Capitulo 8 teorema de green

CHAPTER 8 VECTOR CALCULUS

1-Teorema de Green:

Dentro de los Teoremas integrales se desarroll el Teorema de Green, el cual permiti modelar

diversas situaciones en el marco de las teoras de electricidad magnetismo y el anlisis de

fluidos.

Bajo que condiciones una curva plana C definida por una fu

cerrada?

Una curva plana C definida por una funcin vectorial es CERRADA si el punto y el punto coinciden Explique el significado de curva cerrada y simple.

Una curva CERRADA y SIMPLE es aquella que no se corta consigo misma y el punto inicial coincide con el punto final

Explique el significado de curva suave a trozo.

Una curva plana C dada por continuas en [a ,b], Similarmente, una curva C en el simultneamente nulas en (a, b). Una curva C es SUAVE A TROZOS (o por partes) si el intervalo [a, b] puede dividirse en un numero finito de sub-intervalos, en cada uno de los cuales C es suave C es suave a trozos

Complete los siguientes enunciados:

Una curva en el plano, cerrada y simple C, suave a trozo, tiene orientacin positiva si est orientada en sentido anti

Una curva en el plano cerrada y simple tiene orientacin negativa

MMMMatatatathematicshematicshematicshematics

GREENS THEOREM BY GERARDO

Teoremas Integrales



Bajo que condiciones una curva plana C definida por una funcin vectorial r(t)=(x(t),y(t))

Una curva plana C definida por una funcin vectorial es CERRADA si el punto coinciden

Explique el significado de curva cerrada y simple.

Una curva CERRADA y SIMPLE es aquella que no se corta consigo misma y el punto inicial coincide

Explique el significado de curva suave a trozo.

, es SUAVE si ,b], Similarmente, una curva C en el espacio dada por la siguiente funcin en R es SUAVE si son continuas en [a,b] y no

Una curva C es SUAVE A TROZOS (o por partes) si el intervalo [a, b] puede dividirse en un numero intervalos, en cada uno de los cuales C es suave

Complete los siguientes enunciados:

Una curva en el plano, cerrada y simple C, suave a trozo, tiene est orientada en sentido anti-horario

Una curva en el plano cerrada y simple tiene orientacin negativa

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r(t)=(x(t),y(t)) es

Una curva CERRADA y SIMPLE es aquella que no se corta consigo misma y el punto inicial coincide

son dada por la siguiente funcin en R3

son continuas en [a,b] y no

Una curva C es SUAVE A TROZOS (o por partes) si el intervalo [a, b] puede dividirse en un numero


CHAPTER 8 VECTOR CALCULUS GREENS THEOREM BY GERARDO Page 2

si est orientada en sentido anti-horario Una regin plana R es SIMPLEMENTE CONEXA si su frontera consiste en una curva cerrada simple

Indique que tipo de integrales vincula el Teorema de Green El Teorema de Green vincula una INTEGRAL DOBLE sobre una regin plana R con una INTEGRAL DE LNEA con respecto a una curva C que es una frontera de R.

Tipos de integrales, conceptos bsicos

Integral Simple Integral Doble Integral de Lnea

Integra en el intervalo [a, b] Integra una regin en el plano R

Integra sobre una curva suave a trozos C

!" # $" % # !" & #'

Enuncie el Teorema de Green (well do that three times, just for the sake of practice) Sea R una regin del plano simplemente conexa cuyo contorno es una curva C suave a trozos y orientado en sentido positivo. Si M(x, y) y N(x, y) son continuas y tienen derivadas parciales continuas en R y su frontera C, entonces !(& # )# $*+)+ , +(+ -% #

En sus apuntes o en el texto encontrar la demostracin del Teorema de Green. Lala

atentamente y trate de reproducirla justificando cada paso. Demostracin: Se har la demostracin para una regin que es vertical y horizontalmente simple



La demostracin consiste en probar que !( & # ,$+(+% # !)& # $+)+% # Como R es y simple en el grafico derecho donde es verticalmente simple

R= {(x, y) / f1(x) y f2(x), a x b}

Su frontera consta de 2 curvas C1 y C2 y al estar C1 parametrizada por x . "/ y sobre la curva y C2 parametrizada como . "0 tenemos lo siguiente

!( & # !( &1 # !( &2 # !(

"/# !( "0#

!( "/# , !(

"0# Por otra parte, por el teorema de Fubini, podemos evaluar la integral doble como una integral iterada

$+(+% # ! ! +(+3231

## !4( 53132

# !6( "0 ,( "/7

#

Por consiguiente !( & # ,$+(+% # De manera anloga, considerando a R como x simple, a C1 y C2 la consideramos parametrizada por y 8 # . 9/ y sobre la curva y C2 parametrizada como 8 # . 90

!) & # !) &1 # !) &2 # !): 9/ # !)

: 90 #

!): 9/ # , !): 90 #

Por otra parte, por el teorema de Fubini, podemos evaluar la integral doble como una integral iterada



$+)+% # ! ! +)+;2;1

: ## !4) 5;2;1

: # !+? # !@& # $+@+? # Demostraremos la primera ecuacin tomando a D como una regin tipo 1

D= {(x, y) / g1(x) y g2(x), a x b}

Donde g1 y g2 son funciones continuas. Esto nos permite calcular la integral doble en la parte derecha de la segunda ecuacin como sigue:

$+>+? # ! ! +>+A2A1

## !6> B0 , > B/7

#

Donde el ltimo paso proviene del teorema fundamental del clculo Ahora calculamos el lado izquierdo de la ecuacin 2 al dividir C como la unin de cuatro curvas C1 C2 C3 y C 4 como la figura. En C1 tomamos a x como el parmetro y escribimos la ecuacin paramtrica como x=x, e y=g2(x), a x b, entonces

!> &C # , ! > D&C # !> B0

# En C2 y C 4 (podramos usar un solo punto tambin), x es constante, entonces dx = 0 y !> &2 # E !> &F # Entonces


!> & # !> &1 !>

Comparando esta expresin con la ecuacin

Para completar la demostracin del teorema de Green para las intExpresando a D como regin tipo II

D= {(x, y) /

Donde f1 y f2 son funciones continuasEntonces

$+@+? # ! ! +@+3232

: ##

Por el Teorema fundamental del clculo, con referencia a la figuraG@& # &1Entonces

Como

!@&2 # Entonces

G@& # ! &2 # !> &C # !>&F B/ # , !> B0 #

Comparando esta expresin con la ecuacin H 6> B0 , > B/7 # vemos que!> & # ,$+>+? #

Para completar la demostracin del teorema de Green para las integrales de tipo IIExpresando a D como regin tipo II

= {(x, y) / f1(y) x f2(y), c y d}

son funciones continuas

!


