Capítulo 2

Integral Definida Versión Beta 1.0

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2.1. Sumas y notación sigma

Notación: La suma de los n términos 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑛 se denota por:

∑ 𝑎𝑖 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛

𝑛

𝑖=1

Donde 𝑖 se llama índice de la suma, 𝑎𝑖 es el 𝑖 − é𝑠𝑖𝑚𝑜 término de la suma, además 1 y 𝑛 son

los límites inferior y superior respectivamente.

El límite inferior no tiene por qué ser 1, pero ambos deben ser constantes con respecto al índice

de la suma.

Ejemplos:

1. ∑ 𝑖 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 =

6

𝑖=1

21.

2. ∑ 𝑗2 = 12 + 22 + 32 + 42

4

𝑗=1

= 30.

3. ∑1

𝑛(𝑘2 + 1) =

1

𝑛(12 + 1) +

1

𝑛(22 + 1) +

1

𝑛(32 + 1) + ⋯ +

1

𝑛(𝑛2 + 1)

𝑛

𝑘=1

Propiedades de linealidad:

1. ∑ (𝑎𝑖 ± 𝑏𝑖) =𝑛𝑖=1 ∑ 𝑎𝑖 ± ∑ 𝑏𝑖

𝑛𝑖=1

𝑛𝑖=1 .

2. ∑ 𝑘𝑎𝑖𝑛𝑖=1 = 𝑘 ∑ 𝑎𝑖.

𝑛𝑖=1 𝑘 ∈ ℝ.

Teorema: Fórmulas de suma

1. ∑ 𝑐 = 𝑐𝑛; 𝑐: 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑛𝑖=1 .

2. ∑ 𝑖𝑛𝑖=1 =

𝑛(𝑛+1)

2

3. ∑ 𝑖2 =𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1)

6𝑛𝑖=1

4. ∑ 𝑖3 =𝑛2(𝑛+1)2

4𝑛𝑖=1

5. ∑ 𝑖4 =𝑛(𝑛+1)(6𝑛3+9𝑛2+𝑛−1)

30

𝑛𝑖=1

Ejercicios:

1. ∑ 𝑖2

4

𝑖=1

2. ∑𝑖 + 1

𝑛2

𝑛

𝑖=1

3. ∑𝑘2

𝑛2

5

𝑘=1

2.2. El problema de hallar el área bajo la curva

El tipo de región más simple con el que nos podemos encontrar es un rectángulo, cuya área se

define como el producto de su base por su altura. A partir de esta definición se pueden obtener

las fórmulas para el área de regiones más complicadas; es así como el método que se empleará

trata de aproximar la región buscada por una unión de rectángulos de tal forma que el área de la

región se aproxime por la suma de las áreas de dichos rectángulos.

La forma de determinar dicha aproximación se hace mediante un método denominado Sumas de

Riemann, para entenderlo intuitivamente veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo: Aproximación simple de Riemann usando rectángulos.

Se desea determinar el área comprendida por debajo de la gráfica de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1

en el intervalo [1,3]. Usando 4 rectángulos igualmente espaciados. (Puede ser cualquier número

de rectángulos).

Solución:

De esta manera:

Á𝑟𝑒𝑎 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑎 = 𝑓(𝑥1)Δ𝑥 + 𝑓(𝑥2)Δ𝑥 + 𝑓(𝑥3)Δ𝑥 + 𝑓(𝑥4)Δ𝑥

Á𝑟𝑒𝑎 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑎 = 𝑓(1)1

2+ 𝑓(1.5)

1

2+ 𝑓(2)

1

2+ 𝑓(2.5)

1

2

Á𝑟𝑒𝑎 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑎 = (2)1

2+ (3.25)

1

2+ (5)

1

2+ (7.25)

1

2= 8.75

Por tanto, el área aproximada es: 8.75u2.

