FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS DE LA

EVALUACION DE PROYECTOS

Ing. WALTER ANDIA VALENCIA

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS

OBJETIVOS OBJETIVOS

Conocer los fundamentos matemáticos de la evaluación de proyectos.

Comprender el proceso de evaluación de proyectos Emplear adecuadamente el flujo de caja en la

evaluación de proyectos Lograr una interpretación correcta de los

indicadores de rentabilidad.

Equivalencia de Flujos de CajaEquivalencia de Flujos de Caja

Fórmula del Valor Futuro

Dada una cantidad presente P se puede hallar su valor futuro F al final de n períodos a un interés compuesto i

P F

0 n

F = P(1 + i)n = P(F/P,i%,n)

Ejemplo

Se realiza un depósito en una institución financiera la cantidad de S/. 3000 a plazo fijo de 90 días a una tasa de 1% mensual. Cuánto retirará vencido el plazo.

F = 3000*(F/P,1%,3)

F = 3000 *(1.030 )

F = 3090.9

F = P + compensación aplazar consumo

Fórmulas de Serie Uniforme

Se utiliza para hallar la serie futura de pagos A al final de cada período, que permita recuperar una cantidad actual P sobre n períodos a interés compuesto i.

P

0 n

A

1

A = P(A/P,i%,n)

P = A(P/A,i%,n)

Ejemplo

Se recibe un préstamo por S/.20000 a pagar en 18 cuotas mensuales a una tasa de 3%.

Hallar el monto de la cuota a pagar

A = 20000*(A/P,3%,18)

A = 20000*( 0.0727 )

A = 1454

Fórmulas de Serie Uniforme

También podemos hallar el valor acumulado F en n pagos a interés compuesto i dado una serie uniforme de pagos de final del período A.

0 n

A

1

F

F = A(F/A,i%,n)

A = F(A/F,i%,n)

Ejemplo

Una persona piensa depositar semestralmente S/. 1000 en un fondo que paga 6% por período durante 4 años. Cuánto recibirá al final si decide hacerlo.

F = 1000*(F/A,6%,8)

F = 1000*(9.897 )

F = 9897

EVALUACION DE PROYECTOSEVALUACION DE PROYECTOS

DEFINICIÓNDEFINICIÓN

Es el proceso de medición del valor del proyecto en base a la comparación de los beneficios que genera y los costos en que se incurren.

Inversión

Beneficios

Costos

• Identificar

• Medir

• Valorar

Comparar

“Indicadores de

Rentabilidad”

Beneficios en la situación con proyecto

Beneficios en la situación sin proyecto

Costos en la situación con proyecto

Costos en la situación sin proyecto

Beneficios Incrementales

Costos Incrementales

Beneficio Neto generado por el proyecto

IMPORTANTE: Identificar la información correcta

EL FLUJO DE CAJA EN LA EL FLUJO DE CAJA EN LA EVALUACIÓN DE PROYECTOSEVALUACIÓN DE PROYECTOS

Es una herramienta que permite sintetizar en forma ordenada información de tipo cuantitativa generada por el proyecto; es decir, muestra en forma ordenada los ingresos y egresos.

FLUJODE

CAJA

FLUJODE

CAJA

Ingresos

Egresos

Salidas de

dineroCostos

de oportunida

d

Inversión

Impuesto a la renta

Estado de Ganancia

s y P.

Según el objetivo de su elaboración se pueden presentar:

Flujo de Caja utilizado en el área financieraObjetivo: muestra la liquidez

Flujo de Caja utilizado en la evaluación de proyectosObjetivo: determinar la rentabilidad

DIFERENCIASDIFERENCIAS

El Flujo de Caja utilizado en Finanzas representa salidas reales de dinero, en cambio en la evaluación de proyectos se registran aquellos que no necesariamente son salida de dinero.

El Saldo obtenido en el Flujo de Caja en Finanzas es acumulativo, en proyectos no hay razón, dado que uno de los principios es el valor del dinero en el tiempo.