!(& # !(&1 # !6(

Por otro lado

$+(+% # ! ! +(+3231

##

Por consiguiente

Para una regin tipo II

!)& # !)&J1 # !


!P& # # $? !QRS

/T

Evale H UO , VWVXKM NK YZK La regin D limitada por C es el disco luego de aplicar el teorema de GreenG[ , \]^_ & # Y` a

! !` , [bT0cT

Qu entiende por una regin simplemente conexa?

Una regin plana R es Simplemente Conexa Aplique el Teorema de Green para encontrar una expresin que me permita encontrar el rea

de una regin plana D limitada por una curva cerrada, suave C.Una aplicacin de la aplicacin inversa del teorema de green es el calculo de reas. Como el rea de D es d R#? , podramos elegir los valores de P y Q de tal forma queEntonces el Teorema de Green se reduce a



$*+@+ , +>+-# ! ! , E/DT

/T ##

0efTf/D # RS!R , 0/T # 4,Rg R , bh

aOL ijNO donde C es el crculo yx 22 +La regin D limitada por C es el disco 0 0 k, entonces cambiemos a coordenadas polares luego de aplicar el teorema de Green aP Rj# $Q ++ Y` aP Rj , ++ [? ##l m! #l0cT !

bT # [gn

Qu entiende por una regin simplemente conexa?

Simplemente Conexa si su frontera consiste en una curva cerrada simple.

Aplique el Teorema de Green para encontrar una expresin que me permita encontrar el rea

regin plana D limitada por una curva cerrada, suave C. Una aplicacin de la aplicacin inversa del teorema de green es el calculo de reas. Como el rea

, podramos elegir los valores de P y Q de tal forma que +@+ , +>+ R el Teorema de Green se reduce a

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hT/ Rg 9= .

, entonces cambiemos a coordenadas polares

, \]^_e #

curva cerrada simple.

Aplique el Teorema de Green para encontrar una expresin que me permita encontrar el rea

Una aplicacin de la aplicacin inversa del teorema de green es el calculo de reas. Como el rea



!>& # @# $*+@+ , +>+-#%!>& # @# $R#%!>& # @# !(& # )# \#\o\Bpqrs

Si elegimos a ( > , 0 ) @ 0 , se produce la siguiente integral de lnea para el rea de la regin R del plano acotada por la curva simple C, cerrada y suave a trozos, orientada positivamente: G& # ,G& # RSG& # , # Ejemplo: encontrar el rea dentro de la elipse

22 22 R Solucin: ecuaciones parametricas de la elipse x=a cos t e y=b sen t, donde E Sn

RS!& # , # RS! tuv tuv 0cT # , vwx , vwx # S ! #

0cT n

Aplique el Teorema de Green para demostrar el siguiente Teorema:

Teorema: Sea F= Mi + Nj un campo vectorial sobre una regin D abierta y simplemente

conexa. Supongamos que M y N tienen derivadas continuas de primer orden y yzyO y{yK en toda la regin D. Entonces F es conservativo. Un campo vectorial es conservativo si

yzyO y{yK por lo que podemos observar en el Teorema de Green que: !(& # )# $*+)+ , +(+ -% # !|& # !(& # )# !|& # $*+)+ , +(+ -% # +)+ , +(+ E !|& # E . |\}8qr}\~p~q Exprese la forma vectorial del Teorema de Green e indique que expresan dichas formas. Formas vectoriales del Teorema de Green

-I- !|& # $*+)+ , +(+ -% # $q| % # La primera forma vectorial del teorema de Green relaciona a la integral de lnea a lo largo de C (donde C es la frontera de la regin R) con la integral doble, sobre la regin R mediante el rotacional del campo de vectores | La generalizacin de esta forma del teorema de Green a tres dimensiones constituye el teorema de Stokes.

-II- !|& )#' $*+)+ , +(+ -% # $#p~|% #


La segunda forma vectorial del Teorema de Green relaciona a la integral de lnea a lo largcon la integral doble sobre la regin R mediante la divergencia del campo de vectores generalizacin de esta forma vectorial del teorema de Green, constituye el Teorema de la Divergencia o Teorema de Gauss

-Superficies Paramtricas:

Qu es una superficie paramtrica S?

Sean X, Y, Z funciones de u y v continuas en un dominio D del plano Paramtrica al conjunto de los puntos (x, y, z) dados por: ~ Cmo est determinada la ecuacin paramtricaSi S es una superficie paramtrica determinada por la funcin vectorial r, conforme el punto (u, v) se mueve por el dominio D, el vector posicin r(u, v) traza la superficie S (un vector que con la punta barre una determinada superficie punto por punto, como una boleadora mas o menos) A qu ecuaciones se les llama ecuaciones paramtricas de la superficie S?

Se llama Ecuaciones Parametricas de la Superficie S a las ecuaciones: Identifique y trace la superficie la superficie paramtrica

dada por

r(u,v)= 2 cos ui + vj + 2 sen k. 4 S tuv S vx 0

Encuentre las representaciones paramtrica de las siguientes superficies:

Un plano que pasa por el punto Po>T ~ R

Una esfera de radio a y centro en el origenal pasar a coordenadas esfricas vwx l

La mitad superior del cono 2 4z =



La segunda forma vectorial del Teorema de Green relaciona a la integral de lnea a lo largcon la integral doble sobre la regin R mediante la divergencia del campo de vectores generalizacin de esta forma vectorial del teorema de Green, constituye el Teorema de la

es una superficie paramtrica S?

continuas en un dominio D del plano V. Se llama Superficie Paramtrica al conjunto de los puntos (x, y, z) dados por: ~ ~ ~ ~

cin paramtrica de la superficie S? Si S es una superficie paramtrica determinada por la funcin vectorial r, conforme el punto (u, v) se mueve por el dominio D, el vector posicin r(u, v) traza la superficie S (un vector que con la punta

minada superficie punto por punto, como una boleadora mas o menos)

A qu ecuaciones se les llama ecuaciones paramtricas de la superficie S?