Construimos 4 rectángulos que

abarquen el área pedida. (Por la

izquierda)

Determinamos el ancho de cada

rectángulo (denotado Δ𝑥) como:

Δ𝑥 =𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 − 𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟

𝑛

n: número de rectángulos.

Es decir:

Δ𝑥 =3−1

4, luego: Δ𝑥 =

1

2

Con la instrucción:

SumaTrapezoidal[ <Función>, <Extremo inferior del intervalo>, <Extremo

superior del intervalo>, <Número de trapezoides> ]

Que para este caso sería:

SumaTrapezoidal[ sqrt(x-1),1,6,5]

Obtiene el siguiente resultado: 7.26.

Ejercicio: Hallar el área bajo la curva 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1 en el intervalo [1,6], mediante 5

rectángulos igualmente espaciados. (𝒏 = 𝟓).

Usar el método aprendido en el ejemplo anterior y verificar sus resultados con las instrucciones

en Geogebra ( ) que se dan a continuación. No olvide hacer las representaciones gráficas.

1. Por la izquierda.

2. Por la derecha.

3. Mediante el método de los trapecios.

Ver el video: Aproximaciones de Riemann rectangulares y trapezoidales.

Con la instrucción:

SumaIzquierda[ <Función>, <Extremo inferior del intervalo>, <Extremo

superior del intervalo>, <Número de rectángulos> ]

Que para este caso sería:

SumaIzquierda[ sqrt(x-1), 1,6,5 ]

Obtiene el siguiente resultado: 6.15.

Con la instrucción:

SumaRectángulos[ <Función>, <Extremo inferior del intervalo>, <Extremo

superior del intervalo>, <Número de rectángulos>, <Posición del rectángulo

inicial> ]

Que para este caso sería:

SumaRectángulos[ sqrt(x-1), 1,6,5,1 ]

Obtiene el siguiente resultado: 8.38.

Sumas de Riemann

Sea 𝑓 definida en un intervalo cerrado [𝑎, 𝑏], dividiendo la región determinada por 𝑓 en dicho

intervalo con “𝑛” rectángulos como lo muestra la figura, se tiene:

Las bases de los rectángulos son de dimensión no necesariamente igual (∆𝑥𝑖).

Las alturas de cada rectángulo, estarían dadas por la respectiva imagen que se obtiene

con el punto denotado como �̅�𝑖 en la función 𝑓, (𝑓(�̅�𝑖)).

Dadas la base y la altura, el área de cada rectángulo (𝐴𝑖) sería:

o Primer rectángulo: 𝐴1 = 𝑓(�̅�1)∆𝑥1.

o Segundo rectángulo: 𝐴2 = 𝑓(�̅�2)∆𝑥2.

o Tercer rectángulo: 𝐴3 = 𝑓(�̅�3)∆𝑥3.

(𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛).

Así, el área del n-ésimo rectángulo sería: 𝐴𝑛 = 𝑓(�̅�𝑛)∆𝑥𝑛.

Luego, la suma de las áreas de los "𝑛" rectángulos sería:

𝑆 = 𝑓(�̅�1)∆𝑥1+ 𝑓(�̅�2)∆𝑥2

+ 𝑓(�̅�3)∆𝑥3+ ⋯ + 𝑓(�̅�𝑛)∆𝑥𝑛

Que de manera abreviada tenemos:

𝑆 = ∑ 𝑓(�̅�𝑖)∆𝑥𝑖𝑛𝑖=1 .

La suma 𝑆 (que es un número real) se llama una Suma de Riemann de 𝑓(𝑥) en [𝑎, 𝑏].

Se busca entonces, determinar el área de la región comprendida bajo la curva, por tanto se

considera una suma de una cantidad muy, pero muy grande de rectángulos, es decir una suma

infinita. Por tanto el área de la región estaría dada por:

𝐴 = lim𝑛→∞

[∑ 𝑓(�̅�𝑖)∆𝑥𝑖𝑛𝑖=1 ].

