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Departamento de Ingeniera Mecnica

CURSO ANLISIS DE SISTEMAS DINMICOS

PROFESORPEDRO SAAVEDRA G.

EDICIN IICRISTBAL SCHEEL L.

ILUSTRACIONES JUAN PARRA O. CRISTBAL SCHEEL L.

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Captulo 1 Sistemas de un grado de libertadSistema lineal: Sistema cuya ecuacin diferencial que rige su movimiento es lineal. Ejemplo:

m&& + cx + kx = f (t ) x &

Propiedades importantes de un sistema lineal 1.- Principio de superposicin. Si sobre un sistema lineal actan n excitaciones en(t) simultneamente y si las respuestas del sistema a cada excitacin por separado son:e1(t)s1(t) e2(t)s2(t) ... .. Entonces la respuesta cuando actan simultneamente es: e1(t)+ e2(t)+... s1(t)+ s2(t)+...

Es decir, la presencia de una excitacin, no afecta la respuesta del sistema a otras excitaciones. 2.- En el estado permanente: La respuesta de un sistema lineal a una excitacin armnica , es a la misma frecuencia . Si: f (t ) = F0 sent x(t ) = X 0 sen(t )Linealizacin de los sistemas para pequeas oscilaciones respecto a su posicin de equilibrio. sen cos 1 & && 2 ,&, etc 0 Ejemplo. Determine la ecuacin del movimiento y linealcela

3

M

0

& = I 0&

l & I 0& + mg sen = 0 2 3 5 l & I 0& + mg + ... = 0 3! 5! 2 l & Para pequeas oscilaciones: I 0& + mg = 0 ; ecuacin lineal 2 Esta ecuacin es de la forma: m&& + kx = 0 x con: = x m= I0 k = mgl/2

(

)

ecuacin diferencial que resolveremos a continuacin

1. Componentes del modelo dinmico elementalLas propiedades que influyen en la dinmica de los sistemas mostrados en figura 1.1., al cual llamaremos sistema ideal, son: Masa, m (concentrada en un bloque rgido). Propiedades elsticas, k (resorte sin masa). Disipacin de energa o amortiguamiento, c (supuesto viscoso) Fuente de excitacin: f(t), fuerzas y/o momentos xb(t), movimiento de la base.

Se llama sistema ideal porque la masa del sistema est concentrada en un bloque rgido de masa m, la elasticidad del sistema est en un resorte sin masa, la disipacin de energa ocurre en un amortiguador viscoso sin masa.

a) Sistema ideal sometido a una fuerza de excitacin f(t)

b)

Sistema ideal sometido a un movimiento de la base vertical xb(t)

Figura 1.1. Modelo elemental o ideal sometido a dos tipos de excitacin

4 Elemento elstico, resorte:Fuerza F F = = Deformacin x 2 x1 x

Rigidez

k=

Tabla N1. Ejemplo de rigidez de algunos elementos.

= EF A = E l l k = F l = EA l

= TL GJ k =T =GJ L = Fl 3 48 EI k = F = 48 EI l 31 1 1 : Resortes en serie = + k eq k1 k 2

k eq = k1 + k 2 : Resortes en paralelo

5 Amortiguamiento viscoso :F = c(v 2 v1 ) c : Coeficiente de amortiguamiento viscoso

2. Ecuaciones del movimiento del sistema ideal

m&& + cx + kx = f (t ) x &Se obtiene una ecuacin diferencial lineal de segundo orden. A continuacin se resolver esta ecuacin diferencial para diferentes casos particulares de la excitacin: f(t) =0 y c=0 : Vibraciones libres no amortiguadas f(t) =0 y c0 : Vibraciones libres amortiguadas f(t) = F osen t : Vibraciones forzadas, excitacin armnica f(t)= fuerza peridica: Vibracin forzada, excitacin peridica f(t)= fuerza cualesquiera: Vibracin forzada, excitacin cualesquiera f(t)= fuerza de impacto

2.1. Vibraciones libres ( f(t)=0 )Se llama vibraciones libres el movimiento de un sistema sin la accin de fuerzas externas. Obviamente para que el sistema se mueva es necesario sacarlo inicialmente de su posicin de equilibrio a travs de un desplazamiento y/o velocidad inicial.2.1.1.-Vibraciones libres no amortiguadas ( f(t)=0 y c=0 )

Determinar el movimiento del sistema ideal cuando se le da un desplazamiento y velocidad inicial (x0 y x 0). El problema entonces se reduce al siguiente problema del valor inicial P:V.I. &

m&& + kx = 0 ; x(0) = x0 xLa solucin de esta ecuacin es del tipo:

; x(0) = x0 & &

6 x(t) = A ert reemplazando esta solucin en la ecuacin diferencial se obtiene: (mr2 + k ) Aert= 0 Los valores de r que conduce a la solucin no trivial: A=0, son determinados de la ecuacin caracterstica: k mr 2 + k = 0 r = j mLa solucin general de una ecuacin diferencial es la suma de todas sus soluciones particulares, por lo tanto: x(t ) = C1e r1t + C 2 e r2t

donde: utilizando la ecuacin de Euler se obtiene que:

x(t ) = Acos

k k t + Bsen t m m

: movimiento armnico simple

Las constantes A y B se obtienen de las condiciones inciales, obtenindose:x(t ) = x0 cos n t + x0 & sen n t ; n = k m (1-1)

n x(t ) = X 0 sen( n t + )tg = n x0 x0 & X 0 = x0 + ( x0 n ) &2 2

(1-2)

NOTA: La suma de una funcin seno ms una funcin coseno: puede x(t) = A senwt +Bcoswt ser expresada como una funcin seno con una fase: x(t) = X0 sen(wt+) = X0senwtcos + X0coswtsen para que expresiones (a) y (b) sean iguales , entonces: A= X0cos B= X0sen