Se llama Ecuaciones Parametricas de la Superficie S a las ecuaciones: ~ ~ ~ Identifique y trace la superficie la superficie paramtrica

0 S0

Encuentre las representaciones paramtrica de las siguientes superficies:

Po y contiene a los vectores no paralelos a y b. RRR S ,Rm E[ S R , [~ R m ~ Una esfera de radio a y centro en el origen K O

tuv l vwx vx l tuv vx tuv l p vwx vx l tuv 22 y4x4 +

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La segunda forma vectorial del Teorema de Green relaciona a la integral de lnea a lo largo de C con la integral doble sobre la regin R mediante la divergencia del campo de vectores | La generalizacin de esta forma vectorial del teorema de Green, constituye el Teorema de la

V. Se llama Superficie

Si S es una superficie paramtrica determinada por la funcin vectorial r, conforme el punto (u, v) se mueve por el dominio D, el vector posicin r(u, v) traza la superficie S (un vector que con la punta

minada superficie punto por punto, como una boleadora mas o menos)


Si consideramos a x e y como parmetros tenemosComo coordenadas polares tuv

Obtenga el vector normal a una superficie paramtrica suave S.Sea S una superficie paramtrica suave definida por ~Sobre una regin D en el plano uv. Sea Un vector normal a S en el punto T T Viene dado por

) Obtenga la ecuacin del plano tangente a una superficie paramtrica S.

Sea S una superficie paramtrica suave definida por ~ Sea )T ~T el vector normal a la superficie T T Y ) ~ est definido por

) ~ p ++ ++ ++++~ ++~ ++~

* Al evaluar )T ~T podemos establecer la Ecuacin del Plano Tangente de la superficie S como:



Si consideramos a x e y como parmetros tenemos Sa0 0 p Sa0 0 l vx l Sa0 0 S l tuv l p vx l S

Obtenga el vector normal a una superficie paramtrica suave S. Sea S una superficie paramtrica suave definida por ~ ~p ~ ~ Sobre una regin D en el plano uv. Sea T ~T un punto en D

T T ~T T ~T T ~T T ~T T ~T

p ++ ++ ++++~ ++~ ++~

la ecuacin del plano tangente a una superficie paramtrica S.

Sea S una superficie paramtrica suave definida por ~ ~p ~ ~ la superficie S en el punto T T T con: T T ~T T ~T T ~T

*++ ++~ , ++ ++~- , *++ ++~ , ++ ++~- *++podemos establecer la Ecuacin del Plano Tangente de la superficie S como:

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*++ ++~ , ++ ++~- podemos establecer la Ecuacin del Plano Tangente de la superficie S como:



*++ ++~ , ++ ++~- , T , *++ ++~ , ++ ++~- , T *++ ++~ , ++ ++~- , T

Otra forma de definir al plano es con la definicin de plano tangente que esta dado por , T , T , T X

Al evaluar )T ~T para (x, y, z), si ) r/ r0 rb r/p r0 rb; quedando la formula: r/ , Tp r0 , T rb , T Calcule el rea de una superficie paramtrica suave S. Sea S una superficie paramtrica suave ~ ~ ~ ~ Definida sobre una regin abierta D del plano uv. Si cada punto de la superficie S corresponde exactamente a un punto del dominio D, se define al rea de la superficie como: '\#\o}\"p8p\ $# ' $ ? # Donde ++ ++ ++ ++~ ++~ ++~ Calcule el rea de una superficie esfrica S de radio a. ~ vwx tuv ~ vwx vwx ~ tuv ~ tuv tuv ~ tuv vwx ~ , vwx ~ , vwx vwx ~ vwx tuv ~

tuv tuv ~ tuv vwx ~ , vwx , vwx vwx ~ vwx tuv ~ E 0}\r08q}~ 0}\r0}\r~ 0}\r08q}~ a0}\r08q}0 0}\r0}\r~0 0}\r08q}~0 aP}\rP }\r08q}0 aP}\r0 0 vwx }\r E E n $ ? # ! !0

cT vwx ##~ 0! S

0cT # mn0

0cT

Calcule el rea de una superficie generada por la ecuacin z=f(x,y)

Para una superficie S dada por " podemos parametrizar esa superficie tomando la funcin vectorial " Definida sobre la regin R del plano xy de



+" + +" + " "

R E "E R " ," , " Entonces "0 "0 R Esto implica que el rea de la superficie S es ' $ R "0 "0?

## Ejemplo Calcule el rea de la parte del paraboloide 0 0 que est debajo del plano k Solucin: El plano corta al paraboloide en el crculo 0 0 k por lo que la superficie dada esta encima del disco D con centro en el origen y con radio 3

$R *++-0 *++-0? # $aR S0 S0? # $aR m0 0? # Al convertir a coordenadas polares, obtenemos

! !aR m0bT0cT ##l ! !aR m0

bT

0cT ##l ! 4

R m0b0RS 0cT T

b #l ! [`b0RS , RRS

0cT #l [`

b0 , RRS ! #l0cT [`

b0 , RRS Sn

Integrales de superficie:

Defina integral de superficie de una funcin escalar f sobre una superficie S Definicin: Integral de una funcin escalar sobre una superficie. si " es una funcin continua con valores reales definida en una superficie parametrizada S, definimos la integral de f sobre S como $" #' $" #' $" ~? # Si la superficie S es una grfica de una funcin g de dos variables Cmo puede expresarse, en

este caso, la integral sobre S de la funcin F(x, y, z)? Sean S una superficie de ecuacin z=g(x, y) y D su proyeccin en el plano XY. Si g, gx y gy son continuas en D y f es continua en S, la integral de superficie de f sobre S es $" #' $" BB0 B0 R?



Suponga que la superficie S est definida por la funcin r(u,v), con (u,v) en D, Cmo puede

expresarse la integral de superficie de la funcin f(x,y,z)? Qu condiciones debe cumplir r y sus

derivadas?.Justifique. Se puede mostrar que para una superficie S dada por la funcin vectorial ~ ~ ~ ~ Definida sobre una regin D en el plano uv, la integral de superficie de f(x, y, z) sobre S esta dada por: $" #' $" ~ ~ ~? ~ ~# Justificacin Obsrvese la analoga con una integral de lnea sobre una curva C en el espacio

!" & #' !""

# Evale d O N donde S es la superficie 2y0 ,1x0 ,yxz 2 += $ #' ' 0 E R E S ' B 0 B R B S S m0 # # # #

$ #' $R *+B+-0 *+B+-0? ## $aR R0 S0? ##

!!S m0/00T/T ## R!!S m0

/00T/T ## R! 4S m

0b0[S T0/

T RRS! Q*S mS0b0- , *S mE0b0-e #

/T

RRS! Q*Rb0- , *Sb0-e #/T RRS Q*Rb0- , *Sb0-e



tuv tuv l tuv vwx l , vwx, vwx vwx l vwx tuv l E 0}\r08q}l 0}\r0}\rl 0}\r08q}l a0}\r08q}l0 0}\r0}\rl0 0}\r08q}l0

P }\rP }\r0 8q}0/ }\r0l 8q}0l/ aP}\r0 0 vwx Como R 0 vwx vwx vwx tuv l tuv0 l RS R tuv Sl vx0 R , tuv0 Entonces $0 #' $" l? # $vwx tuv l0? vwx ##l

! ! }\r0 8q}0l vwx cT0cT ##l ! 8q}0l

0cT #l! }\rb

cT #

! RS R , tuv Sl0cT #l !R , tuv0 }\r

cT # RS


Indique cul es la orientacin positiva en una superficie cerrada S Cul es la orientacin

negativa?