2.3. Integral Definida

Definición: Sea 𝑓(𝑥) una función definida en el intervalo [𝑎, 𝑏]. Al lim𝑛→∞

[∑ 𝑓(�̅�𝑖)∆𝑥𝑖𝑛𝑖=1 ] se

denomina la Integral Definida (o Integral de Riemann) de 𝑓(𝑥) de “𝑎” a “𝑏” y se denota de la

siguiente manera:

∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙

𝒃

𝒂

Es decir:

lim𝑛→∞

[∑ 𝑓(�̅�𝑖)∆𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

] = ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙

𝒃

𝒂

El número 𝒂 se llama límite inferior y el número 𝒃 se llama límite superior.

Integrales definidas especiales:

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑎

= − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑎

𝑏

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0

𝑎

𝑎

Teorema: Si 𝑓(𝑥) es continua en [𝑎, 𝑏], entonces 𝑓(𝑥) es integrable en [𝑎, 𝑏]. La expresión

“𝑓(𝑥) es integrable en [𝑎, 𝑏]” significa que lim𝑛→∞

[∑ 𝑓(�̅�𝑖)∆𝑥𝑖𝑛𝑖=1 ] existe, es decir es un número

real.

Ejemplo: Hallar el área bajo la curva 𝑓(𝑥) = 𝑥2 en [1,3], usando la definición de Sumas de

Riemann.

Solución:

Aplicando la definición de Sumas de Riemann se tiene:

𝐴 = lim𝑛→∞

[∑ 𝑓(�̅�𝑖)∆𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

] = lim𝑛→∞

[𝑓(�̅�1)∆𝑥1+ 𝑓(�̅�2)∆𝑥2

+ 𝑓(�̅�3)∆𝑥3+ ⋯ + 𝑓(�̅�𝑛)∆𝑥𝑛

]

PRIMER MÉTODO: Por la derecha.

Escogemos �̅�1 = 𝑥1, �̅�2 = 𝑥2, �̅�3 = 𝑥3,…, �̅�𝑖 = 𝑥𝑖 .

Ahora,

𝑥0 = 𝑎 = 1 = 1 + 0(∆𝑥) = 1

𝑥1 = 𝑥0 + ∆𝑥 = 1 + ∆𝑥 = 1 + 1(∆𝑥) = 1 + 1 (2

𝑛)

𝑥2 = 𝑥1 + ∆𝑥 = (1 + ∆𝑥) + ∆𝑥 = 1 + 2(∆𝑥) = 1 + 2 (2

𝑛)

𝑥3 = 𝑥2 + ∆𝑥 = (1 + ∆𝑥 + ∆𝑥) + ∆𝑥 = 1 + 3(∆𝑥) = 1 + 3 (2

𝑛)

⋮ ⋮

𝑥𝑖 = 𝑥𝑖−1 + ∆𝑥 … = 1 + 𝑖(∆𝑥) = 1 + 𝑖 (2

𝑛)

De esta manera:

Á𝑟𝑒𝑎 =

lim𝑛→∞

[𝑓(𝑥1)Δ𝑥 + 𝑓(𝑥2)Δ𝑥 + 𝑓(𝑥3)Δ𝑥 + ⋯ + 𝑓(𝑥𝑛)Δ𝑥] Suma de áreas de cada rectángulo.

= lim𝑛→∞

∑ 𝑓(𝑥𝑖)

𝑛

𝑖=1

Δ𝑥 Empleo de notación.

= lim𝑛→∞

∑ 𝑓 [1 + 𝑖 (2

𝑛)]

𝑛

𝑖=1

2

𝑛 Reemplazamos 𝑥𝑖 y Δ𝑥.

= lim𝑛→∞

∑ [1 + 𝑖 (2

𝑛)]

2𝑛

𝑖=1

2

𝑛 Efectuamos la función.

= lim𝑛→∞

2

𝑛∑ [1 +

4

𝑛𝑖 +

4

𝑛2 𝑖2]

𝑛

𝑖=1

Sale la constante de la

sumatoria y

desarrollamos el binomio.

