REGRESIN NO LINEAL

Modelos de anlisis de regresin2+ variables explicativas

Cundo es bueno un modelo de regresin?Lo adecuado del modelo depende de la relacin entre: la dispersin marginal de Y La dispersin de Y condicionada a X

Es decir, fijando valores de X, vemos cmo se distribuye Y

La distribucin de Y, para valores fijados de X, se denomina distribucin condicionada.

La distribucin de Y, independientemente del valor de X, se denomina distribucin marginal.

Si la dispersin se reduce notablemente, el modelo de regresin ser adecuado.

Se pueden considerar otros tipos de modelos, en funcin del aspecto que presente el diagrama de dispersin (regresin no lineal)

Incluso se puede considerar el que una variable dependa de varias (regresin mltiple).

IntroduccinEl analsis de regresin no lineal es un poderosa herramienta para analizar datos cientificos. Su principal objetivo es:A justar un modelo matematico a los datos cientficos:Encontrar los mejores valores de las varibles en el modelo.Encontrar una representacin grfica de los datos ajustados.

Introduccion Razones para usar la Regresion Nolineal:La regresin lineal es menos exacta:Asume que los datos siguen una distribucin gaussiana, las cuales no son usualmente verdaderas.

Esto puede distorsionar el anlisis de los resultados, al sobre o sub estimar los valores del ajuste.EjemploRegresion nolineal

i=+X1 + i i=+1Xi + 2Xi +..mXmi + i

Modelos de regresion lineal

Modelo exponencial crecientei=*exp(*Xi) + i Modelo exponencial decreciente i= *exp(-*Xi)+ i

Modelo de crecimiento programado i= - *(exp-*Xi) + i

Modelos de regresion exponencial

Mtodo de Gauss NewtonComo en el caso de mnimos cuadrados lineales, la regresin no lineal se basa en la determinacin de los valores de los parmetros que minimizan la SC de residuos. Sin embargo, en el caso de RNL la solucin debe realizarse en una forma iterativa.

En esta tcnica se utiliza una expansin en serie de taylor para expresar la ecuacin no lineal original en una forma lineal aproximada.

Mtodo de Gauss Newton

Entonces es posible aplicar la teora de mnimos cuadrados para obtener nuevas estimaciones de los parmetros que se mueven en la direccin que minimiza el residuo.

Por lo tanto, primero se expresa de manera general la relacin entre la ecuacin no lineal y los datos, de la manera siguiente:

yi= f ( xi;ao, a1,.am) + ei

Forma matricial Yi = Valor medio de la variable dependiente.

f ( xi; ao, a1,.am) = la ecuacin que es una funcin de la variable independiente xi y una funcin no lineal de los paramtros ao, a1,.am.

ei= un error aleatorio.

[D] = [Zj] [A] [E]

[Zj] = es la matriz de las derivadas parciales de la funcin evaluadas en el valor inicial j.

Donde n = el nmero de datos . f1 / ak = derivada parcial de la funcin con rspecto al K.simo parmetro evaluado en el i-simo dato.El vector D contiene la diferencia entre las mediciones y los valores de la funcin.Vector A contiene los cambios en los valores de los parmetros.

Forma matricial [D] = [Zj] [A] [E]

[Zj] = [ f1 / ao f2 / ao f1 / a1 f2 / a1]

Forma matricial Despejando la formula obtenemos.[ZexpTZ] exp-1[Zexp(TZA) D] Si se aplica la teora de los mnimos cuadrados lineales a la ecuacin se obtienen la siguiente ecuacin

Forma matricial [ZexpTZ] exp-1[Zexp(TZA) D] As, el procedimiento consiste en resolver de la ecuacin citada arriba para A, que se utiliza para calcular valores mejorados de los parmetros, como en aoj+1 = aoj+ ao A1j+1 = a1j+ a1El procedimiento se repite hasta que la solucin converge Ea!k=100%

EJEMPLOPLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA : Ajuste la funcin f (x; ao, a1 ) = ao (1-e1a1x) a los datos:

X = 0.25, 0.75, 1.25, 1.75, 2.25Y = 0.28, 0.57, 0.68 0.74 0.79

Emplee ao =1 y a1 = 1, como valores iniciales para los parmetros. Observe que para estos valores la suma inicial de los cuadrados de los residuos es de 0.0248.Solucin : Las derivadas parciales de la funcin con respecto a los parmetros son: f / ao f / a1