En una superficie cerrada S, la orientacin positiva es hacia arriba de la superficie, mientras que la orientacin negativa es hacia abajo, por ejemplo enhacia afuera de la superficie y la negativa la que apunta al centro de la misma. Defina integral de superficie de una campo vectorial

vector normal N. Describa una int

cumplir el campo?

Sea | ( ) >, , orientada por un vector normal unitario r\Bo#\Fsicamente es la cantidad de flujo que atraviesa la superficie S por unidad de tiempoSi | es la densidad del fluido en (x, y, z), la integral de flujoRepresenta la masa del fluido que fluye a travs de S por unidad de tiempoCondicin del campo M, N y P tienen derivadas parciales continuas sobre la superficie S Si la superficie S es una grfica de una funcin g de dos variables (x,y), con (x,y) en D. Cmo

puede calcularse en este caso la integral de superficie del campo vectorial

Sea S una superficie orientada de ecuacin integral de superficie del campo vectorial $|)#' $|% 6,B$| )#' $|% 6B




En una superficie cerrada S, la orientacin positiva es hacia arriba de la superficie, mientras que la orientacin negativa es hacia abajo, por ejemplo en una esfera, la orientacin positiva es normal

y la negativa la que apunta al centro de la misma.

Defina integral de superficie de una campo vectorial F, sobre una superficie orientada S, con

. Describa una interpretacin fsica de sta integral. Qu condiciones debe

, , orientada por un vector normal unitario ), se define a#\|oq#\|~\}#\' $|)#' es la cantidad de flujo que atraviesa la superficie S por unidad de tiempoes la densidad del fluido en (x, y, z), la integral de flujo $| )#'

Representa la masa del fluido que fluye a travs de S por unidad de tiempo campo M, N y P tienen derivadas parciales continuas sobre la superficie S

Si la superficie S es una grfica de una funcin g de dos variables (x,y), con (x,y) en D. Cmo

puede calcularse en este caso la integral de superficie del campo vectorial F. Just

Sea S una superficie orientada de ecuacin B y sea R su proyeccin sobre el plano XY, la integral de superficie del campo vectorial | es:

, B 7#VXN B , 7#VXN

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En una superficie cerrada S, la orientacin positiva es hacia arriba de la superficie, mientras que la una esfera, la orientacin positiva es normal

, sobre una superficie orientada S, con

erpretacin fsica de sta integral. Qu condiciones debe

, se define a

es la cantidad de flujo que atraviesa la superficie S por unidad de tiempo

campo M, N y P tienen derivadas parciales continuas sobre la superficie S

Si la superficie S es una grfica de una funcin g de dos variables (x,y), con (x,y) en D. Cmo

. Justifique

y sea R su proyeccin sobre el plano XY, la


Evale d N donde F(x,y,z)= y 22 y-x-1z = y el plano 0z = .

S consiste en la superficie parablica superior Ssuperficie circular inferior S2. Puesto que S es una superficie cerrada, utilizaremos la convencin de la orientacin positiva (hacia afuera), S1 est orientada entonces hacia afuera, ello implica que podremos usar la siguiente ecuacin: $|)#' $|? 6,B Donde D es la proyeccin de S1 sobre el plano XYresultado el disco 0 0 R > En S1 +B+Tenemos entonces $| #' $*,> +B+ , @ +B+ s?1

$R m , 0? ! !,b mb/T

0cT

Como el disco esta orientado hacia abajo, entonces su vector unidad normal es $| #'2 $2

Como z=0 en S2. Finalmente, calculamos por definicin, superficie sobre las regiones S1 y S2 $| #' Si la superficie S es una superficie definida por

este caso la integral de superficie del campo vectorial

Para una superficie orientada S definida ~ Definida sobre una regin D del plano uv, se puede definir la integral de flujo de como:



(x,y,z)= y i + x j + z k y S es la regin slida limitada por el paraboloide

S consiste en la superficie parablica superior S1 y en la . Puesto que S es una superficie

cerrada, utilizaremos la convencin de la orientacin positiva orientada entonces hacia afuera, ello

ica que podremos usar la siguiente ecuacin:

, B 7# sobre el plano XY dando como

@ s R , 0 , 0 +B+ ,S +B+ ,S s-# $



$|)#' $| # ? $| #? Halle el flujo del campo vectorial F(x,y,z)= z i + y j + x k a travs de la esfera unitaria

1zyx 222 =++ Solucin: Usando la representacin paramtrica l vwx tuv l vwx vwx l tuv E n E l Sn Tenemos | l tuv vwx vwx l vwx tuv l Tambin tenemos que calcular l vwx tuv l vwx vwx l tuv l tuv tuv l tuv vwx l , vwx l ,vwx vwx l vwx tuv l

tuv tuv l tuv vwx l , vwx, vwx vwx l vwx tuv l E }\r08q}l }\r0}\rl }\r08q}

Entonces | l tuv }\r08q}l vwxb vwx0 l vwx0 tuv l 8q} Como la integral de Superficie de | sobre S $|)#' $| # ? $| #? Entonces

$| #' $| #? ! !S vx0 tuv tuv l vxb vx0 lcT

0cT ##l

S! vx0 tuvcT #! tuv l0cT #lT

! vxb cT #! vx0 l0cT #l

E ! vxb cT #! vx0 l0cT #l !vx , vx tuv0 #

cT ! R, tuv0 l

0cT #l Q, tuv R[ tuvb eTc Ql R[ tuvb leT0c m[n

tuv0 l RS R tuv Sl #\rp##\}pBqrq\p8} vx0 R , tuv0


El ejemplo 5 pag. 1115 (Larson) muestra una aplicacin de la integral de superficie para el

clculo del flujo de masa. Lea el ejemplo y verifique los clculos.Sea S la porcin del paraboloide B Que se encuentra sobre el plano XY unitario normal dirigido hacia arriba. Un flujo de densidad constante fluye a travs de la superficie S de acuerdo con el campo vectorial | Hallar la masa o ritmo de flujo de masa a travs de S. Solucin: Se empieza por calcular las derivadas parciales de g. B ,S La tasa o ritmo de flujo de masa a travs de la superficie S es $| )#' $|% 6, $6% $