0 1 2 3 N

Ingresos

Egresos

FCN -I B1 B2 B3 BN

Ingresos

Egresos

Saldo periodo -I B1 B2 B3 BN

Saldo InicialSaldo Final

El Flujo de Caja usado en Proyectos

El Flujo de Caja usado en Finanzas

EL FLUJO DE CAJA Y EL FLUJO DE EL FLUJO DE CAJA Y EL FLUJO DE FONDOSFONDOS

0 1 2 3 N

Ingresos

Egresos

FCN -I B1 B2 B3 BN

0 1 2 3 N

Ingresos

(-) Costos

(-) Depreciación

Utilidad Antes de Impuestos

(-) I. Renta

Utilidad Neta

(+) Depreciación

(-) Inversión

FCN -I B1 B2 B3 BN

Flujo de Fondos

DIFERENCIASDIFERENCIAS

El flujo de fondos utilizado en evaluación de proyectos no permite analizar en forma lógica la intervención del proyecto.

En los casos en que se manejen diversas alternativas y ellas generen el mismo beneficio, sólo se trabajará con los costos, por lo tanto, el flujo de fondos no es adecuado.

¡CUIDADO¡¡CUIDADO¡

No confundir el Flujo de caja con el Estado de Flujo de Efectivo

El flujo de fondos no permite realizar una evaluación adecuada de los proyectos de inversión.

Técnicas de Evaluación de Alternativas de Inversión:

• Análisis del Valor Presente

• Análisis del Flujo de caja Anual

• Análisis de la Tasa de Rendimiento

• Análisis Incremental

• Período de Recuperación de Capital

Análisis del Valor Presente

I1

F1 F2 F3 F4

0 1 2 3 4

I2

F1 F2 F3 F4

0 1 2 3 4

Alternativa 1

Alternativa 2

MÉTODOS DE EVALUACIÓN DE PROYECTOS MÉTODOS DE EVALUACIÓN DE PROYECTOS

Componentes:

Valor Presente de los Costos

Información relevante los costos

Valor Presente Neto (VAN)

Información de beneficios y costos

Conceptos Básicos

• Período de Análisis

Lapso de tiempo en el cual el proyecto va estar sujeto a estudio

• Vida Útil

Tiempo estimado de duración del proyecto según sus condiciones

Alt. 10 1 n

Alt. 2 0 1 m

P. A.

Situaciones en problemas de Análisis Económico

• La Vida útil de cada alternativa es igual al período de análisis

• Las alternativas tienen vidas útiles distintas al período de análisis

• Existe un período de análisis infinito

Ejemplo

Se tiene dos alternativas:

Alternativa 1 Alternativa 2

Inversión

Costo anual

Vida del proy.

25000

3000

6 años

38000

2000

6 años

Alternativa 1

VPC = 25000 + 3000(P/A,10%,6)

= 38066

Alternativa 2

VPC = 38000 + 2000(P/A,10%,6)

= 46711

El critero de selección es el de menor costos.

INTERPRETACIÓN DEL VANINTERPRETACIÓN DEL VAN

El valor actual neto representa el valor adicional que recibe un inversionista sobre su inversión, una vez descontado la TMAR. Esto quiere decir que el inversionista recupera su inversión, cubre el interés por su inversión y una cantidad adicional: aquí el proyecto genera valor (VAN > 0).

Ejemplo:

VAN (15%) = 24000

VAN (15%) = 0

VAN (15%) = - 5000

COMPONENTESCOMPONENTES DEL VAN DEL VAN

Remanente, cuando se lleva al periodo cero, es el VAN

Costo del dinero utilizado en el proyecto

Recuperación de la Inversión

Benefici

o

CasoCaso

Se piensa instalar un negocio de venta de computadoras en un nuevo centro comercial, para ello se ha estimado la siguiente inversión y los beneficios esperados:

Semestre 0 1 2 3 4 5 6

FCN -70000 20000 25000 30000 35000 38000 30000

El costo de oportunidad del dinero es 20% semestral. En el centro comercial se difundió esta información, por lo que un competidor ya instalado decide negociar la ejecución del proyecto para así evitar la competencia.

a) ¿Cuánto se debe solicitar al competidor para la no ejecución del proyecto?

