Capitulo 2. Conducción (Final)

TRANSFERENCIA DE CALOR Cód. FRP-PQ-GT

Rev. 19.05.13

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ASUNTO

ºTIPO DE DOCUMENTO: Manual de operación

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TRANSFERENCIA DE CALOR I

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ASUNTO TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCIÓN

CAPITULO 2

CONDUCCIÓN

2.1 Noción de Conductividad Térmica

La conducción se define como la transmisión de calor sin que exista un movimiento significativo de las moléculas.

Como se indicó en el capítulo 1 algunos materiales, como los metales, conducen mejor el calor que otros; la

propiedad de los materiales que influye en la conducción del calor es la conductividad térmica, mientras mayor sea

su valor más grande será el flujo de calor.

En general, al comparar la conductividad térmica para las diferentes fases de la materia se obtiene que la de los

sólidos es mayor que la de los líquidos, y ésta a su vez es mayor que la de los gases; aunque no siempre es así,

ya que, por ejemplo, entre los sólidos están los aislantes, cuya conductividad es menor que la de los líquidos. En

la figura 2.1 se ilustra mejor las diferentes magnitudes de la conductividad.

Fig. 2.1: Magnitud de la conductividad térmica para diferentes materiales.

Existen en la literatura muchas relaciones empíricas que permiten calcular k = ƒ (T) para los diferentes cuerpos.

0,01 0,1 1 10 100 1000

Metales

puros

Aleaciones

Sólidos no metálicos

Sistemas aislantes

Líquidos

Gases

Plata Cinc

Aluminio Níquel

Óxidos Hielo Plásticos

Aceites Agua

CO2

Mercurio

H2

Fibras Espumas

k (W/m K)


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2.1.1Caso de los sólidos

Para hallar k se puede utilizar la relación de Franz-Lorentz:

LT

k

Donde:

σ: Conductividad eléctrica del sólido

T: Temperatura absoluta del sólido

L: Constante de Lorentz

Esta relación se verifica bastante bien en el caso de los metales, pero no en el caso de las aleaciones ni cuerpos

amorfos, como el vidrio. La tabla que se presenta a continuación muestra la validez aproximada de esta relación

dentro del intervalo -170°C y 100°C.

Tabla 2.1. Valores de Constante de Lorentz (L) en 10-8

V2/grados

2

METAL TEMPERATURA, °C

-170 -100 0 18 100

Cobre 1,85 2,17 2,30 2,32 2,32

Plata 2,04 2,29 2,33 2,33 2,37

Zinc 2,20 2,39 2,45 2,43 2,33

Cadmio 2,39 2,43 2,40 2,39 2,44

Estaño 2,48 2,51 2,49 2,47 2,49

Plomo 2,55 2,54 2,53 2,51 2,51

De manera general k depende linealmente de la temperatura siendo de la forma:

Takk .10

Donde:

T: Temperatura, °C

k0: Conductividad térmica del sólido a 0°C

a: Constante

a >0 para malos conductores

a < 0 Para todos los metales y aleaciones excepto el aluminio y el latón

En la gran mayoría de los problemas, cuando la diferencia de temperatura no es muy grande (< 100°C) se utiliza

un valor de k promedio:


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).(

21

2210

21 TTa

kkmkk

km TT

2.1.2 Caso de los líquidos

En este caso se puede utilizar la relación de Weber:

5,0

310.59,3

MCp

k

Donde:

k: Conductividad en cal/s. cm.°C

ρ: Masa volúmica g/cm3

Cp: Calor específico cal/g.°C

M: peso molecular g/mol

Para muchos líquidos k disminuye al aumentar la temperatura (excepto para el agua) y varia poco con la presión.

Para una mezcla de líquidos, el valor de kMezcla puede obtenerse utilizando la siguiente relación:

2211 ln.ln.ln kxkxkMezcla

Donde

x1 y x2: fracciones másicas.

2.1.3 Caso de los gases:

Se puede utilizar las siguientes relaciones:

aCv

k

.

Donde:

µ: viscosidad del gas

Cv: calor específico a volumen constante

a: Constante

Gases Constante, a

monoatómico 2,5

diatómico 1,9

triatómico 1,72


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La relación de Sutherland que representa la variación de k con la temperatura:

5,1

0273

273.

T

TC

Ckk

Donde:

k0 : Conductividad térmica del gas a 0°C

C: Constante de Sutherland

T: temperatura absoluta del gas

A continuación se muestran valores de conductividades térmicas (k) tanto para los sólidos, los líquidos y los

gases a diferentes temperaturas.