(a)

(b)

X0 =

A 2 + B 2 ; tg = B/A

7 Movimiento armnico simple: Movimiento de una masa m unida a un resorte de rigidez k

Figura 1.1. Movimiento armnico simple

X0 T f v a

n

= Amplitud del desplazamiento, valor pico (m) = Perodo del movimiento (s) = 1/T = Frecuencia del movimiento (Hz) = 2 fn = Frecuencia (circular) natural de vibrar (rad/s) = ngulo de fase (rad) = x = Velocidad (m/s) & = && = Aceleracin (m2/s) x

v(t) = x (t) = X0ncos(nt + ) = V0sen(nt + + ) & 2 a(t) = && (t) = - X0n2sen(nt + ) = A0sen(nt + + ) x V0 = Amplitud o valor pico de la velocidad A0 = Amplitud o valor pico de la aceleracinXpp =Valor peak to peak del desplazamiento = 2 X0 XRMS = Valor RMS = 0.707 X0

La velocidad y aceleracin estn adelantados respecto al desplazamiento en 90 y 180 respectivamente.La frecuencia con que vibra libremente el sistema ideal sin amortiguamiento,n,sellamasufrecuencianaturaldevibrar:

n=

k (rad/s) m k fn=1/2 (Hz) m

Solodependedelascaractersticasdelsistema(kym) Sidisminuyelarigidezdelsistema,disminuyen

- Si aumenta la masa del sistema disminuye n

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TABLA N1. Relaciones entre desplazamiento, velocidad y aceleracin para una vibracin armnica simple y unidades de medidas estndares en el sistema mtrico y en el sistema ingls

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EJEMPLO. Mquina rgida montada en 4 aisladores sobre una base elstica Despreciando la masa de las vigas respecto a la masa de la mquina, el modelo del sistema ser el indicado en la figura. Los 4 aisladores estn montados en paralelo entre ellos y en serie con la viga, por lo tanto, de Tabla N1 la rigidez equivalente k ser:k= 4k a k v 1 = 1 / 4 k a + 1 / k v 4k a + k v

M = masa de la mquina ka = rigidez de cada aislador kv = rigidez de la viga Figura 1.2. Mquina rgida montada en 4 aisladores sobre una base elstica Ejemplo numrico Considere que: kv = 10 8 ( N / m) 4k a = 10 6 ( N / m)

entonces, la rigidez equivalente del sistema ser: 108 106 k= = 0.99 x 106 ( N / m) 4ka 8 + 106 10Conclusiones importantes: 1. 2. Cuando la rigidez de un elemento en serie es mucho menor que los otros, la rigidez equivalente es aproximadamente igual a la rigidez del elemento menos rgido. Lo anterior muestra como flexibilizar para disminuir la frecuencia natural de una mquina: al agregar un elemento elstico disminuye la rigidez equivalente del sistema.

10 EJEMPLO Rotor de eje elstico montado en descansos hidrodinmicos y sobre una base rgida.

Figura 1.3. Rotor de eje elstico montado en descansos hidrodinmicos y sobre una base rgida.1 k 2 M + me / 2 masa del rotor masa del eje rigidez del eje rigidez de la pelcula de aceite fn =

M me ke k

= = = =

k=

2ko ke 2ko + ke

Conclusin importante: Observe de la expresin anterior, que la frecuencia natural de vibrar del rotor cuando est detenido es diferente a su frecuencia natural cuando est girando. Cuando est detenido no existe la pelcula del aceite.

2.1.2.-Vibraciones libres amortiguadas ( f(t)=0 y c0 )El problema ahora es resolver la ecuacin del movimiento r: P.V.I:m&& + cx + kx = 0 x &

, x(0) = x0

, x(0) = x0 & &

Ecuacin caracterstica: mr 2 + cr + k = 0

c k c r1 , r2 = 2m 2m m k c 2 Para que el sistema vibre, ri deben ser imaginarios: > m 2m

2

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Se define el amortiguamiento crtico, cc , como el mximo valor de c para que el sistema pueda vibrar libremente. De la ecuacin anterior se concluye que para que eso ocurra:

k c = m 2m

2

cc = 2 km = 2m n

(1-3)

La expresin anterior es ms cmodo expresarlo en funcin de 2 parmetros que son fciles de medir en la prctica: y n c (1-4) = Factor de amortiguamiento = cc en base a estos parmetros las soluciones de la ecuacin caracterstica sern:

r1 , r2 = n n 2 1Caso I: Amortiguamiento sub-crtico ( < 1 ) Races complejas conjugadas Existe vibracin. En este caso la solucin de la ecuacin diferencial ser:

x(t) = ent ( Asend t + Bcosd t )A y B determinados de las condiciones iniciales x0 y x 0 &luego: x + x0n & x(t ) = e nt 0 sen d t + x0 cos d t d (15)

d = n 1 2 =frecuencianaturaldevibraramortiguadax(t ) = X 0 ent

sen( d t + d ) 2

(16)

X 0 = x0 +tg d =

2

(x0 + n x0 ) &d 2

d x0 x0 + n x0 &

El efecto del amortiguamiento en las vibraciones libres, figura 1.4 y 1.5 es: Disminuir secuencialmente la amplitud de las vibraciones libres. Disminuir la frecuencia natural de n a d .