El teorema de Stokes relaciona la integral de lnea de la componente tangencial de de superficie de la intensidad de circulacin por unidad de rea en la direccin contraria a la del reloj. Puede tambin considerarse como una versin superGreen, cuando Green relaciona una doble integral sobre un plano a una integral de lnea alrededor del plano de frontera de dicha curva, Stokes relaciona una superficie integral sobre una superficie S a una integral de lnea alrededor de los limites de la curva de S en el espacio. Exprese en lenguaje simblico la tesis del Teorema de Stokes!| # &

Demuestre el teorema de Stokes para el caso particular que

S es una grfica y F, S y C son suaves.!| # $q|& )#'La ecuacin de S es B derivadas parciales de segundo orden continuas y D es una regin plana simple cuya frontera Corientacin de S es hacia arriba, entonces la orientacin positivan de C corresponde a la orientacin positiva de CSi | ( ) > donde las derivadas parciales de M, N y P son continuas $q| #' $Q,?Donde las derivadas parciales de M, N y P son evaluadas en (x, y, g(x, y)). Entonces si Es una representacin paramtrica de C Esto nos permite, basados en la regla de la cadena a evaluar la integral de lnea como sigue:

!| #& !*( ## ) ## > ##

! Q*( > ++- ##

$Q ++ *) > ++?

Luego, usando la regla de la cadena nuevamente y recordandoy y z y que z en si es funcin de x e y, tenemos



teorema de Stokes relaciona la integral de lnea de la componente tangencial de de superficie de la intensidad de circulacin por unidad de rea en la direccin contraria a la del

considerarse como una versin superior dimensionalmente al teorema de Green, cuando Green relaciona una doble integral sobre un plano a una integral de lnea alrededor del plano de frontera de dicha curva, Stokes relaciona una superficie integral sobre una superficie S

ea alrededor de los limites de la curva de S en el espacio.

Exprese en lenguaje simblico la tesis del Teorema de Stokes $q| )#' $q| # Demuestre el teorema de Stokes para el caso particular que

son suaves. #' $q| # y g tiene derivadas parciales de segundo orden continuas y D es una regin plana simple cuya frontera C1 corresponde a C. Si la orientacin de S es hacia arriba, entonces la orientacin positivan de C corresponde a la orientacin positiva de C1.

donde las derivadas parciales de M, N y

Q, *+>+ , +)+ - ++ , *+(+ , +>+- ++ *+)+ , +(+Donde las derivadas parciales de M, N y P son evaluadas en (x, y, g(x, y)). Entonces si Es una representacin paramtrica de C1, entonces la representacin paramtrica d B Esto nos permite, basados en la regla de la cadena a evaluar la integral de lnea como sigue:##- # ! Q( ## ) ## > *++ ## ++ ##

- ## *) > ++- ##e # !*( > ++- # &1++- , ++ *( > ++-e #>q\o\q\#\Luego, usando la regla de la cadena nuevamente y recordando que tanto M, N y P son funciones de x, y y z y que z en si es funcin de x e y, tenemos

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teorema de Stokes relaciona la integral de lnea de la componente tangencial de | con la integral de superficie de la intensidad de circulacin por unidad de rea en la direccin contraria a la del

ior dimensionalmente al teorema de Green, cuando Green relaciona una doble integral sobre un plano a una integral de lnea alrededor del plano de frontera de dicha curva, Stokes relaciona una superficie integral sobre una superficie S

+(+ -e # Donde las derivadas parciales de M, N y P son evaluadas en (x, y, g(x, y)). Entonces si

, entonces la representacin paramtrica de C es

Esto nos permite, basados en la regla de la cadena a evaluar la integral de lnea como sigue: ##-e # *) > ++- ##\\\r

que tanto M, N y P son funciones de x,


!|& # $+)+?, +(+

!|& # $Q*+)+ ? !|& # $*+)+? !|& # $,*+>+? $q | #' $,? !| # $q|&

En algunos casos el clculo de una integral de superficie resulta ms sencillo que el clculo de

una integral de lnea y en otros puede resultar ms fcil calcular la integral de lnea sobre una

curva C, frontera de una superficie S y en estos casos el teo

contrario. Analice los ejemplos 1 y2

Sea C el triangulo orientado situado en el plano

EvaluarH |& # donde | Solucin Usando el teorema de Stokes, se empieza por hallar el rotacional de

q| ++ ++,0

Considerando g , S , S Bevaluacin de la integral de flujo para un vector normal dirigido hacia arriba para obtener



+)+ +)+ ++ +>+ ++ +>+ ++ ++ > +0++

+(+ +(+ ++ +>+ ++ +>+ ++ ++

> +0++

* +)+ ++ +>+ ++- , *+(+ +(+ ++ +>+ ++-e*+)+ , +>+- ++ *+>+ , +(+ - ++ *+)+ , +(+ - *+>+ , +)+- ++ , *+(+ , +>+- ++ *+)+ , +(+ - *+>+ , +)+- ++ , *+(+ , +>+- ++ *+)+ , +(+ -

| #' $q| #\q\#\'q\}En algunos casos el clculo de una integral de superficie resulta ms sencillo que el clculo de


curva C, frontera de una superficie S y en estos casos el teorema de Stokes se emplea en sentido

contrario. Analice los ejemplos 1 y2 pg. 434 y 435 (Larson)

Sea C el triangulo orientado situado en el plano S S g . ,0 empieza por hallar el rotacional de | ++

, , S B , se puede usar la

evaluacin de la integral de flujo para un vector normal dirigido hacia

Page 20

# -e # # - # - #

'q\} En algunos casos el clculo de una integral de superficie resulta ms sencillo que el clculo de


rema de Stokes se emplea en sentido


!|& # $q| )#' $, ,% !,S0bT

Tambin se puede evaluar directamente, sin usar el teorema de Stokes. Una manera de hacerlo es considerar a C como la unin de C1, C / 0 0b b El valor de la integral de lnea es !|& # ! |&1 /#

! 0bT #

Verificar el teorema de Stokes con |paraboloide m , 0 , 0 y C es la traza del plano XYSolucin Como integral de superficie se tiene que

q| ++ ++ ++S 0

Para un vector normal dirigido hacia arriba N se obtiene



' $, , S 6,B , B % S 6S S 7 # ! ! S , mbDT

bT ##

RE , RS# ,Sb[ 0 , RSTb ,

Tambin se puede evaluar directamente, sin usar el teorema de Stokes. Una manera de hacerlo es , C2 y C3, como sigue

/ [ , E [ g , S , g [ g , g R , S g k

! |&2 0# ! |&C b# !,S gb # !,S RS

# k , k ,

| S 0, donde S es la superficie del y C es la traza del plano XY

Como integral de superficie se tiene que B m , 0 , 0 y S S S

Para un vector normal dirigido hacia arriba N se obtiene

Page 21

7 # ##,k

Tambin se puede evaluar directamente, sin usar el teorema de Stokes. Una manera de hacerlo es

, k ,k , donde S es la superficie del


$q| )#' $S S % !# ! mtuv0 #0cT

Si C representa una curva cerrada y

de F alrededor de C.