b) Si una vez ejecutado el proyecto, en el momento de iniciar las actividades nos proponen comprarnos el negocio. ¿Cuánto como mínimo debemos solicitar?

a) VAN = 23 586

b) Monto = Inversión + VAN

= 70000 + 23586

= S/. 93586

Análisis de la Tasa de RendimientoAnálisis de la Tasa de Rendimiento

VAN = 0

V. P. Beneficios – V. P. Costos = 0

i

VAN

0

TIR

INTERPRETACIÓNINTERPRETACIÓN

Para un proyecto de inversión se tiene la siguiente regla de decisión:

Si:

TIR > TMAR acéptese la inversión

TIR < TMAR rechácese la inversión

“La TIR no es comparable entre alternativas”

Ejemplo

Se tiene el siguiente flujo de caja de una inversión:

0 1 2 3 4

Flujo de caja -30000 6000 8000 12000 15000

Si : ++ + --6000 8000 12000 15000

(1 + i) (1 + i)2 (1 + i)3 (1 + i)4

30000 = 0

TIR = 11.74%

TMAR: Tasa Mínima Atractiva de Rendimiento

TMAR

Costo de Oportunidad

Costo Promedio Ponderado de Capital

CasoCaso

Un propietario de una empresa constructora desea comprar materiales hoy, pues sabe que el precio de éstas aumentará considerablemente en los próximos trimestres. Se espera que el costo del fierro suba de $ 160 000el lote que cuesta hoy, a $ 175000 el próximo trimestre, y a $195000 el siguiente. Si comprara un lote de fierros hoy en lugar de cada uno de los dos próximos trimestres ¿Cuál sería la tasa de retorno de la inversión?

0 1 2

175 195320

TIR = 10%

EL ANALISIS DIFERENCIAL EN LA EL ANALISIS DIFERENCIAL EN LA EVALUACIÓN DE PROYECTOSEVALUACIÓN DE PROYECTOS

Se utiliza principalmente en situaciones donde ya existen actividades y se proponen realizar modificaciones (ampliaciones de planta, lanzamiento de un nuevo producto, etc.), para ello diferencia los escenarios «con» y «sin» proyecto, y así, de esta manera identifica los cambios resultados de la inversión.

Sin Proyecto

Con Proyecto

Tiempo

BN

Inversión

Sin Proyecto

Con Proyecto

Tiempo

Costos

Inversión

Institución EducativaActualmente realiza sus actividades en un local alquilado por el monto de S/. 60 000 semestrales. Se esta analizando la adquisición de un local más amplio, ello generará ingresos adicionales de S/. 170 000, costos adicionales de mantenimiento y servicios S/. 13 200 y el pago de profesores adicionales de S/. 50 000. Si el costo del local es de S/. 800 000, la tasa de descuento de 12% semestral y el tiempo de análisis es de 5 años. ¿Es recomendable la adquisición del local?

CASO

0 1-10Beneficios Ingresos adicionales 170000 Ahorro pago de alquiler 60000Costos Pago adicional de profesores 50000 Pago adicional de manten. 13200 Inversión 800000Flujo de Caja Neto -800000 166800

FLUJO DE CAJA DEL PROYECTO

VAN (12%) = 142 457

CasoCaso El procesamiento de datos en una empresa textil se hace

actualmente por procedimientos manuales. El número de empleados utilizados es de 12, con un promedio salarial anual de $ 10 500. En temporadas de ventas altas es necesario trabajar tiempo extra. Se ha calculado que se paga en promedio un 12 % del sueldo anual en tiempo extra a todos los empleados del departamento. Se contempla la posibilidad de adquirir una computadora para procesar toda la información. Los datos del equipo son: valor de adquisición $77 000; se requerirán 5 empleados con sueldo promedio anual de $ 17 500 cada uno, ya no se pagará tiempo extra y tendría un valor de salvamento nulo al final de su vida útil. Para un período de análisis de 5 años, determínese la tasa de rendimiento incremental de la sustitución. Si el mantenimiento anual del equipo asciende a $ 15 800.