Tabla 2.2. Conductividades térmicas para algunos materiales a temperatura ambiente.


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.

Fig. 2.2. Conductividad térmica de metales y aleaciones


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Fig. 2.3. Conductividad térmica de vapores gases y líquidos

Nota: para valores adicionales, véase anexos 2, 3 y 4.

2.2 Conducción a través de una pared simple

Una pared simple está formada por un solo material, mientras que las paredes compuestas, que se verán en la

siguiente sección, están formadas por materiales diferentes.

La ley de Fourier es una ecuación diferencial, que no se puede utilizar directamente; el objetivo de esta sección es

deducir una ecuación integrada para el cálculo del flujo de calor y otra para el perfil de temperatura.

Se estudiarán dos tipos de paredes: plana y cilíndrica, dejando que el estudiante deduzca las ecuaciones para la

pared esférica.


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A continuación se presentarán un ejemplo de aplicaciones industriales para cada uno de los casos citados

anteriormente:

Pared plana: Es el caso de un horno que pierde calor hacia el medio ambiente.

Pared cilíndrica: Una tubería por donde circula un fluido caliente.

Pared esférica: Un tanque esférico donde se almacena un gas caliente a alta presión.

2.2.1 Pared plana

El esquema de la pared plana, con las principales variables involucradas, se muestran en la figura 2.4. La

superficie izquierda de la pared tiene una temperatura T1 mayor que la de la superficie derecha, T2, esto provoca

que sea atravesada por un flujo de calor Q, de izquierda a derecha, ésta es la dirección x. El área A de la pared es

perpendicular al flujo de calor, mientras que el espesor, e, es la dimensión de la pared en el mismo sentido del

flujo de calor. La conductividad térmica es k. T es la temperatura de una sección interna de la pared (identificada

en el esquema con línea formada por puntos), ubicada a una distancia x de la superficie izquierda.

Fig. 2.4. Esquema de una pared plana atravesada por un flujo de calor.

El flujo de calor por conducción, en la dirección x, viene dado por la ley de Fourier:

dx

dTAkQ

x 0 e

Q

T1 Tx T2

e

x

A

k


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Donde Q: es el flujo de calor transmitido por conducción,

k: es la conductividad térmica,

A: es el área de transferencia de calor (perpendicular al flujo),

:dx

dT es el gradiente de temperatura en la dirección del flujo de calor (x).

Esta ecuación diferencial se resuelve por separación de variables, del lado izquierdo de la ecuación se colocarán

las variables que generalmente dependen de x, mientras que del lado derecho se dejarán las variables que

dependen de T:

dTkdxA

Q

Para poder integrar esta ecuación, es necesario plantear algunas condiciones:

Flujo de calor unidimensional

Régimen permanente Q = Cte.

Variación lineal de k k= k0 (1 + a T)

Área de Pared plana A = Cte.

Para obtener el flujo de calor se integrará esta ecuación entre 0 y e, mientras que para el perfil de temperatura

será entre 0 y x.

a) Flujo de calor:

2

10

T

T

e

dTkdxA

Q

2

1

100

T

T

e

dTTakdxA

Q

2

1

2

1000

T

T

T

TdTTakdTke

A

Q

2

1

2

201202

TTa

kTTkeA

Q

121201202

TTTTa

kTTkeA

Q


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12

12

02

1 TTTT

akeA

Q

Se definirá Tm como el promedio aritmético de la temperatura de la pared:

2

12 TTTm

120 1 TTTakeA

Qm

Se puede definir ahora la conductividad promedio de la pared como:

mm Takk 10

12 TTkeA

Qm

Siendo T2 menor que T1 se puede introducir el signo negativo dentro del paréntesis para que el resultado sea

positivo:

21 TTkeA

Qm

Finalmente se despeja el flujo de calor:

21

TTe

AkQ m

b) Perfil de temperatura:

T

T

x

dTkdxA

Q

10

El desarrollo es análogo al anterior, obteniéndose:

TTkxA

Qm 1

Despejándose ahora la temperatura deseada:


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xAk

QTT

m

1

En caso de no conocer el flujo de calor, se le debe sustituir por la ecuación obtenida anteriormente:

xAk

e

TTAk

TTm

m

21

1

Al simplificar, se obtiene:

e

xTTTT 211

Esta es la ecuación de una recta. En la figura 2.5 se ilustra el perfil de temperatura.

Fig. 2.5. Perfil de temperatura en una pared plana.