Es la interpretacin fsica del rotacional: el teorema de Stokes proporcionainterpretacin fsica del rotacional. En un campo vectorial radio , centrado en (x, y, z) y con frontera componente Normal |) y un componente tangencial largo del circulo en lugar de a travs de alrededor de mide la }#\8pcir ! | M #}



S S S # ! ! m aPD2DaPD2

0D0

R=DaPD2aPD2 # !Sm Ram , 00D0 #Sam , 0 # Q[ Yam , 0jb0 am , 0

Como integral de lnea, se puede parametrizar C como

S tuv S vx E E Sn , se obtiene ># !S#& # 0# !


Emplee el teorema de Stokes para explicar el significado

velocidades.

Para ello usaremos un Punto >T y centro en >T. Entonces el rotacional de F(P)que el rotacional de F es continuo. Por ello, segn el teorema de Stokes, podemos tenaproximacin a la circulacin alrededor del circulo ! ~& # $q~ #' $qLa exactitud de la aproximacin aumenta al q~Esta ecuacin nos muestra que q~del eje r el efecto rotacional es mayor en los ejes paralelos al rotacional El teorema de Stokes tambin sirve para probar que si el rot F= 0 en todo R

conservativo, como sabemos que H |&superficie orientable S cuyo borde es C, el teorema de Stokes establece que !|& #Con ello concluimos que H |& # Teorema de la Divergencia (Gauss)

Qu entiende por regiones slidas simples en RLas regiones solidas simples en R3 son aquellas regiones cuyo borde es una superfiello, regiones limitados por elipsoides o cajas rectangulares son regiones solidas simples) Indique que tipo de integrales vincula el teorema de la divergencia

El teorema de la divergencia relaciona una integral triple sobre una reginde superficie sobre la superficie de Q Bajo qu hiptesis es posible aplicar el teorema de la divergencia?El teorema de la divergencia es aplicable en una superficie cerrada S orientada con vectores normales unitarios que apuntan hacia el exterior de la regin solida Qregin solida sobre la cual se evala una integral triple. Tambin F es un campo vectorial cuyas funciones componentes tienen derivadas parciales continuas en Q Explique en leguaje coloquial el significado de la tesis del teorema de la divergenciaEl nombre de divergencia puede entenderse en el contexto del flujo de un fluido. Si F(x, y, z) es la velocidad de un fluido liquido (o gaseoso), entonces la divergencia de F(x, y, z) representa el ritmo de cambio neto (con respecto al tiempo) de la masa de fluido (liquido o gaseoso) fluyendo desde el punto (x, y, z) por unidad de volumen. En otras palabras, la divergencia de F(x, y, z) mide la tendencia del flujo a divertir (expandirse, contraerse circularmente) desde el punto (x, y, z). Si div F=0 entonces F es



Emplee el teorema de Stokes para explicar el significado del rotacional de un campo de

T T T un punto en el fluido y ' un disco pequeo con radio . Entonces el rotacional de F(P)(rot F)(>T) para todos los puntos P en

que el rotacional de F es continuo. Por ello, segn el teorema de Stokes, podemos tenaproximacin a la circulacin alrededor del circulo q~ r#' $q~>T r>T#' q~La exactitud de la aproximacin aumenta al n . E aplicando ello tenemos >T r>T .T Rn0! ~& # ~ r es una medida de el efecto rotacional del fluido alrededor

el efecto rotacional es mayor en los ejes paralelos al rotacional ~ sirve para probar que si el rot F= 0 en todo R3, entonces F es H | # E para todo curva o camino cerrado C. Entonces en una

superficie orientable S cuyo borde es C, el teorema de Stokes establece que

# $q| #' $E #' E E para cualquier curva cerrada C. Teorema de la Divergencia (Gauss)

Qu entiende por regiones slidas simples en R3?

son aquellas regiones cuyo borde es una superfiello, regiones limitados por elipsoides o cajas rectangulares son regiones solidas simples)

Indique que tipo de integrales vincula el teorema de la divergencia

El teorema de la divergencia relaciona una integral triple sobre una regin solida Q con una integral de superficie sobre la superficie de Q

hiptesis es posible aplicar el teorema de la divergencia? El teorema de la divergencia es aplicable en una superficie cerrada S orientada con vectores

untan hacia el exterior de la regin solida Q. Se supone que Q es una regin solida sobre la cual se evala una integral triple. Tambin F es un campo vectorial cuyas funciones componentes tienen derivadas parciales continuas en Q

Explique en leguaje coloquial el significado de la tesis del teorema de la divergenciaEl nombre de divergencia puede entenderse en el contexto del flujo de un fluido. Si F(x, y, z) es la velocidad de un fluido liquido (o

ia de F(x, y, z) representa el ritmo de cambio neto (con respecto al tiempo) de la masa de fluido (liquido o gaseoso) fluyendo desde el punto (x, y, z) por unidad de volumen. En otras palabras, la divergencia de F(x, y, z) mide la

vertir (expandirse, contraerse circularmente) desde el punto (x, y, z). Si div F=0 entonces F es

Page 23

del rotacional de un campo de

un disco pequeo con radio ) para todos los puntos P en ' puesto

que el rotacional de F es continuo. Por ello, segn el teorema de Stokes, podemos tener la siguiente

>T r>Tn0

es una medida de el efecto rotacional del fluido alrededor

, entonces F es

para todo curva o camino cerrado C. Entonces en una

son aquellas regiones cuyo borde es una superficie cerrada S (por ello, regiones limitados por elipsoides o cajas rectangulares son regiones solidas simples)

solida Q con una integral

El teorema de la divergencia es aplicable en una superficie cerrada S orientada con vectores . Se supone que Q es una

regin solida sobre la cual se evala una integral triple. Tambin F es un campo vectorial cuyas

Explique en leguaje coloquial el significado de la tesis del teorema de la divergencia



incompresible. Exprese en lenguaje simblico la tesis del teorema de la divergencia. Partimos de una forma alternativa del teorema de Green como sigue !|& )#' $*+(+ +)+-% # $p~|% # Entonces !|& )#' p~| #

Demuestre el teorema de la divergencia y justifique cada paso. Note que el mtodo de

demostracin es muy semejante al aplicado en la demostracin del teorema de Green.

