea de dicha regin, como el rea entre 02y = =de la cardioide y medio crculo. ( )/ 2 2 2cos / 2 220 0 0/ 22012 1 2cos cos2 22 32 2 2 2 2 42 4 2 4 2A rdrd dsensen u = + = + + = (( + + + == + = (( 17) rea interiora2sin exteriora2 2cos r y r = = (Dic 2004) Solucin: / 2 2 / 2 2 2cos0 0 0 0senA rdrd rdrd = Pero tambin se puede hacer ms rpido el rea del semicrculo menos el rea del cardioide entre02y = =( )/ 2 2 2cos / 2 220 0 0/ 22012 1 2cos cos2 22 32 2 2 2 42 2 4 2 4A rdrd dsensen u = = + = (( + + = = (( 18) rea interior comn a4sin 2 2cos r y r = = (Feb 2005) Solucin: Si calculamos el corte de ambas curvas: 2 22 224sen 2 2cos 2sen 1 1cos4sen 1 2cos cos4 4cos 1 2cos cos5cos 2cos 3 0cos 1 0cos 3/ 5 06 22143 = = = + = + = = = = = = ( )( )2.2143 2 2cos 4sen 2.2143220 0 2.2143 0 0 2.21432.214322.2143 02.21430 2.21431A rdr d rdr d 2 2cos d 8 sen d21 cos 24 8cos 4cos d 82 2 4sen2 cos 22 2sen 8 296292 4 2 4 = + = + = (= + + = ( ((= + + + = + (( 217892 47521 u = 19) rea interior a( ) 4sin 2 r = y exterior a r=2 (Feb 2005 ext) Solucin: Basta hacerlo con medio ptalo y multiplicar por 8 mitades de ptalos.El ptalo de dicha rosa va al polo en0 =y = .Las dos curvas se cortan en /12 5 /12 y = = . El ptalo alcanza su mxima longitud en / 4 = . ( ) ( )( )/ 4 4 2 / 4/ 42/12/12 2 /12/ 42/128 8 8 2 2 8 4 4 23 88 2 4 8 4 32 6 2 3 ( = = = =( ( | || |= = = +( (| | |\ (\ senA rdrd sen d sensen u 20) rea interior comn a2cos 2 2sin r y r = = +(Feb 2003) Solucin: El rea ser medio crculo de radio 1mas el rea de la cardioide entre 02 y = = ( )0 2 2 0 22/ 2 0 / 202/ 212 1 22 22 32 2cos 2 2 2 42 4 2 4 2senA rdrd sen sen dsenu + = + = + + + = (( + + = + = ((