2.2.2 Pared cilíndrica

La pared cilíndrica es un cilindro hueco, con forma de tubo, la cual es representada en la figura 2.6 con varias

vistas. La superficie interna de la pared tiene una temperatura T1 mayor que la de la superficie externa, T2, esto

provoca que sea atravesada por un flujo de calor Q, de adentro hacia afuera, en la dirección radial, r. El área A de

la pared es perpendicular al flujo de calor, es la superficie lateral de la pared, la cual es variable (se puede

observar que la superficie interna es menor que la externa). La longitud de la pared es L. La conductividad térmica

es k. T es la temperatura de una sección interna de la pared ubicada a una distancia r del eje.

x 0 e

T1

T

T2

x

T


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Fig. 2.6. Esquema de una pared cilíndrica atravesada por un flujo de calor.

El flujo de calor por conducción, en la dirección r, viene dado por la ley de Fourier:

dr

dTAkQ

Esta ecuación diferencial se resuelve por separación de variables:

dTkdrA

Q

Para poder integrar esta ecuación, es necesario plantear algunas condiciones:

Flujo de calor unidimensional

Régimen permanente Q = Cte.

Variación lineal de k k = k0 (1 + a T)

Área de Pared cilíndrica A = 2 r L

Para obtener el flujo de calor se integrará esta ecuación entre r1 y r2, mientras que para el perfil de temperatura

será entre r1 y r.

Q

r1

r2 r

T1

T2

T

Q

r1

r2

r

T1 T2

L

Q

r1

r2

r

T1

T2

T

T

L

a) Vista en perspectiva b) Corte longitudinal c) Corte transversal


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a) Flujo de calor:

2

1

2

1

T

T

r

r

dTkdrA

Q

2

1

2

1

T

T0

r

r

dTTa1kdrLr2

Q

2

1

2

1

2

1

T

T0

T

T0

r

r

dTTakdTkr

dr

L2

Q

21

220120

1

2 TT2

akTTk

r

rLn

L2

Q

121201201

2 TTTT2

akTTk

r

rLn

L2

Q

1212

01

2 TT2

TTa1k

r

rLn

L2

Q

Se definirá Tm como el promedio aritmético de la temperatura de la pared:

2

12 TTTm

12m01

2 TTTa1kr

rLn

L2

Q

Se puede definir ahora la conductividad promedio de la pared como:

mm Takk 10

12m1

2 TTkr

rLn

L2

Q

Siendo T2 menor que T1 se puede introducir el signo negativo dentro del paréntesis para que el resultado sea

positivo:

21m1

2 TTkr

rLn

L2

Q


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Finalmente se despeja el flujo de calor:

1

2

212

r

rLn

TTkLQ m

b) Perfil de temperatura:

T

T

r

rdTkdr

A

Q

11

El desarrollo es análogo al anterior, obteniéndose:

TTkr

rLn

L

Qm

1

12

Despejándose ahora la temperatura deseada:

1

12 r

rLn

kL

QTT

m

En caso de no conocer el flujo de calor, se le debe sustituir por la ecuación obtenida anteriormente:

1

1

2

21

12

2

r

rLn

kL

r

rLn

TTkL

TTm

m

Al simplificar, se obtiene:

1

2

1

211

r

rLn

r

rLn

TTTT

Esta es la ecuación de una curva. En la figura 2.7 se ilustra el perfil de temperatura.


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Fig. 2.7. Perfil de temperatura en una pared cilíndrica.

2.2.3 Pared esférica

El estudiante deberá dibujar el esquema de esta pared, escribir las condiciones de integración, para finalmente

deducir las ecuaciones del flujo de calor y del perfil de temperatura.

2.3 Conducción a través de una pared compuesta

Una pared compuesta está formada por varios materiales diferentes. Se asumirá que estos materiales están

perfectamente unidos, por lo que la temperatura en la superficie de contacto (interfase) entre dos materiales es la

misma para ambos materiales.

El objetivo específico de esta sección será deducir una ecuación para el cálculo del flujo de calor que atraviesa la

pared, en función de las temperaturas extremas; se asumirá que las temperaturas en las interfases son

desconocidas. En un primer momento, se hará la deducción para tres materiales, y luego se generalizará la

ecuación obtenida para un número n de materiales.

Un ejemplo de una aplicación industrial sería el de una pared metálica (de un tanque o una tubería, etc.) recubierta

por varias capas de aislantes.