Teorema de la divergencia Sea Q una regin slida acotada por una superficie cerrada S, orientada por vectores normales

unitarios dirigidos hacia el exterior de Q. Si F es un campo vectorial cuyas funciones componentes

tienen derivadas parciales continuas en Q, entonces

dVdSNFS

Q

F div =

Demostracin: Escribiendo ( ) PkNjMizyxF ++=,, , el teorema afirma que

( ) dVz

P

y

N

x

MdSPNMdSNF

QS

+

+

=++= NkNjNi

Puede demostrarse esta igualdad verificando que las tres ecuaciones siguientes son ciertas

dVx

MdSMi

QS

= N

dVy

NdSNj

QS

= N

dVz

PdSPk

QS

= N

Como las tres comprobaciones son similares, vamos a

detallar solamente la tercera. Restringimos la

demostracin a una regin slida simple con superficie

superior

( )yxgz ,2= Superficie superior Y superficie inferior

( )yxgz ,1= Superficie inferior Cuyas proyecciones sobre el plano xy coinciden y

constituyen la regin R. si Q tiene una superficie lateral

S3, como la de la figura, en ella un vector normal es

horizontal, de manera que PkN=0. por consiguiente,

++=21

0SSS

NdSPkNdSPkNdSPk

En la superficie superior S2, los vectores normales

dirigidos hacia el exterior apuntan hacia arriba, mientras que en la superficie inferior S1 apuntan hacia

abajo. Entonces



( )( ) ( )( )dAyxgyxPdAkjy

gi

x

gkyxgyxPNdSPk

RS R,,,,,, 1

111

1 =

=

( )( ) ( )( )dAyxgyxPdAkjy

gi

x

gkyxgyxPNdSPk

RS R,,,,,, 2

222

2 =

=

Sumando estos resultados llegamos a la conclusin de que

( )( ) ( )( )[ ]dAyxgyxPyxgyxPNdSPkRS = ,,,,,, 12

( )

( )

=

=Q

R

yxg

yxgSdV

z

PdAdz

z

PNdSPk

,

,

2

1

Teorema de la divergencia II Sea E una regin solida simple S el borde de la superficie de E, en una orientacin positiva (hacia afuera). Sea | el campo vectorial cuyas funciones componentes tienen derivadas parciales continuas sobre una regin abierta que contiene a E. Entonces $| #' #p~ |# Lo que el teorema de la divergencia establece, es que, bajo ciertas condiciones, el flujo de | a travs del borde de la superficie de E es igual a la triple integral de la divergencia de | sobre E Demostracin: Sea | > @ s Entonces #p~ |# +>+ # +@+ # +s+ # Si r es el normal unitario hacia afuera de S, entonces la integral de superficie sobre la izquierda del teorema de la divergencia es $| #' $| r #' $> @ s r #' $> r #' $@ r #' $s r #' Por consiguiente, para probar el teorema de la Divergencia, es suficiente probar las tres ecuaciones siguientes: $> r #' +>+ #$@ r #' +@+ #$s r #' +s+ #

Usaremos el hecho de que E es una regin tipo I 5 / 0 Donde D es la proyeccin de E sobre el plano XY. Luego


+s+ Luego, por el teorema fundamental del calculo+s+ # Los bordes la superficie S consiste en tres piezas, la del fondo S1, el superior S2 y el intermedio S3 que suele estar o no (depende de la geometra del cuerpo). Se notara que en el caso de S3 tenemos que r E, esto es porque y r horizontal, entonces $s rC #' $CPor ello, sin importar que haya o no una superficie vertical, podemos escribir que $s r #' $s r1 #' En la ecuacin de S2 es 0 entonces al reemplazar F por Rk, tenemos$s2Sobre S1 tenemos / abajo, por lo que debemos multiplicar por $s1Entonces $s r #' Luego

Las otras ecuaciones con S2 y S3 se pueden demostrar de igual manera usando las expresiones como regiones tipo II y tipo III, respectivamente Encuentre el flujo del campo vectorial

1zyx 222 =++ . D una interpretacin al resultado obtenido.Solucin Primero calculamos la divergencia de #p~|La esfera unidad S es el borde del una bola B unitaria dada por



# $ ! +s+21

# #? Luego, por el teorema fundamental del calculo $6s 0 , s / 7#? Los bordes la superficie S consiste en tres piezas, la del fondo

que suele estar o no (depende de la geometra del cuerpo). Se notara que en el

, esto es porque es vertical $E#' E

Por ello, sin importar que haya o no una superficie vertical,

#' $s r2 #' , y los puntos exteriores apuntando hacia arriba, entonces al reemplazar F por Rk, tenemos s r #' $s 0 #? pero aqu los puntos normales exteriores n, apuntan hacia

bemos multiplicar por -1 r #' ,$s / #? $6s 0 , s / 7#? $s r #' +s+ #

se pueden demostrar de igual manera usando las expresiones como regiones tipo II y tipo III, respectivamente

flujo del campo vectorial F(x,y,z)= z i + y j + x k a travs de la esfera unitaria

. D una interpretacin al resultado obtenido.

Primero calculamos la divergencia de | | ++ ++ ++ R La esfera unidad S es el borde del una bola B unitaria dada por 0 0 0 R

Page 26

7

, y los puntos exteriores apuntando hacia arriba,

pero aqu los puntos normales exteriores n, apuntan hacia

7

se pueden demostrar de igual manera usando las expresiones para E

a travs de la esfera unitaria



Entonces el teorema de la divergencia nos da el flujo como $| #' #p~ |# R # m[nRb m[n Analice los ejemplos 1, 2 y 3 del texto (Larson) pag. 428 y 429.

Ejemplo 1: Aplicacin del teorema de la divergencia

Sea Q la regin slida acotada por los planos de coordenadas y por el plano 622 =++ zyx , y sea

zkjyxiF ++= 2 . Calcular

dS NFS

Donde S es la superficie de Q.

