CAMPO ESCALARUn Campo Escalar es una funcin , que asigna a cada valor de r un nico valor de A una funcin como F(x, y) se la llama campo escalar, porque indica para cada punto (x, y) del plano, cul es el valor de una magnitud numrica (o escalar) definida sobre el plano. Por ejemplo: Sea y se quiere definir el Campo escalar distancia al origen de Coordenadas, entonces , dado un punto en el espacio se tiene una magnitud para ese punto. Para el punto La representacin grafica de un campo escalar se puede realizar por medio de superficies de nivel.CAMPO VECTORIALUn campo vectorial es una funcin , que asigna a cada valor de r un nico valor de .La representacin grafica de los campos vectoriales se realiza mediante lneas vectoriales.OPERADOR.Un operador, , es un objeto que transforma una funcin f en otra funcin h, 1. Operador Gradiente: Si es una campo escalar, se puede formar un vector con sus derivadas parciales, llamado gradiente de f

donde se reconoce el operador denominado operador nabla2. Operador Divergencia: Si F es una funcin vectorial de las variables x,y,z. La Divergencia de F se define como el producto escalar del operador gradiente por la funcin vectorial con compontes :

La divergencia de una funcin vectorial es escalar.3. Operador Rotacional: El rotacional de un campo vectorial F se define como el producto cruz de operador gradiente por

El rotacional de F es un campo vectorial. Si F representa un campo de velocidad en un fluido, se puede decir que el rotacional es una medida de la tendencia de giro en un elemento de volumen sobre si mismo en cada punto del fluido; si , indica que en el fluido no hay "pequeos remolinos" o no hay desplazamiento relativo entre las capas vecinas de fluido.4. Operador Laplaciano:

siendo el operador laplaciano en coordenadas cartesianas

Identidades Vectoriales, donde f y g son campos escalares y F y G son campos vectoriales1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

6.-

7.-

8.-

9.-

10.-

11.-

12.-

13.-

14.-

El operador Laplaciano tambin se puede aplicar a un campo vectorial de la forma por sus componentes:

Campos Especiales:1.- Un Campo Vectorial F es irrotacional, conservativo o derivado de un potencial en una cierta regin del espacio, si en todos los puntos de dicha regin 2.- Un Campo Vectorial F es de gradiente en una cierta regin del espacio, si en todos sus puntos coincide con el vector gradiente de un campo escalar U, es decir, .

Observacin:Todo campo vectorial de Gradiente es Irrotacional.Todo Campo irrotacional es un campo de gradiente de un cierto escalar, es decir, dado un campo vectorial F tal que , es siempre posible encontrar un campo escalar U tal que .Al Campo Escalar U se le llama potencial de F o funcin potencial escalar de F.

3.- Un campo vectorial F es solenoidal en una cierta regin del espacio, si en todos sus puntos

Observacin: Todo campo vectorial de rotacionales es solenoidal, es decirTodo campo solenoidal es un campo de rotacionalesAl campo vectorial F se le llama potencial vectorial de V

4.- Un campo vectorial es armnico en una cierta regin del espacio, si en todos los puntos de dicha regin es irrotacional y solenoidal, es decir

Observacin: La funcin potencial de todo Campo vectorial armnico es una campo escalar armnico

Calculo de funcin Potencial:1.- Sea Calcule la funcin Potencial que la origino.Solucin:1.- Identificando2.- Verificar que el rotF=0, es decir que

Es decir existe .3.- Integrando M(x,y) con respecto de x

3.- Derivar el resultado obtenido respecto de y

4.- igualando los

5.- Integrando 6.- Sustituyendo en

2.- Sea . a. Determine si el campo vectorial es conservativob. De ser conservativo encuentre la funcion potencialSolucin:a) Para que el campo sea conservativo se debe cumplir que: , es decir que

Definiendo:

b) Calculo de la funcion Potencial

1.- Integrando M(x,y,z) con respecto de x

2.- Derivando respecto de y

3.- Igualando los

4.- Integrando 5.- sustituyendo

6.- Derivando respecto de z

7.- igualando los ,

8.- Integrando 9.- Sustituyendo en

TRABAJANDO INICIALMENTE CON LA VARIABLE y1.- Integrando N(x,y,z) con respecto de y

2.- Derivando respecto de z

3.- Igualando los

4.- Integrando

5.- sustituyendo

6.- Derivando respecto de x

7.- igualando los ,

8.- Integrando 9.- Sustituyendo en

3.- Sea

Demuestre que: Solucin:

Se tiene; Por definicin de divergencia:

Propuestos:En los ejercicios siguientes demuestre que el campo vectorial F es conservativo, y despus obtenga una funcin potencial.