En la prctica generalmente < 0,2 y n d , es decir, la frecuencia natural de vibrar es aproximadamente igual en valor a la frecuencia natural de vibrar amortiguada. Sin embargo,

12 debido a lo anterior en mucha de la indistintamente para ambos casos. literatura existente se habla de frecuencia natural

Figura 1.4. Vibracin libre amortiguada

d(t) = desplazamiento vibratorio despus de desplazar en di el sistema desde su posicin de reposo y dejarlo vibrar libremente. Figura 1.5. Efecto del amortiguamiento en las vibraciones libres

13 Decrecimiento logartmico () Una forma prctica de determinar el amortiguamiento es a partir de un registro de vibraciones como el indicado en la figura 1.4, midiendo el cuociente entre dos amplitudes Xn y Xn+m, es decir m ciclos, se obtiene el decremento logartmico , de: Definicin:

= 1 / mln

Xn X n +1

(1-7)

Los valores de Xn y Xn+m ocurren en un tiempo t y t + mTd respectivamente. Para ambos casos sen (dt + d )1. Entonces:

= 1 / mln

e

e ntn (t + mTd )

=Para pequeos valores de ,

2

= 1 / mlne mnTd = n Td =wn2/wd (1-8)

1 2

2

Ensayo de golpe para determinar la frecuencia natural y el amortiguamiento de un ventilador

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Caso II: Cuando el mortiguamiento es crtico ( = 1), se obtiene: races reales e iguales no existe vibracin

r1 = r2 = nLa solucin para este caso es: x(t ) = ( A1 + A2t )e n t introduciendo las condiciones iniciales, se obtiene: x(t ) = [x0 (1 + nt ) + x0 ]e n t &

(1-9)

Caso III: Cuando el amortiguamiento es sobre-crtico ( > 1), se obtiene: races reales y desiguales no existe vibracin

r1 , r2 = n n 2 1 x(t ) = C1e r1t + C2e r2 t x(t ) = e nt Asenh n 2 1 + Bcosh n 2 1

[

(

)

(

)]

(1-10)

Figura 1.6. Vibraciones libres en sistemas con amortiguamiento crtico y sobre- amortiguado Cuando el sistema tiene amortiguamiento crtico o sobre amortiguamiento, se observa que en las vibraciones libres, la respuesta no es oscilatoria, el cuerpo solo retorna hacia la posicin de equilibrio, como lo muestra las figuras 1.5 y 1.6.2.1.3. Estabilidad de un sistema

La estabilidad de un sistema se analiza en sus vibraciones libres. La solucin de la ecuacin: es:m&& + cx + kx = 0 x &

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donde:

r = + j

Figura 1.7 muestra la forma de las vibraciones libres para diferentes combinaciones de valores reales e imaginarios de r.Plano complejo

Figura 1.7. Ilustracin del criterio de estabilidad en el plano complejo

Criterios de estabilidad

Una condicin necesaria y suficiente para que un sistema sea estable, es que todas las races de la ecuacin caracterstica tengan partes reales negativas. Lo anterior queda ilustrado en la figura 1.7. Se observa que cuando es positivo el movimiento es inestable (el desplazamiento x(t) tiende a infinito con el tiempo), mientras que cuando es negativo el movimiento es estable ( el desplazamiento x(t) tiende a cero, o a la posicin de equilibrio, con el tiempo). Analizando para el caso del sistema ideal:r= c k c 2m m 2m 2

Se produce un movimiento inestable, por ejemplo, cuando k y/o c sean negativos. Fsicamente esto significa, como ocurre en muy raras ocasiones, que estas fuerzas no se oponen al movimiento, sino que lo ayudan.

16Ejemplo: Analice la estabilidad del pndulo invertido de la figura 1.8.

Figura 1.8. Ejemplo de un pndulo invertido Diagrama de cuerpo libre y ecuaciones del movimiento:

Mk

0

& = I 0&

l l & sen cos + mgl sen = ml 2& 2 2 2 & kl mgl = 0 ml 2& + 2 2 ml&(t ) + (kl 2 mg ) (t ) = 0 {& 1 424 3 m k

r2 =

k kl 2 mg = 2 ml m

Si la rigidez efectiva k* es negativa, es decir si kl - 2mg < 0, el movimiento del pndulo ser inestable, es decir, si se le desplaza de su posicin de equilibrio el no trata de volver a su posicin de equilibrio sino que se aleja ms de ella. Para este ejemplo se puede obtener la misma relacin solo de la fsica del problema : para que el pndulo vuelva a su posicin de equilibrio(estable), es necesario que el momento que genera la fuerza del resorte respecto al punto O , sea mayor al que genera el peso:kl sen (l/2 cos) > mg l sen

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3. Vibraciones ForzadasEn este punto se estudiar la respuesta del sistema ideal bajo la accin de diferentes tipos de fuerzas excitadoras: Fuerza armnica Fuerza peridica Fuerza cualesquiera Fuerzas de impacto

3.1.- Vibraciones forzadas con excitacin armnica

Las ecuaciones del movimiento del sistema de figura 1.9 son:

m&& + cx + kx = F0 sent x &

F0 sen t

Figura 1.9. Sistema ideal con excitacin armnica

La solucin de la ecuacin anterior es la suma de la respuesta de la ecuacin homognea (trmino de la derecha igual cero) ms una respuesta particular, como se indica en la siguiente ecuacin:

x(t ) = Ae nt sen( d t + d ) + 1444 444 2 3Vibracin transiente ( Solucin hom ognea )

Vibracin permanente o estacionaria ( Solucin particular )

X sen(t ) 104 244 4 3

La solucin homognea es la igual a la solucin de la ecuacin (1-6) en el punto anterior para las vibraciones libres amortiguadas. Las constantes A y d se determinan de las condiciones iniciales (y como en toda ecuacin diferencial, estas condiciones se aplican a la respuesta total). La amplitud y el desfase de la respuesta estacionaria (como se deducirn en el punto siguiente) son:

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F0 X0 =2

k2 2

2 1 + n n 2

(1-11)

tg =

n

1 n

2

(1-12)

Vibracin transiente

Vibracin estacionaria

Vibracin total = Vibracin transiente + Vibracin estacionaria Figura 1.10. Vibraciones transiente y estacionarias De las expresiones anteriores es necesario remarcar: la respuesta estacionaria es armnica y a la misma frecuencia de la excitacin. Esto es debido al comportamiento lineal que tiene el sistema, como en la mayora de los casos prcticos ocurre. Si el sistema tuviese comportamiento nolineal, la respuesta estacionaria sera una suma de componentes armnicas de frecuencias mltiplos enteros y/o fracciones de la frecuencia de la excitacin. la respuesta transiente desaparece rpidamente con el tiempo. A mayor amortiguamiento ms rpido desaparece.