Construimos 𝑛 rectángulos que

abarquen el área pedida. (Por la

derecha)

Determinamos el ancho de cada

rectángulo (denotado Δ𝑥) como:

Δ𝑥 =𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 − 𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟

𝑛

n: número de rectángulos.

Es decir:

Δ𝑥=3−1

𝑛, luego: Δ𝑥 =

2

𝑛

Al igual que el método anterior:

Δ𝑥 =2

𝑛

𝑥𝑖 = 1 + 𝑖 (2

𝑛)

= lim𝑛→∞

2

𝑛[∑ 1

𝑛

𝑖=1

+ ∑4

𝑛𝑖 + ∑

4

𝑛2 𝑖2

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑖=1

] Propiedad de linealidad.

= lim𝑛→∞

2

𝑛[∑ 1

𝑛

𝑖=1

+4

𝑛∑ 𝑖 +

4

𝑛2 ∑ 𝑖2

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑖=1

] Sale la constante de cada

sumatoria.

= lim𝑛→∞

2

𝑛[𝑛 +

4

𝑛(

𝑛(𝑛 + 1)

2) +

4

𝑛2 (𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)

6)]

Uso del teorema:

fórmulas de suma.

=

26

3

Simplificando y

evaluando. (Verifique).

Por tanto, el área bajo la curva es: 26

3𝑢2.

SEGUNDO MÉTODO: Por la izquierda.

Escogemos �̅�1 = 𝑥0, �̅�2 = 𝑥1, �̅�3 = 𝑥2,…, �̅�𝑖 = 𝑥𝑖−1.

De esta manera:

Á𝑟𝑒𝑎 =

lim𝑛→∞

[𝑓(𝑥1)Δ𝑥 + 𝑓(𝑥2)Δ𝑥 + 𝑓(𝑥3)Δ𝑥 + ⋯ + 𝑓(𝑥𝑛)Δ𝑥] Suma de áreas de cada rectángulo.

= lim𝑛→∞

∑ 𝑓(𝑥𝑖)

𝑛−1

𝑖=0

Δ𝑥 Empleo de notación.

⋮

Aproximación usando la regla de los trapecios

Sea f continua en [a,b]. La regla de los trapecios para aproximar ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎 viene dada por:

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑎

≈ 𝑏 − 𝑎

2𝑛[𝑓(𝑥0) + 2𝑓(𝑥1) + 2𝑓(𝑥2) + ⋯ + 2𝑓(𝑥𝑛−1) + 𝑓(𝑥𝑛)]

Los coeficientes de la regla de los trapecios siguen la secuencia: 1 2 2 2 … 2 2 1.

Ejercicio: Utilizar la regla de los trapecios para estimar ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥𝜋

0.

1. Considerando 𝑛 = 4.

2. Considerando 𝑛 = 8.

2.4. Propiedades de la Integral Definida

2.4.1. Propiedades de linealidad

Suponga que 𝑓 y 𝑔 son integrables en el intervalo [𝑎, 𝑏] y sea 𝑘𝜖ℝ, entonces:

1. ∫ [𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)]𝑏

𝑎𝑑𝑥 = ∫ [𝑓(𝑥)]𝑑𝑥 + ∫ [𝑔(𝑥)]𝑑𝑥

𝑏

𝑎

𝑏

𝑎

2. ∫ 𝑘𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =𝑏

𝑎𝑘 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑎

2.4.2. Propiedad de aditividad

Si 𝑓 es integrable en un intervalo que contiene a los puntos 𝑎, 𝑏 y 𝑐 (sin importar su orden),

entonces:

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎

= ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑐

𝑎

+ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑐

2.5. Primer Teorema Fundamental del Cálculo

Sea 𝑓 una función continua en [𝑎, 𝑏] y sea la función 𝐹 definida por:

𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑥

𝑎; ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]