5.-

6.-

7.-

INTEGRALES DE LNEA Son integrales sobre Curvas Suaves del espacio de dos o tres dimensionesParametrizacin: Una parametrizacin en es una aplicacin Si se dice que es una parametrizacin en el plano y si , una parametrizacin en el espacioLa Coleccin C de puntos cuando t recorre es un lugar geomtrico que se denomina curva, y son sus extremos. Se expresa que r recorre la curva C o que r es una parametrizacin de CEn el caso de , se puede escribir: donde son las funciones componentes de rCurvas SuavesA diferencia de lo que ocurre en funciones escalares de una variable real y=f (x), la existencia y continuidad de la derivada de la trayectoria no garantiza que su representacin grafica sea suave: debe cumplirse adems que

Sobre la Orientacin de una Curva: Una curva plana es aquella contenida en un plano. En particular, todas las curvas en son planas. Se dice, que un curva simple y cerrada (curva de Jordan) en , est orientada en sentido positivo si se recorre en sentido contrario a las manecillas del reloj. A veces se denota por . Si la curva cerrada esta en el espacio es ms frecuente establecer su orientacin a partir de una parametrizacin particular. Si la curva es abierta y los extremos son los puntos A y B, entonces podemos indicar explcitamente la orientacin con algn smbolo adecuado, por ejemplo: . La integral respecto a la longitud de arco se define sobre curvas no orientadas. El valor de una integral de lnea que ser definido posteriormente, depende de la orientacin de la curva sobre la cual se integra. El cambio de orientacin produce un cambio de signo. Algunas curvas estn formadas por varios segmentos de curvas, separados entre si o unidos en puntos donde no existe la derivada. Cada tramo continuo debe tener su propia orientacin.1.- INTEGRALES DE LNEA DE CAMPOS ESCALARESSupongamos una funcin definida en el plano, que denotaremos F(x, y), y una curva parametrizada C.Definicin: Se llama integral de lnea del campo F(x, y) a lo largo de la curva C ( integral de lnea respecto de la longitud de arco de F sobre la curva), entre los puntos P = (xp , yp ) y Q = (xq, yq), y se denota por a la integral de una variable dada por:

En esta expresin,

De igual forma, si la curva es regular y est contenida en el dominio de un campo escalar continuo , entonces:

NOTA:1. Si se cambia la orientacin de C, la integral cambia de signo, ya que

2. La integral de Lnea de un Campo Escalar es independiente de la parametrizacin seleccionada para la trayectoria de integracin.Ejemplos:1.- Calcule , donde C es la mitad superior de la circunferencia unitaria

Solucin:Parametrizacin de la circunferencia , y la mitad superior corresponde al intervalo . Por lo que se tiene

Y la integral dada queda como:

2.- Calcule la integral de lnea de la funcin , sobre la curva C determinada por la unin de loa puntos recorrida en sentido positivo Solucin:La integral de lnea pedida es:

3

6

4

Parametrizacin de una recta

recta que une los puntos recta que une los puntos recta que une los puntos Para Para Para Calculo de Para Para Para

Calculo de

Propuestos:1.- C contorno del cuadrado

2.- C contorno que un (0,0) con (1,2)

Interpretacin Geomtrica:Si , sobre los puntos C, la integral puede interpretarse como el rea lateral de la porcin de superficie cilndrica recta que tiene como base en la curva C y como altura para los

2.- INTEGRALES DE LNEA DE CAMPOS VECTORIALES.Si F es un campo vectorial continuo y definido sobre los puntos de una curva suave C de acotada y regular, Se define, entonces la integral de lnea del Campo Vectorial F a lo largo de la curva C como la integral de lnea sobre C del Campo Escalar siendo T el vector tangente unitario en cada punto de C. Si el campo vectorial F en R3 est dado en funcin de sus componentes por . Usando la definicin para calcular la integral de lnea a lo largo de C:

La integral no cambia si se cambia la representacin paramtrica por otra equivalente y que describe la curva en el mismo sentido. cambia nicamente de signo, si la nueva representacin equivalente describe la curva en sentido opuesto.