Procedimiento Actual

Los costos en que se incurre con este procesamiento de datos son:Costo de mano de obra: 12 empleados x 10500 $/empleado = 126000

Costo de tiempo extra anual:0.12 x 126000 = $ 15120

Costo total anual = $ 141120

Procedimiento Computarizado

Según la información se obtiene los siguientes costos:

Costo Mano de obra : 5 x 17500 = 87500C. anual de mantenimiento: 15800

Costo Total 103300

- (77000) + (141120-103300) (P/A,i,5) = 0

TIR = 40 %

EL ESCUDO FISCALEL ESCUDO FISCAL

Detalle Sin Financiamiento

Con Financiamiento

Ingresos 10,000 10,000(-) Egresos 5,000 5,000(-) Impuestos --- 1,000Utilidad antes de Imp. 5,000 4,000Impuesto a la Renta (30%) 1,500 1,200Utilidad Neta 3,500 2,800

EL FLUJO DE CAJA ECONOMICO Y EL FLUJO DE CAJA ECONOMICO Y FINANCIEROFINANCIERO

Ingresos 90 000

Egresos 25 000

Beneficio Neto 65 000

Inversión S/. 50 000

Aporte de los Socios S/. 50 000

Situación 1

Rentabilidad del Proyecto 30.0 %

Rentabilidad de los Socios 30.0 %

Flujo de Caja

EL FLUJO DE CAJA ECONOMICO Y EL FLUJO DE CAJA ECONOMICO Y FINANCIEROFINANCIERO

Ingresos 90 000

Egresos 25 000

Pago del préstamo 25 000

Intereses 4 500

Beneficio Neto 35 500

Inversión S/. 50 000

Aporte de los Socios S/. 25 000 Costo

Financiamiento S/. 25 000 18%

Situación 2

Rentabilidad del Proyecto 30.0 %

Rentabilidad de los Socios 42.0 %

INTERPRETACIONINTERPRETACION

La rentabilidad del proyecto (económica) se obtiene dividiendo el beneficio neto generado por el proyecto entre la inversión total. Su tasa de descuento es el costo promedio de capital.

La rentabilidad del aporte de los socios (financiera) se obtiene dividiendo el saldo resultante entre el aporte de los socios. La tasa de descuento es el costo de oportunidad del aporte de los inversionistas.

CasoCaso Un inversionista tiene la posibilidad de adquirir un

automóvil para dedicarlo al servicio de taxi, el costo es de S/. 5 000, los ingresos netos mensuales que genera son de S/ 800 y luego de 12 meses lo revende a S/. 3 000, considerando que no paga impuestos, analice dos posibilidades, si el costo de oportunidad del inversionista es 5% mensual:

a) Comprar el vehículo al contado b) Comprar el vehículo con un financiamiento del

60% a una tasa del 3% mensual la diferencia al contado

VAN (3.8%) = 4513.52TIR = 14.6%

mes 0 meses 1-11 mes 12Ingresos Netos 0 800 800 Reventa 0 0 3000Egresos

5000 0 0-5000 800 3800

Costo del vehículoFlujo neto de caja

Con Financiamiento

Precio : 5 000Contado(40%): 2 000Crédito (60%) : 3 000Cuota : 301.39 (A/P,3%,12)

VAN (5%) = 4089.82TIR = 25.8%

mes 0 meses 1-11 mes 12Ingresos Netos 0 800 800 Reventa 0 0 3000 Préstamo 3000Egresos Inversión 5000

0 301,39 301,39-2000 498,61 3498,61

Cuota mensualFlujo neto de caja

CasoCaso

La Dirección del Hospital Central ha solicitado que se evalúe una adquisición de un equipo de resonancia magnética. El precio del equipo es de US$ 50000 y requiere de US$ 10000 adicionales como gastos de instalación y US$ 2000 de capital de trabajo. La SUNAT aprobó la depreciación acelerada del equipo en 33%, 45%, 15% y 7%. El equipo se venderá después de tres años en US$ 20000.

La compra del equipo no tendrá ningún efecto sobre los ingresos, pero se espera que ahorre al Hospital US$ 20000 por año en costos operativos antes de impuestos. La tasa de impuesto a la renta es de 30%. Si el costo de capital del proyecto es 10% ¿deberá comprarse el equipo?