Entonces, 𝐹 es una antiderivada de 𝑓 en [𝑎, 𝑏], esto es: 𝑑

𝑑𝑥𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥). Es decir:

𝑑

𝑑𝑥𝐹(𝑥) =

𝑑

𝑑𝑥∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡

𝑥

𝑎= 𝑓(𝑥)

Ejercicios: Determinar 𝑑

𝑑𝑥𝐹(𝑥) para cada una de las funciones dadas:

1. 𝐹(𝑥) = ∫𝑡3/2

√𝑡2+𝑒

𝑥

2𝑑𝑡

2. 𝐹(𝑥) = ∫ 𝑐𝑜𝑡2𝑡𝑥

𝜋𝑑𝑡

3. 𝐹(𝑥) = ∫ 𝑐𝑜𝑡2𝑡𝑥2

𝜋𝑑𝑡

El Teorema se puede generalizar de la siguiente manera:

𝑑

𝑑𝑥𝐹(𝒖(𝒙)) =

𝑑

𝑑𝑥∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡

𝒖(𝒙)

𝑎

= 𝑓(𝒖(𝒙))𝑑

𝑑𝑥𝒖(𝒙)

4. 𝑑

𝑑𝑥∫

(𝑐𝑜𝑠𝑡)2

𝐿𝑛(𝑡−√𝑡)𝑑𝑡

𝐿𝑛𝑥

𝑒

5. 𝑑

𝑑𝑥∫

777

𝑡√𝑡2−49𝑑𝑡

𝑥√𝑠𝑒𝑛𝑥

999

Función que depende de “𝒙”

Constante Función que depende de “𝒕”

2.5.1. Intercambiando los límites de integración.

(Considere una integral definida como especial).

6. 𝑑

𝑑𝑥∫ √|𝑐𝑜𝑠𝑡|𝑑𝑡

11

𝑥

2.5.2. Ambas fronteras en función de “𝒙”.

(Considere la propiedad de aditividad).

7. 𝐹(𝑥) = ∫𝑐𝑜𝑠𝑡

𝑡𝑑𝑡

𝑥2

𝑥

Ejercicio: Calcular.

𝑑

𝑑𝑥∫ 𝑥𝑡𝑑𝑡

𝑥

1

2.6. Segundo Teorema Fundamental del Cálculo

Sea 𝑓 continua en el intervalo [𝑎, 𝑏] y sea 𝐹 cualquier antiderivada de 𝑓 en el intervalo [𝑎, 𝑏], entonces:

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎

= 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)

Ejemplo: Hallar ∫ 𝑥3𝑑𝑥.2

−5

Solución:

∫ 𝑥3𝑑𝑥

2

−5

=

[𝑥4

4]

−5

2

= 𝐹(2) − 𝐹(−5)

= [((𝟐)𝟒

𝟒+ 𝑪) − (

(−𝟓)𝟒

𝟒+ 𝑪)]

= 152,25

Determinamos la antiderivada

de 𝑓, 𝐹(𝑥):

𝐹(𝑥)

=

∫ 𝑥3𝑑𝑥

= 𝑥4

4+ 𝐶

Ejercicios: Calcular:

1. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥6

−1 donde 𝑓(𝑥) = {

2𝑥 − 2; 𝑥 ≥ 4

𝑥2 − 3𝑥 − 1; 𝑥 < 4

2. ∫ |𝑥|𝑑𝑥6

−1

3. ∫2𝑥+1

𝑥2+𝑥𝑑𝑥

2

1

4. ∫1

√𝑥−1𝑑𝑥

3

2

5. lim

𝑥→0

∫ √1−𝑡2𝑥0

𝑥

Teorema: La integral definida como área de una región

Si 𝑓 es continua y no negativa en el intervalo [𝑎, 𝑏], el área de la región limitada por la gráfica

de 𝑓, el eje "𝑥" y las rectas verticales 𝑥 = 𝑎 y 𝑥 = 𝑏, viene dada por:

𝐴 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑎

Observe a continuación la representación gráfica del área cuando 𝑓 es no negativa o negativa.