Ejemplo:1.- Calcular la integral siendo C la curva de interseccin de con Solucin:

Graficando ambas superficies

Proyeccin de la curva C en el plano z = 0:

Completando cuadrados:

Parametrizacin de C: Entonces:

Propuestos.1.- Calcule la integral siendo C la curva de interseccion del cilindro 2.- Calcular donde y C es la frontera de la parte del plano 4.- Hallar el valor de la integral de lnea donde c viene dada por la interseccin de 5.- Calcule la integral de lnea donde c es la curva formada por la interseccin de las superficies definidas por recorrida en sentido positivo. 6.- considera la curva formada por y con punto inicial en el origen de coordenadas. Dado el campo vectorial con se pide:a) Encuentre los valores a y b para los cuales el campo F es conservativo en . Para dichos valores determina un potencial de F y selo para calcular . b) Para a=1 y b=1 Determine directamente la integral a lo largo de C7.- Calcular c es la curva formada por la interseccin de las superficies definidas por encima del plano xy

INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIASuponga que C1 y C2 sean curvas suaves a trozos (que se llaman trayectorias) que tienen el mismo origen A y extremo B, se sabe que en general

En casos especiales que ambas integrales son iguales, se dice que existe la independencia de la trayectoria y por lo tanto la integral solo depende de la funcin F y del punto inicial A y del punto terminal de la curva. Se cumple que

La integral de lnea de cualquier campo vectorial conservativo F es independiente de la trayectoria, de esto se deduce que: para cualquier trayectoria cerrada.La interpretacin fsica es que el trabajo realizado al mover un objeto en un campo de fuerzas conservativas (como el campo gravitacional o elctrico) a lo largo de una trayectoria cerrada es cero.Los nicos campos vectoriales que son independientes de la trayectoria son los conservativos.CAMPOS VECTORIALES CONSERVATIVOS: El Rotacional de una funcin vectorial es igual a cero Es decir, el campo vectorial es conservativo si se cumple que:

Si la integral Ejemplo:

a) Demuestre que F es un campo Conservativo.b) Encuentre el potencial escalar fc) Calcule Solucin: para que F sea un Campo Conservativo

d) Potencial escalar f

1.- Integrando M(x,y,z) con respecto de x

2.- Derivando respecto de y

3.- Igualando los

4.- Integrando 5.- sustituyendo

6.- Derivando respecto de z

7.- igualando los ,

8.- Integrando 9.- Sustituyendo en

c)

Propuestos:1.- Si F es el campo de fuerza, con rgimen de cuadrado inverso, definido por:

donde a es una constante positiva, calcule el trabajo realizado por F al desplazar una partcula a lo largo del segmento de recta desde el punto (3,0,0) hasta el punto (3,0,4). Evalu la integral de lnea mediante dos mtodos:a) utilizando una funcin potencial para Fb) No emplee una funcin potencial para F 2.- Dado el campo de fuerzas a) Halle el trabajo realizado al mover un objeto desde el punto b) Halle el trabajo realizado al mover el objeto a lo largo de la circunferencia completa.c) Es F conservativo? Halle una funcin potencial.3.- Calcule la integral de lnea del campo vectorial a lo largo de c, siendo c una parametrizacin de la curva interseccin de las superficies:

4.- Calcule la integral de lnea donde c es la curva formada por los segmentos de rectas: Punto inicial punto final5.- Dado el campo vectorial . Es posible afirmar que es nula si C, definida por R(t) es una curva simple cerrada? Demuestre su respuesta.

TEOREMA DE GREENEl teorema de Green establece la relacin entre una integral de lnea alrededor de una curva cerrada y simple, y una integral doble sobre la regin plana R delimitada por C. En el enunciado del teorema se usa la orientacin positiva de una curva C, cerrada y simple, que, por convenio, es el recorrido de C en sentido contrario a las manecillas del reloj.Sea C una curva suave a trozos, cerrada, simple y positivamente orientada en el PLANO y sea R la regin limitada por C. Si M y N tienen derivadas parciales continuas entonces:

Ejemplos:1.- Verifique el teorema de Green para , donde C es la frontera, tomada con orientacin positiva, de la regin acotada por las graficas solucin:realizando la grafica de las funciones dadas

Por lo que:

Por otra parte:

2.- Calcule la integral de linea , siendo C el contorno de la region rectangular cerrada, con vertices en los puntos: solucin:Graficando los puntos dados

y

APLICACIN DEL TEOREMA DE GREEN. CALCULO DE REASComo el rea de R es , se deben escoger Existen varias posibilidades

Por lo que el rea queda como:

1