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3.2.- Mtodo del lgebra complejaEl uso del lgebra compleja generalmente simplifica el proceso de solucin de las ecuaciones diferenciales obtenidas Una funcin armnica x(t ) = X 0 sen(t + ) puede ser representada como la proyeccin de un vector X0 que gira con velocidad angular, , como se ilustra en la figura 1.11

Figura 1.11. Representacin de una funcin armnica

El vector rotatorio X0 expresado en funcin de los ejes R, I es:

r X 0 = X 0 cos(t + ) + jX 0 sen(t + ) = X 0 e j (t + ) = X 0 e j e jt r X 0 = Xe jtX = X 0e j = amplitud compleja Por lo tanto, x(t ) = X 0 sen(t + ) puede ser expresado como: x(t ) = Im Xe jt

(

)

En la literatura generalmente se obvia escribir Im, y simplemente se escribe (lo que es obviamente incorrecto, pues un real no puede ser igual a un complejo): x(t ) = Xe jt A continuacin se utilizar el lgebra compleja para determinar la respuesta estacionaria mostrada en las ecuaciones (1-10) y (1-11). La fuerza es expresada por la siguiente expresin, donde F al igual que X es un complejo que tiene mdulo y fase f (t ) = Fe jwt = F0 sen t + F

(

)

20 Por ser un sistema lineal, la respuesta estacionaria es a la misma frecuencia que la excitacin y expresada como complejos queda: x(t ) = Xe jt ; x(t ) = jXe jt & ; &&(t ) = 2 Xe jt x

Reemplazando los complejos anteriores en las ecuaciones del movimiento, se obtiene:

( mX =

2

+ jc + k Xe jt = Fe jt

)

F m + jc + k2

X = X 0 e jx F = F0 e jF por lo tanto, el mdulo de la respuesta estacionaria(mostrada en ecuacin (1-11)) es: F0 +c 2 2

X0 =

(k m )

F0

2 2

=

k2 2

2 1 + n n 2

(1-11)

y el desfase entre el desplazamiento y la fuerza de la respuesta estacionaria (mostrada en ecuacin (1-12)), es: c = tg ( X F ) = k m 2 2

n2

1 n En la literatura generalmente se presenta el caso particular : F = 0 y X = , es decir, se introduce a priori que el desplazamiento est atrasado en un ngulo respecto a la fuerza. En ese caso se tiene la ecuacin (1-12) : 2 tg =

n2

1 n

(1-12)

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Anlisis de la variacin de la amplitud de la respuesta estacionaria X0 con la frecuencia de la fuerza excitadora Figura 1.12 muestra graficada las ecuacin (1-11), para diferentes valores de . Es importante para analizar la dinmica de los sistemas, entender fsicamente lo que sealan estas figuras.

Figura 1.12. Variacin de la amplitud de la respuesta estacionaria X0 con la frecuencia de la fuerza excitadora, En el grfico adimensional de figura 1.12 se observa: 1. A pesar que la fuerza F0 aplicada es constante, el valor de la respuesta estacionaria X0 es de magnitud muy variable. Dependiendo del valor de /n , X0 puede llegar a tener valores infinito cuando este cuociente es uno(para sistemas no amortiguados); y a valores tendientes a cero para /n muy grandes ( observar que en este caso a pesar que la fuerza F0 tenga valores inmensamente altos, el sistema no se mueve ). lo cree usted?si lo cree, cmo lo explica? 2. Resonancia. Para sistemas poco amortiguados, cuando el cuociente /n es cercano a uno, se generan altas amplitudes vibratorias y se dice que es porque la fuerza entr en resonancia o se sintoniz con la frecuencia natural del sistema. La literatura muestra muchos ejemplos histricos, como el caso del puente Tacoma, o en las empresas donde se han destruido mquinas y estructuras por problemas de resonancia, o como un tenor puede romper con su canto un vaso. Por lo tanto, es fundamental cuando se disea cualquier sistema mecnico, fludico , o elctrico, determinar las frecuencias naturales del sistema para evitar que estas estn cerca de las frecuencias de excitacin y se produzca algn problema de resonancia.