2.3.1 Pared plana

En la figura 2.8 se muestra un esquema de una pared plana compuesta por tres materiales diferentes, de

conductividad térmica kj, de espesor ej y área A, siendo esta última la misma para todos los materiales. Esta pared

es atravesada, desde la izquierda hacia la derecha, por un flujo de calor Q, constante en régimen permanente, por

lo cual, las temperaturas en los extremos de cada material son en orden decreciente T1 > T2 > T3 > T4.

r r1 r2

T1

T

T2

r

T


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Fig. 2.8. Esquema de una pared plana compuesta.

Si se estudian los materiales por separado, a cada uno de ellos se le puede aplicar la ecuación de una pared

simple; obteniéndose:

1

211

e

TTAkQ

2

322

e

TTAkQ

3

433

e

TTAkQ

Siendo las temperaturas intermedias (T2 y T3) desconocidas, se despejarán las diferencias de temperaturas con el

fin de eliminarlas posteriormente:

Ak

eQTT

1

121

Ak

eQTT

2

232

Ak

eQTT

3

343

Al sumar estas tres ecuaciones se cancelarán las temperaturas intermedias, quedando únicamente en función de

las temperaturas extremas que sí son conocidas. Además, como el flujo de calor es el mismo, se pondrá como

factor común (no se hará lo mismo con el área a pesar de que también es constante):

T1

T 2

T 3

T 4 e1 e2 e3

Q = Cte.

Mat. 1 Mat. 2 Mat. 3

k1 k2 k3


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Ak

e

Ak

e

Ak

eQTT

3

3

2

2

1

141

De esta ecuación se despejará el flujo de calor:

Ak

e

Ak

e

Ak

e

TTQ

3

3

2

2

1

1

41

Se definirá la resistencia térmica de un material j con forma de una pared plana como:

Ak

eR

j

j

j

De donde:

321

41

RRR

TTQ

Ahora se harán los siguientes cambios de variables:

41 TTT

321T RRRR

Siendo RT la resistencia térmica total para la pared compuesta. Finalmente:

TR

TQ

Esta ecuación, demostrada para tres materiales, también es válida para n materiales haciendo las siguientes

modificaciones:

1n1 TTT

n

1j

jT RR

2.3.2 Pared cilíndrica

En la figura 2.9 se muestra un esquema de una pared cilíndrica compuesta por tres materiales diferentes, de

conductividad térmica kj, de radio rj y área A, siendo esta última diferente para cada material. Esta pared es


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atravesada, desde la izquierda hacia la derecha, por un flujo de calor Q, constante en régimen permanente, por lo

cual, las temperaturas en los extremos de cada material son en orden decreciente T1 > T2 > T3 > T4.

.

Fig. 2.9. Esquema de una pared cilíndrica compuesta (corte transversal).

Si se estudian los materiales por separado, a cada uno de ellos se le puede aplicar la ecuación de una pared

simple; obteniéndose:

1

2

211

r

rLn

TTkL2Q

2

3

322

r

rLn

TTkL2Q

3

4

433

r

rLn

TTkL2Q

Siendo las temperaturas intermedias (T2 y T3) desconocidas, se despejarán las diferencias de temperaturas con el

fin de eliminarlas posteriormente:

T1

T2

T3

T4

r1

r2

r3

k1

k2

k3

Q = Cte.

Mat. 3

Mat. 2

Mat. 1

r4


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1

1

2

21kL2

r

rLnQ

TT

2

2

3

32kL2

r

rLnQ

TT

3

3

4

43kL2

r

rLnQ

TT

Al sumar estas tres ecuaciones se cancelarán las temperaturas intermedias, quedando únicamente en función de

las temperaturas extremas que sí son conocidas. Además, como el flujo de calor es el mismo, se pondrá como

factor común (no se hará lo mismo con el producto 2 L, a pesar de que también es constante):

3

3

4

2

2

3

1

1

2

41kL2

r

rLn

kL2

r

rLn

kL2

r

rLn

QTT

De esta ecuación se despejará el flujo de calor:

3

3

4

2

2

3

1

1

2

41

kL2

r

rLn

kL2

r

rLn

kL2

r

rLn

TTQ

Se definirá la resistencia térmica de un material j con forma de una pared cilíndrica como:

j

j

1j

jkL2

r

rLn

R

De donde:

321

41

RRR

TTQ

Ahora se harán los siguientes cambios de variables:


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41 TTT

321T RRRR

Siendo RT la resistencia térmica total para la pared compuesta. Finalmente:

TR

TQ

Esta ecuación, demostrada para tres materiales, también es válida para un número n de materiales haciendo las

siguientes modificaciones:

1n1 TTT

n

1j

jT RR

2.3.3 Pared esférica

El estudiante deberá deducir la ecuación del flujo de calor para tres materiales y luego generalizarla para n

materiales.