Geométricamente:

Condición Valor del área bajo la curva Gráfica

𝑓(𝑥) ≥ 0, ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] 𝐴 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑎

𝑓(𝑥) ≤ 0, ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]

𝐴 = − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑎

2.6.1. Integrales definidas y área negativa

Ejercicio: Dada la función 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥. Completar la tabla siguiente:

INTERVALO GRÁFICA VALOR DE

LA INTEGRAL

VALOR

DEL ÁREA

[0,𝜋

2]

[𝜋

2,3𝜋

2]

[0,3𝜋

2]

[0, 2𝜋]

2.6.2. Propiedad de comparación

Si 𝑓 y 𝑔 son integrables en [𝑎, 𝑏] y si 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥), ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]; entonces:

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≤ ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥.

𝑏

𝑎

𝑏

𝑎

2.6.3. Propiedad de acotamiento

Si 𝑓 es integrable en [𝑎, 𝑏] y si 𝑚 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑀, ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]; entonces:

𝑚(𝑏 − 𝑎) ≤ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≤ 𝑀(𝑏 − 𝑎)

𝑏

𝑎

2.6.4. Propiedad de simetría

1. Si 𝑓 es una función PAR entonces:

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑎

−𝑎

= 2 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑎

0

2. Si 𝑓 es una función IMPAR

entonces:

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑎

−𝑎

= 0

Ejercicio: Sabiendo que ∫ 𝑥2𝑑𝑥 =8

3

2

0. Calcule las siguientes integrales:

1. ∫ 𝑥2𝑑𝑥0

−2

2. ∫ 𝑥2𝑑𝑥2

−2

Ejercicio: Calcular ∫𝑥5

𝑥2+4𝑑𝑥

5

−5

2.6.5. Propiedad de periodicidad

Si 𝑓 es periódica con período 𝑇, entonces:

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =

𝑏

𝑎

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏+𝑇

𝑎+𝑇

2.7. Integrales impropias En integración se pide que la función sea continua en el intervalo considerado y que además éste

sea finito. En este tema se pretende estudiar un cierto tipo de integrales en las cuales uno o los

dos límites de integración son el infinito o bien, cuando el integrando considera una función con

un número finito de discontinuidades en el intervalo de integración en estudio. A la integrales

de este tipo se les llama integrales impropias.

Caso 1. Sea la función 𝑓 continua en el intervalo [𝑎, ∞). Entonces el área bajo la curva, limitada

arriba por la gráfica de la curva y hacia la derecha de 𝑥 = 𝑎 de manera indefinida, se obtiene a

partir de la siguiente integral:

𝐴 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim𝑡→∞

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑡

𝑎

∞

𝑎

Si el límite existe.

La gráfica de esta función se muestra a continuación:

Caso 2. Sea la función 𝑓 continua en el intervalo (−∞, 𝑏]. Entonces, el área bajo la curva,

limitada arriba por la gráfica de la curva y hacia la izquierda de 𝑥 = 𝑏 de manera indefinida, se

obtiene a partir de la siguiente integral:

𝐴 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim𝑡→−∞

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑡

𝑏

−∞

Si el límite existe.

La gráfica de la función 𝑓 se puede representar como:

Caso 3. Sea la función 𝑓 continua en el intervalo [a, c) ∪ (c, b] . Entonces, el área bajo la curva,

limitada por los valores extremos del intervalo y considerando el punto de discontinuidad en

𝑥 = 𝑐 se obtiene a partir de las siguientes integrales:

𝐴 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏

𝑎

= ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏

𝑐

𝑐

𝑎

Es decir:

𝐴 = lim𝑝→𝑐

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑝

𝑎

lim𝑞→𝑐

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑞

Si los límites existen.