22

3. El amortiguamiento solo es efectivo como mtodo para disminuir las vibraciones cuando se est en la zona resonante. Lejos de la zona resonante el amortiguamiento no sirve para nada (las respuestas con o sin amortiguamiento son iguales). Esto rompe la panacea que se escucha en el ambiente industrial: amortige la mquina o estructura para disminuir sus vibraciones. 4. Se define la respuesta esttica como la respuesta del sistema a una fuerza constante F0, o de frecuencia = 0. Por lo tanto, Xest = F0 k

5. La frecuencia para la cual se genera el mayor valor de la amplitud X0, llamado X0mx, se obtiene derivando la ecuacin (1-11). De aqu se obtiene:

X 0 max =

k 2 1 2

F0

,el cual ocurre para = n 1 2 2

Esta expresin indica que el mayor valor de X0 no ocurre para = n , o d. Sin embargo, como en la mayora de los casos prcticos es pequeo, entonces el mximo valor de X0 ocurre para n , y en este caso: F0 X 0 mx = k = Xest * Q 2

6. El factor de amplificacin, Q , se define como el cuociente: Q = (Mayor valor de la respuesta estacionaria, X0 mx )/ (respuesta esttica ,Xest) Es decir, el factor de amplificacin representa cuantas veces la respuesta estacionaria a una fuerza dinmica(variable en el tiempo) puede aumentar con relacin a la respuesta del sistema a una fuerza esttica de igual valor Para pequeos: 1 Q= 2 Valores admisibles para el factor de amplificacin y el factor de amortiguamiento Las normas API para turbinas a vapor, cajas de engranajes, compresores centrfugos limitan el valor mximo del factor de amplificacin (o lo que es lo mismo, el valor mnimo del factor de amortiguamiento) de acuerdo a : El factor de amplificacin no debera exceder el valor 8 cuando se pasa a travs de las velocidades crticas (o lo que es lo mismo, el factor de amortiguamiento debera ser

23 mayor que 0.063. Valores de Q=5 son preferidos (> 0.1). El margen de separacin, entre la primera velocidad crtica y la velocidad de rotacin debera ser al menos un 20% bajo la primera velocidad crtica o sobre 15% de ella para rotores que giran bajo y sobre la velocidad crtica respectivamenteAnlisis de la variacin del desfase de la respuesta estacionaria respecto a la fuerza con la frecuencia de la fuerza excitadora

Figura 1. 13. muestra graficada las ecuacin (1-12), para diferentes valores de . Muestra como vara la diferencia de fase, o desfase, , entre desplazamiento y fuerza excitadora al variar la frecuencia de la fuerza excitadora, . En el grfico adimensional de figura 1.13 se observa: 1. El cambio abrupto del desfase en 180 al pasar la resonancia para un sistema no amortiguado. Este cambio es ms gradual a medida que aumenta el amortiguamiento. 2. Ms all de la zona resonante el desfase entre fuerza aplicada y desplazamiento vibratorio es 180 , es decir, cuando la fuerza est aplicada en un sentido, el cuerpo se mueve (el desplazamiento) en sentido contrario. Si la fuerza est actuando hacia la derecha, el cuerpo se mueve en la direccin opuesta, es decir, hacia la izquierda. Cmo explica esto?

Figura 1.13 Variacin de la diferencia de fase entre desplazamiento y fuerza con

24Anlisis del equilibrio de las cuatro fuerzas que actan sobre la masa M

Utilizando el principio de D Alambert, las cuatro fuerzas que actan sobre la masa m deben estar en equilibrio:

f (t ) m&& cx kx = 0 x & f (t ) + m 2 x jcx kx = 0

1. Sistema con Comportamiento Resorte Si n, ecuaciones (1-11) y (1-12) se transforman en:X0 F0 , y 0 k

es decir, el sistema responde igual que si sobre un solo resorte actuara la fuerza f(t), por lo que se dice que el sistema tiene comportamiento resorte. Es decir, la masa y el amortiguador no tienen influencia, en este caso, en la respuesta estacionaria. Figura 1.14 ilustra esto, donde la fuerza kx es predominante respecto a las fuerzas c x y m 2x. La fuerza f(t) queda equilibrada casi exclusivamente por la fuerza elstica (deformacin) del resorte. Este diseo no es adecuado porque a mayor fuerza f(t) , mayor deformacin x , lo que genera mayores esfuerzos sobre el elemento resorte. Observe que adems la fuerza del resorte debe equilibrar a las fuerzas de inercia m2x (por la diferencia de fase entre ellas de aproximadamente 180).

f (t ) = F0 sent x(t ) =

F0 sent k

Figura 1.14. Comportamiento resorte del sistema ideal para n 2. Comportamiento en la zona resonante. Si =n, ecuaciones (1-11) y (1-12) se transforman en:X0 = F0 F = 0 , y 2k c n

= 90;270

25 Note que en la resonancia, como se ilustra en la figura 1.15, la fuerza f(t) queda slo equilibrada por la accin del amortiguamiento. Es decir, la respuesta del sistema es la respuesta de la fuerza f(t) actuando solo sobre un amortiguador. Es por esto que cuando no existe amortiguamiento x(t) tiende a infinito.

f (t ) = F0 sent x(t ) = F0 sen(t ) c

Figura 1.15. Comportamiento resonante del sistema ideal para n 3. Sistema con Comportamiento Msico. Si n, ecuaciones (1-11) y (1-12) se transforman en: X0 F0 , y 180 m 2

f (t ) = F0 sent x(t ) = F0 sent m 2

es decir, el sistema responde igual que si sobre una sola masa, m, actuara la fuerza f(t), por lo que se dice que el sistema tiene comportamiento msico. La accin de la fuerza f(t) queda equilibrada principalmente por la fuerza de inercia, como se ilustra en figura 1.16, lo que hace que la deformacin x del resorte sea pequea, y los esfuerzos sobre l tambin sean pequeos. Este es un diseo ptimo donde la mayor parte de la fuerza aplicada, f(t), es equilibrada por la fuerza de inercia m 2x