2.4 Analogía con electricidad

Entre los diferentes fenómenos físicos, quizás uno de los más conocidos es el de la electricidad, por esta razón

generalmente se toma como referencia. En la figura 2.10 se muestra el esquema del circuito eléctrico más

sencillo, una resistencia (por ejemplo un bombillo) es conectado a una fuente (por ejemplo una pila), haciendo

circular una corriente a través del circuito.

Fig. 2.10. Esquema de un circuito eléctrico básico.

Al aplicar la ley de Ohm a este circuito básico, se obtiene:

V

R

i


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R

Vi

Donde i es la intensidad de corriente o flujo de corriente,

V es la diferencia de voltaje o potencial eléctrico,

R es la resistencia eléctrica,

Esta ley indica que el flujo aumenta con el potencial y disminuye con la resistencia. Dicha ecuación también se

aplica a otros fenómenos físicos, tales como:

Transferencia de materia: El flujo de materia, N, es proporcional a la diferencia de concentración, C, e inversamente proporcional a la resistencia a la transferencia de materia, RTM, (inversos de los coeficientes de transferencia de materia).

TMR

CN

Mecánica de los fluidos: El flujo volumétrico, Q, es proporcional a la diferencia de presión, P, e inversamente proporcional a la resistencia hidráulica, RH.

HR

PQ

Transferencia de calor: El flujo de calor, Q, es proporcional a la diferencia de temperatura, T, e inversamente proporcional a la resistencia térmica, RT.

TR

TQ

En transferencia de calor, la analogía también es perfecta cuando se compara paredes compuestas con respecto

a varias resistencias eléctricas, ya sean éstas en serie o en paralelo.

a) Materiales en serie:

Es el caso visto anteriormente donde el flujo de calor atravesaba sucesivamente todos los materiales, como se

ilustra en la figura 2.11


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Fig. 2.11. Esquema de una pared plana compuesta por varios materiales en serie.

En la figura se puede observar que:

Q = Cte

T = T1 + T2 + T3

Como:

j

j

R

TQ

De donde:

3

3

2

2

1

1

R

T

R

T

R

TQ

Mat. 1 Mat. 2

T1

T 2

T 3

T 4

e1 e2 e3

Q = Cte.

Mat. 3

k1 k2 k3

T

T3 T2 T1

T

R1 R2 R3


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Por lo tanto:

321

321

RRR

TTTQ

Ahora bien:

TR

TQ

Finalmente:

n

1j

jT RR

Es la misma ecuación que se obtiene en electricidad para resistencias en serie.


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b) Materiales en paralelo:

En este caso el flujo de calor se divide en varios flujos, atravesando cada uno de ellos un material diferente, los

cuales entran por la cara frontal y salen por la cara trasera, como se ilustra en la figura 2.12. Se asumirá que todos

los materiales tienen en el frente la misma temperatura, TF, y la temperatura de la cara trasera es TT.

Fig. 2.12. Esquema de una pared plana compuesta por varios materiales en paralelo.

En la figura se puede observar que:

Q = Q 1 + Q 2 + Q 3

T = T1 = T2 = T3 = TF - TT = Cte.

Mat. 3

R3

Mat. 2

R2

Mat. 1

R1

TF

TT

TF Q1

Q2 Q3

Q

TF

TT

TT


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Como:

j

jj

R

TQ

De donde:

3

3

2

2

1

1

R

T

R

T

R

TQ

Por lo tanto:

321 R

1

R

1

R

1TQ

Ahora bien:

TR

TQ

Finalmente:

n

1j jT R

1

R

1

Es la misma ecuación que se obtiene en electricidad para resistencias en paralelo.

1. BIBLIOGRAFÍA.

BIRD R. B., Stewart W. E. y Lightfoot E. N., Fenómenos de Transporte. Editorial Reverté S.A., Buenos Aires, 1967. CROSBY E.J., Experimentos sobre Fenómenos de Transporte en las Operaciones Unitarias de la Industria Química. Editorial Hispanoamericana, Buenos Aires, 1968. KREITH, F., Principios de Transferencia de Calor. Herrero Hermanos Sucesiones S.A., México, 1968.


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Tabla 2.3. Propiedades térmicas de algunos elementos metálicos


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Tabla 2.4. Propiedades térmicas de algunas aleaciones


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Tabla 2.5. Propiedades térmicas de algunos materiales de construcción y aislantes


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Capitulo 2. Conducción (Final)

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