Solucin: En la figura vemos que Q esta acotada por cuatro porciones de

superficie. En consecuencia, serian necesarias cuatro integrales de

superficie para calcular

dS NFS

Sin embargo, el teorema de la divergencia permite llegar al resultado con

solo una integral triple. Como

yyz

M

y

M

x

M22121F div +=++=

+

+

=

Tenemos

=Q

dVdS F div NFS

( ) dydxdzydSy yx

22 NF3

0

3

0

226

0S

+=

( )] dydxyzzdS y yx 22 NF 30

3

0

226

0S

+=

( ) dydxxyyxxyxxdS y 428212 NF 30

3

0

222

S

+=

[ ] dyxyyxxyxxdS y 428212 NF 30

3

0

222

S

+=

( )dyyyydS 210618 NF 30

32

S ++=

2

63

23

10318 NF

3

0

432

S=

++= yy

yydS

Ejemplo 2: Verificacin del teorema de la divergencia

Sea Q la regin slida entre el paraboloide 22

4 yxz = Y el plano xy. Verificar el teorema de la divergencia para

( ) kyxjzizyxF 22,, ++= Solucin: En la figura vemos que el vector normal a la superficie S1

que apunta hacia fuera es N1=-k, mientras que el de la superficie S2 es

144

22

222

++

++=

yx

kyjxiN

As pues,

+=21

21 SSSdSNFdSNFNdSF



( ) ( ) +++= RSS dSkyjxiFdSkFNdSF 221 ( ) +++= RRS dAyxyxzdAyNdSF

22 24

( ) dydxyxyxzdydxyNdSF yy

y

yS 44

2

2

4

4

22

2

4

4

22

2

2

2

+++=

( ) dydxxyxzNdSFy

yS 24

2

2

4

4

2

2

+=

( )[ ] dydxxyyxxNdSF yyS

2442

2

4

4

222

2

+=

( ) dydxxyxyxxNdSF yyS

244162

2

4

4

232

2

+=

[ ]

==+=

2

2

2

2

4

4

22242 00 24482

2dydyyxyxxxNdSF

y

yS

Por otra parte, como

[ ] [ ] [ ] 00002F div 2 =++=

+

+

= yz

xy

zx

Podemos aplicar el teorema de la divergencia para obtener el resultado equivalente

===QQ

dVdVdS 00 F div NFS

Ejemplo 3: Aplicacin del teorema de la divergencia

Sea Q el slido acotado por el cilindro 422 =+ yx , el plano 6=+ zx y el plano xy como el de la figura. Calcular

dS NFS

Donde S denota la superficie de Q y

( ) ( ) ( ) kejzxyisenzxzyxF y++++= cos,, 2 Solucin: La evaluacin directa de esta integral seria ardua. Sin embargo, el

teorema de la divergencia permite calcularla del siguiente modo

=Q

dVdS F div NFS

( ) ++=Q

dVxxdS 02 NFS

=Q

dVxdS 3 NFS

( ) r dz dr drdS r cos3 NF 20

2

0

cos6

0S

=

( ) dr drrdS =

2

0

2

0

222

Scos3cos18 NF

( ) ddS =

2

0

2

Scos12cos48 NF

1222

1648 NF

2

0S

=

+= sensendS



En el clculo de la integral triple hemos utilizado coordenadas cilndricas, con cosrx = y r dz dr ddV =

Como se define a la integral de lnea? Definicin de integral de lnea: Si f esta definida en una regin que contiene una curva suave C de longitud finita, entonces la integral de lnea de f a lo largo de C esta dada por

r\o>orq !" & #' .T" }f/

r\o}8pq !" & #' .T" }f/

Enuncie y demuestre el teorema de Green Demostracin: Se har la demostracin para una regin que es vertical y horizontalmente simple La demostracin consiste en probar que !( & # ,$+(+% # !)& # $+)+% # Como R es y simple en el grafico derecho donde es verticalmente simple

R= {(x, y) / f1(x) y f2(x), a x b}

Su frontera consta de 2 curvas C1 y C2 y al estar C1 parametrizada por x . "/ y sobre la curva y C2 parametrizada como . "0 tenemos lo siguiente

!( & # !( &1 # !( &2 # !(

"/# !( "0#

!( "/# , !(

"0# Por otra parte, por el teorema de Fubini, podemos evaluar la integral doble como una integral iterada



$+(+% # ! ! +(+3231

## !4( 53132

# !6( "0 ,( "/7

#

Por consiguiente !( & # ,$+(+% # De manera anloga, considerando a R como x simple, a C1 y C2 la consideramos parametrizada por y 8 # . 9/ y sobre la curva y C2 parametrizada como 8 # . 90

!) & # !) &1 # !) &2 # !): 9/ # !)

: 90 #

!): 9/ # , !): 90 #

Por otra parte, por el teorema de Fubini, podemos evaluar la integral doble como una integral iterada

$+)+% # ! ! +)+;2;1

: ## !4) 5;2;1

: # !



Que mtodo utiliza para saber si una integral de lnea es independiente de la trayectoria?

Independencia del camino y campos conservativos

Si F es continuo en una regin abierta y conexa, la integral de lnea

C drF Es independiente del camino si y solo si F es conservativo.

Demostracin: Si F es conservativo, el teorema fundamental de las integrales de lnea asegura que

la integral de lnea es independiente del camino. Demostraremos el reciproco para una regin del

plano. Sea F(x,y)=Mi+Nj, y consideremos un punto fijado ( )00 , yx en R. Si ( )yx, es un punto arbitrario de R, elegimos una curva suave a trozos C que vaya de ( )00 , yx a ( )yx, y definimos

( ) +== CC NdyMdxdrFyxf , La existencia de una tal C en R viene garantizada por el carcter conexo de R. Se puede probar

que f es una funcin potencial de F sin mas que considerar dos

caminos diferentes entre ( )00 , yx y ( )yx, . Para el primero, escogemos u punto ( )yx ,1 en R con 1xx (posible por ser R abierta) y tomamos

1C y 2C como lo indica la figura. De la independencia del camino se sigue que

( ) +++=+=21

,CCC

NdyMdxNdyMdxNdyMdxyxf

Como la primera integral no depende de x y en la segunda es dy=0,

concluimos que

( ) ( ) +=xCMdxygyxf ,

De modo que la derivada parcial de f respecto de x es ( ) Myxf x =, . Para el segundo camino, tomamos un punto ( )1, yx . Por razonamientos similares a los de antes llegamos a la conclusin de que ( ) Nyxf y =, . Por tanto,

( ) ( ) ( ) jyxfiyxfyxf yx ,,, += ( ) ( )yxFNjMiyxf ,, =+=

Luego F es conservativo

Capitulo 8 teorema de green

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