La representación gráfica de la función 𝑓 es:

Caso 4. Sea la función 𝑓 continua en el intervalo (−∞, ∞). Entonces, el área bajo la curva,

limitada por la gráfica de la curva y que se abre indefinidamente hacia la izquierda y derecha en

el eje de las abscisas, se obtiene a partir de las siguientes integrales:

𝐴 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ∞

−∞

= ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ∞

𝑐

𝑐

−∞

Es decir:

𝐴 = lim𝑝→−∞

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑐

𝑝

+ lim𝑞→∞

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑞

𝑐

Si los límites existen.

La gráfica de esta función se muestra a continuación:

En cada caso, si el límite es finito, se dice que la integral impropia es convergente y que el

valor del límite es el valor de la integral impropia. Si el límite no existe, la integral impropia es

divergente. Cuando la integral original se divide en dos integrales, ambas deben ser

convergentes para que la integral original sea convergente. Si una es divergente o las dos lo son,

la integral original es divergente.

Ejercicios:

1. Determinar si las siguientes integrales impropias convergen o divergen.

Asimismo, realizar una gráfica de ambas y analizar si existe una relación entre

ellas.

a. ∫1

(𝑥−1)2 𝑑𝑥 ∞

2 b. ∫

1

𝑥−1𝑑𝑥

∞

2

2. Asignar un área a la

región que queda

comprendida bajo la

curva 𝑦 =𝑒𝑥

2, sobre el

eje "𝑥" y a la izquierda

de 𝑥 = 2.

3. Calcular la integral

impropia ∫2

𝑥2+1

∞

−∞𝑑𝑥.

Para ello, trazar la

gráfica de la función

del integrando e

interpretar la integral

como un área.

4. Analizar la

convergencia o

divergencia de la

siguiente integral

impropia y graficar la

función del

integrando.

∫𝑑𝑥

√4𝑥−𝑥2−3

3

1.

5. Investigar la

convergencia o

divergencia de la

siguiente integral

impropia. Graficar la

función y el área que

se obtendría con el

cálculo de la integral

impropia si es que

es convergente.

∫𝑑𝑥

(4 − 𝑥)2/3

8

0

6. Determinar si la

siguiente integral

impropia converge o

diverge y graficar el

área que de ser

convergente

determinaría con su

valor:

∫𝑑𝑥

(1 − 𝑥)1/2

1

−3

7. Calcular la

siguiente integral

impropia:

∫ 𝑥𝑒−𝑥2𝑑𝑥

∞

−∞

9. Evaluar la integral

definida siguiente,

trazar el área que

considera y

resolverla:

∫1

𝑥3𝑑𝑥

2

−1

8. Evaluar la integral

impropia siguiente y

asignar si es posible

un valor al área que

la integral considera:

∫𝑑𝑥

√𝑥(𝑥 + 1)

∞

0

2.8. Teorema del valor medio para integrales

Si 𝑓 es continua en [𝑎, 𝑏], entonces existe un número 𝑐 entre a y b tal que:

𝑓(𝑐) =1

𝑏 − 𝑎∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑎

Ejercicios:

1. Verifique que el valor promedio de la función definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥2 es: 1

√𝜋 en el

intervalo [0, √𝜋]. Observe la gráfica.

2. Determine todos los valores de 𝑐 que satisfacen el teorema del valor medio para

integrales, para 𝑓(𝑥) = 𝑥2 en el intervalo [−3,3]. Haga una representación gráfica del

rectángulo cuya base es 𝑏 − 𝑎 y altura es 𝑓(𝑐).

3. Determine todos los valores de 𝑐 que satisfacen el teorema del valor medio para

integrales en el intervalo [0,2], para la función 𝑓(𝑥) =1

(𝑥+1)2. Haga una representación

gráfica del rectángulo cuya base es 𝑏 − 𝑎 y altura es 𝑓(𝑐).

El valor de la integral entre 𝑎 y 𝑏 es igual al área del rectángulo cuya base es 𝑏 − 𝑎 y su altura es

𝑓(𝑐). Esto es:

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑎

= (𝑏 − 𝑎)𝑓(𝑐)