Figura 1.16. Comportamiento msico del sistema ideal para n

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3.4. Respuesta dinmica de un sistema al desbalanceamiento de los rotores de las mquinasEl desbalanceamiento de los rotores es probablemente la causa ms comn de vibraciones. El desbalanceamiento del rotor es una condicin que existe en todas las mquinas, se puede disminuir su intensidad, pero no se puede eliminar. Por eso cuando se disea cualquier rotor es necesario determinar y limitar las vibraciones que genera el desbalanceamiento (para limitar estos valores existe una norma ISO) El desbalanceamiento es bsicamente una condicin donde el centro de masas del rotor no es coincidente con su eje de rotacin. Algunas razones para esta distribucin de masas no uniforme respecto al eje de rotacin pueden ser: Desgaste no simtrico del material de los alabes. Ej. turbinas. Dilataciones no simtricas (mquinas trmicamente sensibles). Ej. Generadores Deformaciones no simtricas cuando giran a su velocidad de operacin. Por ej. ventiladores. Montaje excntrico de elementos. Ej. rodamientos, rotores, etc. Porosidad en la fundicin del impulsor Densidad del material no uniforme Tolerancias de fabricacin Adherencia de material durante la operacin (polvo o partculas en alabes de ventiladores), o prdida de material Masa de los pernos de un acoplamiento que no tienen todos igual masa Canales de chaveteros

Definiciones CANTIDAD DE DESBALANCEAMIENTO O SIMPLEMENTE DESBALANCEAMIENTO, U , es una medida cuantitativa del desbalanceamiento en un rotor, sin referirse a su ubicacin angular: U U m r = = = = mr cantidad de desbalanceamiento o simplemente desbalanceamiento masa desbalanceada distancia de la masa desbalanceada al eje de rotacin.

Si la masa desbalanceada en el rotor es, por ejemplo, 20 gr y est ubicada a 150 mm del eje de rotacin, el desbalanceamiento U del rotor es: U = 20 (gr) x 150 (mm) = 3.000 (gr-mm). El problema del desbalanceamiento, es que se generan fuerzas centrfugas (fuerzas de inercia), las cuales sobrecargan todos los elementos de la mquina disminuyndole su vida de operacin. EJEMPLO. Determine el valor de la fuerza centrfuga que se genera en un rotor de masa 100 Kg que tiene un desbalanceamiento de 4.000(gr mm):

27 i) ii) cuando el rotor gira a 1.000 cpm cuando el rotor gira a 3.000 cpm

La fuerza centrfuga Fc = m r w2 = U w2 U = 4.000(gr mm) = 0.04 (Kg m) i) Para w = 1.000 cpm = 1.000x 2 x / 60 = 104.7 rad/s Fc = U w2 = 0.04(kg m)x 104.72( rad/s)2 = 438 (Kg m/s2) = 438(N) ii) Para w = 3.000 cpm = 3.000x 2 x / 60 = 314 rad/s Fc = U w2 = 0.04(kg m)x 3142( rad/s)2 = 3.948 (N) NOTAS: 1. Observe que cuando la velocidad de rotacin aumenta en 3 veces, la fuerza centrfuga sobre el rotor aumenta en 9 veces. 2. Si se quiere limitar la fuerza centrfuga actuando sobre el rotor, como no se puede limitar la velocidad de rotacin, se debe limitar el valor del desbalanceamiento del rotor. Entre mayor es la velocidad de rotacin del rotor menor es la cantidad de desbalanceamiento permitido. Valores admisibles para el desbalanceamiento residual de rotores Como es imposible que un rotor quede perfectamente balanceado, o no se puede impedir que l aumente su desbalanceamiento despus de un tiempo de operacin, es necesario establecer los mayores valores admisibles para el desbalanceamiento residual de un rotor. El valor del desbalanceamiento admisible para un rotor debera especificarlo el diseador de la mquina, de acuerdo a la vida nominal que espera para ella.. Si no se dispone de ello, se puede usar los valores dados por ISO 1940-1 (1986) : Mechanical vibration Balance quality requirements of rigid rotors Part 1 : Determination of permisible residual unbalance. ( Requerimientos de la calidad del balanceamiento de rotores rgidos - Parte 1 Determinacin del desbalanceamiento residual permitido.

3.4.1 Respuesta de un Rotor de Jeffcott al desbalanceamientoEl modelo ms simple para estudiar la dinmica de un rotor, es el rotor de Jeffcott, ver figura 1.a, el cual consiste en: Disco rgido montado en el medio del eje Eje flexible del rotor de masa despreciable Soportes rgidos

28

Figura 1.a. Rotor de Jeffcott Ecuaciones del movimiento Por la simetra del sistema respecto al plano XY, se puede considerar un problema de dinmica en el plano. Las ecuaciones para el centro de masas del sistema son de acuerdo a la figura1.a: (x + a sen t) = - Kx (y + a cos t) = - Ky (1a) (1b) Observe que las ecuaciones (1a) y (1b) se pueden obtener de forma directa utilizando el principio de D`Alambert, agregando la fuerza centrfuga (fuerza de inercia), figura 1.b. NOTAS: - Observe que en las ecuaciones del movimiento no se ha considerado la fuerza peso = Mg, esto se debe a que las coordenada y se mide desde la posicin de equilibrio. - La solucin de estas ecuaciones permite determinar el desplazamiento vibratorio mximo. - Para determinar el esfuerzo de flexin mximo se debe determinar la deflexin mayor del eje. Para eso se usa el principio de superposicin (vlido porque el sistema tiene comportamiento lineal por qu tiene comportamiento lineal?):

29DEFORMACIONMAXIMA=DEFORMACIONESTATICA+ Y0(desplazamientovibratoriopico)

Figura 1.b. Diagrama de cuerpo libre del disco

3.4.2. Grficos adimensionalesEl grfico de figura 1.17 muestra la amplitud de la respuesta estacionaria de: i) un rotor de Jeffcott ii) una mquina rgida montada en una base flexible, figura 1.17b) La tendencia actual, es utilizar grficos adimensionales como el indicado en figura 1.17. El cual es un grfico adimensional del desplazamiento vibratorio vertical de una mquina rgida desbalanceada montada en una base flexible como se indica en la figura. NOTA: Al comparar el grfico de la figura 1.17 con el grfico de la figura 1.12 se observa que son diferentes. Esto es debido a que el grfico de figura 1.12 se refiere al caso en que el mdulo de la fuerza F0= constante. La figura 1.17 se refiere al caso en que el mdulo de la fuerza no es constante es proporcional a w2. Por eso en figura 1.17, para w=0, el desplazamiento vibratorio es cero. En cambio, en el grfico de la figura 1.12, es la respuesta del sistema ideal a una fuerza de amplitud F0 constante.