La inversión total del equipo esta compuesto por el precio, gastos de instalación y el capital de trabajo:

I = 50000 + 10000 + 2000 = 62000

Beneficios del proyectoAhorros de US$ 20000: genera que la empresa tenga mayores utilidades antes de impuestos, por lo que se pagará más impuesto a la renta.

Pago adicional de I. R. = 20000*0.30 = 6000

Depreciación: genera mayores gastos, generando un ahorro en el impuesto.

1 2 3Depreciación 19800 27000 9000Ahorro I. R. 5940 8100 2700

Venta del equipo: la depreciación acumulada de los tres primeros años es de 55800, generando una ganancia adicional; el valor en libros del equipo al final del año 3 es:

V. L.3 = 60000 - 55800 = 4200

Ganancia adicional = 20000 - 4200 = 15800

Pago adicional de I. R. = 15800 * 0.30 = 4740

0 1 2 3Beneficios Ahorro operativos 20000 20000 20000 Ahorro I. R. deprec. 5940 8100 2700 Venta equipo 20000 Recup. C. trabajo 2000Egresos Inversión 62000 I. R. venta equipo 4740 I. R. ahorros opera. 6000 6000 6000Flujo de Caja Neto -62000 19940 22100 33960

VAN (10%) = -93.61

Flujo de Caja

TOMA DE DECISIONESTOMA DE DECISIONES

La evaluación de proyectos nos permite hallar ciertos parámetros para elegir la inversión más conveniente cuando se tiene un conjunto de ellas, por tanto es importante considerar las diversas situaciones que se puedan presentar según la clasificación establecida y así tomar una mejor decisión.

a) Sin racionamiento de capital

El supuesto para seleccionar la mejor inversión es que se cuenta con la suficiente cantidad de recursos de capital para su financiamiento.

1.Proyectos Independientes

Para estos casos, se elegirán todos los proyectos que cumplan con la condición de que el VAN sea mayor a cero.

2.Proyectos Dependientes

2.1 Proyectos Mutuamente Excluyentes

Si dos proyectos A y B son mutuamente excluyentes se elige aquel proyecto que posea el mayor VAN a una TMAR establecida.

2.2 Proyectos Complementarios

Si dos proyectos A y B son complementarios, se puede presentar tres alternativas de selección: A, B, o A+B. Por tanto, las alternativas se convierten en mutuamente excluyentes, por lo que se elegirá la opción con mayor VAN.

Ejemplo 1 : Si el proyecto A tiene un VAN = 10 y el proyecto B un VAN = 5 en forma independiente, siendo ambos complementarios se puede ejecutar conjuntamente generando un VAN(A+B) = 20, por tanto esta opción es la más recomendable.

Ejemplo 2 : Si el proyecto A tiene un VAN = -10 y el proyecto B un VAN = 15. En forma conjunta se obtiene un VAN(A+B) = 11, entonces es más recomendable el proyecto B.

2.3 Proyectos Sustitutos

En forma similar, si se tiene dos alternativas A y B que son sustitutos, se compara las tres alternativas: A, B, A+B y se elige la opción con mayor VAN.

b) Con racionamiento de capital Cuando una institución no cuenta con los recursos suficientes para ejecutar varios proyectos se enfrenta a la toma de decisiones con racionamiento de capital, por consiguiente debe de maximizar el VAN para cierto monto de inversión.

Índice del Valor Actual Neto (IVAN)

Es un índice de rentabilidad que relaciona el VAN obtenido con la inversión por realizar; se utiliza para priorizar proyectos cuando se tiene racionamiento de capital. Es lógico que cuanto mayor es el índice IR se estará usando eficientemente los recursos para todos los tipos de proyectos.

IR = VAN / Inversión

Ejemplo 3: Cuál de los proyectos es más recomendable a una tasa del 12%.

0 1 2 3 4 VAN IR Proyecto A -20000 7000 7200 8500 9000 3759.6 0.188

Proyecto B -15000 5000 6000 6300 7500 3498.1 0.233

El proyecto más recomendable es el B porque optimiza los recursos.