30

donde: M=Masaquevibra=Masadelamquina+1/2masadelabase X=Valorpicodeldesplazamientovibratoriodelamquina U=Desbalanceamientodelrotor=masadesbalanceadaxdistanciaalejederotacin =Frecuenciadelaexcitacin=Velocidadderotacindelrotor fn=Frecuencianaturaldelsistemabase/mquina =Factordeamortiguamiento b)

Figura1.17.Grficoadimensionaldeldesplazamientovibratorioparadiferentesvelocidadesde rotacinde: i)unrotordeJeffcott ii)unamquinargidamontadaenunabaseflexible,figura1.17b)

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4.- La funcin de transferencia y la funcin respuesta (en frecuencias)La funcin de transferencia de un sistema lineal se define como la relacin de la transformada de Laplace de la variable de salida a la variable de entrada, suponiendo que todas las condiciones iniciales se hacen igual a cero.Para el sistema ideal de 1 grado de libertad: m&& + cx + kx = f (t ) x & m s 2 X ( s ) sx(0 + ) x(0) + c sX ( s ) x(0 + ) + kX ( s ) = f (t ) & con: x(0) = x(0) = 0 & 1 X ( s) 1 m H ( s) = = = 2 2 F ( s ) ms + cs + k s + 2 n s + n 2

(

) (

)

La funcin respuesta (en frecuencias) (FRF, Frequency Response Function), se define como la respuesta del sistema en el estado estacionario a una excitacin de entrada armnica. Se representa por un complejo: H ( f ) = H ( f ) e j H donde: sumdulo, H ( f ) =

S0 ( f )

E0 ( f )

,eslarazndeamplitudes

NOTA: Para el caso el caso particular donde : E = 0 y S = , entonces : H =

entrelasalidaylaentradaaunaexcitacinarmnica. sufase: H = S E ,eselngulodedesfaseentrelasalida yentrada.

Entrada

Sistema

Salida

Figura 1.18. Sistema lineal representado por su funcin respuesta H(f)

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4. 1. Formas alternativas de la funcin respuestaDiferentes funciones respuesta, y con diferentes nombres, como se indica en la tabla siguiente, son utilizadas en el anlisis dinmico de sistemas, dependiendo de si se usa como variable de salida el desplazamiento, la velocidad o la aceleracin para definir su movimiento. TABLA N2 . Diferentes nombres de las funciones respuestas Funcin Respuesta Compliancia dinmica, Receptancia, =X Flexibilidad dinmica Movilidad

F

V Mecnica = FImpedancia Mecnica =

Acelerancia =

A F

Funcin Respuesta inversa

Rigidez dinmica =

F X

F V

Masa efectiva =

F A

Las transformadas de Fourier y Laplace estn estrechamente relacionadas, especialmente cuando la funcin f(t) se define solo para t=0, como frecuentemente es el caso: Funcin de transferencia: Funcin respuesta :F ( s ) = f (t )e st dt0

con s = + j

F ( ) = f (t )e jt dt

La funcin de transferencia permite investigar la ubicacin en el plano complejo s de los polos y ceros, analizar la respuesta transiente y por lo tanto su estabilidad, como se ver en el curso de Control La funcin respuesta en frecuencia solo permite el anlisis en el estado estacionario, pero la gran ventaja es la facilidad para determinarla experimentalmente. Existen diferentes formas grficas de representar las funciones respuestas. Las ms utilizadas se muestran en Figura 1.19: 1.- Diagrama de Bod: Mdulo y fase de la funcin respuesta v/s la frecuencia. 2.- Diagrama de Nyquist o polar: Parte real v/s parte imaginaria de la funcin respuesta 3.- Parte real e imaginaria v/s la frecuencia de la funcin respuesta

33Diagrama de BodGrfico del mdulo y de la fase de la funcin respuesta en funcin de la frecuencia De este grfico se determina: - Relacin entre vibracin y fuerza - Frecuencias naturales o de resonancia - Frecuencias de anti-resonancia - Desfase entre el desplazamiento y la fuerza - Valor del factor de amortiguamiento, = 1/(2Q) Q = wd / ( w2 - w1 ) Q : Factor de amplificacin w1 y w1: frecuencia de los puntos a media potencia. (-3dB = 0.707 )

Diagrama de Nyquist o polarGrfico de la parte real versus la parte imaginaria de la funcin respuesta para diferentes frecuencias .

Parte real:

H(f) sen (f)

Parte imaginaria:H(f) cos (f)

Diagrama parte real y parte imaginariaGrfico de la parte real y de la parte imaginaria de la funcin respuesta para diferentes frecuencias f.

FIG. 1.19. Diferentes formas de representar grficamente las funciones respuesta

344.2. Determinacin experimental de la funcin respuesta

Figura 1.19a muestra esquemticamente las formas utilizadas para determinar en forma experimental las funciones respuestas. Estas consisten en medir la excitacin aplicada con un sensor de fuerza y medir las vibraciones con un sensor de vibraciones. La dos formas usuales para generar una fuerza sobre el sistema a analizar es: con un impacto a travs de un martillo con un excitador electrodinmico Midiendo simultneamente la fuerza y la vibracin generada se introducen a un analizador de vibraciones de dos canales el cual hace la relacin entre ellos para todas las frecuencias.

Utilizando un martillo de impacto que tiene en su punta un sensor de medicin de fuerza se Martillo de impacto y sensores de ejerce sobre el cuerpo una fuerza de impacto la fuerza cual es medida por el sensor de fuerza

La otra forma utilizada para generar la fuerza es utilizando un shaker (excitador electrodinmico), el cual tiene en su punta un sensor de medicin de fuerza.

FIG. 1.19a. Formas de determinar la funcin respuesta.

35

5.

Amortiguamiento = disipacin de energa

AMORTIGUAMIENTO: Se llama a la propiedad de disipacin de energa de un material o de un sistema bajo movimiento. Los ms frecuentes mecanismos de disipacin de energa se en figura 1.21. Ellos son: Amortiguamiento viscoso Rozamientos como el que ocurre al deslizar un elemento sobre otro (Coulomb). Friccin interna en el material o amortiguamiento estructural o histrico. Resistencia de un cuerpo a moverse dentro de un fluido (aire por ejemplo). Radiacin de energa : por propagacin de ondas en un medio infinito.(ejemplos: boyas en el agua, fundaciones de mquinas y estructuras) Por qu se usa amortiguamiento viscoso en los modelos matemticos cuando en la prctica es raro encontrarlo? Facilita el anlisis matemtico. Las ecuaciones del movimiento siguen siendo lineales Es difcil de estimar el valor del amortiguamiento real.Por ejemplo el coeficiente de roce entre la superficie A y B es de tabla: 0.01 a 0.03. cul valor usa en la modelacin? El amortiguamiento tiene poco efecto en la respuesta forzada cuando se est alejado de resonancias o antiresonancias, como se ilustra en figura 1.20

= 0 D0

= 0,2

Figura 1.20. Grfico del desplazamiento vibratorio de un sistema de 2 grados de libertad.

36 a)

b)

c)

d)

Figura 1. 21. Ejemplos de mecanismos de disipacin de energa a) Amortiguador viscoso. b) Rozamientos como el que ocurre al deslizar un elemento sobre otro (Coulomb). c) Friccin interna en el material o amortiguamiento estructural o histrico. d) Por radiacin: por propagacin de ondas en un medio infinito.

375.1. Amortiguador viscoso equivalente a utilizar en el modelo ideal

La energa disipada por ciclo por un amortiguador viscoso de coeficiente c es Ud :

Independiente del mecanismo real de disipacin de energa existente en el sistema, este se reemplaza por un amortiguador viscoso equivalente cuyo valor se determina igualando las energas disipadas por ciclo en cada caso. Es decir, para determinar Ceq se iguala:

Ceq X 0 2

Energa disipada por el amortiguador viscoso

1 24 4 3

=

Energa real disipada por ciclo

Ud {

(113)

EJEMPLO Determine el coeficiente del amortiguador viscoso equivalente para el caso de disipacin de energa por roce de Coulomb indicado en la figura 1.23.

F0 sen t

F0 sen t

Figura 1.23. Amortiguador viscoso equivalente con mecanismo de disipacin de energa real por rozamiento. Del grfico indicado en figura 1.24 se determina que la energa disipada por ciclo debido al roce es 4 mgX0. Utilizando ecuacin 1-12 se obtiene:Ud = 4 mgX 0 = C eq X 0 C eq = 4 mg2

X 0

38

Trabajo de la fuerza de roce = Energa disipada por ciclo

Figura 1.24. Energa disipada por rozamiento en un ciclo de oscilacin

5.2. Amortiguamiento histrico, slido o estructural

Al realizar un ciclo de traccin compresin- traccin en un material se obtiene lo indicado en la figura 1.27. Estos ensayos muestran ciclos de histresis. Note que la trayectoria de carga es diferente a la de descarga. Esto es atribuible a la friccin interna entre varios planos del material. El rea encerrada por el ciclo de histresis es igual a la energa perdida por ciclo. Experimentalmente se encuentra que esta rea es independiente de la frecuencia y proporcional a la amplitud de la vibracin y a la rigidez del cuerpo. Es decir, la energa disipada por ciclo, Ud es: Ud =k (X0 )2 1(b)

Similar al caso anterior,( ecuacin (1a)), la fuerza elasto-disipativa se puede expresar por una rigidez compleja:

= factor de prdida o cons tan te deamortiguamiento histrico

Figura 1.27. Energa interna disipada por un material durante un ciclo de oscilacin Introduciendo ecuacin (1-b) en ecuacin 1-13 se obtiene que:

39

Y por lo tanto,

Aunque el factor de prdida de un material depende de su composicin, temperatura, esfuerzo, tipo de carga usado; un valor aproximado de se puede obtener de tablas como la indicada en tabla N3 (ver manuales de Ingeniera): Tabla N3 . Factores de prdida de algunos materiales Material Aluminio puro Acero Plomo Fundicin de fierro Goma natural Goma dura Vidrio Concreto 2x10-5 2x10-3 0,001 0,008 0,008 0,014 0,003 0,03 0,1 0,3 1,0

0,0006 0,002 0,01 0,06

En tabla N4. se presenta una comparacin entre el comportamiento dinmico del modelo ideal con amortiguamiento viscoso v/s el modelo ideal con amortiguamiento estructural. Figura 1.28 grafica como vara la amplitud de las vibraciones estacionarias y el desfase entre desplazamiento y fuerza con la frecuencia de la fuerza excitadora para el caso con amortiguamiento viscoso y amortiguamiento estructural. De figuras 1.28 se observa que el comportamiento vibratorio del sistema con amortiguamiento estructural para factores de prdida